23037

Дослідження та оптимізація структури дискретизованих динамічних систем

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

вказувалося що структура матриці С та векторів визначається вибором точок розміщення спостерігачів та керувачів системи проблеми оптимального розміщення яких будуть розв’язані якщо будуть знайдені явні залежності матриці від елементів множин координат спостерігачів та координат керувачів. Будуть побудовані аналітичні залежності елементів матриці від довільного елемента множини та елемента множини а також формули диференціювання матриці по цих елементах. В процесі розв’язання цієї проблеми будуть побудовані формули...

Русский

2013-08-04

335.5 KB

0 чел.

64

 Стоян В.А.

Лекція 8. Дослідження та оптимізація структури дискретизованих динамічних систем

8.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Одним із варіантів розв’язання задач моделювання зовнішньо-динамічної обстановки, в якій функціонує система з розподіленими параметрами є варіант, коли дискретизуються її входи-виходи. Другими словами: варіант цей передбачає, що дискретизовані зовнішньо-динамічні збурення моделюються дискретизованими моделюючими функціями. При цьому проблема знаходження останніх зводиться до обернення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (див. п.3.1.) вигляду

                                   (8.1)

де Сзадана прямокутна матриця розмірності LM, -відомий вектор, а - шуканий розв’язок.

Вище (див. п.7.4.) вказувалося, що структура матриці С та векторів ,  визначається вибором точок розміщення спостерігачів та керувачів системи, проблеми оптимального розміщення яких будуть розв’язані, якщо будуть знайдені явні залежності матриці  від елементів множин  (координат спостерігачів) та  (координат керувачів). Питання побудови цих залежностей ми і вивчимо нижче.

Будуть побудовані аналітичні залежності елементів матриці  від довільного  елемента множини  та елемента  множини , а також формули диференціювання матриці  по цих елементах.

В процесі розв’язання цієї проблеми будуть побудовані формули обернення прямокутних матриць розширених рядком, або стовпчиком з явною аналітичною залежністю результатів такого обернення від початкової матриці та вектор-стовпця (чи вектор-рядка), яким ця матриця розширена.

Поскільки розширення матриці С вектор-рядком означає появу в досліджуваній системі нового спостерігача, а розширення цієї ж матриці новим вектор-стовпцем означає появу в цій же системі нового керувача, то будуть створені умови для дослідження динамічних систем (в дискретизованому варіанті), які допускають розширення (звуження) мережі спостерігачів (керувачів) системи.

8.2. Формули Гревіля обернення прямокутних матриць. Будемо виходити з того, що для довільної прямокутної матриці С розмірності  відома матриця  обернена (псевдообернена) до неї. За умови, що матриця С розширена рядком , маємо

 (8.2)

де , . Доведення формули (8.2) виконаємо використовуючи методику М.Ф. Кириченка та отриманий вище загальний розв’язок (3.26) систем лінійних рівнянь (8.1).

Для доведення формули (8.2) для випадку, коли , а це умова лінійної незалежності вектор-рядка  з рядками матриці С, розглянемо систему

  

яку для зручності запишемо у вигляді

                                     (8.3)

Розв’язок системи (8.3) подамо у вигляді

 

при цьому будемо вимагати, щоб

  

З врахуванням того факту, що , з умови, щоб

            (8.4)

знаходимо

(8.5) Підставивши (8.5) в (8.4) отримаємо тотожність

З умови

заключаємо, що w=0, а отже

Після чого знаходимо

Приводячи останнє співвідношення до вигляду

отримуємо

Звідки і отримаємо першу частину формули (8.2).

Для доведення другої частини формули знайдемо . Для цього будемо виходити з матричного рівняння

яке еквівалентне наступній системі

              (8.6)

Розв’язок системи (8.6), який при довільному  мінімізував би нев’язку u запишемо у вигляді

        (8.7)

Параметр α знайдемо з умови

З умови де

знаходимо

          (8.8)

З врахуванням (8.8 ) з (8.7) знаходимо те

при якому мінімізується нев’язка системи (8.6) і досягається мінімум розв’язку її. Звідки

       (8.9)

З врахуванням того факту, що

        (8.10)

з (8.9) знаходимо другу частину формули (8.2).

Інші варіанти формули (8.2) розглядати не будемо. Зауважимо, однак, що виходячи з (8.2) та (8.9) можна побудувати формулу обернення матриці С розширеної стовпцем а, тобто матриці . З врахуванням (8.9), (8.10) запишемо спочатку цю формулу для матриці . Неважко бачити, що вона буде наступною:

       (8.11)

З отриманого співвідношення з врахуванням того, що

для довільної прямокутної матриці С знаходимо:

       (8.12)

де

Формули (8.2) та їх узагальнення у формі (8.12) дозволяють побудувати рекурентні обчислювальні алгоритми для обернення прямокутних матриць: відштовхуючись від оберненої матриці невеликої розмірності (можливо навіть прямокутної) шляхом розширення останньої на один рядок (стовпчик) з використанням формул (8.2) та (8.12) можна побудувати обернення прямокутної матриці довільної розмірності.

8.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення входів-виходів в дискретизованій лінійній динамічній системі. Як відзначалося в п.8.1, проблема оптимізації розміщення спостерігачів-керувачів за системою, яка зводиться до обернення системи (8.1), буде розв’язана, якщо будуть побудовані формули диференціювання матриці  по координатах  та  спостерігачів та керувачів відповідно.

Для цього будемо виходити з того, що залежність матриці  від координати  визначається, як це видно з визначення (1.22), k-тим рядком матриці . Виділимо тому внесок цього рядка в аналітичне представлення матриці .

Останнє можна зробити скориставшись формулою Гревіля (8.2) для обернення матриці

       (8.13)

де - матриця  без k-го рядка,  множина точок  без k-го елемента, а - k-тий рядок, яким визначається залежність матриці  від k-го елемента множини .

Для того, щоб зручно записати формулу Гревіля до матриці , врахуємо, що k- тий рядок матриці

де - функція Гріна розглядуваної задачі. Далі виконаємо наступні послідовні перетворення формули (8.2) стосовно матриці (8.13)

           

де

Враховуючи, що

 

згідно (8.14) знаходимо

 

Після чого формулу Гревіля (8.2) стосовно матриці (8.13) запишемо у вигляді

    (8.15)

де  

Позначивши через  стовпці матриці  будемо  мати, що

 

Звідки

,

де  - l –стовпець матриці, або l -елемент вектора в залежності від контексту.

А це значить, що можна знайти похідні від стовпчиків (а, отже, і елементів) матриці  Вони будуть наступними:

.

Побудуємо аналітичні залежності похідних від елементів матриці  по k-тому елементу множини . Для цього позначимо через цей елемент,  -множину  без k-го елемента. Крім того, як і вище, позначимо через

   

k-ий стовпець матриці , а через - матрицю  без k-го  стовпця.

Для того, щоб побудувати аналітичні залежності рядків матриці

     (8.17)

від  застосуємо формулу Гревіля до матриці

       (8.18)

маючи на увазі, що

      (8.19)

По аналогії з (8.14) виконаємо це послідовно. Матимемо:

 

       (8.20)

Записуючи, з врахуванням (8.18), формулу Гревіля стосовно матриці (8.17), отримаємо

де

Звідки з врахуванням (8.17), (8.19) знаходимо

 (8.22)

     (8.23)

,

де, як і вище, -стовпець матриці, або m-елемент вектора в залежності від контексту.

Виходячи з (8.22), (8.23) знаходимо і похідні від рядків   (а, отже, і елементів) матриці  по  Вони будуть наступними:

 

де, як і вище,  елемент вектора .

Таким чином побудовані формули диференціювання матриці  по координатах спостерігачів  та керувачів  а отже можуть бути реалізовані градієнтні процедури по оптимізації їх розміщення згідно критерію (7.10), (7.21), а саме:

 

65

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43593. Разработка модели платье для вечеринки «Баска» 113.1 KB
  На сегодняшний же день баску заслуженно считают одним из главных модных трендов 2012г - 2013г. Женственные образы с таким элементом были замечены во многих коллекциях Giorgio Armani, Christian Dior, Elie Saab, Chanel, Nina Ricci, Vera Vang, YSL, Loewe и других модных дизайнеров.
43595. Исследование стартовых культур LV1 и LV4 в производстве хлеба из пшеничной и ржаной муки 2.73 MB
  Традиционная технология приготовления ржаных сортов хлеба основана на приготовлении заквасок. Данная технология длительна и трудоемка. Кроме того имеет место развитие малых предприятий, которые часто работают по одно- или двусменному графику, и поэтому использовать традиционную технологию затруднительно.
43596. Экспериментальное исследование эффективности методики развития физических качеств дошкольников 5.19 MB
  Теоретическое обоснование проблемы развития физических качеств детей дошкольного возраста в процессе физической подготовленности. Характеристика и сущность изучения развития физических качеств. Двигательные навыки и возрастные анатомофизиологические особенности развития детей дошкольного возраста. Экспериментальное исследование эффективности методики развития физических качеств дошкольников.
43597. Механизмы реализации государственной политики КАБАНСКОГО ДРСУ ФГУП «БУРЯТАВТОДОР» 41.13 KB
  Кабанское дорожное ремонтно-строительное управление является обособленным подразделением Государственного унитарного предприятия по подрядному строительству, ремонту и содержанию автомобильных дорог Республики Бурятия «Бурятавтодор» без прав юридического лица.
43598. Охорона праці. Методичні вказівки 83.92 KB
  Наведені структура та зміст мають загальний характер. В залежності від теми дипломної роботи (дисертації) та специфіки його виконання консультант з охорони праці видає індивідуальні завдання, в яких більш докладно розглядаються найбільш актуальні питання охорони праці за відповідними пунктами розділу.
43599. Педагогічні арт-технології виховання у студентської молоді культури користування кіберпростором 123.51 KB
  Враховуючи актуальність проблеми, її недостатню наукову розробленість, а також орієнтуючись на запити практики, визначена тема бакалаврського дослідження: «Використання арт-теропії в процесі розвитку у студентської молоді культури користування кіберпростором»
43600. Використання магнітних полів для визначення параметрів напівпровідникових матеріалів та структур 1.67 MB
  Електроніка в даний час є одним з найбільш домінуючих рушіїв технічного розвитку сучасного суспільства. Крім традиційно електронних галузей техніки – телекомунікації, інформаційно–вимірювальної та обчислювальної техніки чи спецтехніки, електронні прилади та пристрої на їх основі стали важливими засобами розвитку біології, медицини
43601. МЕРOПРИЯТИЯ ПO УЛУЧШЕНИЮ ЭФФЕКТИВНOСТИ УПРAВЛЕНИЯ КAПИТАЛОМ НА ИП ЗИНИНA А.И 233.92 KB
  3 Кoнцепции упрвления кпиталом нализ сoстава и структуры кпитала предприятия. Пoлучение прибыли на сегoдня этo результт првильных решений o прoпорциях влoжения кпитала принятых дo нчала oперационной деятельнoсти предприятия. Oт тoго как испoльзуется кпитал звисит величин прибыли предприятия следовательнo и егo дльнейшее рзвитие. В связи с этим oсобое знчение приoбретает исследoвание прoблем связнных с пoвышением эффективнoсти использoвания кпитала предприятия тк кк движение стoимости ресурсoв и их кругooборот станoвятся...