24316

Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

Лекция

Физика

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

Русский

2014-10-12

261.5 KB

14 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 5

4. Момент инерции. Основное уравнение динамики

вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси для отдельной частицы имеем

, но

тогда

.

А для всего АТТ

.

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

     (5-1)

Тогда для АТТ

      (5-2)

Если масса АТТ является мерой инертности тела при поступательном движении, то при вращательном движении мерой инертности является момент инерции.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

       (5-3)

Значения момента инерции для некоторых однородных тел относительно неподвижной оси, проходящей через центр инерции АТТ:


Тело

Момент инерции

Тонкостенный цилиндр (обруч) радиусом R

mR2

Сплошной цилиндр или диск радиусом R

Прямой тонкий стержень длиной

Шар радиусом R

Если ось вращения проходит не через центр инерции (центр масс) АТТ, тогда для вычисления момента инерции используют теорему Штейнера:

    (5-4)

где Iz  момент инерции АТТ относительно произвольной оси z;

Iс  момент инерции АТТ относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела;

m  масса АТТ;

d  кратчайшее расстояние между осями.

Учитывая введенные обозначения, можно записать связь между моментом импульса частицы или АТТ и их моментом инерции:

    (5-5)

Подставляя выражение (5-5) в уравнение моментов (4-12), получим:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ относительно неподвижной оси:

в ИСО произведение момента инерции АТТ на его угловое ускорение равно векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на это тело:

    (5-6)

Для записи этого векторного уравнения в скалярной форме выбирают удобную ИСО (ось Oz направляют вдоль неподвижной оси вращения) и находят проекции всех векторов на ось Оz:

.

Демонстрации:

№3. Маятник Обербека.

№4. Скатывание двух цилиндров.

Задача. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к колесу, имеющему форму сплошного диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м и вращающемуся с частотой 30 об/с, чтобы его остановить в течение 20 с, если коэффициент трения между колодкой и ободом колеса равен 0,5?


Оz:

5. Условия равновесия АТТ

Для того, чтобы АТТ находилось в равновесии (в покое) необходимо:

1) чтобы АТТ не перемещалось в пространстве (не участвовало в поступательном движении) нужно, чтобы линии действия всех сил, действующих на тело, проходили через центр инерции (центр масс) АТТ, и равнодействующая всех сил должна быть равна нулю.

.       (5-7а)

2) если линии действия каких-то сил не проходят через центр инерции (центр масс) АТТ, но равнодействующая равна нулю, тогда, чтобы АТТ не участвовало во вращательном движении нужно, чтобы векторная сумма моментов всех внешних сил была равна нулю.

.       (5-7б)


6. Плоское движение АТТ

В случае сложного движения АТТ (например, процесс скатывания (без проскальзывания) обруча, диска, цилиндра, шара и т. п. с наклонной плоскости) необходимо записать основное уравнение динамики центра инерции (центра масс) АТТ и основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг оси, проходящей через центр инерции (центр масс) АТТ:

где сила трения покоя (трением качения пренебречь);

моменты сил тяжести, реакции опоры и трения покоя.

В проекциях на координатные оси:

Учитывая, что , где k – коэффициент, учитывающий форму скатывающегося тела: k = 1 для обруча, k = 0,5 для диска, цилиндра, k = 0,4 для шара),

тогда

  

Откуда .


Условие, при котором тело не будет проскальзывать, запишется

откуда     

т. е. если  превысит значение  то скатывание будет проходить с проскальзыванием!

Учитывая, что при равноускоренном движении центра инерции , скорость центра инерции в конце скатывания

и время скатывания

,

где длина наклонной плоскости.

Но основное уравнение динамики вращательного движения АТТ можно записывать относительно неподвижной оси, проходящей через точку А соприкосновения образующей скатывающегося тела и плоскости.

,

где находим по теории Штейнера;

отсюда, учитывая получим тот же результат:

   

PAGE   \* MERGEFORMAT6


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

EMBED Equation.3  

 z

        R         dR

 с 

   ℓ

                     

                                             dR

                             R

h

z         O

EMBED Equation.3  

d

x

y

z

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

O

O

                        y

             C

         А

                                               x

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25626. Гистогенез и органогенез на 2 и 3 неделе развития 26.5 KB
  Коммутирование ограничение возможных путей развития клеток. Оно совершается последовательно: сначала преобразуются крупные участки генома детерминирующие наиболее общие свойства клеток а позднее более частные свойства. Дифференцировка это изменения в структуре клеток связанные с их функциональной специализацией обусловленные активностью определенных генов. В развивающемся организме дифференцировка сопровождается определенной организацией или размещением специализирующихся клеток что выражается в установлении определенного плана...
25627. Гистогенез и органогенез 22 KB
  4 неделя Углубление желточной складки образование желточного стебля и приподнятие зародыша в полости амниона. Замыкание нервной трубки и формирование переднего невропора к 25 сут и заднего невропора к 27 сут образование нервных ганглиев; закладка легкого желудка печени поджелудочной железы эндокринных желез аденогипофиза щитовидной и околощитовидных желез. Образование ушной и хрусталиковой плакод первичной почки мезонефроса. Образование зачатков верхних и нижних конечностей 4 пар жаберных дуг.
25628. Гладкие мышечные ткани 29.5 KB
  Стволовые клетки и клеткипредшественники в гладкой мышечной ткани на этапах эмбрионального развития пока точно не отождествлены. Поверх чехликов из базальной мембраны между миоцитами проходят эластические и ретикулярные волокна объединяющие клетки в единый тканевой комплекс. Ретикулярные волокна проникают в щели на концах миоцитов закрепляются там и передают усилие сокращения клетки всему их объединению. Поэтому после поступления нервного импульса медиатор распространяется диффузно возбуждая сразу многие клетки.
25630. Дифференцировка первичной эктодермы 39 KB
  Меньшая часть эктодермы расположенная над хордой нейроэктодерма дает начало дифференцировке нервной трубки и ганглиозной пластинки. Нейруляция процесс образования нервной трубки протекает по времени неодинаково в различных частях зародыша. Замыкание нервной трубки начинается в шейном отделе а затем распространяется кзади и несколько замедленнее в краниальном направлении где формируются мозговые пузыри. Из нервной трубки образуются нейроциты и нейроглия головного и спинного мозга сетчатки глаза и органа обоняния.
25631. Диффузная эндокринная система 32 KB
  Среди одиночных гормонпродуцирующих клеток различают две самостоятельные группы: I нейроэндокринные клетки APUDсерии нервного происхождения; II клетки не нервного происхождения. Эти клетки характеризуются способностью поглощать и декарбоксилировать предшественники аминов англ. Согласно современным представлениям клетки APUDсерии развиваются из всех зародышевых листков и присутствуют во всех тканевых типах: 1 производные нейроэктодермы {нейроэндокринные клетки нейросекреторных ядер гипоталамуса эпифиза мозгового вещества...
25632. Железистые эпителии 42.5 KB
  Железистый эпителий состоит из железистых или секреторных клеток гландулоцитов. Они накапливаются в местах наибольшей активности клеток т. В цитоплазме клеток обычно присутствуют секреторные гранулы размер и строение которых зависят от химического состава секрета. Цитолемма имеет различное строение на боковых базальных и апикальных поверхностях клеток.
25633. Желудок 56 KB
  Пепсин вырабатывается в неактивной форме в виде пепсиногена который в содержимом желудка в присутствии соляной кислоты превращается в активную форму пепсин. Слизь покрывая поверхность слизистой оболочки желудка предохраняет ее от действия хлористоводородной кислоты и от повреждения грубыми комками пищи. Механическая функция желудка состоит в перемешивании пищи с желудочным соком и проталкивания переработанной пищи в двенадцатиперстную кишку. В осуществлении функции принимает участие мускулатура желудка.