23036

Задачі оптимізації структури лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Задачі оптимізації структури лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами 7. Розглянуті вище задачі моделювання початковокрайових умов див. Розглянемо варіант розвязання задачі моделювання коли розвязок її знаходиться шляхом обернення системи інтегральних рівнянь 7.14 помилки розвязання задачі моделювання 7.

Русский

2013-08-04

289.5 KB

0 чел.

57

 Стоян В.А.

Лекція 7. Задачі оптимізації структури лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами

7.1. Проблеми оптимізації і де вони виникають. Розглянуті вище задачі моделювання початково-крайових умов (див. (1.3), (1.4) )

        (7.1)

       (7.2)

та спостережень (див. (6.10))

       (7.3)

системи (див. (1.1))

                     (7.4)

розв’язувалися в трьох випадках:

      1) дискретизувалися початково-крайові умови (7.1), (7..2) та спостереження (7. 3) за нею;

      2) дискретизувалися моделюючі функції, якими імітувалася дія неперервних початково-крайових умов (7.1), (7. 2) та спостережень (7.3);

       3) дискретизувалися співвідношення (7.1)-(7.3) і функції  та , якими вони моделювалися.

В кожному з цих трьох випадків проблеми знаходжень вектора моделюючих функцій  (див. (4.7)), або вектора  (див. (5.3), (5.4)) значень цих функцій зводиться до обернення наступних співвідношень (див. (3.5), (4.6), (5.9)):

            (7.5)

           (7.6)

            (7.7)

де всі позначення відповідають прийнятим в (3.5), (4.6) та (5.9).

Для кожного з цих співвідношень записувалися множини розв’язків (псевдорозв’язків) і помилки їх псевдообернення.

      (7. 8)

                   (7. 9)

       (7.10)

Зрозуміло, що значення помилок  визначається точністю обернення співвідношень (7.5)- (7.7). Однак, як би точно не оберталися ці співвідношення, в своєму не оберненому вигляді вони вже містять помилки заміни неперервної інтегральної моделі (див. (1.7))

       (7.11)

її дискретним аналогом. Помилки ці пов’язані з вибором кількості точок дискретизації початково-крайових умов, моделюючих функцій та вектора спостережень стану системи.

Тому виникає природнє бажання зробити вибір точок дискретизації співвідношення (7.11) таким, щоб відповідна модель системи вигляду (7.5) - (7.7) була найближчою до реальної, а також, щоб побудовані тут методи дозволяли цю модель як можна точніше обернути. Якщо перша задача розв’язується більше з врахуванням фізичної суті проблеми, то другу розв’яжемо мінімізувавши (по точках дискретизації) помилки (7.8) - (7.10).

  1.  Задача оптимізації спостерігачів. Розглянемо варіант розв’язання задачі моделювання, коли розв’язок її знаходиться шляхом обернення системи інтегральних рівнянь (7.5).

Виходячи з того, що матрична вектор-функція A(s’) тут є дискретизована по нештрихованих координатах матрична функція Гріна , а точками дискретизаціїї цієї координати визначаються і компоненти вектора  - вектора значень вектор- функції стану y(s) системи — заключаємо, що точками дискретизації системи (7.11), її початково-крайових умов (7.1), (7.2) та спостережень (7.3) визначається вибір координат розміщення спостерігачів за станом системи та її початково-крайовими умовами. Тому задача оптимального вибору точок дискретизаціїї співвідношень (7.1) - (7.3) та (7.11) є не чим іншим, як задачею оптимізації розміщення спостерігачів за зовнішньо-динамічними характеристиками системи.

Позначивши через  множину точок  дискретизації зовнішньо-динамічних характеристик системи (а вона буде різною для різних задач) та враховуючи, що згідно (4.14) помилки розв’язання задачі моделювання

       (7.12)

де

,                                 (7.13)

заключаємо, що проблема оптимального розміщення спостерігачів за системою (7.1) - (7.4) при моделюванні її дискретизованих початково-крайових умов функціями  зведеться до задачі    

                                   (7.14)

де без прив’язки до конкретної задачі (без визначення меж інтегрування) та конкретизації виразу для A()

                 (7.15)

При цьому  є теж функцією  , поскільки  є вектором значень функції   та  в точках .

7.3. Задача оптимізації керувачів. Зупинимося на особливостях моделювання початково-крайових умов через обернення функціональних співвідношень (7.6).

Виходячи з означення (5.10) матричного рядка-функції , заключаємо, що компоненнти його є матричні функції  дискретизовані по штрихованих координатах. Цікаво, що точками дискретизації матриці  визначаються і значення компонент вектора  - значення моделюючих функцій . Другими словами: вибором точок дискретизації інтегральних співвідношень типу (7.11) - складових вектор-функції стану системи визначаються точки прикладання моделюючих функцій . Тому задача

оптимального вибору цих точок дискретизації є не чим іншим, як задачею оптимального розміщення моделюючих факторів  та керуючого - .

Позначивши через  множину точок  дискретизації моделюючих функцій  та керуючої функції (а множина ця буде різною для різних задач) визначаємо, що згідно (5.25), (5.26) помилки розв’язань задачі моделювання в цьому випадку визначаються величиною

           (7.16)

де без прив’язки до конкретної задачі (без визначення меж інтегрування та конкретизації виразу для )

                    (7.17)

(тут Y (s) - вектор функція, яка об’єднує значення - функціїї початково-крайових умов та спостережень за системою), а - константа не залежна від .

А це значить, що проблема оптимального розміщення моделюючих та керуючих функцій при розв’язанні задач моделювання початково-крайових умов (7.1), (7.2) системи (7.4) та керування нею зводиться до задачі

                             (7.18)

де з врахуванням визначення (5.28) матричного стовпця-функції  псевдооберненого до матричного рядка-функції .

                   (7.19)

7.4. Повна задача оптимізації структури систем з розподіленими параметрами. Розглянуті в двох попередніх пунктах постановки задач оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів є частковими, оскільки розглядаються окремо. Розглянемо той випадок, коли дискретними є як спостереження за нею так і моделюючі та керуючі функції  , .

Розв’язок цієї задачі будувався в лекції 3 шляхом обернення співвідношень типу (7.7). Останні ж отримувалися після дискретизаціїї як початково-крайових умов та спостережень (7.1)-(7.3), так і моделюючо-керуюючих функцій  , .

При цьому матричні функції Гріна  дискретизувалися як по штрихованих координатах (позначимо множину точок  через ), так і по нештрихованих (позначимо множину точок  через  ). Цими ж точками дискретизувалися спостереження (7.3) за станом системи, її початково-крайові умови (7.1), (7.2) та керуючо-моделюючі функції  , . А це значить, що оптимальний вибір точок дискретизації визначає оптимальне розміщення і спостерігачів за системою і керувачів нею. Тому для розв’язання задачі оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів необхідно мінімізувати помилки  обернення співвідношень типу (7.7) для кожної із розглядуваних задач.

З врахуванням (3.29) маємо, що

    (7. 20)

а, отже, проблеми розв’язання обговорюваної задачі зведуться до розв’язання задачі

.                                                   (7. 21)

7.5. Градієнтні процедури оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів для систем з розподіленими параметрами і проблеми їх реалізації. Розглянуті вище задачі оптимізації розміщення спостерігачів та керувачів при переході від неперервної моделі початково-крайової задачі до різних форм дискретної звелися до задач мінімімізації функціоналів  та  по множинах точок  та .

Для випадків, коли функціонали ці виражають помилки псевдонаближень до розв’язків рівнянь типу (7.5) - (7.7), функціонали  неперервно залежать від своїх параметрів. Тому для розв’язання задач (7.14), (7.18), (7.21) можна використати градієнтні процедури оптимізації функціоналів.

Неважко бачити, що функціонали ці залежать від параметрів  через значення компонент вектора  (значення відповідних початково-крайових та спостережуваних функцій), елементи матриці , вектор-функції , та рядка-функції  . При знаходженні градієнтів досліджуваних функціоналів доведеться диференціювати якраз ці елементи. Якщо проблем з диференціюванням компонент вектора  не повинно бути, то проблеми ці можуть виникнути при роботі з матрицею , вектор-функцією , та рядком-функцією , тим паче, що входять вони у функціонали  і у псевдообереному вигляді.

Розглянемо тому другу частину виразів (7.15), (7.19) та (7.20) для . З врахуванням того, що для всякої (nn)-вимірної матриці А та вектора

                        ,

заключаємо, що

       ;

       .

    Позначаючи через К абстрактну розмірність множин , розглянемо проблеми диференціювання  по . Не записуючи компонент градієнтних векторів, зупинимося коротко на проблемах диференціювання функцій .

З врахуванням того, що

;

,

де - матриця Гріна розглядуваної задачі, а Y(s)- відома функція зовнішньо-динамічних факторів (початково-крайових умов та спостережень за системою), знаходимо

;

.

 Залишаються відкритими питання диференціювання функцій Питання ці проблематичні, поскількі немає явних функціональних залежностей цих функцій від змінних та . Однак, і цю проблему ми не залишимо нерозв’язаною (див. наступні лекції).

58

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21844. Монтаж каркасных многоэтажных зданий 78 KB
  Все размеры несущих и ограждающих конструкций кратны номинальным размерам с восприятием горизонтальных усилий жёсткими узлами рам; связевой при которой колонны работают только на вертикальные нагрузки а горизонтальные воспринимаются системой вертикальных дисков и ядер жёсткости; и рамнопланировочного модуля 05м и высотного 06м. Сетка колонн кратна укрупнённому планировочному модулю 15м. Промышленные здания выполняются из железобетонных элементов с сеткой колонн 6х6 или 6х9м высотой этажей 3672м количество этажей от 2 до 12 с...
21845. Управление риском. Основные понятия и определения 97.5 KB
  Все участники проекта заинтересованы в том чтобы исключить возможность провала проекта или хотя бы убытка для себя. Вместе с тем ни у кого из них нет и не может быть уверенности в благополучном исходе проекта риск в любом реальном деле общепризнан. Под неопределенностью понимается неполнота или неточность информации об условиях реализации проекта в том числе о связанных с ними затратах и результатах. Неопределенность связанная с возможностью возникновения в ходе реализации проекта неблагоприятных ситуаций и последствий характеризуется...
21846. Реализация проекта и обратная связь 76.5 KB
  Реализация проекта и обратная связь. Организационные формы управления проектами Структуры управления проектами Это понятие включает в себя вопервых организационные формы и вовторых организационные структуры управления проектом Под организационной структурой управления проектом понимают совокупность взаимосвязанных органов управления расположенных на различных ступенях системы. Использование системы управления проектами предполагает создание специальной группы которая становится самостоятельным участником проекта или структурно входит...
21847. Управление качеством проекта 88 KB
  В чем же здесь роль управления проектами и чем новая система может помочь Оказывается весьма многим прежде всего потому что обеспечение требуемого уровня качества есть задача организационноэкономическая и проектменеджер оказался именно той фигурой которая в состоянии вооружившись методологией управления проектами навести должный порядок в сложном и потому зачастую хаотичном мире среды и окружения проекта. Задача обеспечения качества на должном уровне пронизывает весь жизненный цикл проекта. А потому задача этой главы показать не...
21848. Человеческие аспекты в управлении проектами 49 KB
  Создание проектной команды. В практике проектменеджмента используются два основных вида структуры проектной команды. Матричная форма структуры команды Эта форма применяется как правило для малых и средних проектов продолжительность жизненного цикла которых до двух лет этот критерий в разных странах варьируется от 05 до 2 лет. Преимущества: гибкость в организации и развитии команды; полномочия функциональных отделов фирмы не дублируются; наличие у членов команды уверенности в завтрашнем дне .
21849. Эффективность проекта 139.5 KB
  Эффективность проекта. Разработка концепции проекта. Любой инвестор прежде чем вложить деньги задается вопросом: в какой проект стоит вложить деньги средства сколько хотя бы примерно этих средств будет нужно когда вложенные средства начнут приносить доход сколько прибыли на вложенные средства можно получить и наконец если средства ограничены а они зачастую ограничены то где взять деньги для проекта Разработка концепции состоит из двух этапов: Формирование инвестиционного замысла идеи проекта; Анализ инвестиционных...
21850. Мир управления проектами 121 KB
  Мир управления проектами. Определение проекта. Проект является целенаправленной ориентированной во времени последовательностью как правило однократных комплексных и нерегулярно повторяющихся действий мероприятий или работ со следующими специфическими признаками: однократность и комплексность структуры проекта; сложность структуры проекта; специфичность содержательных и финансовых результатов; заданность сроков начала и окончания и тем самым заданность временной цели; нерегулярность осуществления. Проект это одноразовая совокупность...
21851. Разработка и планирование проекта 130 KB
  Разработка и планирование проекта. Планирование проекта. Сущность планирования состоит в обосновании целей и способов их удовлетворения на основе выявления детального комплекса работ определения эффективных методов и способов ресурсов всех видов необходимых для их выполнения и установления взаимодействия между организациямиучастниками проекта. Основная цель планирования интеграция всех участников проекта для выполнения комплекса работ обеспечивающих достижение конечных результатов проекта.
21852. Управление геомеханическими процессами при системах с искусственным поддержанием выработанного пространства: с магазинированием руды и креплением очистного пространства 433 KB
  Магазинирование полезного ископаемого накопление отбитого полезного ископаемого очистной выработке. Различают полное магазинирование полезного ископаемого если оно ведётся на всю высоту этажа блока или частичное слоевое если оно ведётся в пределах отдельных частей блока. Магазинирование полезного ископаемого составляет технологическую основу специального класса систем разработки. Отличительной особенностью этого класса систем: выемка полезного ископаемого в восходящем порядке; выпуск 3040 отбитой руды; поддержание боков...