23025

Формули псевдообернення збурених матриць та їх місце в задачах моделювання динаміки систем з розподіленими параметрами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Будемо вважати що збурення матриці С виконується в загальному випадку по всіх елементах що спонукає працювати з матрицями СabT та СabT де для LMвимірної матриці С aRL bRM – вектори якими і визначається збурення матриці С а отже і системи вцілому. Тому дослідження змін матриць СabT та СabT в залежності від значень векторів а та b є актуальним. Якщо при роботі з матрицею СabT проблем немає – залежності від а та b тут явні то для матриці СabT потрібні зручні та ефективні методи та засоби обчислення...

Русский

2013-08-04

463.5 KB

0 чел.

90

 Стоян В.А.

Лекція 11. Формули псевдообернення збурених матриць та їх місце в задачах моделювання динаміки систем з розподіленими параметрами

11.1. Дискретизований варіант задачі динаміки збурених систем. Розглянуті вище постановки та розв’язки задач моделювання динаміки систем з розподіленими параметрами мали на увазі, що фізико-технічні характеристики системи незмінні. В силу цього незмінними вважалися і характеристики моделі. Це і структура моделі, і структура та властивості її входів-виходів.

Однак в реальному житті деякі характеристики моделі та їх входів-виходів можуть зазнавати невеликих змін – збурень (випадкових, або детермінованих ). Зміни ці з врахуванням прийнятих тут методів моделювання впливають на матричну функцію Гріна, на визначені нею значення елементів матриць та матричних рядків (стовпців)-функцій. Потрібні тому формули, які дозволяли б легко врахувати ці впливи на характеристики моделі та розвязок задач.

Для початку обмежимося  дискретизованим варіантом моделі системи, коли матрична функція Гріна дискретизована як по штрихованих, так і по нештрихованих координатах. В цьому випадку модель системи визначається прямокутною матрицею С, а розв’язок та дослідження моделі пов’язані з матрицею С+ - псевдооберненною до С.

Будемо вважати, що збурення матриці С виконується ( в загальному випадку) по всіх елементах, що спонукає працювати з матрицями (С+abT) та (С+abT)+ , де для (LM)-вимірної матриці С, aRL, bRMвектори, якими і визначається збурення матриці С, а отже і системи вцілому.

Якщо пригадати структуру інтегральної форми моделі та вникнути в її дискретизований варіант, то стає зрозумілим, що матриця аеіТ ( і=) описує збурення і-го входу системи, а матриця еіbT ( і=)- її і-го виходу. Набір же матриць аеіТ та еіbT дозволяє накрити всі входи-виходи системи. Тому дослідження змін матриць    (С+abT) та (С+abT)+ в залежності від значень векторів а та b є актуальним.

Якщо при роботі з матрицею (С+abT) проблем немає – залежності від а та b тут явні, то для матриці (С+abT)+ потрібні зручні та ефективні методи та засоби обчислення впливів а та b на зміст її елементів.

Нижче ми наведемо формули якими задається аналітична залежність

                           (С+abT)+=f(C,C+,a,b)                                         (11.1)

для різних випадків та варіантів збурень. Варіанти ці пов’язані з лінійною залежністю (незалежністю) векторів а та b з вектор-стовцями (рядками) матриці С, яка визначається значеннями aTZ(CT)a та bTZ(C)b, де Z(CT)=IL-CC+ та Z(C)=IM-C+C – проекційні оператори на лінійні оболонки натягнені на вектор-стовпці та вектор-рядки матриці С. Формули ці були побудовані М.Ф. Кириченком. Ми наведемо їх нижче без доведення, орієнтуючись більше на використанні формул для  розв’язання розглядуваних нами задач.

              11.2. Формули обернення збурених матриць.

1. Якщото

;       (11.2)

2. Якщо , то

      (11.3)

де

;

3. Якщо  , то

,                   (11.4)

де ;

4. Якщо , то

.        (11.5)

11.3. Проблеми дослідження систем з розподіленими параметрами при динамічних збуреннях їх користувачів-спостерігачів. Крім розглянутого вище дискретизованого випадку систем з розподіленими параметрами при моделюванні їх зовнішньо-динамічних факторів розглядалися випадки, коли дискретні спостереження та керування системою комбінувалися з неперервними. Інтегральні моделі та розв’язки задач динаміки таких систем будувалися (див. п. 4.1, 5.1) з використанням матричних стовпців

A(s/)=col(G(si-s/), i=),                                               (11.6)

матричних рядків

B(s)=str(G(s-si), i=),                                               (11.7)

та їх обернень

[A(s)](+)=str(),                                          (11.8)

[B(s)](+)=col().

Враховуючи, що елементи матричних вектор-функцій A(s/) та B(s) відповідають конкретним спостерігачам  та керувачам, а також те, що ці спостерігачі-керувачі можуть мати певні флюктуації (збурення) є сенс узагальнити на матричний рядок

[A(s)+abT(s)](+)  (aRL; b(s)RM )

та матричний стовпець

[B(s)+a(s)bT](+)  (a(s)RL ; bRM)

наведені вище формули обернення  збурених прямокутних матриць.

Це дозволило б побудувати аналітичні залежності

[A(s)+abT(s)](+)=fA(A(s),[A(s)](+),a,b(s));

[B(s)+a(s)bT](+)=fB(B(s),[B(s)](+),a(s),b),

а отже і виконати дослідження розглядуваних систем при флюктуаціях (збуреннях)  певних спостерігачів та певних керувачів.

11.4. Формули псевдообернення збурених матричних стовпців-функцій. Для поширення  співвідношень (11.2)-(11.5) на матричний стовпець-функцію (11.6) виконаємо це розглядаючи спочатку для матричного стовпця-функції дискретного аргументу

,

збуреного матричним рядком-функцією

,

де , як і в п.9.2, sN крок дискретизації інтервалу (області) зміни неперервного аргументу s, b(s) є RM   для довільного s із заданої області, а

A1(i)=A(si); bi(i)=b(si)            (i=);

;  ;                     (11.9)

; .

З врахуванням спільності у формулах (11.2)-(11.5) введемо до розгляду наступні скорочені позначення :

a=aTZ((·))a ;      b= (·)Z(A1(·))b1(·);

a=aTR( (·))a ;      b=(·)R(A1(·))b1(·);       (11.10)

             Ab=A1(·)b1(·); =(·)(·);  P=A1(·)(·).

Після чого формули (11.2)-(11.5) стосовно А1(·) запишемо у вигдяді:

а) якщо a>0; b>0, то

[A1(·)+(·)]+=(·)P+(·)P+aaTZ(P)(b1(·)–

              –(·)P+Ab)P++aTZ(P)(1+

            +AbTP+a);                                                                      (11.11)

б) якщо a=0; b>0, то

[+]+=

де

1(·)=col((1),…,(N))=P+a–(b(·)–P+Ab)(1+P+a)

векторний стовпець такий, що

1(k)=(k)=AT(k)P+a–(b(k)–AT(k)P+Ab)(1+P+a);

=;

b=;

в) якщо a=b=0, P+a= –1, то

[+]+=P+–P+aaTP+PP+–         

–P+P+AbP++

+P+aP+P+P+PP+a;                         (11.13)

г) якщо a=b=0, P+a –1, то

[+]+=P+–.                     (11.14)

Позначивши через

             [A1(·)+ab1(·)]+=col([A(si)+abT(si)](+) , i=)()-1;

              [A1(·)]+=col([A(si)](+), i=)()-1,

де

              [A(si)](+)=AT(si)P+; P= для і=,

з (11.11)-(11.14) знаходимо:

а) якщо a>0, b>0, то

[A(si)+abT(si)](+)=AT(si)P+AT(si)P+aaTZ(P)

(b(si)AT(si)P+Ab)P++(b(si)

AT(si)P+Ab)aTZ(P)(1+P+a);                                       (11.15)

б)якщо а=0, b>0 , то

[A(si)+abT(si)](+)=+

+– 

                             (11.16)

+,

де (·)=((s1),…,(sN))T=P+a(b1(·)P+Ab)(1+P+a)

векторний стовпець такий, що

1(i)=(si)=AT(si)P+a(b(si)AT(si)P+Ab)(1+P+a);

AT=;

b=;  ;

в) якщо а=b=0; P+a=1, то

[A(si)+abT(si)](+)=AT(si)P+AT(si)P+aaTP+PP+

AT(si)P+P+AbAbTP++AT(si)P+aP+P+PP+a;          (11.17)

г) якщо a=b=0;  1, то

[A(si)+abT(si)](+)=AT(si)P+.                (11.18)

Тут впродовж (11.5)-(11.18)

a=aT(ILP+P)a;             b=;     (11.19)

a=aTP+PP+a;                     b=AbTP+P+Ab;

Ab=; AbT=; P=.

При N з (11.15) – (11.18) з врахуванням (11.19) та того, що згідно (11.19)

для [A(s)+abT(s)](+) знаходимо:

а) якщо a>0, b>0, то

[A(s)+abT(s)](+)=AT(s)P+[A(s)]TP+aaTZ(P)–

(b(s)[A(s)]TP+Ab)P++(b(s)–

–[A(s)]TP+Ab)aTZ(P)(1+);                           (11.20)

б) якщо a=0, b>0, то

[A(s)+abT(s)](+)=

(11.21)

де

k(s)=[A(s)]TP+a–(b(s)–[A(s)]TP+Ab)(1+P+a);

=;

bk=;

в) якщо а=b=0; Pa= –1, то

[A(s)+abT(s)](+)=AT(s)P+[A(s)]TP+aaTP+PP+

[A(s)]TP+P+AbP++

+[A(s)]TP+aP+P+P+PP+a;                       (11.22)

г) якщо a=b=0; P+a= –1, то

[A(s)+abT(s)](+)=AT(s)P+ ,                     (11.23)

де тепер         

a=aT(IL-P+P)a;             b=||b(s)||2-AbTP+Ab;

a=aTP+PP+a;              b=P+P+Ab;                            (11.24)

Ab=b(s)ds;            AbT=[A(s)]Tds;

P=AT(s)ds

(границі інтегрування визначаються конкретною підстановкою задачі).

11.5. Формули псевдообернення збурених матричних рядків-функцій. Аналогічно розглянутому вище виконаємо поширення співвідношень (11.2)-(11.5) на матричний рядок-функцію [B(s)+a(s)bТ]. Як це було зроблено для матричного стовпця-функції [А(s)+abТ(s)], розглянемо спочатку матричну вектор-функцію дискретного аргументу

B1(·)=col(B(si))

збурену матричною вектор-функцією

a1(·)bT=col(a(si)bT, ),

де для a(s)RL та довільного s із заданої області

B1(i)=B(si)sN;     a1(i)=a(si)    

Для зручного запису співвідношень (11.2)-(11.5) стосовно матричного рядка-функції  [B1(·)+a1(·)bT]+ введемо до розгляду наступні скорочені позначення:

a=(·)Z((·))a1(·);            b= bTZ(B1(·))b;

a= (·)R((·))a1(·);            b= bTR(B1(·))b;

Ba=(·)a1(·);        =(·)B1(·);            P=(·)B1(·).

Після чого формули (11.2)-(11.5) стосовно B1(·) запишемо у вигляді :

а) якщо а>0, b>0, то

[B1(·)+a1(·)bT]+=(·)P+Ba((·)P+(·))

Z(P)bbTP+(·)+Z(P)b((·)

P+(·))(1+bTP+Ba);                                                      (11.25)

б) якщо а=0, b>0, то

[B1(·)+a1(·)bT]+=                                        (11.26)

,      

де =P+BaZ(P)b(1+bTP+Ba);

в) якщо а=b=0,   bTP+Ba=1, то

[B1(·)+a1(·)bT]+=P+BaP+P+(·)

P+PP+bbTP+(·)+P+BabTP+(·)bTP+PP+P+Ba;    (11.27)

г) якщо а=b=0,   bTP+Ba1, то

[B1(·)+a1(·)bT]+= (·) –.                      (11.28)

Позначивши через

[B1(·)+a1(·)bT]+=([B(si)+a(si)bT](+), i=)()-1;

[B1(·)]+=([B(si)](+), i=)()-1,

де [B(si)](+)= P+BT(si), для , з (11.25)-(11.28) знаходимо:

а) якщо а>0, b>0, то

 [B(si)+a(si)bT]+=P+BT(si) P+Ba(aT(si)P+BT(si))           (11.29)

–-Z(P)bbTP+ BT(si)+Z(P)b(aT(si)– P+BT(si))(1+bTP+Ba); 

б) якщо а=0, b>0, то

[B(si)+a(si)bT]+=

                   (11.30)

де =P+Ba-Z(P)b(1+bTP+Ba);

в) якщо a=b=0, bTP+Ba=1 , то

[B(si)+a(si)bT]+=P+BT(si) P+BaP+P+BT(si)      

 P+PP+bbTP+BT(si)+P+BabTP+BT(si)bTP+PP+P+Ba;   (11.31)

г) якщо a=b=0, bTP+Ba1 , то

[B(si)+a(si)bT]+=P+BT(si)–.                   (11.32)

Тут впродовж (11.29)-(11.32)

b=bT(IM-P+P)b;              a=   

b=bTP+PP+b;                a=P+PBa;

Ba=         =              (11.33)

P=

При  з(11.29)-(11.32) з врахуванням (11.33) та того, що згідно (11.24)

       

       

для [B(s)+a(s)bT] (+) знаходимо

а) якщо a>0, b>0, то               

 [B(s)+a(s)bT](+)= P+BT(s)– P+Ba[aT(s)–BTP+BT(s)]–             (11.34)

 –Z(P)bbT P+BT(s)+ Z(P)b(aT(s)–P+BT(s))(1+bTP+Ba);  

б) якщо а=0, b>0, то

[B(s)+a(s)bT](+)=

                       (11.35)

де k= P+BaZ(P)b(1+bTP+Ba);

в) якщо a=b=0, bTP+Ba=1 , то

[B(s)+ a(s)bT](+)=P+BT(s)–P+BaP+P+BT(s) 

 –P+PP+bbT P+BT(s)+P+BabTP+BT(s)bTP+PP+Ba;      (11.36)

г) якщо a=b=0, bTP+Ba 1 , то

[B(s)+a(s)bT](+)=P+BT(s) ,                   (11.37)

де тепер

b=bT(IM-P+P)b;                   a=;

b=bTP+PP+b;             a=P+P+Ba;

Ba=             =

P=               

(границі інтегрування визначаються конкретною постановкою задачі).

91

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54018. Индивид, индивидуальность, личность и общество как производители и носители культуры 37 KB
  Индивидом обычно называют единичного конкретного человека, рассматриваемого в качестве биосоциального существа. Понятие «человек», как правило, употребляют, желая показать принадлежность какого-либо лица к человеческому роду (Homo sapiens), а также тот факт, что данное лицо обладает всеобщими, свойственными всем людям чертами и качествами. От этих двух понятий необходимо отличать понятие «личность».
54019. Структура культуры и ее элементы 42.5 KB
  Структура культуры — строение культуры, состоящей из субстанциональных элементов (опредмечиваются в ее ценностях и нормах) и функциональных элементов (характеризуют процесс культурной деятельности, различные ее стороны и аспекты)...
54020. Лексические игры на уроках английского языка 28 KB
  Лексические игры используются в самых различных целях: при введении нового лексического материала для закрепления его в памяти учащихся и для развития их устной речи. Лексические игры преследуют следующие цели: познакомить учащихся с новыми словами и их сочетаниями; тренировать учащихся в употреблении лексике в ситуациях приближенных к естественной обстановке; активизировать речемыслительную деятельность учащихся; развивать речевую реакцию. Лексические игры сосредоточивают внимание учащихся исключительно на лексическом материале...
54023. I need a book. At the library 101.5 KB
  Teacher: Right you are. A book is a main source of knowledge. It is impossible to imagine our life without books. They play an important role in educating, upbringing and help us to get useful information. Where can we get books?
54024. Life of a Society. Inventors and Inventions 52.5 KB
  First I intended to use canvas to make tents and wagon coverings. But miners complained that their ordinary trousers wore out too quickly. So, I thought and thought and …
54025. Я вибираю життя без шкідливих звичок. Розвиток усного мовлення з теми 81.5 KB
  In 1870 the British Government adopted a law: every packet of cigarette must have a health warning on it. Now we have such a law in Ukraine. But very often a great number of modern advertisements show us beautiful girls or boys who smoke. And many teenagers want to imitate them. There are some rules, which don’t allow people to smoke in public places, such as cinemas, theatres, public transport etc.