2449

Принципы линейного моделирования

Курсовая

Экономическая теория и математическое моделирование

Вывод нелинейной математической модели. Формулировка системы допущений. Модель статики. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей. Вывод линеаризованной модели в динамике.

Русский

2013-01-06

435.24 KB

26 чел.

Содержание

1. Описание процесса 3

2. Вывод нелинейной математической модели 4

2.1. Формулировка системы допущений 4

2.2. Модель статики 4

3. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме 9

4. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей. 14

Вывод линеаризованной модели в динамике. 14

Список литературы 21


1. Описание процесса

Объект моделирования – две гидравлические ёмкости, соединенные последовательно с замкнутыми геометрическими пространствами над жидкостью с притоком ниже уровня жидкости в аппарате и естественным стоком при атмосферном давлении.

Q2

Q3

Р1

Ратм

Р2

Р

Q1

h2

3

2

h1

1

Рисунок 1 – Объект моделирования

P1 – избыточное давление на входе в первую емкость;

Q1 – расход на входе в первую ёмкость;

Р – давление газа в трубке;

Р2 – сумма гидростатического давления уровня жидкости в первой емкости и давления газа в соединительной трубе;

Q2 – расход на стоке;

Q3 – промежуточный расход;

h1 – высота уровня жидкости в первой емкости;

h2 – высота уровня жидкости во второй емкости;

α1 – коэффициент расхода на входе;

α2 – промежуточный коэффициент расхода;

α3 – коэффициент расхода на стоке.

Описание процесса

Жидкость подается в ёмкости под давлением P1. За счет этого в ёмкостях создается необходимый уровень, который регулируется при помощи изменения коэффициентов расходов α1, α2, α3. Таким образом, главными выходными параметрами системы являются высоты уровней h1, h2.

Цели моделирования:

  1.  Сравнить нелинейную и линейную модели при различных номинальных режимах.
  2.  Оценить влияние параметров объекта моделирования на его статические и динамические характеристики (геометрические размеры, давление в камере, неуравновешенное усилие от потока среды).

2. Вывод нелинейной математической модели

2.1. Формулировка системы допущений

Для построения математической модели примем следующие допущения:

  1.  Считаем плотность жидкости ж постоянной величиной, при постоянной температуре, т. к. жидкости мало сжимаемы и имеют малый объемный коэффициент расширения, что позволяет не рассматривать изменение плотности жидкости ж при изменении давления.
  2.  Температуры жидкости и воздуха в емкости считаем постоянными, что позволяет пренебречь изменениями давления воздуха при колебаниях температуры и считать температуру, при которой емкость заполняется жидкостью равной температуре, при которой объект работает (температуры окружающей среды малы).
  3.  Давление на выходе из трубопровода – атмосферное, принимаем его за ноль.
  4.  Давление Р1 – постоянно.
  5.  Для емкостей выбираем цилиндрическую форму, при которой площадь поперечного сечения постоянна, что позволит не учитывать изменение площади поперечного сечения емкостей с изменением высоты.
  6.  Других гидравлических сопротивлений, кроме ёмкостей и вентилей регулирования расхода, нет.
  7.  Утечки из емкостей отсутствуют.

2.2. Модель статики

Для расчетов по математическим моделям принимаем следующие числовые значения:

Задаемся расходами Q1, Q2  и Q3  , давлением P1, значениями уровней h1 и h2, Н1, Н2, радиусами емкостей r1, r2 и находим коэффициенты α, давление Р, площади сечений емкостей S1, S2:

r = r1 = r2 = 1,5м

S = S1 = S2 = π·r2 м2   S = 3.14·(1,5)2 = 7.065

Н1 = Н2 = 10м

Из закона PV=P1V1, выразим давление газа P в трубке.

Для первого состояния (когда емкости не заполнены жидкостью)

P1·V=M·R·T  (1), здесь

P1 – давление газа до заполнения емкости, оно равно атмосферному давлению Paтм,

V – суммарный объем емкостей, V= V1+V2, V1=S1·H1, V2=S2·H2

H – высота емкости,

S – площадь сечения емкости,

M- масса воздуха,

R-газовая постоянная воздуха,

T-температура воздуха.

Для второго состояния (когда емкости заполнены жидкостью)

P2·V`=M·R·T  (2), здесь

V` - объем газа после заполнения емкостей жидкостью

V`=V1`+V2`=S1(H1-h1)+S2(H2-h2)

h-уровень жидкости в емкости.

Так как масса газа не изменяется (нет утечек, растворения газа в воде и т. д.), температура постоянна, состав газовой смеси не изменяется (M=const), то из (1) и (2) получим:

Paтм (S1·H1+S2·H2) = P2 (S1 (H1-h1) +S2· (H2-h2))  (3)

Из (3) выразим нужное нам давление Р:

Материальный баланс в статике:

Q1 = Q2 = Q3

Приравняв к нулю члены с производными по времени, получаем систему уравнений, описывающую статику объекта:

Q1 = Q2

Q2 = Q3

Нахождение коэффициентов расхода α1, α2, α3 в номинальном режиме:

 

Из системы уравнений выразим параметр уровня, который требуется определить в статике.

Для решения системы уравнений используем пакет Mathcad.

Зависимость уровней h1, h2, P при изменении  коэффициента расхода α1.

Таблица 1.

, 

±∆

α2  

α3  

P1, Па

h1, м

h2, м

P, Па

10%

0,803

4,243

0,692

600000

7,772

6,851

269350

5%

0,847

4,243

0,692

600000

7,892

6,930

286250

ном.

0,892

4,243

0,692

600000

8,000

7,000

300000

-5%

0,937

4,243

0,692

600000

8,094

7,058

312541

-10%

0,981

4,243

0,692

600000

8,176

7,107

323998

6

6,5

7

7,5

8

8,5

0,803

0,847

0,892

0,937

0,981

h1(α1)

h2(α1)

, 

h, м

Рис. 1. – Зависимость уровней h1 и h2 от коэффициента α1.

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0,803

0,847

0,892

0,937

0,981

P(α1)

P, Па

, 

Рис. 2. – Зависимость давления газа P от коэффициента α1.

Зависимость уровней h1, h2, P при изменении  коэффициента расхода α3.

Таблица 2

, м

,

, м

,

,

, Па

, Па

10%

7,709

0,892

6,809

4,243

0,7612

600000

264830

5%

7,859

0,892

6,909

4,243

0,7266

600000

282263

ном.

8,000

0,892

7,000

4,243

0,692

600000

300000

-5%

8,130

0,892

7,080

4,243

0,6574

600000

317537

-10%

8,252

0,892

7,152

4,243

0,6228

600000

335161

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,7612

0,7266

0,692

0,6574

0,6228

h1(α3)

h2(α3)

, 

h, м

Рис. 3. – Зависимость уровней h1 и h2 от коэффициента α3.

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

0,7612

0,7266

0,692

0,6574

0,6228

P(α3)

P, Па

, 

Рис. 4. – Зависимость давления газа P от коэффициента α3

Выводы по графикам статических характеристик:

Как видно из графиков, зависимость значения уровней жидкости h1 и h2 и давления газа P от изменения значений коэффициентов гидравлического сопротивления α1 и α3 носит нелинейный характер, хотя нелинейность выражена очень слабо.

При изменении заданного номинальных значений коэффициентов гидравлического сопротивления α1 и α3 в диапазоне ±10 % значения уровней жидкости h1 и h2 не достигают предельных значений, соответствующих нулевому значению уровней и максимальной высоте емкости .

3. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме

Материальный баланс в динамике:

Допустим, что изменился во времени один из входных потоков:

Так как приращения не равны, то в емкостях будет накапливаться жидкость.

Δm1 = (Q1 Q2)Δt

Δm2 = (Q2 Q3)Δt

Δm1 = ρSΔh1

Δm2 = ρSΔh2

За время t в емкостях накопится:

Так как

То получим баланс вещества в приращениях в динамике:

расходы, входящие в это выражение:

Подставив полученные выражения в формулу баланса в приращениях, получим математическую модель вещества в динамике:

Таким образом, получили систему дифференциальных уравнений динамики системы:

Исследование зависимости значений уровней h1 и h2 в соответствующих емкостях от изменения коэффициентов расхода α1, α3 в динамике:

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений используем функцию «rkfixed», пакета MathCAD, данная функция реализует решение задачи на отрезке методом Рунге – Кутта с постоянным шагом.

Синтаксис функции «rkfixed»:

Где

– возвращаемая функцией «rkfixed» матрица решений, состоящая из столбцов (где - количество уравнений в системе) и строк, в первом столбце находятся значения переменной, во втором и последующих столбцах соответствующие значения приближенного решения;

– вектор начальных условий;

– начальная точка отрезка;

– конечная точка отрезка;

– число узлов на отрезке ;

– векторная функция правых частей уравнений системы.

Найдем зависимость значений уровней h1 и h2 при изменении значения коэффициента расхода α1 в интервале ± 10% от номинального режима в динамике, при изменении времени от 0 до 2000 сек.

Пример записи в пакете MathCAD для номинального режима:

Таким же образом записываем для α1: , ,,.

Аналогично находим зависимости значений уровней h1 и h2 при изменении значения коэффициента пневматического сопротивления α3 в интервале ± 10% от номинального режима в динамике, при изменении времени от 0 до 2000 сек.

Графики зависимостей значений уровней h1 и h2 при изменении значений коэффициентов пневматического сопротивления α1, α3 в динамике.

,

м

с        

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Рис. 5. – Зависимость уровня от коэффициента .

,

м

с        

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Рис.6. – Зависимость уровня от коэффициента .

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Па        

Рис. 7. – Зависимость давления газа от коэффициента .

, с        

, м

с        

Рис. 8. – Зависимость уровня от коэффициента .

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

, с        

,

м

с        

Рис. 9. – Зависимость уровня от коэффициента .

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Па        

Рис. 10. – Зависимость давления газа от коэффициента .

4. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей.

Вывод линеаризованной модели в динамике

Линеаризация дифференциального уравнения, описывающего динамику изменения значения уровня жидкости в первой емкости.

,

где  

 

Величины , , , , соответствуют значениям величин в заданном статическом режиме. Величины , , , и соответствуют приращению величин во времени.

Линеаризация производится путем разложения в ряд Тейлора полученного нелинейного дифференциального уравнения и дальнейшим отбрасыванием малых величин большего порядка малости.

Линеаризуя первое дифференциальное уравнение получим:

                              (1)

Находим коэффициенты , , , , , выполнив следующее:

Обозначим правую часть нелинейного дифференциального уравнения следующим образом:

Находим частные производные по каждому входному воздействию.

 

     

Перенесем член в левую часть уравнения (1):

Поделим правую и левую части уравнения (1) на  :

Введем новые обозначения:

      

     .

С учетом новых обозначений получим первое линеаризованное уравнение:

Линеаризация дифференциального уравнения, описывающего динамику изменения значения уровня жидкости во второй емкости.

 

где   

 

 

 

Величины , , и соответствуют значениям величин в заданном статическом режиме. Величины , , и соответствуют приращению величин во времени.

Линеаризация производится путем разложения в ряд Тейлора полученного нелинейного дифференциального уравнения и дальнейшим отбрасыванием малых величин большего порядка малости.

Линеаризуя второе дифференциальное уравнение получим:

                                       (2)

Находим коэффициенты , , , , выполнив следующее:

Обозначим правую часть нелинейного дифференциального уравнения следующим образом:

.

Находим частные производные по каждому входному воздействию.

     

      

Перенесем член в левую часть уравнения (2):

Поделим правую и левую части уравнения на  :

Введем новые обозначения:

     .   

С учетом новых обозначений получим второе линеаризованное уравнение:

Линейная модель объекта в динамике имеет следующий вид:

Для решения системы линейных дифференциальных уравнений, соответствующей линейной модели объекта в динамике, используем функцию «rkfixed», пакета Mathcad.

Пример записи решения в пакете MathCAD:

Построение зависимостей значений уровней и и давления газа от изменений значений коэффициентов гидравлического сопротивления и для нелинейной и линеаризованной моделей.

м       

         

— —

         

— —

, с        

Рис. 11. –  Зависимость уровней и от коэффициента , при его увеличении на 10% в динамике.

, с        

         

— —

         

— —

м       

Рис. 12. –  Зависимость уровней и от коэффициента, при его увеличении на 10% в динамике.

 

         

, с        

Рис. 13. – Зависимость давления газа от коэффициентов и при их увеличении на 10% в динамике.

Полученная линейная модель объекта в динамике достаточно точная, поэтому в случае проектирования системы автоматического регулирования для данного аппарата предпочтительнее будет использовать линеаризованную модель.


Список литературы

  1.  Моделирование процессов и систем: Учеб.пособие /В.Л. Волков; Нижегород. гос. тех. ун-т. Н.Новгород, 2005 – 80 с.
  2.  Советов Б. Я., Яковлев С. А.  Моделирование систем: Учеб. для вузов — 3-е юд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 343 с: ил.
  3.  Авдеев О.Н., Мотайленко Л.В. Моделирование систем: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001.
  4.  Романовский П. И., Игнатьева А. В., Краснощекова Т. И., Смирнов В. Ф. Курс высшей математики: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1964. – 684 с.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34188. Номинальный и реальный ВНП. Дефлятор ВНП 17.45 KB
  Номинальный и реальный ВНП. Дефлятор ВНП Макроэкономические показатели ВНП и ВВП – денежные показатели поэтому их значение зависит от динамики цен покупательной способности денежной единицы. Следовательно увеличение или уменьшение уровня цен оказывает влияние на величину ВНП и ВВП. ВНП и ВВП в номинальном значении измеряются в рыночных текущих ценах.
34189. Показатели, производные от ВНП 16.78 KB
  Национальный доход. Таким образом получаем показатель национального дохода НД. С точки зрения собственников ресурсов национальный доход является измерителем их доходов от участия в производстве за текущий период. Предприятия рассматривают национальный доход как показатель отражающий уровень цен на факторы производства или ресурсы.
34190. Экономический рост, его типы и факторы. Длинные волны экономической конъюнктуры 21.43 KB
  позволяет исключить воздей ствие инфляции и универсальнее поскольку при расчете темпов роста трудно рассчитать общий показатель для производства раз личных изделий. Основные показатели экономического роста: 1 годовой прирост объема ВНП ВВП НД; 2 годовые темпы роста ВНП ВВП НД на душу населения; 3 годовые темпы роста промышленного производства в целом его отраслей на душу населения. При данном типе экономического роста в произ водство вовлекается все большее количество ресурсов природ ных трудовых материальных но не...
34191. Государственное регулирование экономического роста 17.32 KB
  Кейнсианцы рассматривают экономический рост преимущественно с точки зрения факторов спроса. Обычно они объясняют низкие темпы роста неадекватным уровнем совокупных расходов которые не обеспечивают необходимого прироста ВНП. В отличие от них сторонники “экономики предложения†отдают предпочтения долгосрочным перспективам делая упор на факторы обеспечивающие рост общественного продукта при полной занятости и полной загрузке производственных мощностей.
34192. Инфляция: причины, формы и виды 24.41 KB
  Инфляция это снижение покупательной способности денег проявляющееся через относительно быстрый рост цен. Скрытая инфляция существует как правило в нерыноч ной экономике в которой цены и заработные платы контро лируются и определяются государством. Открытая инфляция проявляется в форме роста цен на товары и услуги. Бумажные деньги обесцениваются возни кает избыточная денежная масса не обеспеченная соот ветствующим количеством товаров и услуг.
34193. Безработица и ее виды. Норма безработицы 31.96 KB
  Норма безработицы. Причины безработицы падение темпов экономического роста технический прогресс структурная перестройка эконо мики инфляция демографическая политика государства. Основные формы безработицы фрикционная структур ная циклическая сезонная застойная. Для характеристики состояния безработицы использу ются различные показатели доля безработных в совокупной рабочей силе количество безработных средняя продолжи тельность безработицы доля длительно безработных в эконо мически активном населении и др.
34194. Взаимосвязь инфляции и безработицы 31.89 KB
  Взаимосвязь инфляции и безработицы Безработица социальноэкономическое явление когда часть активного населения не может применить свою рабочую силу. В условиях инфляции резко сокращаются инве стиции особенно долгосрочные что отрицательно сказывает ся на экономическом росте. Соотноше ние этих двух параметров в краткосрочном периоде описыва ется кривой Филлипса Доля безработных Кривая Филлипса показывает взаимное изменение уров ней безработицы и инфляции в экономике и означает что инф ляция высока при низкой безработице и низка при...
34195. Необходимость, сущность и направления государственного регулирования экономики 23.13 KB
  Необходимость сущность и направления государственного регулирования экономики. Необходимость и сущность государственного регулирования экономики Необходимость государственного вмешательства в экономику обусловлена теми недостатками и отрицательными явлениями которые развиваются в процессе функционирования свободной стихийной рыночной экономики. Необходимость государственного регулирования экономики сформировало важнейшую проблему развития большей части стран в том числе и России достижение общенационального равновесия страны....
34196. Финансовая политика государства. Государственный бюджет 20.68 KB
  Финансы денежные средства рассматриваемые в про цессе создания и движения; формируются в ходе производства распределения и перераспределения ВВП валового внутрен него продукта страны. Финансы страны совокупность фи нансов всех секторов экономики в их взаимодействии между собой и остальными странами мира. В современных условиях понятием ≪финансы≫ определяют всю систему эконо мических отношений связанную с образованием распределени ем и перераспределением денежных ресурсов. Условно можно выделить государственные финансы финансы...