2301
Чисельне вирішення задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь І-го порядку
Лекция
Математика и математический анализ
Основні типи рівнянь інженерної практики. Методи вирішення диференціальних рівнянь. Постановка задач для звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Метод Ейлера. Модифіковані методи Ейлера та Ейлера-Коші. Метод Рунге-Кутта. Приклад вирішення задачі Коші для ЗДР І-го порядку в середовищі системи Mathcad.
Украинкский
2013-01-06
106.36 KB
115 чел.
Лекція 14. Чисельне розвязування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь І-го порядку
План
1. Основні типи рівнянь інженерної практики.
2. Методи розвязування диференціальних рівнянь.
3. Постановка задач для звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР)
4. Методи розвязування задачі Коші для ЗДР.
4.1. Метод Ейлера.
4.2. Модифіковані методи Ейлера та Ейлера-Коші.
4.3. Метод Рунге-Кутта.
5. Приклад розвязування задачі Коші для ЗДР І-го порядку в середовищі системи Mathcad.
1. Основні типи рівнянь інженерної практики
Всі рівняння інженерної практики можна розділити на два класи:
Функціональні рівняння діляться на два класи:
Диференціальні рівняння можна розділити на два класи:
Порядком ДР називається найвищий порядок похідної або диференціала, який входить в це рівняння. Розвязком ДР називається функція, підстановка якої в рівняння перетворює його в тотожність.
Існує три типи розвязків ЗДР:
2. Методи розвязування диференціальних рівнянь
Серед методів розвязування ДР можна виділити такі:
а) графічні методи наближений розвязок у вигляді графіків;
б) аналітичні методи базуються на спрощенні заданих рівнянь так, щоб більш просте рівняння можна було б розвязати класичними методами, але при цьому виникає питання про достовірність отриманого розвязку;
Числові методи, на даний час, отримали дуже широке застосування у звязку з інтенсивним розвитком обчислювальної техніки. Ідея цих методів базується на заміні диференціальних рівнянь і додаткових умов системою алгебраїчних рівнянь, розвязок якої отримуємо у табличному вигляді.
3. Постановка задач для ЗДР
Для всіх фізичних задач характерним є наявність межі Γ області G, в якій вивчається той чи інший процес. Ці межі можуть бути скінченними або нескінченними. Оскільки математична модель повинна адекватно описувати певне фізичне явище в даному виділеному середовищі, то вона включає в себе не тільки диференціальне рівняння або систему диференціальних рівнянь, але й додаткові або крайові умови, які задаються у вигляді значень шуканої функції або її похідних для деяких значень незалежних змінних, тобто в окремих точках, або у вигляді залежностей шуканої функції та її похідних на деякій області.
Додаткові (крайові) умови це сукупність граничних і початкових умов. Граничні умови задають режим фізичного процесу на межі Γ області G, а початкові умови накладають обмеження на функцію u та її похідні по часу до (n-1)-го порядку в деякий початковий момент t=t0.
Для знаходження часткового розвязку диференціального рівняння необхідно задати додаткові (крайові) умови, кількість яких повинна бути не меншою, ніж порядок рівняння.
В залежності від способу задання додаткових (крайових) умов для відшукання часткового розвязку диференціального рівняння розглядають задачу Коші та крайову задачу.
Якщо ці умови відносяться до однієї точки, то задача називається задачею Коші, додаткові умови початковими умовами, а сама точка початковою. Якщо ж ці умови відносяться до більш, ніж однієї точки, то така задача називається крайовою задачею, а відповідні умови граничними умовами.
і початкові умови: (2)
При постановці задачі Коші для ЗДР n-го порядку задається значення функції y(x) в деякій точці, а також значення похідних цієї функції в цій точці до (n-1)-го порядку включно.
а на кінцях відрізка граничним умовам:
(4)
4. Методи розвязування задачі Коші для ЗДР
Нехай на проміжку [x0, b]задана задача Коші для ЗДР І-го порядку
Необхідно знайти функцію y=y(x), яка є розвязком рівняння (5) і задовольняє початкову умову (6).
На проміжку [x0, b] з допомогою точок побудуємо рівномірну різницеву сітку з (k+1) вузлом, відстань між якими дорівнює h: (7)
Задача полягає у знаходженні значень у вузлах сітки (7) шуканої функції y(x), яка є розвязком задачі Коші (5)-(6)
y(x0)= y0, y(x1)= y1, y(x2)= y2, …, y(xk-1)= yk-1, y(xk)= yk. (8)
Одним з найбільш простих та універсальних числових методів розвязування диференціальних рівнянь є метод скінченних різниць, який базується на розкладі шуканої функції y(x) в ряд Тейлора в h-околі точки
(9)
4.1. Метод Ейлера
З розкладу (9) беремо перші два члени
(10)
що, з використанням (8), можна записати у вигляді
(11)
У відповідності з (5) це рівносильно
(12)
або (13)
де залишковий член.
З (13) отримаємо різницеву схему, яка апроксимує в точках (7) розвязок задачі Коші та має вигляд рекурентних формул
(14)
де (15)
Коли розвяжемо систему числових рівнянь, то отримаємо значення
(16)
що відповідають шуканим значенням (8).
З (12) випливає, що метод Ейлера має перший порядок точності і з віддаленням від початкової точки похибка накопичується. На практиці частіше використовують різні модифікації методу Ейлера, які дають більш високу точність.
4.2. Модифіковані методи Ейлера та Ейлера-Коші
Якщо з розкладу (9) взяти перші три члени, то отримаємо розрахункові формули для модифікованих методів Ейлера та Ейлера-Коші, які мають другий порядок точності , що при малих h забезпечує більш високу точність, ніж метод Ейлера. Ці методи можна представити такими рекурентними формулами:
модифікований метод Ейлера
(17) модифікований метод Ейлера -Коші (18) |
4.3. Метод Рунге-Кутта
Якщо з розкладу (9) взяти перші пять членів, то отримаємо розрахункові формули для методу Рунге-Кутта, який має четвертий порядок точності , що забезпечує більш високу точність, ніж розглянуті раніше, які фактично є методами Рунге-Кутта відповідно І-го і ІІ-го порядків.
Цей метод можна представити такими рекурентними формулами:
(19)
5. Приклад розвязування задачі Коші для ЗДР І-го порядку в середовищі системи Mathcad
Диференціальні рівняння першого порядку можуть, за означенням, містити , крім шуканої функції , тільки її першу похідну . В більшості випадків диференціальне рівняння можна записати в стандартній формі
і тільки з такою формою може працювати обчислювальний процесор MathCad.
Крім диференціального рівняння , потрібно задати початкову умову значення функції в деякій точці . Необхідно визначити функцію на проміжку від до .
Для чисельного інтегрування звичайного диференціального рівняння (ЗДР) у користувача системи MathCad є вибір або використати обчислювальний блок Given/Odesolve, або одну із вбудованих функцій Rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Розглянемо послідовно обидва варіанти розвязування.
Обчислювальний блок Given/Odesolve
Обчислювальний блок для розвязування одного диференціального рівняння, який реалізує чисельний метод Рунге-Кутта, складається із трьох частин:
Приклад 1. Розвязати задачу Коші для ЗДР першого порядку на проміжку .
Розвязання:
Вбудована функція Rkfixed
Так як розвязування за допомогою вбудованої функції Rkfixed мало чим відрізняється від попередньго способу ( за допомогою обчислювального блоку), то приведемо приклад його використання. Звернемо лише Вашу увагу на необхідність явного задання кількості точок інтегрування ЗДР M=100, а також на отримання результату, на відміну від обчислювального блоку, не у вигляді функції, а у вигляді матриці розмірності . Ця матриця складається із двох стовпців: в одному знаходяться значення аргументу , а в другому відповідні значення шуканої функції .
Приклад 2. Розвязати задачу Коші для ЗДР першого порядку на проміжку .
Розв'язання:
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
70542. | БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ: КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ | 1.36 MB | |
Учебная дисциплина БЖД обязательная общеобразовательная дисциплина в которой соединена тематика безопасного взаимодействия человека со средой обитания и вопросы защиты от негативных факторов и чрезвычайных ситуаций. В результате изучения курса Безопасность жизнедеятельности специалист... | |||
70543. | Моя родина | 16.8 KB | |
Програмовий зміст: формувати у дітей поняття «родина, сім'я», виховувати любов до свої родини і до свої родичів, розвивати навички спілкування, відповідати на запитання вихователя; вчити помічати гендерні відмінності, уважно слухати художній твір, виконувати рухи, відповідні до тексту... | |||
70545. | Этапы развития технических средств и информационных ресурсов | 17.31 KB | |
Критерии информационной культуры человека: 1 умение адекватно формулировать потребность в информации; 2 эффективно осуществлять поиск нужной информации; 3 перерабатывать информацию и создавать качественно новую; 4 наличие коммуникативных навыков Развитие мировых информационных... | |||
70546. | ИЗМЕРЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ | 19.22 KB | |
В содержательном подходе возможна качественная оценка информации: новая, срочная, важная и т.д. информативность сообщения характеризуется содержащейся в нем полезной информацией - той частью сообщения, которая снимает полностью или уменьшает неопределенность какой-либо ситуации. | |||
70547. | ПРЕДМЕТ І МЕТОД ІСТОРІЇ ЕКОНОМІКИ ТА ЕКОНОМІЧНОЇ ДУМКИ. ОСОБЛИВОСТІ ГОСПОДАРСЬКОГО РОЗВИТКУ ТА ЕКОНОМІЧНОЇ ДУМКИ СТАРОДАВНІХ ЦИВІЛІЗАЦІЙ | 1.22 MB | |
На відміну від східного рабська праця стала основною продуктивною силою суспільного виробництва. Досягнення промислового виробництва практично не були успадковані варварськими народами. в Європі виникла нова вища форма виробництва мануфактура велика робітнича майстерня заснована на ручній... | |||
70548. | Політологія: Конспект лекцій | 309.19 KB | |
Термін «політика» - неоднозначний, його трактували по-різному: як певний вид соціального управління, розподілу благ, спосіб завоювання та реалізації влади, форму організації суспільства і державних інститутів, особливий вид відносин індивідів і соціальних груп та ін. | |||
70549. | КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ЭКОНОМИКЕ | 1.33 MB | |
Предметом экономической теории является экономическое поведение людей в процессе производства, распределения, обмена и потребления материальных благ с целью получения максимального дохода в условиях ограниченных ресурсов и безграничного потребления. | |||
70550. | КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ: БУХГАЛТЕРСЬКИЙ ОБЛІК | 207.64 KB | |
Оперативно-технічний облік являє собою збір поточної інформації про хід господарської діяльності підприємства, а також контроль за здійсненням окремих операцій безпосередньо в період їх виконання. Дані про хід виконання тих чи інших робіт в оперативно-технічному обліку... | |||