23031

Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторовочасових областях.10 а також з того що шукана матрична функція Gss' є розвязком рівняння 1.1 де визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела. А це означає що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі а розвязок її дійсно представляється співвідношенням 1.

Русский

2013-08-04

249.5 KB

2 чел.

17

        Стоян В.А.

Лекція 2. Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки  систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

              

2.1. Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторово-часових областях. Розглянемо методику побудови функції Гріна  системи (1.1) в необмеженій просторово-часовій області . При цьому будемо виходити з представлення вектор-функції стану y(s) у вигляді (1.9), (1.10), а також з того, що шукана матрична функція G(s-s') є розв’язком рівняння (1.1), який відповідає зосередженим просторово-часовим збуренням одиничної інтенсивності, тобто випадку, коли

u(s)=col((s-s'),  i=).

Якщо позначити через

U(s)=(u(l)(s), l=);

Y(s)=(, l=),

де

то матимемо, що

,

а

                           (2.1)

де - визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела.

А це означає, що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі, а розв’язок її дійсно представляється співвідношенням (1.9).

Для розв’язання (2.1) будемо виходити з того, що 

                                                      (2.2)

а

                                (2.3)

Звідки для всякої аналітичної функції отримуємо

                                   (2.4)

                             

де   .

З врахуванням (2.4) для рівняння (1.10) в необмеженій  просторово-часовій області  маємо

    (2.5)

де

Позначивши через  функцію  спряжену  до , з (2.5) знаходимо

               (2.6)

де  

Поширюючи співвідношення (2.4), (2.5) на систему (1.1) знаходимо, що функція Гріна цієї системи в необмеженій  просторово-часовій області  може бути подана у вигляді

   (2.7)

Запис (2.7) для функції Гріна спрощується , якщо модель (1.1) динаміки системи записується співвідношенням

                                     (2.8)

де   .

Покладаючи на заміну (2.2)

та враховуючи, що

              

функцію Гріна системи (2.8) запишемо у вигляді

                                   (2.9)

2.2. Інтегральна модель динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області. Будемо виходити з того, що

                              (2.10)

З врахуванням (2.10) та співвідношень (2.1), (2.3) робимо висновок, що диференціальну модель (1.1) в необмеженій  просторово-часовій області  можна замінити наступною інтегральною:

,

де - функція Гріна, визначена нами  в (2.7).

2.3. Приклади. Проілюструємо використання запропонованої вище методики побудови функції Гріна та розвязків задач динаміки систем з розподіленими параметрами до побудови розвязків деяких класичних рівнянь.

Приклад 1. Гармонічне рівняння

                                    (2.11)

Виходячи з (2.8) та враховуючи обмеження на  розв’язок рівняння (2.11) знаходимо у вигляді

що повністю узгоджується з розв’язком задачі, отриманим класичними методами.

Приклад 2. Розглянемо задачу знаходження прогину нескінченного по довжині пружного стержня на пружній основі, який завантажений розподіленими навантаженнями . Функція прогину такого стержня задовільняє рівнянню:

                                                   (2.12)

де  (-коефіцієнт постелі основи, - модуль пружності, - момент інерції поперечного перерізу стержня).

Згідно (2.8) отримуємо

                                                  (2.13)

Приклад 3. Розглянемо задачу про коливання струни, зміщення точок якої визначається рівнянням

                                      (2.14)

де  - задана константа.

Згідно (1.7), (2.8)

Звідки

                                                   (2.15)

Неважко перевірити, що розв’язок (2.15) задовільняє рівнянню (2.14) та нульовим початковим умовам.

Розглянем ілюстрацію розвязку (2.15) для деяких найпростіших випадків функції .

Випадок 1. Якщо

                                                                (2.16)

де  -дельта-функція Дірака, то

                 (2.17)

Розвязок (2.17) добре ілюструє процес поширення (зі швидкістю ) зосередженого силового імпульсу (2.16) в обидва боки від точки  його прикладання.

Випадок 2. Якщо

                                          (2.18)

де –задана функція, то

                                                     (2.19)

Аналізуючи (2.19) бачимо, що на динаміку точки  в момент часу   впливають тільки збурення  , координата  прикладання яких задовольняє умові  , що теж добре узгоджується з хвильовим принципом поширення збурення (2.18) розглядуваної струни.

Випадок 3. Якщо для

                      (2.20)

де   - задана функція, то

                                                        (2.21)

Аналіз (2.21) засвідчує, що на динаміку точки  в момент часу  зосереджене збурення (2.20) інтенсивності  впливає тільки за умови, коли хвильовий процес, викликаний ним, дійде до точки  , що добре узгоджується з фізикою розглядуваного процесу.

Приклад 4. Якщо замість струни взяти пружний стержень, то

поперечні коливання його будуть описуватися рівнянням                                                          (2.22)

де    відхилення осьової лінії стержня в точці    для  - задана константа, а  - зовнішня збурююча сила.

Для цього випадку згідно з (1.7), (2.8)

де

                                                  (2.23)

Зауважимо, що побудова розвязку (2.2) справа не проста і в літературі такі розвя’зки знаходимо, як правило, тільки для частинних випадків зовнішніх сил .

Наведені приклади ілюструють ефективність викладеного вище підходу до побудови розвязку диференціальних рівнянь в частинних похідних для необмежених часово-просторових областей.

16

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55032. Портфель вчителя 70 KB
  Професійний розвиток вчителя це зростання становлення інтеграція і реалізація в педагогічному працю професійних значущих якостей та здібностей професійних знань і умінь але головне формування у нього здатності до самооцінки рефлексії. Цьому сприяє технологія обєднана під назвою Портфель вчителя...
55033. Портфоліо вчителя або тека досягнень 82 KB
  Робота в методичному обєднанні, співпраця з міським методичним центром, вузами і іншими установами. Участь в професійних і творчих педагогічних конкурсах. Участь в методичних і тижнях. Організація і проведення семінарів, «круглих столів», майстер-класів і т.п. Проведення наукових досліджень.
55034. Портфоліо учня початкових класів 38 KB
  Безумовна цінність портфоліо полягає у тому, що саме портфоліо сприяє підвищенню самооцінки учня, максимальному розкриттю індивідуальних можливостей кожного учня та розвитку мотивації подальшого творчого зростання. Тому вкрай важливо усвідомити для себе і пояснити дитині, що складання портфоліо – це не гонка за дипломами і усілякими грамотами!
55035. Макроэкономическое равновесие и его нарушение 17.93 KB
  Под макроэкономическим равновесием понимается состояние в экономике, при котором пропорции обмена сложились таким образом, что на всех рынках одновременно достигнуто равенство между спросом и предложением.
55036. Портфоліо учня - незамінний порадник учителя, який є носієм інформації про учня як особистість 283 KB
  Контроль та оцінювання навчальних досягнень школярів - тема актуальна, і тому постійно обговорюється. Зазвичай увага зосереджується навколо форм та методів зовнішнього контролю, тобто того, що здійснює вчитель. А як, у якій формі подається учню зростання рівня його знань?
55037. Адаптация молодых специалистов на предприятии ШЧ-5 745 KB
  Повышение роли предприятий-работодателей в системе профессиональной подготовки управленческих кадров. Обучение по охране труда и проверка знаний требований охраны труда работников рабочих профессий при профессиональной подготовке, переподготовке и обучении их вторым профессиям...
55038. Портфоліо як одна з форм оцінювання індивідуальних досягнень учнів початкових класів 214.5 KB
  Відсутність оцінок протягом першого і другого років навчання в початковій школі в жодному разі не повинно розумітися як повна відмова від системи контролю і оцінки з боку вчителя. Навпаки, оцінка замінюється розгорнутою системою взаємин, співпрацею дитини і дорослого у контрольно-оціночної діяльності, яка будується на змістовно-оціночної основі.
55039. ПОРТРЕТ УЧИТЕЛЯ В РІЗНИХ РАКУРСАХ 73 KB
  Тому для одних Учитель це жива конкретна людина симпатична чи не дуже, як поталанило, а для інших - це певна міфологема одиниця легенди, яка необхідна часом людині для самозбагачення, самовиправдання, самоствердження чи просто для того, щоб память про чарівну частину життя дитинство та молодість...
55040. До 70-річчя Перемоги 144 KB
  Масовий подвиг народу, воїнів Армії і Флоту у двобої з фашистськими загарбниками, все героїчне минуле Батьківщини – вдячна і корисна нива для виховання підростаючого покоління. В наші дні героїко-патріотичне виховання набуває особливого звучання нині, в період відзначення річниць видатних перемог у Великій Вітчизняній війні і підготовки до 70-річчя Великої Перемоги.