23032

Дискретний варіант побудови та дослідження загального розв’язку задачі моделювання динаміки систем з розподіленими параметрами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Псевдообернені матриці та проблеми побудови загального розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь. З цією метою виділимо в матриці C r лінійно незалежних стовпців. Враховуючи що всякий стовпець матриці C може бути розкладений за системою векторів як за базисом матрицю C подамо у вигляді де вектор коефіцієнтів розкладу стовпця матриці С за базисом .10 ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної.

Русский

2013-08-04

586 KB

1 чел.

27

 Стоян В.А.

Лекція 3. Дискретний варіант побудови та дослідження загального розв’язку задачі моделювання  динаміки систем з розподіленими параметрами

3.1. Постановка задачі та проблеми її розвязання. Повернемося до питання побудови моделюючих функцій u0(s) та uГ(s) в інтегральних співвідношеннях (1.14), (1.15), якими замикалася проблема переходу від диференціальної моделі динаміки системи у формі (1.1) – (1.4) до її інтегрального представлення у вигляді (1.9) – (1.13). При цьому обмежимося самим простим випадком, коли і початково-крайові умови (1.3) – (1.4) і моделюючі функції u0(s) та uГ(s) дискретизовані. Дискретизацію виконаємо як і в (1.22) точками:

 () – для функцій u0(s) (s,);

 () – для функцій uГ(s) (s,);

 () – для функцій (x) ;

  () для функції 

 .

Як показано в п. 1.3, проблема знаходження наборів

                                          (3.1)

та

                                         (3.2)

моделюючих функцій u0(s) та  при відомих значеннях

                           (3.3)

та

   (3.4)

функцій  та  зводиться (див. П.1.3.) до побудови та дослідження загального розвязку системи лінійних алгебраїчних рівнянь

                                                                            (3.5)

де

, або ;

, або

для початкової (задачі Коші), крайової та початково-крайової задач відповідно, а матриця С для кожної із задач визначена вище (формули (1.21), (1.27) та (1.28)). При цьому під “загальним розвязком” тут розуміється класичний розвязок, якщо він є (єдиний, або певний з множини розвязків), або найкраще наближення до нього (однозначне, або певне з множини можливих наближень), якщо точного розвязку не існує.

3.2. Псевдообернені матриці та проблеми побудови загального розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Зупинимося на проблемах обернення лінійних алгебраїчних систем (3.5), в якій для зручності будемо вважати, що  вимірна матриця, а y та u - заданий та шуканий L та M - вимірні вектори.

Відомо багато підходів до розв’язання задачі (3.5), яка може мати єдиний розв’язок, множину розв’язків, або зовсім їх не мати. Ми будемо виходити з методики, запропонованої та розвиненої  в [22].

Введемо до розгляду матрицю , псевдообернену до  таку, щоб

                      (3.6)

де

          (3.7)

Дослідимо властивості вектора , який надалі будемо називати псевдорозв’язком системи (3.5).

Для початку покажемо, що матриця  існує і може бути однозначно побудована.

З цією метою виділимо в матриці C r лінійно незалежних стовпців. Позначимо через  матрицю, утворену цими стовпцями. Враховуючи, що всякий стовпець матриці C може бути розкладений за системою векторів , як за базисом, матрицю C подамо у вигляді

,

де  - вектор коефіцієнтів розкладу  стовпця матриці С за базисом . Звідки , де

З врахуванням останнього розв’язок задачі (3.5) - (3.6) побудуємо в два етапи:

  1.  розв’яжемо задачу знаходження вектора  такого, щоб

                          (3.9)

  1.  знайдемо мінімальний за нормою вектор  такий, щоб

    .                      (3.10)

Задачі ці мають однозначний розв’язок: перша - як задача розкладу вектора  ; друга - тому, що для системи (3.10) ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної.

При розв’язанні задачі (3.9) будемо виходити з того, що

.

Звідки

;

.         (3.11)

Розв’язок другої задачі знайдемо шляхом мінімізації функції Лагранжа

.

З врахуванням того, що для

,

при   з (3.10) знаходимо

.

Звідки

,

а шукане

.

З врахуванням (3.11) отримуємо

,                     (3.12)

де

.                    (3.13)

Звідси випливає, що має місце наступна теорема.

Теорема 3.1. Визначена згідно (3.6), (3.7) матриця , псевдо обернена до () – вимірної матриці , визначається співвідношенням (3.13), в якому - матриця, утворена  лінійно незалежними стовпцями матриці , а - матриця коефіцієнтів розкладу за ними всіх вектор-стовпчиків матриці .

Як було сказано вище, система (3.10) має розв’язок при любому. - це вектор коефіцієнтів розкладу вектора  по вектор-стовпцях матриці . Звідки заключаємо, що вектор y теж може бути довільним.

Питань не виникає, якщо розмірність  вектора  дорівнює кількості  векторів  (базису матриці ). Якщо ж , то однозначність та точність розв’язку системи

буде досягатися, якщо за вектор-стовпцями матриці  буде розкладатися - проекція вектора  на лінійну оболонку натягнуту на вектор-стовпці матриці . З врахуванням (3.11) заключаємо, що матриця , а отже і розв’язок системи (3.5) буде однозначним, якщо

.

Поскільки  лінійно незалежних вектор-стовпчиків матриці  є одночасно і лінійно незалежними вектор-стовпцями матриці С, то можемо сформулювати наступний наслідок .

Наслідок 3.1.  Проекція вектора  на лінійну оболонку, натягнену на вектор-стовпці матриці , визначається співвідношенням

.

З використанням сформульованої в наслідку 3.1 особливості псевдообернення системи (3.5) можемо побудувати ще один зручний для практичної реалізації алгоритм побудови , а отже і розв’язання задач (3.9), (3.10). Алгоритм запропонований М. Ф. Кириченком. Вперше він був опублікований в [22] і названий автором методом решетування.

Згідно [22]:

1) Виділимо з   лінійно  незалежних стовпчиків. Одержимо матрицю . Згідно розглянутого вище

;

2) Виділимо з  r лінійно незалежних рядків. З матриці  залишиться матриця , елементи якої належать одночасно виділеним  рядкам і r стовпцям. При цьому

і замість рівняння (3.10) на другому етапі розв’язання задачі побудови матриці  будемо розглядати рівняння

,                      (3.14)

де

;

3) розв’язок рівняння (3.14) такий, щоб

,

,

запишемо у вигляді

,

де

.                   (3.15)

Крім наведеного вище представлення (3.13) та (3.15) псевдооберненої матриці  відомі і інші [12] не менш важливі представлення. Ми зупинимося ще на одному з них, яке носить більше теоретичний характер і яке потрібне буде нам в подальшому викладі матеріалу.

3.3. Сингулярне представлення прямокутних матриць. Як було показано вище, всяку прямокутну матрицю C розмірності LM можна представити у вигляді добутку двох матриць C1 та C2 розмірності L*r та r*M відповідно, де r - ранг матриці C. Тобто

,

де сi(1)  лінійно незалежні стовпці матриці C, а   - рядки матриці C2 визначеної в (3.8). А це значить, що

                                                               (3.16)

Якщо ж вектори та  розкласти за системою ортонормованих векторів   та  відповідно, то представлення (3.16) матиме вигляд

.                                                                 (3.17)

Виникає природнє запитання: ”Як система ортонормованих векторів yi, , та чисел  повязана з матрицею C ?

Розглянемо CCTys . З врахуванням ортогональності векторів  та yi маємо:

   (3.18)

Аналогічно знаходимо, що

.                                            (3.19)

А це значить, що система векторів xi , yi та чисел   існує: вектори xi та yi є власними векторами для матриць CTC та CCT з власним значеннями рівними . Тобто представлення матриці C у вигляді (3.17), можливе хоча практично побудувати його не просто.

Виходячи з представлення (3.17) матриці C побудуємо аналогічне представлення і для матриці C+.

Згідно (3.13), де

,

знаходимо

                            (3.20)

.

3.4. Проекційні властивості псевдообернених матриць Представлення (3.17) та (3.20) матриць  та  дозволяють в рамках введених вище позначень записати та проілюструвати досить цікаві і потрібні для практики властивості псевдообернених матриць. Сформулюємо це у вигляді наступної теореми.

Теорема 3.2. Для () – вимірної матриці  такої, що для ортонормованих векторів , які є базисними для вектор-стовпчиків матриці , виконуються співвідношення (3.18), та вектора  матриці  та  є проекціями на лінійну оболонку , натягнену на вектор-стовпці матриці , та ортогональне доповнення до цієї оболонки відповідно.

Доведення. Для доведення теореми систему векторів  доповнимо системою ортонормованих векторів  ортогональних до . Тоді

,

а досліджувані в теоремі матриці

;                     (3.21)

.        (3.22)

Якщо розглянути

;                    (3.23)

,         (3.24)

то  є не що інше, як проекція вектора  на , а  є розклад вектора по системі векторів . Якщо , то цей розклад зрозумілий. Якщо ж розмірність вектора  більша , то представлення (3.23) буде давати розклад по  проекції вектора  на лінійну оболонку, натягнуту на вектори , а отже і на вектор стовпці матриці .

Тобто

.

Аналогічними міркуваннями, виходячи з (3.22), доводиться і друге твердження, теореми, згідно якого

.

Аналогічно доводиться  наступна теорема.

Теорема 3.3. Для () – вимірної матриці  такої, що для ортонормованих векторів , які є базисними для вектор-рядків  матриці  і для яких виконуються співвідношення (3.18), (3.19) та вектора  матриці  та  є проекційними на лінійну оболонку, натягнуту на вектор-рядки  матриці , та ортогональне доповнення до цієї оболонки відповідно.

3.5. Загальні розвязки системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Сформульовані в теоремах 3.2 та 3.3 проекційні властивості матриць , , та  дозволяють зручно записати та дослідити загальний розвязок системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Сформулюємо це у вигляді наступної теореми.

Теорема 3.4. Загальний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь

                     (3.25)

де - - вимірна матриця, , , визначається формулою

,                                                            (3.26)

де -довільний вектор розмірності , C- матриця, псевдообернена до , а . Розвязок цей буде:

  1.  єдиним і точним при

;                     (3.27)

;

  1.  даватиме множину розвязків при

;                     (3.28)

;

3) єдиним псевдорозязком таким, що

       (3.29)

при

;          (3.30)

;

  1.  даватиме множину

                                             

псевдорозвязків з невязкою , визначеною співвідношенням (3.29) при

         (3.31)

.

Доведення. Будемо виходити з того, що згідно розглянутого вище розв’язок рівняння (3.25), якщо він існує, записується через псевдообернену матрицю  співвідношенням (3.12).

В загальному ж випадку

,                         (3.32)

де - довільний вектор розмірності  такий, що

.

А це значить, що вектор  мусить бути ортогональним до вектор-рядків матриці . Іншими словами кажучи, мусить належати ортогональному доповненню до лінійної оболонки натягненої на вектор-рядки матриці , а отже

 ,

що і доводить співвідношення (3.26).

Співвідношення (3.27), (3.28), (3.30), (3.31) стануть зрозумілими, якщо враховувати, що  є умовою невиродженості матриці , а  випливає з умови, щоб

,

що є умовою рівності нулю проекції вектора  на ортогональне доповнення до лінійної оболонки, натягненної на вектор-стовпці матриці . Останнє ж описує умову, за якою вектор  може бути розкладений за вектор-стовпцями матриці , тобто умовою, коли точно задовольняється рівняння (3.25).

3.6. Ще деякі представлення та залежності псевдообернених матриць. Сингулярне представлення матриць ,  у вигляді (3.17), (3.20) дозволяє довести ще дві корисні для практичного використання формули:

.                    (3.33)

Достовірність формули (3.33) перевіримо виходячи з (3.17) та (3.20). При цьому

;

.       (3.34)

Звідки

;

.

Зауваження. Представлення (3.34) матриці  з врахуванням (3.17) та (3.20) дозволяє заключити, що

.

А це значить, що

.

Звідки з врахуванням властивостей векторів   заключаємо, що  може мати значення «один», або «нуль»: «один» - коли розвязок (псевдорозвязок) системи (3.25) однозначний; «нуль» - коли цих розвязків (псевдорозвязків) множина.

Останнє дозволяє умову однозначності загального розвязку (3.26) системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.25) в умовах (3.27), (3.28), (3.30), (3.31) замінити наступною

,

або

.

26

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64981. Чингисхан – человек- легенда. Размышления к 850 летнему юбилею 69 KB
  За право считать Чингисхана своим сегодня борются все русские китайцы монголы татары казахи киргизы узбеки якуты и даже украинские евреи. Все западные гороскопы Чингисхана являются полным бредом не выдерживающим элементарной исторической критики чего стоит дата на 18.
64982. Монгольский Митраизм 196 KB
  800 лет назад, в начале XIII века, мир стал свидетелем рождения первой мировой Супердержавы, равной которой не было ни в Древнем Мире, ни в Средневековье, ни в последующие эпохи, державы перевернувшей мировую историю и представления людей об окружающем их мире...
64983. Дневники монголоведа 1.36 MB
  Научное и просветительское внимание Ковалевского к памятникам письменности, предметам материальной культуры, культовой атрибутики народов Центральной Азии нашло научно-исследовательское продолжение у ученых и просветителей XX в.
64984. Об устройстве войска улуса Хулагу 261 KB
  Таков кратко очерк образования государства Хулагуидов. Не правда ли очень похоже на историю Улуса Джучи? Даже в деталях. В последующем Ильханы не расширяли свои территории, а старались удержать завоёванное. Основным внешним врагом оставался Египет. Многочисленные родственники из улусов Джучи и Джагатая тоже были не прочь урвать кусочек пожирнее.
64986. МОНГОЛЬСКАЯ МОНЕТНО-ВЕСОВАЯ СИСТЕМА И РАЦИО В СРЕДНЕЙ АЗИИ XIII ВЕКА 65.5 KB
  Решению данной проблемы и посвящено настоящее сообщение. Существенную помощь в ее рассмотрении оказал анализ монет клада XIII в. из Отрара, опубликованного К.М. Байпаковым и В.Н. Настичем. В этой работе проанализированы только метрологические характеристики монет Алмалыка.
64987. ОЧЕРКИ ПО НУМИЗМАТИКЕ МОНГОЛЬСКИХ ГОСУДАРСТВ XIII – XIV ВЕКОВ 81.5 KB
  В работе представлена и использована методика анализа метрологических характеристик монет приведено каталожное описание большого числа памятников нумизматики монгольского времени с уточненной атрибуцией. Особое внимание уделено проблеме общности истоков и динамики развития монетных систем и денежного обращения в...
64988. Монгольская концепция родства как фактор отношений с русскими князьями: социальные практики и культурный контекст 269 KB
  Любую социокультурную систему можно рассматривать с двух противоположных методологических позиций. Одна из них умышленно дистанцируется от своего объекта изучения, рассматривает его как бы извне, путём последовательных абстракций или дедуктивных умозаключений пытаясь поместить его в рамки общей концептуальной схемы...
64989. Письмо золотоордынского хана Ахмеда турецкому султану Фатих Мехмеду 72.5 KB
  Письмо Ахмед ибн Мухаммеда меньше по размерам и без соответствующего данному типу ханских писем. Лишь после знакомства с текстом письма можно установить что оно принадлежит золотоордынскому хану Ахмед ибн Мухаммед ибн Тимуру.