23025

Формули псевдообернення збурених матриць та їх місце в задачах моделювання динаміки систем з розподіленими параметрами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Будемо вважати що збурення матриці С виконується в загальному випадку по всіх елементах що спонукає працювати з матрицями СabT та СabT де для LMвимірної матриці С aRL bRM – вектори якими і визначається збурення матриці С а отже і системи вцілому. Тому дослідження змін матриць СabT та СabT в залежності від значень векторів а та b є актуальним. Якщо при роботі з матрицею СabT проблем немає – залежності від а та b тут явні то для матриці СabT потрібні зручні та ефективні методи та засоби обчислення...

Русский

2013-08-04

463.5 KB

0 чел.

90

 Стоян В.А.

Лекція 11. Формули псевдообернення збурених матриць та їх місце в задачах моделювання динаміки систем з розподіленими параметрами

11.1. Дискретизований варіант задачі динаміки збурених систем. Розглянуті вище постановки та розв’язки задач моделювання динаміки систем з розподіленими параметрами мали на увазі, що фізико-технічні характеристики системи незмінні. В силу цього незмінними вважалися і характеристики моделі. Це і структура моделі, і структура та властивості її входів-виходів.

Однак в реальному житті деякі характеристики моделі та їх входів-виходів можуть зазнавати невеликих змін – збурень (випадкових, або детермінованих ). Зміни ці з врахуванням прийнятих тут методів моделювання впливають на матричну функцію Гріна, на визначені нею значення елементів матриць та матричних рядків (стовпців)-функцій. Потрібні тому формули, які дозволяли б легко врахувати ці впливи на характеристики моделі та розвязок задач.

Для початку обмежимося  дискретизованим варіантом моделі системи, коли матрична функція Гріна дискретизована як по штрихованих, так і по нештрихованих координатах. В цьому випадку модель системи визначається прямокутною матрицею С, а розв’язок та дослідження моделі пов’язані з матрицею С+ - псевдооберненною до С.

Будемо вважати, що збурення матриці С виконується ( в загальному випадку) по всіх елементах, що спонукає працювати з матрицями (С+abT) та (С+abT)+ , де для (LM)-вимірної матриці С, aRL, bRMвектори, якими і визначається збурення матриці С, а отже і системи вцілому.

Якщо пригадати структуру інтегральної форми моделі та вникнути в її дискретизований варіант, то стає зрозумілим, що матриця аеіТ ( і=) описує збурення і-го входу системи, а матриця еіbT ( і=)- її і-го виходу. Набір же матриць аеіТ та еіbT дозволяє накрити всі входи-виходи системи. Тому дослідження змін матриць    (С+abT) та (С+abT)+ в залежності від значень векторів а та b є актуальним.

Якщо при роботі з матрицею (С+abT) проблем немає – залежності від а та b тут явні, то для матриці (С+abT)+ потрібні зручні та ефективні методи та засоби обчислення впливів а та b на зміст її елементів.

Нижче ми наведемо формули якими задається аналітична залежність

                           (С+abT)+=f(C,C+,a,b)                                         (11.1)

для різних випадків та варіантів збурень. Варіанти ці пов’язані з лінійною залежністю (незалежністю) векторів а та b з вектор-стовцями (рядками) матриці С, яка визначається значеннями aTZ(CT)a та bTZ(C)b, де Z(CT)=IL-CC+ та Z(C)=IM-C+C – проекційні оператори на лінійні оболонки натягнені на вектор-стовпці та вектор-рядки матриці С. Формули ці були побудовані М.Ф. Кириченком. Ми наведемо їх нижче без доведення, орієнтуючись більше на використанні формул для  розв’язання розглядуваних нами задач.

              11.2. Формули обернення збурених матриць.

1. Якщото

;       (11.2)

2. Якщо , то

      (11.3)

де

;

3. Якщо  , то

,                   (11.4)

де ;

4. Якщо , то

.        (11.5)

11.3. Проблеми дослідження систем з розподіленими параметрами при динамічних збуреннях їх користувачів-спостерігачів. Крім розглянутого вище дискретизованого випадку систем з розподіленими параметрами при моделюванні їх зовнішньо-динамічних факторів розглядалися випадки, коли дискретні спостереження та керування системою комбінувалися з неперервними. Інтегральні моделі та розв’язки задач динаміки таких систем будувалися (див. п. 4.1, 5.1) з використанням матричних стовпців

A(s/)=col(G(si-s/), i=),                                               (11.6)

матричних рядків

B(s)=str(G(s-si), i=),                                               (11.7)

та їх обернень

[A(s)](+)=str(),                                          (11.8)

[B(s)](+)=col().

Враховуючи, що елементи матричних вектор-функцій A(s/) та B(s) відповідають конкретним спостерігачам  та керувачам, а також те, що ці спостерігачі-керувачі можуть мати певні флюктуації (збурення) є сенс узагальнити на матричний рядок

[A(s)+abT(s)](+)  (aRL; b(s)RM )

та матричний стовпець

[B(s)+a(s)bT](+)  (a(s)RL ; bRM)

наведені вище формули обернення  збурених прямокутних матриць.

Це дозволило б побудувати аналітичні залежності

[A(s)+abT(s)](+)=fA(A(s),[A(s)](+),a,b(s));

[B(s)+a(s)bT](+)=fB(B(s),[B(s)](+),a(s),b),

а отже і виконати дослідження розглядуваних систем при флюктуаціях (збуреннях)  певних спостерігачів та певних керувачів.

11.4. Формули псевдообернення збурених матричних стовпців-функцій. Для поширення  співвідношень (11.2)-(11.5) на матричний стовпець-функцію (11.6) виконаємо це розглядаючи спочатку для матричного стовпця-функції дискретного аргументу

,

збуреного матричним рядком-функцією

,

де , як і в п.9.2, sN крок дискретизації інтервалу (області) зміни неперервного аргументу s, b(s) є RM   для довільного s із заданої області, а

A1(i)=A(si); bi(i)=b(si)            (i=);

;  ;                     (11.9)

; .

З врахуванням спільності у формулах (11.2)-(11.5) введемо до розгляду наступні скорочені позначення :

a=aTZ((·))a ;      b= (·)Z(A1(·))b1(·);

a=aTR( (·))a ;      b=(·)R(A1(·))b1(·);       (11.10)

             Ab=A1(·)b1(·); =(·)(·);  P=A1(·)(·).

Після чого формули (11.2)-(11.5) стосовно А1(·) запишемо у вигдяді:

а) якщо a>0; b>0, то

[A1(·)+(·)]+=(·)P+(·)P+aaTZ(P)(b1(·)–

              –(·)P+Ab)P++aTZ(P)(1+

            +AbTP+a);                                                                      (11.11)

б) якщо a=0; b>0, то

[+]+=

де

1(·)=col((1),…,(N))=P+a–(b(·)–P+Ab)(1+P+a)

векторний стовпець такий, що

1(k)=(k)=AT(k)P+a–(b(k)–AT(k)P+Ab)(1+P+a);

=;

b=;

в) якщо a=b=0, P+a= –1, то

[+]+=P+–P+aaTP+PP+–         

–P+P+AbP++

+P+aP+P+P+PP+a;                         (11.13)

г) якщо a=b=0, P+a –1, то

[+]+=P+–.                     (11.14)

Позначивши через

             [A1(·)+ab1(·)]+=col([A(si)+abT(si)](+) , i=)()-1;

              [A1(·)]+=col([A(si)](+), i=)()-1,

де

              [A(si)](+)=AT(si)P+; P= для і=,

з (11.11)-(11.14) знаходимо:

а) якщо a>0, b>0, то

[A(si)+abT(si)](+)=AT(si)P+AT(si)P+aaTZ(P)

(b(si)AT(si)P+Ab)P++(b(si)

AT(si)P+Ab)aTZ(P)(1+P+a);                                       (11.15)

б)якщо а=0, b>0 , то

[A(si)+abT(si)](+)=+

+– 

                             (11.16)

+,

де (·)=((s1),…,(sN))T=P+a(b1(·)P+Ab)(1+P+a)

векторний стовпець такий, що

1(i)=(si)=AT(si)P+a(b(si)AT(si)P+Ab)(1+P+a);

AT=;

b=;  ;

в) якщо а=b=0; P+a=1, то

[A(si)+abT(si)](+)=AT(si)P+AT(si)P+aaTP+PP+

AT(si)P+P+AbAbTP++AT(si)P+aP+P+PP+a;          (11.17)

г) якщо a=b=0;  1, то

[A(si)+abT(si)](+)=AT(si)P+.                (11.18)

Тут впродовж (11.5)-(11.18)

a=aT(ILP+P)a;             b=;     (11.19)

a=aTP+PP+a;                     b=AbTP+P+Ab;

Ab=; AbT=; P=.

При N з (11.15) – (11.18) з врахуванням (11.19) та того, що згідно (11.19)

для [A(s)+abT(s)](+) знаходимо:

а) якщо a>0, b>0, то

[A(s)+abT(s)](+)=AT(s)P+[A(s)]TP+aaTZ(P)–

(b(s)[A(s)]TP+Ab)P++(b(s)–

–[A(s)]TP+Ab)aTZ(P)(1+);                           (11.20)

б) якщо a=0, b>0, то

[A(s)+abT(s)](+)=

(11.21)

де

k(s)=[A(s)]TP+a–(b(s)–[A(s)]TP+Ab)(1+P+a);

=;

bk=;

в) якщо а=b=0; Pa= –1, то

[A(s)+abT(s)](+)=AT(s)P+[A(s)]TP+aaTP+PP+

[A(s)]TP+P+AbP++

+[A(s)]TP+aP+P+P+PP+a;                       (11.22)

г) якщо a=b=0; P+a= –1, то

[A(s)+abT(s)](+)=AT(s)P+ ,                     (11.23)

де тепер         

a=aT(IL-P+P)a;             b=||b(s)||2-AbTP+Ab;

a=aTP+PP+a;              b=P+P+Ab;                            (11.24)

Ab=b(s)ds;            AbT=[A(s)]Tds;

P=AT(s)ds

(границі інтегрування визначаються конкретною підстановкою задачі).

11.5. Формули псевдообернення збурених матричних рядків-функцій. Аналогічно розглянутому вище виконаємо поширення співвідношень (11.2)-(11.5) на матричний рядок-функцію [B(s)+a(s)bТ]. Як це було зроблено для матричного стовпця-функції [А(s)+abТ(s)], розглянемо спочатку матричну вектор-функцію дискретного аргументу

B1(·)=col(B(si))

збурену матричною вектор-функцією

a1(·)bT=col(a(si)bT, ),

де для a(s)RL та довільного s із заданої області

B1(i)=B(si)sN;     a1(i)=a(si)    

Для зручного запису співвідношень (11.2)-(11.5) стосовно матричного рядка-функції  [B1(·)+a1(·)bT]+ введемо до розгляду наступні скорочені позначення:

a=(·)Z((·))a1(·);            b= bTZ(B1(·))b;

a= (·)R((·))a1(·);            b= bTR(B1(·))b;

Ba=(·)a1(·);        =(·)B1(·);            P=(·)B1(·).

Після чого формули (11.2)-(11.5) стосовно B1(·) запишемо у вигляді :

а) якщо а>0, b>0, то

[B1(·)+a1(·)bT]+=(·)P+Ba((·)P+(·))

Z(P)bbTP+(·)+Z(P)b((·)

P+(·))(1+bTP+Ba);                                                      (11.25)

б) якщо а=0, b>0, то

[B1(·)+a1(·)bT]+=                                        (11.26)

,      

де =P+BaZ(P)b(1+bTP+Ba);

в) якщо а=b=0,   bTP+Ba=1, то

[B1(·)+a1(·)bT]+=P+BaP+P+(·)

P+PP+bbTP+(·)+P+BabTP+(·)bTP+PP+P+Ba;    (11.27)

г) якщо а=b=0,   bTP+Ba1, то

[B1(·)+a1(·)bT]+= (·) –.                      (11.28)

Позначивши через

[B1(·)+a1(·)bT]+=([B(si)+a(si)bT](+), i=)()-1;

[B1(·)]+=([B(si)](+), i=)()-1,

де [B(si)](+)= P+BT(si), для , з (11.25)-(11.28) знаходимо:

а) якщо а>0, b>0, то

 [B(si)+a(si)bT]+=P+BT(si) P+Ba(aT(si)P+BT(si))           (11.29)

–-Z(P)bbTP+ BT(si)+Z(P)b(aT(si)– P+BT(si))(1+bTP+Ba); 

б) якщо а=0, b>0, то

[B(si)+a(si)bT]+=

                   (11.30)

де =P+Ba-Z(P)b(1+bTP+Ba);

в) якщо a=b=0, bTP+Ba=1 , то

[B(si)+a(si)bT]+=P+BT(si) P+BaP+P+BT(si)      

 P+PP+bbTP+BT(si)+P+BabTP+BT(si)bTP+PP+P+Ba;   (11.31)

г) якщо a=b=0, bTP+Ba1 , то

[B(si)+a(si)bT]+=P+BT(si)–.                   (11.32)

Тут впродовж (11.29)-(11.32)

b=bT(IM-P+P)b;              a=   

b=bTP+PP+b;                a=P+PBa;

Ba=         =              (11.33)

P=

При  з(11.29)-(11.32) з врахуванням (11.33) та того, що згідно (11.24)

       

       

для [B(s)+a(s)bT] (+) знаходимо

а) якщо a>0, b>0, то               

 [B(s)+a(s)bT](+)= P+BT(s)– P+Ba[aT(s)–BTP+BT(s)]–             (11.34)

 –Z(P)bbT P+BT(s)+ Z(P)b(aT(s)–P+BT(s))(1+bTP+Ba);  

б) якщо а=0, b>0, то

[B(s)+a(s)bT](+)=

                       (11.35)

де k= P+BaZ(P)b(1+bTP+Ba);

в) якщо a=b=0, bTP+Ba=1 , то

[B(s)+ a(s)bT](+)=P+BT(s)–P+BaP+P+BT(s) 

 –P+PP+bbT P+BT(s)+P+BabTP+BT(s)bTP+PP+Ba;      (11.36)

г) якщо a=b=0, bTP+Ba 1 , то

[B(s)+a(s)bT](+)=P+BT(s) ,                   (11.37)

де тепер

b=bT(IM-P+P)b;                   a=;

b=bTP+PP+b;             a=P+P+Ba;

Ba=             =

P=               

(границі інтегрування визначаються конкретною постановкою задачі).

91

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29383. Этапы работы над литературным произведением в начальных классах 61 KB
  Этапы работы над литературным произведением в начальных классах Основываясь на литературоведческих закономерностях построения художественного произведения на психологии восприятия художественного произведения младшими школьниками а так же на собственно методических положениях о чтении художественного произведения в начальных классах современная методика чтения выделяет следующие этапы работы над художественным текстом: подготовка к восприятию художественного произведения первичное восприятие проверка первичного восприятия анализ...
29384. Научно-методические принципы изучения литературных произведений в начальных классах 50.5 KB
  Принцип целенаправленности Этот принцип гласит: изучение произведения в том числе и его анализ должны быть целенаправленным. Изучение произведения в начальной школе всегда преследует две группы целей. 1 Коррекция субъективного первичного восприятия произведения объективным смыслом текста углубление восприятия прочитанного постижение художественной идеи и авторской позиции – полноценное восприятие художественного текста. 1 Основная цель каждого урока литературы – освоение художественной идеи произведения.
29385. Методика чтения и изучения эпических произведений. Модель урока литературного чтения по изучению рассказа (сказки) 35.5 KB
  Модель урока литературного чтения по изучению рассказа сказки Эпос – один из трёх родов литературы повествовательный род. Их захватывает острый занимательный сюжет сказок необычность обстановки в которой развертываются события; привлекают герои смелые сильные находчивые удалые люди; сказки подкупают своей идейной направленностью: добрые силы всегда побеждают. Сила воздействия образов и сюжета сказки такова что младшие школьники уже в процессе первого чтения ярко проявляют свои симпатии и антипатии к персонажам сказок всецело...
29386. Методика чтения и изучения лирических произведений. Модель урока литературного чтения по изучению стихотворения 42 KB
  Модель урока литературного чтения по изучению стихотворения. В книгах для чтения Родная речь представлены эпические и лирические стихотворения. Анализ эпического стихотворения направлен на выяснение сюжета раскрытие особенностей действующих лиц идеи произведения его художественного своеобразия. В эпических стихотворениях часто используется диалог что позволяет автору живо описать событие как бы включить самого читателя в круг описываемых событий.
29387. Современные концепции начального литературного образования 33 KB
  приоритетная задача курса углубление интереса к чтению и литературе осознанию учеником значения читательской деятельности как средства успешности обучения и развития человека формирование умений работать с произведениями разного жанра вида и стиля; расширение круга классических и современных произведений при литературном анализе которых особое внимание уделяется сравнению произведений разных авторов жанров и тематики а также моделирующей деятельности учащихся; частью курса является Литературное слушание идея которой – в...
29388. Пропедевтический этап в системе литературного образования школьников 49 KB
  Важнейшей особенностью предмета является формирование и развитие навыка чтения а также таких качественных характеристик чтения как сознательность и выразительность. Развитие навыка чтения предполагает на первом году обучения становление механизма чтения овладение слоговым и комбинированным способами чтения; на втором году обучения – интенсивное овладение способом чтения целыми словами наращивание темпа чтения освоение способа чтения молча; на третьем году обучения – становление способа чтения целыми словами в темпе соответствующем...
29389. Принципы построения учебных книг по литературному чтению: традиционное и инновационное. Детские книги как особый учебный материал для формирования читателя 23 KB
  Эту функцию выполняет учебник. Учебник рассматривает текст как информационное поле на котором состоится встреча автора и читателя. Типы книг для начальной школы: Обязательные: учебник хрестоматия учебникхрестоматия Факультативные: справочник энциклопедия словари рабочие тетради Принципы организации учебника: тематический по темам жанровый стихи рассказы сезонный Виды вопросов и заданий в учебниках: до текста и после текста репродуктивные на выявление первичного восприятия на анализ на синтез продуктивные...
29390. Урок литературного чтения и его особенности. Моделирование урока литературного чтения в логике одной из образовательных программ (на примере одного литературного произведения) 57 KB
  Урок литературного чтения и его особенности. Моделирование урока литературного чтения в логике одной из образовательных программ на примере одного литературного произведения Современный урок литературного чтения имеет свои особенности: Каждый урок рассматривается как часть более широкой системы литературное развитие школьника Урок – это этап в изучении литературного произведения Урок – это художественнопедагогическое целое содержание форма уока будет определяться жанром и особенностями произведения а так же художественным миром...
29391. Конструктивное исполнение электрооборудования в НГП 30 KB
  Конструктивное исполнение электрооборудования в НГП должно соответствовать условиям его эксплуатации. исполнение характеризуется тем что электродвигатели имеют специальные приспособления крышки кожухи сетки. Водозащищенное IP55 IP56 исполнение электродвигатели недоступны проникновению внутрь струй воды любого направления.