24316

Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

Лекция

Физика

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

Русский

2014-10-12

261.5 KB

12 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 5

4. Момент инерции. Основное уравнение динамики

вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси для отдельной частицы имеем

, но

тогда

.

А для всего АТТ

.

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

     (5-1)

Тогда для АТТ

      (5-2)

Если масса АТТ является мерой инертности тела при поступательном движении, то при вращательном движении мерой инертности является момент инерции.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

       (5-3)

Значения момента инерции для некоторых однородных тел относительно неподвижной оси, проходящей через центр инерции АТТ:


Тело

Момент инерции

Тонкостенный цилиндр (обруч) радиусом R

mR2

Сплошной цилиндр или диск радиусом R

Прямой тонкий стержень длиной

Шар радиусом R

Если ось вращения проходит не через центр инерции (центр масс) АТТ, тогда для вычисления момента инерции используют теорему Штейнера:

    (5-4)

где Iz  момент инерции АТТ относительно произвольной оси z;

Iс  момент инерции АТТ относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела;

m  масса АТТ;

d  кратчайшее расстояние между осями.

Учитывая введенные обозначения, можно записать связь между моментом импульса частицы или АТТ и их моментом инерции:

    (5-5)

Подставляя выражение (5-5) в уравнение моментов (4-12), получим:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ относительно неподвижной оси:

в ИСО произведение момента инерции АТТ на его угловое ускорение равно векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на это тело:

    (5-6)

Для записи этого векторного уравнения в скалярной форме выбирают удобную ИСО (ось Oz направляют вдоль неподвижной оси вращения) и находят проекции всех векторов на ось Оz:

.

Демонстрации:

№3. Маятник Обербека.

№4. Скатывание двух цилиндров.

Задача. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к колесу, имеющему форму сплошного диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м и вращающемуся с частотой 30 об/с, чтобы его остановить в течение 20 с, если коэффициент трения между колодкой и ободом колеса равен 0,5?


Оz:

5. Условия равновесия АТТ

Для того, чтобы АТТ находилось в равновесии (в покое) необходимо:

1) чтобы АТТ не перемещалось в пространстве (не участвовало в поступательном движении) нужно, чтобы линии действия всех сил, действующих на тело, проходили через центр инерции (центр масс) АТТ, и равнодействующая всех сил должна быть равна нулю.

.       (5-7а)

2) если линии действия каких-то сил не проходят через центр инерции (центр масс) АТТ, но равнодействующая равна нулю, тогда, чтобы АТТ не участвовало во вращательном движении нужно, чтобы векторная сумма моментов всех внешних сил была равна нулю.

.       (5-7б)


6. Плоское движение АТТ

В случае сложного движения АТТ (например, процесс скатывания (без проскальзывания) обруча, диска, цилиндра, шара и т. п. с наклонной плоскости) необходимо записать основное уравнение динамики центра инерции (центра масс) АТТ и основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг оси, проходящей через центр инерции (центр масс) АТТ:

где сила трения покоя (трением качения пренебречь);

моменты сил тяжести, реакции опоры и трения покоя.

В проекциях на координатные оси:

Учитывая, что , где k – коэффициент, учитывающий форму скатывающегося тела: k = 1 для обруча, k = 0,5 для диска, цилиндра, k = 0,4 для шара),

тогда

  

Откуда .


Условие, при котором тело не будет проскальзывать, запишется

откуда     

т. е. если  превысит значение  то скатывание будет проходить с проскальзыванием!

Учитывая, что при равноускоренном движении центра инерции , скорость центра инерции в конце скатывания

и время скатывания

,

где длина наклонной плоскости.

Но основное уравнение динамики вращательного движения АТТ можно записывать относительно неподвижной оси, проходящей через точку А соприкосновения образующей скатывающегося тела и плоскости.

,

где находим по теории Штейнера;

отсюда, учитывая получим тот же результат:

   

PAGE   \* MERGEFORMAT6


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

EMBED Equation.3  

 z

        R         dR

 с 

   ℓ

                     

                                             dR

                             R

h

z         O

EMBED Equation.3  

d

x

y

z

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

O

O

                        y

             C

         А

                                               x

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68545. ФЕНОМЕН ПОЛИТИЗИРОВАННОЙ ФОЛЬКХИСТОРИ В БАШКОРТОСТАНЕ: МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ 94.5 KB
  Феномен фольксхистори ныне приобрел критическое значение на информационном пространстве России Башкортостана и Татарстана. Отказ от монизма как важная предпосылка расцвета фолькхистори определен в отечественной историографии. Вытеснение из информационной ниши брошюр жанра фолькхистори.
68546. В.И.Ленин о П.Б.Струве 46.5 KB
  Правда участие Ленина в этой полемике продолжалось в основном только до перехода Струве на резко антимарксистские позиции после этого оно вышло за рамки обычной дискуссии и перешло в форму политической борьбы. Ленин неоднократно пользовался широкими связями Струве в научных университетских...
68547. Изложение социально-философских взглядов П.Б.Струве в курсе преподавания социальной философии в ВУЗах 36.5 KB
  Оригинальность и мировой масштаб Струве как философа и социолога не ставятся под сомнения ныне ни кем. Другое дело западная историография – биографией и наследием Струве многие годы занимались такие ученые как Бэрон Хантингтон и мн. Естественно что для преподавания на курсе социальной философии...
68548. Некоторые особенности либерализма в русской социальной философии 34.5 KB
  Генезис понятия либерализма исторически очень сложен и глубок. Рассматривая либерализм в его общем смысле поражаешься многообразию оттенков и значений которые придавались ему в прошлом и придаются сейчас нередко не задумываясь о несоответствии истинной сущности этого термина и определениям...
68549. О СУЩНОСТИ РОССИЙСКОГО ЛИБЕРАЛЬНОГО КОНСЕРВАТИЗМА 29 KB
  Концепция российского либерального консерватизма представляется наиболее адекватной ситуации исторического вызова современной России. Особенности формирования российского либерального консерватизма предоставляют возможность реабилитации конструктивных ценностей либерализма на новой духовной...
68550. П.Б.Струве о роли государства и национальной политики в России 42.5 KB
  Струве выдающийся социолог экономист философ мирового значения. Предметом доклада избраны некоторые оригинальные аспекты мировоззрения петербургского мыслителя касающиеся роли государства и национального вопроса в современной ему жизни России ее истории и будущем причем в основу ретроспективного...
68551. О дефиниции геолого-физической информации 166.08 KB
  В обыденной жизни термин €œинформация понимают весьма многозначно: объявление конкретный газетный телевизионный жанр печатные ауди аудивизуальные иные сообщения и материалы и т. На наш взгляд это объясняется омонимичностью смысловой многозначностью самого термина информация который совмещает в себе...
68552. О татаро-башкирском этносоциальном симбиозе 302.5 KB
  Татары когда-то действительно жили в этнокультурном и в определенном смысле в социальном симбиозе с башкирами в рамках Московского царства и Российской империи. Более того само формирование нации казанских татар шло именно в этих рамках и для историка непредставимо вне них за исключением краткого...
68553. Общее и особенное в концепциях российского либерального консерватизма и «евразийства» 185 KB
  БашГУ Общее и особенное в концепциях российского либерального консерватизма и евразийства Общими моментами методологии для российского либерального консерватизма и евразийства являются: ведение анализа в рамках координат пространство время в отличие от радикального либерализма и марксисткого социализма...