24316

Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

Лекция

Физика

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

Русский

2014-10-12

261.5 KB

14 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 5

4. Момент инерции. Основное уравнение динамики

вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси для отдельной частицы имеем

, но

тогда

.

А для всего АТТ

.

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

     (5-1)

Тогда для АТТ

      (5-2)

Если масса АТТ является мерой инертности тела при поступательном движении, то при вращательном движении мерой инертности является момент инерции.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

       (5-3)

Значения момента инерции для некоторых однородных тел относительно неподвижной оси, проходящей через центр инерции АТТ:


Тело

Момент инерции

Тонкостенный цилиндр (обруч) радиусом R

mR2

Сплошной цилиндр или диск радиусом R

Прямой тонкий стержень длиной

Шар радиусом R

Если ось вращения проходит не через центр инерции (центр масс) АТТ, тогда для вычисления момента инерции используют теорему Штейнера:

    (5-4)

где Iz  момент инерции АТТ относительно произвольной оси z;

Iс  момент инерции АТТ относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела;

m  масса АТТ;

d  кратчайшее расстояние между осями.

Учитывая введенные обозначения, можно записать связь между моментом импульса частицы или АТТ и их моментом инерции:

    (5-5)

Подставляя выражение (5-5) в уравнение моментов (4-12), получим:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ относительно неподвижной оси:

в ИСО произведение момента инерции АТТ на его угловое ускорение равно векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на это тело:

    (5-6)

Для записи этого векторного уравнения в скалярной форме выбирают удобную ИСО (ось Oz направляют вдоль неподвижной оси вращения) и находят проекции всех векторов на ось Оz:

.

Демонстрации:

№3. Маятник Обербека.

№4. Скатывание двух цилиндров.

Задача. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к колесу, имеющему форму сплошного диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м и вращающемуся с частотой 30 об/с, чтобы его остановить в течение 20 с, если коэффициент трения между колодкой и ободом колеса равен 0,5?


Оz:

5. Условия равновесия АТТ

Для того, чтобы АТТ находилось в равновесии (в покое) необходимо:

1) чтобы АТТ не перемещалось в пространстве (не участвовало в поступательном движении) нужно, чтобы линии действия всех сил, действующих на тело, проходили через центр инерции (центр масс) АТТ, и равнодействующая всех сил должна быть равна нулю.

.       (5-7а)

2) если линии действия каких-то сил не проходят через центр инерции (центр масс) АТТ, но равнодействующая равна нулю, тогда, чтобы АТТ не участвовало во вращательном движении нужно, чтобы векторная сумма моментов всех внешних сил была равна нулю.

.       (5-7б)


6. Плоское движение АТТ

В случае сложного движения АТТ (например, процесс скатывания (без проскальзывания) обруча, диска, цилиндра, шара и т. п. с наклонной плоскости) необходимо записать основное уравнение динамики центра инерции (центра масс) АТТ и основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг оси, проходящей через центр инерции (центр масс) АТТ:

где сила трения покоя (трением качения пренебречь);

моменты сил тяжести, реакции опоры и трения покоя.

В проекциях на координатные оси:

Учитывая, что , где k – коэффициент, учитывающий форму скатывающегося тела: k = 1 для обруча, k = 0,5 для диска, цилиндра, k = 0,4 для шара),

тогда

  

Откуда .


Условие, при котором тело не будет проскальзывать, запишется

откуда     

т. е. если  превысит значение  то скатывание будет проходить с проскальзыванием!

Учитывая, что при равноускоренном движении центра инерции , скорость центра инерции в конце скатывания

и время скатывания

,

где длина наклонной плоскости.

Но основное уравнение динамики вращательного движения АТТ можно записывать относительно неподвижной оси, проходящей через точку А соприкосновения образующей скатывающегося тела и плоскости.

,

где находим по теории Штейнера;

отсюда, учитывая получим тот же результат:

   

PAGE   \* MERGEFORMAT6


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

EMBED Equation.3  

 z

        R         dR

 с 

   ℓ

                     

                                             dR

                             R

h

z         O

EMBED Equation.3  

d

x

y

z

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

O

O

                        y

             C

         А

                                               x

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46832. Прибыль и доход фирмы, их классификация 21.29 KB
  Прибыль и доход фирмы их классификация Валовая прибыль разница между выручкой и себестоимостью реализованной продукции или услуги. Следует иметь в виду что Валовая прибыль отличается от операционной прибыли Прибыль до уплаты налогов пеней и штрафов процентов по кредитам. Валовая прибыль вычисляется: Валовая прибыль = Чистый доход от продаж Себестоимость реализованной продукции или услуги. Валовую прибыль не следует путать с Чистой прибылью: Чистая прибыль = Валовая прибыль Сумма операционных затрат Сумма налогов пеней и штрафов...
46834. Либертарианская теории прессы: печать и телевидение в США, механизмы саморегулирования журналистики 32.26 KB
  Определения: 1 Воздействие на гражданское население и или военнослужащих другого государства путём распространения определённой информации. 2 Целенаправленные действия предпринятые для достижения информационного превосходства путём нанесения ущерба информации информационным процессам и информационным системам противника при одновременной защите собственной информации информационных процессов и информационных систем. Средствами ведения информационной войны являются любые средства передачи информации от СМИ до почты и сплетен. Как...
46835. Переменные. Инициализация переменных 32.5 KB
  Тип переменных определяется пользователем в разделе описания пере менных:{} В настоящее время в профессиональном программировании принято записывать имена переменных с использованием так называемой венгерс кой нотации. Венгерская нотация это соглашение о наименованиях переменных и функций. Венгерская нотация основывается на следующих принципах: имена переменных и функций должны содержать префикс описывающий их тип; имена переменных и функций...
46837. Independent elements of the sentence 32.5 KB
  Independent elements of the sentence s the term implies generlly re not grmmticlly dependent on ny prticulr prt of the sentence but s rule refer to the sentence s whole. Only occsionlly they my refer to seprte prt of the sentence. Its position is more free thn tht of ny other prts of the sentence nd ccordingly it my occur in different positions in the sentence.
46840. Специфика обучения в дошкольном возрасте 32.5 KB
  Обучение и развитие в дошкольном возрасте С развитием ребенка меняется и характер обучения ребенка. Кро говорит о ребенке 3 лет: уже становится возможным какаято программа обучения и воспитания не школьная программа а программа самого ребенка. Раньше определенного возраста ребенка бесполезно обучать например держать ложку а позже определенного возраста это делать просто бесполезно. В педологии пользуются только нижней границей ниже известного уровня нельзя ребенка обучать тому или ному предмету.