23412

Сучасний етап розвитку імітаційного моделювання

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Із розвитком високопродуктивних обчислювальних систем розширились можливості імітаційного моделювання великомасштабних моделей. Основні переваги використання методів і засобів паралельного імітаційного моделювання: підвищення швидкодії імітаційних програм

Украинкский

2015-04-08

168 KB

2 чел.

МІНІСТЕРСТВО   ІНФРАСТРУКТУРИ   УКРАЇНИ

Державний університет інформаційно-комунікаційних технологій

КАФЕДРА           інфокомунікацій____________

ЗАТВЕРДЖУЮ

Завідуючий кафедрою

_______________ Костік Б.Я.

       (підпис, прізвище)

“ ____ “  _________2011  року

Лекція №  8

з навчальної дисципліни __моделювання компютерних мереж 

напряму підготовки _______інформаційні технології________

освітньо-кваліфікаційного рівня ____cпеціаліст_____________

спеціальності _____ компютерні системи та мережі_________

Тема Сучасний  етап розвитку  імітаційного моделювання

                                                               (повна назва лекції)

Лекція розроблена стар. викладач каф. Інф. Срочинська Г.С.

(вчена ступінь та звання,  прізвище та ініціали автора)

Обговорено на засіданні кафедри (ПМК)

Протокол № __________

“ ____ “ _____________ 2011 року

Київ


Навчальні цілі: Вивчення основних понять моделювання комп’ютерних мереж,  ознайомлення з поняттями системи та моделі, співвідношенням між моделлю та системою, класифікацією  моделей,  видами  моделей, технологію моделювання;

Виховні цілі: Формування у студентів інженерно-технічного кругозору, методами  імітаційного моделювання для побудови  комп’ютерних систем та мереж, вміння ставити та вирішувати складні інженерні задачі, проводити аналіз, аргументовано робити висновки.       

Час  90 хв.

ПЛАН ПРОВЕДЕННЯ ЛЕКЦІЇ ТА РОЗРАХУНОК ЧАСУ

Вступ                                                                                                    10  хвилин

Навчальні питання

1. Засоби  паралельного  моделювання

                                      (найменування питання лекції)

2. Засоби  орієнтовані на веб – технології

(найменування питання лекції)

3. Архітектура  високого  рівня

(найменування питання лекції)

 

Заключення                                                                                          10  хвилин

ЛІТЕРАТУРА:

(рекомендована для студентів)

1. В.Г. Кривуца, В.В. Барковський, Л.Н. Беркман. Математичне моделювання телекомунікаційних систем: Навч. посібник. –К.: Звязок, 2007.

НАВЧАЛЬНО-МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

(наочні посібники, схеми, таблиці, ТЗН та інше)

Діапроектор, дидактичні слайди


НАВЧАЛЬНІ МАТЕРІАЛИ

Сучасний  етап розвитку  імітаційного

моделювання  

На  сучасному  етапі  розвитку технологій  імітаційного  моделювання  слід відзначити період  кінця  90-х років  ХХ сторіччя  і  початку  ХХІ сторіччя,  який  характеризується  інтенсивним  розвитком  методів  і  засобів  моделювання  для  паралельних  і  мультипроцесорних  обчислювальних  систем,  розвитком  веб – технології  в  моделюванні,  створенням  систем  моделювання  реального  часу  з  розробкою  стандарту  HLA,  побудовою  моделюючих  систем  з  використанням  інтелектуальних  агентів  і  методів  штучного  інтелекту.

1. ЗАСОБИ  ПАРАЛЕЛЬНОГО  МОДЕЛЮВАННЯ

Із  розвитком  високопродуктивних  обчислювальних  систем  розширились  можливості  імітаційного  моделювання  великомасштабних  моделей. Основні  переваги  використання методів  і  засобів  паралельного  імітаційного  моделювання: підвищення  швидкодії  імітаційних  програм,  збільшенням  об’єму  допустимої пам’яті,  що  дає  змогу  реалізувати  значно  складніші  імітаційні  моделі  порівняно  з  одно процесорними  системами.

Для  паралельного виконання  програм  необхідно,  щоб  мови  і  пакети  моделювання забезпечували   функціонування  кількох  фрагментів програми  на  різних  процесорах.  Сучасні  операційні  системи (наприклад,  Unix, Windows)  засоби  розпізнавання  фрагментів  програм  і  планування  їх  роботи  на  різних  процесорах. Однак  неефективне  планування  може  призвести  до  нерівномірного  завантаження  процесорів,  коли  до  процесорів  будуть  створюватись  великі  черги.  Складності  під  час  планування  мають  місце,  якщо  вихідні  дані  одних  частин  програм  є  вхідними  для інших.  Прикладом  паралельної  об’єктно – орієнтованої  мови  моделювання,  яка  використовує  протокол  з  оптимістичним  алгоритмом,  є  мова  APOSTLE.  

2.ЗАСОБИ  ОРІЄНТОВАНІ НА ВЕБ – ТЕХНОЛОГІЇ

Розвиток сіткових  інформаційних  технологій  торкнувся  і  засобів  імітаційного  моделювання.  Зявилось  багато  пакетів,  які  використовують  можливості  збільшення  продуктивності  засобів  імітаційного  моделювання  шляхом  паралельного  виконання  програм  у  мережі.

Виконання  технології   клієнт – сервер відкриває  можливості  одночасної  роботи  над  великими  імітаційними  проектами  цілим  групам  користувачів.  Застосування  веб – технологій  типу  CORBA, RMI  дає  змогу  підтримувати  на  належному  рівні  технології  проектування  і  розробки  розподілених  імітаційних  моделей.

Для   роботи  в  мережі  та  організації  розподіленого  імітаційного  моделювання  потрібно  керуватись  стандартом,  яким  є  архітектура  високого  рівня.


3. АРХІТЕКТУРА  ВИСОКОГО  РІВНЯ

Архітектура  високого  рівня  HLA (High  Level Architecture) -  стандарт,  який  визначає  загальну  архітектуру  систем  розподіленого  моделювання  і  підтримує  моделювання  системи,  що  складаються  з  різних  компонентів,  які  можна  реалізувати  за  допомогою  різних  мов  моделювання.  Необхідність  розробки  стандартів  моделювання для  складних  імітаційних  моделей  виникла  ще  в  кінці  90 – х  років ХХ сторіччя.

Архітектура  високого  рівня  включає  три  елементи:

  •  правила  об’єднання;  
  •  технічні  вимоги  до  інтерфейсу;
  •  об’єктна  модель  шаблону  (ОМШ).  

На  найвищому  рівні   HLA  складаються  з  правил,  яким  повинні відповідати  умови  об’єднання  в термінах HLA.

Системи  імітаційного  моделювання

Крім  спеціалізованих  засобів  для  розробки  програм  імітаційного  моделювання  можна  використовувати  алгоритмічні  мови  загального  призначення  та  системи  візуального  програмування.  Створені  у  такий  спосіб  програми  будуть  мати більшу  швидкість,  ніж  програми,  побудовані  за  допомогою  спеціалізованих  засобів,  але  для  їх  розробки,  програмування  та  налагодження  потрібно  більше  часу. Скоротити  тривалість  розробки імітаційних  моделей  можна за  допомогою засобів  і мов імітаційного  моделювання.  Кількість  таких  засобів  вже  сягнула  за 500  і  з  кожним  роком  все збільшується.

Засоби  і мови  імітаційного  моделювання  традиційно  розділяють  на  дискретні,  неперервні  і  комбіновані.  Розглянемо  тільки  найбільш  поширені  моделі.

GPSS

Однією  з  перших  мов  моделювання,  які  полегшують  процес  написання  програм,  була  мова  GPSS, створена  у  компанії   IBM   Джеффрі  Гордоном.  Свого  часу  ця  мова  була  реалізована  практично  на  всіх  типах  комп’ютерів  і  належала  до  першого десятка  кращих  мов  програмування,  випереджаючи  навіть  мову  АЛГОЛ.  Зараз  існує  кілька  її  версій  для  персональних  комп’ютерів  (для  WindowsGPSS World).

Мова  моделювання GPSS  (General Purpose  Simulating  System – система  моделювання  моделювання  загального  призначення) використовується  для  побудови  подійних дискретних  імітаційних  моделей  і  проведення  експериментів  з  ними.  У  середовищі  GPSS модель  системи  задається  у вигляді  блок – схеми  або  послідовності  операторів  програми,  еквівалентній  блок – схемі. У різних  версіях  мови кількість  блоків  для створення  імітаційних  програм  різна  і  сягає   кількох  десятків.

Мова  моделювання  GPSS  містить  спеціальні  засоби  опису  динамічної  поведінки  імовірнісних  систем.  Цей  опис  задається  як  зміна  станів  системи  в  дискретні  моменти  часу,  тобто  час  моделювання  випадково  від  події  до  події.

Мова GPSS – це  мова  моделювання  дискретних  систем  декларативного  типу,  орієнтована  на  процеси  і  побудова  за  процеси  і  побудова  за  принципами  об’єктивної  мови.  Основними  елементами  цієї  мови  є  транзакти  і  блоки,  які  відображають  відповідно  динамічні  і  статичні  об’єкти  систем.  

Як  кожна  мова  програмування,  GPSS  містить  словник  і  граматику,  за  допомогою  яких  може  бути  розроблено програми  моделювання систем  певного  типу.  

Об’єкти  системи,  які моделюються,  призначено  для  різних цілей.  Вибір  об’єктів  для  конкретної  моделі  залежить  від  характеристик  модельованої  системи.  Кожний  об’єкт  має  певну  кількість  властивостей,  названих  у  GPSS  стандартними  числовими  атрибутами,  які  призначені  для збирання  статистичної  інформації  про  об’єкти.

Кожна GPSS – модель  складається  з  блоків і  транзактів.  Послідовність  блоків  GPSS – моделі  відображає  напрямки  у  яких  переміщуються  транзакти.  У  GPSS  концепція  передавання  керування  від  блока  до  блока  має  особливості.  GPSS має  внутрішній  механізм  передачі  керування,  який  реалізується  в  модельному  часі,  що  дає  змогу  відображати  динамічні  процеси  в  реальних  системах.   

Система  GPSS World  має  розширені  можливості  порівняно  зі  стандартною  мовою  GPSS   за  рахунок  вбудованій  алгоритмічній  мові  PLUS,  що  дало  можливість  включити  в  систему  засоби  планування експериментів.  Крім  того,  наявність  блока  INTEGRATE  дає  можливість  будувати  неперервні  або  дискретно – неперервні  імітаційні  моделі.

SIMSCRIPT

Мова SIMSCRIPT  уперше  була  запропонована  у  1962р.  Г.Марковичем. З  подійно – орієнтованої  мови,  в  перших  версіях,  SIMSCRIPTрозвинулась  у  інтегрований  засіб  розробки  імітаційних  моделей.  Версія  SIMSCRIPT

ІІ.5  дає  можливість  створювати  дискретно – подійні,  неперервні  та  комбіновані  моделі.  

Taylor II  

Taylor II  Simulationпрограмний  пакет  для  імітаційного  моделювання  та  аналізу  процесів  виробництва.  Ця  система  дає  можливість  оцінювати  продуктивність  виробничих  систем,  ідентифікувати  критичні  параметри,  вимірювати  показники  використання  й  час  зайнятості  ресурсів. Вона  також  може  використовуватись  для  підтримки  інвестиційних  рішень  або  перевірки різних  стратегій  керування  виробництвом.

Інтерактивний  пакет  для  моделювання  

Simulink

Пакет  Simulink використовується  для  проектування  систем  керування,  моделювання  комутаційних  систем,  цифрової  обробки  сигналів  тощо.  Імітаційні  моделі  створюються  за  допомогою  структурних  компонентів – блок – діаграм,  які  дають  змогу  моделювати  динамічні  системи,  оцінювати  їх  характеристики,  модифікувати проект.  Пакет  містить  бібліотеку  з  великою  кількістю  блоків,  які  використовуються  для  проектування  моделей  систем  різних  типів: лінійних,  нелінійних, неперервних,  дискретних  і  гібридних.  Моделі  можуть  утворювати складні  ієрархії.

Сам  процес  моделювання  може  бути  інтерактивним  або  виконуватись  з  командного  рядка  MATLAB.Тісна  інтеграція  з  MATLAB  дала  можливість  отримати  достовірну  інформацію  про роботу  системи

Методи  штучного  інтелекту

Важливість моделювання  в  дослідженнях методів  штучного  інтелекту безперечна.  У  свою  чергу,  методи  штучного  інтелекту  також  широко  використовуються  для  імітаційного  моделювання.  Інтелектуальні  системи  можуть  знадобиться  для  запуску  програм  імітації,  визначення  послідовності  етапів  прийняття рішень,  моментів  доступу  до  імітаційної  моделі,  а  також  для  прийняття  рішень  щодо  до самих  систем. Одне з  основних  обмежень  традиційних  методів  моделювання – це нездатність  відтворити  інтелектуальну  (розумову)  поведінку  людини.

Іноді  доводиться  імітувати  адаптивну поведінку  системи,  коли  параметри  залежать  від  початкового  стану.  У  цьому  випадку  прості  правила  прийняття  рішень  часто  неадекватні.  Ще  важливішим  фактором  є  те,  що  визначальний  елемент  багатьох  систем – це  людина,  яка  приймає  рішення  і  значною  мірою  контролює  процеси  в  системі,  наприклад, хід  виробництва.  Щоб  імітувати  таку  систему потрібно  під  час  моделювання  мати  зв'язок  з  особою,  яка  приймає  рішення,  або  ж  у моделі  врахувати  її  поведінку.  Останній  підхід  було  дуже  вдало  використано  в  системі  візуального  інтерактивного  моделювання – VIS.

Порівняно  новим і  прогресивним підходом  до  моделювання  з  позицій  штучного  інтелекту  є  створення  інтелектуальних  оболонок  для  існуючих  імітаційних  пакетів.  Інтелектуальна  оболонка  займає  проміжне  місце  між  пакетом і  користувачем,  генерує  необхідні  інструкції щодо  користування  пакетом,  консультує  користувача,  інтерпретує  та  пояснює  результати  моделювання.

Кількість  програмних  засобів  моделювання  різко  зросла  з  того  часу,  як  почали  застосовуватись  методи  штучного  інтелекту.  Найкращими  прикладами  таких  засобів  є  системи ROSS,  KBS, Sim Kit  i  TProlog.

Методи  оптимізації

Для  пошуку  оптимальних  значень  параметрів  системи  можна  застосовувати  традиційні  методи лінійного,  нелінійного  та  дискретного  програмування.  Однак  під  час  моделювання  складних  виробничих  систем  часто  виникають  проблеми,  зумовлені  статистичним  характером  процесів,  що  протікають   у  системі,  та  необхідністю  виконання  процедур статистичної  обробки  результатів  моделювання.  При  застосуванні  методів  оптимізації під  час  моделювання  необхідно  враховувати  як  фактор  випадковості,  який  впливає  на  значення  оцінок  критеріїв  якості  роботи,  так і  обмеження  на  значення  параметрів  системи.

Найпростіший  метод  оптимізації  - випадковий  вибір  деяких  точок  у  просторі  пошуку  оптимальних значень  параметрів  системи.  Точки  з  найбільшим (або  найменшим)  значенням  критерію  вважаються  оптимальними.  Цей  метод зручно  застосовувати  у  комбінації з  іншими  методами  пошуку  множини  початкових  точок у  задачі  глобальної  оптимізації  параметрів.  Найбільш ефективним  методом подолання  локальної  оптимальності для  дискретної  оптимізації  є  метод  пошуку з обмеженнями. Імовірнісні  пошукові  методи  мають  деякі  переваги  порівняно  з  градієнтними  методами  оптимізації.  Під  час  використання імовірнісних  методів  пошуку  цільова  функція  може  бути розривною.  Ці  методи доцільно  застосовувати для  пошуку  глобального  оптимуму  багатомодальних  функцій.

Методи  пошуку  за  зразком найбільше підходять  для  розв’язання  задач  оптимізації  при  невеликій  кількості  параметрів  оптимізації  без  обмежень  і  порівняно  з  генетичними  методами  потребують  менше  обчислювальних  затрат.   Найбільш  перспективними  є  методи  стохастичної  апроксимації,  під  час  здійснення  яких  використовують  комбінацію  градієнтних  методів  і  методів  пошуку  на  поверхні  відгуку.

Методи  стохастичної  апроксимації  дають  змогу  оптимізувати  параметри  імітаційної  моделі  протягом  однократної  її  прогону.  Під  час  моделі  існує  можливість  коригувати  оцінки  параметрів  оптимізації  на  основі  спостережень  за  вибірковими  значеннями  цільової  функції.  Отже,  відпадає  потреба  в  повторних  прогонах  моделей.  Така  послідовність  багаторазових  спостережень  і  модифікацій  значень  цільової   функції  дозволяє  отримати  оптимальну  оцінку  відразу  після  імітаційного  прогону  моделі.  Крім  того,  дані  методи  оптимізації  потребують  менше комп’ютерного ь часу,  їх  також  зручно  використовувати  для  оптимізації  в  реальному  часі  та  в  системах  керування  із  застосуванням  імітаційної  моделі..

Метод  пошуку  на  поверхні  з  використанням  градієнта  має  ті  ж  переваги,  що  й  методи  пошуку  за  зразком  та градієнтний  метод,  а  також  декілька  переваг,  які  характерні  саме  для  нього:

  •  існує  можливість  одноразового  прогону  моделі,  на  відміну  від  методів  пошуку  на  поверхні  відгуку;
  •  на  кожній  ітерації  використовуються  не  лише  значення  локального  градієнту,  а  й  інформація  про  усі  попередні  точки;
  •  фіксуються  глобальні  параметри  точок  на  поверхні  відгуку  та  параметрів  у  цих  точках,  що  дає  змогу  швидко  наблизитись  до  точки  оптимуму,  проте  поблизу  оптимуму  необхідно  виконати  велику  кількість  ітерацій,  які  дозволять  досягти  його.

Залежно  від  типу  імітаційної  моделі  (неперервні  або  дискретні)  використовують  методи  оптимізації  цільової  функції  відносно  множини  неперервних  або  дискретних  параметрів,  які  мають  певні  обмеження.  Майже  в  усіх  моделях  результат  можна  виразити  через  експлуатаційні  параметри  системи.

Розглянемо  систему,  критерій ефективності  якої   залежить  від  неперервного  параметра   де область  можливих  значень  і  визначається  як

де математичне  сподівання  за  умови,  що  випадковий вектор    з  відомою  функцією  щільності  імовірності    залежить  від  значення  параметра    і  критерію  якості  роботи.

У  дискретних  системах  для  оцінювання  значення    необхідно  припустити,  що   Тоді  за  законом  великих  чисел  

Сходиться  до  дійсного  значення,  де  незалежні,  однаково  розподілені  випадкові  реалізації  вектора    з відомою  функцією номер  незалежно  відгуку,  

Метою  дослідження  є  оптимізація  критерію    відносно  параметра  

Вибір  того  або  іншого  з  класичних  методів  оптимізації  і  можливість  його  застосування  під  час  імітаційного  моделювання  залежить  від  постановки  задачі  моделювання.

Широке  впровадження  технологій  імітаційного  моделювання  у  процеси  проектування складних  систем  неможливе  без  використання  методів  оптимізації.  Методи  імітаційного  моделювання  дозволяють  побудувати  імітаційну  модель  системи  з  будь – яким  ступенем  деталізації,  але  пошук  оптимальних  значень  параметрів системи  потребує  застосування  процедур  оптимізації. Біль  того існують  засоби  автоматизованого   проектування  імітаційних  моделей,  що  значно  полегшує  їх  створення.  Використанні  таких  засобів  звільняє  проектувальника  від  роботи,  пов’язаної  з  побудовою  імітаційної  моделі,  й  націлює  його на пошук  оптимальної  комбінації  параметрів.

Значення  екстремуму  функції  ефективності,  отримане  шляхом  вирішення  завдань  оптимізації  з  детермінованими  параметрами,  є  досяжним  максимальним  значенням,  і  його  можна  розглядати  як  звичайний  оптимум  з  погляду  його  практичного  використання.  Цей  оптимум  може  значно  відрізнятися  від  тих  значень,  що  отримані  у  реальних  умовах,  через  помилки  і  випадковості,  які  не  враховуються  під  час розв’язання  задач оптимізації  з  детермінованими  параметрами.  Альтернатива  детермінованому  підходу  -  стохастична  оптимізація.

Перед  тим  як  вирішити  те  або  інше практичне  завдання  оптимізації,  аналітик  перш  за  все  повинен  з’ясувати:

  •  з  яким  типом  невизначеності  йому доведеться  зіткнутися  та  яким  чином  це може  вплинути  на  вибір  оптимального  рішення;
  •  чи  можна  в  рамках  прийнятої  моделі  урахувати  стохастичний  характер  досліджуваної  ситуації.

Без  правильної  математичної  формалізації проблеми  проекту  неможливо  створити  ефективно  функціонуючу  складну  технічну  систему.  Під  час створення  системи  проектування  повинні  сформувати  вектор  значень  її  ефективності    який  має  бути  максимізованим  або  мінімізованим.  Цей  вектор  залежить  від  вектора  змінних  параметрів    що  зумовлюють  зміну  значень  ефективності.  Крім  того,  необхідно  враховувати  вектор зовнішніх  умов    Взаємозв’язок  цих  векторів    визначає  математичну  модель,  яка  використовується  під  час  дослідження.  Існування  математичної  моделі  дає  змогу  формулювати  проблему  проектування  як  завдання  оптимізації  пошуку  одного  або  кількох  векторів    що  гарантують  найвищу  ефективність.  У  цьому  разі

,

де  область  пошуку,  значення умовної  ефективності.  Таке  «ідеальне»  формулювання  проблеми  проектування  розцінювалось  донедавна  як  необхідна  і  достатня  умова  для  того,  щоб  створити  оптимальний  проект.  У  разі  використання  такого  підходу під  час  вирішення  задач  реального  життя  виникають  серйозні  проблеми,  пов’язані  з  неможливістю  пошуку  оптимальних  проектних  рішень. Основна  причина  цього – велика  кількість  невизначеностей,  які   не  можна  врахувати  під  час  моделювання  системи,  формулювання  проблеми  оптимізації  та  її  вирішення.

Для  включення  невизначеності  до  математичної  моделі  необхідно  задавати  вектори:  ,   де  ідеальні  вектори  відповідно  параметрів,  зовнішніх  умов  і  математичної  моделі; вектори  випадкових  значень,  які   включають  невизначеності  відповідно  параметрів,  умов  і  математичної  моделі.  Тобто,  щоб  вирішити  проблему  оптимізації,  необхідно  визначити  системне  значення  ефективності   для  заданих  значень і мати  інформацію щодо  законів  розподілів компонент  вектора  а  також  функціональної  залежності  

Якщо  під  час  моделювання  виробничих  процесів  необхідно  знайти  максимум  середнього  значення  ефективності  або  мінімум  відхилення  ефективності  або  мінімум відхилення  ефективності  від  середнього,  то  перед дослідником  постає  задача  оптимізації  параметрів.  У  цьому  випадку  для  визначення  законів   розподілу  компонент  вектора   аналізують технологічний  процес  і  роблять  припущення  щодо  виду  функцій  розподілу  або  використовують  статистичні  дані, накопичені  під  час  спостережень  аналогічних  технологічних  процесів.  Проте у  більшості  випадків  приймається  гіпотеза,  що  розподіл  компонент  вектора   нормальний  або  близький  до  нормального.

Для  розв’язання  задачі,  яка  передбачає  невизначеність  параметрів  і  умов  зовнішнього  середовища,  можна  застосовувати  детерміновану  математичну  модель  


II. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

           Дисципліна “ Моделювання комп’ютерних мереж”- це теоретичні основи принципів вивчення основних понять імітаційного моделювання, ознайомлення з поняттями системи та моделі, співвідношенням між моделлю та системою, класифікацією  моделей,  видами  моделей, технологію моделювання; побудовою  імітаційної моделі персонального комп’ютера; технологічних етапів випробування та експлуатації імітаційних моделей.

Основні форми поточного контролю – спостереження за діями студентів, проведення модульного контролю.

Самостійна робота студента по підготовці до поточних занять, модульного контролю в межах відведеного часу планується особисто кожним студентом.

III. ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА

1. В.Г. Кривуца, В.В. Барковський, Л.Н. Беркман. Математичне моделювання телекомунікаційних систем: Навч. посібник. –К.: Звязок, 2007.

Розробник лекції  старший викладач кафедри інфокомунікацій

___                          Срочинська Г.С.

(підпис, прізвище)

“ ____ “  _____________  2011  року


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58302. Склад числа 5. Порівняння чисел у межах 5. Позначення чисел на числовому відрізку. Написання цифр. Порівняння висоти предметів 33 KB
  Мета: продовжувати роботу над формуванням в учнів уміння порівнювати числа предмети; закріплювати знання складу числа 5; вдосконалювати вміння писати цифри; вчити знаходити число на числовому відрізку; розвивати в учнів спостережливість увагу...
58310. Ознайомлення з дією віднімання. Знак «–». Складання прикладів на віднімання за числовим відрізком та предметними малюнками. Написання цифр 28 KB
  Мета: на основі розгляду малюнків і практичних дій з предметами розкрити зміст дії віднімання взаємозв’язок дій додавання й віднімання; продовжувати роботу над формуванням в учнів навичок складання й розв’язання прикладів на додавання...