23117

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Доклад

Физика

Функція Лагранжа Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії або принцип Гамільтона. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи а інтеграл дією. Функція Лагранжа залежить лише від q и а не від більш високих похідних що пояснюється тим що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей. Для спрощення запису формул припустимо спочатку що система має лише одну степінь вільності так що буде визначена лише одна функція qt.

Украинкский

2013-08-04

43.5 KB

0 чел.

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії (або принцип Гамільтона). Відповідно до цього принципу кожна механічна система характеризується певною функцією

Або , причому рух системи задовольняє наступній умові. Нехай в моменти часу t = t1 и t = t2 система займає певні положення, що характеризуються двома наборами

значень координат q(1) и q(2). Тоді між цими положеннями система рухається таким чином, щоб інтеграл

 

мав найменше можливе значення. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи, а інтеграл—дією.

Функція Лагранжа залежить лише від q и , а не від більш високих похідних, що пояснюється тим, що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей.

Вивід диф. рівнянь, що розв’язують задачу про визначення мінімуму інтеграла. Для спрощення запису формул припустимо спочатку, що система має лише одну степінь вільності, так що буде визначена лише одна функція q(t).

Нехай q = q(t) функція, для якої S має мінімум. S зростає при заміні q(t) на  функцію вигляду q(t) + δq(t), де δq(t) — функція, мала в інтервалі часу від t1 до t2 (варіація функції q(t)); оскільки при t = t1 и t = t2 всі порівнювані функції мають приймати одні й ті ж значення q1 і q2, то має бути

δq(t1)=δq(t2)=0

змін S при заміні q на q + δq дається різницею

Розклад цієї різниці за степенями q та (в підінтегральному виразі) починається з членів першого порядку. Необхідною умовою мінімальності S є перетворення на нуль сукупності цих членів; це перша варіація інтеграла. Таким чином, принцип найменшої дії можна записати у вигляді

=0

або, виконавши варіювання:

Відмічаючи, що , проінтегруемо другий доданок частинами, отримаємо

 

перший доданок зануляється. Залишається  інтеграл, що має дорівнювати нулю

при довільних значеннях δq. Отже, підінтегральні вирази дорівнюють нулю. Отримаємо,  

 

Маємо диференціальні рівняння - рівняння Лагранжа .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3765. Маркетинговая деятельность на промышленном предприятии 222 KB
  Маркетинговая деятельность на промышленном предприятии. Цели и содержание маркетинговой деятельности промышленного предприятия Основу маркетинговой деятельности промышленного предприятия составляют: исследования рынка, разработка программы создания...
3766. Інтелект-шоу ЕОМ - ЕВРИКА 4.78 MB
  Інтелект-шоу ЕОМ - ЕВРИКА для учнів 9-11 класів Сьогодні ми проводимо інтелектуальну гру „ЕОМ-Еврика” на зразок телевізійного інтелект-шоу „LG-Еврика”. На уроках ми вже вивчили теми, які пропонуються Вам на конкурс. У інтелектуально...
3767. Національна символіка України 4.39 MB
  Національна символіка України Згадаймо, як 26 квітня 1989 року на велелюдному мітингові, що зібрався на площі Ринок у Львові з нагоди третьої річниці Чорнобильської аварії, замайоріли синьо-жовті прапори з жалобними стрічками. А кілька днів по тому...
3768. Нерудні корисні копалини Дніпропетровщини 10.09 MB
  Нерудні корисні копалини Мета: Поглибити та систематизувати знання про групи нерудних корисних копалин України, Дніпропетровщини, Кривого Рогу. Їх розміщення та використання. Формувати світогляд на основі пізнання світу, сформувати в учн...
3769. Українське відродження або нова русифікація 1.49 MB
  Вступ День 2 листопада 1998 р. починався як звичайний робочий день, котрі заповнюють більшість нашого життя. Залишилася в минулому виборча лихоманка, а Верховна Рада України, нарешті, пережила "спікеріаду" й занурилася до роботи. Здавалося, що на як...
3770. Звукоподражание в современном английском языке 157 KB
  Введение Настоящая курсовая работа посвящена изучению агломератов английских звукоподражательных единиц. Основные понятия настоящей работы: Звукоподражание (ономатопея) – условное воспроизведение звуков природы и звучаний, сопровождающих некото...
3771. Орнамент — один из древнейших видов изобразительной деятельности человека 589 KB
  Введение. В народном декоративном искусстве все основано на отработанных профессиональных навыках и приемах, выработанных на протяжении многих поколений. Эти приемы настолько совершенны, что их применение позволяет достичь большой художественной выр...
3772. Конспект урока по рассказу А.И. Солженицына Правая кисть 120.5 KB
  Конспект урока по рассказу А.И. Солженицына Правая кисть Методический замысел урока: Этот урок – продолжение разговора об осмыслении трагедии маленького человека, беззащитного перед мертвой идеологией. Урок по рассказу А.И. Солженицына ...
3773. Комп’ютерне моделювання в економіці 100.33 KB
  Розв'язання засобами сучасних комп'ютерних технологій укономічних та інженерних задач, що моделюються сумісними системами лінійних алгебраїчних рівнянь.