23024

Оптимізаційні методи моделювання неперервних початково-крайових умов

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розвязання. Ці задачі поставлені та розвязані в лекції 5.1 де узагальнена векторфункція зовнішньодинамічних факторів які моделюються вектор значень моделюючих функцій та а матрична функція яка через функцію Гріна повязана зі специфікою розвязуваної задачі. Позначивши через множину точок дискретизації моделюючих функцій керуючої функції та враховуючи помилки в розвязанні задачі моделювання що визначається величиною 10.

Русский

2013-08-04

475.5 KB

1 чел.

81

 Стоян В.А.

Лекція 10. Оптимізаційні методи моделювання  неперервних початково-крайових умов

10.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянуті в попередніх двох лекціях методи дозволяють оптимізувати вибір точок спостереження за зовнішньо-динамічними факторами системи (зовнішньо-динамічні збурення, початкові та крайові умови) при моделюванні їх дискретними та неперервними по просторово-часових координатах моделюючими функціями та . Це у випадку, коли зовнішньо-динамічні фактори, які підлягають моделюванню, дискретизовані. Однак, як відзначалося в п.5.1, цікавими і потрібними є постановки задач, коли зовнішньо-динамічні фактори системи при їх моделюванні залишаються неперервними. Ці задачі поставлені та розв’язані в лекції 5.

Розв’язки таких задач, або найкраще середньоквадратичне наближення до них, знаходилися при оберненні наступної системи функціональних співвідношень

           (10.1)

де - узагальнена вектор-функція зовнішньо-динамічних факторів, які моделюються, - вектор значень моделюючих функцій  та , а - матрична функція, яка через функцію Гріна пов’язана зі специфікою розв’язуваної задачі. Вигляд цієї функції та її розмірність визначаються вибором точок, в яких діють керувачі та моделюючі функції.

Позначивши через множину точок дискретизації моделюючих функцій  керуючої функції  та враховуючи помилки в розв’язанні задачі моделювання, що визначається величиною

         (10.2)

розписаною згідно (7.16) в п.7.3, ставиться задача мінімізації цих помилок.

Описані в 7.5 градієнтні методи розв’язання задачі

            (10.3)

можуть бути реалізовані за умови, коли будуть побудовані зручні для використання аналітичні формули обчислення похідних від матричної функції  по координатах  керувачів – координатах, якими визначається розмірність та структура вектора  і пов’язаного з ним  матричного рядка-функції

Нижче, з використанням узагальнень формул Гревіля, будуть запропоновані варіанти побудови аналітичних залежностей  від , а отже і обчислення похідних .

10.2. Формули Гревіля для матричних рядків-функцій. Як і в п.5.2 лекції 5, в якій будувався загальний розв’язок системи вигляду (10.1), розглянемо спочатку дискретизовані варіанти системи, подані співвідношеннями (5.14), а саме

          (10.4)

де - точки дискретизації координати

Позначивши через - крок дискретизації інтервалу (області) зміни змінної , як і в п.5.2, введемо до розгляду матричний стовпець-функцію дискретного аргументу

 

такий, що

         (10.5)

Зауважимо, що як і при роботі з матричними вектор-функціями  (лекція 9), функції  та  залежать неявно від множини точок . Залежність ця розуміється і тимчасово не вказується для спрощення записів та викладок, але буде вказана при побудові розрахункових формул для задач оптимізації вибору точок .

Враховуючи, що процес побудови та дослідження загального розв’язку задачі обернення співвідношень (10.1) будувався з використанням розв’язку задачі  для дискретизованого аналогу (10.4) цих співвідношень, а також того факту, що явну залежність псевдооберненої матриці від своїх параметрів ми отримали з використанням формули Гревіля, розглянемо варіанти узагальнення цієї формули на матричний стовпець-функцію  дискретного аргументу .

Розширюючи кожну з - вимірних матриць  - вимірним стовпцем  застосуємо формулу Гревіля (8.2) до матричного стовпця

        (10.6)

Виходячи зі структури формули Гревіля (8.11) для прямокутної матриці C розширеної стовпцем a позначимо через

                              (10.7)

Після чого, виходячи з (8.11), (8.12), маємо:

 

.                   (10.8)

Звідки, позначивши через

для елементів  отримаємо:

  (10.9)

де ,

а інші позначення відповідають прийнятим в (10.7).

Для переходу до неперервного випадку будемо виходити із співвідношення (10.9), розглядаючи їх при

Враховуючи, що по аналогії з (10.5)

 

з (10.9) отримаємо:

     (10.10)

де тепер

 

       (10.11)

  

Зауважимо, що область інтегрування в (10.11) залежить від постановки задачі моделювання. Область тут не конкретизується, оскільки відсутня конкретизація задачі і при записі рівнянь (10.1).

10.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення керувачів у задачі моделювання початково-крайових умов. Для реалізації описаної в п.7.5 градієнтної процедури оптимізації розміщення керувачів, координати яких визначаються значеннями  , будемо виходити з того, що координати ці впливають на розв’язок задачі через рядок-функцію , що і відобразимо, перепозначивши  далі  на . Врахуємо також, що залежність цієї вектор-функції від координати  визначається її k- им елементом , де - матрична функція Гріна розглядуваної задачі. Проблему диференціювання  по  розв’яжемо, якщо буде явна залежність цього вектор-рядка  від .

Для розв’язання поставленої проблеми застосуємо узагальнену формулу Гревіля (10.10) до матричної функції

де - матричний рядок-функція  без -го елемента, - цей елемент, а, як і вище,

При цьому

     (10.12)

де

  (10.13)

      (10.14)

                               (10.15)

 

Позначивши через  елементи матричного стовпця , з врахуванням того, що  

з (10.12)-(10.15) знаходимо:

при

при

при

при   

де  - - елемент матричного стовпця

Тобто і для матричного стовпця-функції   побудовані аналітичні формули диференціювання по координатах  керувачів. А це дозволяє практично реалізувати градієнтні процедури оптимізації розміщення керувачів розглядуваної системи згідно критерію (7.9),(7.18),(7.19), а саме:

де - множина псевдорозв’язків відповідної задачі моделювання.

80

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30402. Переход от феодальной к индустриальной цивилизации на истор. Примере 43.19 KB
  Формируется новая система представлений о предназначении и роли человека. Подъем производительных сил уровня материального производства связанный с успехами городов развитием ремесел и зарождением мануфактуры расширением внутренних и международных торговых связей вызвал к жизни потребность в новой идеологии новом отношении человека к самому себе и окружающему миру. Гуманисты эпохи Возрождения провозглашали что ценность человека определяется прежде всего его личными достоинствами а не положением в обществе. Одним из высших достоинств...
30403. Переход к локальной цивилизации в реликтовую фазу на историческом примере 40.1 KB
  Переход к локальной цивилизации в реликтовую фазу на историческом примере Наиболее характерным примером реликтовой цивилизации является остров Пасхи. Поэтому вся древесина ушла на удобрения и статуи задолго до конца цивилизации лишая население шанса покинуть остров каноэ из дерева. В ходе этих действий была разрушена политическая и духовная жизнь цивилизации. Вывод: гибель цивилизации о.
30404. Понятие «цивилизация». Развитие подходов к толкованию термина, история возникновения цивилизационной теории 44.96 KB
  Понятие цивилизация. а Понятие цивилизация Слово цивилизация связано с обозначением качественного рубежа в истории человечества. Понятие цивилизация впервые употребил французский экономист Виктор Мирабо 17151789 в трактате Друг законов в 1757 г. б Развитие подходов к толкованию термина В античные времена цивилизация в лице греческого и римского мира противопоставлялась варварам не владеющим греческим и латинским языками не знающим греческой и римской культуры.
30405. Цивилизационный и формационный подходы к толкованию термина: сходства и различия 73 KB
  Большее внимание уделяется внутреннему миру человека и общественному сознанию при этом сохраняется определяющее значение экономики в развитии человеческой цивилизации Формационный метод позволяет вывести общий закон исторического развития человеческого сообщества и отметить общие черты общественных укладов разных стран и разных народов находящихся на одной исторической ступени живущих при одном общественном строе. Формационный метод не раскрывает особенностей культур и исторических путей народов и других социальных общностей. В пределах...
30406. Цивилизационный и формационный подходы к изучению истории: сходства и различия 35.05 KB
  Формационный подход принцип единства исторического процесса. общественноэкономические формации общество находящееся на определенной ступени исторического развития общество со своеобразными отличительными характеристиками человечество в своем историческом развитии проходит пять основных стадий формаций: первобытнообщинную рабовладельческую феодальную капиталистическую и коммунистическую. однолинейный характер исторического развития некоторые страны не укладываются в эту схему чередования пяти формаций создает определенные...
30407. Структура цивилизации, ее основные элементы 42.35 KB
  Структура цивилизации ее основные элементы ОБЩЕСТВЕННОЕ СОЗНАНИЕ ДУХОВНЫЙ МИР наука культура образование мораль идеология религия СОЦИАЛЬНОПОЛИТИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ социальные национальные политические государственные правовые ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПРОИЗВОДСТВА структура воспроизводства формы собственности обмен распределение экономическое управление ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПРОИЗВОДСТВА средства труда источники энергии предметы труда природные ресурсы технологии организация производства ЧЕЛОВЕК СЕМЬЯ НАРОДОНАСЕЛЕНИЕ потребности способности...
30408. Неолитическая революция. Динамика развития цивилизации, этапы ее развития на историческом примере 33.35 KB
  Падают темпы роста производительности общественного труда разражается новый кризис завершающий фазу зрелости. В основе прогресса лежали ступени общественного разделения труда сделавшие возможным производство прибавочного продукта. Выделение скотоводов и земледельцев →новые орудия труда обмен продуктами труда. Признаки кризиса: недостаток орудий труда зависимость от источников сырья падение производительности труда и численности населения сложившаяся система экономических отношений не удовлетворяла запросы производителей...
30409. Переходный период цивилизаций: основные этапы и итоги 30.38 KB
  В духовной сфере зарождаются новые открытия экономические общественно-политические теории. Формируются новые технологии. Механизмы старой цивилизации рушатся а новые еще не установлены. Во время перехода на всех этажах пирамиды сталкиваются старые и новые.
30410. Переходный этап в развитии цивилизации на историческом примере перехода от неолитической к раннеклассовой 28.5 KB
  Переходный этап в развитии цивилизации на историческом примере Переходный период от неолитической к раннеклассовой глобальной цивилизации на примере древних обществ Междуречья Уже в 4тыс. Достижения неолитической цивилизации позволили шумерам увеличить свою численность а с конца 4 тыс.о к началу 3 тыс. В первой половине 3 тыс.