23038

Оптимізаційні методи в задачах моделювання дискретних початково-крайових умов

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Постановка задачі та проблеми її розвязання. Поставлені вище задачі а також запропоновані там алгоритми їх розвязання досить широкі і можуть бути використані для оптимізації розміщення входіввиходів довільної лінійної системи в тому числі і для розвязання задачі оптимізації розміщення спостерігачівкерувачів при моделюванні дискретизованих початковокрайових умов дискретно розміщеними фіктивними зовнішньодинамічними збуреннями. Більш точною і більш природною постановкою задачі моделювання дискретизованих початковокрайових умов є...

Русский

2013-08-04

325 KB

0 чел.

74

 Стоян В.А.

Лекція 9. Оптимізаційні методи в задачах моделювання дискретних початково-крайових умов

9.1. Постановка задачі та проблеми її розв’язання. Поставлені вище задачі, а також запропоновані там алгоритми їх розв’язання досить широкі, і можуть бути використані для оптимізації розміщення входів-виходів довільної лінійної системи, в тому числі і для розв’язання задачі оптимізації розміщення спостерігачів-керувачів при моделюванні дискретизованих початково-крайових умов дискретно розміщеними фіктивними зовнішньо-динамічними збуреннями.

Більш точною і більш природною постановкою задачі моделювання дискретизованих початково-крайових умов є варіант, коли моделюючі функції неперервні в області зміни своїх аргументів. Постановка цієї задачі зроблена в п. 4.1. В наступних пунктах лекції 4 показано, що розв’язання задачі зводиться до обернення системи інтегральних рівнянь вигляду

                                                            (9.1)

де  – дискретизований початково-крайовий стан системи,  – вектор-функція, якою цей стан моделюється, а  – матрична вектор-функція, яка через функцію Гріна пов’язана зі специфікою розглядуваної системи (область інтегрування залежить від постановки конкретної задачі).

Враховуючи, що матрична вектор-функція  суттєво залежить (див. п. 4.1) від точок спостережень  за системою, а також те, що функція ця впливає на точність обернення співвідношень (9.1), в п. 7.2 була поставлена задача оптимізації вибору точок спостереження за системою з умови, щоб

                     (9.2)

де  – множина точок спостереження за системою.

В п. 7.5 запропоновані градієнтні процедури розв’язання задачі (9.2). Там же вказувалось, що процедури ці будуть реалізовані, якщо будуть побудовані аналітичні залежності похідних по  від матричного рядка-функції  – псевдооберненого до матричного стовпця-функції

Для побудови аналітичних залежностей  від  , а отже, і для розв’язання проблеми диференціювання  по , нижче буде запропонований підхід, що грунтується на узагальненнях формул Гревіля на матричні стовпці-функції

9.2. Формули Гревіля для матричних стовпців-функцій. Як і в п. 4.2 лекції 4, в якій будувався загальний розв'язок системи вигляду (9.1), розглянемо спочатку дискретизований варіант системи, поданий співвідношеннями (4.9), а саме

                                   (9.3)

де  – крок дискретизації інтервалу (області) інтегрування в (9.1). Як і в п. 4.2 введемо дорозгляду матричний рядок – функцію дискретного аргументу

  

таку, що

 

;

Зауважимо, що як для функцій неперервного, так і для функцій дискретного аргументу розуміється неявна залежність їх від множити точок .

Враховуючи, що введення до розгляду матричного рядка- функції  дозволило побудувати загальний розв’язок задачі обернення співвідношень (9.1) з неперервними матричними функціями, поширимо формули Гревіля (8.2) спочатку на матричний рядок-функцію дискретного аргументу .

Розширюючи кожен з L-вимірних стовпців-функфій   елементом  застосуємо формули Гревіля (8.2) до матричного рядка

                     (9.5)

Залежність від  не вказується для спрощення записів та викладок, а буде вказана при побудові розрахункових формул для задач оптимізації вибору точок .

Виходячи із структури формули Гревіля (8.2) позначимо через

         (9.6)

де

Після чого, виходячи з (8.2), маємо:

Звідки, позначивши через

для елементів   отримуємо:

де ,

а інші позначення відповідають прийнятим в (9.6).

Для переходу до неперервного випадку будемо виходити із співвідношень (9.8), розглядаючи їх при .

Враховуючи, що по аналогії з (9.4)

з (9.8) отримаємо:

де тепер

 

 

 

Зауважимо, що область інтегрування тут визначається постановою задачі моделювання. В даній лекції область ця співпадає з областю інтегрування у співвідноешннях (9.1).

9.3. До реалізації алгоритмів оптимізації розміщення спостерігачів у задачі моделювання початково-крайових умов. Для реалізації описаної в п.7.5 градієнтної процедури оптимізації розміщення спостерігачів, координати яких визначаються значеннями будемо виходити з того, що координати ці впливають на розв’язок задачі через вектор-стовпець , що і відобразимо перепозначивши далі на . Врахуємо також, що залежність цієй вектор-функції від координати  визначається її k-им елементом , де  - матрична функція Гріна розглядуваної задачі. Проблему диференціювання  по  розв’яжемо, якщо буде явна залежність вектор-стовпця від .

Для розв’язання поставленої проблеми застосуємо узагальнену формулу Гревіля (9.9) до матричної функції

,

де  – матричний стовпець-функція  без k-го елемента,  – цей елемент, а, як і вище,

При цьому

   (9.10)

де

      (9.11)

       (9.12)

  

Позначивши через   елементи матричного рядка  з врахуванням того, що

з (9.10) – (9.12) знаходимо:

           

при

 

при

при       (9.13)

при

 ,

де  – -елемент матричного рядка

А це значить, що побудовані аналітичні формули диференціювання матричного рядка-функції  по координатах   спостерігачів. Останнє відкриває шлях для реалізації градієнтних процедур оптимізації розміщення спостерігачів розглядуваних систем згідно критерію (7.8), (7.14), (7.15), а саме:

де  – множина псевдорозв'язків відповідної задачі моделювання.

73

Курс лекцій по моделюванню динаміки систем з розподіленими параметрами


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54783. Створення та діяльність ОУН 103.5 KB
  Мета: познайомити учнів з процесом створення ОУН розкрити зміст діяльності організації з׳ясувати тактику та стратегію боротьби розвивати вміння працювати з історичними джерелами аналізувати історичний матеріал сприяти розвитку критичного осмислення історичних подій виховувати в дусі толерантності. Тип уроку: урок формування знань умінь та навичок Обладнання: підручник роздатковий матеріал схеми Створення ОУН та Розкол ОУН Основні поняття та терміни: інтегральний націоналізм націоналізм ОУН. Очікувані результати Учні...
54784. Our Unique Planet 38 KB
  As a warming up exercise for today I have prepared a short practicing in reading. Look at the monitors. The words will be there for only two seconds and your task is to read them correctly. Read aloud and think carefully. We’ll see who the champion is! And your home task was to speak about the beauty of the world and to write colour poems. It’s time to check it and listen to you.
54785. Озера і лимани. Особливості гідрологічного режиму. Водосховища 155.5 KB
  Мета: сформувати в учнів уяву про озера, лимани, водосховища України, їх походження, гідрологічний режим та екологічні проблеми; розглянути проблему доцільності створення водосховищ; розвивати навички роботи з тематичними і контурними картами; сприяти розширенню знань географічної номенклатури; закріпити знання отримані в курсі географії 6 класу при вивченні тем: «Озера, типи озерних улоговин», «Водосховища, їхня роль у господарському комплексі».
54786. Озера, болота і штучні водойми України 63 KB
  Мета уроку: навчальна: сформувати в учнів уявлення про основні озера болота водосховища України; загальні риси гідрологічного режиму та роботи озер водосховища України; розвивальна: розвивати вміння учнів аналізувати тематичні карти; виховна: сприяти розвитку навичок мислення високого порядку критичного мислення;сприяти формуванню екологічної культури особистості.
54788. МУЗЕЙ ОЦТУ 448 KB
  Вони протягом декількох місяців збирали інформацію про оцет його історію виробництво застосування значення. Застосування оцтової кислоти Різновиди оцту Виробництво оцту Оцет в моєму домі: практичні поради Оцтова кулінарія Оцтове дерево Оцет як хобі Оцет для краси Оцет помічник здоровя Оцтові історії Оцет в мистецтві Висловлювання про оцет Деякі експозиції Музею оцту є також в електронному варіанті зроблені за допомогоб програми РоwerPoint. Оцет грец. όος Ще більше 4000 років тому в Стародавньому Єгипті...
54789. Північна Америка. Фізико-географічне положення. Історія відкриття й дослідження материка 35 KB
  Мета уроку: сформувати знання про фізикогеографічне положення особливості берегової лінії історію відкриття та дослідження материка Північна Америка; удосконалювати вміння працювати з картоювизначати географічні координати; розвивати увагу уяву зорову память логічне мислення; виховувати інтерес до пізнання нового. До цього ви ознайомилися з чотирма материками. Сьогодні на уроці ми з вами більш детально ознайомимося з особливостями географічного положення материка Північна Америка та...
54790. Пагін, його будова. Стебло – вісь пагона 37.5 KB
  Цілі: Сформувати в учнів поняття про пагін основний надземний орган рослини що складається із стебла листків і бруньок познайомити з видами бруньок продовжити формування умінь і навичок виконання і оформлення лабораторної роботи. Що ж головне корінь чи пагін Давайте послухаємо байку Михайла Старицького Коріння та пагін.
54791. Особенности рынков ресурсов 18.98 KB
  Факторы производства — экономические ресурсы, участвую­щие в производстве товаров и услуг. Под экономическими ре­сурсами понимают людские ресурсы (труд и предприниматель­ская способность) и материальные ресурсы (земля и капитал)