23031

Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторовочасових областях.10 а також з того що шукана матрична функція Gss' є розвязком рівняння 1.1 де визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела. А це означає що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі а розвязок її дійсно представляється співвідношенням 1.

Русский

2013-08-04

249.5 KB

2 чел.

17

        Стоян В.А.

Лекція 2. Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки  систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

              

2.1. Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторово-часових областях. Розглянемо методику побудови функції Гріна  системи (1.1) в необмеженій просторово-часовій області . При цьому будемо виходити з представлення вектор-функції стану y(s) у вигляді (1.9), (1.10), а також з того, що шукана матрична функція G(s-s') є розв’язком рівняння (1.1), який відповідає зосередженим просторово-часовим збуренням одиничної інтенсивності, тобто випадку, коли

u(s)=col((s-s'),  i=).

Якщо позначити через

U(s)=(u(l)(s), l=);

Y(s)=(, l=),

де

то матимемо, що

,

а

                           (2.1)

де - визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела.

А це означає, що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі, а розв’язок її дійсно представляється співвідношенням (1.9).

Для розв’язання (2.1) будемо виходити з того, що 

                                                      (2.2)

а

                                (2.3)

Звідки для всякої аналітичної функції отримуємо

                                   (2.4)

                             

де   .

З врахуванням (2.4) для рівняння (1.10) в необмеженій  просторово-часовій області  маємо

    (2.5)

де

Позначивши через  функцію  спряжену  до , з (2.5) знаходимо

               (2.6)

де  

Поширюючи співвідношення (2.4), (2.5) на систему (1.1) знаходимо, що функція Гріна цієї системи в необмеженій  просторово-часовій області  може бути подана у вигляді

   (2.7)

Запис (2.7) для функції Гріна спрощується , якщо модель (1.1) динаміки системи записується співвідношенням

                                     (2.8)

де   .

Покладаючи на заміну (2.2)

та враховуючи, що

              

функцію Гріна системи (2.8) запишемо у вигляді

                                   (2.9)

2.2. Інтегральна модель динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області. Будемо виходити з того, що

                              (2.10)

З врахуванням (2.10) та співвідношень (2.1), (2.3) робимо висновок, що диференціальну модель (1.1) в необмеженій  просторово-часовій області  можна замінити наступною інтегральною:

,

де - функція Гріна, визначена нами  в (2.7).

2.3. Приклади. Проілюструємо використання запропонованої вище методики побудови функції Гріна та розвязків задач динаміки систем з розподіленими параметрами до побудови розвязків деяких класичних рівнянь.

Приклад 1. Гармонічне рівняння

                                    (2.11)

Виходячи з (2.8) та враховуючи обмеження на  розв’язок рівняння (2.11) знаходимо у вигляді

що повністю узгоджується з розв’язком задачі, отриманим класичними методами.

Приклад 2. Розглянемо задачу знаходження прогину нескінченного по довжині пружного стержня на пружній основі, який завантажений розподіленими навантаженнями . Функція прогину такого стержня задовільняє рівнянню:

                                                   (2.12)

де  (-коефіцієнт постелі основи, - модуль пружності, - момент інерції поперечного перерізу стержня).

Згідно (2.8) отримуємо

                                                  (2.13)

Приклад 3. Розглянемо задачу про коливання струни, зміщення точок якої визначається рівнянням

                                      (2.14)

де  - задана константа.

Згідно (1.7), (2.8)

Звідки

                                                   (2.15)

Неважко перевірити, що розв’язок (2.15) задовільняє рівнянню (2.14) та нульовим початковим умовам.

Розглянем ілюстрацію розвязку (2.15) для деяких найпростіших випадків функції .

Випадок 1. Якщо

                                                                (2.16)

де  -дельта-функція Дірака, то

                 (2.17)

Розвязок (2.17) добре ілюструє процес поширення (зі швидкістю ) зосередженого силового імпульсу (2.16) в обидва боки від точки  його прикладання.

Випадок 2. Якщо

                                          (2.18)

де –задана функція, то

                                                     (2.19)

Аналізуючи (2.19) бачимо, що на динаміку точки  в момент часу   впливають тільки збурення  , координата  прикладання яких задовольняє умові  , що теж добре узгоджується з хвильовим принципом поширення збурення (2.18) розглядуваної струни.

Випадок 3. Якщо для

                      (2.20)

де   - задана функція, то

                                                        (2.21)

Аналіз (2.21) засвідчує, що на динаміку точки  в момент часу  зосереджене збурення (2.20) інтенсивності  впливає тільки за умови, коли хвильовий процес, викликаний ним, дійде до точки  , що добре узгоджується з фізикою розглядуваного процесу.

Приклад 4. Якщо замість струни взяти пружний стержень, то

поперечні коливання його будуть описуватися рівнянням                                                          (2.22)

де    відхилення осьової лінії стержня в точці    для  - задана константа, а  - зовнішня збурююча сила.

Для цього випадку згідно з (1.7), (2.8)

де

                                                  (2.23)

Зауважимо, що побудова розвязку (2.2) справа не проста і в літературі такі розвя’зки знаходимо, як правило, тільки для частинних випадків зовнішніх сил .

Наведені приклади ілюструють ефективність викладеного вище підходу до побудови розвязку диференціальних рівнянь в частинних похідних для необмежених часово-просторових областей.

16

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8220. Педагогика как наука. Ее предмет, задачи, отрасли педагогического знания, связь педагогики с другими науками 15.54 KB
  Педагогика как наука. Ее предмет, задачи, отрасли педагогического знания, связь педагогики с другими науками. Объектом науки является человек. Предметом изучения педагогики как науки является процесс и одновременно результат взаимодействия человека ...
8221. Методы научно-педагогических исследований. Раскройте одну из методик изучения проблемы обучения или воспитания 14.68 KB
  Методы научно-педагогических исследований. Раскройте одну из методик изучения проблемы обучения или воспитания. Метод - это способ изучения ситуации. Методология - учение о принципах, формах, способах научной деятельности. Методы: теоретич...
8222. Личность как педагогическая категория. Сущность развития. Факторы формирования личности 14.6 KB
  Личность как педагогическая категория. Сущность развития. Факторы формирования личности. Личность - человек, обладающий набором качеств, помогающих ему раскрыться в обществе. Развитие личности происходит по 3 направлениям: биологическому, психо...
8223. Педагогические возможности общения и различных видов деятельности 18.19 KB
  Педагогические возможности общения и различных видов деятельности. ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБЩЕНИЕ - общение между педагогом и учащимся, в ходе которого педагог решает учебные, воспитательные и личностно- развивающиеся задачи психологическое пространство, в...
8224. Основные направления развития и модернизации образования в России на современном этапе 15.77 KB
  Основные направления развития и модернизации образования в России на современном этапе. Необходимость:1) диктуется устаревшим и перегруженным содержанием школьного образования. 2) Не отвечает требованиям времени. 3) Неготовность ученика найти для се...
8225. Педагогический процесс: сущность, закономерности и принципы 24.99 KB
  Педагогический процесс: сущность, закономерности и принципы Процесс обучения - это движение по пути познания, от незнания к знанию, от неполного и неточного знания к более полному и точному. В процессе обучения накапливаются знания, формируются...
8226. Характеристика современного процесса обучения: сущность, противоречия, закономерности 15.66 KB
  Характеристика современного процесса обучения: сущность, противоречия, закономерности. Обучение - это совокупность последовательных и взаимосвязанных действий учителя и учащегося, направленных на сознательное и прочное усвоение системы знаний, ...
8227. Характеристика принципов обучения, их реализация на уроках 15.43 KB
  Характеристика принципов обучения, их реализация на уроках. Обучение - это общение, в процессе которого происходит усвоение общественно-исторического опыта, освоение деятельностью, лежащей в основе формирования личности. Принцип - исходное...
8228. Государственный образовательный стандарт: базовая, вариативная, дополнительная составляющие 17.47 KB
  Государственный образовательный стандарт: базовая, вариативная, дополнительная составляющие Содержание образования отвечает на вопрос чему учить. это знание основ наук, умение применять их на практике, навыки, опыт творческой деятельности...