23117

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Доклад

Физика

Функція Лагранжа Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії або принцип Гамільтона. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи а інтеграл дією. Функція Лагранжа залежить лише від q и а не від більш високих похідних що пояснюється тим що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей. Для спрощення запису формул припустимо спочатку що система має лише одну степінь вільності так що буде визначена лише одна функція qt.

Украинкский

2013-08-04

43.5 KB

0 чел.

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії (або принцип Гамільтона). Відповідно до цього принципу кожна механічна система характеризується певною функцією

Або , причому рух системи задовольняє наступній умові. Нехай в моменти часу t = t1 и t = t2 система займає певні положення, що характеризуються двома наборами

значень координат q(1) и q(2). Тоді між цими положеннями система рухається таким чином, щоб інтеграл

 

мав найменше можливе значення. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи, а інтеграл—дією.

Функція Лагранжа залежить лише від q и , а не від більш високих похідних, що пояснюється тим, що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей.

Вивід диф. рівнянь, що розв’язують задачу про визначення мінімуму інтеграла. Для спрощення запису формул припустимо спочатку, що система має лише одну степінь вільності, так що буде визначена лише одна функція q(t).

Нехай q = q(t) функція, для якої S має мінімум. S зростає при заміні q(t) на  функцію вигляду q(t) + δq(t), де δq(t) — функція, мала в інтервалі часу від t1 до t2 (варіація функції q(t)); оскільки при t = t1 и t = t2 всі порівнювані функції мають приймати одні й ті ж значення q1 і q2, то має бути

δq(t1)=δq(t2)=0

змін S при заміні q на q + δq дається різницею

Розклад цієї різниці за степенями q та (в підінтегральному виразі) починається з членів першого порядку. Необхідною умовою мінімальності S є перетворення на нуль сукупності цих членів; це перша варіація інтеграла. Таким чином, принцип найменшої дії можна записати у вигляді

=0

або, виконавши варіювання:

Відмічаючи, що , проінтегруемо другий доданок частинами, отримаємо

 

перший доданок зануляється. Залишається  інтеграл, що має дорівнювати нулю

при довільних значеннях δq. Отже, підінтегральні вирази дорівнюють нулю. Отримаємо,  

 

Маємо диференціальні рівняння - рівняння Лагранжа .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43279. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ 396 KB
  При передаче сигнала St по каналу связи на него воздействуют различные шумы nt. Это означает что принятый сигнал Zt отличается от переданного сигнала St. Функция приемника заключается в нахождении переданного сигнала St по принятому сигналу Zt=Stnt. Для этого были найдены методы оптимального приема сигналов.
43280. Оптимальный прием сигнала 246.5 KB
  При прохождении через линию связи с сигналом складывается случайный шум n имеющий нормальное гауссовское распределение плотности вероятности: . Два нормальных распределения плотности вероятности величины z w0 и w1 при действии сигналов s0 и s1 соответственно показаны на рисунке рис. Граница U1 определена для критерия максимального правдоподобия; U2 для критерия максимума апостериорной вероятности. вероятности передачи сигналов s0 и s1 равны 05; Рs0=Р0=05; Рs1=Р1=05.
43281. Расчет параметров плоской акустической антенны 872 KB
  Конструктивные особенности акустических антенн различны. В первую очередь следует выделить антенны с общим для всех преобразователем контуром герметизации и антенны с раздельной герметизацией каждого преобразователя. Антенны с общим контуром герметизации делятся на антенны силовой и компенсированной конструкций. Антенны с раздельными контурами герметизации преобразователей делятся на антенны с плотной и разряженной постановкой преобразователей. Кроме того, по типу конструкции антенны можно подразделить на антенны, имеющие собственную несущую конструкцию, и антенны, устанавливаемые на носитель поэлементно или поблочно.
43282. Електрична функціональна схема керуючого автомата 472.5 KB
  В курсовій роботі необхідно розробити операційну схему та виконати синтез автомату, що виконує задану варіантом функцію, побудувати функціональну схему, що забезпечує керування обчислювальним пристроєм. Необхідно також побудувати схеми, що реалізують перемикальні функції в заданому елементному базисі.
43283. Будівництво міжміської волокно-оптичної лінії Житомир-Хмельницький 1.16 MB
  Останнє десятиліття ознаменувалося в усьому світі бурхливим упровадженням на мережах зв'язку волоконно оптичних систем передачі. Велика пропускна здатність велика довжина регенераційних ділянок нечутливість до електромагнітних впливів великі будівельні довжини велика широкополосність відсутність необхідності застосування кольорових металів і основні достоїнства волоконно оптичних ліній зв'язку ВОЛС що визначили високі темпи...
43284. Формування раціональної структури і використання парку рухомого складу при виконанні перевезень заданого виду вантажу 560.5 KB
  Для досягнення мети необхідно вирішити наступні задачі: проаналізувати існуючі методи організації перевезень дрібнопартіонних вантажів; вибрати ефективний рухомий склад для виконання перевезень з урахуванням заданого виду вантажу та конкретних умов експлуатації автомобілів; визначити раціональні маршрути перевезень; розрахувати технікоексплуатаційні показники роботи обраних автомобілів на визначених маршрутах; визначити необхідну кількість транспортних засобів. Партіонність перевезень визначається потребою в одночасному перевезенні...
43285. Расчет параметров линейной дискретной акустической антенны без амплитудного распределения чувствительности 501 KB
  Излучение или прием звука осуществляется при совместной работе антенны с передающим в режиме излучения или приемным в режиме приема трактом. Акустическая антенна обычно состоит из электроакустических преобразователей элементов антенны акустических экранов несущей конструкции акустических развязок амортизаторов и линий электрокоммуникаций Основными частями антенного устройства являются: электроакустические преобразователи состоящие из активных элементов предназначенные для преобразования энергий; акустические поглотители...
43286. Объединить в локальную сеть по технологии FastEthernet компьютеры, которые находятся в квартирах трех домов 1.04 MB
  Сетевая карта Dlink DGE528T 1port 1000BseT PCI . Еще на стадии разработки стандарта 100BseT комитет IEEE 802. В результате этого каждый трансивер должен использовать свой собственный набор схем кодирования наилучшим образом подходящий для соответствующего физического интерфейса например набор 4B 5B и NRZI для интерфейса 100BseFX.1: 100BseFX 100BseTX и 100BseT4.