23033

Моделювання дискретизованих початково-крайових

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розвязання.4 в розвязку 1.23 вектора векторфункції та матричної функції проблему розвязання задачі 4.6 в залежності від співвідношень між та може мати точний розвязок або визначене згідно 4.

Русский

2013-08-04

244 KB

0 чел.

34

    Стоян В.А.

Лекція 4. Моделювання дискретизованих початково-крайових

                 умов 

4.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянутий вище варіант моделювання початково-крайових умов (1.3), (1.4), дискретизованих точками  та   системою векторів

                                                  (4.1)

                                               (4.2)

значень моделюючих функцій  та  суттєво залежить від вибору точок дискретизації як початково-крайових умов, так і моделюючих функцій. Більш точними і більш універсальними були б аналітичні залежності моделюючих функцій  та , які відповідають дискретизованим точками  та  початково-крайовим умовам (1.3), (1.4):

                    (4.3)

                    (4.4)

Згідно ж викладеного в п.1.3 значення  та  функції  та , якими моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4) в розв’язку (1.11) задачі динаміки системи (1.11), визначаються співвідношеннями:

    (4.5)

де          

Залишаючись в рамках визначення в (1.23) вектора , вектор-функції  та матричної функції  проблему розв’язання задачі (4.5) зведемо до обернення наступної системи інтегральних рівнянь:

                                (4.6)

Тут

                                   (4.7)

причому  при і=2 та  при і=2. У відповідності із областю зміни аргумента  у визначенні матричних та векторних функцій ,  та  і розуміється інтегрування в (4.6).

Як і системи лінійних алгебраїчних рівнянь, дослідженні нами в попередній лекції, задача (4.6) в залежності від співвідношень між  та  може мати точний розв’язок, або визначене згідно (4.5) наближення до нього. Як розв’язок, так і наближення до нього можуть бути однозначними, або визначатися множиною значень.

Для побудови та дослідження загального розв’язку задачі (4.6), (4.7) будемо виходити із співвідношень (3.26) - (3.30) отриманих нами при оберненні системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.25). Останнє можна зробити спрямовуючи до нескінченності значення N в задачі

                                 (4.8)

де  дискретизаційна сітка для просторово-часових координат  (- крок дискретизації координати ).

4.2. Методи лінійної алгебри в побудові та дослідженні загального розв’язку дискретизованої системи лінійних інтегральних рівнянь. Виконаємо ціленаправлене (згідно критерію (4.8)) обернення системи

                                                            (4.9)

Для цього введемо до розгляду матричні та векторні функції дискретного аргументу:

                      (4.10)

такі, що

Після чого систему (4.9) запишемо у вигляді

                                                                       (4.11)

звідки знаходимо

При цьому згідно (3.26)

                  (4.12)

де

а

З врахуванням визначення (4.10) матричних та векторних векторів  та  заключаємо, що розв’язком (псевдорозв’язком) рівняння (4.9), який задовільняє умові (4.8), буде

(4.13)

де

при

Виконаємо дослідження точності та однозначності множин  та  векторної функції  та вектора . Використовуючи співвідношення (3.26) – (3.30), наведені в п.3.5 для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходимо, що множина  буде множиною точних розв’язків задачі (4.9), якщо

                                             (4.14)

Якщо ж , то  буде множиною псевдорозв’язків такою, що

                                             (4.15)

Множина ця буде однозначною при

                                                          (4.16)

Спрямовуючи  у співвідношеннях (4.14) – (4.16) запишемо умови точності та однозначності і для множин . При цьому матимемо:

а) умова точності:

                                (4.17)

б) умова однозначності:

                                             (4.18)

в) похибка розв’язання задачі (4.8):

                               (4.19)

4.3. Загальний розв’язок проблеми обернення системи інтегральних рівнянь. Враховуючи, що розв’язана вище задача (4.8) є допоміжною для задачі (4.6), (4.7), виконаємо побудову та дослідження загального розв’язку останньої. При цьому будемо виходити із співвідношень (4.12), (4.14) – (4.16) та (4.13), (4.17) – (4.19), якими описується розв’язок задач (4.6) та (4.8). Спрямовуючи  та враховуючи, що

                  (4.20)

                               (4.21)

                               (4.22)

знаходимо, що визначена в (4.6) вектор-функція

(4.23)

де  - довільна інтегрована в області зміни аргумента s функція, а

                  (4.24)

Визначені співвідношенням (4.23) моделюючі функції u(s) розв’язуватимуть задачу (4.6) точно, якщо при Р, вирахованому згідно (4.24),

                                             (4.25)

При  моделюючі функції u(s) будуть такими, що

                                             (4.26)

Множина (4.23) функцій  буде однозначною при

                                             (4.27)

4.4. Псевдообернення матричних стовпців функцій та розв’язок задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов. Методика побудови множини (4.23) вектор-функцій

,

якими через

             

та

 

згідно критерію (4.5) визначається вклад початково-крайових умов (4.3), (4.4) у значення вектор-функції стану

                                             (4.28)

будувалася з використанням матричної функції A(s) та вектор-функції u(s), визначених в (4.7).

Розглядаючи A(s) та u(s) згідно (4.20) – (4.22), враховуючи, що критерієм розв’язання задачі є (див.(4.8))

та позначивши через

граничне значення псевдооберненої до  матриці знаходимо, що

                  (4.29)

Останнє дозволяє матричну функцію  назвати псевдооберненою до матричної функції .

Враховуючи сказане зі співвідношень (4.23) знаходимо, що вектор-функція , якою згідно (4.5) моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4), визначається співвідношеннями

     (4.30)

При цьому [ ] по аналогії з (3.6)

                                             (4.31)

На завершення нагадаємо, що вирази (4.30), (4.31) та умови їх точності і однозначності у формі (4.25) – (4.27) мають місце для всіх постановок початково-крайових задач сформульованих в п.1.3. А це і початково-крайова задача загальної постановки, і задачі динаміки розглядуваних систем розв’язувані без врахування крайових умов (в необмеженій просторовій області), чи початкових умов (в необмеженій часовій області).

Варіант задачі визначається вибором означень для вектор-функції , матричної функції  та вектора .

Так при

де  визначені співвідношеннями (4.7), це буде початково-крайова задача загальної постановки.

При

 

це буде задача Коші. При

 

це буде крайова задача.

33

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38331. Маркетингова політика комунікацій 1.6 MB
  Котлера слід розглядати маркетингові комунікації як управління процесом прямування товару на всіх етапах перед продажем у момент покупки під час і по завершенню процесу споживання. Важливо пам'ятати що розробка такого комплексу є стратегічно важливою для успішної діяльності по просуванню товару тому що тільки правильне використання засобів комунікації й чітке розміщення акцентів сприяє досягненню цілей фірми. Існують три біієрархічні моделі відповідної реакції споживачів на комунікацію залежно від виду товару й...
38332. Морське право 368 KB
  Вони не встановлювали правовий режим морських просторів оскільки ще не склалися інститути відкритого моря внутрішніх і територіальних вод. Саме в цей період починає формуватися принцип свободи відкритого моря що остаточно сформувався до кінця XVII сторіччя: Його становлення прямо пов'язане з гострою боротьбою між феодальними державами Іспанією і Португалією і державами у котрих активно розвивався капіталістичний засіб виробництва Англією Францією а потім Голландією що виступили за свободу морів. У цей час були початі перші спроби...
38333. Міжнародне право 362.5 KB
  Версії виникнення міжнародного права. Уже в той час союзницькі звязки племен не зводилися лише до турботи про зовнішній захист а містили й безліч інших норм поведінки які закріплюючись із плином часу призвели до появи права у формі звичаю. Також існує дві концепції походження міжнародного права: 1 Позитивістське тлумачення походження міжнародного права Природно правова концепція була першою спробою пояснення походження і сутності міжнародного права. В її розвитку можна виділити послідовні етапи: від пояснення походження міжнародного...
38334. Международное сегментирование 28.06 KB
  Критерии сегментации мирового рынка. Целевой сегмент мирового рынка. Углубленное исследование рынка предполагает необходимость его рас смотрения как дифференцированной структуры в зависимости от групп потребителей и потребительских свойств товара что в широком смысле определяет понятие рыночной сегментации. Рыночная сегментация представляет собой с одной стороны метод для нахождения частей рынка и определения объектов на которые направлена международная маркетинговая деятельность предприятий.
38335. Міжнародне торгівельне право 293.5 KB
  ТНК як субєкт міжнародного торговельного права: поняття види міжнародноправова регламентація діяльності.Характеристика діяльність регіональних економічних комісій ЕКОСОР в сфері міжнародного торговельного права.Обєкти міжнародного торговельного права: види поняття особливості нормативноправового регулювання. Обєкти МТП будьяка продукція послуги роботиправа інтелектуальної власності призначені для продажу або оплачуваної передачі.
38336. Міжнародне приватне право 244.5 KB
  Поняття субєкт обєкт та джерела міжнародного приватного права. Субєкти МПрП це учасникицивільних правовідносин ускладнених іноземним елементом: 1 фізичні особи громадяни особи без громадянства апатриди; іноземні громадяни особи які мають подвійне громадянство біпатриди; 2 юридичні особи державні організації приватні фірми підприємства науководослідні та інші організації; 3 держави; 4 нації і народи які борються за свободу і незалежність і створення власної державності в особі своїх керівних органів до них...
38337. Критерии социальной стратификации, ее виды 14.93 KB
  В социологии выделяют три базовых вида социальной стратификации современного общества - экономическую, политическую и социально-профессиональную.
38338. Міжнародне публічне прво 309.5 KB
  Воно включає в себе такі компоненти як володіння природними ресурсами та їх експлуатація виробництво та розподіл товарів міжнародні угоди господарського чи фінансовог характеру кредити та фінанси та ін. Для маркировки невеливих товарів розроблений стандарт штрихкоду EN8 у тілі повідомлення якого кодується тільки 8 цифр замість 13. Показником лібералізму є свобода звичаєва категорія руху товарів послуг та капіталів економічні свободи. Особливістю розвитку світового експорту сировинних товарів є також нижчі темпи зростання торгівлі...