23031

Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторовочасових областях.10 а також з того що шукана матрична функція Gss' є розв’язком рівняння 1.1 де визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела. А це означає що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі а розв’язок її дійсно представляється співвідношенням 1.

Русский

2013-08-04

249.5 KB

2 чел.

17

        Стоян В.А.

Лекція 2. Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки  систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

              

2.1. Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторово-часових областях. Розглянемо методику побудови функції Гріна  системи (1.1) в необмеженій просторово-часовій області . При цьому будемо виходити з представлення вектор-функції стану y(s) у вигляді (1.9), (1.10), а також з того, що шукана матрична функція G(s-s') є розв’язком рівняння (1.1), який відповідає зосередженим просторово-часовим збуренням одиничної інтенсивності, тобто випадку, коли

u(s)=col((s-s'),  i=).

Якщо позначити через

U(s)=(u(l)(s), l=);

Y(s)=(, l=),

де

то матимемо, що

,

а

                           (2.1)

де - визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела.

А це означає, що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі, а розв’язок її дійсно представляється співвідношенням (1.9).

Для розв’язання (2.1) будемо виходити з того, що 

                                                      (2.2)

а

                                (2.3)

Звідки для всякої аналітичної функції отримуємо

                                   (2.4)

                             

де   .

З врахуванням (2.4) для рівняння (1.10) в необмеженій  просторово-часовій області  маємо

    (2.5)

де

Позначивши через  функцію  спряжену  до , з (2.5) знаходимо

               (2.6)

де  

Поширюючи співвідношення (2.4), (2.5) на систему (1.1) знаходимо, що функція Гріна цієї системи в необмеженій  просторово-часовій області  може бути подана у вигляді

   (2.7)

Запис (2.7) для функції Гріна спрощується , якщо модель (1.1) динаміки системи записується співвідношенням

                                     (2.8)

де   .

Покладаючи на заміну (2.2)

та враховуючи, що

              

функцію Гріна системи (2.8) запишемо у вигляді

                                   (2.9)

2.2. Інтегральна модель динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області. Будемо виходити з того, що

                              (2.10)

З врахуванням (2.10) та співвідношень (2.1), (2.3) робимо висновок, що диференціальну модель (1.1) в необмеженій  просторово-часовій області  можна замінити наступною інтегральною:

,

де - функція Гріна, визначена нами  в (2.7).

2.3. Приклади. Проілюструємо використання запропонованої вище методики побудови функції Гріна та розвязків задач динаміки систем з розподіленими параметрами до побудови розвязків деяких класичних рівнянь.

Приклад 1. Гармонічне рівняння

                                    (2.11)

Виходячи з (2.8) та враховуючи обмеження на  розв’язок рівняння (2.11) знаходимо у вигляді

що повністю узгоджується з розв’язком задачі, отриманим класичними методами.

Приклад 2. Розглянемо задачу знаходження прогину нескінченного по довжині пружного стержня на пружній основі, який завантажений розподіленими навантаженнями . Функція прогину такого стержня задовільняє рівнянню:

                                                   (2.12)

де  (-коефіцієнт постелі основи, - модуль пружності, - момент інерції поперечного перерізу стержня).

Згідно (2.8) отримуємо

                                                  (2.13)

Приклад 3. Розглянемо задачу про коливання струни, зміщення точок якої визначається рівнянням

                                      (2.14)

де  - задана константа.

Згідно (1.7), (2.8)

Звідки

                                                   (2.15)

Неважко перевірити, що розв’язок (2.15) задовільняє рівнянню (2.14) та нульовим початковим умовам.

Розглянем ілюстрацію розвязку (2.15) для деяких найпростіших випадків функції .

Випадок 1. Якщо

                                                                (2.16)

де  -дельта-функція Дірака, то

                 (2.17)

Розвязок (2.17) добре ілюструє процес поширення (зі швидкістю ) зосередженого силового імпульсу (2.16) в обидва боки від точки  його прикладання.

Випадок 2. Якщо

                                          (2.18)

де –задана функція, то

                                                     (2.19)

Аналізуючи (2.19) бачимо, що на динаміку точки  в момент часу   впливають тільки збурення  , координата  прикладання яких задовольняє умові  , що теж добре узгоджується з хвильовим принципом поширення збурення (2.18) розглядуваної струни.

Випадок 3. Якщо для

                      (2.20)

де   - задана функція, то

                                                        (2.21)

Аналіз (2.21) засвідчує, що на динаміку точки  в момент часу  зосереджене збурення (2.20) інтенсивності  впливає тільки за умови, коли хвильовий процес, викликаний ним, дійде до точки  , що добре узгоджується з фізикою розглядуваного процесу.

Приклад 4. Якщо замість струни взяти пружний стержень, то

поперечні коливання його будуть описуватися рівнянням                                                          (2.22)

де    відхилення осьової лінії стержня в точці    для  - задана константа, а  - зовнішня збурююча сила.

Для цього випадку згідно з (1.7), (2.8)

де

                                                  (2.23)

Зауважимо, що побудова розвязку (2.2) справа не проста і в літературі такі розвя’зки знаходимо, як правило, тільки для частинних випадків зовнішніх сил .

Наведені приклади ілюструють ефективність викладеного вище підходу до побудови розвязку диференціальних рівнянь в частинних похідних для необмежених часово-просторових областей.

16

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18775. Некоммерческая организация (НКО): понятие, цели создания, организационно-правовые формы 39.86 KB
  Некоммерческая организация НКО: понятие цели создания организационноправовые формы. Создание НКО и учредительные документы устав учредительный договор – основание порядок заключения. Некоммерческой организацией является организация не имеющая извлечение пр
18776. Критерии оценки эффективности реализации ГМП 32.24 KB
  Критерии оценки эффективности реализации ГМП. Критерии оценки эффективности реализации молодежной политики на федеральном и региональном уровне. Рейтинг муниципальных образований Курганской области в сфере реализации МП. Государственная молодежная политика само...
18777. Менеджмент благотворительной деятельности 33.38 KB
  Менеджмент благотворительной деятельности. История благотворительности. Нормативно – правовое обеспечение. Современные формы и тенденции развития. История благотворительности. Историческая справка об истории благотворительности. Идеи благотворительности нено
18778. Теория и разработка управленческих решений в молодежной организации 36.28 KB
  Теория и разработка управленческих решений в молодежной организации. Молодежные организации их деятельность основывается на следующих принципах: а уважения и реализации прав и свобод человека национальных и общечеловеческих ценностей культурноисторических осо
18779. Лидерство и управление в организации 39.35 KB
  Лидерство и управление в организации. Лидерство это способность формировать коллектив и вести его к намеченным целям на основе личного авторитета. Люди обладающие такой способностью злоупотребляют ею во имя личных интересов. Авторитарная модель подразумевает пол...
18780. Мультипликатор автономных расходов. Эффект мультипликатора и инфляции в общем равновесии 29 KB
  Мультипликатор автономных расходов. Эффект мультипликатора и инфляции в общем равновесии. Мультипликатор автономных расходов отношение изменения равновесного ВНП к изменению любого компонента автономных расходов. Суть эффекта мультипликатора состоит в сле
18781. Теория макроэкономического равновесия в практике управления. Условия частичного равновесия по А.Маршалу и Л.Вальрасу 29 KB
  Теория макроэкономического равновесия в практике управления. Условия частичного равновесия по А.Маршалу и Л.Вальрасу. В самом общем виде равновесие в экономике это сбалансированность и пропорциональность ее основных параметров иначе говоря ситуация когда у уча...
18782. Спрос и предложение на национальном рынке. Экономический смысл показателей: совокупный спрос и совокупное предложение 29 KB
  Спрос и предложение на национальном рынке. Экономический смысл показателей: совокупный спрос и совокупное предложение Цель любой экономической системы – достижение макроэкономического равновесия т.е. сбалансированного состояния экономической системы как единого
18783. Сущность совокупного спроса и факторы его определяющие 28 KB
  Сущность совокупного спроса и факторы его определяющие. Совокупный агрегированный спрос от англ. aggregate demand – АD – это сумма всех индивидуальных спросов на конечные товары и услуги предлагаемые на товарном рынке. Основными формами его проявления служат: потребительск