23384

Определение погрешностей при измерении периода колебаний математического маятника

Лабораторная работа

Физика

Цель работы изучить характер распределения погрешностей прямых измерений и оценить их величину при определении периода колебания математического маятника. В задачу измерений кроме определения измеряемой величины входит оценка допущенных погрешностей. Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью измерительных приборов неточностью метода измерений неточностью изготовления объекта измерений. Оценка случайных погрешностей прямых измерений.

Русский

2013-08-05

1.3 MB

90 чел.

11

PAGE  - 15 -

Московский государственный технический

университет им. Н. Э. Баумана.

Калужский филиал.

Б.И. Мясников

«Определение погрешностей при измерении периода колебаний

математического маятника»

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1

по курсу «Физические основы механики, молекулярной физики и

термодинамики».

Калуга 2006 г.

Цель работы - изучить характер распределения погрешностей прямых измерений и оценить их величину при определении периода колебания математического маятника.

1. Теоретическая часть.

1.1. Погрешности при измерениях.

Измерить физическую величину - значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за эталон (за меру). Этому эталону присваивают конкретное название единицы измерения.

Различают прямые измерения, при которых искомая величина измеряется непосредственно, и косвенные измерения, при которых искомая величина связана функциональной зависимостью с другими величинами, измеряемыми непосредственно. Например, при определении скорости движения тела могут быть измерены длина пройденного пути и затраченное на этот путь время, а затем по известным формулам рассчитана скорость тела.

Из-за несовершенства измерительной аппаратуры при любых измерениях получаются лишь приближенные значения измеряемых величин. Это означает, что при любых измерениях мы неизбежно допускаем некоторые ошибки (погрешности). В задачу измерений, кроме определения измеряемой величины, входит оценка допущенных погрешностей.

Погрешности делятся на две основные группы: систематические и случайные.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью измерительных приборов, неточностью метода измерений, неточностью изготовления объекта измерений. Например, шкала линейки может быть неравномерной, стрелка амперметра может не стоять на нуле при отсутствии электрического тока, капилляр термометра может иметь на различных участках различное сечение и т.д. Такие ошибки принципиально устранимы.

Случайные погрешности обусловлены большим числом как объективных, так и субъективных причин, действие которых на каждое измерение не может быть учтено заранее. К таким погрешностям приводят неточность измерительных приборов, связанная, например, с изменением силы трения в движущихся частях приборов; непостоянство внешних условий опыта, например, случайные колебания температуры; несовершенство органов чувств и т.п.

Исключить случайные погрешности нельзя, но оценить их можно, поскольку они подчиняются законам теории вероятностей, установленным для случайных явлений.

1.2. Оценка случайных погрешностей прямых измерений.

В теории погрешностей делается два основных предположения:

1) случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

2) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые.

Если провести серию из  прямых измерений некоторой физической величины  и получить при этом значения

,

то, очевидно, средняя арифметическая величина

будет достовернее отдельных результатов.

Назовем абсолютной погрешностью измерения разность между истинным значением измеряемой величины и результатом каждого измерения:

При бесконечно большом числе измерений в силу первого предположения, среднее арифметическое значение будет равно истинному значению определяемой величины:

(при ),

ибо в этом случае среднее арифметическое значение абсолютной погрешности обратилось бы в нуль:

При ограниченном количестве измерений среднее арифметическое значение  будет отличаться от истинного. Чтобы оценить это расхождение, нужно уставить некоторый интервал, в пределах которого лежит   измеряемая величина (доверительный интервал). Для того чтобы найти этот доверительный интервал, необходимо установить, с какой частотой появляются погрешности различной величины, т.е. установить закон распределения погрешностей. Теория вероятностей помогает найти этот закон. Величина погрешности  может принимать различные значения.

Разобьем полный интервал изменения переменной величины на более узкие равные интервалы и будем определять, с какой частотой появится погрешность в данном узком интервале (Рис. 1.).

При стремлении ширины узкого интервала к нулю и числа измерений к бесконечности ломаная линия превращается в плавную кривую распределения погрешностей, аналитическая формула которой имеет вид:

Функция  называется плотностью распределения вероятностей погрешности . Здесь  - основание натуральных логарифмов,  - некоторый параметр распределения.

В этом законе максимум кривой соответствует . Следовательно, при бесконечно большом числе измерений истинное значение величины оказывается наиболее вероятным.

Входящий в этот закон распределения (Гаусса) параметр  называется дисперсией. Эта величина характеризует разброс погрешностей: при большом значении дисперсии кривая расплывается; в случае  большие отклонения от истинного значения измеряемой величины встречается чаще, чем в случае  (Рис. 2.).

Величина  зависит от условий измерений и может быть приближенно выражена через измеряемые величины. Можно показать, что если число наблюдений очень велико (), то величина дисперсии оказывается равной среднему арифметическому квадрату погрешностей отдельных измерений (Рис. 1.):

При ограниченном числе измерений приближенным выражением для дисперсии распределения погрешностей результата серии измерений будет:

Рис. 1. Закон нормального распределения Гаусса.

Рис. 2. Пример кривых Гаусса.

В этом случае погрешность отдельного измерения  находится как разность между средним арифметическим значением и результатом данного измерения.

После того как выполнена серия измерений и получено среднее арифметическое значение этой серии, а также определена дисперсия этих измерений, можно определить, насколько среднее арифметическое значение отличается от истинного значения измеряемой величины. Для этого в теории погрешностей пользуются понятием «доверительный интервал» и «надежность». Эти понятия взаимно связаны и определяются следующим образом.

Под доверительным интервалом принимается интервал, в середине которого расположено среднее арифметическое значение измеряемой величины.

,

где  - полуширина доверительного интервала, которая является оценкой погрешности результата серии измерений.

Истинное значение  измеряемой величины с заданной надежностью находится в заданном интервале.

Под надежностью результата серии измерений понимается вероятность  того, что истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал. Величина  выражается в процентах или долях единицы. Чем больше значение погрешности , тем с большей надежностью искомая величина попадает в этот интервал.

Задавая  в долях , можно получить величину надежности в соответствии с кривыми распределения погрешностей. Так, при многократном повторении серии по  измерений в каждой серии, где , и при , т.е. в случае доверительного интервала , надежность  (или 68 %). Это значит, что за пределы доверительного интервала выпадает 32 % результатов серий измерений.

При       

             

В последнем случае лишь 0,3 % результатов серий измерений выпадает за пределы доверительного интервала. На Рис. 3. приведены графики, характеризующие величину надежности (заштрихованная площадь кривой). Здесь

,

где  - коэффициент, определяющий величину доверительного интервала.

Рассмотренный нами закон нормального распределения Гаусса оказывается несправедливым при малых значениях числа измерений.

Английскому ученому Госсету (псевдоним «Стьюдент») удалось получить кривые распределения в случае небольшого числа измерений. Распределение Стьюдента позволяет оценить величину погрешности результата и найти доверительный интервал при заданном числе измерений и заданной величине надежности.

Пределы истинного значения измеряемой величины

могут быть найдены с помощью определенных коэффициентов Стьюдента .

Искомая величина находится в виде:

,

где ,

     ,

      - средняя квадратичная погрешность результатов измерений.

Коэффициент  находится по таблице приложения для соответствующих величин числа измерений и надежности.

Для оценки точности измерений вводится понятие относительной погрешности :

Обычно эта погрешность выражается в процентах:

Рис. 3.

Вычисления при обработке результатов прямых измерений рекомендуется проводить в определенном порядке:

1. Записать результаты каждого измерения в таблицу.

2. Вычислить среднее значение из  измерений:

3. Найти погрешность отдельных измерений

4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений

Резко отличающиеся измерения отбросить, считая их промахами.

5. Определить среднюю квадратичную погрешность результата серии измерений:

6. Задать значение надежности .

7. Определить коэффициент Стьюдента  для заданной надежности  и числа произведенных измерений  по таблице (см. приложение).

8. Найти полуширину доверительного интервала (погрешность результата измерений)

9. Если величина погрешности результата измерений окажется сравнимой с величиной погрешности прибора, то в качестве полуширины доверительного интервала взять величину

,

где  ,

       - величина погрешности  прибора.

У некоторых приборов за погрешность  принимается цена деления прибора.

1.3. Оценка случайных погрешностей косвенных измерений.

Оценить границы доверительного интервала при косвенных измерениях чрезвычайно сложно, и в настоящее время не существует универсального способа определения этих границ для заданной надежности. Предлагается принять приближенную оценку погрешности косвенных измерений в соответствии с приведенной ниже литературой.

Если измеряемая физическая величина является функцией нескольких переменных

,

то в этом случае нужно руководствоваться следующими правилами:

1. Для каждой серии измерений входящих величин необходимо провести обработку результатов, описанную в предыдущем параграфе, и получить значения доверительных интервалов

При этом для всех измеряемых величин задается одно и то же значение надежности .

2. Границы доверительного интервала для результата косвенных измерений могут быть определены по формуле:

Здесь , , ,... - частные производные, которые вычисляются при средних значениях параметров:

, , ,…

(Частная производная функций многих переменных по одной переменной является обычной производной по этой переменной, если другие переменные при этом считаются постоянными.)

3. Окончательный результат записать в виде:

4. Определить относительную погрешность результата

В заключение сделаем два замечания.

1. Если случайные погрешности результатов измерений меньше, чем погрешность измерительного прибора, то только погрешность прибора определит погрешность окончательного результата как прямых, так и косвенных измерений.

2. Необходимо помнить правила округления результатов. Например, если величина абсолютной погрешности составляет сотые доли, значит, мы ошибаемся в сотых долях, и нет смысла сохранять тысячные доли в результате.

2. Экспериментальная часть.

В данной работе предлагается провести многократные измерения периода колебания математического маятника (при постоянной амплитуде) с помощью электрического секундомера с ценой деления , являющейся погрешностью  секундомера.

2.1. Выполнение эксперимента.

1. Установить длину маятника .

2. Вывести маятник из положения равновесия, задав амплитуду, например, .

3. Отпустить маятник, и после того, как будет совершено одно его полное колебание, измерить период одного следующего полного колебания. Для этого в момент прохождения маятником крайнего положения включить секундомер. При повторном прохождении этого же крайнего положения секундомер выключить.

4. Измерения, указанные в параграфе 3, провести  раз, положив .

5. Полученные значения периодов занести в таблицу № 1.

6. Для построения гистограммы необходимо:

а) По горизонтальной оси отложить время, соответствующее полученным периодам колебаний, в масштабе , приняв за начало координат минимальное значение периода (см. Рис. 4.). По вертикальной оси отложить число появлений  того или иного периода в масштабе  - одно появление.

б) Обозначив минимальный период через , подсчитать общее число появлений четырех периодов: , , , . На отрезке  построить прямоугольник с высотой, равной общему числу появлений этих четырех периодов.

в) Подсчитать общее число появлений следующих четырех периодов: , , , . За основание соответствующего прямоугольника взять отрезок . Высота прямоугольника должна быть равна соответствующему числу появлений периодов.

г) указанные построения проделать для всех периодов, полученных в эксперименте.

Таблица № 1.

1

2

3

.

.

.

60

Рис. 4. Построение гистограммы.

7. Провести обработку результатов измерений в следующем порядке:

а) Вычислить среднее значение  из  измерений:

б) Вычислить погрешности отдельных измерений

в) Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений

г) Определить среднюю квадратичную погрешность результата серии измерений:

д) Результаты, полученные в пунктах а, б, в, г, занести в таблицу № 1.

е) Найти в справочной таблице коэффициент Стьюдента  для надежности  и числа проведенных измерений .

ж) Определить полуширину доверительного интервала:

з) Окончательный результат записать в виде:

и) Оценить относительную погрешность результата серии измерений

8. На оси периодов  отметить среднее арифметическое значение , величину  и . При достаточно большом числе измерений в интервал  должно попадать наибольшее число значений полученных периодов.

9. Для точных измерений периода колебаний маятника обычно используют метод, при котором измеряется время  большего числа  колебаний. Положив , найти период колебаний по формуле  и сравнить этот результат со значением  в п. 7а.

3. Контрольные вопросы.

1. Что называется доверительным интервалом и надежностью?

2. Что такое средняя квадратичная погрешность?

3. Что такое дисперсия распределения?

4. В каком случае дисперсия распределения равна квадрату средней квадратичной погрешности?

5. Зависит ли точность измерения периода колебания маятника методом, использованным в п.9 от величины начальной амплитуды?

4. Приложение.

Для большинства технических измерений ГОСТ (государственный стандарт) или ведомственные правила (ОСТ) устанавливают надежность измерений . Поэтому и в нашем практикуме вы будете все результаты приводить с надежностью . При этом для нашего физического практикума из таблицы Стьюдента потребуется только следующая строчка:

2

3

4

5

6

10

60

12,7

4,3

3,2

2,8

2,7

2,2

2

5. Литература.

1. О.Н. Кассандрова, В.В. Лебедев. «Обработка результатов наблюдений». М., «Наука», 1970.

2. А.Н. Зайдель. «Элементарные оценки измерений». М., «Наука», 1968.

3. И.С. Роменко. «Руководство по вычислению ошибок измерений». М., изд. МИФИ, 1969.

4. Савельев И.В. «Курс общей физики в пяти книгах». М., АСТРЕЛЬ, А.С.Т., 2003.


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76823. Гортань (ларингс) 183.27 KB
  Скелет гортани образуют хрящи и их соединения между собой. Связки и суставы гортани Орган связывает с подъязычной костью щитовидноподъязычная мембрана состоящая из непарной срединной связки и парных боковых – правой и левой. В желудочковой части гортани находятся преддверные и голосовые связки. Эластический конус это фиброзноэластическая мембрана гортани расположенная непосредственно под слизистой оболочкой в нижней части органа т.
76824. Мышцы гортани 181.17 KB
  Гортань лежит на уровне от IV до VIVII шейных позвонков имея спереди и по бокам щитовидную железу поверхностную и трахеальную фасции подподъязычные мышцы; сзади глотку вверху подъязычную кость. Мышцы гортани подразделяются на три группы: расширители дилататоры голосовой щели суживатели констрикторы напряжители тензоры голосовых связок. Мышцырасширители дилататоры.
76825. Трахея и бронхи 184.75 KB
  Она начинается от гортани на уровне VI шейного позвонка заканчивается на уровне IV V грудных позвонков делением на два главных бронха. Приносящие лимфатические сосуды впадают в глубокие шейные лимфатические узлы внутренние яремные а также в трахебронхиальные пред и паратрахеальные узлы. На уровне IVV грудных позвонков трахея образует раздвоение бифуркацию и переходит в правый и левый главные бронхи или иначе обозначая в бронхи первого порядка.
76826. Легкие (пульмо, пневмон) 181.97 KB
  Закладки легких на 6й неделе достигают грудной полости где соматоплевра образует два плевральных мешка и покрывает легкие висцеральным листком. Ритмические сокращения зачатков легких начинаются на 13й неделе эмбрионального развития а с рождением они переходят в дыхательные движения. Сегмент участок доли имеет основание обращенное к поверхностям легких верхушку направленную к корню. Сегментарному строению легких соответствует ветвление бронхиального дерева и легочной артерии.
76827. Корни легких 180.58 KB
  Корень легкого состоит из главного бронха легочной артерии верхней и нижней легочных вен; лимфатических сосудов и узлов нервов переднего и заднего легочного сплетения. Корень располагается в воротах легкого. Они представляют собой овальное углубление на медиальной поверхности легкого которое делит ее на позвоночную и медиастинальную части. В топографии составляющих корня легкого имеется существенное различие.
76828. Плевра - серозная оболочка из соединительнотканной основы покрытой мезотелием 180.66 KB
  Отделы и полость плевры. Границы плевры. Над верхней грудной апертурой выступают правый и левый купола плевры фиксированные связками к первому ребру VII шейному позвонку и длинной мышце шеи. Купола плевры сзади достигают шейки первого ребра а спереди приподнимаются над ребром на 34 см; ключицей на 12 см.
76829. Средостение (медиастинум) 179.77 KB
  Верхнее и нижнее средостение разделены горизонтальной плоскостью проходящей через грудинный симфиз соединение рукоятки и тела и межпозвоночный диск между IV и V грудными позвонками. Нижнее средостение делится фронтальными плоскостями проведенными впереди и позади сердца на переднее среднее и заднее. По Базельской номенклатуре средостение подразделяется на переднее и заднее фронтальной плоскостью проходящей через корни легких и бифуркацию трахеи.
76830. Почки (нефрос, рен) 183.99 KB
  Почки новорожденных располагают бугристым рельефом поверхностей как бы сохраняя дольчатость строения. Подростки к концу периода имеют почки длиною в 1011 см массой в 120 г. С возрастом изменяется топография почки в плане опускания ее на уровень нижних поясничных позвонков.
76831. Топография почек 181.34 KB
  Почки расположены в забрюшинном пространстве живота у его задней стенки и по бокам от поясничного позвоночника. Аномалии топографии почек проявляются в виде дистопий высокого или низкого расположения блуждающей почки. Передняя поверхность верхней трети правой почки через париетальную брюшину прикасается к печени нижней трети к правому изгибу ободочной кишки. Передняя поверхность левой почки через брюшину соседствует в верхней трети с желудком в средней с поджелудочной железой в нижней с петлями тонкой кишки.