23036

Задачі оптимізації структури лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Задачі оптимізації структури лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами 7. Розглянуті вище задачі моделювання початковокрайових умов див. Розглянемо варіант розвязання задачі моделювання коли розвязок її знаходиться шляхом обернення системи інтегральних рівнянь 7.14 помилки розвязання задачі моделювання 7.

Русский

2013-08-04

289.5 KB

0 чел.

57

 Стоян В.А.

Лекція 7. Задачі оптимізації структури лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами

7.1. Проблеми оптимізації і де вони виникають. Розглянуті вище задачі моделювання початково-крайових умов (див. (1.3), (1.4) )

        (7.1)

       (7.2)

та спостережень (див. (6.10))

       (7.3)

системи (див. (1.1))

                     (7.4)

розв’язувалися в трьох випадках:

      1) дискретизувалися початково-крайові умови (7.1), (7..2) та спостереження (7. 3) за нею;

      2) дискретизувалися моделюючі функції, якими імітувалася дія неперервних початково-крайових умов (7.1), (7. 2) та спостережень (7.3);

       3) дискретизувалися співвідношення (7.1)-(7.3) і функції  та , якими вони моделювалися.

В кожному з цих трьох випадків проблеми знаходжень вектора моделюючих функцій  (див. (4.7)), або вектора  (див. (5.3), (5.4)) значень цих функцій зводиться до обернення наступних співвідношень (див. (3.5), (4.6), (5.9)):

            (7.5)

           (7.6)

            (7.7)

де всі позначення відповідають прийнятим в (3.5), (4.6) та (5.9).

Для кожного з цих співвідношень записувалися множини розв’язків (псевдорозв’язків) і помилки їх псевдообернення.

      (7. 8)

                   (7. 9)

       (7.10)

Зрозуміло, що значення помилок  визначається точністю обернення співвідношень (7.5)- (7.7). Однак, як би точно не оберталися ці співвідношення, в своєму не оберненому вигляді вони вже містять помилки заміни неперервної інтегральної моделі (див. (1.7))

       (7.11)

її дискретним аналогом. Помилки ці пов’язані з вибором кількості точок дискретизації початково-крайових умов, моделюючих функцій та вектора спостережень стану системи.

Тому виникає природнє бажання зробити вибір точок дискретизації співвідношення (7.11) таким, щоб відповідна модель системи вигляду (7.5) - (7.7) була найближчою до реальної, а також, щоб побудовані тут методи дозволяли цю модель як можна точніше обернути. Якщо перша задача розв’язується більше з врахуванням фізичної суті проблеми, то другу розв’яжемо мінімізувавши (по точках дискретизації) помилки (7.8) - (7.10).

  1.  Задача оптимізації спостерігачів. Розглянемо варіант розв’язання задачі моделювання, коли розв’язок її знаходиться шляхом обернення системи інтегральних рівнянь (7.5).

Виходячи з того, що матрична вектор-функція A(s’) тут є дискретизована по нештрихованих координатах матрична функція Гріна , а точками дискретизаціїї цієї координати визначаються і компоненти вектора  - вектора значень вектор- функції стану y(s) системи — заключаємо, що точками дискретизації системи (7.11), її початково-крайових умов (7.1), (7.2) та спостережень (7.3) визначається вибір координат розміщення спостерігачів за станом системи та її початково-крайовими умовами. Тому задача оптимального вибору точок дискретизаціїї співвідношень (7.1) - (7.3) та (7.11) є не чим іншим, як задачею оптимізації розміщення спостерігачів за зовнішньо-динамічними характеристиками системи.

Позначивши через  множину точок  дискретизації зовнішньо-динамічних характеристик системи (а вона буде різною для різних задач) та враховуючи, що згідно (4.14) помилки розв’язання задачі моделювання

       (7.12)

де

,                                 (7.13)

заключаємо, що проблема оптимального розміщення спостерігачів за системою (7.1) - (7.4) при моделюванні її дискретизованих початково-крайових умов функціями  зведеться до задачі    

                                   (7.14)

де без прив’язки до конкретної задачі (без визначення меж інтегрування) та конкретизації виразу для A()

                 (7.15)

При цьому  є теж функцією  , поскільки  є вектором значень функції   та  в точках .

7.3. Задача оптимізації керувачів. Зупинимося на особливостях моделювання початково-крайових умов через обернення функціональних співвідношень (7.6).

Виходячи з означення (5.10) матричного рядка-функції , заключаємо, що компоненнти його є матричні функції  дискретизовані по штрихованих координатах. Цікаво, що точками дискретизації матриці  визначаються і значення компонент вектора  - значення моделюючих функцій . Другими словами: вибором точок дискретизації інтегральних співвідношень типу (7.11) - складових вектор-функції стану системи визначаються точки прикладання моделюючих функцій . Тому задача

оптимального вибору цих точок дискретизації є не чим іншим, як задачею оптимального розміщення моделюючих факторів  та керуючого - .

Позначивши через  множину точок  дискретизації моделюючих функцій  та керуючої функції (а множина ця буде різною для різних задач) визначаємо, що згідно (5.25), (5.26) помилки розв’язань задачі моделювання в цьому випадку визначаються величиною

           (7.16)

де без прив’язки до конкретної задачі (без визначення меж інтегрування та конкретизації виразу для )

                    (7.17)

(тут Y (s) - вектор функція, яка об’єднує значення - функціїї початково-крайових умов та спостережень за системою), а - константа не залежна від .

А це значить, що проблема оптимального розміщення моделюючих та керуючих функцій при розв’язанні задач моделювання початково-крайових умов (7.1), (7.2) системи (7.4) та керування нею зводиться до задачі

                             (7.18)

де з врахуванням визначення (5.28) матричного стовпця-функції  псевдооберненого до матричного рядка-функції .

                   (7.19)

7.4. Повна задача оптимізації структури систем з розподіленими параметрами. Розглянуті в двох попередніх пунктах постановки задач оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів є частковими, оскільки розглядаються окремо. Розглянемо той випадок, коли дискретними є як спостереження за нею так і моделюючі та керуючі функції  , .

Розв’язок цієї задачі будувався в лекції 3 шляхом обернення співвідношень типу (7.7). Останні ж отримувалися після дискретизаціїї як початково-крайових умов та спостережень (7.1)-(7.3), так і моделюючо-керуюючих функцій  , .

При цьому матричні функції Гріна  дискретизувалися як по штрихованих координатах (позначимо множину точок  через ), так і по нештрихованих (позначимо множину точок  через  ). Цими ж точками дискретизувалися спостереження (7.3) за станом системи, її початково-крайові умови (7.1), (7.2) та керуючо-моделюючі функції  , . А це значить, що оптимальний вибір точок дискретизації визначає оптимальне розміщення і спостерігачів за системою і керувачів нею. Тому для розв’язання задачі оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів необхідно мінімізувати помилки  обернення співвідношень типу (7.7) для кожної із розглядуваних задач.

З врахуванням (3.29) маємо, що

    (7. 20)

а, отже, проблеми розв’язання обговорюваної задачі зведуться до розв’язання задачі

.                                                   (7. 21)

7.5. Градієнтні процедури оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів для систем з розподіленими параметрами і проблеми їх реалізації. Розглянуті вище задачі оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів при переході від неперервної моделі початково-крайової задачі до різних форм дискретної звелися до задач мінімімізації функціоналів  та  по множинах точок  та .

Для випадків, коли функціонали ці виражають помилки псевдонаближень до розв’язків рівнянь типу (7.5) - (7.7), функціонали  неперервно залежать від своїх параметрів. Тому для розв’язання задач (7.14), (7.18), (7.21) можна використати градієнтні процедури оптимізації функціоналів.

Неважко бачити, що функціонали ці залежать від параметрів  через значення компонент вектора  (значення відповідних початково-крайових та спостережуваних функцій), елементи матриці , вектор-функції , та рядка-функції  . При знаходженні градієнтів досліджуваних функціоналів доведеться диференціювати якраз ці елементи. Якщо проблем з диференціюванням компонент вектора  не повинно бути, то проблеми ці можуть виникнути при роботі з матрицею , вектор-функцією , та рядком-функцією , тим паче, що входять вони у функціонали  і у псевдообереному вигляді.

Розглянемо тому другу частину виразів (7.15), (7.19) та (7.20) для . З врахуванням того, що для всякої (nn)-вимірної матриці А та вектора

                        ,

заключаємо, що

       ;

       .

    Позначаючи через К абстрактну розмірність множин , розглянемо проблеми диференціювання  по . Не записуючи компонент градієнтних векторів, зупинимося коротко на проблемах диференціювання функцій .

З врахуванням того, що

;

,

де - матриця Гріна розглядуваної задачі, а Y(s)- відома функція зовнішньо-динамічних факторів (початково-крайових умов та спостережень за системою), знаходимо

;

.

 Залишаються відкритими питання диференціювання функцій Питання ці проблематичні, поскількі немає явних функціональних залежностей цих функцій від змінних та . Однак, і цю проблему ми не залишимо нерозв’язаною (див. наступні лекції).

58

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32639. Технико-экономическое обоснование проекта: содержание, назначение 27 KB
  Техникоэкономическое обоснование проекта: содержание назначение ТЭО Основным документом обосновывающим целесообразность и эффективность проекта является ТЭО проекта. Эти задачи решаются с помощью ТЭО. ТЭО является обязательным документом в случае если финансирование капитальных вложений в основные фонды осуществляется полностью или на долевых началах из Государственного бюджета Российской Федерации и ее внебюджетных фондов централизованных фондов министерств и ведомств а также собственных финансовых ресурсов государственных предприятий....
32640. Бизнес- план инвестиционного проекта: содержание, назначение 51 KB
  Бизнес план инвестиционного проекта: содержание назначение Бизнес план Бизнесплан это подробный четко структурированный и тщательно подготовленный документ описывающий цели и задачи которые необходимо решить предприятию компании способы достижения поставленных целей и техникоэкономические показатели предприятия и или проекта в результате их достижения. Содержание бизнесплана Вводная часть резюме проекта Вводная часть как правило пишется уже после того как составлен весь план. в ней содержатся основные положения всего...
32641. Принципы и процессы планирования проекта. Уровни планирования 62.5 KB
  Принципы и процессы планирования проекта. Принципы и процессы планирования Сущность планирования состоит в задании целей и способов их достижения на основе формирования комплекса работ мероприятий действий которые должны быть выполнены применении методов и средств реализации этих работ увязки ресурсов необходимых для их выполнения согласовании действий организаций участников проекта. Основная цель планирования состоит в построении модели реализации проекта. Она необходима для координации деятельности участников проекта с ее помощью...
32642. Формирование статей затрат проекта. Калькуляция расходов, сметы, бюджет проекта 27.5 KB
  Формирование статей затрат проекта. Калькуляция расходов сметы бюджет проекта. Бюджет проекта предназначен для планирования расхода средств проекта по временным периодам год квартал месяц в течение всего времени его осуществления. Обычно расход средств проекта первого года планируется более подробно показывается поквартальное и помесячное распределение денежных средств.