23038

Оптимізаційні методи в задачах моделювання дискретних початково-крайових умов

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Поставлені вище задачі а також запропоновані там алгоритми їх розв’язання досить широкі і можуть бути використані для оптимізації розміщення входіввиходів довільної лінійної системи в тому числі і для розв’язання задачі оптимізації розміщення спостерігачівкерувачів при моделюванні дискретизованих початковокрайових умов дискретно розміщеними фіктивними зовнішньодинамічними збуреннями. Більш точною і більш природною постановкою задачі моделювання дискретизованих початковокрайових умов є...

Русский

2013-08-04

325 KB

0 чел.

74

 Стоян В.А.

Лекція 9. Оптимізаційні методи в задачах моделювання дискретних початково-крайових умов

9.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Поставлені вище задачі, а також запропоновані там алгоритми їх розв’язання досить широкі, і можуть бути використані для оптимізації розміщення входів-виходів довільної лінійної системи, в тому числі і для розв’язання задачі оптимізації розміщення спостерігачів-керувачів при моделюванні дискретизованих початково-крайових умов дискретно розміщеними фіктивними зовнішньо-динамічними збуреннями.

Більш точною і більш природною постановкою задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов є варіант, коли моделюючі функції неперервні в області зміни своїх аргументів. Постановка цієї задачі зроблена в п. 4.1. В наступних пунктах лекції 4 показано, що розв’язання задачі зводиться до обернення системи інтегральних рівнянь вигляду

                                                            (9.1)

де  – дискретизований початково-крайовий стан системи,  – вектор-функція, якою цей стан моделюється, а  – матрична вектор-функція, яка через функцію Гріна пов’язана зі специфікою розглядуваної системи (область інтегрування залежить від постановки конкретної задачі).

Враховуючи, що матрична вектор-функція  суттєво залежить (див. п. 4.1) від точок спостережень  за системою, а також те, що функція ця впливає на точність обернення співвідношень (9.1), в п. 7.2 була поставлена задача оптимізації вибору точок спостереження за системою з умови, щоб

                     (9.2)

де  – множина точок спостереження за системою.

В п. 7.5 запропоновані градієнтні процедури розв’язання задачі (9.2). Там же вказувалось, що процедури ці будуть реалізовані, якщо будуть побудовані аналітичні залежності похідних по  від матричного рядка-функції  – псевдооберненого до матричного стовпця-функції

Для побудови аналітичних залежностей  від  , а отже, і для розв’язання проблеми диференціювання  по , нижче буде запропонований підхід, що грунтується на узагальненнях формул Гревіля на матричні стовпці-функції

9.2. Формули Гревіля для матричних стовпців-функцій. Як і в п. 4.2 лекції 4, в якій будувався загальний розв'язок системи вигляду (9.1), розглянемо спочатку дискретизований варіант системи, поданий співвідношеннями (4.9), а саме

                                   (9.3)

де  – крок дискретизації інтервалу (області) інтегрування в (9.1). Як і в п. 4.2 введемо дорозгляду матричний рядок – функцію дискретного аргументу

  

таку, що

 

;

Зауважимо, що як для функцій неперервного, так і для функцій дискретного аргументу розуміється неявна залежність їх від множити точок .

Враховуючи, що введення до розгляду матричного рядка- функції  дозволило побудувати загальний розв’язок задачі обернення співвідношень (9.1) з неперервними матричними функціями, поширимо формули Гревіля (8.2) спочатку на матричний рядок-функцію дискретного аргументу .

Розширюючи кожен з L-вимірних стовпців-функфій   елементом  застосуємо формули Гревіля (8.2) до матричного рядка

                     (9.5)

Залежність від  не вказується для спрощення записів та викладок, а буде вказана при побудові розрахункових формул для задач оптимізації вибору точок .

Виходячи із структури формули Гревіля (8.2) позначимо через

         (9.6)

де

Після чого, виходячи з (8.2), маємо:

Звідки, позначивши через

для елементів   отримуємо:

де ,

а інші позначення відповідають прийнятим в (9.6).

Для переходу до неперервного випадку будемо виходити із співвідношень (9.8), розглядаючи їх при .

Враховуючи, що по аналогії з (9.4)

з (9.8) отримаємо:

де тепер

 

 

 

Зауважимо, що область інтегрування тут визначається постановою задачі моделювання. В даній лекції область ця співпадає з областю інтегрування у співвідноешннях (9.1).

9.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення спостерігачів у задачі моделювання початково-крайових умов. Для реалізації описаної в п.7.5 градієнтної процедури оптимізації розміщення спостерігачів, координати яких визначаються значеннями будемо виходити з того, що координати ці впливають на розв’язок задачі через вектор-стовпець , що і відобразимо перепозначивши далі на . Врахуємо також, що залежність цієй вектор-функції від координати  визначається її k-им елементом , де  - матрична функція Гріна розглядуваної задачі. Проблему диференціювання  по  розв’яжемо, якщо буде явна залежність вектор-стовпця від .

Для розв’язання поставленої проблеми застосуємо узагальнену формулу Гревіля (9.9) до матричної функції

,

де  – матричний стовпець-функція  без k-го елемента,  – цей елемент, а, як і вище,

При цьому

   (9.10)

де

      (9.11)

       (9.12)

  

Позначивши через   елементи матричного рядка  з врахуванням того, що

з (9.10) – (9.12) знаходимо:

           

при

 

при

при       (9.13)

при

 ,

де  – -елемент матричного рядка

А це значить, що побудовані аналітичні формули диференціювання матричного рядка-функції  по координатах   спостерігачів. Останнє відкриває шлях для реалізації градієнтних процедур оптимізації розміщення спостерігачів розглядуваних систем згідно критерію (7.8), (7.14), (7.15), а саме:

де  – множина псевдорозв'язків відповідної задачі моделювання.

73

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8990. Рефлексия как методология в социально-гуманитарном познании 53 KB
  Рефлексия как методология в социально-гуманитарном познании Методология - это область деятельности, функцией которой является создание и совершенствование интеллектуальных средств организации рефлексивных процессов. Поскольку осознанное отношение к ...
8991. Этические проблемы современной российской науки 54.5 KB
  Этические проблемы современной российской науки Социальное поведение регулируется правом и этикой. Право определяет однозначные общественные отношения, в то время как этика служит вектором поведения в неоднозначных, противоречивых ситуациях, н...
8992. Общие проблемы философии науки 168.5 KB
  Общие проблемы философии науки Вопрос № 13: Идеалы и нормы исследования, их социокультурная размерность и роль в научной деятельности. Ответ на вопрос: Научная деятельность, как и любая другая, руководствуется, во-первых, вполне определенным...
8993. Лекции по философии. Соотношение философии и науки по предмету 262.48 KB
  Лекция № 1. Предмет философии. Основная проблема: соотношение философии и науки по предмету. Цель: определить предмет философии как отношение человека к миру, так что аспекты этого отношения (онтологический, гносеологический и аксиологический) опред...
8994. Определение места философии в жизни человека 362.5 KB
  Определение места философии в жизни человека. Основная часть. Хайдеггер М. Основные понятия метафизики. Мамардашвили М. Как я понимаю философию. Соловьев Вл. Исторические дела философии. Бердяев Н.А. Философия как творческий акт. Приложение. Соловье...
8995. Философия античности. Природа души и ее свойства. Мир идеей и его познание 319 KB
  Философия античности. Основная часть. Платон: Природа души и ее свойства. Мир идеей и его познание. Теоретическое знание и философское познание. Философия как стремление к мудрости. Аристотель: О философии. О началах и причинах вещей. Материя и движ...
8996. Философия Средневековья. Теодицея: причины возникновения зла в мире 263 KB
  Философия Средневековья. Основная часть. О философии. Поиск Бога и доказательство Его бытия. Теодицея: причины возникновения зла в мире. Теория познания: вера и разум. Приложение. Библия: Первая книга Моисеева. Бытие. Время и вечность. О сущем и сущ...
8997. Философия Нового времени и Просвещения. Научное познание: методология рационализма 140.5 KB
  Философия Нового времени и Просвещения. Основная часть. Новоевропейская картина мира. Рене Декарт: Научное познание: методология рационализма. Интеллектуальная интуиция. Френсис Бэкон: Цель познания. Экспериментальный метод научного познания. Дж. Ло...
8998. Немецкая классическая философия. Нравственная философия 234.5 KB
  Немецкая классическая философия. Основная часть. И. Кант: Теория познания. Нравственная философия. Г.В.Ф. Гегель: О философии. Наука логики. О природе деалектического. Всемирная история. Основная часть. В конце XVIII - XIX вв. в Германии насту...