2449

Принципы линейного моделирования

Курсовая

Экономическая теория и математическое моделирование

Вывод нелинейной математической модели. Формулировка системы допущений. Модель статики. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей. Вывод линеаризованной модели в динамике.

Русский

2013-01-06

435.24 KB

26 чел.

Содержание

1. Описание процесса 3

2. Вывод нелинейной математической модели 4

2.1. Формулировка системы допущений 4

2.2. Модель статики 4

3. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме 9

4. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей. 14

Вывод линеаризованной модели в динамике. 14

Список литературы 21


1. Описание процесса

Объект моделирования – две гидравлические ёмкости, соединенные последовательно с замкнутыми геометрическими пространствами над жидкостью с притоком ниже уровня жидкости в аппарате и естественным стоком при атмосферном давлении.

Q2

Q3

Р1

Ратм

Р2

Р

Q1

h2

3

2

h1

1

Рисунок 1 – Объект моделирования

P1 – избыточное давление на входе в первую емкость;

Q1 – расход на входе в первую ёмкость;

Р – давление газа в трубке;

Р2 – сумма гидростатического давления уровня жидкости в первой емкости и давления газа в соединительной трубе;

Q2 – расход на стоке;

Q3 – промежуточный расход;

h1 – высота уровня жидкости в первой емкости;

h2 – высота уровня жидкости во второй емкости;

α1 – коэффициент расхода на входе;

α2 – промежуточный коэффициент расхода;

α3 – коэффициент расхода на стоке.

Описание процесса

Жидкость подается в ёмкости под давлением P1. За счет этого в ёмкостях создается необходимый уровень, который регулируется при помощи изменения коэффициентов расходов α1, α2, α3. Таким образом, главными выходными параметрами системы являются высоты уровней h1, h2.

Цели моделирования:

  1.  Сравнить нелинейную и линейную модели при различных номинальных режимах.
  2.  Оценить влияние параметров объекта моделирования на его статические и динамические характеристики (геометрические размеры, давление в камере, неуравновешенное усилие от потока среды).

2. Вывод нелинейной математической модели

2.1. Формулировка системы допущений

Для построения математической модели примем следующие допущения:

  1.  Считаем плотность жидкости ж постоянной величиной, при постоянной температуре, т. к. жидкости мало сжимаемы и имеют малый объемный коэффициент расширения, что позволяет не рассматривать изменение плотности жидкости ж при изменении давления.
  2.  Температуры жидкости и воздуха в емкости считаем постоянными, что позволяет пренебречь изменениями давления воздуха при колебаниях температуры и считать температуру, при которой емкость заполняется жидкостью равной температуре, при которой объект работает (температуры окружающей среды малы).
  3.  Давление на выходе из трубопровода – атмосферное, принимаем его за ноль.
  4.  Давление Р1 – постоянно.
  5.  Для емкостей выбираем цилиндрическую форму, при которой площадь поперечного сечения постоянна, что позволит не учитывать изменение площади поперечного сечения емкостей с изменением высоты.
  6.  Других гидравлических сопротивлений, кроме ёмкостей и вентилей регулирования расхода, нет.
  7.  Утечки из емкостей отсутствуют.

2.2. Модель статики

Для расчетов по математическим моделям принимаем следующие числовые значения:

Задаемся расходами Q1, Q2  и Q3  , давлением P1, значениями уровней h1 и h2, Н1, Н2, радиусами емкостей r1, r2 и находим коэффициенты α, давление Р, площади сечений емкостей S1, S2:

r = r1 = r2 = 1,5м

S = S1 = S2 = π·r2 м2   S = 3.14·(1,5)2 = 7.065

Н1 = Н2 = 10м

Из закона PV=P1V1, выразим давление газа P в трубке.

Для первого состояния (когда емкости не заполнены жидкостью)

P1·V=M·R·T  (1), здесь

P1 – давление газа до заполнения емкости, оно равно атмосферному давлению Paтм,

V – суммарный объем емкостей, V= V1+V2, V1=S1·H1, V2=S2·H2

H – высота емкости,

S – площадь сечения емкости,

M- масса воздуха,

R-газовая постоянная воздуха,

T-температура воздуха.

Для второго состояния (когда емкости заполнены жидкостью)

P2·V`=M·R·T  (2), здесь

V` - объем газа после заполнения емкостей жидкостью

V`=V1`+V2`=S1(H1-h1)+S2(H2-h2)

h-уровень жидкости в емкости.

Так как масса газа не изменяется (нет утечек, растворения газа в воде и т. д.), температура постоянна, состав газовой смеси не изменяется (M=const), то из (1) и (2) получим:

Paтм (S1·H1+S2·H2) = P2 (S1 (H1-h1) +S2· (H2-h2))  (3)

Из (3) выразим нужное нам давление Р:

Материальный баланс в статике:

Q1 = Q2 = Q3

Приравняв к нулю члены с производными по времени, получаем систему уравнений, описывающую статику объекта:

Q1 = Q2

Q2 = Q3

Нахождение коэффициентов расхода α1, α2, α3 в номинальном режиме:

 

Из системы уравнений выразим параметр уровня, который требуется определить в статике.

Для решения системы уравнений используем пакет Mathcad.

Зависимость уровней h1, h2, P при изменении  коэффициента расхода α1.

Таблица 1.

, 

±∆

α2  

α3  

P1, Па

h1, м

h2, м

P, Па

10%

0,803

4,243

0,692

600000

7,772

6,851

269350

5%

0,847

4,243

0,692

600000

7,892

6,930

286250

ном.

0,892

4,243

0,692

600000

8,000

7,000

300000

-5%

0,937

4,243

0,692

600000

8,094

7,058

312541

-10%

0,981

4,243

0,692

600000

8,176

7,107

323998

6

6,5

7

7,5

8

8,5

0,803

0,847

0,892

0,937

0,981

h1(α1)

h2(α1)

, 

h, м

Рис. 1. – Зависимость уровней h1 и h2 от коэффициента α1.

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0,803

0,847

0,892

0,937

0,981

P(α1)

P, Па

, 

Рис. 2. – Зависимость давления газа P от коэффициента α1.

Зависимость уровней h1, h2, P при изменении  коэффициента расхода α3.

Таблица 2

, м

,

, м

,

,

, Па

, Па

10%

7,709

0,892

6,809

4,243

0,7612

600000

264830

5%

7,859

0,892

6,909

4,243

0,7266

600000

282263

ном.

8,000

0,892

7,000

4,243

0,692

600000

300000

-5%

8,130

0,892

7,080

4,243

0,6574

600000

317537

-10%

8,252

0,892

7,152

4,243

0,6228

600000

335161

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,7612

0,7266

0,692

0,6574

0,6228

h1(α3)

h2(α3)

, 

h, м

Рис. 3. – Зависимость уровней h1 и h2 от коэффициента α3.

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

0,7612

0,7266

0,692

0,6574

0,6228

P(α3)

P, Па

, 

Рис. 4. – Зависимость давления газа P от коэффициента α3

Выводы по графикам статических характеристик:

Как видно из графиков, зависимость значения уровней жидкости h1 и h2 и давления газа P от изменения значений коэффициентов гидравлического сопротивления α1 и α3 носит нелинейный характер, хотя нелинейность выражена очень слабо.

При изменении заданного номинальных значений коэффициентов гидравлического сопротивления α1 и α3 в диапазоне ±10 % значения уровней жидкости h1 и h2 не достигают предельных значений, соответствующих нулевому значению уровней и максимальной высоте емкости .

3. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме

Материальный баланс в динамике:

Допустим, что изменился во времени один из входных потоков:

Так как приращения не равны, то в емкостях будет накапливаться жидкость.

Δm1 = (Q1 Q2)Δt

Δm2 = (Q2 Q3)Δt

Δm1 = ρSΔh1

Δm2 = ρSΔh2

За время t в емкостях накопится:

Так как

То получим баланс вещества в приращениях в динамике:

расходы, входящие в это выражение:

Подставив полученные выражения в формулу баланса в приращениях, получим математическую модель вещества в динамике:

Таким образом, получили систему дифференциальных уравнений динамики системы:

Исследование зависимости значений уровней h1 и h2 в соответствующих емкостях от изменения коэффициентов расхода α1, α3 в динамике:

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений используем функцию «rkfixed», пакета MathCAD, данная функция реализует решение задачи на отрезке методом Рунге – Кутта с постоянным шагом.

Синтаксис функции «rkfixed»:

Где

– возвращаемая функцией «rkfixed» матрица решений, состоящая из столбцов (где - количество уравнений в системе) и строк, в первом столбце находятся значения переменной, во втором и последующих столбцах соответствующие значения приближенного решения;

– вектор начальных условий;

– начальная точка отрезка;

– конечная точка отрезка;

– число узлов на отрезке ;

– векторная функция правых частей уравнений системы.

Найдем зависимость значений уровней h1 и h2 при изменении значения коэффициента расхода α1 в интервале ± 10% от номинального режима в динамике, при изменении времени от 0 до 2000 сек.

Пример записи в пакете MathCAD для номинального режима:

Таким же образом записываем для α1: , ,,.

Аналогично находим зависимости значений уровней h1 и h2 при изменении значения коэффициента пневматического сопротивления α3 в интервале ± 10% от номинального режима в динамике, при изменении времени от 0 до 2000 сек.

Графики зависимостей значений уровней h1 и h2 при изменении значений коэффициентов пневматического сопротивления α1, α3 в динамике.

,

м

с        

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Рис. 5. – Зависимость уровня от коэффициента .

,

м

с        

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Рис.6. – Зависимость уровня от коэффициента .

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Па        

Рис. 7. – Зависимость давления газа от коэффициента .

, с        

, м

с        

Рис. 8. – Зависимость уровня от коэффициента .

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

, с        

,

м

с        

Рис. 9. – Зависимость уровня от коэффициента .

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Па        

Рис. 10. – Зависимость давления газа от коэффициента .

4. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей.

Вывод линеаризованной модели в динамике

Линеаризация дифференциального уравнения, описывающего динамику изменения значения уровня жидкости в первой емкости.

,

где  

 

Величины , , , , соответствуют значениям величин в заданном статическом режиме. Величины , , , и соответствуют приращению величин во времени.

Линеаризация производится путем разложения в ряд Тейлора полученного нелинейного дифференциального уравнения и дальнейшим отбрасыванием малых величин большего порядка малости.

Линеаризуя первое дифференциальное уравнение получим:

                              (1)

Находим коэффициенты , , , , , выполнив следующее:

Обозначим правую часть нелинейного дифференциального уравнения следующим образом:

Находим частные производные по каждому входному воздействию.

 

     

Перенесем член в левую часть уравнения (1):

Поделим правую и левую части уравнения (1) на  :

Введем новые обозначения:

      

     .

С учетом новых обозначений получим первое линеаризованное уравнение:

Линеаризация дифференциального уравнения, описывающего динамику изменения значения уровня жидкости во второй емкости.

 

где   

 

 

 

Величины , , и соответствуют значениям величин в заданном статическом режиме. Величины , , и соответствуют приращению величин во времени.

Линеаризация производится путем разложения в ряд Тейлора полученного нелинейного дифференциального уравнения и дальнейшим отбрасыванием малых величин большего порядка малости.

Линеаризуя второе дифференциальное уравнение получим:

                                       (2)

Находим коэффициенты , , , , выполнив следующее:

Обозначим правую часть нелинейного дифференциального уравнения следующим образом:

.

Находим частные производные по каждому входному воздействию.

     

      

Перенесем член в левую часть уравнения (2):

Поделим правую и левую части уравнения на  :

Введем новые обозначения:

     .   

С учетом новых обозначений получим второе линеаризованное уравнение:

Линейная модель объекта в динамике имеет следующий вид:

Для решения системы линейных дифференциальных уравнений, соответствующей линейной модели объекта в динамике, используем функцию «rkfixed», пакета Mathcad.

Пример записи решения в пакете MathCAD:

Построение зависимостей значений уровней и и давления газа от изменений значений коэффициентов гидравлического сопротивления и для нелинейной и линеаризованной моделей.

м       

         

— —

         

— —

, с        

Рис. 11. –  Зависимость уровней и от коэффициента , при его увеличении на 10% в динамике.

, с        

         

— —

         

— —

м       

Рис. 12. –  Зависимость уровней и от коэффициента, при его увеличении на 10% в динамике.

 

         

, с        

Рис. 13. – Зависимость давления газа от коэффициентов и при их увеличении на 10% в динамике.

Полученная линейная модель объекта в динамике достаточно точная, поэтому в случае проектирования системы автоматического регулирования для данного аппарата предпочтительнее будет использовать линеаризованную модель.


Список литературы

  1.  Моделирование процессов и систем: Учеб.пособие /В.Л. Волков; Нижегород. гос. тех. ун-т. Н.Новгород, 2005 – 80 с.
  2.  Советов Б. Я., Яковлев С. А.  Моделирование систем: Учеб. для вузов — 3-е юд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 343 с: ил.
  3.  Авдеев О.Н., Мотайленко Л.В. Моделирование систем: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001.
  4.  Романовский П. И., Игнатьева А. В., Краснощекова Т. И., Смирнов В. Ф. Курс высшей математики: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1964. – 684 с.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25191. Громадянське суспільство і держава 25.5 KB
  В основі ідеї громадянського суспільства лежить проблема відносин людини з політичною владою суспільства з державою. Вона є похідною від громадянського суспільства і її призначення полягає в тому щоб слугувати йому. Від ступеня розвиненості громадянського суспільства залежить ступінь демократизму держави. Етатизм навпаки всіляко перебільшує роль держави в житті суспільства.
25192. Філософське вчення Г. Сковороди 27.5 KB
  Сковорода 1722 1794 був всебічно освіченою для свого часу людиною досконало знав стародавні та нові європейські мови старогрецьку філософію і літературу. Сковорода стверджував що природа є безкінечна кількість світів . Сковорода пов'язував цю думку з концепцією двох натур двох природ лат. Сковорода намагався подолати дуалізм вчення про дві натури та знайти єдине начало€.
25193. Головні пункти критики спекулятивної диалектики з боку сучасників Гегеля (Шеллінг, Шопенгауер, Фейєрбах, Кіркегор) 29.5 KB
  Головні пункти критики спекулятивної диалектики з боку сучасників Гегеля Шеллінг Шопенгауер Фейєрбах Кіркегор. Фейєрбах: учень Гегеля незадоволений абстрактністю спекулятивної системи діалектикою €œчужістю€ системи конкретному людському індивідові. з гегелевською ідеєю абсолютного духа – €œвідстороненої€ сили Кіркегор: субєктивна екзистенціальна діалектика Кіркегора виростає як протиставлення системі Гегеля де людина підвладна анонімному принципу історичного розвитку втрачає свою індивідуальність. Критикував Гегеля також за...
25194. Гадамер про герменевтичний досвід і природу філософської істини 24.5 KB
  Мета філософської герменевтики – порятунок цілісного досвіду сприйняття світу. Більшість людських проблем пов’язані з збідненням досвіду ФГ. Вчить дотримуватися набутого досвіду. Герменевтичний досвід не може не залежити від наших упереджень попереднього досвіду.
25195. Знання як особлива форма освоєння світу 27.5 KB
  Пізнання це такий процес що спрямований на отримання знання. Пізнання має багато модусів оскільки людина відноситься до світу у різних площинах і пізнає його у різних ракурсах. Тому можна виділяти наукове пізнання етичне релігійне філософське мистецьке та інші. Пізнанням є таке відношення до світу в якому людина змінює себе за допомогою світу.
25196. Пізнання як особлива форма освоєння світу 25 KB
  Пізнання як особлива форма освоєння світу Якщо дуже просто то пізнання – це процес взаємодії суб’єкта та об’єкта що своїм результатом має знання. Існують різні способи пізнання а отже й різні види знання. Поряд із різноманітністю видів знань існує величезна кількість поглядів на саму природу пізнання. Говорять про абстрактне і конкретне пізнання повне і неповне наукове і філософське тощо.
25197. Концепції комунікативно-структурованого життєсвіту за Ю.Габермасом 35 KB
  Габермас виходить з концепції суспільної еволюції де суспільний розвиток постає у формі руху від родовогоархаїчного до традиційногодержавноорганізованого а потім до модерногокапіталістичного суспільства. Концепція життєсвіту дістає своє втілення в архаїчних суспільствах де структури нормативної інтеграції опосередковані мовленнєвою комунікацією водночас становлять системні структури. Системні механізми в цих суспільства невіддільні від соціальноінтегративних інституцій заснованих на життєвому світі. За умов традиційного...
25198. Пізнання та інтерес Техніка та наука як ідеологія Теорія комунікативної дії 1981 Моральна свідоміст 32.5 KB
  Концепція комунікативноструктурованого життєвого світу Габермаса Осн. Продовжуючи традицію внутрішнього взаємозв'язку між структурами життєвого світу і структурами мови традицію що сягає ще філософії Гумбольдта Г. зауважує що для самого життєвого світу мова і культура є конститутивними .досліджує шлях уречевлення комунікації визначаючи його як роз'єднання системи і життєвого світу.
25199. Поняття феномену в феноменологічній філософії 24 KB
  Він розрізняв даності зовнішнього досвіду фізичні феномени та безпосередньо очевидні психічні феномени які інтенційно містять у собі весь предмет. Феномени не подвоюють світ як деякі це вважають. Навпаки феномени показують виявляють себе як деяку цілісно схоплену одиницю.