23036

Задачі оптимізації структури лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Задачі оптимізації структури лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами 7. Розглянуті вище задачі моделювання початковокрайових умов див. Розглянемо варіант розв’язання задачі моделювання коли розв’язок її знаходиться шляхом обернення системи інтегральних рівнянь 7.14 помилки розв’язання задачі моделювання 7.

Русский

2013-08-04

289.5 KB

0 чел.

57

 Стоян В.А.

Лекція 7. Задачі оптимізації структури лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами

7.1. Проблеми оптимізації і де вони виникають. Розглянуті вище задачі моделювання початково-крайових умов (див. (1.3), (1.4) )

        (7.1)

       (7.2)

та спостережень (див. (6.10))

       (7.3)

системи (див. (1.1))

                     (7.4)

розв’язувалися в трьох випадках:

      1) дискретизувалися початково-крайові умови (7.1), (7..2) та спостереження (7. 3) за нею;

      2) дискретизувалися моделюючі функції, якими імітувалася дія неперервних початково-крайових умов (7.1), (7. 2) та спостережень (7.3);

       3) дискретизувалися співвідношення (7.1)-(7.3) і функції  та , якими вони моделювалися.

В кожному з цих трьох випадків проблеми знаходжень вектора моделюючих функцій  (див. (4.7)), або вектора  (див. (5.3), (5.4)) значень цих функцій зводиться до обернення наступних співвідношень (див. (3.5), (4.6), (5.9)):

            (7.5)

           (7.6)

            (7.7)

де всі позначення відповідають прийнятим в (3.5), (4.6) та (5.9).

Для кожного з цих співвідношень записувалися множини розв’язків (псевдорозв’язків) і помилки їх псевдообернення.

      (7. 8)

                   (7. 9)

       (7.10)

Зрозуміло, що значення помилок  визначається точністю обернення співвідношень (7.5)- (7.7). Однак, як би точно не оберталися ці співвідношення, в своєму не оберненому вигляді вони вже містять помилки заміни неперервної інтегральної моделі (див. (1.7))

       (7.11)

її дискретним аналогом. Помилки ці пов’язані з вибором кількості точок дискретизації початково-крайових умов, моделюючих функцій та вектора спостережень стану системи.

Тому виникає природнє бажання зробити вибір точок дискретизації співвідношення (7.11) таким, щоб відповідна модель системи вигляду (7.5) - (7.7) була найближчою до реальної, а також, щоб побудовані тут методи дозволяли цю модель як можна точніше обернути. Якщо перша задача розв’язується більше з врахуванням фізичної суті проблеми, то другу розв’яжемо мінімізувавши (по точках дискретизації) помилки (7.8) - (7.10).

  1.  Задача оптимізації спостерігачів. Розглянемо варіант розв’язання задачі моделювання, коли розв’язок її знаходиться шляхом обернення системи інтегральних рівнянь (7.5).

Виходячи з того, що матрична вектор-функція A(s’) тут є дискретизована по нештрихованих координатах матрична функція Гріна , а точками дискретизаціїї цієї координати визначаються і компоненти вектора  - вектора значень вектор- функції стану y(s) системи — заключаємо, що точками дискретизації системи (7.11), її початково-крайових умов (7.1), (7.2) та спостережень (7.3) визначається вибір координат розміщення спостерігачів за станом системи та її початково-крайовими умовами. Тому задача оптимального вибору точок дискретизаціїї співвідношень (7.1) - (7.3) та (7.11) є не чим іншим, як задачею оптимізації розміщення спостерігачів за зовнішньо-динамічними характеристиками системи.

Позначивши через  множину точок  дискретизації зовнішньо-динамічних характеристик системи (а вона буде різною для різних задач) та враховуючи, що згідно (4.14) помилки розв’язання задачі моделювання

       (7.12)

де

,                                 (7.13)

заключаємо, що проблема оптимального розміщення спостерігачів за системою (7.1) - (7.4) при моделюванні її дискретизованих початково-крайових умов функціями  зведеться до задачі    

                                   (7.14)

де без прив’язки до конкретної задачі (без визначення меж інтегрування) та конкретизації виразу для A()

                 (7.15)

При цьому  є теж функцією  , поскільки  є вектором значень функції   та  в точках .

7.3. Задача оптимізації керувачів. Зупинимося на особливостях моделювання початково-крайових умов через обернення функціональних співвідношень (7.6).

Виходячи з означення (5.10) матричного рядка-функції , заключаємо, що компоненнти його є матричні функції  дискретизовані по штрихованих координатах. Цікаво, що точками дискретизації матриці  визначаються і значення компонент вектора  - значення моделюючих функцій . Другими словами: вибором точок дискретизації інтегральних співвідношень типу (7.11) - складових вектор-функції стану системи визначаються точки прикладання моделюючих функцій . Тому задача

оптимального вибору цих точок дискретизації є не чим іншим, як задачею оптимального розміщення моделюючих факторів  та керуючого - .

Позначивши через  множину точок  дискретизації моделюючих функцій  та керуючої функції (а множина ця буде різною для різних задач) визначаємо, що згідно (5.25), (5.26) помилки розв’язань задачі моделювання в цьому випадку визначаються величиною

           (7.16)

де без прив’язки до конкретної задачі (без визначення меж інтегрування та конкретизації виразу для )

                    (7.17)

(тут Y (s) - вектор функція, яка об’єднує значення - функціїї початково-крайових умов та спостережень за системою), а - константа не залежна від .

А це значить, що проблема оптимального розміщення моделюючих та керуючих функцій при розв’язанні задач моделювання початково-крайових умов (7.1), (7.2) системи (7.4) та керування нею зводиться до задачі

                             (7.18)

де з врахуванням визначення (5.28) матричного стовпця-функції  псевдооберненого до матричного рядка-функції .

                   (7.19)

7.4. Повна задача оптимізації структури систем з розподіленими параметрами. Розглянуті в двох попередніх пунктах постановки задач оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів є частковими, оскільки розглядаються окремо. Розглянемо той випадок, коли дискретними є як спостереження за нею так і моделюючі та керуючі функції  , .

Розв’язок цієї задачі будувався в лекції 3 шляхом обернення співвідношень типу (7.7). Останні ж отримувалися після дискретизаціїї як початково-крайових умов та спостережень (7.1)-(7.3), так і моделюючо-керуюючих функцій  , .

При цьому матричні функції Гріна  дискретизувалися як по штрихованих координатах (позначимо множину точок  через ), так і по нештрихованих (позначимо множину точок  через  ). Цими ж точками дискретизувалися спостереження (7.3) за станом системи, її початково-крайові умови (7.1), (7.2) та керуючо-моделюючі функції  , . А це значить, що оптимальний вибір точок дискретизації визначає оптимальне розміщення і спостерігачів за системою і керувачів нею. Тому для розв’язання задачі оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів необхідно мінімізувати помилки  обернення співвідношень типу (7.7) для кожної із розглядуваних задач.

З врахуванням (3.29) маємо, що

    (7. 20)

а, отже, проблеми розв’язання обговорюваної задачі зведуться до розв’язання задачі

.                                                   (7. 21)

7.5. Градієнтні процедури оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів для систем з розподіленими параметрами і проблеми їх реалізації. Розглянуті вище задачі оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів при переході від неперервної моделі початково-крайової задачі до різних форм дискретної звелися до задач мінімімізації функціоналів  та  по множинах точок  та .

Для випадків, коли функціонали ці виражають помилки псевдонаближень до розв’язків рівнянь типу (7.5) - (7.7), функціонали  неперервно залежать від своїх параметрів. Тому для розв’язання задач (7.14), (7.18), (7.21) можна використати градієнтні процедури оптимізації функціоналів.

Неважко бачити, що функціонали ці залежать від параметрів  через значення компонент вектора  (значення відповідних початково-крайових та спостережуваних функцій), елементи матриці , вектор-функції , та рядка-функції  . При знаходженні градієнтів досліджуваних функціоналів доведеться диференціювати якраз ці елементи. Якщо проблем з диференціюванням компонент вектора  не повинно бути, то проблеми ці можуть виникнути при роботі з матрицею , вектор-функцією , та рядком-функцією , тим паче, що входять вони у функціонали  і у псевдообереному вигляді.

Розглянемо тому другу частину виразів (7.15), (7.19) та (7.20) для . З врахуванням того, що для всякої (nn)-вимірної матриці А та вектора

                        ,

заключаємо, що

       ;

       .

    Позначаючи через К абстрактну розмірність множин , розглянемо проблеми диференціювання  по . Не записуючи компонент градієнтних векторів, зупинимося коротко на проблемах диференціювання функцій .

З врахуванням того, що

;

,

де - матриця Гріна розглядуваної задачі, а Y(s)- відома функція зовнішньо-динамічних факторів (початково-крайових умов та спостережень за системою), знаходимо

;

.

 Залишаються відкритими питання диференціювання функцій Питання ці проблематичні, поскількі немає явних функціональних залежностей цих функцій від змінних та . Однак, і цю проблему ми не залишимо нерозв’язаною (див. наступні лекції).

58

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1119. Проблема температурной стабилизации транзисторов 348 KB
  Энергетическая диаграмма n полупроводника. Температурный дрейф выходной характеристики. Эмиттерная стабилизация режима. Коллекторная стабилизация режима. Характеристика терморезистора и его графическое обозначение. Термостабилизация режима терморезистором. Динамический режим работы транзисторов.
1120. Принципы использование тиристоров 108 KB
  Принцип действия тиристора. Полупроводниковые источники света. Светоизлучающие диоды. Механические колебания диодов кристаллической решетки. Характеристики СИД. Полупроводниковый лазер. Система зеркал – оптический резистор.
1121. Понятие микросхем. Основные сведение микроэлектроники 244.5 KB
  Микросхема в корпусе ДИП. Полупроводниковые интегральные микросхемы. Структура интегрального биполярного транзистора. Интегральные полевые транзисторы. Интегральные конденсаторы.
1122. Архитектура вычислительных систем 2.32 MB
  Ознакомление с принципом действия, машинными циклами и тактами микропроцессора КР580: изучение правил записи машинных программ(в машинных кодах и мнемокодах), исследование выполнения команд пересылки байта.
1123. Стальной каркас одноэтажного производственного здания 756 KB
  Расстояние от головки кранового рельса до низа несущих конструкций покрытия. Горизонтальные размеры поперечной рамы. Постоянная нагрузка от веса продольной стены и остекления. Постоянные нагрузки от подкрановой конструкции. Величина продольного усилия от постоянной нагрузки в отдельных сечениях колонны. Расчет на вертикальную нагрузку от мостовых кранов.
1124. Залізничний вагонний рухомий склад 311.5 KB
  Основні види та технічні параметри залізничного вагонного рухомого складу. Технічна характеристика платформи моделі 13-2114. Перевезення важковагових, довгомірних, громіздких вантажів.
1125. Основы лабораторных исследований по информатике 1.04 MB
  Составление, ввод, трансляция и выполнение программ линейной и разветвляющейся структуры. Составление, ввод, отладка и выполнение программ, использующих одномерные массивы. Программирование алгоритмов сортировки и поиска.
1126. Корреляционный и регрессионный анализ 955 KB
  Корреляционный анализ. Множественный коэффициент корреляции. Классификатор на основе ядерных оценок. Регрессионный анализ. Коэффициент ошибок (на обучающей выборке). Применение QDA.
1127. Термическая обработка углеродистой стали на мелкое зерно 110.5 KB
  Изучить влияние отжига и нормализации на величину зерна в стали. Освоить методику определения величины аустенитного зерна по ГОСТ 5639-82. Роль термической обработки в процессах формирования зерна в сталях.