23117

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Доклад

Физика

Функція Лагранжа Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії або принцип Гамільтона. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи а інтеграл дією. Функція Лагранжа залежить лише від q и а не від більш високих похідних що пояснюється тим що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей. Для спрощення запису формул припустимо спочатку що система має лише одну степінь вільності так що буде визначена лише одна функція qt.

Украинкский

2013-08-04

43.5 KB

0 чел.

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії (або принцип Гамільтона). Відповідно до цього принципу кожна механічна система характеризується певною функцією

Або , причому рух системи задовольняє наступній умові. Нехай в моменти часу t = t1 и t = t2 система займає певні положення, що характеризуються двома наборами

значень координат q(1) и q(2). Тоді між цими положеннями система рухається таким чином, щоб інтеграл

 

мав найменше можливе значення. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи, а інтеграл—дією.

Функція Лагранжа залежить лише від q и , а не від більш високих похідних, що пояснюється тим, що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей.

Вивід диф. рівнянь, що розв’язують задачу про визначення мінімуму інтеграла. Для спрощення запису формул припустимо спочатку, що система має лише одну степінь вільності, так що буде визначена лише одна функція q(t).

Нехай q = q(t) функція, для якої S має мінімум. S зростає при заміні q(t) на  функцію вигляду q(t) + δq(t), де δq(t) — функція, мала в інтервалі часу від t1 до t2 (варіація функції q(t)); оскільки при t = t1 и t = t2 всі порівнювані функції мають приймати одні й ті ж значення q1 і q2, то має бути

δq(t1)=δq(t2)=0

змін S при заміні q на q + δq дається різницею

Розклад цієї різниці за степенями q та (в підінтегральному виразі) починається з членів першого порядку. Необхідною умовою мінімальності S є перетворення на нуль сукупності цих членів; це перша варіація інтеграла. Таким чином, принцип найменшої дії можна записати у вигляді

=0

або, виконавши варіювання:

Відмічаючи, що , проінтегруемо другий доданок частинами, отримаємо

 

перший доданок зануляється. Залишається  інтеграл, що має дорівнювати нулю

при довільних значеннях δq. Отже, підінтегральні вирази дорівнюють нулю. Отримаємо,  

 

Маємо диференціальні рівняння - рівняння Лагранжа .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77326. RiDE.L – programming language 12 KB
  Kosenko IMM UrB RS USU Yekterinburg With time ti is getting hrder to develop softwre for highperformnce computing HPC; the min reson for tht is the complexity grow of hrdwre rchitectures mthemticl models dt structures nd lgorithms complexity which re pplied in lrge computtions. The lnguges with clssicl compiler rchitectures trditionlly used in HPC: C C FORTRN Pscl – re not so good t hndling tht complexity s lter lnguges: Hskell JvScript Oz Ruby. The best in tht Hskell GHC even when breking hrmonious syntx nd semntic...
77327. DATAFLOW BASED DISTRIBUTED COMPUTING METHODS. SYSTEM PROTOTYPE 20.5 KB
  Different methods re pplied to simplify the progrmming nd execution of prllel progrms. On the one hnd universl tools for utomtic progrm prlleliztion both for execution on shred memory nd for multicomputer systems re being developed. The gol of tht design is to simplify prllel progrm development but without significnt loss in the effectiveness of the progrm codes execution. Term tsk nmes the progrm which reds during its execution the dt items with specific nmes from storge nd s the result...
77328. IMPROVING THE DEVELOPMENT OF VISUALIZATION SOFTWARE 30.5 KB
  Visuliztion helps to interpret results of vrious stges of clcultions. However there is problem of developing of visuliztion tools exist. To explin tht let’s see which types of visuliztion tools re: Universl visuliztion systems cpble to disply visul objects of vrious clsses.
77330. Возможности оценки сложности параллельного программирования 71.5 KB
  Утверждение о том, что параллельное программирование сложно, стало общим местом в соответствующей специальной литературе еще с 80-ых годов XX века. Вместе с тем, необходимо разобраться, чем же оно сложно и как в этом плане соотносятся различные парадигмы параллельного программирования. Анализ сложности программирования полезен
77331. Веб-система визуализации, анализа и мониторинга работы программ 39.5 KB
  Визуализация процесса и параметров работы программ представляет известный интерес для разработчиков этих программ. В научном плане эти вопросы изучает область визуализация программного обеспечения которая особенно активно развивается на западе. Система предназначена для визуализации анализа и мониторинга работы программных комплексов включая и параллельные программы.
77332. EXECUTION TRACE VISUALIZATION FOR PARALLEL PROGRAMS 26.5 KB
  There re mny interesting systems bsed on execution trce visuliztion. In the report s the review of existing decisions s new pproches to development of execution trce visuliztion will be considered. However the min problem tht occurs when you develop trce visuliztion system is the huge nd evergrowing volume of dt to be nlyzed.
77334. «Хороший» интерфейс на основе жестов для манипулирования 3D-объектами и метод автоматической калибровки оптических камер 38 KB
  Интерфейс фонарика Поскольку любой манипулятор ограничивает набор возможных взаимодействий от него следует отказаться и осуществлять пользовательский ввод при помощи трёхмерных жестов. Данное устройство обладая шестью степенями свободы позволяет осуществлять ввод трёхмерных жестов являясь при этом простым в установке и использовании. В качестве дешёвого манипулятора для ввода трёхмерных жестов был выбран обыкновенный карманный фонарик.