2481

Высшая математика. Исследование интегралов и теоремы гипотез

Шпаргалка

Математика и математический анализ

Неопределённый интеграл и его свойства. Вычисление пути, пройденного точкой. Основные понятия и свойства числовых рядов. Разложение функций в ряд Тейлора. Формула Байеса (теорема гипотез). Формула Бернулли. Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Русский

2012-12-16

147.5 KB

7 чел.

Неопределённый интеграл и его свойства.

Если функция F(x) – первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом . При этом функция f(x) наз. подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, ф переменная x – переменной интегрирования. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию.

Свойства:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  .

Метод подстановки (неопределённый интеграл).

Вычисление неопределённого интеграла по частям.


Определённый интеграл и его свойства.

Если существует конечный предел I интегральной суммы, то этот предел наз. определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] и обозначается:

Свойства:

  1.  по определению
  2.  по определению
  3.  каковы бы ни были числа a, b, c, всегда имеет место равенство
  4.  постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла
  5.  определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов

Формула Ньютона-Лейбница. Непосредственное интегрирование.

Метод подстановки (определённый интеграл).

Вычисление определённых интегралов по частям.

Вычисление площадей плоских фигур.

x-y+2=0

y=0

x=-1

x=2

S - ?

Вычисление объёмов тел вращения.

y2=4x

y=0

x=4

Vx - ? 

Вычисление площадей поверхностей тел вращений.

Длина дуги.

Работа переменной силы.

Сила давления жидкости.

b

  a   

        x

 

          dx

        y


Вычисление пути, пройденного точкой.

U=3t2+2t+1(м/с)

t1=0c

t2=10c

S - ?

Дифференциальные уравнения. Основные понятия определения.

Д.у. – уравнение, содерж. производные искомой функции или её дифференциала.

Решить д.у. – значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождения д.у. наз. интегрированием д.у.

Порядок д.у. определяется порядком наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Общим решением д.у. наз. функция φ(x,C1,C2…Cn), в которой количество констант определяется порядком д.у. и которая является решением данного д.у. при любом значении константы.

Частное решение д.у. – нахождение констант при заданных начальных условиях. – задача Коши.

Д.у. первого порядка с разделяющимися переменными.

Общий вид

Линейные д.у. первого порядка.

решение методом Бернулли:

Вводим подстановку y=UV ý=ÚV+UV́

найдём частное решение при начальном условии y(1)=0

Д.у. второго порядка. Основные понятия и определения.

Уравнение вида F(x, y, ý, y˝)=0, где х – независимая переменная, y – искомая функция, ý, y˝ - её производные, называется д.у. второго порядка.

Решением уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Условия y=y0, =y0΄ при x=x0 называют начальными условиями.

Общим решением д.у. наз. функция φ(x,C1,C2…Cn), в которой количество констант определяется порядком д.у. и которая является решением данного д.у. при любом значении константы.

Частное решение д.у. – нахождение констант при заданных начальных условиях. – задача Коши.

Линейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общий вид:

Общее решение складывается из 2-х решений: , где - общее решение однородного д.у. - частное решение неоднородного д.у.

Общее решение:

Уравнение прировнять к нулю через k=

Частное решение ищется в зависимости от f(x)

  1.  показательная:
  2.  2-й случай
  3.  линейная:
  4.  квадратичная:
  5.  тригонометрический полином:


Основные понятия и свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.

Числовой ряд – выражение вида a1+a2+a3+…+an, где a1,a2,a3 – числа, принадлежащие определённой числовой системе (1)

Гармонический ряд:

Ряд геометрической прогрессии:

Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой, т.е. с рядом (1) связывают последовательность его частичных сумм S1, S2, S3, …Sn. (2)

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. если существует конечный предел (3) S – сумма ряда.

Если предел (3) не существует или равен ∞, то ряд расходящийся.

Rn=S-Sn – остаток ряда. Если rn→0, то ряд сходится и наоборот.

Свойства:

  1.  если в ряде (1) добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данными.
  2.  если сходится ряд (1), и сумма его S, то сходится и ряд ma1+ma2+ma3+…man и сумма его является число mS.
  3.  даны 2 ряда, каждый из которых является сходящимся, суммы каждого из них соответственно равны S1 и S2, тогда полученный новый ряд - сходящийся и его сумма равна S1±S2, т.е сходящиеся ряды можно почленно складывать или вычитать.

Необходимый признак сходимости: теорема:

Если ряд (1) сходится то его общий член an→0, т.е

Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости рядов: признак Даламбера, признак Каши, интегральный признак.

По Даламберу: если для ряда u1+u2+u3+…+un существует предел , то ряд сходится, если Д<1, и ряд расходится если Д>1.

По Коши: пусть ран ряд u1+u2+u3+…+un. Если для данного ряда существует предел , то этот ряд сходится, если С<1, и ряд расходится, если С>1.

Интегральный: Если f(x) при x≥1 непрерывная положительная и монотонно убывающая, то ряд , где un=f(n) сходится или расходится, в зависимости от того сходится или расходится интеграл .

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Ряды, содержащие как положительные так и отрицательные члены называются знакопеременными..

Рассмотрим ряд a1+a2+a3+a4…+an (1), составленный из модулей |a1|+|a2|+|a3|+|a4|…+|an| (2).

Знакопеременный ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

Знакопеременный ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (2) расходится.

Ряд наз. знакочередующимся, если положит. и отрицат. члены следуют друг за другом поочерёдно.

Теорема Лейбница: знакочередующийся ряд сходится, если…

  1.  члены ряда убывают по модулю |a1|≥|a2|≥|a3|≥|a4|≥…≥|an.
  2.  общий член ряда стремится к нулю: , при этом сумма знакочередующегося ряда удовлетворяет неравенству 0≤Sa1.

Степенные ряды. Радиус и области сходимости степенного ряда.

Ряд вида (1) наз. степенным рядом.

Числа a0, a1, a2, a3, an – коэффициенты степенного ряда.

Частичная сумма

Радиус сходимости: число R, если |x|<R ряд сходится, а при |x|>R – расходится. Интервал (-R, R) в этом случае наз. интервалом сходимости ряда. Если ряд (1) сходится на всей числовой прямой, то пишут R=∞, если он сходится только при x=0, то пишут R=0.

При xR ряд (1) может либо сходиться, либо расходиться.

Радиус сходимости можно найти по формуле , если соответствующий предел существует.


Ряд Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.

Всякая функция бесконечно дифференцируемая в интервале |x-x0|<R →-R< x-x0<Rx0-R<x<x0+R может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора.

Если в этом интервале выполняется условие:

Rn(x) – остаточный член ряда Тейлора

Коэффициент ряда Тейлора: , который вычисляется в точке x=x0.

Разложение функции в ряд Маклорена. Привести примеры.

Это частный случай ряда Тейлора, когда x0=0.

пример:

Понятие о тригонометрическом ряде Фурье. Условия Дирихле. Нахождение коэффициентов ряда Фурье.

Ряд Фурье функции f(x), определённой и интегрируемой на отрезке [-;] – ряд , коэф которого опред формулами: , , .

Если f(x)=f(-x), т.е. f(x) – функция чётная, то bn=0.

Если f(x)=-f(-x), т.е. f(x) – функция нечётная, то an=0.

Ряд Фурье с периодом 2l. Теорема: Если функция f(x) и её производная f (x) – непрерывные функции на отрезке [-l, l] или же имеют на нём конечное число точек разрыва первого рода, то во всех точках x(-l, l), в которых f(x) непрерывна, сумма ряда f(x) и справедливо разложение: , где , , , а в каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна (f(x0-)+f(x0+))/2 и на концах отрезка сумма ряда равна (f(l0-)+f(l0+))/2.

В дальнейшем предполагается, что рассматриваемые функции удовлетворяют условием этой теоремы.

Основные понятия комбинаторики: размещение, сочетание, перестановки. Свойства сочетаний.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно наз n-факториалом и пишут n!=1*2*3…(n-1)*n.

Перестановки: Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Pn, где n – число элементов, входящих в каждую перестановку: Pn=n(n-1)(n-2)…3*2*1=n!.

Размещения: комбинации из m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов. Amn, m – число всех имеющихся элементов, n – число элементов в каждой комбинации n<=m. Amn=m(m-1)(m-2)… n-множителей.

Сочетания: все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере, хотя бы одним элементом (здесь m и n – натуральные числа n<=m) .

Теорема вероятностей. Основные понятия и определения.

Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить.

Теория вероятностей есть раздел математики в котором изучаются случайные явления и выявляются закономерности примассовом их повторении.

Основные понятия:

Испытание – всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий.

Много кратное подбрасывание монеты: случайное событие – результат этого действия или наблюдения. Например: появление цифры при подбрасывании монеты. Искомое событие – какое-либо событие из всех возможных событий. Все рассматриваемые события равновозможные. События принято обозначать заглавными буквами: A, B, C, D.

События наз несовместимыми, если никакие 2 из них не могут произойти в одном опыте вместе, в противоположном случае они наз совместимые.

События наз достоверным, если оно в данном испытании обязательно (U).

Событие наз невозможным, если оно в данном не может произойти (V).

Полной системой событий A1, A2, A3…An наз совокупность несовместимых событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно в данном испытании.

Если полная система состоит из 2-х событий, то такие события наз противоположными и обозначаются A и .

Относительная частота события: если произведению N одинаковых испытаний и M – число испытаний, в котором событие A произошло, то отношение M/N – наз частотой наступления события A в данной последовательности испытаний. Частота случайна и зависит от числа N всех испытаний.

Классическое определение вероятности.

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, наз вероятностью этого события и обознач символом P(A).

Определение: Вероятность события A равна отношению числа m исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, т.е P(A)=m/n.

Следствие 1: Если события А, В,…,М образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице.

Согласно определениям суммы и произведения 2-х событий, сумма А+представляет собой достоверное событие U, а произведение А - невозможное событие V.

Событие В наз частным случаем А, если из наступления В следует наступление А..

Теоремы сложения вероятности и следствие из них.

Теорема: вероятность суммы совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: P(A+B)=P(A)+P(B).

Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Событие А наз независимым от события В, если вероятность события А не зависит от наступления события В: P(A/B)=P(A).

Событие А наз зависимым от события В, если вероятность события А меняется от того, произошло или нет событие В: P(A)P(A/B).

Независимость, как и зависимость событий часто следует из практических соображений, из физических условий самой задачи.

Следствие 1: Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А (свойство взаимности).

Следствие 2: Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Условная вероятность: вероятность события P(A), вычисленная без каких-либо предположений, ограничений или условий относительно других событий, является безусловной вероятностью события А. Однако, в ряде случаев приходится находить вероятности событий при условии, что вместе с интересующим нас событием А происходит и другое событие В. в таких случаях вероятность события А, найденная при условии, что наступило событие В, наз условной вероятностью и обозначается как P(A/B).

Теорема умножения: Вероятность произведения любых двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго события, вычисленную при условии, что первое событие имело место: P(AB)=P(A)P(B/A) или P(AB)=P(B)P(A/B).

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности является следствием обеих теорем – сложения и умножения вероятностей.

Теорема: Вероятность события А, которое происходит вместе с одной из гипотез H1, H2,…, Hn, равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы Hi на условную вероятность события А при этой гипотезе Hi: .

Формула Байеса (теорема гипотез).

До сих пор в комплексе условий рассматриваемых задач не фигурировали результаты испытаний, все вероятности событий рассматривались до начала опыта. Такие вероятности наз априорными.

Пусть опыт произведён. В рез опыта наступило событие А, которое может появиться только вместе с одной из гипотез H1, H2,…, Hn. Вероятности гипотез были известны до опыта и равны P(H1), P(H2),…P(Hn). Известны и условные вероятности наступления события А, при условии, что реализованы гипотезы Hi: P(A/H1), P(A/H2),…P(A/Hn).

Появление события А изменит значение априорных вероятностей P(Hi), I=1, 2,…, n.

Вероятности P(H1/A), P(H2/A),…P(Hn/A) наз апостериорными (т.е. после опыта).

Теорема гипотез: Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соотв её условную вероятность события, происшедшего при испытании, делённому на полную вероятность этого события:  или   .

Формула Бернулли.

Теорема: Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р и не появиться с вероятностью 1-р, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз, выражается формулой: , где q=1-p – вероятность не появления события А.

Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Комплексное число z – упорядоченная пара вещественных чисел (x; y), т.е. z=(x; y). При этом x наз вещественной, а y – мнимой частью комплексного числа.
Алгебраич форма К.ч. z=a+bi, где a –действительная часть к.ч. b – мнимая часть.
2 к.ч. z1=a1+b1i и z2=a2+b2i считаются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части.
Сложение к.ч. .
Произведение: .
Деление: к.ч. вида наз сопряжёнными. .
Возведение в степень: .
Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
К.ч. изображается в виде точки или радиус-вектора на комплексной плоскости. i    b r Z     a. Если к.ч. изображается в виде радиус-вектора, то его можно записать, зная длину r и аргумент .
Длину или модуль вектора находят по формуле:
Правило нахождения угла: .
Тригонометрич. форма:
Умножение: .
Деление: .
Возведение в степень: .
Извлечение из корня: , где k=0, 1, 2,…,(n-1).
Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме.
Если к.ч. , модуль которого равен 1, подставить в соответствующее показательное выражение ei, то получим выражение: .
Показательная форма: .
Умножение: .
Деление: .
Возведение в степень: .
Извлечение из-под корня: , где k=0, 1, 2, …(n-1).

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19037. Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау 416.5 KB
  Лекция 19 Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау Многие элементарные частицы в том числе и незаряженные имеют магнитный момент не связанный с ее движением в пространстве а связанный с внутренними ...
19038. Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана 1.3 MB
  Лекция 20 Сложение моментов. Коэффициенты КлебшаГордана Поскольку в классической механике суммарный момент импульса системы из двух частиц равен векторной сумме моментов частиц квантовомеханический оператор суммарного момента двух частиц определяется как
19039. Примеры построения собственных функций оператора суммарного момента двух частиц. Сложение двух спинов ½. Классификация спиновых функций в системе из двух частиц 660.5 KB
  Лекция 21 Примеры построения собственных функций оператора суммарного момента двух частиц. Сложение двух спинов . Классификация спиновых функций в системе из двух частиц Покажем как вычисляются коэффициенты КлебшаГордана на нескольких примера. Пусть система из ду...
19040. Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера, сшивка квазиклассических решений 664.5 KB
  Лекция 22 Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера сшивка квазиклассических решений Число случаев когда удается точно решить стационарное уравнение Шредингера то есть найти собственные значения и собственные функции операт...
19041. Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении 384.5 KB
  Лекция 23 Правило квантования БораЗоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении Квазиклассические решения и условия их сшивки в точках поворота позволяют получить в кв...
19042. Уравнение Томаса-Ферми 127 KB
  Лекция 24 Уравнение ТомасаФерми Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и громоздки особенно многоэлектронных атомов. Но как раз дл
19043. Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра 279 KB
  Лекция 25 Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра Точное решение стационарного уравнения Шредингера как правило представляет собой существенную математическую проблему и возможно только для простейших кв...
19044. Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры 309 KB
  Лекция 26 Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры Рассмотрим несколько примеров. Пусть на одномерный гармонический осциллятор наложено возмущение . Найдем поправки первого и второго порядка к энергетическим уровням осциллятора. ...
19045. Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырож-денного спектра 269.5 KB
  Лекция 27 Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырожденного спектра Рассмотрим теперь случай когда невозмущенный оператор Гамильтона имеет вырожденные собственные значения. Пусть функции ... отвечают одному и тому же собст...