23790

ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Целью данного курсового проекта является исследование поведения управляемой динамической системы, описанной системой дифференциальных уравнений. На основе исходных данных мы находим равновесное состояние системы, вид линеаризованной системы

Русский

2014-06-10

561.5 KB

15 чел.

ИССЛЕДОВАНИЕ

УПРАВЛЯЕМОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ


СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА СИСТЕМОТЕХНИКИ

Задание на курсовую работу по дисциплине «Основы теории управления»

Студент 

Факультет  

Тема курсовой работы:    Исследование управляемой динамической системы.

1. Динамика объекта управления описывается следующей системой дифференциальных уравнений

а)  Уравнение моментов:

                                                         (1)

б)  Уравнение управляющего устройства:  

                                                              (2)

Здесь:

t - время, сек;

J - момент инерции движущихся частей, приведенный к валу  двигателя, кг * м / сек2 ;

 - угловая скорость двигателя, 1/сек;

Mg, Mc - момент движущих сил и сил сопротивления, кг * м;

- управляющее воздействие (безразмерное);

u - задающее воздействие (безразмерное);

, - параметры управляющего устройства

Функции Mg, Mc заданы таблицами 1 и 2, численные значения коэффициентов определены в таблице 3

Таблица 1. Зависимость Mg от и

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00

98.00

100.68

103.36

106.04

108.72

111.40

12.40

89.98

92.92

95.86

98.80

101.74

104.68

24.80

78.89

82.09

85.29

88.49

91.68

94.88

37.20

64.72

68.18

71.64

75.10

78.55

82.01

49.60

47.48

51.20

54.92

58.63

62.35

66.07

62.00

27.16

31.14

35.12

39.09

43.07

47.04

Таблица 2. Зависимость Mс от   

0.00

12.40

24.80

37.20

49.60

62.00

Мс

19.60

27.78

45.12

71.63

107.30

152.13

Таблица 3.  Значение параметров системы

J

c

0.07

1.12

Начальные условия: при  t = 0  = 0;  = 0;  ; u  = 0.5.              (3)

2 Перечень графического материала:

  •  графики функций Mg, Mc с нанесенными данными исходной таблицы;
  •  графики переходных процессов в разомкнутой и замкнутой системах, построенные различными способами;
  •  годографы АФЧХ и Михайлова;
  •  графики частотных характеристик разомкнутой системы.

3 Перечень вопросов, которые должны быть отражены в пояснительной записке

1.  По данным таблиц 1,2 подобрать аналитические выражения для функций Mg, Mc  

2. Найти равновесное состояние системы. Для этого положить и из (1) найти установившуюся скорость .

3. Численно решить систему (1), (2)  при начальных условиях (3) и полученных выражениях  ,  . Решение вести до установления значений  и . Проверить  совпадение  и .

4. Линеаризовать уравнение (1) в окрестности точки равновесия  , выписать уравнения линеаризированной системы для непрерывного и дискретного времени, положив шаг по времени t=0.05 c. Задав приращение u=0.05, численно рассчитать переходный процесс в линеаризованной системе .

5. Замкнуть систему, положив

u(t) = k ((t) - * ),                                                                         (4)

где k - коэффициент усиления регулятора, *- требуемое значение скорости.

Привести линеаризованную  систему к безразмерной форме, взяв в качестве базового значения  . Введя новые переменные, представить систему в векторно-матричной форме для непрерывного и дискретного времени:

 ,                                                                           (5)

.                                                                    (6)

6. Оценить управляемость системы (5). Составить характеристическое уравнение системы (5). На основе критерия Рауса - Гурвица определить значение коэффициента k = k0,  соответствующее пределу устойчивости линеаризованной системы

7. Найти корни характеристического уравнения  системы (5) и исследовать перемещение корней на комплексной плоскости при варьировании коэффициента усиления k (k=k0, =0.9, 0.8, 0.7, 0.6 ). Построить траекторию движения корней.  

8. Построить  переходный процесс в системе (5) для одного из значений при возмущении по * (положив *=1.10  и начальные условия: t=0,  (0)=1.10, (0)= 0). Уравнение решить аналитически, выполнив спектральное разложение матрицы А и использовав собственные числа и собственные вектора матрицы А.

9. Используя преобразование Лапласа, получить передаточные функции незамкнутой  системы (5) по каналу ux1 . На основе  z-преобразования аналогичным образом получить дискретную передаточную функцию системы (6).

10. Выписать выражения для амплитудно-фазовой,  амплитудной, фазовой, вещественной и мнимой частотных характеристик для разомкнутой системы (5). Для одного из значений (см. п.7) построить годограф АФЧХ и графики характеристик A(), (), Re(), Im() .

11. Оценить устойчивость замкнутой системы (5) по  критериям  Найквиста (по АФЧХ разомкнутой системы) и Михайлова, построив для этой  цели  годограф  Михайлова. Определить запас устойчивости системы.

Таблица 1.  Зависимость Mg от omega и mu

ω

μ

 0.0

 0.2

 0.4

 0.6

 0.8

 1.0

   0.00

66.00

68.74

71.48

74.22

76.96

79.70

  10.40

60.64

63.54

66.44

69.34

72.24

75.15

  20.80

52.65

55.72

58.78

61.85

64.91

67.98

  31.20

42.05

45.28

48.51

51.73

54.96

58.19

  41.60

28.84

32.23

35.61

39.00

42.39

45.78

  52.00

13.00

16.55

20.10

23.66

27.21

30.76

Таблица 2.   Зависимость Мс от omega

ω

  0.00

 10.40

 20.80

 31.20

 41.60

 52.00

  Mc   

 13.20

 24.87

 40.73

 60.79

 85.04

113.50

Таблица 3.  Значение параметров системы

  J   

  C   

  0.05

  1.02

Задание выдано ___________________

Руководитель Набиев Д.Л.


РЕФЕРАТ

Целью данного курсового проекта является исследование поведения управляемой динамической системы, описанной системой дифференциальных уравнений. На основе исходных данных мы находим равновесное состояние системы, вид линеаризованной системы. Исследуем соответствующую ей замкнутую систему и описываем переходный процесс в этой системе. Определяем частотные характеристики системы и устойчивость.

Курсовой проект содержит пояснительную записку из 31 страниц текста, 18 графиков, 1 литературного источника.


СОДЕРЖАНИЕ

Введение  

1 Нахождение равновесного состояния системы

Задание №1

Задание №2  

Задание №3    

2  Линеаризация системы

Задание №4

3  Замкнутая система  

Задание №5

Задание №6

4  Переходный процесс в замкнутой системе

Задание №7

Задание №8

5  Частотные характеристики системы

Задание №9

Задание №10

6  Критерии устойчивости Найквиста и Михайлова

Задание №11

Список используемых источников


ВВЕДЕНИЕ

Теория управления – это наука, которая изучает процессы в системах управления с информационной точки зрения, обычно абстрагируясь от физической природы объектов и управляющих устройств. Процессы в автоматических системах управления изучает теория автоматического управления.

По степени использования информации об объекте различают разомкнутые  замкнутые системы управления. При разомкнутом управлении воздействие на объект осуществляется по заданной программе вне зависимости от результатов управления в предыдущий период времени. Замкнутые системы управления используют информацию о результатах управления и формируют управляющее воздействие в зависимости от того, насколько достигается цель.
1 Нахождение равновесного состояния системы

Задание №1.

По данным таблиц 1,2 подобрать аналитические выражения для функций Mg, Mc  

Функцию Mc() можно аппроксимировать различными способами, в частности, полиномом:

,       

где   a,  b,  c   определяются по данным таблицы 2 методом наименьших квадратов.

Если учесть, что в нашем случае n=6 , х1=, х2=2 , а также, что система линейных уравнений может быть представлена в матричном виде:  Аa=В , то получим  следующие функции для вычисления матрицы коэффициентов СЛУ и для вычисления столбца свободных членов:

Функция   может быть получена в виде:

Таким образом получаем функцию для момента сил сопротивления:  

Mc()= 19,6 + 0.29 + 0.03 2

Полученные по этой формуле значения и округленные до сотой числа точно соответствуют заданным Mc.

Функция  для момента сил движения зависит от двух параметров: угловой скорости  и от управляющего воздействия . Поэтому она может быть получена в виде

Также методом наименьших квадратов находим коэффициенты ,и , в результате получается

В результате для моментов сил движения и сопротивления получены математически заданные функции Mc и Mg. На рисунке.1 изображены функции и  для m =0..1 и для = 0..100

Рисунок 1 - функции и

Задание №2

Найти равновесное состояние системы. Для этого положить  и из (1) найти установившуюся скорость .

Исходя из уравнений, описывающих динамику объекта:

а)  уравнение моментов:

                                                                    (1)

б)  уравнение управляющего устройства:  

                                                                         (2)

получим  следующее :

, то есть фактически , .

Найдем установившееся значение 0 :

Рисунок 2 - функции и при = 0.5 

Задание №3

Численно решить систему (1), (2)  при начальных условиях (3) и полученных выражениях  ,  . Решение вести до установления значений  и . Проверить  совпадение  и .

Нам дана система из двух дифференциальных уравнений  первого и второго порядка    и      соответственно.

Приведем данную систему к системе канонического вида : заменим  на новую переменную  получим каноническую СДУ из трех уравнений  первого порядка:

 

Система с численными значениями

Решим данную систему дифференциальных уравнений при и=0.5

Здесь вектор

График х1= представлен на рисунке 2, график х2=  представлен на рисунке 3, график х3=z представлен на рисунке 4.

Рисунок 3 – График функции  ω(t).


Рисунок 4 – График функции  μ(t).

Рисунок 5 – График функции  z(t).

Из графиков видно, что   V пришли к устоявшимся  значениям:


2 Линеаризация системы

Задание №4

Линеаризовать уравнение (1) в окрестности точки равновесия численно рассчитать решить линеаризованную систему.

Линеаризованная система:

Численно решая, линеаризованную систему для непрерывного времени получаем:

 

Рисунок 6 - График  функции ω(t).

 Рисунок 7 График  функции μ(t).


Рисунок 8 - График  функции z(t)


3 Замкнутая система

Задание №5

Замкнуть систему, положив

u(t) = k ((t) - * ),

где k - коэффициент усиления регулятора, *- требуемое значение скорости.

Привести линеаризованную  систему к безразмерной форме, взяв в качестве базового значения  . Введя новые переменные, представить систему в векторно-матричной форме для непрерывного и дискретного времени:

 ,

.

Разомкнутая линеаризованная система:             

                                              

Где

Отсюда  матрицы А и В для  непрерывного времени:

Для дискретного времени матрицы А и В при t=0,05:


Замкнем систему. Для выражения u(t) = k
((t) - *) в качестве *  необходимо взять  0 , тогда с учетом, что    получается  

Значит, внешнее управление отсутствует. Замкнем линеаризованную систему  

Задание №6

Оценить управляемость системы (5). Составить характеристическое уравнение системы (7). На основе критерия Рауса - Гурвица определить значение коэффициента k = k0,  соответствующее пределу устойчивости линеаризованной замкнутой системы

Оцениваем управляемость системы: Система дифференциальных уравнений размерности n управляема, если ранг составной матрицы K=[ B | AB | A2B | … | An-1B] равен n.

Для n=3  составная матрица имеет вид  K=[ B | AB | A2B] .

 

Так ранг матрицы К соответствует размерности системы, система дифференциальных уравнений управляема

Согласно критерию Рауса-Гурвица система устойчива, если все определители Рауса-Гурвица положительны при а0>0.


Матрица Рауса-Гурвица:

Найдем определители Рауса-Гурвица:

 

Как мы видим для нахождения границы устойчивости, достаточно чтобы  3 было равно 0, а так как , то достаточно, чтобы а3 было равно 0.

пределы устойчивости


4 Переходный процесс в замкнутой системе

Задание №7

Найти корни характеристического уравнения  системы (5) и исследовать перемещение корней на комплексной плоскости при варьировании коэффициента усиления k (k=k0, =0.9, 0.8, 0.7, 0.6 ). Построить траекторию движения корней.  

Рисунок 9 - График  движения корней характеристической системы

Рисунок 10 - График  движения корней характеристической системы

Рисунок 11 - График  движения корней характеристической системы

Из графиков траектории движения видим, что устойчивость системы увеличивается при уменьшении коэффициента усиления, следовательно, система становится более устойчивой.


Задание №8

Построить  переходный процесс в системе (5) для одного из значений при возмущении по * (положив *=1.10 и начальные условия: t=0, (0)=1.10, (0)= 0). Уравнение решить аналитически, выполнив спектральное разложение матрицы А и использовав собственные числа и собственные вектора матрицы А.

Возьмем матрицу А безразмерной замкнутой системы (при =1):


Рисунок 12 - График функции ω(t)

Рисунок 13 - График  функции (t)


Рисунок 14 - График функции z(t)


5 Частотные характеристики системы

Задание №9

Используя преобразование Лапласа, получить передаточные функции незамкнутой системы (5) по каналу ux1.

Применим преобразования Лапласа

Получим:

Передаточная функция разомкнутой системы (положим u1 = 1) :


Задание №10

Выписать выражения для амплитудно-фазовой, амплитудной, фазовой, вещественной и мнимой частотных характеристик для разомкнутой системы (5). Для одного из значений (см. п.7) построить годограф АФЧХ и графики характеристик A(), (), Re(), Im()

Перейдем к функции комплексного переменного

Выражение для действительной частотной характеристики (ДЧХ):

Выражение для мнимой частотной характеристики (МЧХ)

Рисунок 15 – график ДЧХ

Рисунок 16 – график МЧХ


Выражение для амплитудной частотной характеристики для разомкнутой системы:

 

Выражение для фазовой частотной характеристики для разомкнутой системы:

Рисунок 17 – график АЧХ

Рисунок 18 – график ФЧХ

Построим годограф АФЧХ:

Рисунок 19 – годограф АФЧХ


Подробное представление годографа для анализа:

Рисунок 20 – годограф АФЧХ на подробном промежутке


6 Критерии устойчивости Найквиста и Михайлова

Задание №11

Оценить устойчивость разомкнутой системы (5) по  критерию  Найквиста и замкнутой системы (7) по критерию Михайлова. Определить запас устойчивости системы по амплитуде и по фазе используя годограф АФЧХ.

Как видно из рисунка 19, годограф АФЧХ не охватывает точку Re=-1, следовательно, замкнутая система устойчива.   

Запас устойчивости системы по амплитуде:

Нахождения запаса устойчивости по фазе отображено на рисунке 21

Согласно критерию устойчивости Михайлова, если система устойчива, то годограф Михайлова  проходит против часовой стрелки последовательно n квадрантов  (n – размерность системы), не пропуская ни одного. В нашем случае n=3.

Рисунок 21 – Нахождение запаса устойчивости по фазе


На рисунке 21 представлен годограф Михайлова, на рисунке 22 годограф Михайлова, увеличенный в районе пересечения оси координат.

Рисунок 22– Годограф Михайлова

Рисунок 23 – годограф Михайлова, увеличенный


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На графиках видно, что замкнутая система устойчива по критерию Михайлова, так как годограф последовательно против часовой стрелки проходит 3 (размерность системы – 3) квадранта комплексной плоскости


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

  1.  Доррер Г.А., Основы теории управления: Учебное пособие для студентов направлений 552800 и 654600 всех форм обучения. – Красноярск: СибГТУ, 2003.-228 с.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2936. Изнасилования и их расследование 278.5 KB
  Изнасилования и их расследование В настоящее время экспертами и криминалистами разработано множество новых систем и подходов к решению задач борьбы с преступностью. Улучшение научных технологий криминалистики, повышение профессионализма следователей...
2937. Здоровый образ жизни, мероприятие для 10 класса 70.5 KB
  Сформировать ценностное отношение к собственному здоровью при помощи углубления знаний по анатомии и физиологии человека; Создать условия для формирования и развития у учащихся умения самостоятельно приобретать и применять знания, описывать результаты наблюдений, выдвигать гипотезы, делать выводы, обсуждать результаты эксперимента, участвовать в дискуссии.
2938. Хто квітень наш отак підступно зрадив 69.5 KB
  Хто квітень наш отак підступно зрадив? Мета:  висвітлити основні відомості про Чорнобильську трагедію, виховувати почуття поваги й пам’яті до трагічних в сторінок історії України. Обладнання: проекто...
2939. Святкування Водохреща 63 KB
  Святкування Водохреща. Мета: розширити знання учнів про святкування Водохрещення, розвивати вміння аналізувати і робити висновки, порівнювати, бажання загартовувати свій організм; виховувати повагу до традицій і звичаїв українського народу. Об...
2940. Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы 45.5 KB
  Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой ...
2941. Дружба. Виховна година. 51 KB
  Виховна година на тему Дружба Мета, розкрити зміст понять дружба, дійсний друг показати його відмінність від понять приятель і знайомий прищепити учням повагу до цінностей дружби, сприяти розвиткові критичного ставлення до себе і с...
2942. Праздник 8 Марта — день чудесный 50.5 KB
  Тема, 8 Марта — день чудесный. Форма, концертная программа. Цели, - развивать творческие возможности детей, фантазию, наблюдательность, - память, - доставить детям радость от участия в мероприятии. Задачи, - способствовать развитию речевых ум...
2943. Travelling: Who Knows More 47.5 KB
  Travelling: Who Knows More? Цели: 1. Расширение лингвострановедческой компетенции учащихся. 2. Воспитание интереса к культуре стран изучаемого языка. Задачи: 1. Образовательные: Обобщение страноведческих знаний учащихся, полученных в р...
2944. Введение в управление предприятием и содержание дисциплины «Менеджмент предприятия» 100.5 KB
  Введение в управление предприятием и содержание дисциплины Менеджмент предприятия  Вопросы для изучения: Краткая историческая справка и отличительные особенности развития управленческой мысли в нашей стране. Основные проблемы пере...