23027

Псевдоінверсні методи моделювання задач керування лінійними динамічними системами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Інтегральні моделі динаміки лінійних систем і можливості по їх використанню в розвязанні обернених задач.13 були успішно розвязані в попередніх лекціях. Задачі були розвязані точно якщо це можливо або з деяким наближенням якщо точний розвязок задачі не можливий. Цим самим були дані розвязки або найкраще середньоквадратичне наближення до них для задач моделювання зовнішньодинамічної обстановки в якій функціонує система та прямих задач динаміки таких систем.

Русский

2013-08-04

652 KB

0 чел.

110

 Стоян В.А.

Лекція 13. Псевдоінверсні методи моделювання задач керування лінійними динамічними системами

13.1. Інтегральні моделі динаміки лінійних систем і можливості по їх використанню в розвязанні обернених задач. Розглянуті вище методи і підходи були направлені на заміну диференціальної моделі лінійної динамічної моделі інтегральною (див. п.1.1, 1.2). Задачі переходу від диференціальних співвідношень (1.1), (1.2) для функції стану  до інтегральних виду (1.9), (1.11) - (1.13) були успішно розв’язані в попередніх лекціях. Задачі були розвязані точно (якщо це можливо), або з деяким наближенням (якщо точний розвязок задачі не можливий).

Цим самим були дані розвязки, або найкраще середньоквадратичне наближення до них, для задач моделювання зовнішньо-динамічної обстановки, в якій функціонує система, та  прямих задач динаміки таких систем. Збоку залишилися обернені задачі динаміки – більш складні, більш серйозні і більш потрібні інженерно-технічній практиці.

Однак, як вказувалося на початку курсу (див. лекція 1), перехід від диференціальної форми моделі динаміки розглядуваних систем до інтегрального представлення мотивувався зручностями в розвязанні якраз обернених задач. Проблеми розвязання деяких з цих задач на прикладі динаміки лінійної динамічної системи з зосередженими параметрами ми і розглянемо нижче.

Будуть побудовані та досліджені на точність і однозначність загальні розвязки задач керування такими системами, в тому числі і пріоритетного керування, коли ціна точності зростає з часом. Для зручності задачі ці будуть розвязані спочатку в дискретній постановці, а потім отримані результати поширимо на неперервний випадок.

13.2. Задачі термінального керування лінійними динамічними системами дискретного аргументу. Розглянемо динаміку системи, вектор-функція  стану якої в дискретні моменти часу  визначається через вхідну вектор-функцію  та () і () - вимірні матриці А(k) і В(k) співвідношеннями:

                        (13.1)

Знайдемо значення керуючої вектор-функції u(k)  таким чином, щоб

,                                 (13.2)

де  – задане значення вектор-функції стану  в точці .

Для розв’язання задачі будемо виходити з того, що

;

………………………………………………………………

,    (13.3)

де

.

З врахуванням (13.3) задачу (13.1), (13.2) замінимо наступною:

.

Проблема розв’язання останньої зводиться до знаходження загального розв’язку системи

,

де

 

а  

                   (13.4)

задана матриця розмірності .

Згідно викладеного в п.3.5 знаходимо, що

.                                (13.5)

З врахуванням (1.1.26) та визначення (13.4) матриці  знаходимо

.

Після чого з (13.5) заключаємо, що

,   (13.6)

де

;

.

Відхилення кінцевого значення стану системи від очікуваного визначимо співвідношеннями

.

При

система (13.1) буде керованою, що дозволяє послідовністю керувань , вибраних згідно (13.6), стан x(k) розглядуваної системи в кінцевий момент часу перевести в бажаний точно. Керування  при цьому будуть однозначно визначатися формулою

при

.         (13.7)

При невиконанні (13.7) маємо загальний випадок, визначений співвідношенням (13.6). При цьому

.                     (13.8)

13.3. Задачі приоритетного керування лінійними динамічними системами дискретного аргументу. Загальний розв’язок (13.5) розглянутої вище задачі переводу системи (13.1) в задану точку  може бути уточнений, якщо очікуваний стан системи задається не тільки в останній точці часового інтервалу, а і впродовж траєкторії. При цьому будемо виходити з того, що пріоритетність точок, в яких задається стан системи зростає зі збільшенням номера точки. Іншими словами кажучи, множину

                   (13.9)

керувань , які стан розглядуваної системи в точці  роблять рівним , або близьким до нього, послідовно уточнимо згідно критеріїв

,    (13.10)

де  – задані значення функції стану в точках , а

                (13.11)

При розв’язанні задачі будемо виходити з того, що згідно (13.5), (13.6)

      (13.12)

де  та  визначені вище.

Для побудови множини , визначеної співвідношенням (13.11) при , будемо виходити з того, що згідно (13.3)

,

де  – керуючі функції. визначені співвідношеннями (13.12).

Визначимо вектор-функції  в (13.12) з умови (13.10) при . Останнє еквівалентне розв’язанню системи алгебраїчних рівнянь

    (13.13)

відносно .

Позначивши через

,

систему (13.13) запишемо у вигляді

.

Звідки знаходимо, що

,

де

.

А це значить, що множина  значень вектор-функції   звужена до . Множина ж керуючих функцій  визначиться співвідношеннями:

.

Виконуючи підстановку визначених таким чином  в аналітичне представлення функції стану

згідно критерію (13.10), записаному для , знаходимо множину , а отже і . Далі процес можна продовжувати згідно (13.10) для .

Результатом цього рекурентного процесу буде послідовність множин

,   (13.14)

де

;

13.4. Задачі спостереження для лінійних динамічних систем дискретного аргументу. Розглянута вище методика побудови загального розв’язку задачі термінального керування системою (13.1) може бути успішно використана для розв’язання задачі відновлення стану системи

                 (13.15)

за спостереженням

,                   (13.16)

де -вимірний, а -вимірний вектори.

Для розв’язання задачі (13.15), (13.16) розглянемо задачу відновлення лінійної комбінації   по сигналу  . Якщо покласти

,                               (13.17)

то проблема знаходження  зводиться до розв’язання задачі керування для спряженої системи

                 (13.18)

Згідно розв’язку (13.6) системи (13.1)

,                                              (13.19)

де

.

Покладаючи в (13.17)  та враховуючи (13.19), знайдемо , а отже і

Останнє і є загальним розв’язком задачі спостереження (13.15), (13.16).

Розв’язок задачі буде однозначним при

.                                 (13.20)

Точність розв’язання задачі визначається нев’язкою обернення системи (13.18)

,                 (13.21)

де

.

13.5. Задачі термінального керування лінійними динамічними системами неперервного аргументу. Викладена вище методика використання результатів лінійної алгебри до дослідження динаміки лінійних динамічних систем дискретного аргументу дозволяє успішно розв’язати ще цілий ряд задач для цього класу систем. Ми ж зупинимося нижче на питаннях поширення викладених вище результатів на лінійні динамічні системи неперервного аргументу.

Будемо розглядати систему, динаміка якої описується рівнянням

,                               (13.22)

де  та -вимірні матриці, а  .

Розв’яжемо задачу знаходження  такого, щоб

,                   (13.23)

де  – заданий вектор.

Для розв’язання задачі (13.22), (13.23) будемо виходити з того, що  

,                   (13.24)

де

                   (13.25)

матриця імпульсних перехідних характеристик, в якій  – матриця фундаментальних розв’язків така, що

                  (13.26)

Для розв’язання задачі (13.23), (13.24) введемо до розгляду матричну та векторну функції  та  від аргументу  такі, що

;

,

де .

Після чого шукане

,                                (13.27)

де

                             (13.28)

Виходячи з загального розв’язку (3.25) рівняння (3.24) заключаємо, що

         (13.29)

де  – довільна вектор-функція така, що  ,

.

З врахуванням співвідношень (3.32) з (13.29) заключаємо, що визначена в (13.27) функція

,    (13.30)

де  – довільна вектор-функція така, що

; .

Зауважимо, що по аналогії з введеними в (13.30) матричними функціями

                                            (13.31)

можна ввести до розгляду і матричні функції

                 (13.32)

псевдообернені до матричних функцій. В цьому випадку співвідношення (13.30) запишемо у вигляді:

.

При цьому, визначений співвідношенням

розв’язок задачі (13.22), (13.23) буде наступним:

.                  (13.33)

Зауважимо, що розглядувана в (13.22), (13.23) система буде керованою (а отже значення  в момент часу  буде досягатися точно) при

.                   (13.34)

В загальному ж випадку

.                   (13.35)

Зауважимо, що визначена в (13.30) множина  даватиме однозначний псевдорозв’язок (при (13.35)), або розв’язок (при (13.34)) задачі (13.22), (13.23) при

,

де

.

13.6. Задачі приоритетного керування лінійними динамічними системами неперервного аргументу. Загальний розв’язок задачі (13.22), (13.23) в формі (13.30), як і розв’язок (13.6) задачі (13.1), (13.2), може бути уточнений, якщо поряд з умовою (13.23) послідовно ставити та вимагати, щоб виконувались наступні умови:

                  (13.36)

при заданих  таких, що   , та , де  визначена співвідношенням (13.30), а

.

При розв’язанні задачі будемо виходити з загального розв’язку (13.30) задачі (13.22), (13.23), а також з того, що

,

де функція  визначатиметься співвідношеннями аналогічними до наведених вище (13.25), (13.26).

Враховуючи додатково до умови (13.23) умову (13.36) при , звузимо область .

Останнє можна виконати обмежуючи довільність у виборі вектор-функції  у співвідношенні (13.28) умовою

                               (13.37)

Позначивши через

,

співвідношення (13.37) запишемо у вигляді

Звідки заключаємо, що

де

.

Останнє звужує і множину керуючих вектор-функцій , визначену співвідношеннями (13.30), до наступної:

.

Подальше уточнення множини  керуючих функцій  виконаємо вводячи до розгляду ще одну часову точку , а отже враховуючи ще одне обмеження типу (13.36), а саме те, яке відповідає значенню . Якщо знайдену таким чином множину функцій  позначити через , а множину отриманих з їх участю керуючих функцій позначити через  і продовжити цей процес на , то одержимо наступне:

 ,

де для

при ;

 

при ;

   при .

109

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66635. Народознавство: суть, принципи, функції та засоби 99.5 KB
  Таким чином до сфери народознавства входили б і такі науки як історія політична й історія розвитку державних інститутів історія наук і історія промислу все звичайно в сфері щонайобмеженішій наскільки це стосується певного конкретного народу. Народознавство у вузькому значенні етнографія наука про культуру побут народу його походження розселення національні традиції та обряди.
66636. Развитие психоанализа в работах А.Адлера и К.К. Г. Юнга 142.5 KB
  Психоанализ возник на рубеже ХIХ–ХХ столетий. Термин «психоанализ» впервые был использован австрийским невропатологом Зигмундом Фрейдом в статье «Наследственность и этиология неврозов», опубликованной на французском языке 30 марта 1896 года.
66637. Ассоциативная психология: история, идеи факты 96 KB
  Заметим, что понятие ассоциации возникло довольно давно и историю его возникновения мы можем проследить, начиная с работ Аристотеля и Платона. В ходе развития науки различные философские системы вкладывали в понятие ассоциации различный смысл.
66638. Гештальтпсихология: идеи и факты 131.5 KB
  Гештальттерапия которой я учусь уже два с половиной года в той или иной степени унаследовала идеи гештальтпсихологии. А появились эти понятия в 1910е годы прошлого века и именно гештальтпсихологии они обязаны своим появлением....
66639. Концепция «физиологии активности» 142.5 KB
  Бернштейн изучал естественные движения неповрежденного организма. Ученый утверждал что организм своими движениями активно воздействует на окружающую среду стремясь изменить ее в потребном ему направлении. Принцип сенсорных коррекций Ранее механизм движения описывался...
66640. Ассоциативная психология: история, идеи, факты. Личность 81 KB
  Классические теории ассоциативной психологии Заключение Список литературы Введение Все представления содержащиеся в памяти существуют обычно не сами по себе а группируются в определенные совокупности ассоциации. В XVII веке принцип ассоциации был распространен на всю область...
66641. ПРОБЛЕМА ЛИЧНОСТИ В ГУМАНИСТИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ 111 KB
  Рассматривая различные теории личности можно отметить что большинство исследователей так или иначе сходятся в том что личность есть особый феномен связанный со спецификой человеческой адаптации к социуму к сложившейся и вновь...
66642. Деятельностный подход в психологии. Идеи и факты 136.5 KB
  Особенно следует предостеречь против понимания деятельности человека как отношения, существующего между человеком и противостоящим ему обществом. Это приходится подчеркивать, так как затопляющие сейчас психологию позитивистские концепции всячески навязывают идею...
66643. Поведение как предмет психологии 64.5 KB
  Наличием души пытались объяснить все не понятные явления в жизни человека. Основной метод наблюдение человека за самим собой. Начинается с 20-го века психология наблюдение за тем что можно непосредственно увидеть: поведение поступки реакции человека.