24316

Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

Лекция

Физика

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

Русский

2014-10-12

261.5 KB

14 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 5

4. Момент инерции. Основное уравнение динамики

вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси для отдельной частицы имеем

, но

тогда

.

А для всего АТТ

.

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

     (5-1)

Тогда для АТТ

      (5-2)

Если масса АТТ является мерой инертности тела при поступательном движении, то при вращательном движении мерой инертности является момент инерции.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

       (5-3)

Значения момента инерции для некоторых однородных тел относительно неподвижной оси, проходящей через центр инерции АТТ:


Тело

Момент инерции

Тонкостенный цилиндр (обруч) радиусом R

mR2

Сплошной цилиндр или диск радиусом R

Прямой тонкий стержень длиной

Шар радиусом R

Если ось вращения проходит не через центр инерции (центр масс) АТТ, тогда для вычисления момента инерции используют теорему Штейнера:

    (5-4)

где Iz  момент инерции АТТ относительно произвольной оси z;

Iс  момент инерции АТТ относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела;

m  масса АТТ;

d  кратчайшее расстояние между осями.

Учитывая введенные обозначения, можно записать связь между моментом импульса частицы или АТТ и их моментом инерции:

    (5-5)

Подставляя выражение (5-5) в уравнение моментов (4-12), получим:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ относительно неподвижной оси:

в ИСО произведение момента инерции АТТ на его угловое ускорение равно векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на это тело:

    (5-6)

Для записи этого векторного уравнения в скалярной форме выбирают удобную ИСО (ось Oz направляют вдоль неподвижной оси вращения) и находят проекции всех векторов на ось Оz:

.

Демонстрации:

№3. Маятник Обербека.

№4. Скатывание двух цилиндров.

Задача. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к колесу, имеющему форму сплошного диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м и вращающемуся с частотой 30 об/с, чтобы его остановить в течение 20 с, если коэффициент трения между колодкой и ободом колеса равен 0,5?


Оz:

5. Условия равновесия АТТ

Для того, чтобы АТТ находилось в равновесии (в покое) необходимо:

1) чтобы АТТ не перемещалось в пространстве (не участвовало в поступательном движении) нужно, чтобы линии действия всех сил, действующих на тело, проходили через центр инерции (центр масс) АТТ, и равнодействующая всех сил должна быть равна нулю.

.       (5-7а)

2) если линии действия каких-то сил не проходят через центр инерции (центр масс) АТТ, но равнодействующая равна нулю, тогда, чтобы АТТ не участвовало во вращательном движении нужно, чтобы векторная сумма моментов всех внешних сил была равна нулю.

.       (5-7б)


6. Плоское движение АТТ

В случае сложного движения АТТ (например, процесс скатывания (без проскальзывания) обруча, диска, цилиндра, шара и т. п. с наклонной плоскости) необходимо записать основное уравнение динамики центра инерции (центра масс) АТТ и основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг оси, проходящей через центр инерции (центр масс) АТТ:

где сила трения покоя (трением качения пренебречь);

моменты сил тяжести, реакции опоры и трения покоя.

В проекциях на координатные оси:

Учитывая, что , где k – коэффициент, учитывающий форму скатывающегося тела: k = 1 для обруча, k = 0,5 для диска, цилиндра, k = 0,4 для шара),

тогда

  

Откуда .


Условие, при котором тело не будет проскальзывать, запишется

откуда     

т. е. если  превысит значение  то скатывание будет проходить с проскальзыванием!

Учитывая, что при равноускоренном движении центра инерции , скорость центра инерции в конце скатывания

и время скатывания

,

где длина наклонной плоскости.

Но основное уравнение динамики вращательного движения АТТ можно записывать относительно неподвижной оси, проходящей через точку А соприкосновения образующей скатывающегося тела и плоскости.

,

где находим по теории Штейнера;

отсюда, учитывая получим тот же результат:

   

PAGE   \* MERGEFORMAT6


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

EMBED Equation.3  

 z

        R         dR

 с 

   ℓ

                     

                                             dR

                             R

h

z         O

EMBED Equation.3  

d

x

y

z

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

O

O

                        y

             C

         А

                                               x

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59026. Критичне мислення на уроках зарубіжної літератури 99.5 KB
  Теорія та практика Критичне мислення на уроках зарубіжної літератури I. Саме тому основною проблемною темою в контексті викладання зарубіжної літератури в 811 класах є: Використання технологій критичного мислення як засобу створення творчого мікроклімату на уроці зарубіжної літератури...
59027. Література ХХ століття. Р. Кіплінг 48 KB
  Мета практична: повторити біографію Р. Кіплінга; ознайомити учнів з особливостями індуїзму, проаналізувати вплив вірувань індійців на творчість Р. Кіплінга, спонукати учнів до нового осмислення Мауглі...
59029. Листок - орган фотосинтезу 51 KB
  Мета: розширити і поглибити знання учнів про фотосинтез; зясувати особливості будови листка в звязку з його функціями; формувати вміння встановлювати взаємозвязок між будовою листка і його функціями; вміння працювати з мікроскопом; розкрити значення фотосинтезу в природі і житті людини...
59030. Лицар в іржавих обладунках. Роман Сервантеса Премудрий ідальго Дон Кіхот з Ламанчі 78 KB
  Можна спитати в учнів які лицарські романи знаходились в бібліотеці Дон Кіхота про це вони повинні були прочитати вдома у розділі VI першої частини. Назва роману Сервантеса та імя головного героя Коли взимку 1605 року у книжкових лавках Мадрида...
59031. Позакласна робота з математики. Логічні задачі 48 KB
  Завжди робіть таблицю, у ній ви зможете враховувати всі ймовірні варіанти. Уважно читайте кожне твердження. По-справжньому уважно. Звичайно кожне твердження містить щось таке, що дозволить вам спростувати хоча б один із варіантів.
59032. Матеріали до вивчення творів Ернеста Хемінгуея (1899-1961). Людина не для того створена, щоб терпіти поразки 40.5 KB
  Старий рибалка Сантьяго спіймав велику рибину але додому привіз тільки хребет бо рибу зїли акули. Чому хлопець пішов від Сантьяго Звелів тато. Який звичай був у Сантьяго Базікати в морі самим з собою. Яка єдина зброя є у Сантьяго Воля і розум.
59033. М. Метерлінк. Синій птах - лірична оповідь про пошуки щастя 38 KB
  Мета: проаналізувати філософські роздуми автора про велич навколишнього світу в якому живе людина про бажання пізнати таємниці речей і щастя постановку ним питань загальнолюдської моралі; донести учням гуманізм письменника...
59034. Мій рідний край у думах та піснях 60 KB
  Українська мова дуже багата на казки та пісні але найхарактернішими для творчості цього народу є дума епічна поема. І над чим він тяжко в пісні плаче Що він знає а не знаєм ми. Що ж можуть розповісти дослідникові Одещини українські народні пісні та думки Багато аби ми хотіли в ті пісні вслухатися або вчитатися.