23359

Изучение влияние емкости конденсатора на период колебаний в электрическом контуре

Лабораторная работа

Физика

Основы теории Рассмотрим процесс возникновения колебаний в идеальном электрическом контуре осцилляторе рис. Таким образом можно сделать вывод что частота гармонических колебаний в идеальном электрическом контуре равна корню квадратному из коэффициента при заряде q формула 2: При этом период колебаний равен формула Томсона: 6 Связь периода колебаний с величинами С и L качественно объясняется следующим образом. С увеличением...

Русский

2013-08-04

179.5 KB

1 чел.

Лабораторная работа № 2/3

Изучение влияние емкости конденсатора на период

колебаний в электрическом контуре

Цель работы: Получить и проанализировать экспериментальную зависимость периода колебаний в электрическом контуре от величины емкости конденсатора.

Основы теории

Рассмотрим процесс возникновения колебаний в идеальном электрическом контуре (осцилляторе) (рис. 1), содержащем индуктивность L и конденсатор С (сопротивление контура R будем считать пренебрежимо малым). Пусть в начальный момент времени ключ К находится в положении 1 и конденсатор заряжен с помощью батареи Е до некоторой разности потенциалов U0.

   При переводе ключа из положения 1 в положение 2 конденсатор начнет разряжаться через индуктивность L. В цепи потечет переменный ток и на индуктивности возникнет электродвижущая сила индукции (ЭДС) Еi :

 

  Рис. 1                     которая будет препятствовать всякому изменению силы тока. В частности, в тот момент, когда конденсатор разрядится полностью, ЭДС индукции будет стремиться поддерживать ток в цепи, что приведет к перезарядке обладок  конденсатора в противоположной полярности.

С энергетической точки зрения этот процесс представляет собой переход энергии электрического поля, запасенной первоначально в конденсаторе, в энергию магнитного поля (создаваемого протекающим током) в индуктивности и обратно.

Математически этот процесс описывается следующим образом. В любой момент времени по закону Кирхгофа падение напряжение на конденсаторе Uc равно действующей в цепи ЭДС Еi :     Uc = Ei,  или

                                                                                          (1)

Помня, что сила тока i есть производная по времени от заряда q, уравнение (1) можно переписать в следующем виде:

 

или разделив на L и перенеся все в левую часть:

 

Введя обозначение  получаем:

                                                                             (2)

Уравнение (2) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которого ищется в виде:

                                                                                 (3)

где А и р - константы, значения которых находят из уравнения. Для этого вычислим первую и вторую производную  выражения (3) и подставим в уравнение (2):

            

Разделив последнее выражение на неравные нулю А и еpt получаем уравнение для нахождения параметра р:

             

Таким образом, решение уравнения (2) имеет вид:

                                              (4) Используя уравнения Эйлера:

                    

уравнение (4) можно привести к виду:

                    ,                                                                   (5)

где величины амплитуды А и начальной фазы  определяются начальными условиями - значением заряда на конденсаторе q0 и силы тока i0 в начальный момент времени^

.

Из уравнения (5) следует, что заряд на конденсаторе будет изменяться по гармоническому закону с частотой равной 0. Таким образом, можно сделать вывод, что частота гармонических колебаний в идеальном электрическом контуре равна корню квадратному из коэффициента при заряде q (формула (2)):

                    

При этом период колебаний равен (формула Томсона):

                                                                                        (6)

Связь периода колебаний с величинами С и L качественно объясняется следующим образом. При возрастании величины емкости конденсатора при постоянном напряжении увеличивается заряд на его обкладках и для разрядки и зарядки конденсатора требуется большее время. С увеличением индуктивности контура L возрастает ЭДС индукции, препятствующая разряду и заряду конденсатора, что также приводит к увеличению периода колебаний.

Следует отметить, что реальные электрические контуры всегда обладают некоторым сопротивлением R, которое приводит к затуханию колебаний (см., например, Лабораторная работа  2/4). Однако влияние сопротивления R на величину периода колебаний в большинстве случаев пренебрежимо мало и формула (6) оказывается практически применимой как для идеальных, так и реальных электрических осцилляторов.

Описание эксПериментальной установки и метода измерений

Экспериментальная  установка состоит из (рис.2): катушки индуктивности L, магазина емкостей С и осциллографа С1-55.

                                               Рис. 2

Колебательный контур состоит из соединенных параллельно катушки индуктивности и магазина емкостей. Ввиду того, что катушка обладает некоторым сопротивлением, в контуре возникают затухающие колебания, которые запускаются с помощью внутреннего генератора осциллографа, заряжающего конденсатор прямоугольными импульсами с частотой 2 кГц . Колебания напряжения на катушке подаются на вход осциллографа и наблюдаются на экране.

Магазин емкостей имеет два ряда клавиш для установки требуемой величины емкости. Верхний ряд позволяет устанавливать декады (от 10-3 до 1 мкФ), а нижний - единицы. Так, например, чтобы получить емкость 0,07 мкФ необходимо в верхнем ряду утопить клавишу 10-2, а в нижнем - 7.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ измерений

Изучить электрическую схему установки. Включить приборы и дать им прогреться 5 минут.

Установить на магазине емкостей величину 110-3 мкФ.

Получить на экране осциллографа устойчивую картину колебаний. В ходе измерений необходимо устанавливать такую величину длительности развертки (Время/дел), чтобы величина периода составляла не менее 2 - 3 больших делений на экране. Стабилизацию изображения можно осуществлять ручками "Стабильность" и "Уровень".

Измерить величину одного периода колебаний в больших делениях шкалы экрана. Результат занести в строку 2 Таблицы 1.

Примечание. Для повышения точности измерений рекомендуется определять  время, в течение которого происходят 2 - 3 колебания, а затем определять  период, разделив полученное время на число колебаний.

 

 

  Таблица 1.

1

С, мкФ

110-3

210-3

510-3

110-2

210-2

510-2

0,1

2

Т, дел

3

Развертка,

с/дел

4

Т, с

5

lg (C)

6

lg (T)

 

В строку 3 Таблицы 1 занести величину развертки, при которой производились измерения.

Произвести измерения и расчеты в соответствии с пп. 3 - 5 величины периодов колебаний  при всех значениях емкостей, указанных в Таблице 1.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Для проверки справедливости формулы (6) необходимо построить график     зависимости логарифма периода колебаний от логарифма емкости контура:

 lg (T) = f (lg (C)).          (7)

В случае справедливости формулы (6) построенный график должен    представлять из себя прямую:

 y = ax + b,                                                                 (8)

где: y = lg (T), x = lg (C), a = 1/2, b = lg (2L ).

Для построения графика рекомендуется в строки 5 и 6 Таблицы 1 занести     значения логарифмов периода Т и емкости С.

Выбрать масштаб и построить на миллиметровой бумаге график функции (7). Для размеров графика рекомендуются следующие величины: по горизонтали - 10 ...12 см, по вертикали - 8 ...10 см.

С помощью метода наименьших квадратов (МНК), основы которого   приведены в приложении, найти значения коэффициентов а и b в формуле   (8).

По найденной величине b рассчитать величину индуктивности контура.

Проанализировать полученные результаты (соответствие экспериментальных данных теоретической формуле (6)) и написать заключение по работе, приведя в нем полученное значение индуктивности L.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вывести дифференциальное уравнение колебаний в идеальном электрическом контуре.

Как на основании уравнения (5) получить выражение для закона изменения     напряжения на конденсаторе ?

Как из начальных условий получить величины амплитуды колебаний и     начальной фазы ?

Сравнивая колебательные процессы пружинного маятника и LC-контура, описать роль емкости и индуктивности (привести электромеханические аналогии).

Описать характер изменения энергии электрического и магнитного полей в     ходе колебательного процесса в LC-контуре.

Литература

Савельев И.В. Курс общей физики, т.2. Электричество. М: Наука, 1970 г.  99.

Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. - 2 изд.- М.:Выс. шк., 1990.  143.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ОСНОВЫ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Метод наименьших квадратов (МНК) служит для нахождения оптимальных значений коэффициентов при аппроксимации экспериментальных данных степенными функциями.

Допустим, что из теории известно, что некоторая величина Y линейно зависит от величины Х:

                    Y = a  X + b,                                                                       (1п)

но нам неизвестны значения коэффициентов a и b.

Пусть в результате опыта нами получен набор значений Yi, соответствующих значениям Хi, где i - изменяется от 1 до n (n - число проведенных опытов).

Построив график Y = f (X) (рис. 1п) мы замечаем, что экспериментальные точки не лежат на одной прямой, что связано, в первую очередь, с неизбежными    Рис. 1п      погрешностями измерений.

Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения коэффициентов a и b в уравнении (1п), чтобы теоретическая кривая была как можно ближе к экспериментальным точкам, то есть сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от теоретической кривой была минимальна:

.          (2п)

В данном случае (линейной зависимости) величина Q зависит от двух параметров a и b, и в точке минимума производная по ним от Q должна быть равна 0:

                                                                                     (3п)

Взяв соответствующие частные производные получаем:

                      

После несложных алгебраических преобразований получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения коэффициентов a и b:

                .

Отсюда имеем:

                      Рассмотрим пример.

Известно, что при равноускоренном движении скорость зависит от времени по закону:

                       V = Vo + a  t .

Пусть в результате измерения скорости получены следующие результаты (Таблица 1п).

 

                           

           Таблица 1п

1

2

3

4

5

t (с)

0,5

1,0

2,0

2,5

3,0

V (м/с)

2,1

2,9

5,0

6,2

7,5

По полученным данным необходимо найти начальную скорость Vo и ускорение a. Для этого воспользуемся МНК. Составим таблицу данных (Таблица 2п).

                                        Таблица 2п

Xi

Yi

Xi2

Xi  Yi

ti

Vi

t i2

t i  Vi

1

0,5

2,1

0,25

1,05

2

1,0

2,9

1,0

2,9

3

2,0

5,0

4,0

10,0

4

2,5

6,2

6,25

15,5

5

3,0

7,5

9,0

22,5

9,0

23,7

20,5

51,95

Подставляя значения из Таблицы 2п в формулы (4п), (5п), (6п), получаем:

                

Таким образом, в результате опыта после оценки по методу наименьших квадратов получены следующие значения параметров:

                 ускорение                     a  = 2,39 м/с2,

                 начальная скорость    Vo = 0,935 м/с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53579. Стратегии финансирования оборотных средств 26 KB
  В теории финансового менеджмента выделяются следующие стратегии финансирования оборотных активов: идеальная, агрессивная, консервативная и компромиссная.
53580. Путешествие в страну Английский язык. Приветствие. Знакомство с одноклассниками, учителем. Знакомство с профессиями 93.5 KB
  Путешествие в страну Английский язык. Приветствие. Знакомство с одноклассниками, учителем. Знакомство с профессиями. Цель: Ознакомление с предметом «Английский язык». Введение ЛЕ по теме (слова приветствия, прощания), их первичное закрепление в речи учащихся.
53582. Тропинка к своему Я (уроки психологии в начальной школе) 531 KB
  Ребенок лучше всего запоминает информацию, когда не только слышит ее, но и видит ее наглядное отображение, имеет возможность потрогать изучаемый объект. Внимание и па мять пока еще в основном непроизвольны, то есть для концентрации ребенку требуется внешняя помощь (интересные картинки, звуковые сигналы, игровые ситуации)
53583. Афины при Перикле 87.5 KB
  Сформировать представление о деятельности народного собрания о причинах возвышения и расцвета Афин. А так же сформировать понимание у учащихся в чем проявилась особенность афинской демократии. Вождь афинской демократии Перикл.
53584. Настоящее и прошедшее время глагола 60.5 KB
  Задачи урока: 1. Привлечь внимание детей к значению в нашей речи глагола; Оборудование: учебник Форма проведения: традиционная Тип урока: комбинированный Структура урока: 1. Работа по теме урока 5.
53585. Изображение и реальность 1.42 MB
  Планируемые результаты урока: Предметные: в познавательной сфере в ценностно-эстетической сфере – умения различать и передавать в художественно-творческой деятельности характер эмоциональное состояние и своё отношение к природе обществу; в коммуникативной сфере способность высказывать суждения о художественных особенностях произведений; в трудовой сфере – умение использовать различные материалы и средства художественной выразительности для передачи замысла в собственной художественной деятельности.
53586. Базовые концепции финансового менеджмента: концепция временной стоимости денег, концепция денежного потока, компромисса между риском и доходностью, концепция стоимости капитала 26 KB
  Концепция временной ценности денежных ресурсов. Важнейшую роль играет фактор времени. В результате денежная единица, имеющаяся сегодня, и денежная единица, ожидаемая к получению через какое-то время, не равноценны (инфляция, риск неполучения ожидаемой суммы и оборачиваемость).