23038

Оптимізаційні методи в задачах моделювання дискретних початково-крайових умов

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Поставлені вище задачі а також запропоновані там алгоритми їх розв’язання досить широкі і можуть бути використані для оптимізації розміщення входіввиходів довільної лінійної системи в тому числі і для розв’язання задачі оптимізації розміщення спостерігачівкерувачів при моделюванні дискретизованих початковокрайових умов дискретно розміщеними фіктивними зовнішньодинамічними збуреннями. Більш точною і більш природною постановкою задачі моделювання дискретизованих початковокрайових умов є...

Русский

2013-08-04

325 KB

0 чел.

74

 Стоян В.А.

Лекція 9. Оптимізаційні методи в задачах моделювання дискретних початково-крайових умов

9.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Поставлені вище задачі, а також запропоновані там алгоритми їх розв’язання досить широкі, і можуть бути використані для оптимізації розміщення входів-виходів довільної лінійної системи, в тому числі і для розв’язання задачі оптимізації розміщення спостерігачів-керувачів при моделюванні дискретизованих початково-крайових умов дискретно розміщеними фіктивними зовнішньо-динамічними збуреннями.

Більш точною і більш природною постановкою задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов є варіант, коли моделюючі функції неперервні в області зміни своїх аргументів. Постановка цієї задачі зроблена в п. 4.1. В наступних пунктах лекції 4 показано, що розв’язання задачі зводиться до обернення системи інтегральних рівнянь вигляду

                                                            (9.1)

де  – дискретизований початково-крайовий стан системи,  – вектор-функція, якою цей стан моделюється, а  – матрична вектор-функція, яка через функцію Гріна пов’язана зі специфікою розглядуваної системи (область інтегрування залежить від постановки конкретної задачі).

Враховуючи, що матрична вектор-функція  суттєво залежить (див. п. 4.1) від точок спостережень  за системою, а також те, що функція ця впливає на точність обернення співвідношень (9.1), в п. 7.2 була поставлена задача оптимізації вибору точок спостереження за системою з умови, щоб

                     (9.2)

де  – множина точок спостереження за системою.

В п. 7.5 запропоновані градієнтні процедури розв’язання задачі (9.2). Там же вказувалось, що процедури ці будуть реалізовані, якщо будуть побудовані аналітичні залежності похідних по  від матричного рядка-функції  – псевдооберненого до матричного стовпця-функції

Для побудови аналітичних залежностей  від  , а отже, і для розв’язання проблеми диференціювання  по , нижче буде запропонований підхід, що грунтується на узагальненнях формул Гревіля на матричні стовпці-функції

9.2. Формули Гревіля для матричних стовпців-функцій. Як і в п. 4.2 лекції 4, в якій будувався загальний розв'язок системи вигляду (9.1), розглянемо спочатку дискретизований варіант системи, поданий співвідношеннями (4.9), а саме

                                   (9.3)

де  – крок дискретизації інтервалу (області) інтегрування в (9.1). Як і в п. 4.2 введемо дорозгляду матричний рядок – функцію дискретного аргументу

  

таку, що

 

;

Зауважимо, що як для функцій неперервного, так і для функцій дискретного аргументу розуміється неявна залежність їх від множити точок .

Враховуючи, що введення до розгляду матричного рядка- функції  дозволило побудувати загальний розв’язок задачі обернення співвідношень (9.1) з неперервними матричними функціями, поширимо формули Гревіля (8.2) спочатку на матричний рядок-функцію дискретного аргументу .

Розширюючи кожен з L-вимірних стовпців-функфій   елементом  застосуємо формули Гревіля (8.2) до матричного рядка

                     (9.5)

Залежність від  не вказується для спрощення записів та викладок, а буде вказана при побудові розрахункових формул для задач оптимізації вибору точок .

Виходячи із структури формули Гревіля (8.2) позначимо через

         (9.6)

де

Після чого, виходячи з (8.2), маємо:

Звідки, позначивши через

для елементів   отримуємо:

де ,

а інші позначення відповідають прийнятим в (9.6).

Для переходу до неперервного випадку будемо виходити із співвідношень (9.8), розглядаючи їх при .

Враховуючи, що по аналогії з (9.4)

з (9.8) отримаємо:

де тепер

 

 

 

Зауважимо, що область інтегрування тут визначається постановою задачі моделювання. В даній лекції область ця співпадає з областю інтегрування у співвідноешннях (9.1).

9.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення спостерігачів у задачі моделювання початково-крайових умов. Для реалізації описаної в п.7.5 градієнтної процедури оптимізації розміщення спостерігачів, координати яких визначаються значеннями будемо виходити з того, що координати ці впливають на розв’язок задачі через вектор-стовпець , що і відобразимо перепозначивши далі на . Врахуємо також, що залежність цієй вектор-функції від координати  визначається її k-им елементом , де  - матрична функція Гріна розглядуваної задачі. Проблему диференціювання  по  розв’яжемо, якщо буде явна залежність вектор-стовпця від .

Для розв’язання поставленої проблеми застосуємо узагальнену формулу Гревіля (9.9) до матричної функції

,

де  – матричний стовпець-функція  без k-го елемента,  – цей елемент, а, як і вище,

При цьому

   (9.10)

де

      (9.11)

       (9.12)

  

Позначивши через   елементи матричного рядка  з врахуванням того, що

з (9.10) – (9.12) знаходимо:

           

при

 

при

при       (9.13)

при

 ,

де  – -елемент матричного рядка

А це значить, що побудовані аналітичні формули диференціювання матричного рядка-функції  по координатах   спостерігачів. Останнє відкриває шлях для реалізації градієнтних процедур оптимізації розміщення спостерігачів розглядуваних систем згідно критерію (7.8), (7.14), (7.15), а саме:

де  – множина псевдорозв'язків відповідної задачі моделювання.

73

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30940. Анализ крови 1.09 MB
  Кровь разных видов животных. Кровь берётся у крупных животных из ярёмной вены у КРС из хвостовой артерии. Для исследования кровь обрабатывают гепарином. Затем разбавляем раствор и исследованной кровью до цвета стандарта той же соляной кислотой и определяют содержание гемоглобина в грамм количество граммов гемоглобина в 100 мл крови или в единицах Сали.
30941. АНТИСЕПТИКА 111.5 KB
  АНТИСЕПТИКА Антисептика лат. В истории хирургии параллельно разрабатывались два пути борьбы с хирургической инфекцией: уничтожение микробного фактора попавшего в рану или ткани организма антисептика и предупреждение попадания микробов в рану – асептика. Это обстоятельство не было случайным поскольку как асептика так и антисептика направлены на борьбу с микробным фактором и часто основаны на одних и тех же способах воздействия на микробную клетку т. Современная антисептика Благодаря успехам химии для лечения гнойных ран и инфекционных...
30942. Математичне програмування 153.39 KB
  Введемо в розгляд нове поняття — визначник квадратної матриці порядка n .Для цього попередньо покажемо, як шукаються визначники І — 3 порядків, тобто визначники квадратних матриць 1—3 порядків.Визначник першого порядку — це сам елемент аll: Визначником другого порядку називається число
30943. Начальный этап политической централизации Руси 24.91 KB
  Иван Калита 1345-1340 Сумел подавить восстание в Твери и получил ярлык на великое княжение с правом сбора дани на своих землях речь шла о Москве я полагаю часть из которых он утаивал. вид пожалования великих и удельных князей своим должностным лицам по которому княжеская администрация содержалась за счёт местного населения в течение периода службы Такую систему мог себе позволить только Иван.
30944. Бизнес-план строительства гостиницы 188.5 KB
  Отрасль гостиничного сервиса является одной из отраслей сферы услуг, которая развивается быстрыми темпами. При этом мест в гостиницах г.Москвы по приемлемым для лиц, прибывших из провинции в командировки или о личным делам (а именно они являются основными клиентами таких гостиниц, которая проектируется) катастрофически не хватает, по этой причине гостиница вполне может заполнить имеющуюся нишу на рынке сбыта при условии проведения активной маркетинговой политики.
30945. Организация кафе быстрого обслуживания 244.23 KB
  Бизнес-план является постоянным документом; он систематически обновляется, в него вносятся изменения, связанные как с переменами, происходящими внутри фирмы, так и на рынке, где действует фирма.
30946. Антибиотики и их приготовление 441 KB
  Однако при биосинтезе пенициллина лучшим источником серы для продуцента служит тиосульфат натрия. Биосинтезу ряда антибиотических веществ хлорамфеникола стрептомицина пенициллина и др. Подробное описание технологического процесса на примере производства пенициллина приведено в следующей главе. Производство пенициллина Пенициллин был открыт в 1929 г.
30947. Червячные передачи 287 KB
  Обычно червячная передача состоит из червяка 1 и сопряженного с ним червячного колеса 2. Червячная передача также как и винтовая характеризуется относительно высокими скоростями скольжения витков червяка по зубьям червячного колеса. Недостатки червячных передач обусловлены большими скоростями скольжения витков червяка по зубьям червячного колеса а также значительными осевыми силами действующими на валах передачи. Классификация червячных передач: по направлению линии витка червяка – правые при наблюдении с торца червяка и его вращении...
30948. Предмет психодиагностики. Цели задачи область применения психодиагностики 261 KB
  прогнозирование перспектив индивидуального развития и возможных отклонений от его закономерного хода. В зависимости от конкретного случая психодиагност проводит обследование потерпевших подозреваемых или свидетелей и формулирует психологическое заключение о тех или иных качествах личности уровне интеллектуального развития психофизиологических особенностях и т. Формулировка заключений например об уровне психического развития. Для его определения сопостався результаты тестя с уровнем развития измеряемого признака качества личности на...