23031

Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторовочасових областях.10 а також з того що шукана матрична функція Gss' є розв’язком рівняння 1.1 де визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела. А це означає що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі а розв’язок її дійсно представляється співвідношенням 1.

Русский

2013-08-04

249.5 KB

2 чел.

17

        Стоян В.А.

Лекція 2. Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки  систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

              

2.1. Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторово-часових областях. Розглянемо методику побудови функції Гріна  системи (1.1) в необмеженій просторово-часовій області . При цьому будемо виходити з представлення вектор-функції стану y(s) у вигляді (1.9), (1.10), а також з того, що шукана матрична функція G(s-s') є розв’язком рівняння (1.1), який відповідає зосередженим просторово-часовим збуренням одиничної інтенсивності, тобто випадку, коли

u(s)=col((s-s'),  i=).

Якщо позначити через

U(s)=(u(l)(s), l=);

Y(s)=(, l=),

де

то матимемо, що

,

а

                           (2.1)

де - визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела.

А це означає, що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі, а розв’язок її дійсно представляється співвідношенням (1.9).

Для розв’язання (2.1) будемо виходити з того, що 

                                                      (2.2)

а

                                (2.3)

Звідки для всякої аналітичної функції отримуємо

                                   (2.4)

                             

де   .

З врахуванням (2.4) для рівняння (1.10) в необмеженій  просторово-часовій області  маємо

    (2.5)

де

Позначивши через  функцію  спряжену  до , з (2.5) знаходимо

               (2.6)

де  

Поширюючи співвідношення (2.4), (2.5) на систему (1.1) знаходимо, що функція Гріна цієї системи в необмеженій  просторово-часовій області  може бути подана у вигляді

   (2.7)

Запис (2.7) для функції Гріна спрощується , якщо модель (1.1) динаміки системи записується співвідношенням

                                     (2.8)

де   .

Покладаючи на заміну (2.2)

та враховуючи, що

              

функцію Гріна системи (2.8) запишемо у вигляді

                                   (2.9)

2.2. Інтегральна модель динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області. Будемо виходити з того, що

                              (2.10)

З врахуванням (2.10) та співвідношень (2.1), (2.3) робимо висновок, що диференціальну модель (1.1) в необмеженій  просторово-часовій області  можна замінити наступною інтегральною:

,

де - функція Гріна, визначена нами  в (2.7).

2.3. Приклади. Проілюструємо використання запропонованої вище методики побудови функції Гріна та розвязків задач динаміки систем з розподіленими параметрами до побудови розвязків деяких класичних рівнянь.

Приклад 1. Гармонічне рівняння

                                    (2.11)

Виходячи з (2.8) та враховуючи обмеження на  розв’язок рівняння (2.11) знаходимо у вигляді

що повністю узгоджується з розв’язком задачі, отриманим класичними методами.

Приклад 2. Розглянемо задачу знаходження прогину нескінченного по довжині пружного стержня на пружній основі, який завантажений розподіленими навантаженнями . Функція прогину такого стержня задовільняє рівнянню:

                                                   (2.12)

де  (-коефіцієнт постелі основи, - модуль пружності, - момент інерції поперечного перерізу стержня).

Згідно (2.8) отримуємо

                                                  (2.13)

Приклад 3. Розглянемо задачу про коливання струни, зміщення точок якої визначається рівнянням

                                      (2.14)

де  - задана константа.

Згідно (1.7), (2.8)

Звідки

                                                   (2.15)

Неважко перевірити, що розв’язок (2.15) задовільняє рівнянню (2.14) та нульовим початковим умовам.

Розглянем ілюстрацію розвязку (2.15) для деяких найпростіших випадків функції .

Випадок 1. Якщо

                                                                (2.16)

де  -дельта-функція Дірака, то

                 (2.17)

Розвязок (2.17) добре ілюструє процес поширення (зі швидкістю ) зосередженого силового імпульсу (2.16) в обидва боки від точки  його прикладання.

Випадок 2. Якщо

                                          (2.18)

де –задана функція, то

                                                     (2.19)

Аналізуючи (2.19) бачимо, що на динаміку точки  в момент часу   впливають тільки збурення  , координата  прикладання яких задовольняє умові  , що теж добре узгоджується з хвильовим принципом поширення збурення (2.18) розглядуваної струни.

Випадок 3. Якщо для

                      (2.20)

де   - задана функція, то

                                                        (2.21)

Аналіз (2.21) засвідчує, що на динаміку точки  в момент часу  зосереджене збурення (2.20) інтенсивності  впливає тільки за умови, коли хвильовий процес, викликаний ним, дійде до точки  , що добре узгоджується з фізикою розглядуваного процесу.

Приклад 4. Якщо замість струни взяти пружний стержень, то

поперечні коливання його будуть описуватися рівнянням                                                          (2.22)

де    відхилення осьової лінії стержня в точці    для  - задана константа, а  - зовнішня збурююча сила.

Для цього випадку згідно з (1.7), (2.8)

де

                                                  (2.23)

Зауважимо, що побудова розвязку (2.2) справа не проста і в літературі такі розвя’зки знаходимо, як правило, тільки для частинних випадків зовнішніх сил .

Наведені приклади ілюструють ефективність викладеного вище підходу до побудови розвязку диференціальних рівнянь в частинних похідних для необмежених часово-просторових областей.

16

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22000. Тридцатилетняя война 1618-1648 гг. 128.5 KB
  Интересы Габсбургов сталкивались также в Южной Германии. Рейне и угроза усиления католического лагеря в Германии таили предпосылки обострения конфликта Габсбургов с Францией. сохранения политической раздробленности Германии и всемерной поддержки внутренней борьбы происходившей в ней между протестантскими и католическими князьями. Французские политики стремились не допустить усиления Австрийских Габсбургов в Германии.
22001. Франкское государство 82.5 KB
  Военные предводители франков короли герцоги завоевали земли от Рейна до Соммы затем между Сеной и Луарой продвигаясь к югу вытеснили готов за Пиренеи. Так же была размещена и общая для всей деревни площадь пахотной земли которая в свою очередь делилась на различные поля так называемые геванны или коны по качеству почвы. Хлодвиг присвоил себе земли бывшего императорского фиска. Его преемники прихватили все свободные земли бывшие достоянием общины.
22002. Франция в XI-XV вв. 269.5 KB
  Серв получал свободу только через отпуск для чего требовалась еще и санкция вышестоящего сеньора или короля. должность графа равно как и прочие бенефиции полученные от короля становилась наследственным достоянием их обладателей. на дворянский отряд осуществлявший в Бовези реквизицию продуктов у крестьян стали осаждать рыцарские замки сжигать или захватывать поместья было разрушено не менее 100 замков или домов уничтожать списки повинностей и требовать истребления всех дворян кроме короля. Города разными путями добивались...
22003. Франция в XVI-XVIII вв. 183 KB
  Во Франции в XVIXVII вв. Парижский бассейн – самая развитая область Франции урожайность – 15 цт с 1 га сам5; на юге – чуть ниже; трехполье; для сравнения – урожайность в Англии составляла 13 цт с 1 га. в некоторых местностях Северной Франции появилась новая форма аграрных отношений – краткосрочная аренда более или менее крупных земельных комплексов. – климат характеризуется потеплением и преобладанием урожайных лет над неурожайными а война велась вне пределов Франции и сопровождалась умеренным ростом налогов.
22004. Україна у складі Російської та Австро-Угорської імперій (кінець ХVІІІ – початок ХХ ст.) 56 KB
  Український суспільно-політичний рух опирався не тільки на внутрішні джерела, а й на зовнішні чинники. Йдеться, зокрема, про відчутний вплив на цей рух Французької революції, зокрема її концепції вільної нації.
22005. Чехия в XI-XV вв. 127.5 KB
  Леса – хвойные Чехии смешанные Словакия. В Чехии со второй четверти XII в. – конец династии Пшемысловичей борьба за престол и утверждение в Чехии Люксембургов 1310 г. Во главе деревни стоял наследственный староста – в Чехии – рижстарж в Польше – солтыс войт.
22006. Швейцария в XVI в. 52.5 KB
  Торговля содействовала развитию кредита так как Цвингли и Кальвин отвергли запрет . Ульрих Цвингли 14841531 сын сельского старосты окончил латинскую школу в Берне в Базельском и Венском университетах связан с Эразмом магистр свободных искусств увлекался гуманистическими штудиями. У Цвингли не было ничего из мистического созерцания Лютера. Цвингли свои взгляды изложил в 67 тезисах 1523 г.
22007. Япония в III-VIII –XII вв. 64 KB
  Заселение овов Японии началось давно. в Японии образовался племенной союз занимавший ов Кюсю или по мнению других южную часть ова Хонсю провинции Ямато Коти Эцу. По синтоизму – японская нация ведет свое происхождение от богиги Солнца Аматэрасу потомком которой был легендарный император Японии Дзиммутэнно 660 г. Особенность исторического развития Японии состоит в том что первобытнообщинный строй трансформировался в феодальный минуя рабовладельческий.
22008. Япония в XIV-XVI вв. 78 KB
  Таким образом появление новой сёгунской династии не означало централизации страны. Вся остальная часть страны находилась в руках местных феодалов. Посевы хлопчатника до этого сеяли эту культуру только в южной части страны появились и в восточной части страны. Встал вопрос об объединении страны.