24316

Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

Лекция

Физика

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

Русский

2014-10-12

261.5 KB

14 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 5

4. Момент инерции. Основное уравнение динамики

вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси для отдельной частицы имеем

, но

тогда

.

А для всего АТТ

.

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

     (5-1)

Тогда для АТТ

      (5-2)

Если масса АТТ является мерой инертности тела при поступательном движении, то при вращательном движении мерой инертности является момент инерции.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

       (5-3)

Значения момента инерции для некоторых однородных тел относительно неподвижной оси, проходящей через центр инерции АТТ:


Тело

Момент инерции

Тонкостенный цилиндр (обруч) радиусом R

mR2

Сплошной цилиндр или диск радиусом R

Прямой тонкий стержень длиной

Шар радиусом R

Если ось вращения проходит не через центр инерции (центр масс) АТТ, тогда для вычисления момента инерции используют теорему Штейнера:

    (5-4)

где Iz  момент инерции АТТ относительно произвольной оси z;

Iс  момент инерции АТТ относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела;

m  масса АТТ;

d  кратчайшее расстояние между осями.

Учитывая введенные обозначения, можно записать связь между моментом импульса частицы или АТТ и их моментом инерции:

    (5-5)

Подставляя выражение (5-5) в уравнение моментов (4-12), получим:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ относительно неподвижной оси:

в ИСО произведение момента инерции АТТ на его угловое ускорение равно векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на это тело:

    (5-6)

Для записи этого векторного уравнения в скалярной форме выбирают удобную ИСО (ось Oz направляют вдоль неподвижной оси вращения) и находят проекции всех векторов на ось Оz:

.

Демонстрации:

№3. Маятник Обербека.

№4. Скатывание двух цилиндров.

Задача. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к колесу, имеющему форму сплошного диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м и вращающемуся с частотой 30 об/с, чтобы его остановить в течение 20 с, если коэффициент трения между колодкой и ободом колеса равен 0,5?


Оz:

5. Условия равновесия АТТ

Для того, чтобы АТТ находилось в равновесии (в покое) необходимо:

1) чтобы АТТ не перемещалось в пространстве (не участвовало в поступательном движении) нужно, чтобы линии действия всех сил, действующих на тело, проходили через центр инерции (центр масс) АТТ, и равнодействующая всех сил должна быть равна нулю.

.       (5-7а)

2) если линии действия каких-то сил не проходят через центр инерции (центр масс) АТТ, но равнодействующая равна нулю, тогда, чтобы АТТ не участвовало во вращательном движении нужно, чтобы векторная сумма моментов всех внешних сил была равна нулю.

.       (5-7б)


6. Плоское движение АТТ

В случае сложного движения АТТ (например, процесс скатывания (без проскальзывания) обруча, диска, цилиндра, шара и т. п. с наклонной плоскости) необходимо записать основное уравнение динамики центра инерции (центра масс) АТТ и основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг оси, проходящей через центр инерции (центр масс) АТТ:

где сила трения покоя (трением качения пренебречь);

моменты сил тяжести, реакции опоры и трения покоя.

В проекциях на координатные оси:

Учитывая, что , где k – коэффициент, учитывающий форму скатывающегося тела: k = 1 для обруча, k = 0,5 для диска, цилиндра, k = 0,4 для шара),

тогда

  

Откуда .


Условие, при котором тело не будет проскальзывать, запишется

откуда     

т. е. если  превысит значение  то скатывание будет проходить с проскальзыванием!

Учитывая, что при равноускоренном движении центра инерции , скорость центра инерции в конце скатывания

и время скатывания

,

где длина наклонной плоскости.

Но основное уравнение динамики вращательного движения АТТ можно записывать относительно неподвижной оси, проходящей через точку А соприкосновения образующей скатывающегося тела и плоскости.

,

где находим по теории Штейнера;

отсюда, учитывая получим тот же результат:

   

PAGE   \* MERGEFORMAT6


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

EMBED Equation.3  

 z

        R         dR

 с 

   ℓ

                     

                                             dR

                             R

h

z         O

EMBED Equation.3  

d

x

y

z

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

O

O

                        y

             C

         А

                                               x

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19710. Роман «Воскресенье»: проблематика, поэтика 38.5 KB
  Роман Воскресенье: проблематика поэтика. Роман Воскресение сюжет которого Толстому был подсказан известным адвокатом А. Ф. Кони создавался в течение десяти лет. За это время Толстым был накоплен огромный материал связанный с деятельностью революционеров. В эти го
19711. Творческий путь Чехова 26 KB
  Творческий путь Чехова. Став студентом медицинского факультета Московского университета Чехов выступал под различными псевдонимами. Чехов уже с 1880 г. начал помещать рассказы фельетоны юморески мелочишки под псевдонимом Антоша Чехонте или его вариантами или сов...
19712. Жанр рассказа в творчестве Чехова 30.5 KB
  Жанр рассказа в творчестве Чехова. Чехов создал рассказ как самостоятельный и полноценный жанр и доказал что прозаический микромир может вместить в себя беспредельность. Тот или иной рассказ Чехова нетрудно превратить в роман ибо в нем достаточно материала для романа....
19713. Cвоеобразие Чеховских пьес 32 KB
  Cвоеобразие Чеховских пьес На первый взгляд драматургия Чехова представляет собою какойто исторический парадокс. Прежде всего в драматургии Чехова отсутствует €œсквозное действие€ ключевое событие организующее сюжетное единство классической драмы. Драма при э...
19714. Александр Борисович и Николай Семёнович Лесков 55.59 KB
  Александр Борисович История одного города. Роман. СЩ – романист или нет Репутация – представление о художественности поэтике писателя. СЩ очень хорошо описывает страшное. Описывает пороки личности и обществ жизни. СЩ: обстоятельства жизни делающие её не совсе
19715. Роман «Идиот» 81.92 KB
  Роман Идиот Написан полностью за границей один из самых амбициозных романов Дост. Роман о положительно прекрасном человеке о новом пришествии Христа Дост скм называет героя романа князь Христос. Дост кроме самого Христа вдохновлоялся картиной Гольбейна. Копия...
19716. Братья Карамазовы 79.39 KB
  Братья Карамазовы. Центральное место в романе – отцеубийство избавленное от психологических обоснований. Иван – настоящий убийца это убийство символическое ритуальное. Убийство отца – демонический акт убийство бога в своей душе в своём воображении убийство для...
19717. Литература 70х гг 74.63 KB
  Литература 70х гг Начин с 68го и заканчиваются в марте 81го. Журнал Дело вместо журнала Слова издаёт Благосветлов. Начин с Отечественных записок Некрасова. В 81м умирает Достоевский убивают Александра 2го Толстой уходит из литературы. Очень яркая эпоха одна ...
19718. Гончаров, А.И. Герцен 74.55 KB
  Гончаров. 69 год Вестник Европы Обрыв. Несвоевременный роман – художникдилетант и проблематика искусства мало интересовавшая общество то время. Современников удила преждевременная ностальгия о прошлом о крепостном праве. Идиллическое описание прошлого кот...