23037

Дослідження та оптимізація структури дискретизованих динамічних систем

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

вказувалося що структура матриці С та векторів визначається вибором точок розміщення спостерігачів та керувачів системи проблеми оптимального розміщення яких будуть розв’язані якщо будуть знайдені явні залежності матриці від елементів множин координат спостерігачів та координат керувачів. Будуть побудовані аналітичні залежності елементів матриці від довільного елемента множини та елемента множини а також формули диференціювання матриці по цих елементах. В процесі розв’язання цієї проблеми будуть побудовані формули...

Русский

2013-08-04

335.5 KB

0 чел.

64

 Стоян В.А.

Лекція 8. Дослідження та оптимізація структури дискретизованих динамічних систем

8.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Одним із варіантів розв’язання задач моделювання зовнішньо-динамічної обстановки, в якій функціонує система з розподіленими параметрами є варіант, коли дискретизуються її входи-виходи. Другими словами: варіант цей передбачає, що дискретизовані зовнішньо-динамічні збурення моделюються дискретизованими моделюючими функціями. При цьому проблема знаходження останніх зводиться до обернення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (див. п.3.1.) вигляду

                                   (8.1)

де Сзадана прямокутна матриця розмірності LM, -відомий вектор, а - шуканий розв’язок.

Вище (див. п.7.4.) вказувалося, що структура матриці С та векторів ,  визначається вибором точок розміщення спостерігачів та керувачів системи, проблеми оптимального розміщення яких будуть розв’язані, якщо будуть знайдені явні залежності матриці  від елементів множин  (координат спостерігачів) та  (координат керувачів). Питання побудови цих залежностей ми і вивчимо нижче.

Будуть побудовані аналітичні залежності елементів матриці  від довільного  елемента множини  та елемента  множини , а також формули диференціювання матриці  по цих елементах.

В процесі розв’язання цієї проблеми будуть побудовані формули обернення прямокутних матриць розширених рядком, або стовпчиком з явною аналітичною залежністю результатів такого обернення від початкової матриці та вектор-стовпця (чи вектор-рядка), яким ця матриця розширена.

Поскільки розширення матриці С вектор-рядком означає появу в досліджуваній системі нового спостерігача, а розширення цієї ж матриці новим вектор-стовпцем означає появу в цій же системі нового керувача, то будуть створені умови для дослідження динамічних систем (в дискретизованому варіанті), які допускають розширення (звуження) мережі спостерігачів (керувачів) системи.

8.2. Формули Гревіля обернення прямокутних матриць. Будемо виходити з того, що для довільної прямокутної матриці С розмірності  відома матриця  обернена (псевдообернена) до неї. За умови, що матриця С розширена рядком , маємо

 (8.2)

де , . Доведення формули (8.2) виконаємо використовуючи методику М.Ф. Кириченка та отриманий вище загальний розв’язок (3.26) систем лінійних рівнянь (8.1).

Для доведення формули (8.2) для випадку, коли , а це умова лінійної незалежності вектор-рядка  з рядками матриці С, розглянемо систему

  

яку для зручності запишемо у вигляді

                                     (8.3)

Розв’язок системи (8.3) подамо у вигляді

 

при цьому будемо вимагати, щоб

  

З врахуванням того факту, що , з умови, щоб

            (8.4)

знаходимо

(8.5) Підставивши (8.5) в (8.4) отримаємо тотожність

З умови

заключаємо, що w=0, а отже

Після чого знаходимо

Приводячи останнє співвідношення до вигляду

отримуємо

Звідки і отримаємо першу частину формули (8.2).

Для доведення другої частини формули знайдемо . Для цього будемо виходити з матричного рівняння

яке еквівалентне наступній системі

              (8.6)

Розв’язок системи (8.6), який при довільному  мінімізував би нев’язку u запишемо у вигляді

        (8.7)

Параметр α знайдемо з умови

З умови де

знаходимо

          (8.8)

З врахуванням (8.8 ) з (8.7) знаходимо те

при якому мінімізується нев’язка системи (8.6) і досягається мінімум розв’язку її. Звідки

       (8.9)

З врахуванням того факту, що

        (8.10)

з (8.9) знаходимо другу частину формули (8.2).

Інші варіанти формули (8.2) розглядати не будемо. Зауважимо, однак, що виходячи з (8.2) та (8.9) можна побудувати формулу обернення матриці С розширеної стовпцем а, тобто матриці . З врахуванням (8.9), (8.10) запишемо спочатку цю формулу для матриці . Неважко бачити, що вона буде наступною:

       (8.11)

З отриманого співвідношення з врахуванням того, що

для довільної прямокутної матриці С знаходимо:

       (8.12)

де

Формули (8.2) та їх узагальнення у формі (8.12) дозволяють побудувати рекурентні обчислювальні алгоритми для обернення прямокутних матриць: відштовхуючись від оберненої матриці невеликої розмірності (можливо навіть прямокутної) шляхом розширення останньої на один рядок (стовпчик) з використанням формул (8.2) та (8.12) можна побудувати обернення прямокутної матриці довільної розмірності.

8.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення входів-виходів в дискретизованій лінійній динамічній системі. Як відзначалося в п.8.1, проблема оптимізації розміщення спостерігачів-керувачів за системою, яка зводиться до обернення системи (8.1), буде розв’язана, якщо будуть побудовані формули диференціювання матриці  по координатах  та  спостерігачів та керувачів відповідно.

Для цього будемо виходити з того, що залежність матриці  від координати  визначається, як це видно з визначення (1.22), k-тим рядком матриці . Виділимо тому внесок цього рядка в аналітичне представлення матриці .

Останнє можна зробити скориставшись формулою Гревіля (8.2) для обернення матриці

       (8.13)

де - матриця  без k-го рядка,  множина точок  без k-го елемента, а - k-тий рядок, яким визначається залежність матриці  від k-го елемента множини .

Для того, щоб зручно записати формулу Гревіля до матриці , врахуємо, що k- тий рядок матриці

де - функція Гріна розглядуваної задачі. Далі виконаємо наступні послідовні перетворення формули (8.2) стосовно матриці (8.13)

           

де

Враховуючи, що

 

згідно (8.14) знаходимо

 

Після чого формулу Гревіля (8.2) стосовно матриці (8.13) запишемо у вигляді

    (8.15)

де  

Позначивши через  стовпці матриці  будемо  мати, що

 

Звідки

,

де  - l –стовпець матриці, або l -елемент вектора в залежності від контексту.

А це значить, що можна знайти похідні від стовпчиків (а, отже, і елементів) матриці  Вони будуть наступними:

.

Побудуємо аналітичні залежності похідних від елементів матриці  по k-тому елементу множини . Для цього позначимо через цей елемент,  -множину  без k-го елемента. Крім того, як і вище, позначимо через

   

k-ий стовпець матриці , а через - матрицю  без k-го  стовпця.

Для того, щоб побудувати аналітичні залежності рядків матриці

     (8.17)

від  застосуємо формулу Гревіля до матриці

       (8.18)

маючи на увазі, що

      (8.19)

По аналогії з (8.14) виконаємо це послідовно. Матимемо:

 

       (8.20)

Записуючи, з врахуванням (8.18), формулу Гревіля стосовно матриці (8.17), отримаємо

де

Звідки з врахуванням (8.17), (8.19) знаходимо

 (8.22)

     (8.23)

,

де, як і вище, -стовпець матриці, або m-елемент вектора в залежності від контексту.

Виходячи з (8.22), (8.23) знаходимо і похідні від рядків   (а, отже, і елементів) матриці  по  Вони будуть наступними:

 

де, як і вище,  елемент вектора .

Таким чином побудовані формули диференціювання матриці  по координатах спостерігачів  та керувачів  а отже можуть бути реалізовані градієнтні процедури по оптимізації їх розміщення згідно критерію (7.10), (7.21), а саме:

 

65

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84716. Функции дипломатических представительств зафиксированные в Венской конвенции о дипломатических сношения 15.17 KB
  Конвенция впитала в себя все то рациональное что содержалось в подобного рода документах регулировавших отношения между государствами в прошлом а также правила и обычаи утвердившиеся в межгосударственном взаимодействии в результате многовековой дипломатической практики. Венская Конвенция 1961 г. Венская конвенция 1961 г. подразделяет глав дипломатических представительств на: класс послов и нунциев аккредитуемых при главах государств; к этому классу конвенция относит также других глав представительств эквивалентного ранга; класс...
84717. Дипломатические привилегии и иммунитеты 17.1 KB
  В наше время привилегии и иммунитеты которыми пользуются дипломатические представительства их главы и сотрудники регулируются как двусторонними соглашениями так и многосторонними конвенциями. Конвенция устанавливает что помещения представительства неприкосновенны. Власти государства пребывания не могут вступать в эти помещения иначе как с согласия главы представительства. При этом под помещениями представительства понимаются здания или часть зданий используемых для целей представительства включая резиденцию главы представительства и...
84718. Порядок назначения глав дипломатических представительств 14.54 KB
  Россия обменивается дипломатическими представительствами с другими государствами в настоящее время только на уровне посольств. Если глава диппредставительства назначается впервые после установления между государствами дипотношений то запрос агремана может быть сделан в третьей стране через диппредставителей обеих договаривающихся сторон. Только после получения агремана может быть издан официальный акт аккредитующей страны о назначении обычно указом главы государства о чем публикуется сообщение в официальном печатном органе. Конвенция...
84719. Дипломатические должности. Аккредитация дипломатических сотрудников представительства. Категории персонала представительств 14.18 KB
  Особую категорию дипломатических кадров представляют аккредитируемые при посольстве военные атташе – представители военного ведомства назначившей их страны при военном ведомстве страны пребывания; они исполняют функции советников посла по военным вопросам. Посольство – высший класс зарубежного органа внешних сношений осуществляющий представительство РФ в стране пребывания. Дипломатический персонал посольства: Чрезвычайный и Полномочный Посол – Возглавляет посольство и является высшим представителем России в стране пребывания....
84720. Деятельность посольства по обеспечению национальных интересов России и реализация ее внешнеполитического курса в стране пребывания 18.65 KB
  Вместе с тем их деятельность определяется собственными законодательными актами Российской Федерации к которым относятся Конституция Российской Федерации утвержденные президентом России Положения о Министерстве иностранных дел о Посольстве и о Чрезвычайном и Полномочном После Российской Федерации. Эти документы – основа для конструирования российских дипломатических представительств для развития положений Венской конвенции применительно к государственной специфике и интересам Российской Федерации. Посольство – высший класс...
84721. Положение о Посольстве Российской Федерации и Чрезвычайном и Полномочном После Российской Федерации 18.16 KB
  Положение о Посольстве Российской Федерации и Чрезвычайном и Полномочном После Российской Федерации. Посольство высший класс зарубежного государственного органа внешних сношений осуществляющий представительство Российской Федерации в стране пребывания. Указанный статус определяет уровень реализации внешнеполитического курса Российской Федерации в стране пребывания; защиту национальных и имущественных интересов своей страны прав и интересов российских граждан и юридических лиц; ведение переговоров с правительством государства пребывания;...
84722. Задачи и функции российских диппредставительств 14.84 KB
  Защита в государстве пребывания интересов аккредитующего государства и его граждан в пределах допускаемых международным правом; ведение переговоров с правительством государства пребывания; выяснение всеми законными средствами условий и событий в государстве пребывания и сообщение о них правительству аккредитующего государства; поощрение дружественных отношений между государствами конструктивное развитие их...
84723. Ремонт Рессоры ГАЗ - 53 1.21 MB
  Рессоры предназначены для смягчения толчков при наезде на неровности на дороге. При наезде автомобиля на какую-нибудь неровность рессоры прогибаются и смягчают толчок. Кроме этого, через них передается автомобилю толкающее усилие от ведущих колес и усилие при их торможении.
84724. Разработка автоматизированного участка изготовления детали Вал 5 499 KB
  Автоматизация производственных процессов на основе внедрения роботизированных технологических комплексов РТК и гибких производственных модулей ГПМ вспомогательного оборудования транспортно-накопительных и контрольно-измерительных устройств объединенных в гибкие...