23038

Оптимізаційні методи в задачах моделювання дискретних початково-крайових умов

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Поставлені вище задачі а також запропоновані там алгоритми їх розв’язання досить широкі і можуть бути використані для оптимізації розміщення входіввиходів довільної лінійної системи в тому числі і для розв’язання задачі оптимізації розміщення спостерігачівкерувачів при моделюванні дискретизованих початковокрайових умов дискретно розміщеними фіктивними зовнішньодинамічними збуреннями. Більш точною і більш природною постановкою задачі моделювання дискретизованих початковокрайових умов є...

Русский

2013-08-04

325 KB

0 чел.

74

 Стоян В.А.

Лекція 9. Оптимізаційні методи в задачах моделювання дискретних початково-крайових умов

9.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Поставлені вище задачі, а також запропоновані там алгоритми їх розв’язання досить широкі, і можуть бути використані для оптимізації розміщення входів-виходів довільної лінійної системи, в тому числі і для розв’язання задачі оптимізації розміщення спостерігачів-керувачів при моделюванні дискретизованих початково-крайових умов дискретно розміщеними фіктивними зовнішньо-динамічними збуреннями.

Більш точною і більш природною постановкою задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов є варіант, коли моделюючі функції неперервні в області зміни своїх аргументів. Постановка цієї задачі зроблена в п. 4.1. В наступних пунктах лекції 4 показано, що розв’язання задачі зводиться до обернення системи інтегральних рівнянь вигляду

                                                            (9.1)

де  – дискретизований початково-крайовий стан системи,  – вектор-функція, якою цей стан моделюється, а  – матрична вектор-функція, яка через функцію Гріна пов’язана зі специфікою розглядуваної системи (область інтегрування залежить від постановки конкретної задачі).

Враховуючи, що матрична вектор-функція  суттєво залежить (див. п. 4.1) від точок спостережень  за системою, а також те, що функція ця впливає на точність обернення співвідношень (9.1), в п. 7.2 була поставлена задача оптимізації вибору точок спостереження за системою з умови, щоб

                     (9.2)

де  – множина точок спостереження за системою.

В п. 7.5 запропоновані градієнтні процедури розв’язання задачі (9.2). Там же вказувалось, що процедури ці будуть реалізовані, якщо будуть побудовані аналітичні залежності похідних по  від матричного рядка-функції  – псевдооберненого до матричного стовпця-функції

Для побудови аналітичних залежностей  від  , а отже, і для розв’язання проблеми диференціювання  по , нижче буде запропонований підхід, що грунтується на узагальненнях формул Гревіля на матричні стовпці-функції

9.2. Формули Гревіля для матричних стовпців-функцій. Як і в п. 4.2 лекції 4, в якій будувався загальний розв'язок системи вигляду (9.1), розглянемо спочатку дискретизований варіант системи, поданий співвідношеннями (4.9), а саме

                                   (9.3)

де  – крок дискретизації інтервалу (області) інтегрування в (9.1). Як і в п. 4.2 введемо дорозгляду матричний рядок – функцію дискретного аргументу

  

таку, що

 

;

Зауважимо, що як для функцій неперервного, так і для функцій дискретного аргументу розуміється неявна залежність їх від множити точок .

Враховуючи, що введення до розгляду матричного рядка- функції  дозволило побудувати загальний розв’язок задачі обернення співвідношень (9.1) з неперервними матричними функціями, поширимо формули Гревіля (8.2) спочатку на матричний рядок-функцію дискретного аргументу .

Розширюючи кожен з L-вимірних стовпців-функфій   елементом  застосуємо формули Гревіля (8.2) до матричного рядка

                     (9.5)

Залежність від  не вказується для спрощення записів та викладок, а буде вказана при побудові розрахункових формул для задач оптимізації вибору точок .

Виходячи із структури формули Гревіля (8.2) позначимо через

         (9.6)

де

Після чого, виходячи з (8.2), маємо:

Звідки, позначивши через

для елементів   отримуємо:

де ,

а інші позначення відповідають прийнятим в (9.6).

Для переходу до неперервного випадку будемо виходити із співвідношень (9.8), розглядаючи їх при .

Враховуючи, що по аналогії з (9.4)

з (9.8) отримаємо:

де тепер

 

 

 

Зауважимо, що область інтегрування тут визначається постановою задачі моделювання. В даній лекції область ця співпадає з областю інтегрування у співвідноешннях (9.1).

9.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення спостерігачів у задачі моделювання початково-крайових умов. Для реалізації описаної в п.7.5 градієнтної процедури оптимізації розміщення спостерігачів, координати яких визначаються значеннями будемо виходити з того, що координати ці впливають на розв’язок задачі через вектор-стовпець , що і відобразимо перепозначивши далі на . Врахуємо також, що залежність цієй вектор-функції від координати  визначається її k-им елементом , де  - матрична функція Гріна розглядуваної задачі. Проблему диференціювання  по  розв’яжемо, якщо буде явна залежність вектор-стовпця від .

Для розв’язання поставленої проблеми застосуємо узагальнену формулу Гревіля (9.9) до матричної функції

,

де  – матричний стовпець-функція  без k-го елемента,  – цей елемент, а, як і вище,

При цьому

   (9.10)

де

      (9.11)

       (9.12)

  

Позначивши через   елементи матричного рядка  з врахуванням того, що

з (9.10) – (9.12) знаходимо:

           

при

 

при

при       (9.13)

при

 ,

де  – -елемент матричного рядка

А це значить, що побудовані аналітичні формули диференціювання матричного рядка-функції  по координатах   спостерігачів. Останнє відкриває шлях для реалізації градієнтних процедур оптимізації розміщення спостерігачів розглядуваних систем згідно критерію (7.8), (7.14), (7.15), а саме:

де  – множина псевдорозв'язків відповідної задачі моделювання.

73

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43726. Применение среды программирования LabVIEW для создания виртуального лабораторного практикума 2.39 MB
  Применение среды программирования LbVIEW для создания виртуального лабораторного практикума Обзор литературы по LbVIEW Обзор среды графического программирования LbVIEW LbVIEW как интегрированная среда разработки Виртуальные приборы Передняя панель Блок диаграмма Терминал Узел Провод Порядок выполнения виртуального прибора Типы данных Примером может служить система LbVIEW фирмы Ntionl Instruments. Так например приложения создаваемые в системе LbVIEW занимают примерно 253 Мбайт...
43728. Институт расторжения брака 85.81 KB
  Основание и порядок расторжения брака Глава Расторжение брака в органах записи актов гражданского состояния При взаимном согласии на расторжение брака супругов не имеющих общих несовершеннолетних детей
43729. АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ ООО ЛЕСКОМ 947.5 KB
  Инвестиции играют весьма важную роль в экономике. Они объективно необходимы для стабильного развития экономики, обеспечения устойчивого экономического роста. Активный инвестиционный процесс предопределяет экономический потенциал страны в целом, способствует повышению жизненного уровня населения.
43730. БЕЗОПАСНОСТЬ В ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЯХ 807.08 KB
  Список сокращений: ДП – дипломный проект ХОО – химически опасный объект ОХД – объект хозяйственной деятельности ОХВ – опасное химическое вещество РГР – расчётнографическая работа КИП – контрольноизмерительные приборы ППР плановопредупредительные работы Общие положения В соответствии с п. Необходимо дать определения что такое ОХВ где они используются.6; dплотность ОХВ т м 3 таблица 9[17] d= 0. Мероприятия по защите рабочих и служащих ОХД указать: Выводы: Объект оказался не оказался в зоне химического...
43731. Экономические отношения в рамках международных организаций 291 KB
  На современном этапе развития эта работа является первой по тематике международно-правовых аспектов экономических отношений России и Китая. Таким образом, научную разработанность данной темы нельзя признать достаточной – она требует глубокого анализа
43732. Экономический анализ проведенных проектных работ и их внедрение в условиях предприятия ООО «Агрохмель» 12.55 MB
  Климат хозяйства характеризуется умеренно-прохладным. Солнечных дней в году около 110. Среднегодовая температура воздуха положительная и равна +2,2 градуса Среднегодовое количество осадков 427 мм, а во время вегетационного периода 300-390мм. Почвы в среднем промерзают на 63 см.
43733. Оптимізація виробництва деталі маточина переднього колеса 399.47 KB
  Опис призначення й умов роботи деталі. Хімічний склад механічні властивості матеріалу деталі. Аналіз технологічності деталі. Проектування маршрутного технологічного процесу виготовлення деталі.