23384

Определение погрешностей при измерении периода колебаний математического маятника

Лабораторная работа

Физика

Цель работы изучить характер распределения погрешностей прямых измерений и оценить их величину при определении периода колебания математического маятника. В задачу измерений кроме определения измеряемой величины входит оценка допущенных погрешностей. Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью измерительных приборов неточностью метода измерений неточностью изготовления объекта измерений. Оценка случайных погрешностей прямых измерений.

Русский

2013-08-05

1.3 MB

96 чел.

11

PAGE  - 15 -

Московский государственный технический

университет им. Н. Э. Баумана.

Калужский филиал.

Б.И. Мясников

«Определение погрешностей при измерении периода колебаний

математического маятника»

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1

по курсу «Физические основы механики, молекулярной физики и

термодинамики».

Калуга 2006 г.

Цель работы - изучить характер распределения погрешностей прямых измерений и оценить их величину при определении периода колебания математического маятника.

1. Теоретическая часть.

1.1. Погрешности при измерениях.

Измерить физическую величину - значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за эталон (за меру). Этому эталону присваивают конкретное название единицы измерения.

Различают прямые измерения, при которых искомая величина измеряется непосредственно, и косвенные измерения, при которых искомая величина связана функциональной зависимостью с другими величинами, измеряемыми непосредственно. Например, при определении скорости движения тела могут быть измерены длина пройденного пути и затраченное на этот путь время, а затем по известным формулам рассчитана скорость тела.

Из-за несовершенства измерительной аппаратуры при любых измерениях получаются лишь приближенные значения измеряемых величин. Это означает, что при любых измерениях мы неизбежно допускаем некоторые ошибки (погрешности). В задачу измерений, кроме определения измеряемой величины, входит оценка допущенных погрешностей.

Погрешности делятся на две основные группы: систематические и случайные.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью измерительных приборов, неточностью метода измерений, неточностью изготовления объекта измерений. Например, шкала линейки может быть неравномерной, стрелка амперметра может не стоять на нуле при отсутствии электрического тока, капилляр термометра может иметь на различных участках различное сечение и т.д. Такие ошибки принципиально устранимы.

Случайные погрешности обусловлены большим числом как объективных, так и субъективных причин, действие которых на каждое измерение не может быть учтено заранее. К таким погрешностям приводят неточность измерительных приборов, связанная, например, с изменением силы трения в движущихся частях приборов; непостоянство внешних условий опыта, например, случайные колебания температуры; несовершенство органов чувств и т.п.

Исключить случайные погрешности нельзя, но оценить их можно, поскольку они подчиняются законам теории вероятностей, установленным для случайных явлений.

1.2. Оценка случайных погрешностей прямых измерений.

В теории погрешностей делается два основных предположения:

1) случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

2) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые.

Если провести серию из  прямых измерений некоторой физической величины  и получить при этом значения

,

то, очевидно, средняя арифметическая величина

будет достовернее отдельных результатов.

Назовем абсолютной погрешностью измерения разность между истинным значением измеряемой величины и результатом каждого измерения:

При бесконечно большом числе измерений в силу первого предположения, среднее арифметическое значение будет равно истинному значению определяемой величины:

(при ),

ибо в этом случае среднее арифметическое значение абсолютной погрешности обратилось бы в нуль:

При ограниченном количестве измерений среднее арифметическое значение  будет отличаться от истинного. Чтобы оценить это расхождение, нужно уставить некоторый интервал, в пределах которого лежит   измеряемая величина (доверительный интервал). Для того чтобы найти этот доверительный интервал, необходимо установить, с какой частотой появляются погрешности различной величины, т.е. установить закон распределения погрешностей. Теория вероятностей помогает найти этот закон. Величина погрешности  может принимать различные значения.

Разобьем полный интервал изменения переменной величины на более узкие равные интервалы и будем определять, с какой частотой появится погрешность в данном узком интервале (Рис. 1.).

При стремлении ширины узкого интервала к нулю и числа измерений к бесконечности ломаная линия превращается в плавную кривую распределения погрешностей, аналитическая формула которой имеет вид:

Функция  называется плотностью распределения вероятностей погрешности . Здесь  - основание натуральных логарифмов,  - некоторый параметр распределения.

В этом законе максимум кривой соответствует . Следовательно, при бесконечно большом числе измерений истинное значение величины оказывается наиболее вероятным.

Входящий в этот закон распределения (Гаусса) параметр  называется дисперсией. Эта величина характеризует разброс погрешностей: при большом значении дисперсии кривая расплывается; в случае  большие отклонения от истинного значения измеряемой величины встречается чаще, чем в случае  (Рис. 2.).

Величина  зависит от условий измерений и может быть приближенно выражена через измеряемые величины. Можно показать, что если число наблюдений очень велико (), то величина дисперсии оказывается равной среднему арифметическому квадрату погрешностей отдельных измерений (Рис. 1.):

При ограниченном числе измерений приближенным выражением для дисперсии распределения погрешностей результата серии измерений будет:

Рис. 1. Закон нормального распределения Гаусса.

Рис. 2. Пример кривых Гаусса.

В этом случае погрешность отдельного измерения  находится как разность между средним арифметическим значением и результатом данного измерения.

После того как выполнена серия измерений и получено среднее арифметическое значение этой серии, а также определена дисперсия этих измерений, можно определить, насколько среднее арифметическое значение отличается от истинного значения измеряемой величины. Для этого в теории погрешностей пользуются понятием «доверительный интервал» и «надежность». Эти понятия взаимно связаны и определяются следующим образом.

Под доверительным интервалом принимается интервал, в середине которого расположено среднее арифметическое значение измеряемой величины.

,

где  - полуширина доверительного интервала, которая является оценкой погрешности результата серии измерений.

Истинное значение  измеряемой величины с заданной надежностью находится в заданном интервале.

Под надежностью результата серии измерений понимается вероятность  того, что истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал. Величина  выражается в процентах или долях единицы. Чем больше значение погрешности , тем с большей надежностью искомая величина попадает в этот интервал.

Задавая  в долях , можно получить величину надежности в соответствии с кривыми распределения погрешностей. Так, при многократном повторении серии по  измерений в каждой серии, где , и при , т.е. в случае доверительного интервала , надежность  (или 68 %). Это значит, что за пределы доверительного интервала выпадает 32 % результатов серий измерений.

При       

             

В последнем случае лишь 0,3 % результатов серий измерений выпадает за пределы доверительного интервала. На Рис. 3. приведены графики, характеризующие величину надежности (заштрихованная площадь кривой). Здесь

,

где  - коэффициент, определяющий величину доверительного интервала.

Рассмотренный нами закон нормального распределения Гаусса оказывается несправедливым при малых значениях числа измерений.

Английскому ученому Госсету (псевдоним «Стьюдент») удалось получить кривые распределения в случае небольшого числа измерений. Распределение Стьюдента позволяет оценить величину погрешности результата и найти доверительный интервал при заданном числе измерений и заданной величине надежности.

Пределы истинного значения измеряемой величины

могут быть найдены с помощью определенных коэффициентов Стьюдента .

Искомая величина находится в виде:

,

где ,

     ,

      - средняя квадратичная погрешность результатов измерений.

Коэффициент  находится по таблице приложения для соответствующих величин числа измерений и надежности.

Для оценки точности измерений вводится понятие относительной погрешности :

Обычно эта погрешность выражается в процентах:

Рис. 3.

Вычисления при обработке результатов прямых измерений рекомендуется проводить в определенном порядке:

1. Записать результаты каждого измерения в таблицу.

2. Вычислить среднее значение из  измерений:

3. Найти погрешность отдельных измерений

4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений

Резко отличающиеся измерения отбросить, считая их промахами.

5. Определить среднюю квадратичную погрешность результата серии измерений:

6. Задать значение надежности .

7. Определить коэффициент Стьюдента  для заданной надежности  и числа произведенных измерений  по таблице (см. приложение).

8. Найти полуширину доверительного интервала (погрешность результата измерений)

9. Если величина погрешности результата измерений окажется сравнимой с величиной погрешности прибора, то в качестве полуширины доверительного интервала взять величину

,

где  ,

       - величина погрешности  прибора.

У некоторых приборов за погрешность  принимается цена деления прибора.

1.3. Оценка случайных погрешностей косвенных измерений.

Оценить границы доверительного интервала при косвенных измерениях чрезвычайно сложно, и в настоящее время не существует универсального способа определения этих границ для заданной надежности. Предлагается принять приближенную оценку погрешности косвенных измерений в соответствии с приведенной ниже литературой.

Если измеряемая физическая величина является функцией нескольких переменных

,

то в этом случае нужно руководствоваться следующими правилами:

1. Для каждой серии измерений входящих величин необходимо провести обработку результатов, описанную в предыдущем параграфе, и получить значения доверительных интервалов

При этом для всех измеряемых величин задается одно и то же значение надежности .

2. Границы доверительного интервала для результата косвенных измерений могут быть определены по формуле:

Здесь , , ,... - частные производные, которые вычисляются при средних значениях параметров:

, , ,…

(Частная производная функций многих переменных по одной переменной является обычной производной по этой переменной, если другие переменные при этом считаются постоянными.)

3. Окончательный результат записать в виде:

4. Определить относительную погрешность результата

В заключение сделаем два замечания.

1. Если случайные погрешности результатов измерений меньше, чем погрешность измерительного прибора, то только погрешность прибора определит погрешность окончательного результата как прямых, так и косвенных измерений.

2. Необходимо помнить правила округления результатов. Например, если величина абсолютной погрешности составляет сотые доли, значит, мы ошибаемся в сотых долях, и нет смысла сохранять тысячные доли в результате.

2. Экспериментальная часть.

В данной работе предлагается провести многократные измерения периода колебания математического маятника (при постоянной амплитуде) с помощью электрического секундомера с ценой деления , являющейся погрешностью  секундомера.

2.1. Выполнение эксперимента.

1. Установить длину маятника .

2. Вывести маятник из положения равновесия, задав амплитуду, например, .

3. Отпустить маятник, и после того, как будет совершено одно его полное колебание, измерить период одного следующего полного колебания. Для этого в момент прохождения маятником крайнего положения включить секундомер. При повторном прохождении этого же крайнего положения секундомер выключить.

4. Измерения, указанные в параграфе 3, провести  раз, положив .

5. Полученные значения периодов занести в таблицу № 1.

6. Для построения гистограммы необходимо:

а) По горизонтальной оси отложить время, соответствующее полученным периодам колебаний, в масштабе , приняв за начало координат минимальное значение периода (см. Рис. 4.). По вертикальной оси отложить число появлений  того или иного периода в масштабе  - одно появление.

б) Обозначив минимальный период через , подсчитать общее число появлений четырех периодов: , , , . На отрезке  построить прямоугольник с высотой, равной общему числу появлений этих четырех периодов.

в) Подсчитать общее число появлений следующих четырех периодов: , , , . За основание соответствующего прямоугольника взять отрезок . Высота прямоугольника должна быть равна соответствующему числу появлений периодов.

г) указанные построения проделать для всех периодов, полученных в эксперименте.

Таблица № 1.

1

2

3

.

.

.

60

Рис. 4. Построение гистограммы.

7. Провести обработку результатов измерений в следующем порядке:

а) Вычислить среднее значение  из  измерений:

б) Вычислить погрешности отдельных измерений

в) Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений

г) Определить среднюю квадратичную погрешность результата серии измерений:

д) Результаты, полученные в пунктах а, б, в, г, занести в таблицу № 1.

е) Найти в справочной таблице коэффициент Стьюдента  для надежности  и числа проведенных измерений .

ж) Определить полуширину доверительного интервала:

з) Окончательный результат записать в виде:

и) Оценить относительную погрешность результата серии измерений

8. На оси периодов  отметить среднее арифметическое значение , величину  и . При достаточно большом числе измерений в интервал  должно попадать наибольшее число значений полученных периодов.

9. Для точных измерений периода колебаний маятника обычно используют метод, при котором измеряется время  большего числа  колебаний. Положив , найти период колебаний по формуле  и сравнить этот результат со значением  в п. 7а.

3. Контрольные вопросы.

1. Что называется доверительным интервалом и надежностью?

2. Что такое средняя квадратичная погрешность?

3. Что такое дисперсия распределения?

4. В каком случае дисперсия распределения равна квадрату средней квадратичной погрешности?

5. Зависит ли точность измерения периода колебания маятника методом, использованным в п.9 от величины начальной амплитуды?

4. Приложение.

Для большинства технических измерений ГОСТ (государственный стандарт) или ведомственные правила (ОСТ) устанавливают надежность измерений . Поэтому и в нашем практикуме вы будете все результаты приводить с надежностью . При этом для нашего физического практикума из таблицы Стьюдента потребуется только следующая строчка:

2

3

4

5

6

10

60

12,7

4,3

3,2

2,8

2,7

2,2

2

5. Литература.

1. О.Н. Кассандрова, В.В. Лебедев. «Обработка результатов наблюдений». М., «Наука», 1970.

2. А.Н. Зайдель. «Элементарные оценки измерений». М., «Наука», 1968.

3. И.С. Роменко. «Руководство по вычислению ошибок измерений». М., изд. МИФИ, 1969.

4. Савельев И.В. «Курс общей физики в пяти книгах». М., АСТРЕЛЬ, А.С.Т., 2003.


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58065. Формування здорового способу життя 2.02 MB
  Мета: сформувати поняття про здоровий спосіб життя як умову збереження і зміцнення здоровя. Обладнання та матеріали: фотографії й плакати які дають змогу ілюструвати різний спосіб життя формування здорового способу життя. Базові поняття й терміни: здоровя спосіб життя.
58066. Сприйняття мистецтва. Імпресіонізм. Відтворення дійсності у стилі імпресіонізм. Зображення на площині. Відтворення святкового настрою. Творча робота «Ялинка на майдані» 91.5 KB
  Мета: ознайомити учнів зі стилем мистецтва імпресіонізм з творчістю художників імпресіоністів; учити спостерігати вплив світла на зміну кольорів; формувати вміння передавати світло тіньові явища відповідно до змін часу доби та пори року...
58067. Доброта творит чудеса 72.5 KB
  Цель урока: Способствовать воспитанию в детях добрых человеческих взаимоотношений, отзывчивости и милосердия к окружающим, друг к другу.
58068. Анімалістичний жанр у живопису. Знайомство з творчістю М.Приймаченко. Створення етюду-малюнку пташки на кольоровому тлі: «Снігур» 126.5 KB
  Мета: Навчальна: розширювати знання учнів про анімалістичний жанр, продовжувати вчити малювати птахів, ознайомити учнів з творчістю видатної української художниці М.Приймаченко. Розвивальна: розвивати творчі здібності, фантазію, мислення, уяву.
58069. Формування корисних і шкідливих звичок 75 KB
  Учні повинні: Знати: різницю між корисними та шкідливими звичками; вплив корисних шкідливих звичок на здоровя. Уміти: наводити приклади впливу шкідливих звичок підлітків на здоровя; сказати Ні і відмовитися від пропозиції випитизакурити тощо.
58070. Види архітектури за призначенням. Житлова архітектура. “Ескіз власного будинку” 49 KB
  Види архітектури за призначенням. Основні поняття: стилі архітектури: античний середньовічний мусульманський китайський та японський новітніх часів; елементи архітектури: фасад колона арка дах вікно балкон сходи.
58071. Вивчення маленьких прелюдій Й.С. Баха як обовязкова частина поліфонічного репертуару в молодших і середніх класах ДМШ 90.5 KB
  Серед багатьох сотень, створених композитором вокальних, вокально-інструментальних, інструментальних творів, є дуже великі, масштабні твори, такі як: меси, хорали, оркестрові сюїти, органні токати, клавірні концерти, цикл ДТК...
58072. музичний образ поліфонія фуга; зосередити увагу учнів на особливостях будови й розвитку поліфонічног. 39 KB
  Мета: розширити та поглибити знання учнів про творчість Й.С.Баха; закріпити визначення термінів і понять: «музичний образ», «поліфонія», «фуга»; зосередити увагу учнів на особливостях будови й розвитку поліфонічного твору; надати уявлення про інструмент-оркестр – орган...
58073. Музика і мистецтво слова. Байки, зміст яких пов’язаний із музикою 112 KB
  МЕТА: на новому літературному (байки І. Крилова) і музичному (Квартет № 2 О. Бородіна) матеріалі довести нерозривний звязок літератури та музики на підставі: розвитку навичок аналізу, спостереження, узагальнення; розуміння ролі засобів художньої виразності у створенні художнього образу...