23117

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Доклад

Физика

Функція Лагранжа Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії або принцип Гамільтона. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи а інтеграл дією. Функція Лагранжа залежить лише від q и а не від більш високих похідних що пояснюється тим що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей. Для спрощення запису формул припустимо спочатку що система має лише одну степінь вільності так що буде визначена лише одна функція qt.

Украинкский

2013-08-04

43.5 KB

0 чел.

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії (або принцип Гамільтона). Відповідно до цього принципу кожна механічна система характеризується певною функцією

Або , причому рух системи задовольняє наступній умові. Нехай в моменти часу t = t1 и t = t2 система займає певні положення, що характеризуються двома наборами

значень координат q(1) и q(2). Тоді між цими положеннями система рухається таким чином, щоб інтеграл

 

мав найменше можливе значення. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи, а інтеграл—дією.

Функція Лагранжа залежить лише від q и , а не від більш високих похідних, що пояснюється тим, що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей.

Вивід диф. рівнянь, що розв’язують задачу про визначення мінімуму інтеграла. Для спрощення запису формул припустимо спочатку, що система має лише одну степінь вільності, так що буде визначена лише одна функція q(t).

Нехай q = q(t) функція, для якої S має мінімум. S зростає при заміні q(t) на  функцію вигляду q(t) + δq(t), де δq(t) — функція, мала в інтервалі часу від t1 до t2 (варіація функції q(t)); оскільки при t = t1 и t = t2 всі порівнювані функції мають приймати одні й ті ж значення q1 і q2, то має бути

δq(t1)=δq(t2)=0

змін S при заміні q на q + δq дається різницею

Розклад цієї різниці за степенями q та (в підінтегральному виразі) починається з членів першого порядку. Необхідною умовою мінімальності S є перетворення на нуль сукупності цих членів; це перша варіація інтеграла. Таким чином, принцип найменшої дії можна записати у вигляді

=0

або, виконавши варіювання:

Відмічаючи, що , проінтегруемо другий доданок частинами, отримаємо

 

перший доданок зануляється. Залишається  інтеграл, що має дорівнювати нулю

при довільних значеннях δq. Отже, підінтегральні вирази дорівнюють нулю. Отримаємо,  

 

Маємо диференціальні рівняння - рівняння Лагранжа .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52087. Крізь пекло афганської війни 72.5 KB
  Ознайомити учнів з трагічною сторінкою нашої історії, виховувати повагу до учасників військових подій в Афганістані, розповісти про односельчан, що служили в Афганістані, віддати данину пам'яті полеглим воїнам-афганцям
52088. Їх долі обпалені війною 67 KB
  Ми повинні памятати тих хто її пережив тих хто не дожив не доспівав не до кохав. Память загиблих вшановуємо хвилиною мовчання. Афганська війна Не наша вина Ми молодість там залишили Щоб ви памятали й жили. Скільки років щасливої тиші Та вривається голос в ефір Що благає нагадує кличе: Захистіть збережіть люди мирКожен день кожен час пам'ятайтеСкільки жертв нам війна принесла.
52090. Кліматичні пояси й області Африки 126 KB
  Обладнання: підручники фізична карта Африки кліматична карта Африки атласи тести ілюстрації різнокольорові картки таблиця памятка. Із собою в дорогу ми візьмемо: фізичну карту Африки кліматичну карту світу атласи ілюстрації пейзажу Африки. В екваторіальній області Африки опадів випадає: а багато; б мало.
52091. Африка 57.5 KB
  ФГП материка. Открытие и исследование материка. Фронтальный опрос на знание номенклатуры карты по теме ФГП материка. Индивидуальный опрос: а План изучения материка.
52092. Африка 69.5 KB
  Проблемный вопрос Почему в природе трех материков Африки Австралии и Южной Америки много общего Ответ: Потому что все эти материки являются частью единого материка Гондвана. Какой материал мы будем изучать первым вы узнаете если отгадаете загадку: Этот материк по площади в 3 с лишним раза больше другого и почти такой же по площади как два других материка Какой это материк Ответ: Африка так как по площади он в 3 с лишним раза больше Австралии и почти такой же по площади как Южная Америка и Антарктида вместе взятые. Проблемный...
52093. Африка. Фізико-географічне положення. Історія відкриття й дослідження материка 51 KB
  Вивчення нового матеріалу Відкриття та дослідження Африки Час дослідження Дослідники Результати досліджень ІІІ тис. Експедиція під керівництвом португальця Бартоломеу Діама Здійснила плавання вздовж західних берегів Африки до м. Експедиція під керівництвом португальця Васко да Гама На шляху до Індії дісталася південних берегів Африки. Африки.