23024

Оптимізаційні методи моделювання неперервних початково-крайових умов

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Ці задачі поставлені та розв’язані в лекції 5.1 де узагальнена векторфункція зовнішньодинамічних факторів які моделюються вектор значень моделюючих функцій та а матрична функція яка через функцію Гріна пов’язана зі специфікою розв’язуваної задачі. Позначивши через множину точок дискретизації моделюючих функцій керуючої функції та враховуючи помилки в розв’язанні задачі моделювання що визначається величиною 10.

Русский

2013-08-04

475.5 KB

1 чел.

81

 Стоян В.А.

Лекція 10. Оптимізаційні методи моделювання  неперервних початково-крайових умов

10.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянуті в попередніх двох лекціях методи дозволяють оптимізувати вибір точок спостереження за зовнішньо-динамічними факторами системи (зовнішньо-динамічні збурення, початкові та крайові умови) при моделюванні їх дискретними та неперервними по просторово-часових координатах моделюючими функціями та . Це у випадку, коли зовнішньо-динамічні фактори, які підлягають моделюванню, дискретизовані. Однак, як відзначалося в п.5.1, цікавими і потрібними є постановки задач, коли зовнішньо-динамічні фактори системи при їх моделюванні залишаються неперервними. Ці задачі поставлені та розв’язані в лекції 5.

Розв’язки таких задач, або найкраще середньоквадратичне наближення до них, знаходилися при оберненні наступної системи функціональних співвідношень

           (10.1)

де - узагальнена вектор-функція зовнішньо-динамічних факторів, які моделюються, - вектор значень моделюючих функцій  та , а - матрична функція, яка через функцію Гріна пов’язана зі специфікою розв’язуваної задачі. Вигляд цієї функції та її розмірність визначаються вибором точок, в яких діють керувачі та моделюючі функції.

Позначивши через множину точок дискретизації моделюючих функцій  керуючої функції  та враховуючи помилки в розв’язанні задачі моделювання, що визначається величиною

         (10.2)

розписаною згідно (7.16) в п.7.3, ставиться задача мінімізації цих помилок.

Описані в 7.5 градієнтні методи розв’язання задачі

            (10.3)

можуть бути реалізовані за умови, коли будуть побудовані зручні для використання аналітичні формули обчислення похідних від матричної функції  по координатах  керувачів – координатах, якими визначається розмірність та структура вектора  і пов’язаного з ним  матричного рядка-функції

Нижче, з використанням узагальнень формул Гревіля, будуть запропоновані варіанти побудови аналітичних залежностей  від , а отже і обчислення похідних .

10.2. Формули Гревіля для матричних рядків-функцій. Як і в п.5.2 лекції 5, в якій будувався загальний розв’язок системи вигляду (10.1), розглянемо спочатку дискретизовані варіанти системи, подані співвідношеннями (5.14), а саме

          (10.4)

де - точки дискретизації координати

Позначивши через - крок дискретизації інтервалу (області) зміни змінної , як і в п.5.2, введемо до розгляду матричний стовпець-функцію дискретного аргументу

 

такий, що

         (10.5)

Зауважимо, що як і при роботі з матричними вектор-функціями  (лекція 9), функції  та  залежать неявно від множини точок . Залежність ця розуміється і тимчасово не вказується для спрощення записів та викладок, але буде вказана при побудові розрахункових формул для задач оптимізації вибору точок .

Враховуючи, що процес побудови та дослідження загального розв’язку задачі обернення співвідношень (10.1) будувався з використанням розв’язку задачі  для дискретизованого аналогу (10.4) цих співвідношень, а також того факту, що явну залежність псевдооберненої матриці від своїх параметрів ми отримали з використанням формули Гревіля, розглянемо варіанти узагальнення цієї формули на матричний стовпець-функцію  дискретного аргументу .

Розширюючи кожну з - вимірних матриць  - вимірним стовпцем  застосуємо формулу Гревіля (8.2) до матричного стовпця

        (10.6)

Виходячи зі структури формули Гревіля (8.11) для прямокутної матриці C розширеної стовпцем a позначимо через

                              (10.7)

Після чого, виходячи з (8.11), (8.12), маємо:

 

.                   (10.8)

Звідки, позначивши через

для елементів  отримаємо:

  (10.9)

де ,

а інші позначення відповідають прийнятим в (10.7).

Для переходу до неперервного випадку будемо виходити із співвідношення (10.9), розглядаючи їх при

Враховуючи, що по аналогії з (10.5)

 

з (10.9) отримаємо:

     (10.10)

де тепер

 

       (10.11)

  

Зауважимо, що область інтегрування в (10.11) залежить від постановки задачі моделювання. Область тут не конкретизується, оскільки відсутня конкретизація задачі і при записі рівнянь (10.1).

10.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення керувачів у задачі моделювання початково-крайових умов. Для реалізації описаної в п.7.5 градієнтної процедури оптимізації розміщення керувачів, координати яких визначаються значеннями  , будемо виходити з того, що координати ці впливають на розв’язок задачі через рядок-функцію , що і відобразимо, перепозначивши  далі  на . Врахуємо також, що залежність цієї вектор-функції від координати  визначається її k- им елементом , де - матрична функція Гріна розглядуваної задачі. Проблему диференціювання  по  розв’яжемо, якщо буде явна залежність цього вектор-рядка  від .

Для розв’язання поставленої проблеми застосуємо узагальнену формулу Гревіля (10.10) до матричної функції

де - матричний рядок-функція  без -го елемента, - цей елемент, а, як і вище,

При цьому

     (10.12)

де

  (10.13)

      (10.14)

                               (10.15)

 

Позначивши через  елементи матричного стовпця , з врахуванням того, що  

з (10.12)-(10.15) знаходимо:

при

при

при

при   

де  - - елемент матричного стовпця

Тобто і для матричного стовпця-функції   побудовані аналітичні формули диференціювання по координатах  керувачів. А це дозволяє практично реалізувати градієнтні процедури оптимізації розміщення керувачів розглядуваної системи згідно критерію (7.9),(7.18),(7.19), а саме:

де - множина псевдорозв’язків відповідної задачі моделювання.

80

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52688. Додавання і віднімання натуральних чисел 2.11 MB
  Мета: Формувати навички додавання і віднімання натуральних чисел, які більші за мільйон. Розвивати вміння логічно мислити, аналізувати, узагальнювати, робити висновки. Виховувати інтерес до предмету, повагу до інших народів, бути толерантними до однокласників.
52689. Німеччина. Загальні відомості 69 KB
  Von Boryspil nach Berlin bringt das Flugzeug uns am schnellsten. Unterwegs machen wir eine schriftliche Aufgabe. (Учні утворюють складні іменники за допомогою таблиці.)In Deutschland gibt es viele sehenswerte Städte. Aber ich schlage euch vor, die Hauptstadt Deutschlands zu besuchen. Machen wir eine Rundfahrt durch Berlin. Hier kann man viel Interessantes sehen.
52690. Підприємницький дохід 58 KB
  Прибуток є основним стимулом створення і діяльності підприємства адже за рахунок нього окуповуються витрати на виробництво та збут товару оплачується робота працівників. Давайте пригадаємо формулу прибутку: Прибуток = доход – витрати З неї випливає що добиватися збільшення прибутку можна двома способами: зменшуючи витрати на виробництво збільшуючи доход від реалізації продукції Отже слід ретельно вивчити обидва способи. Що таке витрати Виробничі витрати це фактичні витрати виробника на придбання й використання всіх необхідних...
52691. Влияние проектной деятельности на повышение качества знаний учащихся 57.5 KB
  Ученик это не сосуд который надо заполнять знаниями а факел который нужно зажечь Л. Качество современного образования соответствие требованиям общества определяется не только тем что ребенок знает и чему научился в школе сколько способностям и умениям добывать новые знания и использовать их в нових условиях. Все что я познаю я знаю для чего мне это надо и где и как я могу эти знания применить – вот основной тезис современного...
52692. Правовое воспитание младших школьников 41.5 KB
  Вечная задача педагогики воспитание умного доброго честного и сильного человека сегодня как никогда остро встает перед школой. Начальная школа это время формирования человекаличности. Основываясь на положения следующих государственных нормативноправовых актов: Общая декларация прав человека; Декларация прав ребенка; Конвенция ООН о правах ребенка; Конституция Украины; Национальная программа Дети Украины . основной целью можно считать: познакомить учащихся младших классов с основными...
52693. Здоровьесберегающие технологии в начальной школе 68.5 KB
  А так как дети находятся в школе до вечера важное значение имеет воспитание у детей потребности в здоровье как жизненно важной ценности сознательного стремления к ведению здорового образа жизни. Здоровье одна из сущностных характеристик человека наряду с духовностью интеллектуальностью определяющая степень жизнеспособности устойчивости организма в соответствие среде обитания возможности реализовать свои биологические и социальные требования. На первый план выступает не только задача физического развития детей сохранения и укрепления...
52694. Суть та структура проектно-технологтчної діяльності учнів 78.5 KB
  Суть та структура проектно-технологтчної діяльності учнів В останні десятирічча в центрі уваги психолого-педагогічної науки знаходиться вивчення особливостей і можливостей людини умов цілеспрямованої дії на розвиток її творчого потенціалу створення повноцінного навчаючого і розвиваючого середовища. Вона допомагая сформувати в учнів життєво важливі основи технологічних знань і вмінь залучити їх до різних видів практичної діяльності з...
52695. Новое время: встреча Америки и Европы. 4-й класс 44 KB
  – Зачем люди отправлялись в путешествия ответы детей– Что вы знаете об открытии Америки ответы детей слайд 1 см. На пути Колумба оказалась земля которую он принял за Индию слайд 2. Фернан Магеллан был португальцем слайд 3. Даниэль Дефо 1660–1731 написал знаменитый приключенческий роман “Жизнь и удивительные приключения Робинзона Крузо†восславивший труд и волю к жизни слайд 4.
52696. Венерические болезни и меры профилактики 31.5 KB
  Проблемное обучение Тема: Венерические болезни и меры профилактики. Цель: сформировать понятия венерические болезни гонорея сифилис генитальный герпес знание мер профилактики симптомов возбудителей болезни. Планируемый результат: знать понятия венерические болезни гонорея сифилис генитальный герпес знание мер профилактики симптомов возбудителей болезни. На всем Земном шаре люди сталкиваются независимо от их желания с такой проблемой как венерические болезни а столкнувшись с ней не очень компетентны в данной области.