2306

Система Mathcad. Основні математичні операції

Лекция

Математика и математический анализ

Алгебричні обчислення. Обчислення похідної, первісної, означеного інтегралу. Вирішення нелінійних алгебричних рівнянь. Обчислення систем лінійних алгебричних рівнянь.

Украинкский

2013-01-06

117.23 KB

136 чел.

Лекція №9. Система Mathcad. Основні математичні операції

План

  1.  Алгебричні обчислення.
  2.  Обчислення похідної, первісної, означеного інтегралу.
  3.  Розв’язування нелінійних алгебричних рівнянь.
  4.  Розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь.

1. Алгебричні обчислення.

Кожен оператор в Mathcad означає деяку математичну дію у вигляді символу. Символ будь-якого оператора вводиться в потрібне місце документа одним із двох способів:

  1.  натисканням відповідної клавіші на клавіатурі;
  2.  натисканням вказівника миші на відповідну кнопку на одній із математичних панелей .

Розглянемо більш детально дію операторів MathCad.

Арифметичні оператори

Оператори, які означають основні арифметичні дії, вводяться з панелі Calculator:

  1.  додавання та віднімання;
  2.  множення та ділення; 
  3.  обчислення факторіалу;
  4.  обчислення модуля числа;
  5.  обчислення квадратного кореня;
  6.  обчислення кореня n-го степеня;
  7.  піднесення числа x до степеня y;
  8.  зміна пріоритету виконання операцій: дужки.

Обчислювальні оператори

Обчислювальні оператори вставляються в документи за допомогою панелі Calculus. Після натискання будь-якої кнопки панелі в документі з’являється символ відповідної математичної дії з декількома місцезаповнювачами. Кількість та розташування місцезаповнювачів визначається типом оператора і повністю відповідає їх загальноприйнятому математичному запису. Наприклад, при вставці оператора суми необхідно задати чотири величини: змінну, по якій потрібно провести сумування, нижню та верхню межі сумування, а також сам вираз, який буде розміщений під знаком суми.

Після введення будь-якого обчислювального оператора є можливість обчислити його значення чисельно натисканням клавіші<=>, або аналітично за допомогою оператора символьного виведення. 

Логічні оператори

Результатом дії логічних операторів є тільки числа 1 (якщо логічний вираз істина) та 0 (якщо логічний вираз хибний). Логічні оператори: 

  1.  більше x>y;
  2.  менше x<y;
  3.  більше аба дорівнює;
  4.  менше або дорівнює;
  5.  дорівнює;
  6.  не дорівнює;
  7.  і (and);
  8.  або (or);
  9.  заперечення (not).

Матричні оператори

Матричні оператори призначені для виконання дій над матрицями та векторами. Для того, щоб вставити матрицю в документ MathCad, необхідно:

  1.  Натиснути кнопку Matrix or Vector (Матрица или вектор) на панелі Matrix (Матрица) , або клавіші <Ctrl>+<M>, або виберіть пункт меню Insert/Matrix (Вставка/Матрица).
  2.  У вікні діалогу Insert Matrix (Вставка матрицы) задайте ціле число стовпців та рядків матриці, яку хочете створити.
  3.  Натисніть кнопку ОК або Insert (Вставить) – в результаті в документ буде вставлена заготовка матриці з визначеним числом рядків та стовпців.
  4.  Введіть значення в місцезаповнювачі елементів матриці. Переходити від одного елемента матриці до іншого можна за допомогою вказівника миші або клавіш із стрілками.

Оператори виразу

Обчислювальні оператори згруповані на панелі Evaluation (Вычисления). Це:

  1.  чисельне виведення (=);
  2.  символьне виведення ();
  3.  присвоєння (:=);
  4.  глобальне присвоєння ().

Mathcad містить велику кількість вбудованих функцій. Ми не будемо детально розглядати всі функції , а лише перерахуємо їх основні типи.

Елементарні функції

Сюди відносяться добре відомі групи стандартних функцій:

  1.  Exponential and logarithmic function (Логарифми та експонента);
  2.  Complex (Комплексні);
  3.  Trigonometric (Тригонометричні);
  4.  Invers trig (Обернені тригонометричні);
  5.  Hyperbolic (Гіперболічні);
  6.  Invers hyperbolic (Обернені гіперболічні).

Допоміжні функції

MathCad має ряд допоміжних функцій, які в багатьох ситуаціях полегшують обчислення. Це такі:

  1.  Discontinuous (Розривні функції);
  2.  Round-off-and truncation (Скорочення та заокруглення);
  3.  Sorting (Сортування);
  4.  Strings (Рядкові;
  5.  Finance functions (Фінансові);
  6.  Coordinate transform (Перетворення координат);
  7.  Conditional (Умови);
  8.  Expression type (Типу виразу).

Спеціальні функції

В Mathcad вбудовано множину різних математичних функцій, які поповнюються від версії до версії. Спеціальні функції в Mathcad розбиті на декілька груп:

  1.  Bessel (Функції Бесселя);
  2.  Error function and complementary error function (Інтеграли помилок);
  3.  Special function (Решта спеціальні функції).

В системі Mathcad алгебраїчні обчислення виконуються, головним чином, аналітично. Як не дивно, але більшість користувачів Mathcad не дуже добре проінформовані про ці можливості, тоді як вони могли би суттєво зекономити свій час і сили, затрачені на виконання всіляких перетворень математичних виразів.

Символьні обчислення

Символьні обчислення в Mathcad можна виконувати:

  1.  за допомогою команд меню;
  2.  за допомогою оператора символьного виводу , ключових слів символьного процессора та звичайних формул.

Перший спосіб більш зручний тоді, коли потрібно швидко отримати аналітичний результат для одноразового використання, не зберігаючи хід обчислень. Другий спосіб дозволяє записувати вирази в традиційній математичній формі і зберігати символьні обчислення в документах Mathсad. Символьний процесор Mathсad може виконувати основні алгебричні перетворення, такі, як спрощення виразів, розкладання їх на множники, символьне обчислення суми та добутку.

Для символьних обчислень за допомогою команд призначено головне меню Symbolics ( Символіка) , яке об’єднує математичні операції, які Mathсad вміє виконувати аналітично.

Для реалізації другого способу використовуються всі засоби Mathсad , наприклад, панелі Calculator, Evaluation і т.д., та спеціальна математична панель SymbolicsKeyword Toolbar ( Панель символіки). На цій панелі знаходяться кнопки, які відповідають специфічним командам символьних перетворень.

Розглянемо обидва типи символьних обчислень на простому прикладі розкладання на множники виразу .

Перший спосіб.

  1.  Введіть вираз .
  2.  Виділіть його повністю.
  3.  Виберіть в головному меню пункти Symbolics/Expand (Символика/Разложить).

Після цього результат розкладання виразу появиться нижче у вигляді ще одного рядка.

Другий спосіб.

  1.  Введіть вираз .
  2.  Натисніть кнопку Expand (Разложить) на панелі Symbolics (Символика) .
  3.  Введіть в місце заповнювач після слова expand ім’я змінної x або натисніть клавішу <Del>, щоб просто вилучити місцезаповнювач.
  4.  Введіть оператор символьного виводу .
  5.  Натисніть клавішу <Enter>або просто клацніть мишею за межами виразу.

Не кожен вираз піддається аналітичним перетворенням. Якщо так, то (або задача зовсім не має аналітичного розв’язку, або вона є надто складною для символьного процесора Mathcad ) як результат, виводиться початковий вираз.

Спрощення виразів

Символьний процесор Mathcad перетворює вирази таким чином, що вони набувають більш простішого вигляду. При цьому використовуються різні арифметичні формули, зведення подібних доданків, тригонометричні тотожності, перерахунок обернених функцій та ін. Щоб спростити вираз за допомогою меню, необхідно:

  1.  Ввести вираз.
  2.  Виділити вираз повністю або його частину, яку необхідно спростити.
  3.  Вибрати команду Symbolics/Simplify (Символика/Упростить).

Для спрощення виразів за допомогою оператора символьного виводу використовується ключове слово simplify . Якщо деяким змінним, які входять до виразу, раніше були присвоєні деякі значення, то вони будуть підставлені у вираз при виконанні символьного виводу.

Приклад 1. Спрощення виразу

Приклад 2. Спрощення виразу з підстановкою значень змінних

Приклад 3. Спрощення виразу з числами

Найбільш яскравим прикладом можливостей символьного процесора Mathcad є аналітичне обчислення границь, похідних, інтегралів, розкладання в ряди, обчислення сум та добутків, а також розв’язування алгебричних рівнянь. Всі ці операції , при виконанні їх засобами меню Symbolics (Символика), знаходяться в його підменю Variable (Переменная). Відповідно, вимагається попереднє виділення у виразі змінної, відносно якої буде виконуватись операція. Для виділення змінної достатньо помістити її між лініями вводу,але для більшої наочності краще виділити її чорним кольором шляхом протягування вказівки миші через потрібну частину виразу.

Приклад 4. Приклади обчислення границь

 

 

Для того, щоб обчислити аналітично скінченні або нескінченні суму або добуток, необхідно:

  1.  ввести вираз, використовуючи панель Calculus (Вычисления) для вставки відповідних символів суми і добутку;
  2.  виберіть команду Symbolics/Simplify (Символика/Упростить) або введіть оператор символьного виводу .

Приклад 5. Приклади символьного та чисельного обчислення

  сум та добутків

Обчислення виразів з плаваючою крапкою.

 Для організації обчислень з плаваючою крапкою передбачене спеціальне ключове слово float, яке вводиться з панелі Symbolic (Символика) разом із значенням точності виводу результату з плаваючою крапкою.

        

2. Обчислення похідної, первісної, означеного

 інтегралу

Операція диференціювання реалізована в MathCad як в чисельній, так і в аналітичній формах. На відміну від всіх інших операцій, символьне диференціювання виконується успішно для більшості аналітично заданих функцій.

Для того, щоб аналітично знайти похідну функції f(x) в MathCad, необхідно:

  1.  Задати функцію f(x).
  2.  Ввести оператор диференціювання за допомогою натискання кнопки Derivative (Производная) на панелі Calculus (Вычисления) або ввести з клавіатури знак запитання <?>.
  3.  В місце заповнювачі оператора диференціювання ввести функцію f(x) та ім’я аргумента x.
  4.  Ввести оператор символьного обчислення , або виконати операцію simplify, вибравши її на математичній панелі Symbolic , та натиснути клавішу Enter.

Приклад 1. Приклад аналітичного диференціювання

 

Обчислення похідної в точці

Для того, щоб обчислити похідну в точці, потрібно попередньо задати значення аргумента. Результатом диференціювання в цьому випадку буде число – значення похідної в цій точці. Якщо результат вдалося відшукати аналітично, то він приводиться у вигляді числового виразу, а для того, щоб отримати його у формі числа, достатньо ввести після отриманого виразу символ чисельної рівності <=>.

Приклад 2. Приклад аналітичного диференціювання функції в

  точці

Щоб аналітично продиференціювати вираз за деякою змінною за допомогою меню, необхідно виділити у виразі цю змінну та вибрати команду Symbolics/Variable/Differetiate (Символика/ Переменная/ Дифференцировать).

Чисельне диференціювання

Для того, щоб чисельно продиференціювати функцію f(x) в точці, потрібно використати оператор чисельного виводу:

  1.  Визначити точку x, в якій буде обчислена похідна, наприклад x:=2.
  2.  Ввести оператор диференціювання і звичним чином заповнити місцезаповнювачі.
  3.  Ввести оператор чисельного виводу результату <=>.

Приклад 3. Приклад чисельного диференціювання функції в

  точці

 

Обчислення означеного інтегралу

Інтегрування, як і диференціювання, і як більшість інших математичних дій, влаштовано в Mathсad за принципом “як пишеться, так і вводиться” . Щоб обчислити означений інтеграл, необхідно ввести звичну математичну форму в документ за допомогою панелі Calculus (Вычисления) , на якій натиснути кнопку із значком інтеграла або введенням з клавіатури комбінації клавіш <Shift>+<7> , або символа <&>, що те ж саме. В результаті появиться символ інтегралу з декількома місцезаповнювачами, в які необхідно ввести нижню та верхню межі інтегрування, підінтегральну функцію та змінну інтегрування. Щоб отримати результат інтегрування, необхідно ввести знак рівності або символьної рівності. В першому випадку інтегрування буде виконано чисельним методом, а в другому – у випадку успішного результату, буде знайдено точне значення інтегралу за допомогою символьного процесора Mathcad.

Приклад 4. Приклад чисельного та символьного обчислення

  означеного інтегралу

    

Обчислення первісної

Задача знаходження первісної пов’язана з пошуком функції, похідна від якої дорівнює підінтегральній функції. Розв’язок цієї задачі повністю покладено на символьний процесор Mathсad.

Для того, щоб аналітично проінтегрувати деяку функцію, необхідно ввести з панелі Calculus (Вычисления) символ неозначеного інтегралу, заповнити місцезаповнювачі та ввести знак символьної рівності . Справа від введеного виразу появиться його аналітичний результат. Якщо ж функцію не вдалося проінтегрувати, то буде продубльовано введений вираз.

Приклад 5. Аналітичне обчислення неозначеного інтегралу

 

Для обчислення неозначеного інтегралу від деякого виразу за визначеною змінною за допомогою меню, необхідно виділити у виразі цю змінну та вибрати команду Symbolics/Variable/Integrate (Символика/ Переменная/ Интегрировать).

3. Розв’язування нелінійних алгебричних рівнянь

 Велика кількість задач обчислювальної математики пов’язана з розв’язуванням нелінійних алгебричних рівнянь. Постановка задачі наступна:

Нехай маємо алгебричне рівняння з невідомим :

, де - деяка функція.

Необхідно знайти корені рівняння, тобто всі значення , які після підстановки їх в рівняння перетворюють його в тотожність.

Відносно невелику кількість задач знаходження коренів алгебричних рівнянь можна розв’язати аналітично. На практиці ж майже завжди доводиться шукати розв’язок за допомогою чисельних методів.

Для розв’язування алгебричних рівнянь в системі MathCad використовується спеціальний обчислювальний блок Givtn/Find (Дано/Знайти), який складається із трьох частин, записаних послідовно одна за одною:

  1.  Given- ключове слово;
  2.  Рівняння, записане за допомогою логічних операторів;
  3.  Find() – вбудована функція для розв’язування рівняння.

Вставляти логічні оператори потрібно з панелі інструментів Boolean. Якщо ви хочете ввести логічний знак дорівнює з клавіатури, то необхідно натиснути комбінацію клавіш <Ctrl>+<=>. Значення функції Find Буде представляти собою матрицю із можливих розв’язків по кожній змінній, причому кількість рядків цієї матриці буде дорівнювати числу аргументів функції Find. Пояснимо сказане на прикладі.

Приклад 1. Аналітичний розв’язок кубічного рівняння

Приклад 2. Аналітичний пошук нулів функції

Для розв’язування рівняння з одним невідомим в MathCad крім обчислювального блоку Givtn/Find передбачена вбудована функція root , яка в залежності від типу задачі, може містити або два, або чотири аргументи і, відповідно, використовувати різні алгоритми пошуку коренів рівняння:

  1.  root(f(x),x)
  2.  root(f(x), x, a, b)

Приклад 3. Розв’язати нелінійне рівняння  :

  1.  привести рівняння до вигляду : права частина =0;
  2.  протабулювати функцію на проміжку з кроком ;
  3.  побудувати графік функції, на екрані отримати:

 

  1.  на графіку визначити наближене значення кореня рівняння x=0.6 ;
  2.  використати функцію Root(f(x),x), на екрані отримати:

 

  1.  розвязок рівняння: 0.616 .

4. Розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь

Розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь є однією з головних проблем обчислювальної лінійної алгебри. Задачу розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь можна записати в матричній формі , де – матриця коефіцієнтів СЛАР, вектор невідомих, вектор правих частин рівнянь. З курсу лінійної алгебри відомо, що така система має єдиний розв’язок, якщо матриця A невироджена, або несингулярна, тобто її визначник не дорівнює нулю.

Найпростіший спосіб розв’язування будь-якої несингулярної системи- використання алгоритму Гауса, який реалізований в системі Mathсad у вбудованій функції lsolve.

Приклад 1. Розвязати СЛАР за допомогою функції lsolve.:

  1.  Сформувати матрицю коефіцієнтів при змінних А:
    1.  набрати А: ;
    2.  виконати комнду Матрица в меню Вставка (або натиснути кнопку палітри векторів та матриць);
    3.  задати потрібне число рядків та стовпців (3 рядки, 3 стовпці);
    4.  натиснути кнопку Вставить;
    5.  заповнити мітки потрібними величинами . Натискання на клавішу Тав здійснює переміщення до інших місцезаповнювачів;
    6.  на екрані отримати .
  2.  Сформувати матрицю-стовпець (вектор) вільних членів, на екрані отримати

 ;

  1.  отримати результат з використанням функції lsolve

 .

Розвязування СЛАР матричним способом

Приклад 2. Розвязати СЛАР матричним способом:

Сформувати матрицю коефіцієнтів при змінних А:

  1.  Набрати А: та виконати комнду Матрица в меню Вставка (або натиснути кнопку палітри векторів та матриць);
  2.  задати потрібне число рядків та стовпців (3 рядки, 3 стовпці);
  3.  натиснути кнопку Вставить;
  4.  заповнити мітки потрібними величинами . Натискання на клавішу Тав здійснює переміщення до інших місцезаповнювачів;
  5.  на екрані отримати .
  6.  Сформувати матрицю-стовпець (вектор) вільних членів, на екрані отримати

 ;

  1.  Знайти вектор невідомих (розв’язок системи):
  2.  набрати
  3.  отримати результат ;
  4.  зробити перевірку: .

Розвязування СЛАР за допомогою обчислювального блоку

 Given /Find

Для того, щоб чисельним методом розв’язати СЛАР, необхідно після ключового слова given виписати систему, користуючись логічними операторами. Дуже важливо при використанні обчислювального блоку Given /Find всім невідомим необхідно присвоїти початкові значення.

 Приклад 3. Розвязати СЛАР таким чином:

  1.  задати початкові значення невідомих (як правило, ці значення формують із вільних членів системи). Ввести: 
  2.  ввести блок (знак “=” в рівняннях системи вводиться не з клавіатури, а з палітри відношень та бульових функцій):

 given

 

 find(x,y,z)=.

Розв’язування систем нелінійних алебричних рівнянь розглянемо на прикладі.

Приклад 4. Розв’язати систему нелінійних рівнянь

  таким чином:

  1.  зводимо кожне з рівнянь до виду

  та

 

  1.  табулюємо функції на проміжку та будуємо графіки функцій :

  

  1.  на графіку визначаємо наближення до коренів та знаходимо розв’язок за допомогою блоку Given/Find:

 

Given

 (знак =в рівняннях системи вводиться з панелі Boolean)

Find(x1,x2)=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28445. Особенности договорных отношений и оформление договорной документации между юридическими лицами и участниками туристской деятельности 29.5 KB
  Договоры с авиа компаниями могут быть трех видов: договор на квоту мест на регулярных авиа рейсах; агентское соглашение; чартер аренда самолета. Договор на квоту мест на регулярных авиа рейсах. Квота мест может быть жесткой или мягкой. При жесткой квоте мест вся ответственность за не реализацию мест падает на туристскую фирму независимо от причины не реализации.
28446. Технология составления и основное содержание туристской документации 43.5 KB
  В набор технологической документации для каждого тура обязательно включаются: технологическая карта туристского путешествия по маршруту; график загрузки туристского предприятия группами туристов на определенное время; информационный листок к путевке туристского путешествия; бланки путевок типовой формы ТУР1 Туристская путевка утвержденной Минфином России; лист бронирования см. Технологическая карта туристского путешествия это документ наглядно и лаконично дающий все необходимые для работы сведения и данные по туру...
28447. Порядок движения документов в организациях социально 32 KB
  Порядок движения документов в организациях социальнокультурного сервиса и туризма. Документооборот д о – это движение документов в организации с момента создания или получения до отправки или передачи их на хранение. Основой структуры любого документооборота является документ комплекс документов связанный процессов управления разных уровней и автоматической обработкой. Единый маршрут для одного вида документов или совокупности документов образует документопоток.
28448. Особенности договорных отношений и оформление договор 33.5 KB
  Турфирмы же туроператоры и турагенты это организации занимающиеся деятельностью по формированию продвижению и реализации или только по продвижению и реализации туристского продукта. В соответствии со статьей 9 Закона о туризме туроператор при формировании и продвижении туристского продукта приобретает право на услуги входящие в тур на основании договоров с лицами предоставляющими отдельные услуги или с туроператором по приему туристов обеспечивающим предоставление всех видов услуг входящих в тур. Порядок реализации туристского...
28450. Связь цен с различными экономическими показателями: спрос, затраты, деятельность конкурирующих предприятий, качество 120.5 KB
  К факторам влияющим на цену относятся: существующий или создаваемый спрос размер понесенных затрат деятельность конкурирующих предприятий ситуация на финансовом рынке установленный стандарт услуг. Это ограничивает прибыль от повышения цены поскольку может оказаться что в результате повышения цен определенное число клиентов откажется от услуг в результате чего продажи упадут Сильное повышение цены может ограничить или ликвидировать спрос. Нельзя рассматривать проблему спроса на гостиничные услуги вне зависимости от ее цены. Повышение...
28451. Гостиничная услуга, ее специфика и составные элементы. Особенности работы гостиничного предприятия 74.5 KB
  Зависимость гостиничных услуг от целей путешествия объясняется тем что решения гостя посетить определенное место основывается как правило не на факторе наличия в этом месте конкретной гостиницы. Колебания спроса непосредственным образом связаны с социальноэкономической и политической обстановкой месторасположения гостиницы. работа персонала гостиницы особенно тех кто непосредственно контактирует с клиентами требует умения и желания находить общий язык с самыми разными людьми поскольку среди постояльцев гостиницы бывают богатые и...
28452. Понятие и содержание инновационных процессов. Сущность и виды инноваций. Модель инновационной деятельности 63.5 KB
  В мировой практике и экономической литературе инновации интерпретируются как превращение потенциального научно технического прогресса в реальный воплощающийся в новых продуктах технологиях и услугах. Инновационная деятельность – это деятельность направленная на практическое использование научнотехнических результатов с целью получения нового продукта для удовлетворения потребностей общества. Инновации нововведение – это конечный результат инновационной деятельности получивший применение в виде нового или усовершенствованного продукта...
28453. Инфраструктура предприятий сервиса. Технические средства предприятий (организаций) социально-культурного сервиса и туризма 39 KB
  Многие туристские фирмы уделяют большое внимание компьютеризации системы бронирования в режим реального времени. Первые системы резервирования появились на рынке в середине 60х годов. Это были системы апполо и сабре. Создание глобальных распределительных сетей – в дополнение к возможностям электронного сервиса при бронировании мест для транспортирования авиапассажиров эти системы позволяют резервировать места в гостиницах брать на прокат автомобили.