23027

Псевдоінверсні методи моделювання задач керування лінійними динамічними системами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Інтегральні моделі динаміки лінійних систем і можливості по їх використанню в розвязанні обернених задач.13 були успішно розвязані в попередніх лекціях. Задачі були розвязані точно якщо це можливо або з деяким наближенням якщо точний розвязок задачі не можливий. Цим самим були дані розвязки або найкраще середньоквадратичне наближення до них для задач моделювання зовнішньодинамічної обстановки в якій функціонує система та прямих задач динаміки таких систем.

Русский

2013-08-04

652 KB

0 чел.

110

 Стоян В.А.

Лекція 13. Псевдоінверсні методи моделювання задач керування лінійними динамічними системами

13.1. Інтегральні моделі динаміки лінійних систем і можливості по їх використанню в розвязанні обернених задач. Розглянуті вище методи і підходи були направлені на заміну диференціальної моделі лінійної динамічної моделі інтегральною (див. п.1.1, 1.2). Задачі переходу від диференціальних співвідношень (1.1), (1.2) для функції стану  до інтегральних виду (1.9), (1.11) - (1.13) були успішно розв’язані в попередніх лекціях. Задачі були розвязані точно (якщо це можливо), або з деяким наближенням (якщо точний розвязок задачі не можливий).

Цим самим були дані розвязки, або найкраще середньоквадратичне наближення до них, для задач моделювання зовнішньо-динамічної обстановки, в якій функціонує система, та  прямих задач динаміки таких систем. Збоку залишилися обернені задачі динаміки – більш складні, більш серйозні і більш потрібні інженерно-технічній практиці.

Однак, як вказувалося на початку курсу (див. лекція 1), перехід від диференціальної форми моделі динаміки розглядуваних систем до інтегрального представлення мотивувався зручностями в розвязанні якраз обернених задач. Проблеми розвязання деяких з цих задач на прикладі динаміки лінійної динамічної системи з зосередженими параметрами ми і розглянемо нижче.

Будуть побудовані та досліджені на точність і однозначність загальні розвязки задач керування такими системами, в тому числі і пріоритетного керування, коли ціна точності зростає з часом. Для зручності задачі ці будуть розвязані спочатку в дискретній постановці, а потім отримані результати поширимо на неперервний випадок.

13.2. Задачі термінального керування лінійними динамічними системами дискретного аргументу. Розглянемо динаміку системи, вектор-функція  стану якої в дискретні моменти часу  визначається через вхідну вектор-функцію  та () і () - вимірні матриці А(k) і В(k) співвідношеннями:

                        (13.1)

Знайдемо значення керуючої вектор-функції u(k)  таким чином, щоб

,                                 (13.2)

де  – задане значення вектор-функції стану  в точці .

Для розв’язання задачі будемо виходити з того, що

;

………………………………………………………………

,    (13.3)

де

.

З врахуванням (13.3) задачу (13.1), (13.2) замінимо наступною:

.

Проблема розв’язання останньої зводиться до знаходження загального розв’язку системи

,

де

 

а  

                   (13.4)

задана матриця розмірності .

Згідно викладеного в п.3.5 знаходимо, що

.                                (13.5)

З врахуванням (1.1.26) та визначення (13.4) матриці  знаходимо

.

Після чого з (13.5) заключаємо, що

,   (13.6)

де

;

.

Відхилення кінцевого значення стану системи від очікуваного визначимо співвідношеннями

.

При

система (13.1) буде керованою, що дозволяє послідовністю керувань , вибраних згідно (13.6), стан x(k) розглядуваної системи в кінцевий момент часу перевести в бажаний точно. Керування  при цьому будуть однозначно визначатися формулою

при

.         (13.7)

При невиконанні (13.7) маємо загальний випадок, визначений співвідношенням (13.6). При цьому

.                     (13.8)

13.3. Задачі приоритетного керування лінійними динамічними системами дискретного аргументу. Загальний розв’язок (13.5) розглянутої вище задачі переводу системи (13.1) в задану точку  може бути уточнений, якщо очікуваний стан системи задається не тільки в останній точці часового інтервалу, а і впродовж траєкторії. При цьому будемо виходити з того, що пріоритетність точок, в яких задається стан системи зростає зі збільшенням номера точки. Іншими словами кажучи, множину

                   (13.9)

керувань , які стан розглядуваної системи в точці  роблять рівним , або близьким до нього, послідовно уточнимо згідно критеріїв

,    (13.10)

де  – задані значення функції стану в точках , а

                (13.11)

При розв’язанні задачі будемо виходити з того, що згідно (13.5), (13.6)

      (13.12)

де  та  визначені вище.

Для побудови множини , визначеної співвідношенням (13.11) при , будемо виходити з того, що згідно (13.3)

,

де  – керуючі функції. визначені співвідношеннями (13.12).

Визначимо вектор-функції  в (13.12) з умови (13.10) при . Останнє еквівалентне розв’язанню системи алгебраїчних рівнянь

    (13.13)

відносно .

Позначивши через

,

систему (13.13) запишемо у вигляді

.

Звідки знаходимо, що

,

де

.

А це значить, що множина  значень вектор-функції   звужена до . Множина ж керуючих функцій  визначиться співвідношеннями:

.

Виконуючи підстановку визначених таким чином  в аналітичне представлення функції стану

згідно критерію (13.10), записаному для , знаходимо множину , а отже і . Далі процес можна продовжувати згідно (13.10) для .

Результатом цього рекурентного процесу буде послідовність множин

,   (13.14)

де

;

13.4. Задачі спостереження для лінійних динамічних систем дискретного аргументу. Розглянута вище методика побудови загального розв’язку задачі термінального керування системою (13.1) може бути успішно використана для розв’язання задачі відновлення стану системи

                 (13.15)

за спостереженням

,                   (13.16)

де -вимірний, а -вимірний вектори.

Для розв’язання задачі (13.15), (13.16) розглянемо задачу відновлення лінійної комбінації   по сигналу  . Якщо покласти

,                               (13.17)

то проблема знаходження  зводиться до розв’язання задачі керування для спряженої системи

                 (13.18)

Згідно розв’язку (13.6) системи (13.1)

,                                              (13.19)

де

.

Покладаючи в (13.17)  та враховуючи (13.19), знайдемо , а отже і

Останнє і є загальним розв’язком задачі спостереження (13.15), (13.16).

Розв’язок задачі буде однозначним при

.                                 (13.20)

Точність розв’язання задачі визначається нев’язкою обернення системи (13.18)

,                 (13.21)

де

.

13.5. Задачі термінального керування лінійними динамічними системами неперервного аргументу. Викладена вище методика використання результатів лінійної алгебри до дослідження динаміки лінійних динамічних систем дискретного аргументу дозволяє успішно розв’язати ще цілий ряд задач для цього класу систем. Ми ж зупинимося нижче на питаннях поширення викладених вище результатів на лінійні динамічні системи неперервного аргументу.

Будемо розглядати систему, динаміка якої описується рівнянням

,                               (13.22)

де  та -вимірні матриці, а  .

Розв’яжемо задачу знаходження  такого, щоб

,                   (13.23)

де  – заданий вектор.

Для розв’язання задачі (13.22), (13.23) будемо виходити з того, що  

,                   (13.24)

де

                   (13.25)

матриця імпульсних перехідних характеристик, в якій  – матриця фундаментальних розв’язків така, що

                  (13.26)

Для розв’язання задачі (13.23), (13.24) введемо до розгляду матричну та векторну функції  та  від аргументу  такі, що

;

,

де .

Після чого шукане

,                                (13.27)

де

                             (13.28)

Виходячи з загального розв’язку (3.25) рівняння (3.24) заключаємо, що

         (13.29)

де  – довільна вектор-функція така, що  ,

.

З врахуванням співвідношень (3.32) з (13.29) заключаємо, що визначена в (13.27) функція

,    (13.30)

де  – довільна вектор-функція така, що

; .

Зауважимо, що по аналогії з введеними в (13.30) матричними функціями

                                            (13.31)

можна ввести до розгляду і матричні функції

                 (13.32)

псевдообернені до матричних функцій. В цьому випадку співвідношення (13.30) запишемо у вигляді:

.

При цьому, визначений співвідношенням

розв’язок задачі (13.22), (13.23) буде наступним:

.                  (13.33)

Зауважимо, що розглядувана в (13.22), (13.23) система буде керованою (а отже значення  в момент часу  буде досягатися точно) при

.                   (13.34)

В загальному ж випадку

.                   (13.35)

Зауважимо, що визначена в (13.30) множина  даватиме однозначний псевдорозв’язок (при (13.35)), або розв’язок (при (13.34)) задачі (13.22), (13.23) при

,

де

.

13.6. Задачі приоритетного керування лінійними динамічними системами неперервного аргументу. Загальний розв’язок задачі (13.22), (13.23) в формі (13.30), як і розв’язок (13.6) задачі (13.1), (13.2), може бути уточнений, якщо поряд з умовою (13.23) послідовно ставити та вимагати, щоб виконувались наступні умови:

                  (13.36)

при заданих  таких, що   , та , де  визначена співвідношенням (13.30), а

.

При розв’язанні задачі будемо виходити з загального розв’язку (13.30) задачі (13.22), (13.23), а також з того, що

,

де функція  визначатиметься співвідношеннями аналогічними до наведених вище (13.25), (13.26).

Враховуючи додатково до умови (13.23) умову (13.36) при , звузимо область .

Останнє можна виконати обмежуючи довільність у виборі вектор-функції  у співвідношенні (13.28) умовою

                               (13.37)

Позначивши через

,

співвідношення (13.37) запишемо у вигляді

Звідки заключаємо, що

де

.

Останнє звужує і множину керуючих вектор-функцій , визначену співвідношеннями (13.30), до наступної:

.

Подальше уточнення множини  керуючих функцій  виконаємо вводячи до розгляду ще одну часову точку , а отже враховуючи ще одне обмеження типу (13.36), а саме те, яке відповідає значенню . Якщо знайдену таким чином множину функцій  позначити через , а множину отриманих з їх участю керуючих функцій позначити через  і продовжити цей процес на , то одержимо наступне:

 ,

де для

при ;

 

при ;

   при .

109

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50692. Построение аналитической и имитационной модели 114.5 KB
  Построить аналитическую и имитационную модели и сравнить результаты исследования Одноканальная СМО с неограниченной очередью Исследовать значения средней длины очереди, среднего времени ожидания в очереди при показательном и равномерном (a = 0.05, b =0,75) распределении входного потока.
50693. Моделирование радиофизических систем С помощью simulink 306.5 KB
  Знакомство с пакетом визуального динамического моделирования SIMULINK, создание моделей радиофизических систем, их отладка и проведение экспериментов с полученными моделями.
50695. Определение моментов инерции твёрдых тел с помощью крутильного маятника 280.5 KB
  Цель работы: Определение моментов инерции твёрдых тел и проверка теоремы Гюгенса Штейнера. Определение моментов инерции длинного стержня: Период колебания рамки без закреплённых в ней тел: Период колебания рамки с закреплённым ней эталонным кубом. Момент инерции эталонного куба: м сторона эталонного куба кг масса эталонного куба Закрепим в рамке стержень.
50696. Наклонный маятник 180.5 KB
  Экспериментальное определение среднего значения периода Тсвоб свободных колебаний; Ткрут крутильных колебаний в зависимости от выбранной модели. Экспериментальное определение зависимости периода Ткач колебаний с качением наклонного маятника от значения угла наклона плоскости колебаний. Сравнение экспериментально установленной зависимости периода Ткач колебаний с качением от значения угла наклона плоскости колебаний с теоретическими моделями различной степени сложности. Ход работы: Измерение периода свободных колебаний: №...
50697. Теоретические основы электротехники. Методические указания 308.5 KB
  Цель работы: выяснить характер изменения КПД потерь напряжения и мощности в линии передачи а также характер изменения напряжения и мощности приемника при различных режимах работы системы генератор линия приемник.К линии передачи подключить переменную нагрузку рис. Снять зависимость напряжения на приемнике от тока регулируя сопротивление нагрузки в пределах от...
50698. ЦЕПИ С ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ 504 KB
  Экспериментальное определение параметров индуктивных катушек активного сопротивления собственной индуктивности и взаимной индуктивности двух индуктивно связанных элементов.Экспериментальное определение одноименных зажимов катушек. Это означает что для выбранной маркировки зажимов катушек величина М положительна если при выбранных направлениях токов i1 и i2 результирующие потокосцепления...
50699. ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ ПРИ СОЕДИНЕНИИ НАГРУЗКИ ТРЕУГОЛЬНИКОМ 532 KB
  Теоретические положения Для симметричного треугольника имеют место соотношения: где Zф полное сопротивление фазы нагрузки фазовый сдвиг между напряжением и током в фазе нагрузки: Для несимметричного треугольника рис. Заметим что показания каждого из приборов не соответствуют активной мощности какойлибо фазы нагрузки. Активная мощность нагрузки равна алгебраической сумме показаний ваттметров: Построение векторнотопографических диаграмм для различных...