23030

Проблеми моделювання динаміки систем з розподіленими параметрами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

4 і модель ця адекватно описує динаміку фізикотехнічного об’єкту процесу то можна ставити і розв’язувати: Прямі задачі динаміки – визначення векторфункції стану ys при заданих зовнішньодинамічних факторах ; Обернені задачі динаміки визначення векторфункцій які б згідно певного критерію дозволяли отримувати задану картину змін векторфункції ys або наближатися до неї.4 побудовані апробовані практикою а відповідні математичні теорії дозволяють розв’язувати як прямі так і обернені задачі динаміки таких систем....

Русский

2013-08-04

1.64 MB

3 чел.

8

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами

Лекція 1. Проблеми моделювання динаміки систем з

                 розподіленими параметрами

1.1. Диференціальна модель динаміки. Будемо розглядати систему (процес) стан якої (якого) в просторово-часовій області , обмеженій контуром Г, визначається вектор-функцією Для більшості фізико-технічних систем (процесів) після вивчення і формалізації їх суті вдається побудувати залежність вектор-функції y(s) від вектор-функції  зовнішньо-динамічних факторів, які в області  діють на систему. В загальному випадку залежність ця записується системою диференціальних рівнянь, яку в подальшому будемо записувати у вигляді:

, (1.1)
де — вектор частинних похідних по просторових координатах  та похідна по часу
t, а

  (1.2)
задані матричні диференціальні оператори.

Опис динаміки системи співвідношенням (1.1) буде не повним, якщо не врахувати початковий стан системи та вплив оточуючого її середовища (довкілля), який проявляється через граничний стан контуру Γ області . Вплив початково-крайових збурень на стан системи в подальшому будемо описувати наступними співвідношеннями:

                                                (1.3)

  (1.4)
де  – задані матричні оператори, а  та  – задані вектори та векторні функції, розмірність яких, як правило, узгоджується з розмірністю та порядком матричних диференціальних операторів  та
.

Якщо модель системи описана співвідношеннями (1.1) - (1.4), і модель ця адекватно описує динаміку фізико-технічного об’єкту (процесу), то можна ставити і розв’язувати:

  1.  Прямі задачі динаміки – визначення вектор-функції стану y(s) при заданих зовнішньо-динамічних факторах ,  ,  ;
  2.  Обернені задачі динаміки - визначення вектор-функцій  ,  ,  , які б згідно певного критерію дозволяли отримувати задану картину змін вектор-функції y(s) (або наближатися до неї).

Для більшості класичних систем моделі вигляду (1.1) - (1.4) побудовані, апробовані практикою, а відповідні математичні теорії дозволяють розв’язувати як прямі, так і обернені задачі динаміки таких систем.

Проблеми виникають там, де в силу складності системи (процесу), модель (1.1) - (1.4) не повна (нема узгодженості між розмірністю і порядком системи (1.1) та розмірністю і кількістю співвідношень (1.3), (1.4)), не адекватно описує динаміку розглядуваної системи (процесу), або не зовсім вивчене і формалізоване у вигляді (1.3), (1.4) середовище, в якому функціонує система (протікає процес). Розв’язок проблеми – в настройці моделі (1.1) та умов (1.3), (1.4) на реальну динамічну картину, яка спостерігається для системи (процесу). Останнє виконується двояко:

  1.  Шляхом ідентифікації параметрів співвідношень (1.1), (1.3), (1.4) на експериментальних даних, якщо система (процес) формалізовані моделлю (1.1) - (1.4);
  2.  Моделюванням зовнішньо-динамічної обстановки, якщо співвідношення (1.3), (1.4) важко формалізуються, або характеристики , , зовнішньо-динамічного оточення системи не доступні для вимірювання.

Іншими словами кажучи: практика роботи з моделями (1.1) - (1.4) вимагає уміння ставити та розв’язувати наступні задачі:

;                                                 (1.5)

(1.6)
де  –спостережуваний стан системи,  вектор параметрів моделі, від яких залежать матричні оператори
, , , а  та  – фіктивні зовнішньо-динамічні фактори, якими моделюється ефект впливу на вектор-стану y(s) системи початково-крайових умов (1.3), (1.4).

Методи постановки та розв’язання задач (1.5), (1.6) для різних режимів і умов функціонування системи (1.1) - (1.4) і будуть вивчатися нижче.

1.2. Інтегральна модель динаміки. Практика роботи з системами, що функціонують в певній просторово-часовій області, показала доцільність вибору моделі динаміки у формі (1.1) - (1.4) і довела дієвість математичних методів розв’язання прямих та обернених задач динаміки таких систем. Задачі ж (1.5) та (1.6) для систем, динаміка яких описується моделлю (1.1) - (1.4), розв’язуються важко.

Зважаючи на це, для розв’язання задач (1.5), (1.6) виберемо тут іншу — інтегральну — модель, яку запишемо у вигляді:

, (1.7)
де  – відома матрична функція.

Явна аналітична залежність y(s) від u(s) спрощує роботу з моделлю, а отже і алгоритми розв’язання задач (1.5), (1.6).

Зауважимо відразу, що співвідношення (1.7) на відміну від співвідношень (1.1) - (1.4) з фізико-технічних міркувань побудувати не просто. Не просто модель (1.7) отримати і із моделі (1.1) - (1.4) – для цього до вигляду (1.7) необхідно привести аналітичний розв’язок початково-крайової задачі (1.1) - (1.4). Як показує практика, це можливо тільки для деяких нескладних моделей і для досить простих умов їх функціонування.

Розглядувані ж нижче методи дозволять в якійсь мірі розв’язати і цю проблему. Для початку будуть запропоновані методи побудови моделі (1.7) для систем, які функціонують в необмеженій просторово-часовій області.

. (1.8)
Побудована для цього випадку залежність

(1.9)
вектор-функції стану системи від зовнішньо-динамічних збурень
u(s) буде не чим іншим, як розв’язком рівняння (1.1) без врахування початково-крайових умов(1.3), (1.4). Матрична функція  в цьому розв’язку буде функцією Гріна такою, що

,                          (1.10)

де , а (s-s’) так звана –функція, або функція одиничного джерела.

Враховуючи, що

бачимо, що дійсно  формі (1.9) задовольнятиме рівнянню (1.1) в області .

Функцію стану y(s) системи (1.1) - (1.4), що функціонує в замкненій просторово-часовій області , або (як ми назвали тут) інтегральну модель динаміки системи побудуємо у вигляді

                                          (1.11)

де  та  – складові вектор-функції y(s) системи, якими визначається внесок початково-крайових умов (1.3), (1.4) в загальну картину динаміки системи. При цьому вектор-функції  та  виберемо у вигляді

                                     (1.12)

                                  (1.13)

де , а  та  – фіктивні зовнішньо-динамічні збурення, які (як видно з (1.12) - (1.13)) діють за межами часової та просторової областей відповідно і визначаються з умови, щоб з врахуванням (1.11) виконувалися співвідношення (1.3), (1.4) при заданих . Співвідношення ж (1.1) з представленням вектор-функції стану y(s) у вигляді (1.10) будуть виконуватися. Останнє легко перевіряється з врахуванням властивостей (1.10) функції, -функції  та особливостей визначення функцій  та  в (1.12) та (1.13).

1.3. Проблеми переходу від диференціальної форми моделі динаміки системи до інтегральної. Заміна класичної диференціальної форми (1.1) моделі динаміки систем з розподіленими параметрами інтегральною формою (1.9), (1.11) - (1.13), яка може бути зручнішою при розв’язанні задач (1.5), (1.6), викликає чималі труднощі. Заключаються вони в:

  1.  Побудові матричної функції Гріна  рівняння (1.1) для необмеженої просторово-часової області ;
  2.  Побудові вектор-функцій  та , якими б моделювалися початково-крайові умови (1.3), (1.4).

Математично перша проблема зводиться до розв’язання рівняння (1.10). Розв’язок другої визначатиметься наступною системою інтегральних рівнянь:

       (1.14)

                       (1.15)

При цьому мається на увазі, що функція зовнішньо-динамічних збурень u(s) відома.

Варіанти розв’язання цих двох проблем ми розглянемо в подальшому, однак зауважимо, що в деяких випадках функціонування системи (1.1) інтегральні співвідношення (1.14), (1.15) спрощуються. Це випадки, коли при розгляді динаміки системи (1.1) можна нехтувати початковим, або крайовим збуренням. Для цих двох випадків співвідношення (1.14), (1.15) спрощуються до наступних:

а) для динаміки системи без врахування крайових умов (в необмеженій просторовій області):

      (1.16)

б) для динаміки системи без врахування початкового стану(в необмеженій часовій області):

                         (1.17)

В подальшому ми розглянемо три варіанти обернення співвідношень (1.14) - (1.17):

- дискретизованих по s та ;

- дискретизованих по s;

- дискретизованих по .

Варіанти ці зводяться до побудови розв’язку наступних алгебраїчних та функціональних рівнянь відповідно:

                                                                          (1.18)

                                                          (1.19)

.                                                                 (1.20)

Випишемо вирази матриці С, векторів  та, а також матричних функцій та  для задачі (1.14), (1.15).

1.У рівнянні (1.18):

                             (1.21)

а

                     

       (1.22)

Тут  задані значення кількості точок дискретизації , ,  

2. У рівнянні (1.19):

                                           (1.23)

де  та  моделюючі вектор-функції, введені в (1.12), (1.13); та  визначені в (1.22), а

                  (1.24)

.

Тут  при i=1 та  при i=2.

3. У рівнянні (1.20)

                                           (1.25)
де значення вектор-функції стану для
; та визначені в (1.22), а

            (1.26)

Вирази (1.21), (1.23) та (1.25) для матриці С векторів , матричних функцій  спростяться для задач (1.16) та (1.17) і з врахуванням позначень (1.22), (1.24), (1.26) запишуться у вигляді:

1.Для задачі (1.16):

                                             (1.27)

;

2.Для задачі (1.17):

                                            (1.28)

;

Отже проблема переходу від диференціального запису моделі динаміки у формі (1.1)-(1.4) до інтегрального представлення у формі (1.9), (1.11)-(1.13) буде розв’язана, якщо:

  1.  буде побудована матрична функція Гріна  для необмеженої просторово-часової області ;
  2.  будуть методи побудови розв’язків (або наближень до них) рівнянь (1.18)-(1.20).

Ці два питання будуть детально вивчені нами в подальшому.

1.4. Проблеми ідентифікації параметрів моделі динаміки систем з розподіленими параметрами. Як відзначалося вище, не завжди вдається адекватно описати динаміку системи, особливо це стосується складних і важких для формалізації процесів. В таких випадках диференціальні оператори рівняння (1.1), а інколи і співвідношень (1.3) та (1.4), можуть залежати від невідомих параметрів. А це значить, що в загальному випадку вигляд цих операторів може бути таким:


Тут  – вектори параметрів моделі, які знаходяться з експерименту.

Враховуючи, що від  залежатиме функція Гріна , за умови, що вдалося обернути співвідношення (1.18)-(1.20) так, що

(1.29)
та позначаючи через  набір експериментальних даних, проблему ідентифікації параметрів  зведемо до розв’язання наступної задачі:

, (1.30)
де

, (1.31)
або

                                            (1.32)

Зрозуміло, що це задача непроста, тим паче, що і співвідношення (1.29) є дуже спрощеним представленням розв’язку рівнянь (1.18)-(1.20). Однак алгоритм розв’язання задачі після побудови обернень типу (1.29) ми запропонуємо.

1.5. Проблеми моделювання зовнішньо-динамычного оточення динамыки систем з розподіленими параметрами. Часто виникає необхідність, знаючи структуру моделі, відновити значення , , зовнішньо-динамічного збурення, початкових та крайових збурюючих факторів – усіх разом, чи деяких з них. Виходячи із згаданих вище експериментальних даних  та враховуючи, що вплив початково-крайових збурень на стан системи згідно (1.12), (1.13) моделюється функціями  та , проблему цю зводимо до розв’язання наступної задачі

.                                         (1.33)

Тут y(s) – вектор-функція стану системи, яка співвідношеннями (1.11)-(1.13) пов’язана з .

З використанням методики обернення співвідношень (1.18)-(1.20) і ця задача буде розв’язана нижче.

1.6. Задача оптимального розміщення спостерігачів та керувань. В процесі переходу від систем (1.14)-(1.17) до рівнянь (1.18)-(1.20) виконувалася дискретизація початково-крайових умов і керуючої вектор-функції u(s) точками  та  відповідно. Точками  дискретизувався і експеримент.

Вибір цих точок через розв’язки (1.29) рівнянь (1.18)-(1.20) впливатиме і на величину

,
тому має смисл постановка задачі оптимізації процедури вибору точок дискретизації шляхом мінімізації величини . Зрозуміло, що задача ця буде розв’язана після побудови алгоритму розв’язання задач (1.30) та (1.33).

Це і є коло тих проблем і задач, розв’язання яких буде розглянуте нами в подальшому.

7

                                   Стоян В.А.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53474. Оптимизация процедуры Newman_sort, особенности 19.39 KB
  Формирование результирующего упорядоченного массива осуществляется по этапам. На нулевом этапе считаем, что т исходный массив состоит из кусков, содержащих не менее одного элемента.
53475. Ценностно-ролевая готовность выпускников ВУЗа и персонала промышленного предприятия к работе в условиях инноваций 69.42 KB
  Цель работы: Выявить характеристики ценностно–ролевовой готовности выпускников ВУЗа (на примере финансового факультета и факультета социальных наук ) к работе в условиях инноваций.
53476. Учебное пособие по истории средних веков 2.21 MB
  Урок 5: Образование Франкского государства. Возникновение ислама образование единого государства. Урок 32: Образование централизованного государства в Англии. Урок 36: Завершение складывания централизованного государства в Англии.
53477. Жива історія школи 48 KB
  2012 рік Жива історія школи Мета. Познайомити учнів зі сторінками історії школи через спілкування з випускниками вчителями батьками в телестудії. Дорогі гості шановні колеги сьогодні ми зібралися у кабінеті історії з особливої нагоди – відзначити День народження нашої школи. День народження школи – це свято всього села Васильківське а також сіл – Запоріжжя Русаково Куніново Сидоренково.
53478. Ігровий майданчик на уроках української літератури (5 клас) (розділ «Історичне минуле нашого народу») 238.5 KB
  Але є ще в нас орли Та не тут не в цій палаті А в мужицькій простій хаті Запитання. А тут б’ємо в мури вже більше як тиждень мури нітрохи не подаються Що се Якісь чари Запитання. Погляньте: став як дуб І стукає в ворота Змій виглянув з вікна І сипле іскри з рота Запитання. Запитання.
53479. Компетентності як ключ до оновлення змісту історичної освіти 80 KB
  Але справжній процес реформування модернізації змісту освіти – стартував тільки сьогодні: про це свідчить впровадження з 1 вересня 2012 р Державного стандарту початкової загальної освіти на основі якого розроблено навчальні програми для початкової школи підготовлення підручників – і за формою і за змістом – нового покоління. Державний стандарт базової і повної ЗСО – ще один помітний успіх у процесі модернізації освіти. Під стандартами освіти розуміється – система основних параметрів що приймаються за Державну норму...
53480. Менеджмент. Навчально-методичний посібник 536 KB
  Розуміння, знання історії менеджменту визначає можливості його ефективного удосконалення. Знання історії менеджменту має велике значення в формуванні професійної свідомості менеджера, розвиває у нього почуття відповідальності, навички стратегічного та широкомасштабного мислення. Потреба в знаннях історії будь-якої науки виникає на певному етапі розвитку і самої науки і суспільства в цілому.
53481. Діяльність Гая Юлія Цезаря та її значення для історії Рима 238.5 KB
  Римський диктатор Юлій Цезар (12 липня 100 р. — 15 березня 44 р.) став одним з найбільш відомих діячів усесвітньої історії, чиє імя зазвичай повязують з поняттями про велику людину, полководця і політика. Військово-політична і літературна діяльність Цезаря, його неабиякі здібності, нарешті, його яскрава персона притягали і притягають істориків. Історична роль Юлія Цезаря велика і багатогранна
53482. Природні умови Італії та виникнення міста Рима 50.5 KB
  Природні умови Італії та виникнення міста Рима. Виникнення міста Рима та правління царів. Найважливішими містами були Тарент Кротон Фурії. У результаті грецькі міста виявилися беззахисними перед місцевими племенами.