23029

Задачі ідентифікації лінійних алгебраїчних, інтегральних та функціональних перетворень

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка та план розв’язання задачі. Далі розв’язки ідентифікаційних задач 16.3 отримаємо із розв’язку допоміжних задач 16. Розглянемо розв’язок задачі 16.

Русский

2013-08-04

487 KB

1 чел.

139

                                                                                 Стоян В.А.

Лекція 16. Задачі ідентифікації лінійних алгебраїчних,    інтегральних та   функціональних перетворень

16.1. Постановка та план розв’язання задачі. Розглянемо задачу ідентифікації алгебраїчного перетворення (15.5) виходячи із заданих послідовностей

               

та                

,     

де   ,   , вхідних та (відповідно) вихідних сигналів. При цьому побудуємо матрицю  таку, щоб

                                   (16.1)

для кожного .

Для ідентифікації інтегрального та функціонального перетворень (15.8) та (15.11) відповідно такої, щоб для  вимірюваних по  вхідних  

,

(   ) та  вихідних

 ,

                

( ) сигналів (тут та надалі розуміється, що )

 ,                     (16.2)

                                  (16.3)

для кожного , розглянемо дві допоміжні задачі:

а) при заданих

     ,

( , ;  ) побудуємо послідовність матриць

 ,  ( )

таких, щоб

      (16.4)

для кожного   ;

 б) при заданих

,

  

( ;   ,  )  побудуємо послідовність матриць

     (  )

таких, щоб

     (16.5)

для кожного   .

Далі розв’язки ідентифікаційних задач (16.2), (16.3) отримаємо із розв’язку допоміжних задач (16.4), (16.5) при .

16.2. Задача ідентифікації алгебраїчних систем. Розглянемо розв’язок задачі (16.1). Будемо виходити при цьому з того, що вектори  та  утворюють матриці

    (16.6)

та

    (16.7)

відповідно. Через  та  тут та надалі будемо позначати вектори, які утворюють рядки матриць. В цих позначеннях шукану матрицю  запишемо у вигляді:

.                   (16.8)

 Неважко бачити, що матриця ця визначатиметься як розв’язок наступної матричної системи:    

 .        (16.9)

Транспонуючи (16.9) маємо:       

 .

Звідки робимо висновок, що

     ().    (16.10)

 Всяке -те () рівняння системи (16.10) дає розклад  - вектора по системі векторів . А це значить, що проекція вектора   () на ортогональне доповнення  до лінійної оболонки , натягненої на вектор-рядки  матриці рівна нулю. Другими словами: необхідною і достатньою умовою існування розв’язку кожного -го рівняння системи (16.10) є наступна:

              ().  (16.11)

Звідки

     (),

або

                 ().  (16.12)

За умови (16.12) загальний розв’язок системи (16.10) запишемо у вигляді:

 ,,               (16.13)

З врахуванням того, що                

з (16.12) знаходимо       .

Звідки:

    .   (16.14)

Таким чином, задача (16.1) по побудові матриці  перетворення спостережуваних вхідних векторів   у вихідні вектори  розв’язана. Необхідною і достатньою умовою істинності такого розв’язку є співвідношення (16.11). Розв’язок (16.14) буде однозначним (),  якщо

.     (16.15)

16.3. Задача ідентифікації дискретносумуючих перетворювачів. Розглянемо задачу побудови матриць  , які послідовність вхідних сигналів  для всякого  згідно (16.4) сумують у вихідний сигнал .

 Для розв’язання задачі позначимо через

     ,      

         () (16.16)

матричну та векторну функції дискретного аргументу  такі, що

,  

для , .

Після чого систему (16.4) стосовно -го спостерігача запишемо в наступному символічному представленні:

    ().   (16.17)

Останнє еквівалентне матричному рівнянню

 ,    (16.18)

в якому   матрична функція дискретного аргументу  така, що                   ;     

       (16.19)

       ,

а

        ().

Позначимо для зручності

;    

       (16.20)

 ,

де

    ();

   ().

В термінах введених позначень транспонована ідентифікаційна система (16.18) запишеться у вигляді

    ().   (16.21)

Система рівнянь (16.21) матиме розв’язок тоді і тільки тоді, коли (по аналогії з (16.11), (16.12))                            (16.22)

для всякого , де з врахуванням (16.19) та (16.20)                .

При цьому                  (16.23) для всякого , де  

 

довільна вектор-функція дискретного аргументу  така, що

      (; ),

а

.

Транспонуючи та об’єднуючи систему розв’язків (16.23) для всіх  знаходимо, що матрична функція , визначена ідентифікаційним рівнянням (16.18), задовольнятиме умові                              Ω,      (16.24)

де

матрична функція дискретного аргументу  така, що ,  , а

.

 Для випадку, коли

,                   (16.25)

множина Ω даватиме однозначний розв’язок   

                                   (16.26)

символічного матричного рівняння (16.18).

Виконуючи у співвідношеннях (16.24) – (16.26) перехід від матричних функцій , ,  до матриць , ,  () знаходимо, що елементи-матриці послідовності ідентифікаційних матриць розглядуваного нами перетворення (16.4) в загальному випадку (при виконанні (16.22)) задовольнятимуть умовам:              

              ().    (16.27)

При

                               (16.28)

      ().                 (16.29)

Зауважимо, що умовою (16.25) визначається повнота матриці-функції . В термінах її елементів це означає, що    .

16.4. Задача ідентифікації лінійноінтегруючих перетворювачів. Розглянемо задачу ідентифікації системи (16.2) інтегруючої розподілений на інтервалі  сигнал  в -му () спостереженні за нею у вихідний вектор .

Для того, щоб (як було сказано в пункті 16.1) при розв’язанні задачі побудови перетворюючої матричної функції  скористатися результатами ідентифікації дискретноінтегруючого перетворювача (16.4) інтервал  дискретизуємо точками  () такими, що , а також позначимо через                    

,      

матричні функції дискретного аргументу  такі, що , . Зауважимо, що тут та надалі

,

 .

Останнє дозволяє розв’язок розглядуваної задачі отримати при  з розв’язку ідентифікаційної задачі

,                   (16.30)

яку ми розв’язали в попередньому пункті.

Враховуючи сказане із співвідношень (16.27) – (16.29) знаходимо, що в загальному випадку                                      ,             (16.31)

де  - довільна інтегровна по  матриця розмірності , а

,   .

Визначена співвідношенням (16.31) матрична функція  буде розв’язком розглядуваної задачі тоді і тільки тоді, коли

       .                (16.32)

За умови, що

   ,

розв’язок задачі буде однозначним. При цьому

 .

16.5. Задача ідентифікації дискретнорозподільчих перетворювачів. Розглянемо задачу побудови послідовності матриць , які заданий в -му () вимірі вхідний сигнал  згідно (16.5) перетворюють в послідовність  вихідних сигналів.

Для розв’язання задачі позначимо через

   ,

            ()

матричну та векторну функції дискретного аргументу   такі, що  

,    

для , .

Після чого систему (16.5) стосовно -го спостерігача запишемо в наступному символічному представленні:

.                  (16.33)

Останнє еквівалентне матричному рівнянню

,     (16.34)

в якому

    

матрична функція дискретного аргументу  така, що

  ,                                 ,

а

      ().

Покладаючи

,   

та вводячи до розгляду векторні функції

 ,

 

дискретного аргументу  такі, що

,

,

транспоновану ідентифікаційну систему (16.34) запишемо у вигляді

   ().   (16.35)

Система рівнянь (16.35) матиме розв’язок тоді і тільки тоді, коли (знову ж по аналогії з (16.11), (16.12))

  ,  (16.36)

де .

При цьому             (16.37)

для всякого, де

  

довільна вектор-функція дискретного аргументу  така, що

   ,      ,    ,

а

.

Транспонуючи та об’єднуючи систему розв’язків (16.37) для всіх  знаходимо, що матрична функція , визначена ідентифікаційним рівнянням (16.33), задовольнятиме умові

,            (16.38)

де        

довільна матрична функція дискретного аргументу  така, що

.

За умови, коли

 ,     (16.39)

множина  задаватиме однозначний розв’язок

     (16.40)

символічного матричного рівняння (16.33).

Виконуючи у співвідношеннях (16.38) – (16.40) перехід від матричних функцій , ,  до матриць , ,  () знаходимо, що елементи-матриці послідовності ідентифікаційних матриць розглядуваного тут перетворення (16.33) в загальному випадку (при виконанні умови (16.36) для вибраного нами ) задовольнятимуть умовам:         (16.41)  для всякого.

При             

    ().                 (16.42)

 16.6. Задача ідентифікації лінійно-функціональних перетворювачів. Розглянемо задачу ідентифікації системи (16.3), якою стаціонарний в часі вхідний вектор    в  - му () спостереженні за системою перетворюється в розподілений на інтервалі  вихідний сигнал .

Для поширення результатів розглянутої тільки що ідентифікації системи (16.6) на систему (16.3) інтервал  дискретизуємо точками   такими, що  , а також позначимо через    ,   

матричні функції дискретного аргументу  такі, що  ,     .

Останнє дозволяє від розглядуваної неперервної по системи (16.3) перейти до дискретної системи вигляду (16.34), ідентифікаційний розв’язок якої нами вже побудований у вигляді (16.38). Звідки при  отримуємо, що             ,       (16.43)

де  - довільна інтегровна по  матриця розмірності , а .

Однозначність визначеного співвідношенням (16.43) розв’язку задачі, як і вище, буде визначатися умовою (16.42). При цьому       .     (16.44)

Зауважимо, що множина розв’язків (16.43), або один із них у формі (16.44), будуть існувати, коли (як це випливає з (16.36))

                (16.45)

для значення  та .

 

 

140

 Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28701. Военно-революционный комитет Петрограда и его роль в переходе власти к Советам. Создание милиции, судебных органов, ВЧК и Красной Армии, их компетенции и борьба против контрреволюции 14.26 KB
  Создание милиции судебных органов ВЧК и Красной Армии их компетенции и борьба против контрреволюции.10 вводится в действие приказ По рабочей милиции. НКВД и Наркомюст утвердили совместную инструкцию Об организации советской рабочекрестьянской милиции. Руководство органами милиции осуществляло Главное управление рабочекрестьянской милиции НКВД РСФСР.
28702. «Декларация прав трудящегося и эксплуатируемого народа», ее содержание и значение 12.2 KB
  Декларация прав трудящегося и эксплуатируемого народа ее содержание и значение. Декларация Прав Трудящегося И Эксплуатируемого Народа важнейший конституционный акт Советской республики законодательно закрепивший завоевания Октябрьской революции и провозгласивший основные принципы и задачи социалистического государства. Декларация была утверждена III Всероссийским съездом рабочих солдатских и крестьянских депутатов. Декларация состояла из четырех разделов.
28703. «Декларация прав народов России», ее содержание и значение 15 ноября 1917 г. 11.56 KB
  Декларация прав народов России ее содержание и значение 15 ноября 1917 г. Исполняя волю съездов Совет Народных Комиссаров решил положить в основу своей деяти по вопросу о национальностях России следующие начала: 1 Равенство и суверенноcть народов России. 2 Право народов России на свободное самоопределение вплоть до отделения и образования самостоятельного государства. 4 Свободное развитие национальных меньшинств и этнографических групп населяющих территорию России.
28704. Мероприятия Советского государства по созданию новой экономики. Национализация банков связи, транспорта, внешней торговли, крупной промышленности 13.92 KB
  ВСНХ принял постановление согласно котму все частные предпря с числом рабочих свыше 5 при наличии механического двигателя на предприятии или 10 без двигателя человек объявлялись национализированными. органа по рукву эккой страны учреждался Высший совет народного хозва ВСНХ. ВСНХ действовал в качестве органа при правве. ВСНХ д.
28705. Основные направления в развитии гражданского, уголовного, колхозного и трудового права с конца 50-х и до середины 80-х гг. XX в. 13.31 KB
  СССР 1977 г. СССР регулировала также личную собствсть граждан. Закрепляя право на труд Конституция СССР 1977 г. Одновременно в Конституции содержались положения об обязанности каждого гражданина СССР добросовестно трудиться в избранной им области строго соблюдать трудовую и производственную дисциплину.
28706. Разработка и принятие Конституции СССР 1977 г. Ее основные положения. Закрепление однопартийной системы в стране 12.86 KB
  Политическую основу СССР составляют Советы народных депутатов, Основой эк-кой системы признана социалистическая собст-ть на средства пр-ва. В Конст. констатировались построение развитого социалистического общества и создание общенародного гос.ва. В ней закреплялись «руководящая и направляющая» роль Коммунистической партии и новые формы
28707. Правовые взгляды 60 - 80-х гг. Развитие идеи социального общенародного государства и его правовой основы 12.99 KB
  Стабильность общго и госго строя в рассматриваемый период обусловливает и устойчивое развитие советского права для которого не свойственны какиелибо существенные изменения однако в связи с большим объемом нормативноправовых актов требуется проведение систематизации и кодификации. Завершаются проводившиеся более 20 лет работы по кодификации основных отраслей права. В самой системе права можно выделить три тенденции: 1 образование одной отрасли права в результате объединения различных актов регулирующих сходные группы отношений...
28708. Меры по укреплению законности, трудовой дисциплины, совершенствованию и углублению самоуправления народа и дальнейшей демократизации общества (1-ая половина 80-х гг. XX в.) 11.41 KB
  Меры по укреплению законности трудовой дисциплины совершенствованию и углублению самоуправления народа и дальнейшей демократизации общества 1ая половина 80х гг. Радикальная реформа общества начавшаяся сверху в 1985 г. Быстро происходи размежевание общества на демократов националпатриотов и коммунистов.
28709. Государство «развитого социализма» и нарастание кризиса социалистической государственности и права (сер. 70-х - авг. 1991 г.) 13.29 KB
  Съезд народных депутатов СССР становится высшим органом гос. на основе нового Закона выборы депутатов съезда народных депутатов СССР были первыми демократичными выборами. Верховный Совет СССР потерял роль органа олицетворяющего полновластие Советов. Длительное время фактическим руководителем в СССР являлся глава КПСС.