23033

Моделювання дискретизованих початково-крайових

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розв’язання.4 в розв’язку 1.23 вектора векторфункції та матричної функції проблему розв’язання задачі 4.6 в залежності від співвідношень між та може мати точний розв’язок або визначене згідно 4.

Русский

2013-08-04

244 KB

0 чел.

34

    Стоян В.А.

Лекція 4. Моделювання дискретизованих початково-крайових

                 умов 

4.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянутий вище варіант моделювання початково-крайових умов (1.3), (1.4), дискретизованих точками  та   системою векторів

                                                  (4.1)

                                               (4.2)

значень моделюючих функцій  та  суттєво залежить від вибору точок дискретизації як початково-крайових умов, так і моделюючих функцій. Більш точними і більш універсальними були б аналітичні залежності моделюючих функцій  та , які відповідають дискретизованим точками  та  початково-крайовим умовам (1.3), (1.4):

                    (4.3)

                    (4.4)

Згідно ж викладеного в п.1.3 значення  та  функції  та , якими моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4) в розв’язку (1.11) задачі динаміки системи (1.11), визначаються співвідношеннями:

    (4.5)

де          

Залишаючись в рамках визначення в (1.23) вектора , вектор-функції  та матричної функції  проблему розв’язання задачі (4.5) зведемо до обернення наступної системи інтегральних рівнянь:

                                (4.6)

Тут

                                   (4.7)

причому  при і=2 та  при і=2. У відповідності із областю зміни аргумента  у визначенні матричних та векторних функцій ,  та  і розуміється інтегрування в (4.6).

Як і системи лінійних алгебраїчних рівнянь, дослідженні нами в попередній лекції, задача (4.6) в залежності від співвідношень між  та  може мати точний розв’язок, або визначене згідно (4.5) наближення до нього. Як розв’язок, так і наближення до нього можуть бути однозначними, або визначатися множиною значень.

Для побудови та дослідження загального розв’язку задачі (4.6), (4.7) будемо виходити із співвідношень (3.26) - (3.30) отриманих нами при оберненні системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.25). Останнє можна зробити спрямовуючи до нескінченності значення N в задачі

                                 (4.8)

де  дискретизаційна сітка для просторово-часових координат  (- крок дискретизації координати ).

4.2. Методи лінійної алгебри в побудові та дослідженні загального розв’язку дискретизованої системи лінійних інтегральних рівнянь. Виконаємо ціленаправлене (згідно критерію (4.8)) обернення системи

                                                            (4.9)

Для цього введемо до розгляду матричні та векторні функції дискретного аргументу:

                      (4.10)

такі, що

Після чого систему (4.9) запишемо у вигляді

                                                                       (4.11)

звідки знаходимо

При цьому згідно (3.26)

                  (4.12)

де

а

З врахуванням визначення (4.10) матричних та векторних векторів  та  заключаємо, що розв’язком (псевдорозв’язком) рівняння (4.9), який задовільняє умові (4.8), буде

(4.13)

де

при

Виконаємо дослідження точності та однозначності множин  та  векторної функції  та вектора . Використовуючи співвідношення (3.26) – (3.30), наведені в п.3.5 для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходимо, що множина  буде множиною точних розв’язків задачі (4.9), якщо

                                             (4.14)

Якщо ж , то  буде множиною псевдорозв’язків такою, що

                                             (4.15)

Множина ця буде однозначною при

                                                          (4.16)

Спрямовуючи  у співвідношеннях (4.14) – (4.16) запишемо умови точності та однозначності і для множин . При цьому матимемо:

а) умова точності:

                                (4.17)

б) умова однозначності:

                                             (4.18)

в) похибка розв’язання задачі (4.8):

                               (4.19)

4.3. Загальний розв’язок проблеми обернення системи інтегральних рівнянь. Враховуючи, що розв’язана вище задача (4.8) є допоміжною для задачі (4.6), (4.7), виконаємо побудову та дослідження загального розв’язку останньої. При цьому будемо виходити із співвідношень (4.12), (4.14) – (4.16) та (4.13), (4.17) – (4.19), якими описується розв’язок задач (4.6) та (4.8). Спрямовуючи  та враховуючи, що

                  (4.20)

                               (4.21)

                               (4.22)

знаходимо, що визначена в (4.6) вектор-функція

(4.23)

де  - довільна інтегрована в області зміни аргумента s функція, а

                  (4.24)

Визначені співвідношенням (4.23) моделюючі функції u(s) розв’язуватимуть задачу (4.6) точно, якщо при Р, вирахованому згідно (4.24),

                                             (4.25)

При  моделюючі функції u(s) будуть такими, що

                                             (4.26)

Множина (4.23) функцій  буде однозначною при

                                             (4.27)

4.4. Псевдообернення матричних стовпців функцій та розв’язок задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов. Методика побудови множини (4.23) вектор-функцій

,

якими через

             

та

 

згідно критерію (4.5) визначається вклад початково-крайових умов (4.3), (4.4) у значення вектор-функції стану

                                             (4.28)

будувалася з використанням матричної функції A(s) та вектор-функції u(s), визначених в (4.7).

Розглядаючи A(s) та u(s) згідно (4.20) – (4.22), враховуючи, що критерієм розв’язання задачі є (див.(4.8))

та позначивши через

граничне значення псевдооберненої до  матриці знаходимо, що

                  (4.29)

Останнє дозволяє матричну функцію  назвати псевдооберненою до матричної функції .

Враховуючи сказане зі співвідношень (4.23) знаходимо, що вектор-функція , якою згідно (4.5) моделюються початково-крайові умови (4.3), (4.4), визначається співвідношеннями

     (4.30)

При цьому [ ] по аналогії з (3.6)

                                             (4.31)

На завершення нагадаємо, що вирази (4.30), (4.31) та умови їх точності і однозначності у формі (4.25) – (4.27) мають місце для всіх постановок початково-крайових задач сформульованих в п.1.3. А це і початково-крайова задача загальної постановки, і задачі динаміки розглядуваних систем розв’язувані без врахування крайових умов (в необмеженій просторовій області), чи початкових умов (в необмеженій часовій області).

Варіант задачі визначається вибором означень для вектор-функції , матричної функції  та вектора .

Так при

де  визначені співвідношеннями (4.7), це буде початково-крайова задача загальної постановки.

При

 

це буде задача Коші. При

 

це буде крайова задача.

33

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65708. Наукові основи технологій одержання заряджених полімерних мембран з антибактеріальними властивостями 1.56 MB
  Мембранні технології в сучасному світі відіграють значну роль як у вирішенні локальних галузевих питань так і глобальних проблем що постали перед людством серед яких: забезпечення населення якісними продуктами харчування питною водою та сучасними джерелами енергії охорона...
65709. УДОСКОНАЛЕНІ ЗАХОДИ ДОГЛЯДУ ЗА НАСІННИКАМИ ЦУКРОВИХ БУРЯКІВ В УМОВАХ НЕСТІЙКОГО ЗВОЛОЖЕННЯ ЛІСОСТЕПУ УКРАЇНИ 303 KB
  Одним із надійних шляхів підвищення урожайності та якості насіння гібридів цукрових буряків є впровадження у виробництво удосконалених технологій вирощування які забезпечували б високу продуктивність насінників тобто максимальну реалізацію їх біологічного потенціалу...
65710. Комп’ютерний комплекс моделювання динаміки фізіологічного стану людини при роботі у приміщенні 360 KB
  Забезпечення належних умов праці на робочому місці безпека технологічних процесів санітарнопобутові умови праці та створення комфортних умов перебування людини у приміщенні набувають особливого значення оскільки більшу частину свого часу людина проводить саме в приміщенні.
65711. ПУБЛІЧНИЙ КОНТРОЛЬ ЗА ДІЯЛЬНІСТЮ ОРГАНІВ ДЕРЖАВНОЇ ВЛАДИ: ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ 199 KB
  Одним із ефективних засобів розвитку та функціонування сучасного постмодерного суспільства є налагодження діалогу між державою та громадянином між відповідними гілками влади політичними партнерами культурами та цивілізаціями.
65712. Податкова політика російського царату в українському селі у другій половині ХІХ – на початку ХХ ст.: історичний аспект 143.5 KB
  Трансформаційні процеси в аграрному секторі економіки України кінця ХХ – початку ХХІ ст. стимулюють зростання значного інтересу як дослідників-фахівців, так і широкої громадськості до специфічних особливостей перебігу аграрних перетворень, що мали місце в українському селі у минулому.
65713. Теплоізоляційні матеріали на основі модифікованих лужних алюмосилікатних композицій, здатних до спучування 927 KB
  Отже враховуючи все вищезазначене особливої актуальності набуває питання щодо розробки принципово нових видів теплоізоляційних матеріалів на основі модифікованих лужних алюмосилікатних композицій здатних до спучування які можуть бути виготовлені з використанням недорогої...
65714. РОЗВИТОК ТВОРЧИХ ЗДІБНОСТЕЙ УЧНІВ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ ЗАСОБАМИ ГРАФІЧНИХ ЗАДАЧ З КРЕСЛЕННЯ 184 KB
  Звідси виникає перше протиріччя суть якого проявляється у важливості і значущості розвитку творчих здібностей школярів і відсутності методичної основи забезпечення цього процесу на засадах розв’язування творчих графічних задач на уроках креслення.
65715. Особистісна реалізованість людини в онтогенезі 382 KB
  Мета дослідження теоретико-методологічне обґрунтування та емпіричне вивчення феномену особистісної реалізованості людини в онтогенезі. Відповідно до зазначеної мети поставлено такі завдання: здійснити теоретичний аналіз...
65716. Патогенез і терапія псоріазу з різним ступенем тяжкості ендогенної інтоксикації та артеріальної гіпертензії 529.5 KB
  Виявлення захворювання серцевосудинної системи у хворих на псоріаз уже на початкових стадіях має велике практичне значення тому що розширює перспективи ефективної вторинної профілактики. Обраний напрямок досліджень пов'язаний з науковою діяльністю і входить...