23037

Дослідження та оптимізація структури дискретизованих динамічних систем

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

вказувалося що структура матриці С та векторів визначається вибором точок розміщення спостерігачів та керувачів системи проблеми оптимального розміщення яких будуть розвязані якщо будуть знайдені явні залежності матриці від елементів множин координат спостерігачів та координат керувачів. Будуть побудовані аналітичні залежності елементів матриці від довільного елемента множини та елемента множини а також формули диференціювання матриці по цих елементах. В процесі розвязання цієї проблеми будуть побудовані формули...

Русский

2013-08-04

335.5 KB

0 чел.

64

 Стоян В.А.

Лекція 8. Дослідження та оптимізація структури дискретизованих динамічних систем

8.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Одним із варіантів розв’язання задач моделювання зовнішньо-динамічної обстановки, в якій функціонує система з розподіленими параметрами є варіант, коли дискретизуються її входи-виходи. Другими словами: варіант цей передбачає, що дискретизовані зовнішньо-динамічні збурення моделюються дискретизованими моделюючими функціями. При цьому проблема знаходження останніх зводиться до обернення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (див. п.3.1.) вигляду

                                   (8.1)

де Сзадана прямокутна матриця розмірності LM, -відомий вектор, а - шуканий розв’язок.

Вище (див. п.7.4.) вказувалося, що структура матриці С та векторів ,  визначається вибором точок розміщення спостерігачів та керувачів системи, проблеми оптимального розміщення яких будуть розв’язані, якщо будуть знайдені явні залежності матриці  від елементів множин  (координат спостерігачів) та  (координат керувачів). Питання побудови цих залежностей ми і вивчимо нижче.

Будуть побудовані аналітичні залежності елементів матриці  від довільного  елемента множини  та елемента  множини , а також формули диференціювання матриці  по цих елементах.

В процесі розв’язання цієї проблеми будуть побудовані формули обернення прямокутних матриць розширених рядком, або стовпчиком з явною аналітичною залежністю результатів такого обернення від початкової матриці та вектор-стовпця (чи вектор-рядка), яким ця матриця розширена.

Поскільки розширення матриці С вектор-рядком означає появу в досліджуваній системі нового спостерігача, а розширення цієї ж матриці новим вектор-стовпцем означає появу в цій же системі нового керувача, то будуть створені умови для дослідження динамічних систем (в дискретизованому варіанті), які допускають розширення (звуження) мережі спостерігачів (керувачів) системи.

8.2. Формули Гревіля обернення прямокутних матриць. Будемо виходити з того, що для довільної прямокутної матриці С розмірності  відома матриця  обернена (псевдообернена) до неї. За умови, що матриця С розширена рядком , маємо

 (8.2)

де , . Доведення формули (8.2) виконаємо використовуючи методику М.Ф. Кириченка та отриманий вище загальний розв’язок (3.26) систем лінійних рівнянь (8.1).

Для доведення формули (8.2) для випадку, коли , а це умова лінійної незалежності вектор-рядка  з рядками матриці С, розглянемо систему

  

яку для зручності запишемо у вигляді

                                     (8.3)

Розв’язок системи (8.3) подамо у вигляді

 

при цьому будемо вимагати, щоб

  

З врахуванням того факту, що , з умови, щоб

            (8.4)

знаходимо

(8.5) Підставивши (8.5) в (8.4) отримаємо тотожність

З умови

заключаємо, що w=0, а отже

Після чого знаходимо

Приводячи останнє співвідношення до вигляду

отримуємо

Звідки і отримаємо першу частину формули (8.2).

Для доведення другої частини формули знайдемо . Для цього будемо виходити з матричного рівняння

яке еквівалентне наступній системі

              (8.6)

Розв’язок системи (8.6), який при довільному  мінімізував би нев’язку u запишемо у вигляді

        (8.7)

Параметр α знайдемо з умови

З умови де

знаходимо

          (8.8)

З врахуванням (8.8 ) з (8.7) знаходимо те

при якому мінімізується нев’язка системи (8.6) і досягається мінімум розв’язку її. Звідки

       (8.9)

З врахуванням того факту, що

        (8.10)

з (8.9) знаходимо другу частину формули (8.2).

Інші варіанти формули (8.2) розглядати не будемо. Зауважимо, однак, що виходячи з (8.2) та (8.9) можна побудувати формулу обернення матриці С розширеної стовпцем а, тобто матриці . З врахуванням (8.9), (8.10) запишемо спочатку цю формулу для матриці . Неважко бачити, що вона буде наступною:

       (8.11)

З отриманого співвідношення з врахуванням того, що

для довільної прямокутної матриці С знаходимо:

       (8.12)

де

Формули (8.2) та їх узагальнення у формі (8.12) дозволяють побудувати рекурентні обчислювальні алгоритми для обернення прямокутних матриць: відштовхуючись від оберненої матриці невеликої розмірності (можливо навіть прямокутної) шляхом розширення останньої на один рядок (стовпчик) з використанням формул (8.2) та (8.12) можна побудувати обернення прямокутної матриці довільної розмірності.

8.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення входів-виходів в дискретизованій лінійній динамічній системі. Як відзначалося в п.8.1, проблема оптимізації розміщення спостерігачів-керувачів за системою, яка зводиться до обернення системи (8.1), буде розв’язана, якщо будуть побудовані формули диференціювання матриці  по координатах  та  спостерігачів та керувачів відповідно.

Для цього будемо виходити з того, що залежність матриці  від координати  визначається, як це видно з визначення (1.22), k-тим рядком матриці . Виділимо тому внесок цього рядка в аналітичне представлення матриці .

Останнє можна зробити скориставшись формулою Гревіля (8.2) для обернення матриці

       (8.13)

де - матриця  без k-го рядка,  множина точок  без k-го елемента, а - k-тий рядок, яким визначається залежність матриці  від k-го елемента множини .

Для того, щоб зручно записати формулу Гревіля до матриці , врахуємо, що k- тий рядок матриці

де - функція Гріна розглядуваної задачі. Далі виконаємо наступні послідовні перетворення формули (8.2) стосовно матриці (8.13)

           

де

Враховуючи, що

 

згідно (8.14) знаходимо

 

Після чого формулу Гревіля (8.2) стосовно матриці (8.13) запишемо у вигляді

    (8.15)

де  

Позначивши через  стовпці матриці  будемо  мати, що

 

Звідки

,

де  - l –стовпець матриці, або l -елемент вектора в залежності від контексту.

А це значить, що можна знайти похідні від стовпчиків (а, отже, і елементів) матриці  Вони будуть наступними:

.

Побудуємо аналітичні залежності похідних від елементів матриці  по k-тому елементу множини . Для цього позначимо через цей елемент,  -множину  без k-го елемента. Крім того, як і вище, позначимо через

   

k-ий стовпець матриці , а через - матрицю  без k-го  стовпця.

Для того, щоб побудувати аналітичні залежності рядків матриці

     (8.17)

від  застосуємо формулу Гревіля до матриці

       (8.18)

маючи на увазі, що

      (8.19)

По аналогії з (8.14) виконаємо це послідовно. Матимемо:

 

       (8.20)

Записуючи, з врахуванням (8.18), формулу Гревіля стосовно матриці (8.17), отримаємо

де

Звідки з врахуванням (8.17), (8.19) знаходимо

 (8.22)

     (8.23)

,

де, як і вище, -стовпець матриці, або m-елемент вектора в залежності від контексту.

Виходячи з (8.22), (8.23) знаходимо і похідні від рядків   (а, отже, і елементів) матриці  по  Вони будуть наступними:

 

де, як і вище,  елемент вектора .

Таким чином побудовані формули диференціювання матриці  по координатах спостерігачів  та керувачів  а отже можуть бути реалізовані градієнтні процедури по оптимізації їх розміщення згідно критерію (7.10), (7.21), а саме:

 

65

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25103. Методы эстетического воспитания 47 KB
  На художественных занятиях педагог дает точные указания показывает или предлагает детям самим найти приемы исполнения и т. Эстетическое воспитание предусматривает специальные приемы для развития творческих способностей включающих качество восприятия и воспроизведения; различение сочетаний цвета формы объема; соотношение музыкальных звуков по их высоте длительности тембру динамике; музыкальный поэтический слух художественный вкус и т. Методические приемы поскольку они относятся к области художественного воспитания должны...
25104. Суррогатное материнство 39 KB
  Для многих семей сегодня не существует проблемы искусственного оплодотворения и с моральной точки зрения. Этический вопрос искусственного оплодотворения интересовал человечество ещё с конца XVII века. Первые попытки искусственного оплодотворения были совершены ещё в середине ХХ ст. Первый успех в области искусственного оплодотворения ученые смогли получить только в 1973 году.
25105. Перші етичні уявлення 39 KB
  Етика входить до складу філософського знання. в праці Нікомахова етика утворив іменник етика та прикметник етичний. Етика виникає в лоні філософії тому вона органічно пов'язана зі всіма основними її розділами: онтологією вченням про буття гносеологією теорією пізнання аксіологією вченням про цінності праксеологією вченням про практику буття людини. З'ясовуючи сенс життя етика повинна вийти на основоположні проблеми буття людини як особистості.
25106. Любов 35 KB
  Любов це завжди подія не залежна від людини. Любов не надається моральним оцінкам. Сенсом людської любові взагалі є виправдання і спасіння індивідуальності через жертву егоїзму. Любов це самовіддача подолання егоїзму.
25107. Российское общество начала XX в. 658.5 KB
  Население России в 1897 г. Смертность населения в России была одной из самых высоких в Европе. Сословия России В начале XX в. Дворян в России называли благородным сословием.
25108. Советско-германский договор о ненападении (август 1939 г.). Советско-финская война 606.5 KB
  в Москве проходили переговоры представителей СССР и англофранцузского блока. Одновременно СССР вел переговоры с Германией. СССР объявил о своём нейтралитете. Кроме того в соответствии с секретным соглашением с Германией СССР получил возможность передвинуть на запад собственные границы.
25109. Ранняя история славянских народов; выделение восточного славянства 335.5 KB
  говорится о том что киевский князь Владимир Святославич захватив Киев и начав в нём княжить ещё до крещения Руси поставил на Горе недалеко от княжеского дворца деревянные идолы богов: Перуна Хорса Дажьбога Стрибога Симергла и Макоши. Языческая религия постепенно переставала быть связующим звеном между различными социальными группами в Киевской Руси Рано или поздно она должна была уступить место другой религии которая могла бы в той или иной мере удовлетворить интересы всех социальных прослоек. Всю культуру Киевской Руси...
25110. Эпоха царя Ивана Грозного. Россия в XVI–начале XVII в. 372.5 KB
  в России было 160 городов. Обмен продуктами в России совершался на основе географического разделения труда. С Востока в России поступали китайские ткани фарфор драгоценности. в России уже было 25 000 стрельцов.