2449

Принципы линейного моделирования

Курсовая

Экономическая теория и математическое моделирование

Вывод нелинейной математической модели. Формулировка системы допущений. Модель статики. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей. Вывод линеаризованной модели в динамике.

Русский

2013-01-06

435.24 KB

28 чел.

Содержание

1. Описание процесса 3

2. Вывод нелинейной математической модели 4

2.1. Формулировка системы допущений 4

2.2. Модель статики 4

3. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме 9

4. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей. 14

Вывод линеаризованной модели в динамике. 14

Список литературы 21


1. Описание процесса

Объект моделирования – две гидравлические ёмкости, соединенные последовательно с замкнутыми геометрическими пространствами над жидкостью с притоком ниже уровня жидкости в аппарате и естественным стоком при атмосферном давлении.

Q2

Q3

Р1

Ратм

Р2

Р

Q1

h2

3

2

h1

1

Рисунок 1 – Объект моделирования

P1 – избыточное давление на входе в первую емкость;

Q1 – расход на входе в первую ёмкость;

Р – давление газа в трубке;

Р2 – сумма гидростатического давления уровня жидкости в первой емкости и давления газа в соединительной трубе;

Q2 – расход на стоке;

Q3 – промежуточный расход;

h1 – высота уровня жидкости в первой емкости;

h2 – высота уровня жидкости во второй емкости;

α1 – коэффициент расхода на входе;

α2 – промежуточный коэффициент расхода;

α3 – коэффициент расхода на стоке.

Описание процесса

Жидкость подается в ёмкости под давлением P1. За счет этого в ёмкостях создается необходимый уровень, который регулируется при помощи изменения коэффициентов расходов α1, α2, α3. Таким образом, главными выходными параметрами системы являются высоты уровней h1, h2.

Цели моделирования:

  1.  Сравнить нелинейную и линейную модели при различных номинальных режимах.
  2.  Оценить влияние параметров объекта моделирования на его статические и динамические характеристики (геометрические размеры, давление в камере, неуравновешенное усилие от потока среды).

2. Вывод нелинейной математической модели

2.1. Формулировка системы допущений

Для построения математической модели примем следующие допущения:

  1.  Считаем плотность жидкости ж постоянной величиной, при постоянной температуре, т. к. жидкости мало сжимаемы и имеют малый объемный коэффициент расширения, что позволяет не рассматривать изменение плотности жидкости ж при изменении давления.
  2.  Температуры жидкости и воздуха в емкости считаем постоянными, что позволяет пренебречь изменениями давления воздуха при колебаниях температуры и считать температуру, при которой емкость заполняется жидкостью равной температуре, при которой объект работает (температуры окружающей среды малы).
  3.  Давление на выходе из трубопровода – атмосферное, принимаем его за ноль.
  4.  Давление Р1 – постоянно.
  5.  Для емкостей выбираем цилиндрическую форму, при которой площадь поперечного сечения постоянна, что позволит не учитывать изменение площади поперечного сечения емкостей с изменением высоты.
  6.  Других гидравлических сопротивлений, кроме ёмкостей и вентилей регулирования расхода, нет.
  7.  Утечки из емкостей отсутствуют.

2.2. Модель статики

Для расчетов по математическим моделям принимаем следующие числовые значения:

Задаемся расходами Q1, Q2  и Q3  , давлением P1, значениями уровней h1 и h2, Н1, Н2, радиусами емкостей r1, r2 и находим коэффициенты α, давление Р, площади сечений емкостей S1, S2:

r = r1 = r2 = 1,5м

S = S1 = S2 = π·r2 м2   S = 3.14·(1,5)2 = 7.065

Н1 = Н2 = 10м

Из закона PV=P1V1, выразим давление газа P в трубке.

Для первого состояния (когда емкости не заполнены жидкостью)

P1·V=M·R·T  (1), здесь

P1 – давление газа до заполнения емкости, оно равно атмосферному давлению Paтм,

V – суммарный объем емкостей, V= V1+V2, V1=S1·H1, V2=S2·H2

H – высота емкости,

S – площадь сечения емкости,

M- масса воздуха,

R-газовая постоянная воздуха,

T-температура воздуха.

Для второго состояния (когда емкости заполнены жидкостью)

P2·V`=M·R·T  (2), здесь

V` - объем газа после заполнения емкостей жидкостью

V`=V1`+V2`=S1(H1-h1)+S2(H2-h2)

h-уровень жидкости в емкости.

Так как масса газа не изменяется (нет утечек, растворения газа в воде и т. д.), температура постоянна, состав газовой смеси не изменяется (M=const), то из (1) и (2) получим:

Paтм (S1·H1+S2·H2) = P2 (S1 (H1-h1) +S2· (H2-h2))  (3)

Из (3) выразим нужное нам давление Р:

Материальный баланс в статике:

Q1 = Q2 = Q3

Приравняв к нулю члены с производными по времени, получаем систему уравнений, описывающую статику объекта:

Q1 = Q2

Q2 = Q3

Нахождение коэффициентов расхода α1, α2, α3 в номинальном режиме:

 

Из системы уравнений выразим параметр уровня, который требуется определить в статике.

Для решения системы уравнений используем пакет Mathcad.

Зависимость уровней h1, h2, P при изменении  коэффициента расхода α1.

Таблица 1.

, 

±∆

α2  

α3  

P1, Па

h1, м

h2, м

P, Па

10%

0,803

4,243

0,692

600000

7,772

6,851

269350

5%

0,847

4,243

0,692

600000

7,892

6,930

286250

ном.

0,892

4,243

0,692

600000

8,000

7,000

300000

-5%

0,937

4,243

0,692

600000

8,094

7,058

312541

-10%

0,981

4,243

0,692

600000

8,176

7,107

323998

6

6,5

7

7,5

8

8,5

0,803

0,847

0,892

0,937

0,981

h1(α1)

h2(α1)

, 

h, м

Рис. 1. – Зависимость уровней h1 и h2 от коэффициента α1.

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0,803

0,847

0,892

0,937

0,981

P(α1)

P, Па

, 

Рис. 2. – Зависимость давления газа P от коэффициента α1.

Зависимость уровней h1, h2, P при изменении  коэффициента расхода α3.

Таблица 2

, м

,

, м

,

,

, Па

, Па

10%

7,709

0,892

6,809

4,243

0,7612

600000

264830

5%

7,859

0,892

6,909

4,243

0,7266

600000

282263

ном.

8,000

0,892

7,000

4,243

0,692

600000

300000

-5%

8,130

0,892

7,080

4,243

0,6574

600000

317537

-10%

8,252

0,892

7,152

4,243

0,6228

600000

335161

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,7612

0,7266

0,692

0,6574

0,6228

h1(α3)

h2(α3)

, 

h, м

Рис. 3. – Зависимость уровней h1 и h2 от коэффициента α3.

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

0,7612

0,7266

0,692

0,6574

0,6228

P(α3)

P, Па

, 

Рис. 4. – Зависимость давления газа P от коэффициента α3

Выводы по графикам статических характеристик:

Как видно из графиков, зависимость значения уровней жидкости h1 и h2 и давления газа P от изменения значений коэффициентов гидравлического сопротивления α1 и α3 носит нелинейный характер, хотя нелинейность выражена очень слабо.

При изменении заданного номинальных значений коэффициентов гидравлического сопротивления α1 и α3 в диапазоне ±10 % значения уровней жидкости h1 и h2 не достигают предельных значений, соответствующих нулевому значению уровней и максимальной высоте емкости .

3. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме

Материальный баланс в динамике:

Допустим, что изменился во времени один из входных потоков:

Так как приращения не равны, то в емкостях будет накапливаться жидкость.

Δm1 = (Q1 Q2)Δt

Δm2 = (Q2 Q3)Δt

Δm1 = ρSΔh1

Δm2 = ρSΔh2

За время t в емкостях накопится:

Так как

То получим баланс вещества в приращениях в динамике:

расходы, входящие в это выражение:

Подставив полученные выражения в формулу баланса в приращениях, получим математическую модель вещества в динамике:

Таким образом, получили систему дифференциальных уравнений динамики системы:

Исследование зависимости значений уровней h1 и h2 в соответствующих емкостях от изменения коэффициентов расхода α1, α3 в динамике:

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений используем функцию «rkfixed», пакета MathCAD, данная функция реализует решение задачи на отрезке методом Рунге – Кутта с постоянным шагом.

Синтаксис функции «rkfixed»:

Где

– возвращаемая функцией «rkfixed» матрица решений, состоящая из столбцов (где - количество уравнений в системе) и строк, в первом столбце находятся значения переменной, во втором и последующих столбцах соответствующие значения приближенного решения;

– вектор начальных условий;

– начальная точка отрезка;

– конечная точка отрезка;

– число узлов на отрезке ;

– векторная функция правых частей уравнений системы.

Найдем зависимость значений уровней h1 и h2 при изменении значения коэффициента расхода α1 в интервале ± 10% от номинального режима в динамике, при изменении времени от 0 до 2000 сек.

Пример записи в пакете MathCAD для номинального режима:

Таким же образом записываем для α1: , ,,.

Аналогично находим зависимости значений уровней h1 и h2 при изменении значения коэффициента пневматического сопротивления α3 в интервале ± 10% от номинального режима в динамике, при изменении времени от 0 до 2000 сек.

Графики зависимостей значений уровней h1 и h2 при изменении значений коэффициентов пневматического сопротивления α1, α3 в динамике.

,

м

с        

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Рис. 5. – Зависимость уровня от коэффициента .

,

м

с        

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Рис.6. – Зависимость уровня от коэффициента .

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Па        

Рис. 7. – Зависимость давления газа от коэффициента .

, с        

, м

с        

Рис. 8. – Зависимость уровня от коэффициента .

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

, с        

,

м

с        

Рис. 9. – Зависимость уровня от коэффициента .

, с        

+10%  

+5%      

0%      

-5%      

-10%  

Па        

Рис. 10. – Зависимость давления газа от коэффициента .

4. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей.

Вывод линеаризованной модели в динамике

Линеаризация дифференциального уравнения, описывающего динамику изменения значения уровня жидкости в первой емкости.

,

где  

 

Величины , , , , соответствуют значениям величин в заданном статическом режиме. Величины , , , и соответствуют приращению величин во времени.

Линеаризация производится путем разложения в ряд Тейлора полученного нелинейного дифференциального уравнения и дальнейшим отбрасыванием малых величин большего порядка малости.

Линеаризуя первое дифференциальное уравнение получим:

                              (1)

Находим коэффициенты , , , , , выполнив следующее:

Обозначим правую часть нелинейного дифференциального уравнения следующим образом:

Находим частные производные по каждому входному воздействию.

 

     

Перенесем член в левую часть уравнения (1):

Поделим правую и левую части уравнения (1) на  :

Введем новые обозначения:

      

     .

С учетом новых обозначений получим первое линеаризованное уравнение:

Линеаризация дифференциального уравнения, описывающего динамику изменения значения уровня жидкости во второй емкости.

 

где   

 

 

 

Величины , , и соответствуют значениям величин в заданном статическом режиме. Величины , , и соответствуют приращению величин во времени.

Линеаризация производится путем разложения в ряд Тейлора полученного нелинейного дифференциального уравнения и дальнейшим отбрасыванием малых величин большего порядка малости.

Линеаризуя второе дифференциальное уравнение получим:

                                       (2)

Находим коэффициенты , , , , выполнив следующее:

Обозначим правую часть нелинейного дифференциального уравнения следующим образом:

.

Находим частные производные по каждому входному воздействию.

     

      

Перенесем член в левую часть уравнения (2):

Поделим правую и левую части уравнения на  :

Введем новые обозначения:

     .   

С учетом новых обозначений получим второе линеаризованное уравнение:

Линейная модель объекта в динамике имеет следующий вид:

Для решения системы линейных дифференциальных уравнений, соответствующей линейной модели объекта в динамике, используем функцию «rkfixed», пакета Mathcad.

Пример записи решения в пакете MathCAD:

Построение зависимостей значений уровней и и давления газа от изменений значений коэффициентов гидравлического сопротивления и для нелинейной и линеаризованной моделей.

м       

         

— —

         

— —

, с        

Рис. 11. –  Зависимость уровней и от коэффициента , при его увеличении на 10% в динамике.

, с        

         

— —

         

— —

м       

Рис. 12. –  Зависимость уровней и от коэффициента, при его увеличении на 10% в динамике.

 

         

, с        

Рис. 13. – Зависимость давления газа от коэффициентов и при их увеличении на 10% в динамике.

Полученная линейная модель объекта в динамике достаточно точная, поэтому в случае проектирования системы автоматического регулирования для данного аппарата предпочтительнее будет использовать линеаризованную модель.


Список литературы

  1.  Моделирование процессов и систем: Учеб.пособие /В.Л. Волков; Нижегород. гос. тех. ун-т. Н.Новгород, 2005 – 80 с.
  2.  Советов Б. Я., Яковлев С. А.  Моделирование систем: Учеб. для вузов — 3-е юд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 343 с: ил.
  3.  Авдеев О.Н., Мотайленко Л.В. Моделирование систем: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001.
  4.  Романовский П. И., Игнатьева А. В., Краснощекова Т. И., Смирнов В. Ф. Курс высшей математики: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1964. – 684 с.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27283. Факторы регионализма 25 KB
  К факторам регионализма можно отнести: 1.Этнический фактор Этнос исторически возникший вид социальной группировки людей который обладает совокупностью признаков.Демографический фактор демографиянаука которая изучает воспроизводство населения.
27284. Сегментирование. Целевой рынок 24 KB
  Целевой рынок Сегментация рынка заключается в делении рынка на четкие группы покупателей которым следует адресовать разные продукты и разные маркет усилия. Целевой рынок совокупность сущ и потенц покупателей. Стратегия охвата целевого рынка: Недиффер маркет товар рынок организация выходит на рынок с одним продуктомПр. Диффер маркет товар1 рынок1 товар2 рынок2 деят организации на неск сегментахПр.
27286. Цикл обслуживания туриста 26 KB
  Обслуживание во время пребывания Основные услуги Орг прожив гостей питание услуги горничной выдача ключей на ресепшен. Дополнит услуги Услуги бизнесцентра пользование междунар междугор связью копир работы предоставл компьютера переводческие услуги услуги сервисбюро брон билетов орг экс обслуж орг питанияразл подраздел общепита обслуж в номерах орг банкетов орг хран личных вещей камера хранения депозитная ячейка платная эл инд сейфы телекоммуникац услугипобудка услуги платного ТВ анимац услуги Выезд и выписка...
27287. Экономика отрасли 27 KB
  Показатели качества: 1.Техничности это те показатели которые обеспечивают рациональность использования материалов. Экологические показатели отражают степень влияния вредных воздействий на окр. Показатели конкурентоспособности: 1.
27288. Экскурсионная деятельность 30.5 KB
  Методические приемы рассказа: прием экс. прием описания. прием характтикиопред. прием комментированияразъясняет смысл события или замысел автора.
27289. Маркет исследование 25 KB
  Маркет инф получается на основе первичных и вторичных данных. Первичные получаются в результате спец провед маркет исслед для решения конкретной проблемы. источников для целей отличных от целей маркет исслед.
27290. Этапы развития туризма в России 28 KB
  Предпринимат 18901917 19221928 появл общества тур направл они разраб экс маршруты путеводители организ речных и морск круизов 2 самых больших теплохода того вр формир курорты Крым и Кавказ формир предпр тур бизнеса Кавказская ривьера стр гостин разв экс деят период характ познаватэкс напр и становлением разл видов туризма. Организцентр 1928 301970 создается всесоюзное добровольное общество пролетарского труизма и экс ОПТЭ куда вошли орг по туризму была устан гос монополия общ Интурист развитие ин туризма...
27291. Автомат информ системы 25 KB
  АИС можно отнести к классу очень сложных систем в связи с многозначностью различных структурных отношений между компонентами системы. АИС может быть определена как целый комплекс современных автоматизированных информационных технологий которые предназначены для информационного обслуживания. Современные АИС позволяют: 1.