23037

Дослідження та оптимізація структури дискретизованих динамічних систем

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

вказувалося що структура матриці С та векторів визначається вибором точок розміщення спостерігачів та керувачів системи проблеми оптимального розміщення яких будуть розвязані якщо будуть знайдені явні залежності матриці від елементів множин координат спостерігачів та координат керувачів. Будуть побудовані аналітичні залежності елементів матриці від довільного елемента множини та елемента множини а також формули диференціювання матриці по цих елементах. В процесі розвязання цієї проблеми будуть побудовані формули...

Русский

2013-08-04

335.5 KB

0 чел.

64

 Стоян В.А.

Лекція 8. Дослідження та оптимізація структури дискретизованих динамічних систем

8.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Одним із варіантів розв’язання задач моделювання зовнішньо-динамічної обстановки, в якій функціонує система з розподіленими параметрами є варіант, коли дискретизуються її входи-виходи. Другими словами: варіант цей передбачає, що дискретизовані зовнішньо-динамічні збурення моделюються дискретизованими моделюючими функціями. При цьому проблема знаходження останніх зводиться до обернення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (див. п.3.1.) вигляду

                                   (8.1)

де Сзадана прямокутна матриця розмірності LM, -відомий вектор, а - шуканий розв’язок.

Вище (див. п.7.4.) вказувалося, що структура матриці С та векторів ,  визначається вибором точок розміщення спостерігачів та керувачів системи, проблеми оптимального розміщення яких будуть розв’язані, якщо будуть знайдені явні залежності матриці  від елементів множин  (координат спостерігачів) та  (координат керувачів). Питання побудови цих залежностей ми і вивчимо нижче.

Будуть побудовані аналітичні залежності елементів матриці  від довільного  елемента множини  та елемента  множини , а також формули диференціювання матриці  по цих елементах.

В процесі розв’язання цієї проблеми будуть побудовані формули обернення прямокутних матриць розширених рядком, або стовпчиком з явною аналітичною залежністю результатів такого обернення від початкової матриці та вектор-стовпця (чи вектор-рядка), яким ця матриця розширена.

Поскільки розширення матриці С вектор-рядком означає появу в досліджуваній системі нового спостерігача, а розширення цієї ж матриці новим вектор-стовпцем означає появу в цій же системі нового керувача, то будуть створені умови для дослідження динамічних систем (в дискретизованому варіанті), які допускають розширення (звуження) мережі спостерігачів (керувачів) системи.

8.2. Формули Гревіля обернення прямокутних матриць. Будемо виходити з того, що для довільної прямокутної матриці С розмірності  відома матриця  обернена (псевдообернена) до неї. За умови, що матриця С розширена рядком , маємо

 (8.2)

де , . Доведення формули (8.2) виконаємо використовуючи методику М.Ф. Кириченка та отриманий вище загальний розв’язок (3.26) систем лінійних рівнянь (8.1).

Для доведення формули (8.2) для випадку, коли , а це умова лінійної незалежності вектор-рядка  з рядками матриці С, розглянемо систему

  

яку для зручності запишемо у вигляді

                                     (8.3)

Розв’язок системи (8.3) подамо у вигляді

 

при цьому будемо вимагати, щоб

  

З врахуванням того факту, що , з умови, щоб

            (8.4)

знаходимо

(8.5) Підставивши (8.5) в (8.4) отримаємо тотожність

З умови

заключаємо, що w=0, а отже

Після чого знаходимо

Приводячи останнє співвідношення до вигляду

отримуємо

Звідки і отримаємо першу частину формули (8.2).

Для доведення другої частини формули знайдемо . Для цього будемо виходити з матричного рівняння

яке еквівалентне наступній системі

              (8.6)

Розв’язок системи (8.6), який при довільному  мінімізував би нев’язку u запишемо у вигляді

        (8.7)

Параметр α знайдемо з умови

З умови де

знаходимо

          (8.8)

З врахуванням (8.8 ) з (8.7) знаходимо те

при якому мінімізується нев’язка системи (8.6) і досягається мінімум розв’язку її. Звідки

       (8.9)

З врахуванням того факту, що

        (8.10)

з (8.9) знаходимо другу частину формули (8.2).

Інші варіанти формули (8.2) розглядати не будемо. Зауважимо, однак, що виходячи з (8.2) та (8.9) можна побудувати формулу обернення матриці С розширеної стовпцем а, тобто матриці . З врахуванням (8.9), (8.10) запишемо спочатку цю формулу для матриці . Неважко бачити, що вона буде наступною:

       (8.11)

З отриманого співвідношення з врахуванням того, що

для довільної прямокутної матриці С знаходимо:

       (8.12)

де

Формули (8.2) та їх узагальнення у формі (8.12) дозволяють побудувати рекурентні обчислювальні алгоритми для обернення прямокутних матриць: відштовхуючись від оберненої матриці невеликої розмірності (можливо навіть прямокутної) шляхом розширення останньої на один рядок (стовпчик) з використанням формул (8.2) та (8.12) можна побудувати обернення прямокутної матриці довільної розмірності.

8.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення входів-виходів в дискретизованій лінійній динамічній системі. Як відзначалося в п.8.1, проблема оптимізації розміщення спостерігачів-керувачів за системою, яка зводиться до обернення системи (8.1), буде розв’язана, якщо будуть побудовані формули диференціювання матриці  по координатах  та  спостерігачів та керувачів відповідно.

Для цього будемо виходити з того, що залежність матриці  від координати  визначається, як це видно з визначення (1.22), k-тим рядком матриці . Виділимо тому внесок цього рядка в аналітичне представлення матриці .

Останнє можна зробити скориставшись формулою Гревіля (8.2) для обернення матриці

       (8.13)

де - матриця  без k-го рядка,  множина точок  без k-го елемента, а - k-тий рядок, яким визначається залежність матриці  від k-го елемента множини .

Для того, щоб зручно записати формулу Гревіля до матриці , врахуємо, що k- тий рядок матриці

де - функція Гріна розглядуваної задачі. Далі виконаємо наступні послідовні перетворення формули (8.2) стосовно матриці (8.13)

           

де

Враховуючи, що

 

згідно (8.14) знаходимо

 

Після чого формулу Гревіля (8.2) стосовно матриці (8.13) запишемо у вигляді

    (8.15)

де  

Позначивши через  стовпці матриці  будемо  мати, що

 

Звідки

,

де  - l –стовпець матриці, або l -елемент вектора в залежності від контексту.

А це значить, що можна знайти похідні від стовпчиків (а, отже, і елементів) матриці  Вони будуть наступними:

.

Побудуємо аналітичні залежності похідних від елементів матриці  по k-тому елементу множини . Для цього позначимо через цей елемент,  -множину  без k-го елемента. Крім того, як і вище, позначимо через

   

k-ий стовпець матриці , а через - матрицю  без k-го  стовпця.

Для того, щоб побудувати аналітичні залежності рядків матриці

     (8.17)

від  застосуємо формулу Гревіля до матриці

       (8.18)

маючи на увазі, що

      (8.19)

По аналогії з (8.14) виконаємо це послідовно. Матимемо:

 

       (8.20)

Записуючи, з врахуванням (8.18), формулу Гревіля стосовно матриці (8.17), отримаємо

де

Звідки з врахуванням (8.17), (8.19) знаходимо

 (8.22)

     (8.23)

,

де, як і вище, -стовпець матриці, або m-елемент вектора в залежності від контексту.

Виходячи з (8.22), (8.23) знаходимо і похідні від рядків   (а, отже, і елементів) матриці  по  Вони будуть наступними:

 

де, як і вище,  елемент вектора .

Таким чином побудовані формули диференціювання матриці  по координатах спостерігачів  та керувачів  а отже можуть бути реалізовані градієнтні процедури по оптимізації їх розміщення згідно критерію (7.10), (7.21), а саме:

 

65

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23077. Вимірювання напруг при механічних деформаціях поляризаційним методом 447 KB
  Різницю фаз Δ що виникає між двома взаємно перпендикулярними лінійнополяризованими хвилями визначають за формулою 16 де λ довжина хвилі; σ1 σ2 головні нормальні напруги; d товщина деталі; с стала фотопружності яка залежить від матеріалу деталі. Таким чином при постійній товщині зразка лінії однакового зсуву фаз відповідають лініям однакових різниць нормальних напруг або лініям рівних максимальних дотичних напруг оскільки максимальна дотична напруга τmax пов'язана з...
23078. Дослідження анізотропних кристалів під поляризаційним мікроскопом 458 KB
  Прилади: поляризаційний мікроскоп клин або компенсатор Берека набір шліфів і пластинок з одновісних та двовісних кристалів вирізаних під різними кутами до оптичної осі. Різниця яку вносить пластинка залежить від її товщини матеріалу зразка та орієнтації оптичної осі відносно зрізу. Форма і розміщення ізохромат залежать від напряму оптичної осі відносно зрізу товщини зразка і довжини хвилі Форма і розміщення ізогір залежать від орієнтації осі відносно зрізу і взаємного положення поляризатора та аналізатора. Для пластинки вирізаної...
23079. Вимірювання оптичних сталих металів та напівпровідників за допомогою компенсатора Бабіне 278.5 KB
  Відомо що лінійнополяризоване світло яке падає на межу поділу діелектрик провідне середовище після відбиття перетворюється на еліптичнополяризоване крім того випадку коли напрям коливань електричного вектора лежить в площині падіння або в перпендикулярній площині. Вимірюючи параметри еліптичнополяризованого світла а саме; зсув фаз Δ між р та s складовими електричного вектора відбитої хвилі азимут відновленої поляризації ψ а також кут падіння світлової хвилі на площину дзеркала φ можна обчислити оптичні сталі n і κ з співвідношень...
23080. Вимірювання оптичних сталих металів та напівпровідників фотоелектричним методом Бітті 933.5 KB
  Якщо поляризатор утворює з площиною падіння кут β а аналізатор кут α то електричний вектор після проходження світлом поляризатора відбиття від зразка та проходження через аналізатор складатиметься з двох проекцій р та s компонент зсунутих по фазі одна відносно іншої. Проекції р та s компонент на площину аналізатора визначають з формул де α кут між площиною коливань в аналізаторі і р площиною А0 амплітуда коливань пропущених поляризатором; rp rs амплітудні коефіцієнти відбиття для р та...
23081. Визначення залежності ступеня поляризації стопи від кута паління та числа пластин за допомогою поляриметра Корню 391 KB
  Визначення залежності ступеня поляризації стопи від кута паління та числа пластин за допомогою поляриметра Корню. Ступінь поляризації залежить від кута падіння на межу поділу і відносного показника заломлення. Для світла що проходить значної поляризації при одноразовому проходженні досягти неможливо тому звичайно використовують стопу набір з кількох пластин. Ступінь поляризації частково поляризованого світла визначається за формулою 7 де і максимальна та мінімальна...
23082. Дослідження залежності зсуву фаз від кута падіння при повному відбитті за допомогою компенсатора Сенармона 894.5 KB
  Дослідження залежності зсуву фаз від кута падіння при повному відбитті за допомогою компенсатора Сенармона. Теоретичні відомості Світло що відбивається від межі поділу двох середовищ з різною оптичною густиною проходить у середовище з меншої густиною лише при кутах падіння менших деякого граничного кута якай можна знайти за формулою φгр = arcsin n 10 де n показник заломлення другого середовища відносно першого. При куті падіння φгр кут заломлення у другому...
23083. Влияние импульсного магнитного поля и низко импульсного электромагнитного излучения очень высоких частот на дрожжевые клетки рода Saccharomyces cerevisiae при приготовлении пшеничного хлеба 647.5 KB
  Пекарские дрожжи относятся к виду Saccharomyces cerevisiae. Их выращивают в богатой кислородом среде, в особых емкостях с сахарной свеклой, азотными минералами и смесями. Магнитное поле промышленной частоты и мероприятия по защите от него
23084. Синхронний детектор 294.5 KB
  Якщо потенціал на вході такого детектора вище деякого рівня обумовленого відмиканням діода то цей сигнал накопичується на виході як правило на конденсаторі фільтра і таким чином фіксується. 7 Тоді коефіцієнт передачі детектора визначений як відношення амплітуди вихідної напруги до амплітуди вхідної напруги дорівнює: . 8 Таким чином частотна характеристика детектора з гармонійною модуляцією мал. Частотна характеристика детектора з гармонійною модуляцією Рис.
23085. ОПТИКО-ЕЛЕКТРОННІ ПРИЛАДИ І СИСТЕМИ 352 KB
  Метод лічби одноелектронних імпульсів. Опис спектрофотометра СФ5 Тут Ви познайомитеся із можливістю виміру інтенсивності потоку випромінювання шляхом підрахунку кількості електричних імпульсів на виході приймача випромінювання здійснюючи таким чином цифрову обробку оптичної інформації. Теоретична частина Метод лічби одноелектронних імпульсів може бути застосований лише для дуже вузького кола приймачів випромінювання ПВ які мають внутрішнє підсилення фотоелектронних помножувачів ФЕП і лавинних фотодіодів ЛФД.