23029

Задачі ідентифікації лінійних алгебраїчних, інтегральних та функціональних перетворень

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка та план розвязання задачі. Далі розвязки ідентифікаційних задач 16.3 отримаємо із розвязку допоміжних задач 16. Розглянемо розвязок задачі 16.

Русский

2013-08-04

487 KB

1 чел.

139

                                                                                 Стоян В.А.

Лекція 16. Задачі ідентифікації лінійних алгебраїчних,    інтегральних та   функціональних перетворень

16.1. Постановка та план розв’язання задачі. Розглянемо задачу ідентифікації алгебраїчного перетворення (15.5) виходячи із заданих послідовностей

               

та                

,     

де   ,   , вхідних та (відповідно) вихідних сигналів. При цьому побудуємо матрицю  таку, щоб

                                   (16.1)

для кожного .

Для ідентифікації інтегрального та функціонального перетворень (15.8) та (15.11) відповідно такої, щоб для  вимірюваних по  вхідних  

,

(   ) та  вихідних

 ,

                

( ) сигналів (тут та надалі розуміється, що )

 ,                     (16.2)

                                  (16.3)

для кожного , розглянемо дві допоміжні задачі:

а) при заданих

     ,

( , ;  ) побудуємо послідовність матриць

 ,  ( )

таких, щоб

      (16.4)

для кожного   ;

 б) при заданих

,

  

( ;   ,  )  побудуємо послідовність матриць

     (  )

таких, щоб

     (16.5)

для кожного   .

Далі розв’язки ідентифікаційних задач (16.2), (16.3) отримаємо із розв’язку допоміжних задач (16.4), (16.5) при .

16.2. Задача ідентифікації алгебраїчних систем. Розглянемо розв’язок задачі (16.1). Будемо виходити при цьому з того, що вектори  та  утворюють матриці

    (16.6)

та

    (16.7)

відповідно. Через  та  тут та надалі будемо позначати вектори, які утворюють рядки матриць. В цих позначеннях шукану матрицю  запишемо у вигляді:

.                   (16.8)

 Неважко бачити, що матриця ця визначатиметься як розв’язок наступної матричної системи:    

 .        (16.9)

Транспонуючи (16.9) маємо:       

 .

Звідки робимо висновок, що

     ().    (16.10)

 Всяке -те () рівняння системи (16.10) дає розклад  - вектора по системі векторів . А це значить, що проекція вектора   () на ортогональне доповнення  до лінійної оболонки , натягненої на вектор-рядки  матриці рівна нулю. Другими словами: необхідною і достатньою умовою існування розв’язку кожного -го рівняння системи (16.10) є наступна:

              ().  (16.11)

Звідки

     (),

або

                 ().  (16.12)

За умови (16.12) загальний розв’язок системи (16.10) запишемо у вигляді:

 ,,               (16.13)

З врахуванням того, що                

з (16.12) знаходимо       .

Звідки:

    .   (16.14)

Таким чином, задача (16.1) по побудові матриці  перетворення спостережуваних вхідних векторів   у вихідні вектори  розв’язана. Необхідною і достатньою умовою істинності такого розв’язку є співвідношення (16.11). Розв’язок (16.14) буде однозначним (),  якщо

.     (16.15)

16.3. Задача ідентифікації дискретносумуючих перетворювачів. Розглянемо задачу побудови матриць  , які послідовність вхідних сигналів  для всякого  згідно (16.4) сумують у вихідний сигнал .

 Для розв’язання задачі позначимо через

     ,      

         () (16.16)

матричну та векторну функції дискретного аргументу  такі, що

,  

для , .

Після чого систему (16.4) стосовно -го спостерігача запишемо в наступному символічному представленні:

    ().   (16.17)

Останнє еквівалентне матричному рівнянню

 ,    (16.18)

в якому   матрична функція дискретного аргументу  така, що                   ;     

       (16.19)

       ,

а

        ().

Позначимо для зручності

;    

       (16.20)

 ,

де

    ();

   ().

В термінах введених позначень транспонована ідентифікаційна система (16.18) запишеться у вигляді

    ().   (16.21)

Система рівнянь (16.21) матиме розв’язок тоді і тільки тоді, коли (по аналогії з (16.11), (16.12))                            (16.22)

для всякого , де з врахуванням (16.19) та (16.20)                .

При цьому                  (16.23) для всякого , де  

 

довільна вектор-функція дискретного аргументу  така, що

      (; ),

а

.

Транспонуючи та об’єднуючи систему розв’язків (16.23) для всіх  знаходимо, що матрична функція , визначена ідентифікаційним рівнянням (16.18), задовольнятиме умові                              Ω,      (16.24)

де

матрична функція дискретного аргументу  така, що ,  , а

.

 Для випадку, коли

,                   (16.25)

множина Ω даватиме однозначний розв’язок   

                                   (16.26)

символічного матричного рівняння (16.18).

Виконуючи у співвідношеннях (16.24) – (16.26) перехід від матричних функцій , ,  до матриць , ,  () знаходимо, що елементи-матриці послідовності ідентифікаційних матриць розглядуваного нами перетворення (16.4) в загальному випадку (при виконанні (16.22)) задовольнятимуть умовам:              

              ().    (16.27)

При

                               (16.28)

      ().                 (16.29)

Зауважимо, що умовою (16.25) визначається повнота матриці-функції . В термінах її елементів це означає, що    .

16.4. Задача ідентифікації лінійноінтегруючих перетворювачів. Розглянемо задачу ідентифікації системи (16.2) інтегруючої розподілений на інтервалі  сигнал  в -му () спостереженні за нею у вихідний вектор .

Для того, щоб (як було сказано в пункті 16.1) при розв’язанні задачі побудови перетворюючої матричної функції  скористатися результатами ідентифікації дискретноінтегруючого перетворювача (16.4) інтервал  дискретизуємо точками  () такими, що , а також позначимо через                    

,      

матричні функції дискретного аргументу  такі, що , . Зауважимо, що тут та надалі

,

 .

Останнє дозволяє розв’язок розглядуваної задачі отримати при  з розв’язку ідентифікаційної задачі

,                   (16.30)

яку ми розв’язали в попередньому пункті.

Враховуючи сказане із співвідношень (16.27) – (16.29) знаходимо, що в загальному випадку                                      ,             (16.31)

де  - довільна інтегровна по  матриця розмірності , а

,   .

Визначена співвідношенням (16.31) матрична функція  буде розв’язком розглядуваної задачі тоді і тільки тоді, коли

       .                (16.32)

За умови, що

   ,

розв’язок задачі буде однозначним. При цьому

 .

16.5. Задача ідентифікації дискретнорозподільчих перетворювачів. Розглянемо задачу побудови послідовності матриць , які заданий в -му () вимірі вхідний сигнал  згідно (16.5) перетворюють в послідовність  вихідних сигналів.

Для розв’язання задачі позначимо через

   ,

            ()

матричну та векторну функції дискретного аргументу   такі, що  

,    

для , .

Після чого систему (16.5) стосовно -го спостерігача запишемо в наступному символічному представленні:

.                  (16.33)

Останнє еквівалентне матричному рівнянню

,     (16.34)

в якому

    

матрична функція дискретного аргументу  така, що

  ,                                 ,

а

      ().

Покладаючи

,   

та вводячи до розгляду векторні функції

 ,

 

дискретного аргументу  такі, що

,

,

транспоновану ідентифікаційну систему (16.34) запишемо у вигляді

   ().   (16.35)

Система рівнянь (16.35) матиме розв’язок тоді і тільки тоді, коли (знову ж по аналогії з (16.11), (16.12))

  ,  (16.36)

де .

При цьому             (16.37)

для всякого, де

  

довільна вектор-функція дискретного аргументу  така, що

   ,      ,    ,

а

.

Транспонуючи та об’єднуючи систему розв’язків (16.37) для всіх  знаходимо, що матрична функція , визначена ідентифікаційним рівнянням (16.33), задовольнятиме умові

,            (16.38)

де        

довільна матрична функція дискретного аргументу  така, що

.

За умови, коли

 ,     (16.39)

множина  задаватиме однозначний розв’язок

     (16.40)

символічного матричного рівняння (16.33).

Виконуючи у співвідношеннях (16.38) – (16.40) перехід від матричних функцій , ,  до матриць , ,  () знаходимо, що елементи-матриці послідовності ідентифікаційних матриць розглядуваного тут перетворення (16.33) в загальному випадку (при виконанні умови (16.36) для вибраного нами ) задовольнятимуть умовам:         (16.41)  для всякого.

При             

    ().                 (16.42)

 16.6. Задача ідентифікації лінійно-функціональних перетворювачів. Розглянемо задачу ідентифікації системи (16.3), якою стаціонарний в часі вхідний вектор    в  - му () спостереженні за системою перетворюється в розподілений на інтервалі  вихідний сигнал .

Для поширення результатів розглянутої тільки що ідентифікації системи (16.6) на систему (16.3) інтервал  дискретизуємо точками   такими, що  , а також позначимо через    ,   

матричні функції дискретного аргументу  такі, що  ,     .

Останнє дозволяє від розглядуваної неперервної по системи (16.3) перейти до дискретної системи вигляду (16.34), ідентифікаційний розв’язок якої нами вже побудований у вигляді (16.38). Звідки при  отримуємо, що             ,       (16.43)

де  - довільна інтегровна по  матриця розмірності , а .

Однозначність визначеного співвідношенням (16.43) розв’язку задачі, як і вище, буде визначатися умовою (16.42). При цьому       .     (16.44)

Зауважимо, що множина розв’язків (16.43), або один із них у формі (16.44), будуть існувати, коли (як це випливає з (16.36))

                (16.45)

для значення  та .

 

 

140

 Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82977. Виготовлення геометричних фігур при допомозі аплікації. Порівняння фігур за кольором, розміром, формою 1.67 MB
  Мета: вчити виготовляти геометричні фігури з паперу за допомогою аплікаціїпорівнювати фігури за кольором формою розміром; розвивати розумові здібності мовлення творчі здібності учнів; виховувати любов до своєї родини; допомогти дитині зрозуміти які цінності є духовним фундаментом повноцінної...
82978. Творимо казковий світ «Кольорочас». We create the world of wonder «Colourtime» 623.5 KB
  Мета: географія ознайомити учнів з етапами формування української нації;сформувати в учнів поняття про національний склад населення та пояснити причини його строкатості; назвати етнографічні групи українців та національні меншини; обґрунтувати географію розміщення історико географічних етнографічних...
82979. Казки народів світу, Ш. Перро «Кіт у чоботях» 1.58 MB
  Мета: Продовжити знайомство з казками народів світу. Формувати в учнів уміння повно, точно, емоційно робити висновки і висловлювати судження про прочитане та посилатися під час відповіді на текст книжки; активізувати читацьку пам’ять; збагачувати словниковий запас...
82980. Речення. Види речень за метою висловлювання 913 KB
  Мета: Допомогти глибше усвідомити поняття мета висловлювання; зясувати які будуть речення за метою висловлювання; формувати вміння визначати види речень за метою висловлювання; будувати речення різних типів; відпрацьовувати навички грамотного письма; розвивати навички звязного мовлення...
82981. Людина серед людей. Норми поведінки. Вихованість 126 KB
  Освітній продукт: колективно створений ілюстрований довідник Людина серед людей. Людина серед людей. В усі часи ще з самого початку виникнення на Землі Людини вона почала замислюватися над своїм призначенням в житті над своїм значенням для інших людей і всього світу.
82982. Основні права та обов’язки громадянина 159.5 KB
  Формувати правові знання учнів; дати загальне поняття про моральні норми загальнолюдські цінності; виховувати пошану до законів України; виховувати громадянські почуття; формувати правову свідомість молодших школярів.
82983. Традиції харчування 141.5 KB
  Очікувані результати: учні повинні знати чотири групи їжі; учні повинні вміти визначати корисні продукти харчування дотримуватись правил поведінки за столом та не забувати місцеві традиції харчування. Обладнання і матеріали: підручник мяч дзеркало малюнки із зображенням продуктів харчування...
82984. Позакласне читання. Урок-гра «Країна Казки» 275.5 KB
  Мета: навчальна - поглибити знання учнів про казку як вид усної народної творчості активізувати читацьку память; корекційно розвивальна удосконалювати навички виразного читання збагачувати словниковий запас розвивати творчі здібності коригувати логічне мислення...
82985. Первый раз в первый класс! 156 KB
  Цель: знакомство детей с учителем и между собой; развивать речь, внимание, память, наблюдательность, согласованность действий, расширять кругозор; воспитывать любовь к школе, желание учиться. Оборудование: макет школы на доске, карточки – цветы, пазлы с изображением животных, микрофон.