23035

Моделювання динамічних систем з розподіленими параметрами при наявності спостережень за ними

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Відомі функції невідомі 6. Відомі функції невідомі 6. Відомі функції невідомі 6. Відомі функції невідомі 6.

Русский

2013-08-04

563 KB

0 чел.

51

 Стоян В.А.

Лекція 6. Моделювання динамічних систем з розподіленими параметрами при наявності спостережень за ними

6.1. Постановка задачі моделювання. Розглянуті вище постановки задач моделювання динаміки системи (1.1) дозволяють від диференціальної форми моделі перейти до інтегральної для випадку, коли система функціонує в замкнених просторово–часових областях, в необмежених часових та необмежених просторових областях. При цьому мається на увазі, що для цих задач задані початково-крайові, початкові та крайові умови відповідно. Тобто, задача динаміки описана з заданням всіх потрібних для її розв’язання умов.

Зауважимо, що на практиці не завжди є така повнота в постановці задачі – часто деякі умови, незважаючи на їх наявність, не доступні для вимірювання. Тут і виникають задачі моделювання дії невідомих зовнішньо-динамічних факторів (зовнішніх збурень, початкових та крайових умов). Розглянемо тому постановку та методи розв’язання таких задач.

Будемо виходити з того, що вектор-функція  стану системи задовольняє співвідношенням (1.1)-(1.4), а саме

     (6.1)

               (6.2)

           (6.3)

де всі позначення відповідають прийнятим в (1.1)-(1.4).

Розглянемо задачу динаміки системи (6.1)-(6.3) в обмеженій просторово–часовій області  за умови, що:

1. Відома функція  невідомі -           (6.4)

2. Відомі функції невідомі -           (6.5)

3. Відомі функції невідомі -           (6.6)

4. Відомі функції невідомі -           (6.7)

5. Відомі функції невідомі -           (6.8)

6. Відомі функції невідома -           (6.9)

Додатково спостереженню можуть бути доступними вектор-комбінації компонент вектор-функції стану  

        (6.10)

де - задані матричні диференціальні оператори.

Виникає природна задача: виходячи із спостережень (6.10) з врахуванням доступних для вимірювання зовнішньо-динамічних факторів (6.4)-(6.9) змоделювати дію невідомих зовнішньо-динамічних факторів (6.4)-(6.9) розглядуваних задач так, щоб:

1.  ;            (6.11)

2. ;           (6.12)

3. ;           (6.13)

4. ;            (6.14)

5. ;            (6.15)

6. ,           (6.16)

де

        (6.17)

Не розписуючи детально математичних постановок задач вкажемо, однак, що можливі випадки, коли відома частина зовнішньо-динамічних факторів таких  як початкові та крайові умови. Інша частина невідома і підлягає моделюванню. В загальному це виглядає так:

  1.  Відомі для         (6.18)

невідомі  для  

     2.   Відомі  для         (6.19)

 невідомі  

Можливий також випадок, коли спостереження (6.10) відсутнє.

 6.2.  Постановки задач моделювання в термінах матричних функцій та матричних векторів. Сформульовані вище задачі (6.11)-(6.16) схожі на розглядувані в попередніх лекціях задачі, які розв’язувалися з використанням апарату псевдообернених   матриць та матричних функцій і зводилися до задач знаходження вектора  або векторної функції  таких, щоб при заданій матриці С, матричних функціях вектора  та векторної функції

          (6.20)

         (6.21)

         (6.22)

Для приведення задач (6.11)-(6.16) до задач вигляду (6.20)-(6.22) зведемо їх спочатку до вигляду

        (6.23)

де в залежності від постановки задачі:

1.    

          (6.24)

 

2.

          (6.25)

 

3.

          (6.26)

 

4.

          (6.27)

 

5.

          (6.28)

 

6.

          (6.29)

Неважко бачити, що для задач (6.11)-(6.16) матрична функція  буде блочною і виражатиметься через матричні блоки-функції.

     (6.30)

в яких - матрична функція Гріна, а  при при при  співвідношеннями:

          (6.31)

6.3.  Дискретний варіант розв’язання задачі моделювання зовнішньо-динамічних факторів динаміки лінійних систем з розподіленими параметрами. Для зведення постановки задачі (6.23) до задачі (6.20), загальний розв’язок якої побудований та досліджений в п.3.5:

1) вектор-функції  дискретизуємо точками  відповідно, вводячи до розгляду вектори  та

2) вектор-функції  та  дискретизуємо точками   та відповідно, вводячи до розгляду вектори

та

Останнє приводять до зміни елементів-матриць  матричних функцій  матричними

        (6.32)

             

в яких

А це означає, що місце матричної функції , векторних функцій  в (6.23) при розгляді задач (6.24)-(6.29) займуть матриці та вектори:

1)

2)

3)

4)     (6.33)

5)

     6)

Цим самим задача знаходження вектора дискретних значень функції зовнішньо-динамічних збурень  та моделюючих вектор-функцій  та  зведеться до задачі (6.20), розв’язок якої побудований та досліджений в п.3.5 (формули (3.26)-(3.32)).

6.4. Розв’язок задачі моделювання при дискретно-спостережуваних зовнішньо-динамічних факторах. Розглянемо варіант зведення задачі (6.23) до задачі (6.21), розв’язаної та дослідженої в п.4.3.

Для цього виконаємо дискретизацію вектор-функції  спостережуваних зовнішньо-динамічних факторів  точками  відповідно. Останнє еквівалентне заміні цих зовнішньо-динамічних факторів векторами  відповідно. Елементи  матричних функцій  при цьому перетворяться в матричні вектор-функції вигляду

         (6.34)

де ,  та  при  відповідно.

А це означає, що місце матричної функції  та векторної функції  в (6.23) при розгляді задач (6.24)-(6.29) займуть матричні функції та вектори:

1)

2)

3)         (6.35)

4)  

5)

6)

де область зміни змінної  визначається згідно (6.34).

Цим самим задача знаходження моделюючої вектор-функції (див. формули (6.24)-(6.29)) зведеться до задачі (6.21), розв’язок якої побудований та досліджений в п.4.3 (формули (4.23)-(4.27)).

6.5. Розв’язок задачі дискретного моделювання неперервно-спостережуваних зовнішньо-динамічних збурень. Розглянемо варіант зведення задачі (6.23) до задачі (6.22), розв’язаної та дослідженої в п.5.3.

Для цього виконаємо дискретизацію вектор-функції  моделюючих функцій  та  точками  та  відповідно. Останнє еквівалентне заміні цих функцій векторами  відповідно. Елементи  матричних функцій  при цьому перетворяться в матричні рядки-функції вигляду:

       (6.36)

де   для  відповідно.

А це означає, що місце матричної функції  та векторної функції  в (6.23) при розгляді задач (6.24)-(6.29) займуть матричні функції та вектори:

1)

2)

3)(6.37)

4)

5)

6)

де область зміни змінної  визначається згідно (6.36).

Цим самим задача знаходження вектора  значень моделюючих функцій  через вектор-функцію  (див. формули (6.24)-(6.29)) зведеться до задачі (6.22), розв’язок якої побудований та досліджений в п.5.3 (формули (5.18),(5.24)-(5.27)).

6.6. Моделювання динаміки частково спостережуваних систем з розподіленими параметрами. Розв’язані вище постановки задач моделювання динаміки розглядуваних систем допускали недоступність спостереження одного з двох (або двох разом) зовнішньо-динамічних факторів – початкових та крайових умов (задачі (6.25)-(6.29)). Розглянемо особливості постановки та розв’язання поставлених вище задач (6.25)-(6.29) за умови, що враховані в них початково-крайові умови спостерігаються частково (див. (6.18),(6.19)), а спостереження за вектор-функцією стану  відсутнє повністю.

Останнє викликає зміни у визначенні матричної функції  та векторної функції  у співвідношенні (6.23), а, отже, і у частинних випадках (6.20)-(6.22) задачі (6.23). Зміни ці будуть наступними:

а) при відсутності спостереження  будуть відсутні і компоненти  матричної функції

б) часткове спостереження початкових умов змінить до  кількість складових  у визначенні вектор-функцій  (формули (6.30)) та складових  у визначенні вектор-функції  (формули (6.25)-(6.29));

в) часткове спостереження крайових умов змінить до  кількість складових  у визначенні вектор-функцій  (формули (6.30)) та складових  у визначенні вектор-функції  (формули (6.25)-(6.29));

Описаною в пп.6.3-6.5 дискретизацією змінених таким чином матричних функцій  та векторних функцій  задачу (6.23) знову зведемо до однієї із сформульованих співвідношеннями (6.20)-(6.22). А це значить, що і в цьому випадку можна по аналогії з розглянутим вище побудувати та дослідити множини моделюючих функції та векторів для кожної із задач (6.11)-(6.16).

50

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85081. Правила поведения в ситуациях криминогенного характера 36.44 KB
  Учащимся предлагаются ситуации возможного теракта в которых учащиеся должны действовать. Учащиеся делятся на группы у каждой группы своё задание. Учащиеся находят на школьной территории подозрительную коробку из которой торчит проволока похожая на антенну. После обнаружения коробки учащиеся должны запомнить место где она находится и быстро отойти от нее.
85082. Уголовная ответственность несовершеннолетних 31.76 KB
  Юридическая ответственность это система санкций налагаемых государством государственными органами имеющими на то полномочия на основании закона на граждан совершивших проступок т. Перечислим их по мере убывания строгости: уголовная ответственность; административная ответственность; дисциплинарная ответственность; материальная ответственность; гражданскоправовая ответственность. Далее учитель переходит к вопросу о возрасте когда человек несет уголовноправовую ответственность.
85083. Единая государственная система предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций (РСЧС). Структура и задачи. Законы и другие нормативно-правовые акты Российской Федерации по обеспечению безопасности 42.55 KB
  Законы и другие нормативноправовые акты Российской Федерации по обеспечению безопасности Цели урока. Познакомить учащихся со структурой законодательства России по обеспечению безопасности основными положениями Конституции и законов РФ по обеспечению безопасности. Одним из важнейших элементом системы безопасности России является система предупреждения и действий в чрезвычайных ситуациях РСЧС. Это серьезно снижало эффективность деятельности государства в области обеспечения безопасности граждан и общества.
85084. Гражданская оборона, основные понятия и определения, задачи ГО 35.52 KB
  В связи с возросшей угрозой применения мимического биологического оружия а также возрастающей деятельностью террористических организаций руководством гражданской обороны уделяется серьезное внимание использованию ресурсов ГО для противодействия терроризму развитию сети наблюдения и лабораторного контроля. Специалисты гражданской обороны обращают внимание и на появление угроз невоенного характера связанных с качественно НОВЫМИ средствами воздействия экономическими технологическими конфессиональными нравственнопсихологическими и...
85085. Организация инженерной защиты населения от поражающих факторов ЧС мирного и военного времени 41.35 KB
  Современное убежище сложное и дорогое вооружение. Для чего применяются убежища Есть ли убежище в вашем доме дворе Какие бывают убежища Может ли человек построить убежище своими руками Какие условия нужны для того чтобы убежище надежно защищало человека от поражающих факторов ОМП Нужны ли в убежище какието правила поведения Если нужны то назовите основные. Какие условия нужны для того чтобы в убежище нескольких дней находилась группа людей из нескольких десятков человек Перечислите. Обычно убежище состоит из основного...
85086. Средства индивидуальной защиты. Средства защиты органов дыхания 38.3 KB
  Средства индивидуальной защиты Цели урока. Изучить: классификацию средств индивидуальной защиты средства защиты органов дыхания. Изучить устройство и правила пользования индивидуальными средствами защиты кожи. Возможности некоторых индивидуальных средств защиты органов дыхания по защите от опасных веществ и атмосферных примесей.
85087. Организация и проведение аварийно-спасательных работ в зоне ЧС 38.11 KB
  После применения противником ОМП или крупной техногенной аварии с выбросом в окружающую среду радиоактивных ядовитых опасных биологических веществ образуется очаг поражения. В первый момент после аварии обычно непонятно каков масштаб ЧС какое вещество особенно опасно и что конкретно угрожает людям оказавшимся в очаге поражения. Поэтому все спасательные и иные мероприятия в районе ЧС начинаются с разведки очага поражения. Для чего нужна разведка вообще в том числе в войсках ГО Какую информацию можно получить при проведении разведки...
85088. Организация гражданской обороны в общеобразовательных учреждениях 37.48 KB
  Главными задачами Гражданской обороны в школе считаются: обеспечение готовности школы к действиям по защите учащихся и постоянного состава администрация учителя и специалисты учебновспомогательный персонал в условиях чрезвычайной ситуации в мирное время; организованный переход с мирного на военное положение; приобретение знаний и практических навыков по сохранению жизни и здоровья в различных чрезвычайных ситуациях; увеличение запасов имущества Гражданской обороны и средств индивидуальной защиты. Начальником гражданской...
85089. Сохранение и укрепление здоровья — важная забота каждого человека и всего человечества 41.73 KB
  Что позволит сберечь его здоровье. Многие люди считают что здоровье гражданина дело сугубо личное. Отвечая на вопросы постарайтесь использовать свой жизненный опыт Как вы понимаете термин здоровье человека Есть ли какиелибо объективные показатели здоровья Если есть назовите их. Для чего нужно здоровье человеку с точки зрения личной жизни А с точки зрения общества Из чего складывается здоровье человека Есть ли какието показатели здоровья помимо физических Что такое общественное здоровье Как оно связано с личным здоровьем...