23027

Псевдоінверсні методи моделювання задач керування лінійними динамічними системами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Інтегральні моделі динаміки лінійних систем і можливості по їх використанню в розв’язанні обернених задач.13 були успішно розв’язані в попередніх лекціях. Задачі були розв’язані точно якщо це можливо або з деяким наближенням якщо точний розв’язок задачі не можливий. Цим самим були дані розв’язки або найкраще середньоквадратичне наближення до них для задач моделювання зовнішньодинамічної обстановки в якій функціонує система та прямих задач динаміки таких систем.

Русский

2013-08-04

652 KB

0 чел.

110

 Стоян В.А.

Лекція 13. Псевдоінверсні методи моделювання задач керування лінійними динамічними системами

13.1. Інтегральні моделі динаміки лінійних систем і можливості по їх використанню в розвязанні обернених задач. Розглянуті вище методи і підходи були направлені на заміну диференціальної моделі лінійної динамічної моделі інтегральною (див. п.1.1, 1.2). Задачі переходу від диференціальних співвідношень (1.1), (1.2) для функції стану  до інтегральних виду (1.9), (1.11) - (1.13) були успішно розв’язані в попередніх лекціях. Задачі були розвязані точно (якщо це можливо), або з деяким наближенням (якщо точний розвязок задачі не можливий).

Цим самим були дані розвязки, або найкраще середньоквадратичне наближення до них, для задач моделювання зовнішньо-динамічної обстановки, в якій функціонує система, та  прямих задач динаміки таких систем. Збоку залишилися обернені задачі динаміки – більш складні, більш серйозні і більш потрібні інженерно-технічній практиці.

Однак, як вказувалося на початку курсу (див. лекція 1), перехід від диференціальної форми моделі динаміки розглядуваних систем до інтегрального представлення мотивувався зручностями в розвязанні якраз обернених задач. Проблеми розвязання деяких з цих задач на прикладі динаміки лінійної динамічної системи з зосередженими параметрами ми і розглянемо нижче.

Будуть побудовані та досліджені на точність і однозначність загальні розвязки задач керування такими системами, в тому числі і пріоритетного керування, коли ціна точності зростає з часом. Для зручності задачі ці будуть розвязані спочатку в дискретній постановці, а потім отримані результати поширимо на неперервний випадок.

13.2. Задачі термінального керування лінійними динамічними системами дискретного аргументу. Розглянемо динаміку системи, вектор-функція  стану якої в дискретні моменти часу  визначається через вхідну вектор-функцію  та () і () - вимірні матриці А(k) і В(k) співвідношеннями:

                        (13.1)

Знайдемо значення керуючої вектор-функції u(k)  таким чином, щоб

,                                 (13.2)

де  – задане значення вектор-функції стану  в точці .

Для розв’язання задачі будемо виходити з того, що

;

………………………………………………………………

,    (13.3)

де

.

З врахуванням (13.3) задачу (13.1), (13.2) замінимо наступною:

.

Проблема розв’язання останньої зводиться до знаходження загального розв’язку системи

,

де

 

а  

                   (13.4)

задана матриця розмірності .

Згідно викладеного в п.3.5 знаходимо, що

.                                (13.5)

З врахуванням (1.1.26) та визначення (13.4) матриці  знаходимо

.

Після чого з (13.5) заключаємо, що

,   (13.6)

де

;

.

Відхилення кінцевого значення стану системи від очікуваного визначимо співвідношеннями

.

При

система (13.1) буде керованою, що дозволяє послідовністю керувань , вибраних згідно (13.6), стан x(k) розглядуваної системи в кінцевий момент часу перевести в бажаний точно. Керування  при цьому будуть однозначно визначатися формулою

при

.         (13.7)

При невиконанні (13.7) маємо загальний випадок, визначений співвідношенням (13.6). При цьому

.                     (13.8)

13.3. Задачі приоритетного керування лінійними динамічними системами дискретного аргументу. Загальний розв’язок (13.5) розглянутої вище задачі переводу системи (13.1) в задану точку  може бути уточнений, якщо очікуваний стан системи задається не тільки в останній точці часового інтервалу, а і впродовж траєкторії. При цьому будемо виходити з того, що пріоритетність точок, в яких задається стан системи зростає зі збільшенням номера точки. Іншими словами кажучи, множину

                   (13.9)

керувань , які стан розглядуваної системи в точці  роблять рівним , або близьким до нього, послідовно уточнимо згідно критеріїв

,    (13.10)

де  – задані значення функції стану в точках , а

                (13.11)

При розв’язанні задачі будемо виходити з того, що згідно (13.5), (13.6)

      (13.12)

де  та  визначені вище.

Для побудови множини , визначеної співвідношенням (13.11) при , будемо виходити з того, що згідно (13.3)

,

де  – керуючі функції. визначені співвідношеннями (13.12).

Визначимо вектор-функції  в (13.12) з умови (13.10) при . Останнє еквівалентне розв’язанню системи алгебраїчних рівнянь

    (13.13)

відносно .

Позначивши через

,

систему (13.13) запишемо у вигляді

.

Звідки знаходимо, що

,

де

.

А це значить, що множина  значень вектор-функції   звужена до . Множина ж керуючих функцій  визначиться співвідношеннями:

.

Виконуючи підстановку визначених таким чином  в аналітичне представлення функції стану

згідно критерію (13.10), записаному для , знаходимо множину , а отже і . Далі процес можна продовжувати згідно (13.10) для .

Результатом цього рекурентного процесу буде послідовність множин

,   (13.14)

де

;

13.4. Задачі спостереження для лінійних динамічних систем дискретного аргументу. Розглянута вище методика побудови загального розв’язку задачі термінального керування системою (13.1) може бути успішно використана для розв’язання задачі відновлення стану системи

                 (13.15)

за спостереженням

,                   (13.16)

де -вимірний, а -вимірний вектори.

Для розв’язання задачі (13.15), (13.16) розглянемо задачу відновлення лінійної комбінації   по сигналу  . Якщо покласти

,                               (13.17)

то проблема знаходження  зводиться до розв’язання задачі керування для спряженої системи

                 (13.18)

Згідно розв’язку (13.6) системи (13.1)

,                                              (13.19)

де

.

Покладаючи в (13.17)  та враховуючи (13.19), знайдемо , а отже і

Останнє і є загальним розв’язком задачі спостереження (13.15), (13.16).

Розв’язок задачі буде однозначним при

.                                 (13.20)

Точність розв’язання задачі визначається нев’язкою обернення системи (13.18)

,                 (13.21)

де

.

13.5. Задачі термінального керування лінійними динамічними системами неперервного аргументу. Викладена вище методика використання результатів лінійної алгебри до дослідження динаміки лінійних динамічних систем дискретного аргументу дозволяє успішно розв’язати ще цілий ряд задач для цього класу систем. Ми ж зупинимося нижче на питаннях поширення викладених вище результатів на лінійні динамічні системи неперервного аргументу.

Будемо розглядати систему, динаміка якої описується рівнянням

,                               (13.22)

де  та -вимірні матриці, а  .

Розв’яжемо задачу знаходження  такого, щоб

,                   (13.23)

де  – заданий вектор.

Для розв’язання задачі (13.22), (13.23) будемо виходити з того, що  

,                   (13.24)

де

                   (13.25)

матриця імпульсних перехідних характеристик, в якій  – матриця фундаментальних розв’язків така, що

                  (13.26)

Для розв’язання задачі (13.23), (13.24) введемо до розгляду матричну та векторну функції  та  від аргументу  такі, що

;

,

де .

Після чого шукане

,                                (13.27)

де

                             (13.28)

Виходячи з загального розв’язку (3.25) рівняння (3.24) заключаємо, що

         (13.29)

де  – довільна вектор-функція така, що  ,

.

З врахуванням співвідношень (3.32) з (13.29) заключаємо, що визначена в (13.27) функція

,    (13.30)

де  – довільна вектор-функція така, що

; .

Зауважимо, що по аналогії з введеними в (13.30) матричними функціями

                                            (13.31)

можна ввести до розгляду і матричні функції

                 (13.32)

псевдообернені до матричних функцій. В цьому випадку співвідношення (13.30) запишемо у вигляді:

.

При цьому, визначений співвідношенням

розв’язок задачі (13.22), (13.23) буде наступним:

.                  (13.33)

Зауважимо, що розглядувана в (13.22), (13.23) система буде керованою (а отже значення  в момент часу  буде досягатися точно) при

.                   (13.34)

В загальному ж випадку

.                   (13.35)

Зауважимо, що визначена в (13.30) множина  даватиме однозначний псевдорозв’язок (при (13.35)), або розв’язок (при (13.34)) задачі (13.22), (13.23) при

,

де

.

13.6. Задачі приоритетного керування лінійними динамічними системами неперервного аргументу. Загальний розв’язок задачі (13.22), (13.23) в формі (13.30), як і розв’язок (13.6) задачі (13.1), (13.2), може бути уточнений, якщо поряд з умовою (13.23) послідовно ставити та вимагати, щоб виконувались наступні умови:

                  (13.36)

при заданих  таких, що   , та , де  визначена співвідношенням (13.30), а

.

При розв’язанні задачі будемо виходити з загального розв’язку (13.30) задачі (13.22), (13.23), а також з того, що

,

де функція  визначатиметься співвідношеннями аналогічними до наведених вище (13.25), (13.26).

Враховуючи додатково до умови (13.23) умову (13.36) при , звузимо область .

Останнє можна виконати обмежуючи довільність у виборі вектор-функції  у співвідношенні (13.28) умовою

                               (13.37)

Позначивши через

,

співвідношення (13.37) запишемо у вигляді

Звідки заключаємо, що

де

.

Останнє звужує і множину керуючих вектор-функцій , визначену співвідношеннями (13.30), до наступної:

.

Подальше уточнення множини  керуючих функцій  виконаємо вводячи до розгляду ще одну часову точку , а отже враховуючи ще одне обмеження типу (13.36), а саме те, яке відповідає значенню . Якщо знайдену таким чином множину функцій  позначити через , а множину отриманих з їх участю керуючих функцій позначити через  і продовжити цей процес на , то одержимо наступне:

 ,

де для

при ;

 

при ;

   при .

109

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32619. Дати докладну характеристику розв’язок перехрещень в вузлах 900 KB
  Основное требование ко всем пересечениям маршрутов в одном уровне заключается в том что эти пересечения не должны снижать пропускную способность ниже необходимой в период интенсивного движения и создавать угрозу безопасности движения. Пересечения в одном уровне устраиваются при благоприятных топографических условиях относительно небольших размерах движения. Безопасность движения поездов обеспечивается с помощью устройств автоматики и сигнализации предохранительных тупиков. Развязки в одном уровне осуществляются чаще всего с...
32620. Розрахунок конструктивної висоти сортувальної гірки на сортувальній станції 571.5 KB
  Профільна висота головної дільниці h1 встановлюється з урахуванням найбільшого використання допустимої швидкості входу Vвх розрахункового бігуна вагою 85 т ωо=05 Н кн. в уповільнювачах 1 ГП при сприятливих умовах скочування: де Vo – найбільша швидкість розпуску приймається 25 м с; g′ох – розрахунковий параметр для ОХ бігуна м с2; де g – прискорення вільного падіння 981 м с2; n – кількість осей бігуна ОХ 4; q – вага бігуна ОХ 85 т; hωо1 hск1 – питома робота сил опору основного і від стрілок та кривих в межах головного дільниці l1...
32621. Докладно описати питання щодо пасажирської технічної станції (ПТС): 1) призначення і класифікація; 2) основні пристрої; 3) основні операції, що виконують на станції; 4) умови застосування; 5) переваги та недоліки окремих ПТС 116.5 KB
  1 ПТС призначаються для переформування ремонту очищення і екіпірування пасажирських составів. Станції бувають крупні 1520 составів за добу і середні 815.20 составів. На технічних парках менше ніж 68 составів.
32622. Аналіз схем двосторонніх станцій с послідовним розташуванням основних парків. Описати системи гіркової автоматики 216.5 KB
  Для комплексної механізації і автоматизації процесу сортування вагонів сортувальні гірки обладнуються локальними системами автоматики ГАЦ ГПЗУ АРС АЗСР ТГЛ пристроями зв’язку телебачення сигналізації. Під час роботи в маршрутному режимі оператор натисканням кнопки яка відповідає номеру підгіркової колії встановлює маршрут для кожного відчепу перед розпуском його з гірки. Система АСУ РСГ дозволяє регулювати швидкість насуву і розпуску составів швидкість руху відчепів з гірки керувати маршрутами руху відчепів з контролем...
32623. Докладно описати такі питання: визначення спеціальної вантажної станції, спеціалізація спеціальних вантажних станцій,основні операції,які виконують на спеціалізованих вантажних станціях 677.5 KB
  Докладно описати такі питання: визначення спеціальної вантажної станції спеціалізація спеціальних вантажних станційосновні операціїякі виконують на спеціалізованих вантажних станціях. Спеціалізовані вантажні станції це вантажні станції що будуються в пунктах масової переробки однорідних вантажів і забезпечують ритмічність і потоковість обробки масових вантажів і прискорену обробку рухомого складу на станції ефективне використання вантажнорозвантажувальних механізмів і скорочення обсягу роботи сортувальних станцій за рахунок формування...
32624. Дати технічну характеристику колієпроводів 992.5 KB
  Минимальная длина путепроводной развязки в плане определяется в зависимости от радиуса кривой и угла пересечения. Рис 1 – К расчету путепроводной развязки в плане. Длина путепроводной развязки в плане должна быть не менее длины развязки в профиле Lnл Lпp Длина путепроводной развязки в профиле зависит от характера подходов. Минимальная длина развязки в профиле: Lпр=lпод0.
32625. Особливості проектування вузлових дільничних станцій (ВДС). Принципи розташування основних пристроїв на дільничних станціях 98 KB
  Докладно описати такі питання: особливості проектування вузлових дільничних станцій ВДС; принципи розташування основних пристроїв на дільничних станціях; розрахунок числа приймальновідправних колій на ВДС При проектировании УУС следует выполнять такие требования: 1 на подходах к станции должны предусматриваться развязки маршрутов в одном или в разных уровнях; 2 расположение главных путей на подходах к станции конструкции горловин должны обеспечивать одновременный прием и отправление поездов со...
32626. Описати принципи і особливості проектування залізничних вузлів великих і столичних міст 559.5 KB
  В генеральной схеме развития узла особенно тщательно должна быть проработана охрана окружающей среды бережного отношения к природным ресурсам минимального использования земель и угодий ценных для других отраслей хозяйства отдыха населения и дальнейшего развития жилищного строительства. При проектировании железнодорожных узлов необходимо руководствоваться следующими принципами: общая эффективность комплексная оптимизация концентрация децентрализация специализация сохранение равновесия и пропорциональности развития отдельных...
32627. Описати принцип роботи системи КГМ-РИЗТ, а також основні системні задачі комплексу, основні достоїнства та недоліки 2.91 MB
  ВАГОННЫЙ ЗАМЕДЛИТЕЛЬ КЛЕЩЕВИДНОНАЖИМНОЙ ПОДЪЕМНЫЙ КНП5 Клещевиднонажимной подъемный двухрельсовый пневматический вагонный замедлитель используется преимущественно на спускной части сортировочных горок при новом строительстве и модернизации. Вагонный замедлитель КНП5 изготавливается пятизвенным шестисекционным. Вагонный замедлитель может имев следующие положения: отторможенное тормозная система занимает нижнее положение. Через вагонный замедлитель может пропускаться ся весь габаритный подвижной состав вагонного и локомотивного...