23117

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Доклад

Физика

Функція Лагранжа Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії або принцип Гамільтона. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи а інтеграл дією. Функція Лагранжа залежить лише від q и а не від більш високих похідних що пояснюється тим що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей. Для спрощення запису формул припустимо спочатку що система має лише одну степінь вільності так що буде визначена лише одна функція qt.

Украинкский

2013-08-04

43.5 KB

0 чел.

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії (або принцип Гамільтона). Відповідно до цього принципу кожна механічна система характеризується певною функцією

Або , причому рух системи задовольняє наступній умові. Нехай в моменти часу t = t1 и t = t2 система займає певні положення, що характеризуються двома наборами

значень координат q(1) и q(2). Тоді між цими положеннями система рухається таким чином, щоб інтеграл

 

мав найменше можливе значення. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи, а інтеграл—дією.

Функція Лагранжа залежить лише від q и , а не від більш високих похідних, що пояснюється тим, що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей.

Вивід диф. рівнянь, що розв’язують задачу про визначення мінімуму інтеграла. Для спрощення запису формул припустимо спочатку, що система має лише одну степінь вільності, так що буде визначена лише одна функція q(t).

Нехай q = q(t) функція, для якої S має мінімум. S зростає при заміні q(t) на  функцію вигляду q(t) + δq(t), де δq(t) — функція, мала в інтервалі часу від t1 до t2 (варіація функції q(t)); оскільки при t = t1 и t = t2 всі порівнювані функції мають приймати одні й ті ж значення q1 і q2, то має бути

δq(t1)=δq(t2)=0

змін S при заміні q на q + δq дається різницею

Розклад цієї різниці за степенями q та (в підінтегральному виразі) починається з членів першого порядку. Необхідною умовою мінімальності S є перетворення на нуль сукупності цих членів; це перша варіація інтеграла. Таким чином, принцип найменшої дії можна записати у вигляді

=0

або, виконавши варіювання:

Відмічаючи, що , проінтегруемо другий доданок частинами, отримаємо

 

перший доданок зануляється. Залишається  інтеграл, що має дорівнювати нулю

при довільних значеннях δq. Отже, підінтегральні вирази дорівнюють нулю. Отримаємо,  

 

Маємо диференціальні рівняння - рівняння Лагранжа .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61049. Моделирование брюк 1.06 MB
  Урок Моделирование брюк в 8 классе спланирован согласно УМК под редакцией В. Это разработка первого урока Моделирование брюк бананы модуля Моделирование и конструирование поясного изделия.
61050. Поняття про інформацію та способи її подання. Дані. Різновиди інформаційних повідомлень 293.5 KB
  Мета: Навчальна: формування предметних компетенцій у формі загальної предметної компетенції: освоєння поняття інформації даних інформаційного повідомлення застосовування набутого досвіду...
61051. Разработка нового вертикально-интегрированного формата свадебного агентства в интересах создания доминирующей в Москве сети 1 MB
  Какие конкурентные силы оказывают влияние на рынок свадебных услуг. Какой сегмент рынка по организации свадебных торжеств наиболее привлекателен с точки зрения ведения бизнеса Какие факторы являются ключевыми для обращения в то или иное агентство по организации свадьбы. В чем, предположительно, могут заключаться основные элементы нового формата свадебного агентства и последовательность их внедрения...
61053. Павутина життя (Web of Life) 62 KB
  Мета: 1)Повторити й активізувати лексику теми. 2)Тренувати учнів у читанні та вживанні сполучних слів у підрядних реченнях. 3)Продовжувати формувати навички діалогічного та монологічного мовлення. 4)Навчати учнів аудіювання.
61055. Смислові зв’язки між частинами складносурядного речення 58 KB
  Мета: поглибити знання учнів про складносурядні речення; ознайомити із засобами звязку між їхніми частинами; зясувати поняття смислових відношень між частинами складносурядних речень...