23029

Задачі ідентифікації лінійних алгебраїчних, інтегральних та функціональних перетворень

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка та план розв’язання задачі. Далі розв’язки ідентифікаційних задач 16.3 отримаємо із розв’язку допоміжних задач 16. Розглянемо розв’язок задачі 16.

Русский

2013-08-04

487 KB

1 чел.

139

                                                                                 Стоян В.А.

Лекція 16. Задачі ідентифікації лінійних алгебраїчних,    інтегральних та   функціональних перетворень

16.1. Постановка та план розв’язання задачі. Розглянемо задачу ідентифікації алгебраїчного перетворення (15.5) виходячи із заданих послідовностей

               

та                

,     

де   ,   , вхідних та (відповідно) вихідних сигналів. При цьому побудуємо матрицю  таку, щоб

                                   (16.1)

для кожного .

Для ідентифікації інтегрального та функціонального перетворень (15.8) та (15.11) відповідно такої, щоб для  вимірюваних по  вхідних  

,

(   ) та  вихідних

 ,

                

( ) сигналів (тут та надалі розуміється, що )

 ,                     (16.2)

                                  (16.3)

для кожного , розглянемо дві допоміжні задачі:

а) при заданих

     ,

( , ;  ) побудуємо послідовність матриць

 ,  ( )

таких, щоб

      (16.4)

для кожного   ;

 б) при заданих

,

  

( ;   ,  )  побудуємо послідовність матриць

     (  )

таких, щоб

     (16.5)

для кожного   .

Далі розв’язки ідентифікаційних задач (16.2), (16.3) отримаємо із розв’язку допоміжних задач (16.4), (16.5) при .

16.2. Задача ідентифікації алгебраїчних систем. Розглянемо розв’язок задачі (16.1). Будемо виходити при цьому з того, що вектори  та  утворюють матриці

    (16.6)

та

    (16.7)

відповідно. Через  та  тут та надалі будемо позначати вектори, які утворюють рядки матриць. В цих позначеннях шукану матрицю  запишемо у вигляді:

.                   (16.8)

 Неважко бачити, що матриця ця визначатиметься як розв’язок наступної матричної системи:    

 .        (16.9)

Транспонуючи (16.9) маємо:       

 .

Звідки робимо висновок, що

     ().    (16.10)

 Всяке -те () рівняння системи (16.10) дає розклад  - вектора по системі векторів . А це значить, що проекція вектора   () на ортогональне доповнення  до лінійної оболонки , натягненої на вектор-рядки  матриці рівна нулю. Другими словами: необхідною і достатньою умовою існування розв’язку кожного -го рівняння системи (16.10) є наступна:

              ().  (16.11)

Звідки

     (),

або

                 ().  (16.12)

За умови (16.12) загальний розв’язок системи (16.10) запишемо у вигляді:

 ,,               (16.13)

З врахуванням того, що                

з (16.12) знаходимо       .

Звідки:

    .   (16.14)

Таким чином, задача (16.1) по побудові матриці  перетворення спостережуваних вхідних векторів   у вихідні вектори  розв’язана. Необхідною і достатньою умовою істинності такого розв’язку є співвідношення (16.11). Розв’язок (16.14) буде однозначним (),  якщо

.     (16.15)

16.3. Задача ідентифікації дискретносумуючих перетворювачів. Розглянемо задачу побудови матриць  , які послідовність вхідних сигналів  для всякого  згідно (16.4) сумують у вихідний сигнал .

 Для розв’язання задачі позначимо через

     ,      

         () (16.16)

матричну та векторну функції дискретного аргументу  такі, що

,  

для , .

Після чого систему (16.4) стосовно -го спостерігача запишемо в наступному символічному представленні:

    ().   (16.17)

Останнє еквівалентне матричному рівнянню

 ,    (16.18)

в якому   матрична функція дискретного аргументу  така, що                   ;     

       (16.19)

       ,

а

        ().

Позначимо для зручності

;    

       (16.20)

 ,

де

    ();

   ().

В термінах введених позначень транспонована ідентифікаційна система (16.18) запишеться у вигляді

    ().   (16.21)

Система рівнянь (16.21) матиме розв’язок тоді і тільки тоді, коли (по аналогії з (16.11), (16.12))                            (16.22)

для всякого , де з врахуванням (16.19) та (16.20)                .

При цьому                  (16.23) для всякого , де  

 

довільна вектор-функція дискретного аргументу  така, що

      (; ),

а

.

Транспонуючи та об’єднуючи систему розв’язків (16.23) для всіх  знаходимо, що матрична функція , визначена ідентифікаційним рівнянням (16.18), задовольнятиме умові                              Ω,      (16.24)

де

матрична функція дискретного аргументу  така, що ,  , а

.

 Для випадку, коли

,                   (16.25)

множина Ω даватиме однозначний розв’язок   

                                   (16.26)

символічного матричного рівняння (16.18).

Виконуючи у співвідношеннях (16.24) – (16.26) перехід від матричних функцій , ,  до матриць , ,  () знаходимо, що елементи-матриці послідовності ідентифікаційних матриць розглядуваного нами перетворення (16.4) в загальному випадку (при виконанні (16.22)) задовольнятимуть умовам:              

              ().    (16.27)

При

                               (16.28)

      ().                 (16.29)

Зауважимо, що умовою (16.25) визначається повнота матриці-функції . В термінах її елементів це означає, що    .

16.4. Задача ідентифікації лінійноінтегруючих перетворювачів. Розглянемо задачу ідентифікації системи (16.2) інтегруючої розподілений на інтервалі  сигнал  в -му () спостереженні за нею у вихідний вектор .

Для того, щоб (як було сказано в пункті 16.1) при розв’язанні задачі побудови перетворюючої матричної функції  скористатися результатами ідентифікації дискретноінтегруючого перетворювача (16.4) інтервал  дискретизуємо точками  () такими, що , а також позначимо через                    

,      

матричні функції дискретного аргументу  такі, що , . Зауважимо, що тут та надалі

,

 .

Останнє дозволяє розв’язок розглядуваної задачі отримати при  з розв’язку ідентифікаційної задачі

,                   (16.30)

яку ми розв’язали в попередньому пункті.

Враховуючи сказане із співвідношень (16.27) – (16.29) знаходимо, що в загальному випадку                                      ,             (16.31)

де  - довільна інтегровна по  матриця розмірності , а

,   .

Визначена співвідношенням (16.31) матрична функція  буде розв’язком розглядуваної задачі тоді і тільки тоді, коли

       .                (16.32)

За умови, що

   ,

розв’язок задачі буде однозначним. При цьому

 .

16.5. Задача ідентифікації дискретнорозподільчих перетворювачів. Розглянемо задачу побудови послідовності матриць , які заданий в -му () вимірі вхідний сигнал  згідно (16.5) перетворюють в послідовність  вихідних сигналів.

Для розв’язання задачі позначимо через

   ,

            ()

матричну та векторну функції дискретного аргументу   такі, що  

,    

для , .

Після чого систему (16.5) стосовно -го спостерігача запишемо в наступному символічному представленні:

.                  (16.33)

Останнє еквівалентне матричному рівнянню

,     (16.34)

в якому

    

матрична функція дискретного аргументу  така, що

  ,                                 ,

а

      ().

Покладаючи

,   

та вводячи до розгляду векторні функції

 ,

 

дискретного аргументу  такі, що

,

,

транспоновану ідентифікаційну систему (16.34) запишемо у вигляді

   ().   (16.35)

Система рівнянь (16.35) матиме розв’язок тоді і тільки тоді, коли (знову ж по аналогії з (16.11), (16.12))

  ,  (16.36)

де .

При цьому             (16.37)

для всякого, де

  

довільна вектор-функція дискретного аргументу  така, що

   ,      ,    ,

а

.

Транспонуючи та об’єднуючи систему розв’язків (16.37) для всіх  знаходимо, що матрична функція , визначена ідентифікаційним рівнянням (16.33), задовольнятиме умові

,            (16.38)

де        

довільна матрична функція дискретного аргументу  така, що

.

За умови, коли

 ,     (16.39)

множина  задаватиме однозначний розв’язок

     (16.40)

символічного матричного рівняння (16.33).

Виконуючи у співвідношеннях (16.38) – (16.40) перехід від матричних функцій , ,  до матриць , ,  () знаходимо, що елементи-матриці послідовності ідентифікаційних матриць розглядуваного тут перетворення (16.33) в загальному випадку (при виконанні умови (16.36) для вибраного нами ) задовольнятимуть умовам:         (16.41)  для всякого.

При             

    ().                 (16.42)

 16.6. Задача ідентифікації лінійно-функціональних перетворювачів. Розглянемо задачу ідентифікації системи (16.3), якою стаціонарний в часі вхідний вектор    в  - му () спостереженні за системою перетворюється в розподілений на інтервалі  вихідний сигнал .

Для поширення результатів розглянутої тільки що ідентифікації системи (16.6) на систему (16.3) інтервал  дискретизуємо точками   такими, що  , а також позначимо через    ,   

матричні функції дискретного аргументу  такі, що  ,     .

Останнє дозволяє від розглядуваної неперервної по системи (16.3) перейти до дискретної системи вигляду (16.34), ідентифікаційний розв’язок якої нами вже побудований у вигляді (16.38). Звідки при  отримуємо, що             ,       (16.43)

де  - довільна інтегровна по  матриця розмірності , а .

Однозначність визначеного співвідношенням (16.43) розв’язку задачі, як і вище, буде визначатися умовою (16.42). При цьому       .     (16.44)

Зауважимо, що множина розв’язків (16.43), або один із них у формі (16.44), будуть існувати, коли (як це випливає з (16.36))

                (16.45)

для значення  та .

 

 

140

 Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74404. КОНУС НАРАСТАНИЯ СТЕБЛЯ 32.5 KB
  Теория справедливая для споровых растений мхов плаунов хвощей и папоротников см. 83 оказалась неверной для голосеменных и покрытосеменных растений. Ганштейн показал что у этих растений единственной апикальной клетки нет конус нарастания их побега массивный многоклеточный и слоистый. По теории гистогенов сформулированной Ганштейном конус нарастания голосеменных и цветковых растений состоит из трех слоев клеток: 1 наружного однослойного дерматогена1 из него возникает кожица эпидермис;2 периблемы состоящей из одного или...
74405. Ксилема 40 KB
  По характеру утолщения стенок различают трахеиды кольчатые спиральные лестничные сетчатые и пористые рис. Пористые трахерды имеют всегда окаймленные поры рис. 101 у хвойных обычно с торусом рис. Трахеиды приспособлены к выполнению двух функций: проведения воды и механического укрепления органа.
74406. Вторичная ксилема 67.5 KB
  Многолетняя деятельность камбия приводит к коренным изменениям в строении древесины и луба. Вторичная ксилема или вторичная древесина Строение древесины хвойных. В трахеидах поздней древесины образованной камбием в конце лета и осенью радиальный размер значительно меньше тангентального; оболочка сильно утолщена а клеточный просвет мал. Трахеиды ранней древесины в соответствии с их строением являются преимущественно элементами проводящей системы; поздние же трахеиды по строению принадлежащие к типу волокнистых трахеид функционируют в...
74407. Вторичная флоэма, или вторичный луб 44.5 KB
  Продольная лубяная паренхима образуется в виде цепочек тяжей лубяной паренхимы или в виде длинных не поделившихся поперечными перегородками клеток камбиформ аналогичных клеткам древесинной паренхимы. Оболочки клеток паренхимы луба обычно одревесневают позже и слабее чем в древесине. Паренхима располагается в лубе в виде тангентальных прослоек у липы радиальными рядами у бузины группами из нескольких клеток у сосен. В паренхиме скопляются запасы в виде крахмала а также в виде гемицеллюлоз откладывающихся в оболочках клеток.
74408. Вторичное утолщение корней 30 KB
  В результате образуется замкнутое камбиальное кольцо с лопастным и только в диархных корнях овальным очертанием на поперечных срезах. У многих многолетних растений деятельность камбия в корнях так же как и в стеблях периодична и часто можно видеть кольца прироста рис. У древесных пород относящихся к двудольным гистологическое различие между древесиной корня и ствола выражено еще более резко: в корнях трахеи и трахеиды более многочисленны и более тесно расположены более тонкостенны а обычно и более широкопросветны1 снабжены более...
74409. Гинецей 59.5 KB
  У некоторых растений столбик не развит рыльце находится непосредственно на завязи и называется сидячим. Так как семяпочки заключены внутри завязи то на них не могут непосредственно как у голосеменных переноситься пылинки.
74410. Половое размножение голосеменных растений 48.5 KB
  Покров вырастает из основания нуцеллуса так называемой халацы обрастает нуцеллус постепенно снизу вверх но на вершине не смыкается оставляя отверстие так называемый пыльцевход или семявход илимикропиле. Из получающихся четырех клеток одна сильно разрастается вытесняя три остальные и большую часть нуцеллуса; это и будет мегаспора...
74411. Заложение и развитие листа 29.5 KB
  Сначала его клетки делятся во всех трех направлениях и зачаток листа растет в толщину и высоту. Довольно рано рост в толщину прекращается и зачаток листа становится плоским. Вначале зачаток листа не разделен на части но вскоре можно различить две части верхнюю и нижнюю причем верхняя апикальная первое время растет быстрее нижней базальной.
74412. Заложение прокамбия и типы строения стеблей 46.5 KB
  Закладывается замкнутое кольцо прокамбия. Довольно часто внутрь от первичной ксилемы часть прокамбия дифференцируется в дополнительные участки внутренней флоэмы барвинок Vinc вьюнок Convolvulus и др. При таком заложении прокамбия листовые следы могут быть совсем незаметны а могут быть хорошо выражены.