23031

Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторовочасових областях.10 а також з того що шукана матрична функція Gss' є розвязком рівняння 1.1 де визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела. А це означає що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі а розвязок її дійсно представляється співвідношенням 1.

Русский

2013-08-04

249.5 KB

2 чел.

17

        Стоян В.А.

Лекція 2. Побудова матричної функції Гріна та інтегральної моделі динаміки  систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області

              

2.1. Функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в необмежених просторово-часових областях. Розглянемо методику побудови функції Гріна  системи (1.1) в необмеженій просторово-часовій області . При цьому будемо виходити з представлення вектор-функції стану y(s) у вигляді (1.9), (1.10), а також з того, що шукана матрична функція G(s-s') є розв’язком рівняння (1.1), який відповідає зосередженим просторово-часовим збуренням одиничної інтенсивності, тобто випадку, коли

u(s)=col((s-s'),  i=).

Якщо позначити через

U(s)=(u(l)(s), l=);

Y(s)=(, l=),

де

то матимемо, що

,

а

                           (2.1)

де - визначені вище матричні диференціальні оператори та матрична функція одиничного джерела.

А це означає, що матрична функція відповідає фізичному змісту задачі, а розв’язок її дійсно представляється співвідношенням (1.9).

Для розв’язання (2.1) будемо виходити з того, що 

                                                      (2.2)

а

                                (2.3)

Звідки для всякої аналітичної функції отримуємо

                                   (2.4)

                             

де   .

З врахуванням (2.4) для рівняння (1.10) в необмеженій  просторово-часовій області  маємо

    (2.5)

де

Позначивши через  функцію  спряжену  до , з (2.5) знаходимо

               (2.6)

де  

Поширюючи співвідношення (2.4), (2.5) на систему (1.1) знаходимо, що функція Гріна цієї системи в необмеженій  просторово-часовій області  може бути подана у вигляді

   (2.7)

Запис (2.7) для функції Гріна спрощується , якщо модель (1.1) динаміки системи записується співвідношенням

                                     (2.8)

де   .

Покладаючи на заміну (2.2)

та враховуючи, що

              

функцію Гріна системи (2.8) запишемо у вигляді

                                   (2.9)

2.2. Інтегральна модель динаміки систем з розподіленими параметрами в необмеженій просторово-часовій області. Будемо виходити з того, що

                              (2.10)

З врахуванням (2.10) та співвідношень (2.1), (2.3) робимо висновок, що диференціальну модель (1.1) в необмеженій  просторово-часовій області  можна замінити наступною інтегральною:

,

де - функція Гріна, визначена нами  в (2.7).

2.3. Приклади. Проілюструємо використання запропонованої вище методики побудови функції Гріна та розвязків задач динаміки систем з розподіленими параметрами до побудови розвязків деяких класичних рівнянь.

Приклад 1. Гармонічне рівняння

                                    (2.11)

Виходячи з (2.8) та враховуючи обмеження на  розв’язок рівняння (2.11) знаходимо у вигляді

що повністю узгоджується з розв’язком задачі, отриманим класичними методами.

Приклад 2. Розглянемо задачу знаходження прогину нескінченного по довжині пружного стержня на пружній основі, який завантажений розподіленими навантаженнями . Функція прогину такого стержня задовільняє рівнянню:

                                                   (2.12)

де  (-коефіцієнт постелі основи, - модуль пружності, - момент інерції поперечного перерізу стержня).

Згідно (2.8) отримуємо

                                                  (2.13)

Приклад 3. Розглянемо задачу про коливання струни, зміщення точок якої визначається рівнянням

                                      (2.14)

де  - задана константа.

Згідно (1.7), (2.8)

Звідки

                                                   (2.15)

Неважко перевірити, що розв’язок (2.15) задовільняє рівнянню (2.14) та нульовим початковим умовам.

Розглянем ілюстрацію розвязку (2.15) для деяких найпростіших випадків функції .

Випадок 1. Якщо

                                                                (2.16)

де  -дельта-функція Дірака, то

                 (2.17)

Розвязок (2.17) добре ілюструє процес поширення (зі швидкістю ) зосередженого силового імпульсу (2.16) в обидва боки від точки  його прикладання.

Випадок 2. Якщо

                                          (2.18)

де –задана функція, то

                                                     (2.19)

Аналізуючи (2.19) бачимо, що на динаміку точки  в момент часу   впливають тільки збурення  , координата  прикладання яких задовольняє умові  , що теж добре узгоджується з хвильовим принципом поширення збурення (2.18) розглядуваної струни.

Випадок 3. Якщо для

                      (2.20)

де   - задана функція, то

                                                        (2.21)

Аналіз (2.21) засвідчує, що на динаміку точки  в момент часу  зосереджене збурення (2.20) інтенсивності  впливає тільки за умови, коли хвильовий процес, викликаний ним, дійде до точки  , що добре узгоджується з фізикою розглядуваного процесу.

Приклад 4. Якщо замість струни взяти пружний стержень, то

поперечні коливання його будуть описуватися рівнянням                                                          (2.22)

де    відхилення осьової лінії стержня в точці    для  - задана константа, а  - зовнішня збурююча сила.

Для цього випадку згідно з (1.7), (2.8)

де

                                                  (2.23)

Зауважимо, що побудова розвязку (2.2) справа не проста і в літературі такі розвя’зки знаходимо, як правило, тільки для частинних випадків зовнішніх сил .

Наведені приклади ілюструють ефективність викладеного вище підходу до побудови розвязку диференціальних рівнянь в частинних похідних для необмежених часово-просторових областей.

16

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9336. Понятие и виды инвестиций. Экономико-правовое содержание 42 KB
  Тема №1: Понятие и виды инвестиций. Источники. Понятие инвестиций. Экономико-правовое содержание. Инвестиции – происходит от слова инвестор - облачать, в широком смысле слова трактуется как вложение капитала в будущем. Вложение дене...
9337. Понятие, субъекты и объекты инвестиционной деятельности. Понятие инвестиционной деятельности и инвестиционного процесса 37 KB
  Инвестиционная деятельность - это вложения инвестиций, или инвестирования, а так же совокупность практических действий по реализации инвестиций. Таким образом, для законодателя понятие инвестирования и вложение инвестиций тождественно...
9338. Правовое регулирование инвестиционной деятельности в РФ 24.5 KB
  Тема: правовое регулирование инвестиционной деятельности в РФ. -1- Конституция РФ не содержит норм, прямо регулирующих инвестиционную деятельность, однако затрагивает вопросы финансового регулирования. В РФ гарантируется единое экономическое простра...
9339. ОБЩИЕ УСЛОВИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ СИЛ 472.5 KB
  РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ОБЩИЕ УСЛОВИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ СИЛ 1.1. Предмет, методы и практическое значение размещения производительных сил 1.1.1. Предмет курса размещение производительных сил Размещение производительных сил (Р...
9340. ПРОКУРОРСКИЙ НАДЗОР ЗА ЗАКОННОСТЬЮ ИСПОЛНЕНИЯ ПОСТАНОВЛЕНИЙ ПО ДЕЛАМ ОБ АДМИНИСТРАТИВНЫХ ПРАВОНАРУШЕНИЯХ 520.5 KB
  В методическом пособии рассматриваются вопросы прокурорского надзора за законностью исполнения постановлений по делам об административных правонарушениях. Дана характеристика законодательных и иных нормативных правовых актов, регулирующих указанную ...
9341. НОРМАЛЬНОЕ ПОЛЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА 428.5 KB
  НОРМАЛЬНОЕ ПОЛЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА текст лекций по геодезической гравиметрии ГЛАВА 1. НОРМАЛЬНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ §1.1 ПОНЯТИЕ О НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ И СПОСОБАХ ЕГО ВЫБОРА При изучении гравитационного поля Земли обыч...
9342. Гидравлический расчет нефтебазовых коммуникаций 294.5 KB
  Гидравлический расчет нефтебазовых коммуникаций Задание. Вариант 1. Выполнить гидравлический расчет технологических коммуникаций для слива нефтепродуктов из железнодорожных цистерн через нижнее сливное устройство при следующих исходных данных: Gмес....
9343. Разработка и расчет себестоимости автомобильных грузовых перевозок по маршруту Нерюнгри - Алдан - Томмот - Якутск 384 KB
  СОДЕРЖАНИЕ Введение Характеристика и основные структурно-экономические показатели ОАО НПАТП Обзорная характеристика исследуемого предприятия Эксплуатационные показатели работы предприятия Количественный и качественный состав водителей Организация тр...
9344. Краткий конспект лекций по дисциплине Теория бухгалтерского учета 523 KB
  Краткий конспект лекций по дисциплине «Теория бухгалтерского учета» для студентов ЗФО специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Тема 1 СУЩНОСТЬ УЧЕТА И ЕГО РОЛЬ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ОБЩЕСТВОМ 1.1. Общее понятие хозяйственного учета. Историч...