23028

Задачі ідентифікації динаміки систем з розподіленими параметрами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Псевдоінверсні методи [2227] обернення алгебраїчних інтегральних та функціональних перетворень дозволяють виконати таку заміну побудувати моделюючі функції в неперервному або дискретному вигляді тільки при відомій функції матриці Гріна в необмеженій просторовочасовій області. Викладена ж в лекції 2 методика побудови функції дозволяє виконати це для систем динаміка яких описана вже диференціальним рівнянням вигляду 1.7 зведеться до знаходження перетворюючої функції функції Гріна в нашому розумінні такої що 15.4 побудови...

Русский

2013-08-04

276.5 KB

2 чел.

6

 Стоян В.А.  

Лекція 15. Задачі ідентифікації динаміки систем з розподіленими

                   параметрами

15.1. Загальна постановка задачі. Розглядувані вище підходи до дослідження динаміки систем з розподіленими параметрами ґрунтувалися на заміні її диференціальної моделі (1.1)(1.4) інтегральною моделлю вигляду (1.9), (1.11)(1.13). Псевдоінверсні методи [22,27] обернення алгебраїчних, інтегральних та функціональних перетворень дозволяють виконати таку заміну (побудувати моделюючі функції в неперервному або дискретному вигляді) тільки при відомій функції (матриці) Гріна  в необмеженій просторово-часовій області. Викладена ж в лекції 2 методика побудови функції  дозволяє виконати це для систем, динаміка яких описана вже диференціальним рівнянням вигляду (1.1).

Для більшості досліджуваних практиками процесів давно побудовані диференціальні моделі і проблем використання наведених нами підходів до моделювання їх динаміки в прямій та оберненій постановці не існує. Технічні ж процеси, які мають місце при науковому вивченні та практичній реалізації сучасних інформаційних технологій, досить часто виходять за межі моделей вигляду (1.1). Нерідкі випадки, коли досліджуваний процес настільки складний і не вивчений, що побудувати диференціальні залежності для нього або принципово неможливо, або вони будуть настільки далекими від реальності, що користуватися ними буде недоцільно. Тут і потрібні не фізико-технологічні підходи до опису динаміки процесу, які ґрунтуються на математичному представленні недостатньо вивчених, або недоступних для формалізації реальних процесів, а принципово нові методики, основані на спостереженнях за станом системи та зовнішньо-динамічними умовами, в яких ця система функціонує. Другими словами: потрібен математичний апарат, який би міг надійно і з бажаним (або наперед відомим) ступенем точності пов’язати спостережуваний стан системи зі спостереженнями за тими фізико-технологічними факторами, які його спричиняють.

Якщо, залишаючись в рамках прийнятих нами термінологій, позначити через  вектор-функцію стану системи в просторово-часовій області , а через вектор-функцію зовнішньо-динамічних впливів на цю систему, то проблема побудови такої бажаної інтегральної моделі вигляду (1.7) зведеться до знаходження перетворюючої функції (функції Гріна в нашому розумінні) такої, що

   (15.1)

де

,           (15.2)

та  – області, в яких виконується спостереження за станом  системи та вектора  зовнішньо-динамічних впливів на неї відповідно.

На підтвердження сказаного в лекції 1 ще раз зауважимо, що в загальному випадку розв’язати задачу побудови множини  неможливо. Тому, як і при побудові та дослідженні моделей вигляду (1.9), (1.11)-(1.13), зупинимося на трьох частинних випадках поставленої задачі.

15.2 Проблеми ідентифікації дискретизованих інтегральних моделей динаміки систем з розподіленими параметрами. Як і при розв’язанні (лекція 3) сформульованої в лекції 1 загальної задачі побудови інтегральної моделі вигляду (1.9), (1.11)-(1.13) зупинимося для початку на випадку, коли вектор-функція стану () та вектор-функція () зовнішньо-динамічних впливів на систему спостерігаються в скінчених множинах точок  та  відповідно.

В цьому випадку шукана перетворююча матрична функція  вироджується в матрицю  блоки-елементи  якої знаходяться з умови, щоб

                                        (15.3)

де - крок дискретизації області . Позначивши через  номер спостереження за системою та вводячи до розгляду вектори

де  для  задачу (15.3) знаходження елементів матриці G замінимо наступною:

                                                            (15.4)

Задача (15.4) побудови матриці G значень перетворюючої матричної функції  значно простіша задачі (15.1), (15.2) побудови множини  матричних функцій . Вона може бути розв’язана з використанням методів лінійної алгебри, покладених в основу побудови (лекція 3) дискретизованого варіанту інтегральної моделі динаміки розглядуваних систем. Дійсно, як неважко бачити, ідентифікаційна задача (15.4) еквівалентна задачі обернення матричної системи

GU=Y,                                                                                           (15.5)

де

згідно критерію

                                                                    (15.6)

дослідженої детально в [].

15.3 Проблеми ідентифікації систем з дискретно спостережуваною функцією стану. Другим частинним випадком ідентифікації задачі (15.1), (15.2) є випадок, коли на відміну від розглядуваного вище, дискретні по  вимірювання значень  вектор-функції стану  виконуються при неперервно спостережуваній вектор-функції  зовнішньо-динамічних збурень системи.

Проблема знаходження вектора  значень  матричної функції , які відповідають спостережуваним в  значенням  вектор-функції  зведеться до обернення системи інтегральних рівнянь:

                                                                     (15.7)

де .

Позначивши через N кількість спостережень за системою, а через  номер такого спостереження, від системи (15.7) перейдемо до наступної:

                                   (15.8)

де матриця Y співпадає з визначеною вище, а

(тут u(n)() n-е вимірювання вектор-функції  зовнішньо-динамічних збурень).

Нижче ми побудуємо та дослідимо множину

            (15.9)

псевдорозвязків ідентифікаційних співвідношень (15.8) узагальнюючи методику розв’язання дискретизованого варіанту задачі, аналогічно тому як в лекції 4 узагальнювалися результати розв’язання задач сформульованих в лекції 3.

15.4 Проблеми ідентифікації систем з дискретно спостережуваною функцією зовнішньо-динамічних впливів. Аналогічно сформульованому вище заслуговує на увагу ще один частинний випадок ідентифікаційної задачі (15.1),(15.2) – випадок, коли вектор-функція  стану системи може бути спостережуваною неперервно по s, а вектор-функція  зовнішньо-динамічних впливів доступна для вимірювань тільки в M точках .

Проблеми знаходження вектора  значень  матричної функції , які спостережувані в точках , зовнішньо-динамічні впливи um=u(sm) перетворює в спостережувану в  вектор-функцію , зведеться до обернення системи функціональних рівнянь

                                        (15.10)

де .

Вимагаючи виконання співвідношення (15.9) при кожному n-му () спостереженні заключаємо, що шукана матрична вектор-функція  задовольнятиме рівнянню

                                        (15.11)

де матриця U співпадає з визначеною вище, а

(тут)n-е вимірювання вектор-функції  стану системи).

Далі, з використанням методики поширення результатів розв’язання дискретного варіанту (лекція 3) задачі моделювання динаміки систем з розподіленими параметрами на дискретно керовані (лекція 5) системирезультати розв’язання дискретизованого варіанту (15.5) ідентифікаційної задачі (15.1),(15.2) будуть поширені і на розглядуваний тут випадок.

Буде побудована та досліджена множина

       (15.12)

псевдорозв'язків ідентифікаційних співвідношень (15.11).

15.5 Ідентифікаційно-псевдоінверсний підхід для побудови матричної функції Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами. Розглянуті вище задачі побудови матричних вектор-функцій  та , якщо вони будуть розв’язані, дозволяють досить близько підійти до вирішення проблеми побудови інтегральної моделі (1.7) динаміки систем з розподіленими параметрами. Це можна зробити для систем неперервно спостережуваних як по вхідному зовнішньо динамічному збуренню , так і по вихідному вектору  стану системи.

Дійсно, виконуючи спостереження:

  1.  за вектор-функцією  в точках  при заданій вектор-функції  зовнішньо-динамічних збурень;

б) за вектор-функцією  при вимірюваній в точках  вектор-функції зовнішньо-динамічних збурень можна ставити та розв’язувати задачі (15.8)-(15.9) та (15.11)-(15.12) по побудові матричних вектор-функцій   та   відповідно.

Неважко бачити однак, що знайдені таким чином матричні вектор-функції  та  є перерізами двохаргументної матричної функції , яка у співвідношенні (1.7) виконує роль матричної функції Гріна динаміки розглядуваної системи в обмеженні просторово-часовій області. Методи ж обчислювальної математики та комп’ютерної графіки дозволяють при необхідності від перерізів  та  перейти до аналітичного та графічного представлення шуканої функції , а отже і виконати (точно чи з певною точністю, однозначно чи неоднозначно) побудову інтегральної моделі динаміки розглядуваної системи у вигляді (1.7).

15.6. Про загальність псевдоінвертного підходу до ідентифікації систем з розподіленими параметрами. Сформульовані в пунктах 15.3 та 15.4 задачі (15.8)-(15.9) та (15.11)-(15.12) по знаходженню матричних вектор-функцій  та  є допоміжними для розв’язання задачі побудови перерізів двохаргументної матричної функції Гріна  при ідентифікації інтегральної моделі динаміки систем з розподіленими параметрами.

Неважко бачити, що методика розв’язання цих задач (якщо вона буде розвинута), а також задачі (15.5), (15.6) напряму може бути використана при ідентифікації трьох досить широких класів перетворювачів, а саме:

  1.  дискретного матричного перетворювача вигляду

,                   (15.13)

де  та  векторні вхід та вихід системи, а  - шукана матриця, якою виконюється перетворення входу x у вихід y;

2) інтегрального перетворювача вигляду

,                  (15.14)

де ,  для , розподілений в S вхід та дискретний вихід системи, а  шукана матрична функція, якою вхід  перетворюється у вихід y;

3) функціонального перетворювача вигляду

(),                  (15.15)

де ,  та  для  дискретний та розподілений в S вхід та вихід системи, а шукана матрична функція, якою вхід x перетворюється у вихід .

Розглядувані нижче підходи до розв’язання задач (15.5)-(15.6), (15.8)-(15.9) та (15.11)-(15.12) дозволяють розв’язати задачі ідентифікації матриці А та матричних функцій, – перетворювачів вигляду (15.13)-(15.15) згідно критеріїв:

,                  (15.16)

,                  (15.17)

,                  (15.18)

де N – кількість спостережень за відповідним перетворювачем, а n – номер такого спостереження.

Враховуючи сказане, а також те, що задачі (15.13)-(15.18), в силу своєї абстрактності простіші для сприйняття, ніж сформульовані вижче задачі (15.5)-(15.6), (15.8)-(15.9) та (15.11)-(15.12), при побудові ідентифікаційних методів дослідження динаміки розглядуваних систем будемо виходити з останніх.

Для випадків, коли точність, з якою знайдені згідно (15.16)-(15.18) матриця А та матричні функції, , задовольняють перетворенням (15.13)-(15.15), недостатня - розглянемо варіанти нелінійного (поліноміального) перетворення вхідного сигналу у вихідний. Другими словами: крім матриці  А та матричних функцій, ,  побудуємо ще і поліноміальне перетворення  , , де , , таке, щоб

,

,

,

де

,

.

Зауважимо, що всі ці задачі стосовно алгебраїчного перетворення вигляду (15.5) розв’язані в [ ]. Запропонована там методика розв’язання сформульованих вище задач і буде викладена нами нижче.

5

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84186. ОПУХОЛИ КРОВЕНОСНЫХ И ЛИМФАТИЧЕСКИХ СОСУДОВ 24.01 KB
  Микроскопически опухоль состоит из ветвящихся сосудов капиллярного типа с узким просветом который не всегда заполнен кровью. 1ломусангиома опухоль Барре Массона зрелая доброкачественная опухоль сосудистого происхождения миоартериального гломуса. Гемангиоперицитома опухоль сосудистого происхождения в которой наряду с формированием сосудов происходит пролиферация периваскулярных клеток.
84187. Опухоли синовиальной ткани. Опухоли мезотелиальной ткани. Опухоли периферических нервов 24.61 KB
  Опухоли мезотелиальной ткани. Опухоли периферических нервов. Опухоли симпатических ганглиев.
84188. ОПУХОЛИ (ОБЩЕЕ УЧЕНИЕ) 24.92 KB
  Хондрома зрелая доброкачественная опухоль. Микроскопически опухоль имеет строение зрелого гиалинового хряща. Остеома зрелая доброкачественная костная опухоль. Макроскопически опухоль пестрого вида от белосерой до коричневокрасной окраски рыхлой консистенции несмотря на наличие очагового обызвествления.
84189. РАК ВАЖНЕЙШИХ ЛОКАЛИЗАЦИЙ 28.8 KB
  Высокая заболеваемость раком желудка по мнению многих авторов обусловлена употреблением в пишу продуктов содержащих нитраты. Чаще всего рак в желудке возникает в пилорическом отделе затем на малой кривизне в кардиалъном отделе на большой кривизне реже на передней и задней стенке очень редко в области дна. Чаще всего рак желудка имеет язвенную форму с бугристыми приподнятыми или плоскими краями иногда в сочетании с инфильтрирующим ростом язвенноинфильтративный рак на втором месте стоит диффузный рак форма инфильтрата с...
84190. ОПУХОЛИ КРОВЕТВОРНОЙ СИСТЕМЫ, ИЛИ ГЕМОБЛАСТОЗЫ 26.56 KB
  Лимфомы. Принципы классификации лимфом: неходжкинские лимфомы; лимфомы Ходжкина. Лимфомы и лейкемии относят к полиэтиологическим заболеваниям.
84191. РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ. РЕВМАТИЗМ. ПОРОКИ СЕРДЦА 28.8 KB
  ПОРОКИ СЕРДЦА Определение Этиология и патогенез Морфогенез Эндокардит Миокардит Перикардит Патаритрит Пороки сердца Системные заболевания соединительной ткани принято называть в настоящее время ревматическими болезнями. Ревматизм болезнь Сокольского Вуйо инфекционноаллергическое заболевание с преимущественным поражением сердца и сосудов волнообразным течением периодами обострения атаки и ремиссии. Важное значение придается антителам перекрестно реагирующим с антигенами стрептококка и антигенами тканей сердца а также клеточным...
84192. ПАТОЛОГИЯ КЛЕТОК КРОВИ И КОСТНОГО МОЗГА. АНЕМИИ 23.96 KB
  АНЕМИИ Анемии Паталогическая анатомия Гемолитические анемии Болезни системы крови разнообразны. Наибольшее развитие имеют анемии гемобластозы тромбоцитопении и тромбоцитопатии. Анемии или малокровие группа заболеваний и состояний характеризующихся уменьшением общего количества гемоглобина. В зависимости от этиологии и патогенеза различают анемии: постгеморрагические; вследствие нарушения кровообразования; вследствие повышенного кроворазрушения гемолитические.
84193. ПАТОЛОГИЯ КЛЕТОК КРОВИ И КОСТНОГО МОЗГА. ЛЕЙКОЗЫ. ЛИМФОГРАНУЛЕМАТОЗ 24.71 KB
  костном мозге бластных клеток. Острый плазмобластный лейкоз возникает из клетокпредшественников Влимфоцитов способных к продукции иммуноглобулинов. При остром эритромиелозе ди Гульелымо в костном мозге происходит разрастание эритробластов и других ядросодержащих клеток эритропоэза миелобластов монобластов и недифференцированных бластов.
84194. БОЛЕЗНИ ОРГАНОВ ПИЩЕВАРЕНИЯ. ГАСТРИТ 24.07 KB
  ГАСТРИТ Острый гастрит Хронический гастрит Болезни органов пищеварения отличаются большим разнообразием. Гастрит воспалительное заболевание слизистой оболочки желудка. Различают острый и хронический гастриты. Воспаление слизистой оболочки может охватывать весь желудок диффузный гастрит или определенные его отделы очаговый гастрит.