23034

Моделювання неперервної початково-крайової задачі динаміки систем з розподіленими параметрами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Моделювання неперервної початковокрайової задачі динаміки систем з розподіленими параметрами 5. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянутий вище варіант постановки та розв’язання проблеми моделювання початковокрайової задачі динаміки системи 1.5 Для того щоб методику розв’язання дискретизованої задачі моделювання динаміки розглядуваної системи розвинуту в рамках лекції 3 успішно узагальнену далі лекція 4 на задачі моделювання дискретизованих початковокрайових умов неперервними функціями та поширити на задачу 5.

Русский

2013-08-04

355.5 KB

1 чел.

42

 Стоян В.А.

Лекція 5. Моделювання неперервної початково-крайової задачі динаміки систем з розподіленими параметрами

5.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Розглянутий вище варіант постановки та розв’язання проблеми моделювання початково-крайової задачі динаміки системи (1.1) – (1.4) будувався в припущенні, що початково-крайові умови (1.3), (1.4) мусять справджуватися точно (або наближено) в певних, наперед визначених, просторово-часових точках. Це дозволило побудувати та дослідити множини неперервних моделюючих функцій, які однозначно, або неоднозначно, точно, або з певними похибками моделюють дискретно задані початково-крайові умови (4.3), (4.4).

Можна, однак, навести ряд прикладів, коли специфіка процесу описуваного співвідношеннями (1.1) – (1.4) вимагає виконання початкових умов в усіх точках області, а крайових по всьому контуру, тобто, щоб вектор-функція стану y(s) визначалася умовами (1.3), (1.4):

                   (5.1)

            (5.2)

Враховуючи складність проблеми побудови неперервних функцій  та , якими б через складові  та  моделювався вплив на вектор-функцію  початково-крайових умов (5.1), (5.2), розглянемо задачу побудови значень

                    (5.3)

та

         (5.4)

моделюючих функцій  та  таких, щоб

                    (5.5)

Для того, щоб методику розв’язання дискретизованої задачі моделювання динаміки розглядуваної системи, розвинуту в рамках лекції 3, успішно узагальнену далі (лекція 4) на задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов неперервними функціями  та , поширити на задачу (5.5) введемо до розгляду наступні векторні та матричні функції:

                            (5.6)

 

         (5.7)

Це дозволяє співвідношення (5.5) переписати у вигляді

                             (5.8)

де

Останнє еквівалентне задачі обернення наступної системи функціональних рівнянь

                                                                       (5.9)

де з врахуванням (5.7)

       (5.10)

Зауважимо, що задача обернення рівнянь (5.9) згідно критерію (5.8) не є простою. За деяких співвідношень між матричною та векторною функціями  та  задача ця може мати розв’язок (однозначний, або множину). В загальному ж випадку можна розраховувати на наближене згідно (5.8) обернення.

Для побудови та дослідження множини можливих обернень рівнянь (5.9), а отже і побудови множини значень  та  моделюючих функцій  та  будемо виходити знову із співвідношень (3.26) – (3.30) отриманих нами при побудові та дослідженні розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.25). Для цього розглянемо (при  та ) наступну систему:

                                                (5.11)

де при

Неважко бачити, що проблем обернення системи (5.11) нема. Розв’язок її, а також умови точності та однозначності розв’язку, випливають зі співвідношень (3.26) – (3.30). Однак проблемою є перехід від цього розв’язку до неперервного випадку, який відповідає рівнянням (5.9).

5.2. Блочнолінійні системи алгебраїчних рівнянь та їх загальний розв’язок. Для того, щоб перейти від дискретної системи (5.11) до її неперервного аналогу (5.9) врахуємо пов’язану з  та  дискретизаційну сітку для області , контуру Г та часу t. При цьому замість системи (5.11) будемо розглядати наступну:

            (5.12)

де ,   - крок дискретизації координат  в області  та на контурі Г відповідно), а

                            (5.13)

Для обернення системи (5.12) з використанням викладених в п.3.5 методів лінійної алгебри запишемо її у вигляді:

                                                                     (5.14)

де

                    (5.15)

               

матричні та векторні функції дискретного аргументу такі, що

при  і

при

Звідки згідно (3.26) знаходимо, що

                 (5.16)

визначатиметься співвідношенням

(5.17)

де  Останнє з врахуванням (5.15) дозволяє множину  значень  моделюючих функцій  та  записати у вигляді:

                            (5.18)

де

 

 (5.19)

Перш ніж записати умови точності та однозначності множини (5.18) дослідимо їх для цієї ж множини виходячи з представлення (5.17). Використовуючи співвідношення (3.26) – (3.30), наведені в п.3.5 для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходимо, що:

                        (5.20)

Умовою однозначності множини  буде:

                                                                     (5.21)

де  визначається згідно (5.19).

Якщо умова однозначності у формі (5.21) зручна для використання, то цього не скажеш за співвідношення (5.20), яким визначається помилка в оберненні рівнянь (5.14), а отже і в розв’язанні задачі (5.13). Зауважимо, однак, що вираз (5.21) спрощується з врахуванням визначення (5.15) для матричних та векторних функцій  та . Якщо позначити через

                 (5.22)

то

.                                                           (5.23)

5.3. Загальний розв’язок задачі моделювання неперервних початково-крайових умов. Враховуючи, що побудований та досліджений вище розв’язок (5.18) системи (5.14) (а отже і системи (5.11)) є допоміжним для побудови та дослідження загального розв’язку системи (5.9) (а отже і сформульованої на початку задачі (5.5)) виконаємо перехід до останньої.

Спрямовуючи до нескінченності значення  та  у співвідношеннях (5.18), (5.19), (5.22), заключаємо, що загальний розв’язок задачі (5.5) визначатиметься співвідношенням (5.18), в якому

       (5.24)

З (5.23) з врахуванням (5.22) при  знаходимо, що помилки в моделюванні початково-крайових умов (5.1), (5.2) вектором  значень моделюючих функцій  та  визначатимуться співвідношенням :

       (5.25)

в якому

               (5.26)

Умова однозначності множини  залишиться незмінною:

                                                                     (5.27)

5.4. Псевдообернення матричних рядків-функцій і розв’язок задачі моделювання початково-крайових умов. Методика побудови та дослідження загального розв’язку задачі (5.5) моделювання початково-крайових умов (5.1), (5.2) векторами (5.3), (5.4) значень моделюючих функцій  та  грунтувалася на використанні матричних рядків-функцій , визначених співвідношеннями (5.13), (5.15).

Спрямовуючи до нескінченності значення  та , у визначенні цієї функції, введемо до розгляду матричні та векторні функції:

.

Позначивши через

граничне значення матриці, псевдооберненої до  знаходимо, що

                                                (5.28)

Останнє дозволяє матричну функцію  назвати псевдооберненою до матричної функції .

Після чого зі співвідношення (5.17), подаючи його у вигляді

 

заключаємо, що вектор  значень функцій  та , якими через складові  та  функції стану:

моделюється вплив на неї початково-крайових умов (5.1), (5.2), визначається співвідношенням:

   (5.29)

де інтегрування ведеться по області зміни змінних х в  та s – в , а

Невизначеність інтегрування в (5.29) зникає, якщо розглядати частинні випадки розв’язуваної тут задачі, а саме:

а) моделювання початкових умов в задачі Коші;

б) моделювання крайових умов в задачі усталеної динаміки системи.

В першому випадку , у другому – . Крім того для кожного з цих випадків  та  відповідно. А це значить, що

а) вектор  значень функції , яким моделюються початкові умови (5.1), визначається співвідношенням:

в) вектор  значень функцій , яким моделюються крайові умови (5.2), визначається співвідношенням:

При цьому з врахуванням визначення псевдооберненої матричної функції, яке випливає з (3.6),

Неважко зрозуміти, що для розглядуваної окремо задачі Коші та крайової задачі спростяться і умови точності та однозначності їх розв’язання. Для кожної з цих задач вони будуть наступними:

а) для задачі Коші:

б) для крайової задачі:

де  - матриці псевдообернені до

 

та

 

відповідно.

41

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3475. Государственное регулирование занятости и трудоустройства молодежи на рынке труда (на примере Агинского Бурятского Округа Забайкальского края) 97.6 KB
  Объектом исследования стала молодежь в возрасте от 16 до 30 лет. Предметом исследования является государственное регулирование занятости и трудоустройства молодежи на рынке труда в Агинском Бурятском округе.
3479. Определение коээфициента поверхностного натяжения жидкости по способу отрыва капли 185 KB
  Определение коээфициента поверхностного натяжения жидкости по способу отрыва капли Приборы и принадлежности: Бюретка с краном на штативе, два стакана, воронка, вода, исследуемая жидкость (спирт). Теория работы и описания приборов Жидкость состоит из...
3480. Физика среды и ограждающих конструкций, Строительная теплофизика 206 KB
  Физика среды и ограждающих конструкций. Среда и ее воздействие на объекты строительства. Воздушная среда и ее параметры. Водная среда и ее параметры. Климатические факторы. Влияние среды на долговечность строительных конструкций...