24316

Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

Лекция

Физика

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

Русский

2014-10-12

261.5 KB

15 чел.

ЛЕКЦИЯ  № 5

4. Момент инерции. Основное уравнение динамики

вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси для отдельной частицы имеем

, но

тогда

.

А для всего АТТ

.

Моментом инерции материальной точки (частицы) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки (частицы) на квадрат кратчайшего расстояния от частицы до оси вращения.

     (5-1)

Тогда для АТТ

      (5-2)

Если масса АТТ является мерой инертности тела при поступательном движении, то при вращательном движении мерой инертности является момент инерции.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

       (5-3)

Значения момента инерции для некоторых однородных тел относительно неподвижной оси, проходящей через центр инерции АТТ:


Тело

Момент инерции

Тонкостенный цилиндр (обруч) радиусом R

mR2

Сплошной цилиндр или диск радиусом R

Прямой тонкий стержень длиной

Шар радиусом R

Если ось вращения проходит не через центр инерции (центр масс) АТТ, тогда для вычисления момента инерции используют теорему Штейнера:

    (5-4)

где Iz  момент инерции АТТ относительно произвольной оси z;

Iс  момент инерции АТТ относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела;

m  масса АТТ;

d  кратчайшее расстояние между осями.

Учитывая введенные обозначения, можно записать связь между моментом импульса частицы или АТТ и их моментом инерции:

    (5-5)

Подставляя выражение (5-5) в уравнение моментов (4-12), получим:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ относительно неподвижной оси:

в ИСО произведение момента инерции АТТ на его угловое ускорение равно векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на это тело:

    (5-6)

Для записи этого векторного уравнения в скалярной форме выбирают удобную ИСО (ось Oz направляют вдоль неподвижной оси вращения) и находят проекции всех векторов на ось Оz:

.

Демонстрации:

№3. Маятник Обербека.

№4. Скатывание двух цилиндров.

Задача. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к колесу, имеющему форму сплошного диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м и вращающемуся с частотой 30 об/с, чтобы его остановить в течение 20 с, если коэффициент трения между колодкой и ободом колеса равен 0,5?


Оz:

5. Условия равновесия АТТ

Для того, чтобы АТТ находилось в равновесии (в покое) необходимо:

1) чтобы АТТ не перемещалось в пространстве (не участвовало в поступательном движении) нужно, чтобы линии действия всех сил, действующих на тело, проходили через центр инерции (центр масс) АТТ, и равнодействующая всех сил должна быть равна нулю.

.       (5-7а)

2) если линии действия каких-то сил не проходят через центр инерции (центр масс) АТТ, но равнодействующая равна нулю, тогда, чтобы АТТ не участвовало во вращательном движении нужно, чтобы векторная сумма моментов всех внешних сил была равна нулю.

.       (5-7б)


6. Плоское движение АТТ

В случае сложного движения АТТ (например, процесс скатывания (без проскальзывания) обруча, диска, цилиндра, шара и т. п. с наклонной плоскости) необходимо записать основное уравнение динамики центра инерции (центра масс) АТТ и основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг оси, проходящей через центр инерции (центр масс) АТТ:

где сила трения покоя (трением качения пренебречь);

моменты сил тяжести, реакции опоры и трения покоя.

В проекциях на координатные оси:

Учитывая, что , где k – коэффициент, учитывающий форму скатывающегося тела: k = 1 для обруча, k = 0,5 для диска, цилиндра, k = 0,4 для шара),

тогда

  

Откуда .


Условие, при котором тело не будет проскальзывать, запишется

откуда     

т. е. если  превысит значение  то скатывание будет проходить с проскальзыванием!

Учитывая, что при равноускоренном движении центра инерции , скорость центра инерции в конце скатывания

и время скатывания

,

где длина наклонной плоскости.

Но основное уравнение динамики вращательного движения АТТ можно записывать относительно неподвижной оси, проходящей через точку А соприкосновения образующей скатывающегося тела и плоскости.

,

где находим по теории Штейнера;

отсюда, учитывая получим тот же результат:

   

PAGE   \* MERGEFORMAT6


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

EMBED Equation.3  

 z

        R         dR

 с 

   ℓ

                     

                                             dR

                             R

h

z         O

EMBED Equation.3  

d

x

y

z

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

O

O

                        y

             C

         А

                                               x

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75539. Вибір професії. Плани на майбутнє. Узгодження часів в англійській мові 60 KB
  We hve to review the words nd word combintions for this topic nd the grmmr: The Sequence of Tenses. By the end of the lesson you should be ble: to operte the words nd word combintions for the topic: Choosing profession People nd Occuptions ; to review the grmmr: The Sequence of Tenses ; to conduct your own dilogues using the given one s n exmple. If you her one of your profession put your hnd up nd cross the word out. the winner is the first student to cross out ll his her words nd shouts Bingo Profession Bingo Pupil\'s grid Professions:...
75540. Даниель Дефо, автор «Робінзона Крузо». Контроль позакласного читання 91.5 KB
  Обладнання: підручник текст для читання The uthor of Robinson Crusoe HO1 True or Flse H02 Personlity Quiz H03 Finish the Sentences H04. Т: The topic of our lesson is Dniel Defoe the uthor of Robinson Crusoe. Пред\'явлення тексту для читання Dniel Defoe the uthor of Robinson Crusoe . Т: Hve you ever red Robinson Crusoe Wht do you know bout the uthor of this book Is the book Robinson Crusoe still red by children nd grownups 2 WhileReding ctivities.
75541. Вибір професії. Плани на майбутнє, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 38.5 KB
  By the end of the lesson you should be ble: to mtch the English words nd word combintions with their Ukrinin equivlents Level 1; to define different kinds of films by their description Level 2; to sk questions to show your bility of operting the grmmr: the building of the questions of different kinds Level 3; to write bout your plns for the future to check your skills in communictive writing Level 4. Т: Our test consists of 4 levels. You\'ll get 3 points for ech level if you cope with it properly. Level 1 Scope: 3 Mtch the English words...
75542. Літні канікули. Знов у школу. Повторення. Простий минулий час (Past indefinite Tense) 23.77 KB
  So you hve not only to study well but lso to choose wht to do when you leve school. I hope you will choose wht to do in the future so tht you will be useful to our country nd be hppy in your life. Т: Wht things do you ssocite with the words Summer Holidys Write them on the blckbord nd in your vocbulries plese. re you gld to be t school Why Wht did you pln to do during your summer holidys Did your plns come true Where did you go Do you like to spend your holidys in town in the country 4.
75543. Літні канікули. Повторення розділових запитань (Disjunctive Questions) 22.06 KB
  Повторення розділових запитань Disjunctive Questions. Обладнання: підручник тематична картина Літні канікули граматична таблиця Disjunctive Questions 37 Reference Grmmr; українськоанглійські словники речення і розділові питання для гри Find your prtner НО1. We hve to review the grmmr the building of the disjunctive questions to use them in our speech mking it more nturl. By the end of the lesson you should be ble: to use the tgquestions in your dilogues; to use your imgintion describing pictures.
75544. Україна. Географічне положення. Загальна характеристика. Нові ЛО 24.58 KB
  Ввести нові ЛО та відпрацювати їх вживання в мові. Практикувати учнів у читанні тексту з метою отримання загального уявлення (skimming) та з метою максимально повного й точного розуміння всієї інформації, що в ньому міститься (scanning)
75545. Географічне положення та державний устрій України 24.82 KB
  Т: We re going to tlk bout the politicl structure of Ukrine nd its geogrphicl position. By the end of the lesson you should be ble: to recognize nd understnd new words nd word combintions from the topic: The politicl structure of Ukrine in the text; to listen for the min ide nd specific informtion; to tlk bout the politicl structure of Ukrine in brief. One student from the clss is selected who thinks of geogrphicl plce in Ukrine tht must be guessed by the rest of the clss. Exmple: Is it river Is it mountin Is it one of the lrgest cities...
75546. Україна. Життя молоді, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 23.9 KB
  People Підтема: Україна. re ll young people like Of course not. Thts why teengers esily come under the influence of other people. Young people re crzy bout music.
75547. Культура та наука в Україні, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 22.03 KB
  Обладнання: підручник текст Culture nd Science in Ukrine HO1 Who is who H02. Т: We continue our work on the topic Ukrine. We re going to tlk bout culture nd science in Ukrine. By the end of the lesson you should be ble: to prticipte in common converstionl exchnges nd tell bout this topic using tl text nd wordcombintions s pln; to operte fcts bout Ukrine in new situtions.