23033

Моделювання дискретизованих початково-крайових

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розв’язання.4 в розв’язку 1.23 вектора векторфункції та матричної функції проблему розв’язання задачі 4.6 в залежності від співвідношень між та може мати точний розв’язок або визначене згідно 4.

Русский

2013-08-04

244 KB

0 чел.

34

    Стоян В.А.

Лекція 4. Моделювання дискретизованих початково-крайових

                 умов 

4.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянутий вище варіант моделювання початково-крайових умов (1.3), (1.4), дискретизованих точками  та   системою векторів

                                                  (4.1)

                                               (4.2)

значень моделюючих функцій  та  суттєво залежить від вибору точок дискретизації як початково-крайових умов, так і моделюючих функцій. Більш точними і більш універсальними були б аналітичні залежності моделюючих функцій  та , які відповідають дискретизованим точками  та  початково-крайовим умовам (1.3), (1.4):

                    (4.3)

                    (4.4)

Згідно ж викладеного в п.1.3 значення  та  функції  та , якими моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4) в розв’язку (1.11) задачі динаміки системи (1.11), визначаються співвідношеннями:

    (4.5)

де          

Залишаючись в рамках визначення в (1.23) вектора , вектор-функції  та матричної функції  проблему розв’язання задачі (4.5) зведемо до обернення наступної системи інтегральних рівнянь:

                                (4.6)

Тут

                                   (4.7)

причому  при і=2 та  при і=2. У відповідності із областю зміни аргумента  у визначенні матричних та векторних функцій ,  та  і розуміється інтегрування в (4.6).

Як і системи лінійних алгебраїчних рівнянь, дослідженні нами в попередній лекції, задача (4.6) в залежності від співвідношень між  та  може мати точний розв’язок, або визначене згідно (4.5) наближення до нього. Як розв’язок, так і наближення до нього можуть бути однозначними, або визначатися множиною значень.

Для побудови та дослідження загального розв’язку задачі (4.6), (4.7) будемо виходити із співвідношень (3.26) - (3.30) отриманих нами при оберненні системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.25). Останнє можна зробити спрямовуючи до нескінченності значення N в задачі

                                 (4.8)

де  дискретизаційна сітка для просторово-часових координат  (- крок дискретизації координати ).

4.2. Методи лінійної алгебри в побудові та дослідженні загального розв’язку дискретизованої системи лінійних інтегральних рівнянь. Виконаємо ціленаправлене (згідно критерію (4.8)) обернення системи

                                                            (4.9)

Для цього введемо до розгляду матричні та векторні функції дискретного аргументу:

                      (4.10)

такі, що

Після чого систему (4.9) запишемо у вигляді

                                                                       (4.11)

звідки знаходимо

При цьому згідно (3.26)

                  (4.12)

де

а

З врахуванням визначення (4.10) матричних та векторних векторів  та  заключаємо, що розв’язком (псевдорозв’язком) рівняння (4.9), який задовільняє умові (4.8), буде

(4.13)

де

при

Виконаємо дослідження точності та однозначності множин  та  векторної функції  та вектора . Використовуючи співвідношення (3.26) – (3.30), наведені в п.3.5 для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходимо, що множина  буде множиною точних розв’язків задачі (4.9), якщо

                                             (4.14)

Якщо ж , то  буде множиною псевдорозв’язків такою, що

                                             (4.15)

Множина ця буде однозначною при

                                                          (4.16)

Спрямовуючи  у співвідношеннях (4.14) – (4.16) запишемо умови точності та однозначності і для множин . При цьому матимемо:

а) умова точності:

                                (4.17)

б) умова однозначності:

                                             (4.18)

в) похибка розв’язання задачі (4.8):

                               (4.19)

4.3. Загальний розв’язок проблеми обернення системи інтегральних рівнянь. Враховуючи, що розв’язана вище задача (4.8) є допоміжною для задачі (4.6), (4.7), виконаємо побудову та дослідження загального розв’язку останньої. При цьому будемо виходити із співвідношень (4.12), (4.14) – (4.16) та (4.13), (4.17) – (4.19), якими описується розв’язок задач (4.6) та (4.8). Спрямовуючи  та враховуючи, що

                  (4.20)

                               (4.21)

                               (4.22)

знаходимо, що визначена в (4.6) вектор-функція

(4.23)

де  - довільна інтегрована в області зміни аргумента s функція, а

                  (4.24)

Визначені співвідношенням (4.23) моделюючі функції u(s) розв’язуватимуть задачу (4.6) точно, якщо при Р, вирахованому згідно (4.24),

                                             (4.25)

При  моделюючі функції u(s) будуть такими, що

                                             (4.26)

Множина (4.23) функцій  буде однозначною при

                                             (4.27)

4.4. Псевдообернення матричних стовпців функцій та розв’язок задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов. Методика побудови множини (4.23) вектор-функцій

,

якими через

             

та

 

згідно критерію (4.5) визначається вклад початково-крайових умов (4.3), (4.4) у значення вектор-функції стану

                                             (4.28)

будувалася з використанням матричної функції A(s) та вектор-функції u(s), визначених в (4.7).

Розглядаючи A(s) та u(s) згідно (4.20) – (4.22), враховуючи, що критерієм розв’язання задачі є (див.(4.8))

та позначивши через

граничне значення псевдооберненої до  матриці знаходимо, що

                  (4.29)

Останнє дозволяє матричну функцію  назвати псевдооберненою до матричної функції .

Враховуючи сказане зі співвідношень (4.23) знаходимо, що вектор-функція , якою згідно (4.5) моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4), визначається співвідношеннями

     (4.30)

При цьому [ ] по аналогії з (3.6)

                                             (4.31)

На завершення нагадаємо, що вирази (4.30), (4.31) та умови їх точності і однозначності у формі (4.25) – (4.27) мають місце для всіх постановок початково-крайових задач сформульованих в п.1.3. А це і початково-крайова задача загальної постановки, і задачі динаміки розглядуваних систем розв’язувані без врахування крайових умов (в необмеженій просторовій області), чи початкових умов (в необмеженій часовій області).

Варіант задачі визначається вибором означень для вектор-функції , матричної функції  та вектора .

Так при

де  визначені співвідношеннями (4.7), це буде початково-крайова задача загальної постановки.

При

 

це буде задача Коші. При

 

це буде крайова задача.

33

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32046. Организация Web-доступа в среде zLinux на сервере z9 BC 657 KB
  Целью работы является обеспечить webдоступ на сервер z9 BC используя программное обеспечение установленное на IBM z9 BC а именно HTTP сервер pche. Webсервер pche будет предоставлять доступ к ресурсам сервера пользователям подключенным к внутренней сети. Webсервер pche [7.1 Описание webсервера pche [7.
32047. Подготовка и защита выпускных квалификационных работ 328.5 KB
  Состав дипломной работы и требования к её выполнению. Выполнение исследовательских задач и написание основных разделов дипломной работы.40 Изложение и оформление дипломной работы.42 Оформление дипломной работы.
32048. Возникновение иудаизма, основные этапы его развития 37 KB
  Дальнейшая история Завета делится на 7 периодов которые отражают стадии религиознообщественного становления народа древнего Израиля: Эпоха патриархов от Авраама до Моисея которая заканчивается египетским пленом. Эпоха Моисея и Иисуса Навина в которую сбываются обетования Бога Аврааму. Эпоха судей. Эпоха ранней монархии при Сауле Давиде Соломоне и частично Ровоаме.
32049. Новый Завет 137 KB
  Новый Завет из 27 книг которые можно поделить на следующие разделы: евангелия основная часть Нового Завета тексты написанные учениками Иисуса Христа. историческая книга книга Деяния святых апостолов приписываемая евангелисту Луке: исторический рассказ о подвижничестве последователей Христа распространявших христианскую веру и о росте и усилении древней церкви. пророческая книга Откровение Апокалипсис откровение Святого апостола Иоанна Богослова полученное от Бога: антихрист второе пришествие Христа конец света...
32050. Коран и коранистика 49 KB
  Он приказал разрушить капища места жертвоприношений языческих богов бросить в Днепр их статуи и построить христианские церкви. Строились церкви: Десятинная церковь в Киеве Пресвятой Богородицы в Полоцке в 1037 г. церковные иерархии и князья начали борьбу за независимость русской церкви от Византии. Фактически через Синод император контролировал и жизнь Церкви.
32051. Старообрядчество (Раскольничество, Староверие) 29 KB
  Понятие старообрядчество появляется после раскола Русской православной церкви в середине XVII века. Официально термин старообрядчество стал использоваться с 1906 г.
32052. Расчеты с покупателями и заказчиками 146 KB
  В книге продаж регистрируются счетафактуры с указанием суммы НДС. В этом случае при отгрузке продавцом товара покупателю и при предъявлении ему расчетных документов продавцом признается доход от продажи и делается запись на суммы указанные в этих документах: Дт 62 Расчеты с покупателями и заказчиками Кт 90 Продажи Одновременно начисляется НДС в бюджет Дт 903 НДС Кт 68 Расчеты по НДС При поступлении оплаты делается запись ДТ 51 50 52 Кт 62 Расчеты с покупателями...
32053. Разработка макета промышленного манипулятора 1.57 MB
  Основным заданием является проектирование и создание макета промышленного манипулятора, который способен перемещать металлический объект с конвейера весом не меньше 100 грамм.
32054. Особенности понимания и переживания террористической угрозы молодежью города Саранска 676.5 KB
  Психология терроризма – одна из наиболее значимых отраслей современной психологической науки. Она включает в себя несколько направлений: психологию терроризма, психологию посттравматических стрессовых расстройств у людей, ставших прямыми и косвенными жертвами терактов, роль средств массовой информации в проблеме терроризма. По мнению В. В. Знакова, одним из важнейших направлений психологии терроризма является изучение переживания и понимания людьми террористической угрозы