23024

Оптимізаційні методи моделювання неперервних початково-крайових умов

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Ці задачі поставлені та розв’язані в лекції 5.1 де узагальнена векторфункція зовнішньодинамічних факторів які моделюються вектор значень моделюючих функцій та а матрична функція яка через функцію Гріна пов’язана зі специфікою розв’язуваної задачі. Позначивши через множину точок дискретизації моделюючих функцій керуючої функції та враховуючи помилки в розв’язанні задачі моделювання що визначається величиною 10.

Русский

2013-08-04

475.5 KB

1 чел.

81

 Стоян В.А.

Лекція 10. Оптимізаційні методи моделювання  неперервних початково-крайових умов

10.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянуті в попередніх двох лекціях методи дозволяють оптимізувати вибір точок спостереження за зовнішньо-динамічними факторами системи (зовнішньо-динамічні збурення, початкові та крайові умови) при моделюванні їх дискретними та неперервними по просторово-часових координатах моделюючими функціями та . Це у випадку, коли зовнішньо-динамічні фактори, які підлягають моделюванню, дискретизовані. Однак, як відзначалося в п.5.1, цікавими і потрібними є постановки задач, коли зовнішньо-динамічні фактори системи при їх моделюванні залишаються неперервними. Ці задачі поставлені та розв’язані в лекції 5.

Розв’язки таких задач, або найкраще середньоквадратичне наближення до них, знаходилися при оберненні наступної системи функціональних співвідношень

           (10.1)

де - узагальнена вектор-функція зовнішньо-динамічних факторів, які моделюються, - вектор значень моделюючих функцій  та , а - матрична функція, яка через функцію Гріна пов’язана зі специфікою розв’язуваної задачі. Вигляд цієї функції та її розмірність визначаються вибором точок, в яких діють керувачі та моделюючі функції.

Позначивши через множину точок дискретизації моделюючих функцій  керуючої функції  та враховуючи помилки в розв’язанні задачі моделювання, що визначається величиною

         (10.2)

розписаною згідно (7.16) в п.7.3, ставиться задача мінімізації цих помилок.

Описані в 7.5 градієнтні методи розв’язання задачі

            (10.3)

можуть бути реалізовані за умови, коли будуть побудовані зручні для використання аналітичні формули обчислення похідних від матричної функції  по координатах  керувачів – координатах, якими визначається розмірність та структура вектора  і пов’язаного з ним  матричного рядка-функції

Нижче, з використанням узагальнень формул Гревіля, будуть запропоновані варіанти побудови аналітичних залежностей  від , а отже і обчислення похідних .

10.2. Формули Гревіля для матричних рядків-функцій. Як і в п.5.2 лекції 5, в якій будувався загальний розв’язок системи вигляду (10.1), розглянемо спочатку дискретизовані варіанти системи, подані співвідношеннями (5.14), а саме

          (10.4)

де - точки дискретизації координати

Позначивши через - крок дискретизації інтервалу (області) зміни змінної , як і в п.5.2, введемо до розгляду матричний стовпець-функцію дискретного аргументу

 

такий, що

         (10.5)

Зауважимо, що як і при роботі з матричними вектор-функціями  (лекція 9), функції  та  залежать неявно від множини точок . Залежність ця розуміється і тимчасово не вказується для спрощення записів та викладок, але буде вказана при побудові розрахункових формул для задач оптимізації вибору точок .

Враховуючи, що процес побудови та дослідження загального розв’язку задачі обернення співвідношень (10.1) будувався з використанням розв’язку задачі  для дискретизованого аналогу (10.4) цих співвідношень, а також того факту, що явну залежність псевдооберненої матриці від своїх параметрів ми отримали з використанням формули Гревіля, розглянемо варіанти узагальнення цієї формули на матричний стовпець-функцію  дискретного аргументу .

Розширюючи кожну з - вимірних матриць  - вимірним стовпцем  застосуємо формулу Гревіля (8.2) до матричного стовпця

        (10.6)

Виходячи зі структури формули Гревіля (8.11) для прямокутної матриці C розширеної стовпцем a позначимо через

                              (10.7)

Після чого, виходячи з (8.11), (8.12), маємо:

 

.                   (10.8)

Звідки, позначивши через

для елементів  отримаємо:

  (10.9)

де ,

а інші позначення відповідають прийнятим в (10.7).

Для переходу до неперервного випадку будемо виходити із співвідношення (10.9), розглядаючи їх при

Враховуючи, що по аналогії з (10.5)

 

з (10.9) отримаємо:

     (10.10)

де тепер

 

       (10.11)

  

Зауважимо, що область інтегрування в (10.11) залежить від постановки задачі моделювання. Область тут не конкретизується, оскільки відсутня конкретизація задачі і при записі рівнянь (10.1).

10.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення керувачів у задачі моделювання початково-крайових умов. Для реалізації описаної в п.7.5 градієнтної процедури оптимізації розміщення керувачів, координати яких визначаються значеннями  , будемо виходити з того, що координати ці впливають на розв’язок задачі через рядок-функцію , що і відобразимо, перепозначивши  далі  на . Врахуємо також, що залежність цієї вектор-функції від координати  визначається її k- им елементом , де - матрична функція Гріна розглядуваної задачі. Проблему диференціювання  по  розв’яжемо, якщо буде явна залежність цього вектор-рядка  від .

Для розв’язання поставленої проблеми застосуємо узагальнену формулу Гревіля (10.10) до матричної функції

де - матричний рядок-функція  без -го елемента, - цей елемент, а, як і вище,

При цьому

     (10.12)

де

  (10.13)

      (10.14)

                               (10.15)

 

Позначивши через  елементи матричного стовпця , з врахуванням того, що  

з (10.12)-(10.15) знаходимо:

при

при

при

при   

де  - - елемент матричного стовпця

Тобто і для матричного стовпця-функції   побудовані аналітичні формули диференціювання по координатах  керувачів. А це дозволяє практично реалізувати градієнтні процедури оптимізації розміщення керувачів розглядуваної системи згідно критерію (7.9),(7.18),(7.19), а саме:

де - множина псевдорозв’язків відповідної задачі моделювання.

80

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83078. Технологический процесс построения модели в MatLab 564.5 KB
  Задачи управления: стабилизация на заданном уровне, наблюдение (определение траектории движения, перемещения объекта), настройка параметров или экспериментальное управление (достижение минимальных и максимальных параметров, постоянных во времени), программное управление (обеспечение наперед заданного поведения объекта).
83079. Анализ доходной и расходной частей федерального бюджета РФ за 2012-2014 года 341 KB
  Социально-экономические преобразования происходящие в современной России заставляют критически подойти к постулатам и стереотипам лежащим в основе экономической теории и заново осмыслить законы общественного воспроизводства отражающие связи и зависимости между различными элементами экономической системы.
83080. Розрахунок постійного та синусоїдального струму 6.57 MB
  Для отриманої схеми вибрати та вказати позитивні напрями струмів у вітках. Скласти у загальному вигляді систему рівнянь, використовуючи перший та другий закони Кірхгофа. Знайти струми в одній з віток методом еквівалентних перетворень для кожного з джерел, що діють окремо.
83082. Аналіз фінансово-господарської діяльності ТОВ «Меблі» 115.5 KB
  У процесі господарської діяльності у підприємства виникає необхідність видачі з каси готівки працівникам підприємства під звіт на господарські потреби та службові відрядження. Службовим відрядженням вважається поїздка працівника за розпорядженням керівника підприємства установи та організації...
83083. ПРОБЛЕМИ ТА ШЛЯХИ ПОКРАЩЕННЯ ІННОВАЦІЙНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ ПІДПРИЄМСТВ 207.5 KB
  Очевидним і зрозумілим є те, що вирішення проблем активізації інноваційної діяльності головна запорука здійснення успішних ринкових реформ. Крім того, досвід розвинутих країн свідчить, що вихід з економічної кризи неможливий без активізації інноваційної діяльності.
83084. Товарна номенклатура Київського заводу шампанських вин «Столичний» 161.99 KB
  Характеристика Київського заводу шампанських вин Столичний Загальна характеристика асортименту Київський завод шампанських вин Столичний український виробник ігристих вин. Сьогодні підприємство випускає 28 видів шампанських вин 8ми різних кондицій та різних товарних ліній тихих вин.
83085. Технології та методи проектування компонентів комп’ютерних систем на прикладі створення модуля розширення для промислового комп’ютеру формфактору PC/104 1.41 MB
  Промисловий комп’ютер - це універсальний комп’ютер, призначений для промислового застосування. Він відрізняється від звичайного комп’ютеру конструкцією, яка враховує вимоги до обладнання, що працює, як правило, в несприятливих умовах (підвищена вібрація, забруднена атмосфера, підвищена вологість, підвищені або понижені температури).
83086. Розвиток прогресивних технологій у торгівлі в умовах перехідної економіки 72.88 KB
  Інновації в оптовій торгівлі в основному обумовлені тенденціями розвитку оптового ринку такими як: глобалізація міжнародного бізнесу і ресурсні обмеження; висока швидкість матеріальних фінансових і інформаційних потоків; великі обсяги операцій; асортимент товарів що розширюється...