23035

Моделювання динамічних систем з розподіленими параметрами при наявності спостережень за ними

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Відомі функції невідомі 6. Відомі функції невідомі 6. Відомі функції невідомі 6. Відомі функції невідомі 6.

Русский

2013-08-04

563 KB

0 чел.

51

 Стоян В.А.

Лекція 6. Моделювання динамічних систем з розподіленими параметрами при наявності спостережень за ними

6.1. Постановка задачі моделювання. Розглянуті вище постановки задач моделювання динаміки системи (1.1) дозволяють від диференціальної форми моделі перейти до інтегральної для випадку, коли система функціонує в замкнених просторово–часових областях, в необмежених часових та необмежених просторових областях. При цьому мається на увазі, що для цих задач задані початково-крайові, початкові та крайові умови відповідно. Тобто, задача динаміки описана з заданням всіх потрібних для її розв’язання умов.

Зауважимо, що на практиці не завжди є така повнота в постановці задачі – часто деякі умови, незважаючи на їх наявність, не доступні для вимірювання. Тут і виникають задачі моделювання дії невідомих зовнішньо-динамічних факторів (зовнішніх збурень, початкових та крайових умов). Розглянемо тому постановку та методи розв’язання таких задач.

Будемо виходити з того, що вектор-функція  стану системи задовольняє співвідношенням (1.1)-(1.4), а саме

     (6.1)

               (6.2)

           (6.3)

де всі позначення відповідають прийнятим в (1.1)-(1.4).

Розглянемо задачу динаміки системи (6.1)-(6.3) в обмеженій просторово–часовій області  за умови, що:

1. Відома функція  невідомі -           (6.4)

2. Відомі функції невідомі -           (6.5)

3. Відомі функції невідомі -           (6.6)

4. Відомі функції невідомі -           (6.7)

5. Відомі функції невідомі -           (6.8)

6. Відомі функції невідома -           (6.9)

Додатково спостереженню можуть бути доступними вектор-комбінації компонент вектор-функції стану  

        (6.10)

де - задані матричні диференціальні оператори.

Виникає природна задача: виходячи із спостережень (6.10) з врахуванням доступних для вимірювання зовнішньо-динамічних факторів (6.4)-(6.9) змоделювати дію невідомих зовнішньо-динамічних факторів (6.4)-(6.9) розглядуваних задач так, щоб:

1.  ;            (6.11)

2. ;           (6.12)

3. ;           (6.13)

4. ;            (6.14)

5. ;            (6.15)

6. ,           (6.16)

де

        (6.17)

Не розписуючи детально математичних постановок задач вкажемо, однак, що можливі випадки, коли відома частина зовнішньо-динамічних факторів таких  як початкові та крайові умови. Інша частина невідома і підлягає моделюванню. В загальному це виглядає так:

  1.  Відомі для         (6.18)

невідомі  для  

     2.   Відомі  для         (6.19)

 невідомі  

Можливий також випадок, коли спостереження (6.10) відсутнє.

 6.2.  Постановки задач моделювання в термінах матричних функцій та матричних векторів. Сформульовані вище задачі (6.11)-(6.16) схожі на розглядувані в попередніх лекціях задачі, які розв’язувалися з використанням апарату псевдообернених   матриць та матричних функцій і зводилися до задач знаходження вектора  або векторної функції  таких, щоб при заданій матриці С, матричних функціях вектора  та векторної функції

          (6.20)

         (6.21)

         (6.22)

Для приведення задач (6.11)-(6.16) до задач вигляду (6.20)-(6.22) зведемо їх спочатку до вигляду

        (6.23)

де в залежності від постановки задачі:

1.    

          (6.24)

 

2.

          (6.25)

 

3.

          (6.26)

 

4.

          (6.27)

 

5.

          (6.28)

 

6.

          (6.29)

Неважко бачити, що для задач (6.11)-(6.16) матрична функція  буде блочною і виражатиметься через матричні блоки-функції.

     (6.30)

в яких - матрична функція Гріна, а  при при при  співвідношеннями:

          (6.31)

6.3.  Дискретний варіант розв’язання задачі моделювання зовнішньо-динамічних факторів динаміки лінійних систем з розподіленими параметрами. Для зведення постановки задачі (6.23) до задачі (6.20), загальний розв’язок якої побудований та досліджений в п.3.5:

1) вектор-функції  дискретизуємо точками  відповідно, вводячи до розгляду вектори  та

2) вектор-функції  та  дискретизуємо точками   та відповідно, вводячи до розгляду вектори

та

Останнє приводять до зміни елементів-матриць  матричних функцій  матричними

        (6.32)

             

в яких

А це означає, що місце матричної функції , векторних функцій  в (6.23) при розгляді задач (6.24)-(6.29) займуть матриці та вектори:

1)

2)

3)

4)     (6.33)

5)

     6)

Цим самим задача знаходження вектора дискретних значень функції зовнішньо-динамічних збурень  та моделюючих вектор-функцій  та  зведеться до задачі (6.20), розв’язок якої побудований та досліджений в п.3.5 (формули (3.26)-(3.32)).

6.4. Розв’язок задачі моделювання при дискретно-спостережуваних зовнішньо-динамічних факторах. Розглянемо варіант зведення задачі (6.23) до задачі (6.21), розв’язаної та дослідженої в п.4.3.

Для цього виконаємо дискретизацію вектор-функції  спостережуваних зовнішньо-динамічних факторів  точками  відповідно. Останнє еквівалентне заміні цих зовнішньо-динамічних факторів векторами  відповідно. Елементи  матричних функцій  при цьому перетворяться в матричні вектор-функції вигляду

         (6.34)

де ,  та  при  відповідно.

А це означає, що місце матричної функції  та векторної функції  в (6.23) при розгляді задач (6.24)-(6.29) займуть матричні функції та вектори:

1)

2)

3)         (6.35)

4)  

5)

6)

де область зміни змінної  визначається згідно (6.34).

Цим самим задача знаходження моделюючої вектор-функції (див. формули (6.24)-(6.29)) зведеться до задачі (6.21), розв’язок якої побудований та досліджений в п.4.3 (формули (4.23)-(4.27)).

6.5. Розв’язок задачі дискретного моделювання неперервно-спостережуваних зовнішньо-динамічних збурень. Розглянемо варіант зведення задачі (6.23) до задачі (6.22), розв’язаної та дослідженої в п.5.3.

Для цього виконаємо дискретизацію вектор-функції  моделюючих функцій  та  точками  та  відповідно. Останнє еквівалентне заміні цих функцій векторами  відповідно. Елементи  матричних функцій  при цьому перетворяться в матричні рядки-функції вигляду:

       (6.36)

де   для  відповідно.

А це означає, що місце матричної функції  та векторної функції  в (6.23) при розгляді задач (6.24)-(6.29) займуть матричні функції та вектори:

1)

2)

3)(6.37)

4)

5)

6)

де область зміни змінної  визначається згідно (6.36).

Цим самим задача знаходження вектора  значень моделюючих функцій  через вектор-функцію  (див. формули (6.24)-(6.29)) зведеться до задачі (6.22), розв’язок якої побудований та досліджений в п.5.3 (формули (5.18),(5.24)-(5.27)).

6.6. Моделювання динаміки частково спостережуваних систем з розподіленими параметрами. Розв’язані вище постановки задач моделювання динаміки розглядуваних систем допускали недоступність спостереження одного з двох (або двох разом) зовнішньо-динамічних факторів – початкових та крайових умов (задачі (6.25)-(6.29)). Розглянемо особливості постановки та розв’язання поставлених вище задач (6.25)-(6.29) за умови, що враховані в них початково-крайові умови спостерігаються частково (див. (6.18),(6.19)), а спостереження за вектор-функцією стану  відсутнє повністю.

Останнє викликає зміни у визначенні матричної функції  та векторної функції  у співвідношенні (6.23), а, отже, і у частинних випадках (6.20)-(6.22) задачі (6.23). Зміни ці будуть наступними:

а) при відсутності спостереження  будуть відсутні і компоненти  матричної функції

б) часткове спостереження початкових умов змінить до  кількість складових  у визначенні вектор-функцій  (формули (6.30)) та складових  у визначенні вектор-функції  (формули (6.25)-(6.29));

в) часткове спостереження крайових умов змінить до  кількість складових  у визначенні вектор-функцій  (формули (6.30)) та складових  у визначенні вектор-функції  (формули (6.25)-(6.29));

Описаною в пп.6.3-6.5 дискретизацією змінених таким чином матричних функцій  та векторних функцій  задачу (6.23) знову зведемо до однієї із сформульованих співвідношеннями (6.20)-(6.22). А це значить, що і в цьому випадку можна по аналогії з розглянутим вище побудувати та дослідити множини моделюючих функції та векторів для кожної із задач (6.11)-(6.16).

50

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14069. Всеволод Нестайко. «Тореадори з Васюківки» 32 KB
  УРОК № 47 Тема. В. Нестайко. Тореадори з Васюківки. Мета:ознайомити учнів із життям та творчістю письменника зі змістом його твору; дати учням поняття про повість; виховувати наполегливість у навчанні; розвивати почуття гумору. Обладнання:портрет письменника збі...
14070. Всеволод Нестайко. Тореадори з Васюківки 27.5 KB
  УРОК № 48 Тема. В. Нестайко. Тореадори з Васюківки. Мета: ознайомити учнів із новими пригодами героїв повісті В. Нестайка; розвивати навички виразного читання аналізу поведінки та вчинків персонажів їхнього морального вибору у різних життєвих ситуаціях; виховувати ...
14071. Всеволод Нестайко. Тореадори з Васюківки. Конспект уроку з української літератури 36 KB
  УРОК № 49 Тема.В. Нестайко. Тореадори з Васюківки. Мета:ознайомити учнів із новим розділом повісті; розвивати навички толерантного й аргументованого доведення своєї думки виразного читання переказу прозового твору характеризування героїв; виховувати прагнення до...
14072. Всеволод Нестайко. «Тореадори з Васюківки». Поняття про повість 36.5 KB
  УРОК № 50 Тема.В. Нестайко. Тореадори з Васюківки. Поняття про повість. Мета:ознайомити учнів з новим розділом повісті Тореадори з Васюківки допомогти усвідомити особливості жанру повісті; розвивати навички виразного читання переказу аналізу поведінки та вчин
14073. Урок. І Калинець. «Писанки» 30.5 KB
  УРОК № 52 Тема. І Калинець. Писанки. Мета: ознайомити учнів із життям та творчістю письменника допомогти сприйняти красу й оригінальність його поезій; розвивати навички виразного читання коментування ліричних творів визначення ролі метафори та порівняння у них; р