2449
Принципы линейного моделирования
Курсовая
Экономическая теория и математическое моделирование
Вывод нелинейной математической модели. Формулировка системы допущений. Модель статики. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей. Вывод линеаризованной модели в динамике.
Русский
2013-01-06
435.24 KB
28 чел.
Содержание
1. Описание процесса 3
2. Вывод нелинейной математической модели 4
2.1. Формулировка системы допущений 4
2.2. Модель статики 4
3. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме 9
4. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей. 14
Вывод линеаризованной модели в динамике. 14
Список литературы 21
Объект моделирования две гидравлические ёмкости, соединенные последовательно с замкнутыми геометрическими пространствами над жидкостью с притоком ниже уровня жидкости в аппарате и естественным стоком при атмосферном давлении.
Q2
Q3
Р1
Ратм
Р2
Р
Q1
h2
3
2
h1
1
Рисунок 1 Объект моделирования
P1 избыточное давление на входе в первую емкость;
Q1 расход на входе в первую ёмкость;
Р давление газа в трубке;
Р2 сумма гидростатического давления уровня жидкости в первой емкости и давления газа в соединительной трубе;
Q2 расход на стоке;
Q3 промежуточный расход;
h1 высота уровня жидкости в первой емкости;
h2 высота уровня жидкости во второй емкости;
α1 коэффициент расхода на входе;
α2 промежуточный коэффициент расхода;
α3 коэффициент расхода на стоке.
Описание процесса
Жидкость подается в ёмкости под давлением P1. За счет этого в ёмкостях создается необходимый уровень, который регулируется при помощи изменения коэффициентов расходов α1, α2, α3. Таким образом, главными выходными параметрами системы являются высоты уровней h1, h2.
Цели моделирования:
Для построения математической модели примем следующие допущения:
Для расчетов по математическим моделям принимаем следующие числовые значения:
Задаемся расходами Q1, Q2 и Q3 , давлением P1, значениями уровней h1 и h2, Н1, Н2, радиусами емкостей r1, r2 и находим коэффициенты α, давление Р, площади сечений емкостей S1, S2:
r = r1 = r2 = 1,5м
S = S1 = S2 = π·r2 м2 S = 3.14·(1,5)2 = 7.065
Н1 = Н2 = 10м
Из закона PV=P1V1, выразим давление газа P в трубке.
Для первого состояния (когда емкости не заполнены жидкостью)
P1·V=M·R·T (1), здесь
P1 давление газа до заполнения емкости, оно равно атмосферному давлению Paтм,
V суммарный объем емкостей, V= V1+V2, V1=S1·H1, V2=S2·H2
H высота емкости,
S площадь сечения емкости,
M- масса воздуха,
R-газовая постоянная воздуха,
T-температура воздуха.
Для второго состояния (когда емкости заполнены жидкостью)
P2·V`=M·R·T (2), здесь
V` - объем газа после заполнения емкостей жидкостью
V`=V1`+V2`=S1(H1-h1)+S2(H2-h2)
h-уровень жидкости в емкости.
Так как масса газа не изменяется (нет утечек, растворения газа в воде и т. д.), температура постоянна, состав газовой смеси не изменяется (M=const), то из (1) и (2) получим:
Paтм (S1·H1+S2·H2) = P2 (S1 (H1-h1) +S2· (H2-h2)) (3)
Из (3) выразим нужное нам давление Р:
Материальный баланс в статике:
Q1 = Q2 = Q3
Приравняв к нулю члены с производными по времени, получаем систему уравнений, описывающую статику объекта:
Q1 = Q2
Q2 = Q3
Нахождение коэффициентов расхода α1, α2, α3 в номинальном режиме:
Из системы уравнений выразим параметр уровня, который требуется определить в статике.
Для решения системы уравнений используем пакет Mathcad.
Зависимость уровней h1, h2, P при изменении коэффициента расхода α1.
Таблица 1.
∆ |
, ±∆ |
α2 |
α3 |
P1, Па |
h1, м |
h2, м |
P, Па |
10% |
0,803 |
4,243 |
0,692 |
600000 |
7,772 |
6,851 |
269350 |
5% |
0,847 |
4,243 |
0,692 |
600000 |
7,892 |
6,930 |
286250 |
ном. |
0,892 |
4,243 |
0,692 |
600000 |
8,000 |
7,000 |
300000 |
-5% |
0,937 |
4,243 |
0,692 |
600000 |
8,094 |
7,058 |
312541 |
-10% |
0,981 |
4,243 |
0,692 |
600000 |
8,176 |
7,107 |
323998 |
6
6,5
7
7,5
8
8,5
0,803
0,847
0,892
0,937
0,981
h1(α1)
h2(α1)
,
h, м
Рис. 1. Зависимость уровней h1 и h2 от коэффициента α1.
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
0,803
0,847
0,892
0,937
0,981
P(α1)
P, Па
,
Рис. 2. Зависимость давления газа P от коэффициента α1.
Зависимость уровней h1, h2, P при изменении коэффициента расхода α3.
Таблица 2
∆ |
, м |
, |
, м |
, |
, |
, Па |
, Па |
10% |
7,709 |
0,892 |
6,809 |
4,243 |
0,7612 |
600000 |
264830 |
5% |
7,859 |
0,892 |
6,909 |
4,243 |
0,7266 |
600000 |
282263 |
ном. |
8,000 |
0,892 |
7,000 |
4,243 |
0,692 |
600000 |
300000 |
-5% |
8,130 |
0,892 |
7,080 |
4,243 |
0,6574 |
600000 |
317537 |
-10% |
8,252 |
0,892 |
7,152 |
4,243 |
0,6228 |
600000 |
335161 |
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,7612
0,7266
0,692
0,6574
0,6228
h1(α3)
h2(α3)
,
h, м
Рис. 3. Зависимость уровней h1 и h2 от коэффициента α3.
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
0,7612
0,7266
0,692
0,6574
0,6228
P(α3)
P, Па
,
Рис. 4. Зависимость давления газа P от коэффициента α3
Выводы по графикам статических характеристик:
Как видно из графиков, зависимость значения уровней жидкости h1 и h2 и давления газа P от изменения значений коэффициентов гидравлического сопротивления α1 и α3 носит нелинейный характер, хотя нелинейность выражена очень слабо.
При изменении заданного номинальных значений коэффициентов гидравлического сопротивления α1 и α3 в диапазоне ±10 % значения уровней жидкости h1 и h2 не достигают предельных значений, соответствующих нулевому значению уровней и максимальной высоте емкости .
Материальный баланс в динамике:
Допустим, что изменился во времени один из входных потоков:
Так как приращения не равны, то в емкостях будет накапливаться жидкость.
Δm1 = (Q1 Q2)Δt
Δm2 = (Q2 Q3)Δt
Δm1 = ρSΔh1
Δm2 = ρSΔh2
За время t в емкостях накопится:
Так как
То получим баланс вещества в приращениях в динамике:
расходы, входящие в это выражение:
Подставив полученные выражения в формулу баланса в приращениях, получим математическую модель вещества в динамике:
Таким образом, получили систему дифференциальных уравнений динамики системы:
Исследование зависимости значений уровней h1 и h2 в соответствующих емкостях от изменения коэффициентов расхода α1, α3 в динамике:
Для решения нелинейных дифференциальных уравнений используем функцию «rkfixed», пакета MathCAD, данная функция реализует решение задачи на отрезке методом Рунге Кутта с постоянным шагом.
Синтаксис функции «rkfixed»:
Где
возвращаемая функцией «rkfixed» матрица решений, состоящая из столбцов (где - количество уравнений в системе) и строк, в первом столбце находятся значения переменной, во втором и последующих столбцах соответствующие значения приближенного решения;
вектор начальных условий;
начальная точка отрезка;
конечная точка отрезка;
число узлов на отрезке ;
векторная функция правых частей уравнений системы.
Найдем зависимость значений уровней h1 и h2 при изменении значения коэффициента расхода α1 в интервале ± 10% от номинального режима в динамике, при изменении времени от 0 до 2000 сек.
Пример записи в пакете MathCAD для номинального режима:
Таким же образом записываем для α1: , ,,.
Аналогично находим зависимости значений уровней h1 и h2 при изменении значения коэффициента пневматического сопротивления α3 в интервале ± 10% от номинального режима в динамике, при изменении времени от 0 до 2000 сек.
Графики зависимостей значений уровней h1 и h2 при изменении значений коэффициентов пневматического сопротивления α1, α3 в динамике.
,
м
с
, с
+10%
+5%
0%
-5%
-10%
Рис. 5. Зависимость уровня от коэффициента .
,
м
с
, с
+10%
+5%
0%
-5%
-10%
Рис.6. Зависимость уровня от коэффициента .
, с
+10%
+5%
0%
-5%
-10%
+10%
+5%
0%
-5%
-10%
Па
Рис. 7. Зависимость давления газа от коэффициента .
, с
, м
с
Рис. 8. Зависимость уровня от коэффициента .
+10%
+5%
0%
-5%
-10%
, с
,
м
с
Рис. 9. Зависимость уровня от коэффициента .
, с
+10%
+5%
0%
-5%
-10%
Па
Рис. 10. Зависимость давления газа от коэффициента .
Линеаризация дифференциального уравнения, описывающего динамику изменения значения уровня жидкости в первой емкости.
,
где
Величины , , , , соответствуют значениям величин в заданном статическом режиме. Величины , , , и соответствуют приращению величин во времени.
Линеаризация производится путем разложения в ряд Тейлора полученного нелинейного дифференциального уравнения и дальнейшим отбрасыванием малых величин большего порядка малости.
Линеаризуя первое дифференциальное уравнение получим:
(1)
Находим коэффициенты , , , , , выполнив следующее:
Обозначим правую часть нелинейного дифференциального уравнения следующим образом:
Находим частные производные по каждому входному воздействию.
Перенесем член в левую часть уравнения (1):
Поделим правую и левую части уравнения (1) на :
Введем новые обозначения:
.
С учетом новых обозначений получим первое линеаризованное уравнение:
Линеаризация дифференциального уравнения, описывающего динамику изменения значения уровня жидкости во второй емкости.
где
Величины , , и соответствуют значениям величин в заданном статическом режиме. Величины , , и соответствуют приращению величин во времени.
Линеаризация производится путем разложения в ряд Тейлора полученного нелинейного дифференциального уравнения и дальнейшим отбрасыванием малых величин большего порядка малости.
Линеаризуя второе дифференциальное уравнение получим:
(2)
Находим коэффициенты , , , , выполнив следующее:
Обозначим правую часть нелинейного дифференциального уравнения следующим образом:
.
Находим частные производные по каждому входному воздействию.
Перенесем член в левую часть уравнения (2):
Поделим правую и левую части уравнения на :
Введем новые обозначения:
.
С учетом новых обозначений получим второе линеаризованное уравнение:
Линейная модель объекта в динамике имеет следующий вид:
Для решения системы линейных дифференциальных уравнений, соответствующей линейной модели объекта в динамике, используем функцию «rkfixed», пакета Mathcad.
Пример записи решения в пакете MathCAD:
Построение зависимостей значений уровней и и давления газа от изменений значений коэффициентов гидравлического сопротивления и для нелинейной и линеаризованной моделей.
м
, с
Рис. 11. Зависимость уровней и от коэффициента , при его увеличении на 10% в динамике.
, с
м
Рис. 12. Зависимость уровней и от коэффициента, при его увеличении на 10% в динамике.
, с
Рис. 13. Зависимость давления газа от коэффициентов и при их увеличении на 10% в динамике.
Полученная линейная модель объекта в динамике достаточно точная, поэтому в случае проектирования системы автоматического регулирования для данного аппарата предпочтительнее будет использовать линеаризованную модель.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
29149. | Залог (понятие, виды) | 26 KB | |
Залог кредитор по обеспеченному залогом обязательству залогодержатель имеет право в случае неисполнения должником этого обязательства получить удовлетворение из стоимости заложенного имущества преимущественно перед другими кредиторами лица которому принадлежит это имущество залогодателя. Возникает залог в силу: Закона Договора. Виды залога: 1 ипотека залог земельных участков предприятий зданий сооружений квартир и другой недвижимости. 2 твердый залог это залог по которому предмет залога остается у залогодателя с наложением... | |||
29151. | Основные права и обязанности сторон при залоге | 30.5 KB | |
Права залогодателя: требовать досрочного прекращения залога если залогодержатель не застраховал не принял мер необходимых для сохранности; требовать возмещения убытков причиненных утратой или повреждением предмета залога переданного залогодержателю; отказаться от предмета залога и потребовать возмещения за его утрату; заменять предмет залога с согласия залогодержателя; пользоваться предметом залога в соответствии с его назначением в том числе извлекать из него плоды и доходы; с согласия залогодержателя распоряжаться предметом... | |||
29152. | Обращение взыскания на заложенное имущество | 25 KB | |
По общему правилу требования залогодержателя удовлетворяются из стоимости заложенного недвижимого имущества по решению суда. Без обращения в суд это можно сделать на основании нотариально удостоверенного соглашения залогодержателя с залогодателем заключенного после возникновения оснований для обращения взыскания на предмет залога. В отличие от этого за счет заложенного движимого имущества требования залогодержателя обычно удовлетворяются по решению суда лишь если иное не предусмотрено соглашением залогодателя с залогодержателем. | |||
29153. | Реализация заложенного имущества | 26.5 KB | |
Реализация заложенного имущества. Реализация продажа заложенного имущества на которое обращено взыскание осуществляется в порядке установленном законом об ипотеке или законом о залоге если иное не предусмотрено законом. Если сумма вырученная при реализации заложенного имущества недостаточна для покрытия требования залогодержателя он имеет право при отсутствии иного указания в законе или договоре получить недостающую сумму из прочего имущества должника не пользуясь преимуществом основанным на залоге. Если сумма вырученная при... | |||
29154. | Прекращение залога | 25 KB | |
Залог способ обеспечения обязательства при котором кредитор залогодержатель приобретает право в случае неисполнения должником обязательства получить удовлетворение за счет заложенного имущества. Залог прекращается: 1 с прекращением обеспеченного залогом обязательства; 2 по требованию залогодателя; 3 в случае гибели заложенной вещи или прекращения заложенного права если залогодатель не воспользовался правом; 4 в случае реализации продажи заложенного имущества в целях удовлетворения требований залогодержателя. При прекращении залога... | |||
29155. | Поручительство | 25.5 KB | |
По договору поручительства поручитель обязывается перед кредитором другого лица отвечать за исполнение последним его обязательства полностью или в части. Договор поручительства может быть заключен также для обеспечения обязательства которое возникнет в будущем. Договор поручительства должен быть совершен в письменной форме. Несоблюдение письменной формы влечет недействительность договора поручительства. | |||
29156. | Прекращение поручительства | 25.5 KB | |
Поручительство поручитель обязывается перед кредитором другого лица отвечать за исполнение последним его обязательства полностью или в части. Поручительство прекращается с прекращением обеспеченного им обязательства в случае изменения этого обязательства влекущего увеличение ответственности или иные неблагоприятные последствия для поручителя без согласия последнего с переводом на другое лицо долга по обеспеченному поручительством обязательству если поручитель не дал кредитору согласия отвечать за нового должника. если кредитор в... | |||
29157. | Банковская гарантия | 27 KB | |
В силу банковской гарантии банк иная кредитная или страховая организация гарант дают по просьбе другого лица принципала письменное обязательство уплатить кредитору принципала бенефициару в соответствии с условиями даваемого гарантом обязательства денежную сумму по представлении бенефициаром письменного требования о ее уплате. По получении требования бенефициара гарант должен без промедления уведомить об этом принципала и рассмотреть приложенные к требованию документы. Решив отказать в удовлетворении требования гарант обязан немедленно... | |||