23033

Моделювання дискретизованих початково-крайових

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розвязання.4 в розвязку 1.23 вектора векторфункції та матричної функції проблему розвязання задачі 4.6 в залежності від співвідношень між та може мати точний розвязок або визначене згідно 4.

Русский

2013-08-04

244 KB

0 чел.

34

    Стоян В.А.

Лекція 4. Моделювання дискретизованих початково-крайових

                 умов 

4.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянутий вище варіант моделювання початково-крайових умов (1.3), (1.4), дискретизованих точками  та   системою векторів

                                                  (4.1)

                                               (4.2)

значень моделюючих функцій  та  суттєво залежить від вибору точок дискретизації як початково-крайових умов, так і моделюючих функцій. Більш точними і більш універсальними були б аналітичні залежності моделюючих функцій  та , які відповідають дискретизованим точками  та  початково-крайовим умовам (1.3), (1.4):

                    (4.3)

                    (4.4)

Згідно ж викладеного в п.1.3 значення  та  функції  та , якими моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4) в розв’язку (1.11) задачі динаміки системи (1.11), визначаються співвідношеннями:

    (4.5)

де          

Залишаючись в рамках визначення в (1.23) вектора , вектор-функції  та матричної функції  проблему розв’язання задачі (4.5) зведемо до обернення наступної системи інтегральних рівнянь:

                                (4.6)

Тут

                                   (4.7)

причому  при і=2 та  при і=2. У відповідності із областю зміни аргумента  у визначенні матричних та векторних функцій ,  та  і розуміється інтегрування в (4.6).

Як і системи лінійних алгебраїчних рівнянь, дослідженні нами в попередній лекції, задача (4.6) в залежності від співвідношень між  та  може мати точний розв’язок, або визначене згідно (4.5) наближення до нього. Як розв’язок, так і наближення до нього можуть бути однозначними, або визначатися множиною значень.

Для побудови та дослідження загального розв’язку задачі (4.6), (4.7) будемо виходити із співвідношень (3.26) - (3.30) отриманих нами при оберненні системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.25). Останнє можна зробити спрямовуючи до нескінченності значення N в задачі

                                 (4.8)

де  дискретизаційна сітка для просторово-часових координат  (- крок дискретизації координати ).

4.2. Методи лінійної алгебри в побудові та дослідженні загального розв’язку дискретизованої системи лінійних інтегральних рівнянь. Виконаємо ціленаправлене (згідно критерію (4.8)) обернення системи

                                                            (4.9)

Для цього введемо до розгляду матричні та векторні функції дискретного аргументу:

                      (4.10)

такі, що

Після чого систему (4.9) запишемо у вигляді

                                                                       (4.11)

звідки знаходимо

При цьому згідно (3.26)

                  (4.12)

де

а

З врахуванням визначення (4.10) матричних та векторних векторів  та  заключаємо, що розв’язком (псевдорозв’язком) рівняння (4.9), який задовільняє умові (4.8), буде

(4.13)

де

при

Виконаємо дослідження точності та однозначності множин  та  векторної функції  та вектора . Використовуючи співвідношення (3.26) – (3.30), наведені в п.3.5 для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходимо, що множина  буде множиною точних розв’язків задачі (4.9), якщо

                                             (4.14)

Якщо ж , то  буде множиною псевдорозв’язків такою, що

                                             (4.15)

Множина ця буде однозначною при

                                                          (4.16)

Спрямовуючи  у співвідношеннях (4.14) – (4.16) запишемо умови точності та однозначності і для множин . При цьому матимемо:

а) умова точності:

                                (4.17)

б) умова однозначності:

                                             (4.18)

в) похибка розв’язання задачі (4.8):

                               (4.19)

4.3. Загальний розв’язок проблеми обернення системи інтегральних рівнянь. Враховуючи, що розв’язана вище задача (4.8) є допоміжною для задачі (4.6), (4.7), виконаємо побудову та дослідження загального розв’язку останньої. При цьому будемо виходити із співвідношень (4.12), (4.14) – (4.16) та (4.13), (4.17) – (4.19), якими описується розв’язок задач (4.6) та (4.8). Спрямовуючи  та враховуючи, що

                  (4.20)

                               (4.21)

                               (4.22)

знаходимо, що визначена в (4.6) вектор-функція

(4.23)

де  - довільна інтегрована в області зміни аргумента s функція, а

                  (4.24)

Визначені співвідношенням (4.23) моделюючі функції u(s) розв’язуватимуть задачу (4.6) точно, якщо при Р, вирахованому згідно (4.24),

                                             (4.25)

При  моделюючі функції u(s) будуть такими, що

                                             (4.26)

Множина (4.23) функцій  буде однозначною при

                                             (4.27)

4.4. Псевдообернення матричних стовпців функцій та розв’язок задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов. Методика побудови множини (4.23) вектор-функцій

,

якими через

             

та

 

згідно критерію (4.5) визначається вклад початково-крайових умов (4.3), (4.4) у значення вектор-функції стану

                                             (4.28)

будувалася з використанням матричної функції A(s) та вектор-функції u(s), визначених в (4.7).

Розглядаючи A(s) та u(s) згідно (4.20) – (4.22), враховуючи, що критерієм розв’язання задачі є (див.(4.8))

та позначивши через

граничне значення псевдооберненої до  матриці знаходимо, що

                  (4.29)

Останнє дозволяє матричну функцію  назвати псевдооберненою до матричної функції .

Враховуючи сказане зі співвідношень (4.23) знаходимо, що вектор-функція , якою згідно (4.5) моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4), визначається співвідношеннями

     (4.30)

При цьому [ ] по аналогії з (3.6)

                                             (4.31)

На завершення нагадаємо, що вирази (4.30), (4.31) та умови їх точності і однозначності у формі (4.25) – (4.27) мають місце для всіх постановок початково-крайових задач сформульованих в п.1.3. А це і початково-крайова задача загальної постановки, і задачі динаміки розглядуваних систем розв’язувані без врахування крайових умов (в необмеженій просторовій області), чи початкових умов (в необмеженій часовій області).

Варіант задачі визначається вибором означень для вектор-функції , матричної функції  та вектора .

Так при

де  визначені співвідношеннями (4.7), це буде початково-крайова задача загальної постановки.

При

 

це буде задача Коші. При

 

це буде крайова задача.

33

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52382. Розробка бінарного уроку на тему: «Вплив податкової системи на формування державного бюджету» 534 KB
  Згідно даних динаміки доходів Держбюджету України за 2003-2010 роки найбільшим джерелом доходів держбюджету є податок на додану вартість. Другим за величиною джерелом надходжень до бюджету є податок на прибуток підприємств. Вплив держбюджету на розвиток економіки Підприємство сплачує до дохідної частини держбюджету три основних види податків: акцизний збір податок на додану вартість податок на прибуток. Є ціле розмаїття податків про яких багато хто навіть і не чули 1 ведучий Податок на...
52383. Сімейний бюджет. Доходи і витрати сім’ї 138 KB
  Доходи і витрати сімї. Мета: поглибити знання про доходи сімї як джерело збільшення її багатства; види доходів витрати обовязкові платежі бюджет родини; вчити планувати бюджет родини раціонально розраховувати витрати і співставляти їх з доходами; усвідомити свою роль у формуванні сімейного бюджету; виховати грамотного споживача та дбайливого господаря. Основні поняття: доходи витрати бюджет сімї збалансований бюджет надлишковий бюджет дефіцитний бюджет....
52384. Відбитки готових природних форм (листя, трава). Композиція «Букет осіннього листя у вазі» 156.5 KB
  Актуалізація опорних знань Читання загадки вчителем Скажіть про яку пору року говориться в загадці Загадка Дрібненький дощик сумно плаче І листячко жовтогаряче З дерев повільно опадає Яка пора це наступає Осінь Чим вам подобається осінь А чи любите ви збирати листочки А що з ними можна зробити скласти букет зробити віночок ІІІ. Робота над темою уроку Вступна бесіда Ось і прийшла золота осінь. додаток 1 Вирушаючи з вами на осінню прогулянку до лісу ми уважно...
52385. Полуфабрикаты 294.5 KB
  В зависимости от источников образования и целевого назначения имущество организаций разделяют на собственное собственный капитал и заемная. Собственный капитал это вложения собственников и прибыль накопленная за время деятельности организации. Собственный капитал.Заемный капитал.
52387. Сценарий праздника “Прощанье с букварем” 65.5 KB
  Учитель. Дорогие гости! Сегодня мы проводим традиционный праздник в первом классе – Праздник Букваря. Говорят, Азбука – к мудрости ступенька. Вот вы и одолели самую трудную, самую важную первую ступеньку на пути к знаниям! Много праздников прекрасных На листках календаря, А меж ними тоже праздник Школьный – праздник Букваря.
52388. Праздник «Прощай, Букварик» 101.5 KB
  Многие из вас не умели читать и писать знали только некоторые буквы. Мы при расставании скажем на прощанье: Тебе за всё спасибо наш дорогой Букварь Буквы мы узнали слоги прочитали И сложили в слоги целые слова После в предложенье. Вдруг на удивленье сразу получилось Родина моя А потом и мама та что моет раму Дети в мяч играют Речка небо лес А ещё в программе прочитали сами Буквы на экране Поле из чудес. Напишу в тетради не оценки ради Буквы алфавита и пример решу.
52389. Прощание с Букварём 60.5 KB
  Букварь Книга для чтения. Плакат: Спасибо тебе Букварь Модель золотого ключика Диалог между мальчиком и девочкой В зале у нас суматоха и шум шёпот движения споры. Мы закончили первую школьную книгу букварь. А научил Вас читать и писать наш умный интересный и добрый друг букварь.
52390. Праздник «ПРОЩАЙ, БУКВАРЬ» 110 KB
  За год наши звездочки подросли поумнели многому научились и стали настоящими звездами а настоящие звезды ездят только в лимузинах вот посмотрите сами и вот подъехал лимузин и по красной дорожке идут наши звезды встречайте Музыкальная заставка Дети идут по звездной дорожке репортеры берут у них интервью Репортер: Скажите трудным для вас был первый год учебы Ученик: ответ Смех и слезы радость и печаль За год довелось нам испытать Но стараний...