23117

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Доклад

Физика

Функція Лагранжа Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії або принцип Гамільтона. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи а інтеграл дією. Функція Лагранжа залежить лише від q и а не від більш високих похідних що пояснюється тим що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей. Для спрощення запису формул припустимо спочатку що система має лише одну степінь вільності так що буде визначена лише одна функція qt.

Украинкский

2013-08-04

43.5 KB

0 чел.

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії (або принцип Гамільтона). Відповідно до цього принципу кожна механічна система характеризується певною функцією

Або , причому рух системи задовольняє наступній умові. Нехай в моменти часу t = t1 и t = t2 система займає певні положення, що характеризуються двома наборами

значень координат q(1) и q(2). Тоді між цими положеннями система рухається таким чином, щоб інтеграл

 

мав найменше можливе значення. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи, а інтеграл—дією.

Функція Лагранжа залежить лише від q и , а не від більш високих похідних, що пояснюється тим, що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей.

Вивід диф. рівнянь, що розв’язують задачу про визначення мінімуму інтеграла. Для спрощення запису формул припустимо спочатку, що система має лише одну степінь вільності, так що буде визначена лише одна функція q(t).

Нехай q = q(t) функція, для якої S має мінімум. S зростає при заміні q(t) на  функцію вигляду q(t) + δq(t), де δq(t) — функція, мала в інтервалі часу від t1 до t2 (варіація функції q(t)); оскільки при t = t1 и t = t2 всі порівнювані функції мають приймати одні й ті ж значення q1 і q2, то має бути

δq(t1)=δq(t2)=0

змін S при заміні q на q + δq дається різницею

Розклад цієї різниці за степенями q та (в підінтегральному виразі) починається з членів першого порядку. Необхідною умовою мінімальності S є перетворення на нуль сукупності цих членів; це перша варіація інтеграла. Таким чином, принцип найменшої дії можна записати у вигляді

=0

або, виконавши варіювання:

Відмічаючи, що , проінтегруемо другий доданок частинами, отримаємо

 

перший доданок зануляється. Залишається  інтеграл, що має дорівнювати нулю

при довільних значеннях δq. Отже, підінтегральні вирази дорівнюють нулю. Отримаємо,  

 

Маємо диференціальні рівняння - рівняння Лагранжа .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68003. Педагогічні погляди Томаса Мора 98 KB
  Колет проповідував реформу церкви, невпинно викривав пороки духівництва, призивав до морального відновлення суспільства на християнській основі. Покладаючи всі надії на освіту, Колет розглядав його як головний шлях здійснення задуманої реформи.
68004. ОСТРЫЕ СОСТОЯНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ФАКТОРАМИ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ, И НЕКОТОРЫЕ ВНЕЗАПНЫЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ 126.2 KB
  К ядам следует причислить ряд веществ применяемых в промышленности промышленные яды и сельском хозяйстве яды для уничтожения сорняков. При поступлении токсических веществ в дыхательные пути следует в первую очередь вынести пострадавшего на свежий воздух уложить освободить от стесняющей одежды...
68006. Особенности работы карьерного транспорта. Грузооборот и грузопотоки карьера 230.5 KB
  Основными параметрами карьерных автосамосвалов являются грузоподъемность мощность двигателя объем кузова колесная формула и минимальный радиус поворота. Устойчивая тенденция нарастания глубины карьеров при соответствующем увеличении плеча откатки предопределили...
68007. Разработка стратегии расширения географии регионального присутствия ЗАО «Компания ТрансТелеКом» в интересах сохранения доли на рынке предоставления услуг связи 1.56 MB
  ТТК работает как на операторском, так и на корпоративном рынке. Клиентами компании являются в первую очередь организации с географически распределенным бизнесом. Прежде всего, это операторы связи, компании, взаимодействующие с железнодорожной инфраструктурой, крупные корпорации, государственные предприятия...
68008. Марк Порций Катон Старший 51.13 KB
  Марк Порций Катон Старший (234-149 гг. до н. э.) – римский политический деятель, полководец, писатель. Он сумел подняться от мелкого плебея, да крупного землевладельца, обладающего огромным влиянием на своих современников. Почвоведам Катон известен своим трактатом «О земледелии».
68009. Сімейне виховання у Франції на початку ХХ ст 57 KB
  Питання сімейного виховання тісно пов’язане з питанням про суспільне виховання, оскільки з першого дня народження дитина у Франції могла виховуватися не в своїй сім’ї. Як тільки діти народжувалися, їх відправляли на виховання в село. Залишалася вона там до 1,5, 2х, а часто і до 3-х років.
68010. Контрольно-вимірювальні прилади 307.71 KB
  Оцінюють температуру за допомогою перерахованого показника потужності теплового випромінювання. Якщо пірометр вимірює в широкій смузі спектрального випромінювання то такий пірометр називають пірометром повного випромінювання. Колірні інші назви: мультиспектральні спектрального відношення дозволяють...
68011. Виховання і освіта в ранніх цивілізаціях 66.5 KB
  З історії відомо декілька етапів становлення первісної людини. Зокрема, приблизно за 100 тис. років до нашої ери з'являється людина неандертальського типу, котра приблизно у 40 тис. році до н.е., трансформувалася у кроманьйонця. Період між 100 тис. і 40 тис. років до н.е.