24316

Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

Лекция

Физика

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

Русский

2014-10-12

261.5 KB

14 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 5

4. Момент инерции. Основное уравнение динамики

вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси для отдельной частицы имеем

, но

тогда

.

А для всего АТТ

.

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

     (5-1)

Тогда для АТТ

      (5-2)

Если масса АТТ является мерой инертности тела при поступательном движении, то при вращательном движении мерой инертности является момент инерции.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

       (5-3)

Значения момента инерции для некоторых однородных тел относительно неподвижной оси, проходящей через центр инерции АТТ:


Тело

Момент инерции

Тонкостенный цилиндр (обруч) радиусом R

mR2

Сплошной цилиндр или диск радиусом R

Прямой тонкий стержень длиной

Шар радиусом R

Если ось вращения проходит не через центр инерции (центр масс) АТТ, тогда для вычисления момента инерции используют теорему Штейнера:

    (5-4)

где Iz  момент инерции АТТ относительно произвольной оси z;

Iс  момент инерции АТТ относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела;

m  масса АТТ;

d  кратчайшее расстояние между осями.

Учитывая введенные обозначения, можно записать связь между моментом импульса частицы или АТТ и их моментом инерции:

    (5-5)

Подставляя выражение (5-5) в уравнение моментов (4-12), получим:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ относительно неподвижной оси:

в ИСО произведение момента инерции АТТ на его угловое ускорение равно векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на это тело:

    (5-6)

Для записи этого векторного уравнения в скалярной форме выбирают удобную ИСО (ось Oz направляют вдоль неподвижной оси вращения) и находят проекции всех векторов на ось Оz:

.

Демонстрации:

№3. Маятник Обербека.

№4. Скатывание двух цилиндров.

Задача. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к колесу, имеющему форму сплошного диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м и вращающемуся с частотой 30 об/с, чтобы его остановить в течение 20 с, если коэффициент трения между колодкой и ободом колеса равен 0,5?


Оz:

5. Условия равновесия АТТ

Для того, чтобы АТТ находилось в равновесии (в покое) необходимо:

1) чтобы АТТ не перемещалось в пространстве (не участвовало в поступательном движении) нужно, чтобы линии действия всех сил, действующих на тело, проходили через центр инерции (центр масс) АТТ, и равнодействующая всех сил должна быть равна нулю.

.       (5-7а)

2) если линии действия каких-то сил не проходят через центр инерции (центр масс) АТТ, но равнодействующая равна нулю, тогда, чтобы АТТ не участвовало во вращательном движении нужно, чтобы векторная сумма моментов всех внешних сил была равна нулю.

.       (5-7б)


6. Плоское движение АТТ

В случае сложного движения АТТ (например, процесс скатывания (без проскальзывания) обруча, диска, цилиндра, шара и т. п. с наклонной плоскости) необходимо записать основное уравнение динамики центра инерции (центра масс) АТТ и основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг оси, проходящей через центр инерции (центр масс) АТТ:

где сила трения покоя (трением качения пренебречь);

моменты сил тяжести, реакции опоры и трения покоя.

В проекциях на координатные оси:

Учитывая, что , где k – коэффициент, учитывающий форму скатывающегося тела: k = 1 для обруча, k = 0,5 для диска, цилиндра, k = 0,4 для шара),

тогда

  

Откуда .


Условие, при котором тело не будет проскальзывать, запишется

откуда     

т. е. если  превысит значение  то скатывание будет проходить с проскальзыванием!

Учитывая, что при равноускоренном движении центра инерции , скорость центра инерции в конце скатывания

и время скатывания

,

где длина наклонной плоскости.

Но основное уравнение динамики вращательного движения АТТ можно записывать относительно неподвижной оси, проходящей через точку А соприкосновения образующей скатывающегося тела и плоскости.

,

где находим по теории Штейнера;

отсюда, учитывая получим тот же результат:

   

PAGE   \* MERGEFORMAT6


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

EMBED Equation.3  

 z

        R         dR

 с 

   ℓ

                     

                                             dR

                             R

h

z         O

EMBED Equation.3  

d

x

y

z

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

O

O

                        y

             C

         А

                                               x

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71585. ТЕОРИЯ ВАКУУМНОГО НАПЫЛЕНИЯ 94 KB
  Для описания таких молекулярных потоков были использованы законы Ламберта из оптики и получены законы Ламберта-Кнудсена для ТВИ: интенсивность пара в направлении, которое отклоняется от нормали к поверхности испарения на угол...
71586. АБСОЛЮТНОСТЬ И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ПРАВООТНОШЕНИЯ ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ 71 KB
  Теория и гражданский закон в зависимости от основания возникновения разделяют ответственность на два вида: договорную и внедоговорную (деликтную). По критерию дифференциации — структуре межсубъектной связи — эта классификация вполне соответствует...
71587. К ВОПРОСУ О НОРМАТИВНОМ ОСНОВАНИИ АДМИНИСТРАТИВНОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ 117.5 KB
  Под нормативным основанием административной ответственности в науке понимается система административно-деликтных законов устанавливающих административную ответственность материально-правовая основа и регулирующих производство по делам об административных правонарушениях...
71588. СОДЕРЖАНИЕ ПРАВООТНОШЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕГО НЕПРИКОСНОВЕННОСТЬ ЛИЧНОСТИ 167 KB
  Если международным договором Российской Федерации установлены иные правила чем предусмотренные законом то применяются правила международного договора. А часть 1 статьи 17 Конституции гласит: В Российской Федерации признаются и гарантируются права и свободы человека и гражданина согласно...
71589. ИСТОЧНИКИ (ФОРМЫ) НАЛОГОВОГО ПРАВА РОССИИ 126 KB
  Нормы международного права и международные договоры Российской Федерации. Специальное налоговое законодательство в Налоговом кодексе оно именуется законодательством о налогах и сборах которое в свою очередь включает следующие элементы: а федеральное законодательство...
71590. К ВОПРОСУ ОБ ОБЪЕКТЕ ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ В МЕДИЦИНСКОМ ОБСЛУЖИВАНИИ НАСЕЛЕНИЯ 89.5 KB
  Наиболее дискуссионным в теории правоотношений и в частности гражданских правоотношений всегда был и остается вопрос об объектах правоотношений. В качестве объектов правоотношений рассматриваются во-первых предметы материального мира вещи и невещественные материальные...
71591. МЕСТО И РОЛЬ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ В ЭКОНОМИКЕ И ИНВЕСТИЦИОННОМ СОТРУДНИЧЕСТВЕ СОВРЕМЕННОЙ РОССИИ 139 KB
  Любые участники предпринимательской деятельности независимо от их организационно-правовой формы в том числе и граждане-предприниматели участвуя в формировании рыночных отношений должны иметь свободный выход на внешний рынок.
71592. ПОНЯТИЕ И МЕТОДЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ 123 KB
  Государство воздействует на экономику с помощью экономической политики которая определяется как разрабатываемая государством стратегия поведения всех властных структур направленная на достижение поставленных перед ними социально-экономических целей...
71593. ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ПРОБЛЕМЫ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ 115.5 KB
  Налоговая система возникла и развивалась одновременно с государством. сложился прототип государственной налоговой системы. Оценку и определение налоговых преступлений контроль над сроками поступления налогов государство держало в своих руках через органы фиско.