23029

Задачі ідентифікації лінійних алгебраїчних, інтегральних та функціональних перетворень

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка та план розв’язання задачі. Далі розв’язки ідентифікаційних задач 16.3 отримаємо із розв’язку допоміжних задач 16. Розглянемо розв’язок задачі 16.

Русский

2013-08-04

487 KB

1 чел.

139

                                                                                 Стоян В.А.

Лекція 16. Задачі ідентифікації лінійних алгебраїчних,    інтегральних та   функціональних перетворень

16.1. Постановка та план розв’язання задачі. Розглянемо задачу ідентифікації алгебраїчного перетворення (15.5) виходячи із заданих послідовностей

               

та                

,     

де   ,   , вхідних та (відповідно) вихідних сигналів. При цьому побудуємо матрицю  таку, щоб

                                   (16.1)

для кожного .

Для ідентифікації інтегрального та функціонального перетворень (15.8) та (15.11) відповідно такої, щоб для  вимірюваних по  вхідних  

,

(   ) та  вихідних

 ,

                

( ) сигналів (тут та надалі розуміється, що )

 ,                     (16.2)

                                  (16.3)

для кожного , розглянемо дві допоміжні задачі:

а) при заданих

     ,

( , ;  ) побудуємо послідовність матриць

 ,  ( )

таких, щоб

      (16.4)

для кожного   ;

 б) при заданих

,

  

( ;   ,  )  побудуємо послідовність матриць

     (  )

таких, щоб

     (16.5)

для кожного   .

Далі розв’язки ідентифікаційних задач (16.2), (16.3) отримаємо із розв’язку допоміжних задач (16.4), (16.5) при .

16.2. Задача ідентифікації алгебраїчних систем. Розглянемо розв’язок задачі (16.1). Будемо виходити при цьому з того, що вектори  та  утворюють матриці

    (16.6)

та

    (16.7)

відповідно. Через  та  тут та надалі будемо позначати вектори, які утворюють рядки матриць. В цих позначеннях шукану матрицю  запишемо у вигляді:

.                   (16.8)

 Неважко бачити, що матриця ця визначатиметься як розв’язок наступної матричної системи:    

 .        (16.9)

Транспонуючи (16.9) маємо:       

 .

Звідки робимо висновок, що

     ().    (16.10)

 Всяке -те () рівняння системи (16.10) дає розклад  - вектора по системі векторів . А це значить, що проекція вектора   () на ортогональне доповнення  до лінійної оболонки , натягненої на вектор-рядки  матриці рівна нулю. Другими словами: необхідною і достатньою умовою існування розв’язку кожного -го рівняння системи (16.10) є наступна:

              ().  (16.11)

Звідки

     (),

або

                 ().  (16.12)

За умови (16.12) загальний розв’язок системи (16.10) запишемо у вигляді:

 ,,               (16.13)

З врахуванням того, що                

з (16.12) знаходимо       .

Звідки:

    .   (16.14)

Таким чином, задача (16.1) по побудові матриці  перетворення спостережуваних вхідних векторів   у вихідні вектори  розв’язана. Необхідною і достатньою умовою істинності такого розв’язку є співвідношення (16.11). Розв’язок (16.14) буде однозначним (),  якщо

.     (16.15)

16.3. Задача ідентифікації дискретносумуючих перетворювачів. Розглянемо задачу побудови матриць  , які послідовність вхідних сигналів  для всякого  згідно (16.4) сумують у вихідний сигнал .

 Для розв’язання задачі позначимо через

     ,      

         () (16.16)

матричну та векторну функції дискретного аргументу  такі, що

,  

для , .

Після чого систему (16.4) стосовно -го спостерігача запишемо в наступному символічному представленні:

    ().   (16.17)

Останнє еквівалентне матричному рівнянню

 ,    (16.18)

в якому   матрична функція дискретного аргументу  така, що                   ;     

       (16.19)

       ,

а

        ().

Позначимо для зручності

;    

       (16.20)

 ,

де

    ();

   ().

В термінах введених позначень транспонована ідентифікаційна система (16.18) запишеться у вигляді

    ().   (16.21)

Система рівнянь (16.21) матиме розв’язок тоді і тільки тоді, коли (по аналогії з (16.11), (16.12))                            (16.22)

для всякого , де з врахуванням (16.19) та (16.20)                .

При цьому                  (16.23) для всякого , де  

 

довільна вектор-функція дискретного аргументу  така, що

      (; ),

а

.

Транспонуючи та об’єднуючи систему розв’язків (16.23) для всіх  знаходимо, що матрична функція , визначена ідентифікаційним рівнянням (16.18), задовольнятиме умові                              Ω,      (16.24)

де

матрична функція дискретного аргументу  така, що ,  , а

.

 Для випадку, коли

,                   (16.25)

множина Ω даватиме однозначний розв’язок   

                                   (16.26)

символічного матричного рівняння (16.18).

Виконуючи у співвідношеннях (16.24) – (16.26) перехід від матричних функцій , ,  до матриць , ,  () знаходимо, що елементи-матриці послідовності ідентифікаційних матриць розглядуваного нами перетворення (16.4) в загальному випадку (при виконанні (16.22)) задовольнятимуть умовам:              

              ().    (16.27)

При

                               (16.28)

      ().                 (16.29)

Зауважимо, що умовою (16.25) визначається повнота матриці-функції . В термінах її елементів це означає, що    .

16.4. Задача ідентифікації лінійноінтегруючих перетворювачів. Розглянемо задачу ідентифікації системи (16.2) інтегруючої розподілений на інтервалі  сигнал  в -му () спостереженні за нею у вихідний вектор .

Для того, щоб (як було сказано в пункті 16.1) при розв’язанні задачі побудови перетворюючої матричної функції  скористатися результатами ідентифікації дискретноінтегруючого перетворювача (16.4) інтервал  дискретизуємо точками  () такими, що , а також позначимо через                    

,      

матричні функції дискретного аргументу  такі, що , . Зауважимо, що тут та надалі

,

 .

Останнє дозволяє розв’язок розглядуваної задачі отримати при  з розв’язку ідентифікаційної задачі

,                   (16.30)

яку ми розв’язали в попередньому пункті.

Враховуючи сказане із співвідношень (16.27) – (16.29) знаходимо, що в загальному випадку                                      ,             (16.31)

де  - довільна інтегровна по  матриця розмірності , а

,   .

Визначена співвідношенням (16.31) матрична функція  буде розв’язком розглядуваної задачі тоді і тільки тоді, коли

       .                (16.32)

За умови, що

   ,

розв’язок задачі буде однозначним. При цьому

 .

16.5. Задача ідентифікації дискретнорозподільчих перетворювачів. Розглянемо задачу побудови послідовності матриць , які заданий в -му () вимірі вхідний сигнал  згідно (16.5) перетворюють в послідовність  вихідних сигналів.

Для розв’язання задачі позначимо через

   ,

            ()

матричну та векторну функції дискретного аргументу   такі, що  

,    

для , .

Після чого систему (16.5) стосовно -го спостерігача запишемо в наступному символічному представленні:

.                  (16.33)

Останнє еквівалентне матричному рівнянню

,     (16.34)

в якому

    

матрична функція дискретного аргументу  така, що

  ,                                 ,

а

      ().

Покладаючи

,   

та вводячи до розгляду векторні функції

 ,

 

дискретного аргументу  такі, що

,

,

транспоновану ідентифікаційну систему (16.34) запишемо у вигляді

   ().   (16.35)

Система рівнянь (16.35) матиме розв’язок тоді і тільки тоді, коли (знову ж по аналогії з (16.11), (16.12))

  ,  (16.36)

де .

При цьому             (16.37)

для всякого, де

  

довільна вектор-функція дискретного аргументу  така, що

   ,      ,    ,

а

.

Транспонуючи та об’єднуючи систему розв’язків (16.37) для всіх  знаходимо, що матрична функція , визначена ідентифікаційним рівнянням (16.33), задовольнятиме умові

,            (16.38)

де        

довільна матрична функція дискретного аргументу  така, що

.

За умови, коли

 ,     (16.39)

множина  задаватиме однозначний розв’язок

     (16.40)

символічного матричного рівняння (16.33).

Виконуючи у співвідношеннях (16.38) – (16.40) перехід від матричних функцій , ,  до матриць , ,  () знаходимо, що елементи-матриці послідовності ідентифікаційних матриць розглядуваного тут перетворення (16.33) в загальному випадку (при виконанні умови (16.36) для вибраного нами ) задовольнятимуть умовам:         (16.41)  для всякого.

При             

    ().                 (16.42)

 16.6. Задача ідентифікації лінійно-функціональних перетворювачів. Розглянемо задачу ідентифікації системи (16.3), якою стаціонарний в часі вхідний вектор    в  - му () спостереженні за системою перетворюється в розподілений на інтервалі  вихідний сигнал .

Для поширення результатів розглянутої тільки що ідентифікації системи (16.6) на систему (16.3) інтервал  дискретизуємо точками   такими, що  , а також позначимо через    ,   

матричні функції дискретного аргументу  такі, що  ,     .

Останнє дозволяє від розглядуваної неперервної по системи (16.3) перейти до дискретної системи вигляду (16.34), ідентифікаційний розв’язок якої нами вже побудований у вигляді (16.38). Звідки при  отримуємо, що             ,       (16.43)

де  - довільна інтегровна по  матриця розмірності , а .

Однозначність визначеного співвідношенням (16.43) розв’язку задачі, як і вище, буде визначатися умовою (16.42). При цьому       .     (16.44)

Зауважимо, що множина розв’язків (16.43), або один із них у формі (16.44), будуть існувати, коли (як це випливає з (16.36))

                (16.45)

для значення  та .

 

 

140

 Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29023. Фундаменты мелкого заложения и их основные виды. Применяемые материалы и их выбор 43 KB
  Фундаменты мелкого заложения и их основные виды. К фундаментам мелкого заложения относятся фундаменты имеющие отношение их глубины заложения к ширине подошвы не превышающее 4 и передающие нагрузку на грунты основания преимущественно через подошву. Фундаменты мелкого заложения разделяются на следующие основные типы: отдельные ленточные сплошные и массивные см.2 Отдельные фундаменты устраивают под колонны опоры балок ферм и других элементов промышленных и гражданских зданий и сооружений.
29024. Отдельные фундаменты мелкого заложения. Основные конструктивные решения и применяемые материалы 48 KB
  Отдельные фундаменты мелкого заложения. Отдельные фундаменты устраивают под колонны опоры балок ферм и других элементов промышленных и гражданских зданий и сооружений. Отдельные фундаменты представляют собой кирпичные каменные бетонные или железобетонные столбы с уширенной опорной частью. Отдельные фундаменты могут выполняться в монолитном и сборном варианте.
29025. Ленточные фундаменты под стены. Конструктивные решения и применяемые материалы. Условия применения прерывистых ленточных фундаментов 36.5 KB
  Ленточные фундаменты под стены. Ленточные фундаменты под стены устраивают либо монолитными либо из сборных блоков. Монолитные ленточные фундаменты изготовляют из природного камня бетона или железобетона. Монолитные ленточные фундаменты из природного камня и бетона проектируются как жёсткие.
29026. Ленточные фундаменты под колонны и их конструктивные решения 26 KB
  Ленточные фундаменты под колонны и их конструктивные решения. Ленточные фундаменты под колонны устраивают в виде одиночных под ряд колонн или перекрёстных под сетку колонн лент рис. Ленточные фундаменты под колонны предают большую жёсткость сооружению и способствуют выравниванию его осадки.
29027. Сплошные фундаменты. Основные конструктивные решения. Сопряжение колонн со сплошными фундаментами 31 KB
  Сплошные фундаменты. Сплошные фундаменты иногда называемые плитными устраивают под всем зданием в виде железобетонных плит под стены или сетку колонн рис. Сплошные фундаменты способствуют уменьшению неравномерности осадки сооружения. Сплошные фундаменты выполняются как правило из монолитного железобетона.
29028. Определение глубины заложения фундамента исходя из инженерно-геологических и гидрогеологических условий строительной площадки 31.5 KB
  Этот выбор производится на основе предварительной оценки прочности и сжимаемости грунтов по геологическим разрезам. Покажем это на примере рассмотрев 3 наиболее характерные схемы напластований грунтов приведенные на рис. Площадка сложена одним или несколькими слоями прочных грунтов при этом строительные свойства каждого последующего слоя не хуже свойств предыдущего. В этом случае глубина заложения фундамента принимается минимальной допускаемой при учёте сезонного промерзания грунтов и конструктивных особенностей сооружения рис.
29029. Учёт глубины сезонного промерзания грунтов при выборе глубины заложения фундаментов зданий и сооружений 20.5 KB
  Учёт глубины сезонного промерзания грунтов при выборе глубины заложения фундаментов зданий и сооружений. Глубина заложения фундамента из условия промерзания грунтов назначается в зависимости от их вида состояния начальной влажности и уровня подземных вод в период промерзания. Как непучинистые рассматриваются также пески мелкие и пылеватые с любой влажностью а также супеси твёрдой консистенции если уровень подземных вод во время промерзания находится от спланированной отметки земли на глубине равной расчётной глубине промерзания плюс 2 м...
29030. Определение глубины заложения фундаментов с учётом конструктивных особенностей сооружения, включая глубину прокладки подземных коммуникаций, наличие и глубину заложения соседних фундаментов 31.5 KB
  Определение глубины заложения фундаментов с учётом конструктивных особенностей сооружения включая глубину прокладки подземных коммуникаций наличие и глубину заложения соседних фундаментов. Основными конструктивными особенностями возводимого сооружения влияющими на глубину заложения его фундамента являются: наличие и размеры подвальных помещений приямков или фундаментов под оборудование; глубина заложения фундаментов примыкающих сооружений; наличие и глубина прокладки подземных коммуникаций. В зданиях с подвалом или полуподвалом а также...
29031. Определение размеров подошвы центрально нагруженных фундаментов мелкого заложения 63.5 KB
  Реактивное давление грунта по подошве жёсткого центрально нагруженного фундамента принимается равномерно распределённым интенсивностью: 1 где NoII расчётная вертикальная нагрузка на уровне обреза фундамента; GfII и GgII расчётные значения веса фундамента и грунта на его уступах см.1; А площадь подошвы фундамента. Площадь подошвы фундамента при его расчёте по второму предельному состоянию по деформациям определяется из условия: pII ≤ R 2 где R расчётное сопротивление грунта основания. Поскольку обе части неравенства 2...