23033

Моделювання дискретизованих початково-крайових

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розвязання.4 в розвязку 1.23 вектора векторфункції та матричної функції проблему розвязання задачі 4.6 в залежності від співвідношень між та може мати точний розвязок або визначене згідно 4.

Русский

2013-08-04

244 KB

0 чел.

34

    Стоян В.А.

Лекція 4. Моделювання дискретизованих початково-крайових

                 умов 

4.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянутий вище варіант моделювання початково-крайових умов (1.3), (1.4), дискретизованих точками  та   системою векторів

                                                  (4.1)

                                               (4.2)

значень моделюючих функцій  та  суттєво залежить від вибору точок дискретизації як початково-крайових умов, так і моделюючих функцій. Більш точними і більш універсальними були б аналітичні залежності моделюючих функцій  та , які відповідають дискретизованим точками  та  початково-крайовим умовам (1.3), (1.4):

                    (4.3)

                    (4.4)

Згідно ж викладеного в п.1.3 значення  та  функції  та , якими моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4) в розв’язку (1.11) задачі динаміки системи (1.11), визначаються співвідношеннями:

    (4.5)

де          

Залишаючись в рамках визначення в (1.23) вектора , вектор-функції  та матричної функції  проблему розв’язання задачі (4.5) зведемо до обернення наступної системи інтегральних рівнянь:

                                (4.6)

Тут

                                   (4.7)

причому  при і=2 та  при і=2. У відповідності із областю зміни аргумента  у визначенні матричних та векторних функцій ,  та  і розуміється інтегрування в (4.6).

Як і системи лінійних алгебраїчних рівнянь, дослідженні нами в попередній лекції, задача (4.6) в залежності від співвідношень між  та  може мати точний розв’язок, або визначене згідно (4.5) наближення до нього. Як розв’язок, так і наближення до нього можуть бути однозначними, або визначатися множиною значень.

Для побудови та дослідження загального розв’язку задачі (4.6), (4.7) будемо виходити із співвідношень (3.26) - (3.30) отриманих нами при оберненні системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.25). Останнє можна зробити спрямовуючи до нескінченності значення N в задачі

                                 (4.8)

де  дискретизаційна сітка для просторово-часових координат  (- крок дискретизації координати ).

4.2. Методи лінійної алгебри в побудові та дослідженні загального розв’язку дискретизованої системи лінійних інтегральних рівнянь. Виконаємо ціленаправлене (згідно критерію (4.8)) обернення системи

                                                            (4.9)

Для цього введемо до розгляду матричні та векторні функції дискретного аргументу:

                      (4.10)

такі, що

Після чого систему (4.9) запишемо у вигляді

                                                                       (4.11)

звідки знаходимо

При цьому згідно (3.26)

                  (4.12)

де

а

З врахуванням визначення (4.10) матричних та векторних векторів  та  заключаємо, що розв’язком (псевдорозв’язком) рівняння (4.9), який задовільняє умові (4.8), буде

(4.13)

де

при

Виконаємо дослідження точності та однозначності множин  та  векторної функції  та вектора . Використовуючи співвідношення (3.26) – (3.30), наведені в п.3.5 для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходимо, що множина  буде множиною точних розв’язків задачі (4.9), якщо

                                             (4.14)

Якщо ж , то  буде множиною псевдорозв’язків такою, що

                                             (4.15)

Множина ця буде однозначною при

                                                          (4.16)

Спрямовуючи  у співвідношеннях (4.14) – (4.16) запишемо умови точності та однозначності і для множин . При цьому матимемо:

а) умова точності:

                                (4.17)

б) умова однозначності:

                                             (4.18)

в) похибка розв’язання задачі (4.8):

                               (4.19)

4.3. Загальний розв’язок проблеми обернення системи інтегральних рівнянь. Враховуючи, що розв’язана вище задача (4.8) є допоміжною для задачі (4.6), (4.7), виконаємо побудову та дослідження загального розв’язку останньої. При цьому будемо виходити із співвідношень (4.12), (4.14) – (4.16) та (4.13), (4.17) – (4.19), якими описується розв’язок задач (4.6) та (4.8). Спрямовуючи  та враховуючи, що

                  (4.20)

                               (4.21)

                               (4.22)

знаходимо, що визначена в (4.6) вектор-функція

(4.23)

де  - довільна інтегрована в області зміни аргумента s функція, а

                  (4.24)

Визначені співвідношенням (4.23) моделюючі функції u(s) розв’язуватимуть задачу (4.6) точно, якщо при Р, вирахованому згідно (4.24),

                                             (4.25)

При  моделюючі функції u(s) будуть такими, що

                                             (4.26)

Множина (4.23) функцій  буде однозначною при

                                             (4.27)

4.4. Псевдообернення матричних стовпців функцій та розв’язок задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов. Методика побудови множини (4.23) вектор-функцій

,

якими через

             

та

 

згідно критерію (4.5) визначається вклад початково-крайових умов (4.3), (4.4) у значення вектор-функції стану

                                             (4.28)

будувалася з використанням матричної функції A(s) та вектор-функції u(s), визначених в (4.7).

Розглядаючи A(s) та u(s) згідно (4.20) – (4.22), враховуючи, що критерієм розв’язання задачі є (див.(4.8))

та позначивши через

граничне значення псевдооберненої до  матриці знаходимо, що

                  (4.29)

Останнє дозволяє матричну функцію  назвати псевдооберненою до матричної функції .

Враховуючи сказане зі співвідношень (4.23) знаходимо, що вектор-функція , якою згідно (4.5) моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4), визначається співвідношеннями

     (4.30)

При цьому [ ] по аналогії з (3.6)

                                             (4.31)

На завершення нагадаємо, що вирази (4.30), (4.31) та умови їх точності і однозначності у формі (4.25) – (4.27) мають місце для всіх постановок початково-крайових задач сформульованих в п.1.3. А це і початково-крайова задача загальної постановки, і задачі динаміки розглядуваних систем розв’язувані без врахування крайових умов (в необмеженій просторовій області), чи початкових умов (в необмеженій часовій області).

Варіант задачі визначається вибором означень для вектор-функції , матричної функції  та вектора .

Так при

де  визначені співвідношеннями (4.7), це буде початково-крайова задача загальної постановки.

При

 

це буде задача Коші. При

 

це буде крайова задача.

33

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66007. Бюжетная политика 13.79 KB
  От качества федерального бюджета заложенных в него параметров зависят и уровень социальной защиты граждан и инвестиционные возможности государства и степень влияния России на международной арене и даже предпринимательская активность граждан.
66009. Финансовая система России 31.78 KB
  Государственный и банковский кредит все вышеозначенные институты относят к централизованным финансам которые используются для регулирования экономики и социальных отношений на макроуровне; Финансы хозяйствующих субъектов и отраслей относящиеся к децентрализованным финансам...
66010. Государственные предприятия, государственные корпорации, объединения предприятий, дочерние и зависимые общества 59 KB
  Все они направлены на использование преимуществ крупного капитала но отличаются друг от друга: Конкретными стратегическими целями и текущими задачами которые ставятся объединением ; Структурой участников; Установленными имущественными и правовыми отношениями; Понятие и сущность...
66012. Немецкая и американская модель ипотечного кредитования 18.96 KB
  Период кредитования начинается когда член кассы накапливает половину той суммы что нужна на покупку жилья. Период накопления заменяется периодом внесения вкладов в долговое участие в строительстве а период кредитования периодом покупки в рассрочку или аренды с правом выкупа.
66013. Инвестиционный рейтинг регионов 97.5 KB
  Рейтинг крупнейшего независимого агентства Эксперт РА это взаимосвязанная оценка двух осей инвестиционной привлекательности: риска и потенциала. Им в ходе оценки составляющих инвестиционного климате инвестиционного риска и потенциала используется около двух сотен исходных количественных и качественных характеристик.
66014. Внутренний долг РФ с 2007-2012 года 55.46 KB
  Структура и динамика государственного внутреннего долга по состоянию на 1 мая 2007 года в части государственных ценных бумаг номинированных в валюте Российской Федерации Виды государственных ценных бумаг млрд.
66015. Внешняя задолженность 28.59 KB
  В случае внешнего государственного долга кредиторами правительства выступают: иностранные государства иностранные юридические лица международные финансовые институты МВФ связанный с ним Парижский клуб Лондонский клуб Всемирный банк.