23031

Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторовочасових областях.10 а також з того що шукана матрична функція Gss' є розв’язком рівняння 1.1 де визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела. А це означає що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі а розв’язок її дійсно представляється співвідношенням 1.

Русский

2013-08-04

249.5 KB

2 чел.

17

        Стоян В.А.

Лекція 2. Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки  систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

              

2.1. Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторово-часових областях. Розглянемо методику побудови функції Гріна  системи (1.1) в необмеженій просторово-часовій області . При цьому будемо виходити з представлення вектор-функції стану y(s) у вигляді (1.9), (1.10), а також з того, що шукана матрична функція G(s-s') є розв’язком рівняння (1.1), який відповідає зосередженим просторово-часовим збуренням одиничної інтенсивності, тобто випадку, коли

u(s)=col((s-s'),  i=).

Якщо позначити через

U(s)=(u(l)(s), l=);

Y(s)=(, l=),

де

то матимемо, що

,

а

                           (2.1)

де - визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела.

А це означає, що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі, а розв’язок її дійсно представляється співвідношенням (1.9).

Для розв’язання (2.1) будемо виходити з того, що 

                                                      (2.2)

а

                                (2.3)

Звідки для всякої аналітичної функції отримуємо

                                   (2.4)

                             

де   .

З врахуванням (2.4) для рівняння (1.10) в необмеженій  просторово-часовій області  маємо

    (2.5)

де

Позначивши через  функцію  спряжену  до , з (2.5) знаходимо

               (2.6)

де  

Поширюючи співвідношення (2.4), (2.5) на систему (1.1) знаходимо, що функція Гріна цієї системи в необмеженій  просторово-часовій області  може бути подана у вигляді

   (2.7)

Запис (2.7) для функції Гріна спрощується , якщо модель (1.1) динаміки системи записується співвідношенням

                                     (2.8)

де   .

Покладаючи на заміну (2.2)

та враховуючи, що

              

функцію Гріна системи (2.8) запишемо у вигляді

                                   (2.9)

2.2. Інтегральна модель динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області. Будемо виходити з того, що

                              (2.10)

З врахуванням (2.10) та співвідношень (2.1), (2.3) робимо висновок, що диференціальну модель (1.1) в необмеженій  просторово-часовій області  можна замінити наступною інтегральною:

,

де - функція Гріна, визначена нами  в (2.7).

2.3. Приклади. Проілюструємо використання запропонованої вище методики побудови функції Гріна та розвязків задач динаміки систем з розподіленими параметрами до побудови розвязків деяких класичних рівнянь.

Приклад 1. Гармонічне рівняння

                                    (2.11)

Виходячи з (2.8) та враховуючи обмеження на  розв’язок рівняння (2.11) знаходимо у вигляді

що повністю узгоджується з розв’язком задачі, отриманим класичними методами.

Приклад 2. Розглянемо задачу знаходження прогину нескінченного по довжині пружного стержня на пружній основі, який завантажений розподіленими навантаженнями . Функція прогину такого стержня задовільняє рівнянню:

                                                   (2.12)

де  (-коефіцієнт постелі основи, - модуль пружності, - момент інерції поперечного перерізу стержня).

Згідно (2.8) отримуємо

                                                  (2.13)

Приклад 3. Розглянемо задачу про коливання струни, зміщення точок якої визначається рівнянням

                                      (2.14)

де  - задана константа.

Згідно (1.7), (2.8)

Звідки

                                                   (2.15)

Неважко перевірити, що розв’язок (2.15) задовільняє рівнянню (2.14) та нульовим початковим умовам.

Розглянем ілюстрацію розвязку (2.15) для деяких найпростіших випадків функції .

Випадок 1. Якщо

                                                                (2.16)

де  -дельта-функція Дірака, то

                 (2.17)

Розвязок (2.17) добре ілюструє процес поширення (зі швидкістю ) зосередженого силового імпульсу (2.16) в обидва боки від точки  його прикладання.

Випадок 2. Якщо

                                          (2.18)

де –задана функція, то

                                                     (2.19)

Аналізуючи (2.19) бачимо, що на динаміку точки  в момент часу   впливають тільки збурення  , координата  прикладання яких задовольняє умові  , що теж добре узгоджується з хвильовим принципом поширення збурення (2.18) розглядуваної струни.

Випадок 3. Якщо для

                      (2.20)

де   - задана функція, то

                                                        (2.21)

Аналіз (2.21) засвідчує, що на динаміку точки  в момент часу  зосереджене збурення (2.20) інтенсивності  впливає тільки за умови, коли хвильовий процес, викликаний ним, дійде до точки  , що добре узгоджується з фізикою розглядуваного процесу.

Приклад 4. Якщо замість струни взяти пружний стержень, то

поперечні коливання його будуть описуватися рівнянням                                                          (2.22)

де    відхилення осьової лінії стержня в точці    для  - задана константа, а  - зовнішня збурююча сила.

Для цього випадку згідно з (1.7), (2.8)

де

                                                  (2.23)

Зауважимо, що побудова розвязку (2.2) справа не проста і в літературі такі розвя’зки знаходимо, як правило, тільки для частинних випадків зовнішніх сил .

Наведені приклади ілюструють ефективність викладеного вище підходу до побудови розвязку диференціальних рівнянь в частинних похідних для необмежених часово-просторових областей.

16

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60573. Татри НПП 75.5 KB
  Висновоки Список використаних джерел Вступ Татри слов. Загалом Татри нараховують 25 піків вище 2500 м. Наразі Татри відкриті для туристичних подорожей а також для гірськолижного спорту.
60574. Розвиток творчих здібностей учнів на уроках музичного мистецтва 116 KB
  Мистецтво з його унікальними можливостями цілісного впливу на особистість виступає не тільки джерелом естетичного виховання а й універсальним засобом творчого розвитку дитини.
60575. Психологические особенности детей с задержкой психического развития дошкольного возраста 221.5 KB
  Задержка психического развития (ЗПР) – это такое нарушение нормального развития, при котором ребенок, достигший школьного возраста, продолжает оставаться в кругу дошкольных, игровых интересов. Понятие «задержка» подчеркивает временной (несоответствие уровня развития возрасту) и вместе с тем временный характер отставания, который с возрастом преодолевается тем успешнее
60576. ФОРТЕПЬЯННАЯ ИГРА 978 KB
  В виде приложения печатается небольшая заметка Гофмана (извлеченная из сборника «Памяти Рахманинова», Нью-Йорк, 1946) и пять его интервью, в разное время (первое интервью—в 1910, последнее — в 1944 году) появлявшихся в русской и американской прессе. Все эти материалы приводятся в советской печати впервые, за исключением последнего интервью
60578. Українська література 9 клас. Марко Вовчок: Максим Гримач 37.5 KB
  – Соколе мій козаче каже Катря. Тепер уже вільний козак мій жених тату Вільного собі зятя дождали Старий зирк се його Катря стоїть проти місяця А. Діждався мене ти мій маковий вінку...
60580. ГРУПИ СЛІВ ЗА ЗНАЧЕННЯМ: СИНОНІМИ, АНТОНІМИ, ОМОНІМИ 856 KB
  Це три рідні брати і нам потрібно відгадати хто вони дізнатися чому між ними виникла суперечка і разом допомогти їм помиритися. Заходять троє учнів у різних костюмах: 1 й брат у костюмі із зображенням сонця й місяця...
60581. Бинарные признаки интертипных отношений 85.5 KB
  Бурными эмоциями проникнуты отношения активации. Эти отношения больше подходят для неформальных контактов чем для деловых. Активаторы со временем перенапрягают друг друга и если не пойти путем разрядки напряженности то отношения закончатся взрывом.