24316

Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

Лекция

Физика

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

Русский

2014-10-12

261.5 KB

14 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 5

4. Момент инерции. Основное уравнение динамики

вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси для отдельной частицы имеем

, но

тогда

.

А для всего АТТ

.

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

     (5-1)

Тогда для АТТ

      (5-2)

Если масса АТТ является мерой инертности тела при поступательном движении, то при вращательном движении мерой инертности является момент инерции.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

       (5-3)

Значения момента инерции для некоторых однородных тел относительно неподвижной оси, проходящей через центр инерции АТТ:


Тело

Момент инерции

Тонкостенный цилиндр (обруч) радиусом R

mR2

Сплошной цилиндр или диск радиусом R

Прямой тонкий стержень длиной

Шар радиусом R

Если ось вращения проходит не через центр инерции (центр масс) АТТ, тогда для вычисления момента инерции используют теорему Штейнера:

    (5-4)

где Iz  момент инерции АТТ относительно произвольной оси z;

Iс  момент инерции АТТ относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела;

m  масса АТТ;

d  кратчайшее расстояние между осями.

Учитывая введенные обозначения, можно записать связь между моментом импульса частицы или АТТ и их моментом инерции:

    (5-5)

Подставляя выражение (5-5) в уравнение моментов (4-12), получим:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ относительно неподвижной оси:

в ИСО произведение момента инерции АТТ на его угловое ускорение равно векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на это тело:

    (5-6)

Для записи этого векторного уравнения в скалярной форме выбирают удобную ИСО (ось Oz направляют вдоль неподвижной оси вращения) и находят проекции всех векторов на ось Оz:

.

Демонстрации:

№3. Маятник Обербека.

№4. Скатывание двух цилиндров.

Задача. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к колесу, имеющему форму сплошного диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м и вращающемуся с частотой 30 об/с, чтобы его остановить в течение 20 с, если коэффициент трения между колодкой и ободом колеса равен 0,5?


Оz:

5. Условия равновесия АТТ

Для того, чтобы АТТ находилось в равновесии (в покое) необходимо:

1) чтобы АТТ не перемещалось в пространстве (не участвовало в поступательном движении) нужно, чтобы линии действия всех сил, действующих на тело, проходили через центр инерции (центр масс) АТТ, и равнодействующая всех сил должна быть равна нулю.

.       (5-7а)

2) если линии действия каких-то сил не проходят через центр инерции (центр масс) АТТ, но равнодействующая равна нулю, тогда, чтобы АТТ не участвовало во вращательном движении нужно, чтобы векторная сумма моментов всех внешних сил была равна нулю.

.       (5-7б)


6. Плоское движение АТТ

В случае сложного движения АТТ (например, процесс скатывания (без проскальзывания) обруча, диска, цилиндра, шара и т. п. с наклонной плоскости) необходимо записать основное уравнение динамики центра инерции (центра масс) АТТ и основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг оси, проходящей через центр инерции (центр масс) АТТ:

где сила трения покоя (трением качения пренебречь);

моменты сил тяжести, реакции опоры и трения покоя.

В проекциях на координатные оси:

Учитывая, что , где k – коэффициент, учитывающий форму скатывающегося тела: k = 1 для обруча, k = 0,5 для диска, цилиндра, k = 0,4 для шара),

тогда

  

Откуда .


Условие, при котором тело не будет проскальзывать, запишется

откуда     

т. е. если  превысит значение  то скатывание будет проходить с проскальзыванием!

Учитывая, что при равноускоренном движении центра инерции , скорость центра инерции в конце скатывания

и время скатывания

,

где длина наклонной плоскости.

Но основное уравнение динамики вращательного движения АТТ можно записывать относительно неподвижной оси, проходящей через точку А соприкосновения образующей скатывающегося тела и плоскости.

,

где находим по теории Штейнера;

отсюда, учитывая получим тот же результат:

   

PAGE   \* MERGEFORMAT6


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

EMBED Equation.3  

 z

        R         dR

 с 

   ℓ

                     

                                             dR

                             R

h

z         O

EMBED Equation.3  

d

x

y

z

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

O

O

                        y

             C

         А

                                               x

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3649. Правовое регулирование чрезвычайных ситуаций 76.5 KB
  Правовое регулирование чрезвычайных ситуаций Нормативные акты, регулирующие деятельность по снижению риска ЧС, могут быть условно подразделены на две группы: частные и общие (общесистемные) акты. В общесистемных правовых актах формулируется базовый ...
3650. Автоматизированный электропривод машин и аппаратов химических производств 1.63 MB
  Назначение электродвигателя – для привода с регулированием скорости в широком диапазоне, обеспечивающем хорошие пусковые качества и перегрузочной способностью. Вид автоматизированного пуска – в функции времени. По назначению привода опреде...
3651. Лексико-стилистические особенности комментариев пользователей официальных групп СМИ социальной сети В Контакте 182.95 KB
  Объектом исследования является текстовые сообщения Интернет-сообщества. Предмет исследования – лексико-стилистические особенности комментариев пользователей официальных групп СМИ социальной сети ВКонтакте. Цель работы – комплексное изуче...
3652. Закріплення і узагальнення мовленнєвих умінь, пов`язаних з вивченням частин мови 1.06 MB
  Мета: повторити з учнями вживання частин мови у своєму мовленні, вчити знаходити їх у тексті, давати характеристику, як частини мови; розвивати мову, збагачувати словниковий запас, розвивати вміння користуватися словниками; виховувати повагу до люде...
3653. Величний подвиг в ім’я людства – поза часом 2.11 MB
  «Величний подвиг в ім’я людства – поза часом» Мета: Знайомство з героїчними сторінками історії нашої країни, нашого міста. Формування в учнів почуття патріотизму, любові до свого народу, його героїчного минулого. Виховання г...
3654. Закріплення знань про звукове значення букви «ш» (ша). 2.84 MB
  Закріплення знань про звукове значення букви «ш» (ша). Мета. Закріплювати знання учнів про звукове значення букви «ш» (ша) виконувати звуко-буквений аналіз слів;формувати в учнів навички свідомого й виразного читання розвивати мислення...
3655. Виховний захід. У країні дорожніх знаків 1.85 MB
  У країні дорожніх знаків 1-а ведуча. Добрий день! Сьогодні ми поговоримо про правила дорожнього руху. Відомо всім, що найдорожчий скарб людини - це її власне життя...
3656. Дистанційне навчання 761.5 KB
  Одним з пріоритетних напрямів програми модернізації загальноосвітньої і вищої школи визнане дистанційне навчання. В 2000 році прийнята Концепція розвитку дистанційної освіти в Україні (затверджено Постановою МОН України В.Г. Кременем 20 г...
3657. Познакомить учащихся с участниками афганской войны 38.5 KB
  Цель: познакомить учащихся с участниками афганской войны, с воинами, поэтический талант которых расцвел в суровый военный период, с жизнью и творчеством 23-летнего Александра Стовбы (Аиста), посмертно принятого в Союз писателей СССР воспитывать у ш...