23117

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Доклад

Физика

Функція Лагранжа Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії або принцип Гамільтона. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи а інтеграл дією. Функція Лагранжа залежить лише від q и а не від більш високих похідних що пояснюється тим що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей. Для спрощення запису формул припустимо спочатку що система має лише одну степінь вільності так що буде визначена лише одна функція qt.

Украинкский

2013-08-04

43.5 KB

0 чел.

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії (або принцип Гамільтона). Відповідно до цього принципу кожна механічна система характеризується певною функцією

Або , причому рух системи задовольняє наступній умові. Нехай в моменти часу t = t1 и t = t2 система займає певні положення, що характеризуються двома наборами

значень координат q(1) и q(2). Тоді між цими положеннями система рухається таким чином, щоб інтеграл

 

мав найменше можливе значення. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи, а інтеграл—дією.

Функція Лагранжа залежить лише від q и , а не від більш високих похідних, що пояснюється тим, що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей.

Вивід диф. рівнянь, що розв’язують задачу про визначення мінімуму інтеграла. Для спрощення запису формул припустимо спочатку, що система має лише одну степінь вільності, так що буде визначена лише одна функція q(t).

Нехай q = q(t) функція, для якої S має мінімум. S зростає при заміні q(t) на  функцію вигляду q(t) + δq(t), де δq(t) — функція, мала в інтервалі часу від t1 до t2 (варіація функції q(t)); оскільки при t = t1 и t = t2 всі порівнювані функції мають приймати одні й ті ж значення q1 і q2, то має бути

δq(t1)=δq(t2)=0

змін S при заміні q на q + δq дається різницею

Розклад цієї різниці за степенями q та (в підінтегральному виразі) починається з членів першого порядку. Необхідною умовою мінімальності S є перетворення на нуль сукупності цих членів; це перша варіація інтеграла. Таким чином, принцип найменшої дії можна записати у вигляді

=0

або, виконавши варіювання:

Відмічаючи, що , проінтегруемо другий доданок частинами, отримаємо

 

перший доданок зануляється. Залишається  інтеграл, що має дорівнювати нулю

при довільних значеннях δq. Отже, підінтегральні вирази дорівнюють нулю. Отримаємо,  

 

Маємо диференціальні рівняння - рівняння Лагранжа .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35576. Проектирование и эксплуатация газо- и водоочистки 1.88 MB
  Более того десульфурацию проводили вдувая каустическую соду в контур охлаждающей воды рис. В процессе Эрфайн можно выделить три основные стадии: охлаждения отделения пыли и обработки воды. Крупные частицы фракцией 10мкм удаляются в результате вспрыскивания распыленной циркуляционной воды в противоток отходящему газу посредством форсунок работающих на одном виде жидкости. На стадии обработки воды взвешенные твердые частицы и тяжелые металлы удаляют из сбросовых стоков данного процесса в установке обработки воды в три этапа: отделяют...
35577. АНТИПРИГОЖИН. УПРАВЛЯЕМЫЙ ХАОС 1.69 MB
  Вместо физического времени в ней использовался обратимый эрзац. Человек будучи вне времени становится богоподобным или намного ближе к квазибожественному состоянию.Ньютон же считал что вмешательство бога требуется в каждый момент времени отсюда эпигенез и гениальное предвидение И. Это вернуло прежний интерес к конструктивной роли времени.
35578. Социология. Курс лекций в схемах 2.05 MB
  Предмет и история социологии. Общество как социокультурная система. Социальные группы и общности. Массовое сознание и общественное мнение. Методология социологических исследований.
35579. История Белоруссии 492 KB
  В истории Белоруси выявлено много белых пятенБНРВКЛсоздание БССР и т.Полоцкая земля находилась на терр сев Белорусии в землях кривичейвключала в себя современную Вит обл.На границе 1314в Полоцкое княжество вошло в состав ВКЛ.В конце 13начале14 веков Туровская земля была включена в состав ВКЛ.
35580. История беларускiх зямель 228.5 KB
  Тэрмiн зясялення тэрыторыi Беларусi 40 тыс. Iндаеўрапейскi перыяд пачаўся ў бронзавым веку з часу рассялення iндаеўрапейскiх плямён на тэрыторыi Беларусi 3 2 тыс. Засяленне славянамi Беларусi адбывалася ў вынiку мiграцыi славян са сваёй прарадзiмы тэрыторыi памiж р. Славяне асiмiлiравалi балтаў i ў вынiку славянабалцкага ўзаемадзеяння ўзнiклi новыя этнiчныя супольнасцi: ва ўсходняй Еўропе больш за 15 на тэрыторыi Беларусi 3 гэта крывiчы дрыгавiчы радзiмiчы.
35581. История Руси от древних времен до ХХ столетия 221 KB
  Древние славяне - большая этническая группа: Восточные (русские, украинцы, белорусы); Западные (Чехи, Поляки); Южные (болгары, сербы, хорваты, македонцы). Соседи с севера: угро-финские племена, норманны, балты. С норманнами были напряженные отношения т.к. они промышляли грабежами, плавали во Францию, Испанию, Италию. Славяне часто платили им дань.
35582. АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВО КАК ОТРАСЛЬ ПРАВА 138.5 KB
  Административное право как отрасль современного права появилась тогда когда в правовой системе достаточное место заняли нормы закрепляющие права личности гарантии от административного произвола. Реализация в законодательстве идей естественных и неотъемлемых прав гражданина разделения властей контроля за государственной администрацией необходимое условие превращения полицейского права в административное. Административное право очень важная отрасль права так как роль государственной администрации в России очень велика.
35583. Общее понятие экономической безопасности страны 97 KB
  Понятие национальной безопасности шире понятия экономической безопасности страны оно включает оборонную экологическую энергетическую безопасность и т. Сущность экономической безопасности можно определить как такое состояние экономики и институтов власти при которых обеспечиваются гарантированная защита национальных интересов социально направленное развитие страны в целом достаточный оборонный потенциал даже при наиболее неблагоприятном условии развития внутренних и внешних процессов. Мировая практика показывает что даже при существенном...
35584. Предмет и функции гражданского права 175 KB
  Например: возможно заключение договора который предусматривает ежемесячные поставки в определенном законе если покупатель не сообщит о своем отказе от получения товара в течение какоголибо срока до начала очередного срока молчание ДА. Так общества с ограниченной или дополнительной ответственностью ассоциации и союзы действуют на основе учредительного договора и устава. Его можно рассматривать как разновидность договора простого товарищества договора о совместной деятельности хотя существует и мнение о том что это...