23117

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Доклад

Физика

Функція Лагранжа Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії або принцип Гамільтона. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи а інтеграл дією. Функція Лагранжа залежить лише від q и а не від більш високих похідних що пояснюється тим що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей. Для спрощення запису формул припустимо спочатку що система має лише одну степінь вільності так що буде визначена лише одна функція qt.

Украинкский

2013-08-04

43.5 KB

0 чел.

Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа

Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії (або принцип Гамільтона). Відповідно до цього принципу кожна механічна система характеризується певною функцією

Або , причому рух системи задовольняє наступній умові. Нехай в моменти часу t = t1 и t = t2 система займає певні положення, що характеризуються двома наборами

значень координат q(1) и q(2). Тоді між цими положеннями система рухається таким чином, щоб інтеграл

 

мав найменше можливе значення. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи, а інтеграл—дією.

Функція Лагранжа залежить лише від q и , а не від більш високих похідних, що пояснюється тим, що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей.

Вивід диф. рівнянь, що розв’язують задачу про визначення мінімуму інтеграла. Для спрощення запису формул припустимо спочатку, що система має лише одну степінь вільності, так що буде визначена лише одна функція q(t).

Нехай q = q(t) функція, для якої S має мінімум. S зростає при заміні q(t) на  функцію вигляду q(t) + δq(t), де δq(t) — функція, мала в інтервалі часу від t1 до t2 (варіація функції q(t)); оскільки при t = t1 и t = t2 всі порівнювані функції мають приймати одні й ті ж значення q1 і q2, то має бути

δq(t1)=δq(t2)=0

змін S при заміні q на q + δq дається різницею

Розклад цієї різниці за степенями q та (в підінтегральному виразі) починається з членів першого порядку. Необхідною умовою мінімальності S є перетворення на нуль сукупності цих членів; це перша варіація інтеграла. Таким чином, принцип найменшої дії можна записати у вигляді

=0

або, виконавши варіювання:

Відмічаючи, що , проінтегруемо другий доданок частинами, отримаємо

 

перший доданок зануляється. Залишається  інтеграл, що має дорівнювати нулю

при довільних значеннях δq. Отже, підінтегральні вирази дорівнюють нулю. Отримаємо,  

 

Маємо диференціальні рівняння - рівняння Лагранжа .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6478. Заслуги Ф.В. Булгарина и его уроки современному исследователю печати 35.06 KB
  Заслуги Ф.В. Булгарина и его уроки современному исследователю печати Личности и деятельности Фаддея Венедиктовича Булгарина невозможно дать однозначную оценку в силу нескольких причин разного характера. Как писал А.И. Реблайт: Посмотришь с одной ст...
6479. Отражение вопросов ислама в творчестве Юлии Латыниной 36.63 KB
  Отражение вопросов ислама в творчестве Юлии Латыниной. В октябре 2010 года представители российского мусульманского сообщества обвинили Юлию Леонидовну в исламофобии и разжигании межконфессиональной розни....
6480. Контекстуальное варьирование и обновление фразеологизмов в городской газете 47.86 KB
  Контекстуальное варьирование и обновление фразеологизмов в городской газете Фразеология является одним из самых ярких и действенных средств языка. Функционирование фразеологических единиц в текстах средств массовой информации имеет свои особенности....
6481. Тематика и особенности сатиры М.Е. Кольцова 44.66 KB
  Тематика и особенности сатиры М.Е. Кольцова История русской сатиры, имея множество образцов, не исследована глубоко и подробно до сих пор ни в отношении ее классической, теперь явно и давно уже вымершей, стихотворной формы, ни тем более в отношении ...
6482. Судьбы мигрантов в правозащитных публикациях Лидии Графовой 43.99 KB
  Судьбы мигрантов в правозащитных публикациях Лидии Графовой В 1990 г. Лидия Графова стала одним из инициаторов создания первой в России общественной организации, помогающей мигрантам, - комитета Гражданское содействие. В 1993 году на базе Граждан...
6483. История через призму рекламы 29.57 KB
  История через призму рекламы История. Что есть история? В переводе с древнегреческого это слово означает расспрашивание, исследование. Профессор Кембриджа, сэр Ричард Дж. Эванс, говорит, что история - это область знаний, а также гуманитарная...
6484. Социальные проблемы на страницах Литературной газеты 50.26 KB
  Социальные проблемы на страницах Литературной газеты Глубокие и сложные процессы в современном российском обществе - социальный кризис, трансформация социальной структуры, политические и духовные изменения, ...
6485. Жанровое разнообразие районной прессы (на примере газеты Усть-Удинские вести) 46.51 KB
  Жанровое разнообразие районной прессы (на примере газеты Усть-Удинские вести) Районная печать, несмотря на ряд исторически сложившихся неблагоприятных факторов (трудная экономическая ситуация, зависимость от местных властей, отсутствие квалифицирова...
6486. Русские журналисты и писатели об Англии (к. XVIII - сер. XX века) 41.12 KB
  Русские журналисты и писатели об Англии (к. XVIII - сер. XX века) Российские писатели проявляли немалый интерес к миру Англии. И связанно это с множеством факторов: как культурных, так и политических. Но это обусловлено и взаимным интерес...