23033

Моделювання дискретизованих початково-крайових

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розвязання.4 в розвязку 1.23 вектора векторфункції та матричної функції проблему розвязання задачі 4.6 в залежності від співвідношень між та може мати точний розвязок або визначене згідно 4.

Русский

2013-08-04

244 KB

0 чел.

34

    Стоян В.А.

Лекція 4. Моделювання дискретизованих початково-крайових

                 умов 

4.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянутий вище варіант моделювання початково-крайових умов (1.3), (1.4), дискретизованих точками  та   системою векторів

                                                  (4.1)

                                               (4.2)

значень моделюючих функцій  та  суттєво залежить від вибору точок дискретизації як початково-крайових умов, так і моделюючих функцій. Більш точними і більш універсальними були б аналітичні залежності моделюючих функцій  та , які відповідають дискретизованим точками  та  початково-крайовим умовам (1.3), (1.4):

                    (4.3)

                    (4.4)

Згідно ж викладеного в п.1.3 значення  та  функції  та , якими моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4) в розв’язку (1.11) задачі динаміки системи (1.11), визначаються співвідношеннями:

    (4.5)

де          

Залишаючись в рамках визначення в (1.23) вектора , вектор-функції  та матричної функції  проблему розв’язання задачі (4.5) зведемо до обернення наступної системи інтегральних рівнянь:

                                (4.6)

Тут

                                   (4.7)

причому  при і=2 та  при і=2. У відповідності із областю зміни аргумента  у визначенні матричних та векторних функцій ,  та  і розуміється інтегрування в (4.6).

Як і системи лінійних алгебраїчних рівнянь, дослідженні нами в попередній лекції, задача (4.6) в залежності від співвідношень між  та  може мати точний розв’язок, або визначене згідно (4.5) наближення до нього. Як розв’язок, так і наближення до нього можуть бути однозначними, або визначатися множиною значень.

Для побудови та дослідження загального розв’язку задачі (4.6), (4.7) будемо виходити із співвідношень (3.26) - (3.30) отриманих нами при оберненні системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.25). Останнє можна зробити спрямовуючи до нескінченності значення N в задачі

                                 (4.8)

де  дискретизаційна сітка для просторово-часових координат  (- крок дискретизації координати ).

4.2. Методи лінійної алгебри в побудові та дослідженні загального розв’язку дискретизованої системи лінійних інтегральних рівнянь. Виконаємо ціленаправлене (згідно критерію (4.8)) обернення системи

                                                            (4.9)

Для цього введемо до розгляду матричні та векторні функції дискретного аргументу:

                      (4.10)

такі, що

Після чого систему (4.9) запишемо у вигляді

                                                                       (4.11)

звідки знаходимо

При цьому згідно (3.26)

                  (4.12)

де

а

З врахуванням визначення (4.10) матричних та векторних векторів  та  заключаємо, що розв’язком (псевдорозв’язком) рівняння (4.9), який задовільняє умові (4.8), буде

(4.13)

де

при

Виконаємо дослідження точності та однозначності множин  та  векторної функції  та вектора . Використовуючи співвідношення (3.26) – (3.30), наведені в п.3.5 для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходимо, що множина  буде множиною точних розв’язків задачі (4.9), якщо

                                             (4.14)

Якщо ж , то  буде множиною псевдорозв’язків такою, що

                                             (4.15)

Множина ця буде однозначною при

                                                          (4.16)

Спрямовуючи  у співвідношеннях (4.14) – (4.16) запишемо умови точності та однозначності і для множин . При цьому матимемо:

а) умова точності:

                                (4.17)

б) умова однозначності:

                                             (4.18)

в) похибка розв’язання задачі (4.8):

                               (4.19)

4.3. Загальний розв’язок проблеми обернення системи інтегральних рівнянь. Враховуючи, що розв’язана вище задача (4.8) є допоміжною для задачі (4.6), (4.7), виконаємо побудову та дослідження загального розв’язку останньої. При цьому будемо виходити із співвідношень (4.12), (4.14) – (4.16) та (4.13), (4.17) – (4.19), якими описується розв’язок задач (4.6) та (4.8). Спрямовуючи  та враховуючи, що

                  (4.20)

                               (4.21)

                               (4.22)

знаходимо, що визначена в (4.6) вектор-функція

(4.23)

де  - довільна інтегрована в області зміни аргумента s функція, а

                  (4.24)

Визначені співвідношенням (4.23) моделюючі функції u(s) розв’язуватимуть задачу (4.6) точно, якщо при Р, вирахованому згідно (4.24),

                                             (4.25)

При  моделюючі функції u(s) будуть такими, що

                                             (4.26)

Множина (4.23) функцій  буде однозначною при

                                             (4.27)

4.4. Псевдообернення матричних стовпців функцій та розв’язок задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов. Методика побудови множини (4.23) вектор-функцій

,

якими через

             

та

 

згідно критерію (4.5) визначається вклад початково-крайових умов (4.3), (4.4) у значення вектор-функції стану

                                             (4.28)

будувалася з використанням матричної функції A(s) та вектор-функції u(s), визначених в (4.7).

Розглядаючи A(s) та u(s) згідно (4.20) – (4.22), враховуючи, що критерієм розв’язання задачі є (див.(4.8))

та позначивши через

граничне значення псевдооберненої до  матриці знаходимо, що

                  (4.29)

Останнє дозволяє матричну функцію  назвати псевдооберненою до матричної функції .

Враховуючи сказане зі співвідношень (4.23) знаходимо, що вектор-функція , якою згідно (4.5) моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4), визначається співвідношеннями

     (4.30)

При цьому [ ] по аналогії з (3.6)

                                             (4.31)

На завершення нагадаємо, що вирази (4.30), (4.31) та умови їх точності і однозначності у формі (4.25) – (4.27) мають місце для всіх постановок початково-крайових задач сформульованих в п.1.3. А це і початково-крайова задача загальної постановки, і задачі динаміки розглядуваних систем розв’язувані без врахування крайових умов (в необмеженій просторовій області), чи початкових умов (в необмеженій часовій області).

Варіант задачі визначається вибором означень для вектор-функції , матричної функції  та вектора .

Так при

де  визначені співвідношеннями (4.7), це буде початково-крайова задача загальної постановки.

При

 

це буде задача Коші. При

 

це буде крайова задача.

33

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25969. Аудит учредительных документов и формирования уставного капитала 29 KB
  При этом следует знать что для достижения этой цели аудиторами должны быть решены следующие задачи: определение юридического статуса предприятия сферы деятельности прав его функционирования; установление наличия лицензии по видам деятельности подлежащих лицензированию; проверка порядка формирования и изменения уставного складочного капитала и изучение его структуры. При проверке учредительных документов и формирования уставного капитала необходимо руководствоваться следующими основными нормативными документами: Гражданским кодексом часть...
25970. Аудиторская выборка 51.5 KB
  Аудиторская выборка дает возможность аудитору получить и оценить аудиторские доказательства в отношении некоторых характеристик элементов отобранных для того чтобы сформировать или помочь сформировать выводы касающиеся генеральной совокупности из которой произведена выборка; При разработке процедур аудита аудиторская организация или индивидуальный аудитор должны определить надлежащие методы отбора элементов подлежащих проверке при сборе аудиторских доказательств для достижения целей аудиторских тестов. Риск связанный с использованием...
25971. Аудиторская проверка финансовой (бухгалтерской) отчетности экономического субъекта 40.5 KB
  Цель аудита финансовых результатов и распределения прибыли установление достоверности отражения в учете и отчетности прибылей и убытков предприятия законности распределения и использования прибыли остающейся в распоряжении предприятия после налогообложения. Основными задачами данного вида аудита являются: оценка соответствия бухгалтерской финансовой отчетности данным синтетического и аналитического учета составляющих конечного финансового результата; подтверждение соответствия оформленных предприятием бухгалтерских операций...
25972. Сущность аудиторских доказательств 37 KB
  Аудитор в процессе проверки должен получить достаточную и достоверную информацию свидетельства доказательства которая подтвердит что бухгалтерская финансовая отчетность отражает финансовое положение предприятия а также что она составлена в соответствии стандартов и законодательству РФ. Отнести к аудиторским доказательствам можно: первичные документы; бухгалтерские записи; полученная из других источников информация. Оценить количественную меру доказательств достаточность и качественную меру смысловой нагрузки доказательства к...
25973. Аудиторские процедуры 29.5 KB
  Собирая доказательства аудиторы используют следующие процедуры: проверку арифметических расчетов клиента в зависимости от плана аудиторской проверки оценки системы внутреннего контроля и риска аудиторского она может быть выборочной или сплошной; наблюдение или участие в инвентаризации различных активов клиента инвентаризация в данном случае рассматривается как метод получения ценных и достоверных доказательств о реальности и точности активных статей баланса и фактов совершения хозяйственных операций; наблюдение за выполнением отд. Для...
25974. Аудиторский риск. Анализ компонентов риска 35 KB
  Анализ компонентов риска Аудит базирующийся на риске это такой вид аудита когда проверка может производиться выборочно исходя из условий работы предприятия в основном узких мест критических точек в его работе. Сосредоточив аудиторскую работу в областях где риски выше можно сократить время затрачиваемое на проверку областей с низким риском. С проведением аудита непосредственно связаны следующие виды риска: предпринимательский и аудиторский.
25975. Аудиторское заключение 35 KB
  Аудиторское заключение официальный документ предназначенный для пользователей бухгалтерской финансовой отчетности аудируемых лиц содержащий выраженное в установленной форме мнение аудиторской организации индивидуального аудитора о достоверности бухгалтерской финансовой отчетности аудируемого лица. Заключение аудиторской организации по результатам проверки годовой отчетности является неотъемлемым элементом годовой бухгалтерской отчетности для предприятий подлежащих в соответствии с действующим законодательством обязательному аудиту....
25976. Аудит сохранности и учета производственных запасов 58.5 KB
  Целью аудита МПЗ является формирование мнения о достоверности показателей отчетности по статьям материальных ценностей «Запасы» и о соответствии применяемой в организации методики учета и налогообложения, действующим в Российской Федерации нормативным документам.
25977. Аудит учета готовой продукции, её отгрузки и реализации 39.5 KB
  Далее уточняется как оценивается готовая продукция; правильность оценки и определения себестоимости каждого вида продукции; правильность расчета отклонений фактической себестоимости от плановой нормативной и составления бухгалтерских проводок по учету готовой продукции; соответствие данных аналитического учета готовой продукции с данными синтетического учета. Полноту оприходования произведенной продукции можно проверить путем составления альтернативного баланса расхода сырья и материалов выхода готовой продукции исходя из нормативных...