23359

Изучение влияние емкости конденсатора на период колебаний в электрическом контуре

Лабораторная работа

Физика

Основы теории Рассмотрим процесс возникновения колебаний в идеальном электрическом контуре осцилляторе рис. Таким образом можно сделать вывод что частота гармонических колебаний в идеальном электрическом контуре равна корню квадратному из коэффициента при заряде q формула 2: При этом период колебаний равен формула Томсона: 6 Связь периода колебаний с величинами С и L качественно объясняется следующим образом. С увеличением...

Русский

2013-08-04

179.5 KB

1 чел.

Лабораторная работа № 2/3

Изучение влияние емкости конденсатора на период

колебаний в электрическом контуре

Цель работы: Получить и проанализировать экспериментальную зависимость периода колебаний в электрическом контуре от величины емкости конденсатора.

Основы теории

Рассмотрим процесс возникновения колебаний в идеальном электрическом контуре (осцилляторе) (рис. 1), содержащем индуктивность L и конденсатор С (сопротивление контура R будем считать пренебрежимо малым). Пусть в начальный момент времени ключ К находится в положении 1 и конденсатор заряжен с помощью батареи Е до некоторой разности потенциалов U0.

   При переводе ключа из положения 1 в положение 2 конденсатор начнет разряжаться через индуктивность L. В цепи потечет переменный ток и на индуктивности возникнет электродвижущая сила индукции (ЭДС) Еi :

 

  Рис. 1                     которая будет препятствовать всякому изменению силы тока. В частности, в тот момент, когда конденсатор разрядится полностью, ЭДС индукции будет стремиться поддерживать ток в цепи, что приведет к перезарядке обладок  конденсатора в противоположной полярности.

С энергетической точки зрения этот процесс представляет собой переход энергии электрического поля, запасенной первоначально в конденсаторе, в энергию магнитного поля (создаваемого протекающим током) в индуктивности и обратно.

Математически этот процесс описывается следующим образом. В любой момент времени по закону Кирхгофа падение напряжение на конденсаторе Uc равно действующей в цепи ЭДС Еi :     Uc = Ei,  или

                                                                                          (1)

Помня, что сила тока i есть производная по времени от заряда q, уравнение (1) можно переписать в следующем виде:

 

или разделив на L и перенеся все в левую часть:

 

Введя обозначение  получаем:

                                                                             (2)

Уравнение (2) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которого ищется в виде:

                                                                                 (3)

где А и р - константы, значения которых находят из уравнения. Для этого вычислим первую и вторую производную  выражения (3) и подставим в уравнение (2):

            

Разделив последнее выражение на неравные нулю А и еpt получаем уравнение для нахождения параметра р:

             

Таким образом, решение уравнения (2) имеет вид:

                                              (4) Используя уравнения Эйлера:

                    

уравнение (4) можно привести к виду:

                    ,                                                                   (5)

где величины амплитуды А и начальной фазы  определяются начальными условиями - значением заряда на конденсаторе q0 и силы тока i0 в начальный момент времени^

.

Из уравнения (5) следует, что заряд на конденсаторе будет изменяться по гармоническому закону с частотой равной 0. Таким образом, можно сделать вывод, что частота гармонических колебаний в идеальном электрическом контуре равна корню квадратному из коэффициента при заряде q (формула (2)):

                    

При этом период колебаний равен (формула Томсона):

                                                                                        (6)

Связь периода колебаний с величинами С и L качественно объясняется следующим образом. При возрастании величины емкости конденсатора при постоянном напряжении увеличивается заряд на его обкладках и для разрядки и зарядки конденсатора требуется большее время. С увеличением индуктивности контура L возрастает ЭДС индукции, препятствующая разряду и заряду конденсатора, что также приводит к увеличению периода колебаний.

Следует отметить, что реальные электрические контуры всегда обладают некоторым сопротивлением R, которое приводит к затуханию колебаний (см., например, Лабораторная работа  2/4). Однако влияние сопротивления R на величину периода колебаний в большинстве случаев пренебрежимо мало и формула (6) оказывается практически применимой как для идеальных, так и реальных электрических осцилляторов.

Описание эксПериментальной установки и метода измерений

Экспериментальная  установка состоит из (рис.2): катушки индуктивности L, магазина емкостей С и осциллографа С1-55.

                                               Рис. 2

Колебательный контур состоит из соединенных параллельно катушки индуктивности и магазина емкостей. Ввиду того, что катушка обладает некоторым сопротивлением, в контуре возникают затухающие колебания, которые запускаются с помощью внутреннего генератора осциллографа, заряжающего конденсатор прямоугольными импульсами с частотой 2 кГц . Колебания напряжения на катушке подаются на вход осциллографа и наблюдаются на экране.

Магазин емкостей имеет два ряда клавиш для установки требуемой величины емкости. Верхний ряд позволяет устанавливать декады (от 10-3 до 1 мкФ), а нижний - единицы. Так, например, чтобы получить емкость 0,07 мкФ необходимо в верхнем ряду утопить клавишу 10-2, а в нижнем - 7.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ измерений

Изучить электрическую схему установки. Включить приборы и дать им прогреться 5 минут.

Установить на магазине емкостей величину 110-3 мкФ.

Получить на экране осциллографа устойчивую картину колебаний. В ходе измерений необходимо устанавливать такую величину длительности развертки (Время/дел), чтобы величина периода составляла не менее 2 - 3 больших делений на экране. Стабилизацию изображения можно осуществлять ручками "Стабильность" и "Уровень".

Измерить величину одного периода колебаний в больших делениях шкалы экрана. Результат занести в строку 2 Таблицы 1.

Примечание. Для повышения точности измерений рекомендуется определять  время, в течение которого происходят 2 - 3 колебания, а затем определять  период, разделив полученное время на число колебаний.

 

 

  Таблица 1.

1

С, мкФ

110-3

210-3

510-3

110-2

210-2

510-2

0,1

2

Т, дел

3

Развертка,

с/дел

4

Т, с

5

lg (C)

6

lg (T)

 

В строку 3 Таблицы 1 занести величину развертки, при которой производились измерения.

Произвести измерения и расчеты в соответствии с пп. 3 - 5 величины периодов колебаний  при всех значениях емкостей, указанных в Таблице 1.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Для проверки справедливости формулы (6) необходимо построить график     зависимости логарифма периода колебаний от логарифма емкости контура:

 lg (T) = f (lg (C)).          (7)

В случае справедливости формулы (6) построенный график должен    представлять из себя прямую:

 y = ax + b,                                                                 (8)

где: y = lg (T), x = lg (C), a = 1/2, b = lg (2L ).

Для построения графика рекомендуется в строки 5 и 6 Таблицы 1 занести     значения логарифмов периода Т и емкости С.

Выбрать масштаб и построить на миллиметровой бумаге график функции (7). Для размеров графика рекомендуются следующие величины: по горизонтали - 10 ...12 см, по вертикали - 8 ...10 см.

С помощью метода наименьших квадратов (МНК), основы которого   приведены в приложении, найти значения коэффициентов а и b в формуле   (8).

По найденной величине b рассчитать величину индуктивности контура.

Проанализировать полученные результаты (соответствие экспериментальных данных теоретической формуле (6)) и написать заключение по работе, приведя в нем полученное значение индуктивности L.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вывести дифференциальное уравнение колебаний в идеальном электрическом контуре.

Как на основании уравнения (5) получить выражение для закона изменения     напряжения на конденсаторе ?

Как из начальных условий получить величины амплитуды колебаний и     начальной фазы ?

Сравнивая колебательные процессы пружинного маятника и LC-контура, описать роль емкости и индуктивности (привести электромеханические аналогии).

Описать характер изменения энергии электрического и магнитного полей в     ходе колебательного процесса в LC-контуре.

Литература

Савельев И.В. Курс общей физики, т.2. Электричество. М: Наука, 1970 г.  99.

Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. - 2 изд.- М.:Выс. шк., 1990.  143.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ОСНОВЫ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Метод наименьших квадратов (МНК) служит для нахождения оптимальных значений коэффициентов при аппроксимации экспериментальных данных степенными функциями.

Допустим, что из теории известно, что некоторая величина Y линейно зависит от величины Х:

                    Y = a  X + b,                                                                       (1п)

но нам неизвестны значения коэффициентов a и b.

Пусть в результате опыта нами получен набор значений Yi, соответствующих значениям Хi, где i - изменяется от 1 до n (n - число проведенных опытов).

Построив график Y = f (X) (рис. 1п) мы замечаем, что экспериментальные точки не лежат на одной прямой, что связано, в первую очередь, с неизбежными    Рис. 1п      погрешностями измерений.

Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения коэффициентов a и b в уравнении (1п), чтобы теоретическая кривая была как можно ближе к экспериментальным точкам, то есть сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от теоретической кривой была минимальна:

.          (2п)

В данном случае (линейной зависимости) величина Q зависит от двух параметров a и b, и в точке минимума производная по ним от Q должна быть равна 0:

                                                                                     (3п)

Взяв соответствующие частные производные получаем:

                      

После несложных алгебраических преобразований получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения коэффициентов a и b:

                .

Отсюда имеем:

                      Рассмотрим пример.

Известно, что при равноускоренном движении скорость зависит от времени по закону:

                       V = Vo + a  t .

Пусть в результате измерения скорости получены следующие результаты (Таблица 1п).

 

                           

           Таблица 1п

1

2

3

4

5

t (с)

0,5

1,0

2,0

2,5

3,0

V (м/с)

2,1

2,9

5,0

6,2

7,5

По полученным данным необходимо найти начальную скорость Vo и ускорение a. Для этого воспользуемся МНК. Составим таблицу данных (Таблица 2п).

                                        Таблица 2п

Xi

Yi

Xi2

Xi  Yi

ti

Vi

t i2

t i  Vi

1

0,5

2,1

0,25

1,05

2

1,0

2,9

1,0

2,9

3

2,0

5,0

4,0

10,0

4

2,5

6,2

6,25

15,5

5

3,0

7,5

9,0

22,5

9,0

23,7

20,5

51,95

Подставляя значения из Таблицы 2п в формулы (4п), (5п), (6п), получаем:

                

Таким образом, в результате опыта после оценки по методу наименьших квадратов получены следующие значения параметров:

                 ускорение                     a  = 2,39 м/с2,

                 начальная скорость    Vo = 0,935 м/с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23585. ВЫСКАЗЫВАНИЯ, ЭКСПЛИЦИРУЮЩИЕ УСТАНОВКУ НА РАЗЛИЧНЫЕ СТОРОНЫ ЛИЧНОСТИ АДРЕСАТА - (лингвистический и философско-антропологический аспекты) 1.74 MB
  Близки к высказываниям подобным примеру 9 Ассертивы оценивающие знания собеседника вообще его эрудицию уровень образования начитанность: You know more than you think.Волошинова посвященные философии языкознания и Теория речи и языка английского исследователя А.Серля для директявов следующие: 1па speaker is not interested говорящий Нб Заинтересован е совершении действия; Benfaavoid Dh benefit for the _ польза слушающего Б ТОМhearer is in avoiding danger чтобы избежать опасности; KsDh speaker'...
23586. Язык как деятельность. Опыт интерпретации концепции 1.38 MB
  Дается характеристика этого принципа и его места в философии и методологии рассматривается типология деятельностных представлений языка в лингвистике. Деятельностная ориентация в построении картины языка в ходе исторического пути лингвистической науки сменялась нередко прямо противоположной а иногда и сосуществовала с ней. После блистательного опыта деятельностной трактовки языка у Гумбольдта в лингвистике наблюдается охлаждение к деятельностному видению языка и попыткам построения теоретических концепций исходящих из понимания языка как...
23587. СЕМИОТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ (знак, схема, знание, семиотический организм, феномен человека). 440 KB
  Розин СЕМИОТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ знак схема знание семиотический организм феномен человека. Действительно возражая против социальнопсихологического подхода в семиотике ставящего природу знака в зависимость от понимания и других психических процессов человека Г. Дело в том что оно никак не учитывает роль актанта человека интерпретирующего и действующего. Это определение вызывает массу вопросов например стало ли нам понятнее от замены сходства на изоморфизм почему семиотические понятия Эко заменяет математическими и...
23588. Стереотипность и творчество в тексте: Межвузовский сборник С 79 научных трудов 934.5 KB
  ISBN 5794401192 Межвузовский тематический сборник посвящен актуальной и малоразработанной в функциональной стилистике проблеме стереотипности проявляющейся в разных функциональных стилях речи в частности конкретизации экстралингвистической основы развертывания текста некоторых подходов к изучению речевых жанров в текстах целых произведений а также средств и способов выражения устойчивых типов речи текстовых единиц и категорий в научных художественных публицистических разговорных и религиозных текстах. Сборник рассчитан на...
23589. Автоматизированные переводные словари. Принципы построения 11.5 KB
  Зона лексического грамматического класса ЛЕ по частям речи далее категоризация. Зона морфологической информации 4. Зона индекса надежности отражает степень общепринятости данного ПЭ: А официальный стандарт Б уважаемые словари В тетради новых терминов Г плавающие 6. Зона ПЭ при нескольких ПЭ у каждого свой номер 7.
23590. Лексикография как прикладная дисциплина. Внутренняя и внешняя типология словарей 19.5 KB
  Внутренняя и внешняя типология словарей. Лексикография прикладная лингвистическая дисциплина занимающаяся практикой и теорией составления словарей. Все многообразие различных типов словарей нормативные учебные переводные терминологические идеологические этимологические . Главная проблема в разработке оптимальной стратегии новых словарей проблема обоснованности словарей как с точки зрения их состава так и в плане адекватности подаваемой в них информации.
23591. Назначение и принципы организации Субд на ПЭВМ 19.5 KB
  Назначение и принципы организации Субд на ПЭВМ СУБД состоит из совокупности взаимосвязанных данных и набора программ обеспечивающих доступ к данным и манипуляцию ими. Совокупность взаимосвязанных данных принято называть БД. Концептуальный уровень содержит описание данных хранящихся в БД и отношений между ними. Модель данных представляет собой набор концептуальных инструментов для описания данных отношений между ними семантики данных и ограничений их целостности consistency constraints.
23592. Формальные модели синтаксической структуры предложения 19.5 KB
  Система составляющих это множество отрезков предложения которое обладает тем свойством что каждые два входящих в него отрезка либо не пересекаются либо один из них содержится в другом. При графическом изображении система составляющих тоже приобретает вид дерева дерева непосредственных составляющих ДНС. грамматика деревьев служит не для порождения предложений а для преобразования деревьев интерпретируемых как деревья подчинения или деревья составляющих например грамматика система правил преобразования деревьев интерпретируемых...
23593. Типы экспериментальных методов в лингвистике 17.5 KB
  Типы экспериментальных методов в лингвистике Экспериментальные методы в лингвистике это методы позволяющие изучать факты языка в условиях. что текст как таковой будучи данностью не может быть объектом ЭМ; именно поэтому ЭМ не применимы к изучению истории языка особенностей стиля автора и т. Объектом ЭМ является человек носитель языка порождающий текст воспринимающий тексты и выступающий как информант для исследователя. в лингвистическом эксперименте исследователь может иметь в качестве подобного объекта самого себя или других...