2511

Введение в физику низкотемпературной плазмы

Книга

Физика

Основные понятия физики плазмы. Экранирование зарядов в плазме. Дебаевский радиус. Элементарные процессы в плазме. Термоядерная плазма. Критерий Лоусона. Лазерный термоядерный синтез. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях. Магнитный момент частицы в магнитном поле.

Русский

2013-01-06

839.85 KB

48 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ОБНИНСКИЙ ИНСИТУТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ –  ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ЯДЕРНОГО УНИВЕРСИТЕТА «МИФИ»

Физико-энергетический факультет

В.Л. Шаблов, В.А. РЫКОВ

Введение в физику низкотемпературной плазмы

Учебное пособие по курсу

«Физика плазмы»

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским  советом института

Обнинск 2010

УДК 621.039.5


Шаблов В.Л., Рыков В.А. Введение в физику низкотемпературной плазмы: Учебное пособие по курсу «Физика плазмы». – Обнинск: ИАТЭ НИЯУ МИФИ, 2010. – 47 с.

 

Учебное пособие предназначено для студентов 3-го курса, изучающих дисциплину «Физика плазмы», и содержит материалы относящиеся к основам физики плазмы. Описаны элементарные процессы в плазме, основные характеристики плазмы (плазменная частота и дебаевский радиус), движение частиц плазмы в электрических и магнитных полях, условия осуществления управляемого термоядерного синтеза.

Илл. 8, библиогр. 12 назв.

Рецензенты: д.ф.- м.н. О.Ф. Кухарчук

  к.ф.- м.н. В.А. Шакиров

Темплан 2010, поз. 22

© ИАТЭ НИЯУ МИФИ, 2010 г.

© В.Л. Шаблов, В.А. Рыков, 2010 г.


1. Основные понятия физики плазмы

Физический энциклопедический словарь дает следующее определение: плазма – частично или полностью ионизованный газ, в котором концентрации свободных положительных и отрицательных зарядов практически одинаковы.

Положительно заряженными частицами в плазме всегда являются ионы, отрицательно заряженными – обычно электроны, хотя в небольших концентрациях (по сравнению с концентрацией электронов) могут присутствовать отрицательные ионы, образующиеся в результате «прилипания» электронов к атомам или молекулам. Условие равенства концентраций положительных и отрицательных носителей зарядов выражается термином «квазинейтральность», означающим, что плазма является электрически нейтральной системой в достаточно больших объемах или за достаточно большие промежутки времени. По этой причине плазмой (в широком смысле) называют квазинейтральную систему, содержащую положительно и отрицательно заряженные свободные частицы, включая как ионизованные газы, так и другие системы, обладающие характерными для плазмы свойствами, например, совокупности электронов и дырок в полупроводниках, называемые полупроводниковой плазмой. В дальнейшем мы будем иметь дело с «газовой» плазмой.

Степенью ионизации плазмы называют отношение числа ионизованных атомов (молекул) к их начальному числу в единице объема плазмы. В общем случае в плазме присутствуют однозарядные ионы (с концентрацией n1), двухзарядные (с концентрацией n2) и т.д., так что концентрация ионизованных атомов равна   ni = n1 + n2 +… . Следовательно, степень ионизации

    ,     (1)

где nнач – начальная (до возникновения процесса ионизации) концентрация атомов. При этом, очевидно, условие квазинейтральности плазмы приводит к следующему выражению для концентрации электронов:

    n1+ 2n2+….       (2)

Соотношение (2) приближенное, поскольку в нем не учитывается возможное наличие в плазме отрицательных ионов.

В зависимости от степени ионизации говорят о слабо-, сильно- и полностью ионизованной плазме. В полностью ионизованной плазме степень ионизации стремится к единице, слабоионизованная характеризуется малым числом.

В состоянии плазмы находится большая часть веществ во Вселенной – звезды, галактические туманности и межзвездная среда. Например, Солнце и многие звезды представляют собой гигантские сгустки высокотемпературной плазмы (что понимать под высокотемпературной плазмой, будет сказано чуть позже). Плазма существует в космосе в виде солнечного ветра. Верхний атмосферный слой Земли также образован из плазмы – это так называемая ионосфера. В лабораторных условиях плазма образуется в электрическом разряде в газе, в процессах горения и взрыва и т.д.

Хотя в большинстве случаев плазма – это газ с определенной степенью ионизации, ее свойства сильно отличаются от свойств обычных газовых смесей, вследствие чего ее часто называют четвертым состоянием вещества. В отличие от неионизованных газов, все частицы которых имеют одинаковую среднюю кинетическую энергию теплового движения (независимо от принадлежности к тому или иному компоненту газовой смеси), частицы плазмы – электроны, ионы и «нейтралы» – имеют различные средние кинетические энергии. Как правило, электроны обладают более высокими энергиями, чем ионы, кинетическая энергия которых в свою очередь может превышать кинетическую энергию нейтральных атомов и молекул.

Другими словами, плазма представляет собой смесь компонент (теперь это слово женского рода) с различными температурами: вместо одной общей температуры Т следует различать три разные температуры – электронную Те , ионную Тi (или ионные температуры, если в плазме имеются ионы разных сортов) и температуру нейтральных атомов Т0 . Обычно Те Тi > Т0 . Например, в газоразрядных приборах (лампы дневного света, рекламные трубки и т.д.) величина Те лежит в диапазоне нескольких десятков тысяч градусов, в то время как Тi и Т0 не превышают одной – двух тысяч градусов. Такое большое различие между Те и Тi характерно для большинства форм газового разряда, вызвано огромной разницей в массах электронов и ионов. В классическом газовом разряде плазма возникает между проводящими металлическими электродами, создающими в плазме электрическое поле. Энергия этого поля передается непосредственно электронам, так как именно они являются носителями тока. Ионы приобретают свою энергию благодаря быстро движущимся электронам, причем в силу большого различия масс относительная доля передаваемой при столкновении энергии составляет примерно 1:1840 А, где А – атомный вес вещества, к которому принадлежат ионы (напомним, что максимальная доля кинетической энергии, которая может быть передана легкой частицей массы m1 при столкновении с тяжелой частицей с массой m2, не может превысить , причем такой результат достигается при центральном упругом столкновении). Это означает, что электрон должен испытать несколько тысяч столкновений с ионами, чтобы их энергии сравнялись. Однако одновременно с процессами обмена энергиями между электронами и ионами идет процесс приобретения электронами энергии от источников электрического тока, поддерживающего разряд, а потому в плазме газового разряда обычно и поддерживается большое различие между Те и Тi. При дуговом разряде, примером которого является электросварка, плазма имеет большую плотность, что увеличивает частоту столкновений и способствует выравниванию разности между электронной и ионной температурами.

Таким образом, в плазме очень часто приходится иметь дело с частичным термодинамическим равновесием. Это явление характерно для не слишком плотной плазмы, в которой длительное время электронная и ионная компоненты характеризуются своими температурами. При высокой плотности всякая плазма достаточно быстро приходит в состояние полного термодинамического равновесия, в котором Те = Тi. Такая плазма называется изотермической.

Возможные значения плотности плазмы n лежат в очень широком диапазоне: от n~106 см-3 в космическом пространстве и  n≈10 см-3 в солнечном ветре до n~1022 см-3 для твердотельной плазмы и еще больших значений во внутренних областях звезд.

Если температура газа, который переходит в состояние плазмы, не превышает 105 К, то говорят о низкотемпературной плазме, а при температурах, более 106 К – о высокотемпературной. Это условное разделение связано с тем, что проблему осуществления управляемого термоядерного синтеза (УТС) предлагается решать в высокотемпературной плазме.

2. Плазменная (лэнгмюровская) частота

Как уже упоминалось, по сравнению с обычными газами плазма обладает рядом специфических свойств. Эти свойства, как выясняется, определяются дальнодействующими силами взаимодействия между входящими в ее состав заряженными частицами. Если в обычном газе потенциал Uат межатомного взаимодействия быстро спадает с расстоянием r (обычно как r-6 ), и частицы заметно взаимодействуют только во время соударений друг с другом, потенциал взаимодействия между частицами плазмы подчиняется закону Кулона: ~ 1/r. Вследствие этого каждая частица плазмы одновременно взаимодействует с множеством соседних заряженных частиц, влияя на их движение, что в свою очередь сказывается в последующие моменты времени на движении самой этой частицы: в плазме определяющую роль играют коллективные процессы, т.е. колебания и волны различных типов.

В частности, в плазме существуют собственные продольные колебания, вызываемые изменением плотности электронов относительно равновесной (в обычном газе флуктуации плотности релаксируют без дальнейших последствий). Эти колебания называются плазменными или лэнгмюровскими колебаниями. Получим выражение для частоты этих колебаний.

Обозначим через n0 плотность электронов в равновесном (невозмущенном) состоянии. В силу квазинейтральности плазмы такова же концентрация положительных ионов. Рассмотрим электроны, которые первоначально находились в плоском слое сечения S между координатами и . Предположим далее, что электроны, первоначально находившиеся в точках с координатой x, к моменту времени t сместились на расстояние . Для электронов, первоначально находившихся в сечении с координатой , смещение составляет . Количество электронов в указанном выше слое составляло . К моменту t эти электроны будут занимать объем , где  , так что их плотность, вообще говоря, изменилась:

    ,      (3)

или при малых

    ,      (3*)

Предполагая, что изменение концентрации мало, запишем (3*) в виде

    .      (4)

Вследствие гораздо большей массы ионов можно считать, что они остались неподвижными, а потому средняя плотность зарядов равна

   ,   (5)

где е – элементарный заряд. В формуле (5), очевидно, предполагается отсутствие в плазме отрицательных и многозарядных ионов. Объемная плотность заряда (5) связана с напряженностью возникающего вследствие смещения зарядов электрического поля соотношением

     ,      (6)

являющимся дифференциальной формой теоремы Гаусса.

В рассматриваемой ситуации у поля есть только компонента Ех , так что

    .      (7)

Поскольку в отсутствие смещения электронов Ех=0 , уравнение (7) имеет следующее решение:

    ,     (8)

В итоге сила, действующая на произвольный электрон, находящийся внутри рассматриваемого объема плазмы, равна

        (9)

Знак «минус» в формуле (9) показывает, что сила является возвращающей, а поскольку Fx пропорциональна смещению электрона, она еще и квазиупругая. Уравнение движения электрона имеет вид

   ,    (10)

что соответствует гармоническим колебаниям с круговой частотой , равной

     .     (11)

Частота называется плазменной или лэнгмюровской частотой. Для обычной линейной частоты существует следующая удобная формула:

     ,     (12)

где n0 измеряется в см-3. При концентрации плазмы n0=1010см-3 собственная частота колебаний плазмы равна = 0.9∙109 с-1, что соответствует дециметровым волнам.

Итак, возникающие вследствие разделения зарядов электростатические силы вызывают в плазме электростатические или плазменные колебания, частота которых описывается формулой (11). Следует отметить, что у плазмы (особенно при наличии внешнего магнитного поля) много различных типов колебаний. Например, принимая, что разделение зарядов вызывается коллективным движением ионов, придем к ионным колебаниям плазмы, частота которых получится из формулы (11) заменой массы и заряда электрона на массу и заряд иона. Но плазменными принято называть не всякие колебания плазмы, а именно те, частота которых описывается формулой (11). Другими словами, следует отличать «плазменные колебания» от «колебаний плазмы», помня при этом, что термин «колебания плазмы» имеет более широкий смысл.

3. Экранирование зарядов в плазме. Дебаевский радиус

Важной характеристикой плазмы является величина, называемая длиной экранирования, или дебаевским радиусом. Каждая заряженная частица вызывает поляризацию плазмы, т.е. накопление вокруг нее частиц противоположного знака, что и приводит к экранированию поля частицы. Экранированный потенциал может быть вычислен с помощью теории Дебая, развитой в начале 20-го столетия для растворов электролитов.

Для упрощения задачи будем использовать следующие предположения:

а) плазма является изотермической, а частицы в ней распределены по закону Больцмана;

б) положительные ионы являются однозарядными;

в) плазма является безграничной;

г) можно пренебречь микрофлуктуациями потенциала, связанными с дискретностью зарядов.

Будем рассуждать следующим образом. Положительно заряженный ион создает вокруг себя электрическое поле с потенциалом . Согласно распределению Больцмана, концентрация электронов описывается выражением

    ,     (13)

где – заряд электрона, – радиус-вектор точки поля относительно иона. Для концентрации ионов можно записать выражение, аналогичное (13):

    ,      (14)

где qi = е – заряд иона. При , когда влиянием потенциала можно пренебречь, условие квазинейтральности плазмы приводит к соотношению n0е = n0i = n0 .

Из (13) и (14) вытекает, что объемная плотность зарядов в плазме равна

 (15)

где – гиперболический синус, а слагаемое с δ-функцией отвечает объемной плотности заряда иона в предположении, что этот заряд точечный. Потенциал и объемная плотность зарядов связаны уравнением Пуассона

          (16)

или

       (17)

Уравнение (17) – нелинейное, и построить его решение удается только после линеаризации, т.е. в приближении

     .      (18)

Тогда, принимая во внимание известное соотношение при малых х, получим

        (19)

где величина

           (20)

называется радиусом экранирования или дебаевским радиусом.

Для решения уравнения (19) воспользуемся известным из теории обобщенных функций соотношением

         (21)

и его следствием

    .    (21*)

Тогда решение уравнения (19) можно представить в виде

       (22)

при условии, что А+В=1. Коэффициент В должен равняться 0 , иначе потенциал будет неограниченно возрастать при . Окончательно

    .     (23)

Построенный потенциал представляет собой потенциал самосогласованного поля: к кулоновскому полю иона добавляется поле поляризованной им среды, пространственное распределение зарядов в которой определяется самим потенциалом . В соответствии с вышесказанным потенциал, обусловленный окружающей ион средой, равен

        (24)

Это означает, что в месте расположения иона создается потенциал

  ,    (25)

который определяет потенциальную энергию этого поля в плазме:

    ,      (26)

такое же значение энергии получается и для электрона. Если потенциальная энергия электронов ионов плазмы много меньше (по модулю) их кинетической энергии, т.е.

     ,      (27)

плазма называется идеальной. С учетом соотношения (18) неравенство (27) можно переписать как

     .      (28)

Другими словами, в идеальной плазме число частиц Nd внутри сферы радиуса d

    

оказывается много большим единицы. Например, в случае плазмы с температурой Т = 107 К и плотностью n0 = 1014 см-3 (такие параметры характерны для термоядерной плазмы) дебаевский радиус равен см и Nd =.

Проведенные выкладки распространяются и на случай неизотермической плазмы, характеризующейся электронной температурой Те и ионной Ti . Действуя точно так же, как и ранее при выводе формул (13) – (23) (изменения касаются только распределений Больцмана (14), в которых теперь стоят свои температуры Те и Ti), получим тот же окончательный результат (23), но с другой длиной экранирования d:

   .      (29)

Дебаевский радиус можно рассматривать как масштаб разделения зарядов в плазме. Если пространственные размеры ионизованной среды меньше дебаевского радиуса, то такую среду следует рассматривать скорее не как плазму, а как совокупность свободных зарядов. Если же указанные пространственные размеры велики по сравнению с дебаевским радиусом, ионизованная среда ведет себя как истинная плазма. В этом случае полное число частиц в плазме N удовлетворяет условию , что необходимо для применимости теории Дебая, которая основана на методах статистической физики. Как было установлено ранее, при условии кулоновская энергия плазмы мала по сравнению с тепловой, т.е. изотермическая плазма по своему термодинамическому поведению близка к идеальному газу.

Выражение для экранированного потенциала (23) справедливо лишь при выполнении условия (18). С помощью подстановки это условие приводится к виду

     .      (30)        

Следовательно, формула (23) не применима при , а потому выражение для кулоновской энергии (26) не является точным, и должно рассматриваться как оценка. Неприменимость выражения (23) при малых r можно увидеть и из следующего факта: интеграл по малой области D, окружающей ион, , который определяет число электронов в указанной области, является расходящимся в силу того, что при r << d .

Обобщая вышесказанное, приходим в выводу, что несмотря на приближенный характер теории Дебая, она позволяет оценить, при каких параметрах плазму можно описывать законами идеального газа.

В заключение этого параграфа приведем несколько полезных формул. Величина kT , называемая термодинамической температурой, в физике плазмы измеряется в практически удобных единицах – электронвольтах (эВ) и обозначается той же буквой Т. При этом . Суммарная концентрация заряженных частиц в плазме, обозначаемая в дальнейшем n (в рассматриваемом случае n = 2n0), измеряется в см-3 , а дебаевский радиус – в см, тогда

     .      (31)

Давление плазмы при условии применимости законов идеального газа, т.е. формулы (27), записывается в виде

    (мм рт. ст.).     (32)

Условие применимости формулы (30) выглядит следующим образом:

     .     (33)

4. Элементарные процессы в плазме

Переход газа в состояние плазмы и поддержание этого состояния связаны с различными процессами на атомно-молекулярном уровне, которые принято называть элементарными.

Главным из этих процессов является процесс ионизации или отрыв электрона (в случае многократной ионизации – нескольких электронов) от атома или молекулы. Процесс, обратный ионизации, называется рекомбинацией (соединение иона и электрона с образованием нейтрального атома или молекулы).

Важнейшими способами ионизации являются

а) термический;

б) электромагнитное излучение (фотоионизация);

в) электронный удар;

г) столкновение частиц с атомами, ионами, молекулами (вместе с (в)) – столкновительная ионизация).

Ионизация – пороговый процесс, т.е. энергия от сталкивающихся частиц (в системе центра масс) или -кванта (при ионизации электромагнитным излучением) должна превышать некоторое значение, называемое порогом ионизации. Отношение порога ионизации к элементарному заряду есть потенциал ионизации (или ионизационный потенциал), измеряемый в вольтах. Среди атомов наименьшим ионизационным потенциалом характеризуются атомы щелочных металлов (ионизационный потенциал атомов Li, Na, K, Cs равен соответственно 5.4, 5.1, 4.3, 3.9 В, тогда как для атомов H, He, Ne – 13.6, 24.5, 21.5 B). По этой причине в присутствии паров щелочных металлов электропроводность газа, возникающая вследствие термической ионизации, наблюдается уже при температуре 2000 – 3000оС.

Термическая ионизация возникает за счет столкновений наиболее быстрых частиц газа, т.е. его атомов и молекул. Если газ находится в равновесном состоянии, то можно сказать, что термическая ионизация вызывается столкновением частиц, скорости которых лежат на «хвосте» максвелловского распределения. Хотя таким образом можно получить плазму любого вещества, термическая температура характерна для газов при высоких температурах и плотностях. Например, для гелия при и давлении 105 Па в равновесном состоянии степень ионизации равна 0.08, тогда как двукратной ионизацией с потенциалом 56.2 В можно пренебречь. В природе из термической плазмы состоят многие звезды, например, наше Солнце, температура в центре которого , а давление около Слабоионизованная низкотемпературная плазма с высокой плотностью может быть получена термическим путем за счет добавления атомов с низким потенциалом ионизации, например, щелочных металлов, что уже упоминалось выше.

Ионизация излучением (под действием света, ультрафиолетовых или рентгеновских лучей) характерна для разреженной плазмы, так как при не слишком низкой плотности столкновения между частицами оказываются гораздо существеннее, нежели действие излучения.

Фотоионизация играет важную роль в астрофизике. В частности, излучение горячих звезд вызывает ионизацию в окружающих их газовых туманностях и областях межзвездного газа. Излучение Солнца вызывает ионизацию верхних слоев атмосферы Земли (т.е. ионосферы, в которой ионизация молекул атмосферных газов происходит под действием ультрафиолетовой и рентгеновской компонент солнечной радиации и космического излучения).

Процесс ионизации электронным ударом характерен для получения плазмы в электрическом газовом разряде. Механизм ионизации газа в разряде заключается в образовании электронной лавины, для развития которой необходимо, чтобы приложенное к газовому промежутку электрическое поле сообщало электрону на длине свободного пробега энергию, превышающую ионизационный потенциал. Более точно, должно выполняться условие

     ,      (34)

где – отношение масс электрона и атома (молекулы), I – ионизационный потенциал. При выполнении условия (34) появление в газе по каким-то причинам небольшого количества электронов после их разгона электрическим полем приведет к появлению новых электронов и т.д. по принципу цепной реакции: так возникает электронная лавина, превращающая газ в плазму.

В ядерно-инициируемой плазме ионизацию вызывают многозарядные ионы, являющиеся осколками индуцированного деления ядер, например, и т.д. Если процесс ионизации – пороговый, т.е. эндотермический, то процесс рекомбинации, наоборот, экзотермический, т.е. сопровождается выделением энергии.

Существует два способа рекомбинации:

а) рекомбинация с излучением

 ,          (35)

б) рекомбинация при тройных столкновениях

 .         (36)

Процесс (35) характерен для разряженной плазмы, тогда как в плотной плазме рекомбинация происходит, в основном, при тройных столкновениях.

Еще одним видом взаимодействия между частицами плазмы является перезарядка, т.е. процесс передачи заряда от иона к атому:

   .      (37)

Этот процесс имеет очень важное значение в термоядерных устройствах, поскольку высокоэнергетический ион может покинуть систему, превратившись в атом, оставив в плазме ион с низкой энергией.

Для количественного описания этих и других процессов в квантовых системах используются понятия скорости перехода и сечения процесса. Кратко напомним эти понятия для процесса, в котором частица а при столкновении с частицей b превращается частицу с 

     ….      (38)

Например, для реакции однократной ионизации атома символ а есть просто А, символ b соответствует электрону, с – иону А+, а многоточие обозначает 2 электрона. Скоростью процесса или вероятностью перехода в единицу времени для процесса (37) называется величина

  .    (39)

Для определенности будем считать, что частицы a покоятся, а их совокупность образует мишень, как это имеет место в традиционном эксперименте по измерению сечения. Если частицы b падают на мишень с постоянной скоростью , а плотность потока этих частиц равна jb (плотность потока есть число частиц, упавших на единицу площади мишени за единицу времени,

    ,

где nb – концентрация частиц b в потоке), то (полным) сечением процесса (37) является величина

     .      (40)

Если частицы b имеют распределение по скоростям, описывающееся функцией (плотностью) распределения , то между сечением и скоростью процесса существует соотношение

   .    (41)

Наконец, если частицы типа a движутся, а их распределение по скоростям описывается функцией распределения , то вместо (41) возникает соотношение

 , (42)

представляющее собой шестикратный интеграл по всему пространству скоростей обеих сталкивающихся частиц. В (42) учтен очевидный факт, что сечение зависит от величины относительной скорости соударения .

Приведем характерные значения сечений процессов, о которых шла речь выше. Начнем с сечения ионизации атомов . Это сечение равно нулю при энергии электрона, равной потенциалу ионизации, затем быстро возрастает, достигая максимума при значении Е1 , лежащем в диапазоне от 40 до 80 эВ (рис. 1).

Рис. 1. Зависимость сечения ионизации атома водорода от энергии  электрона

При повышении энергии сечение начинает уменьшаться сначала медленно, затем более быстро. В области Еe >> I сечение ионизации спадает по закону 1/(Еe). Максимальная величина для разных атомов различна: она изменяется от величины для атома водорода до для атома ртути.

Сечение реакции перезарядки (37) может достигать больших значений, особенно в случае резонансной перезарядки, когда ион А+ и атом В принадлежат одному и тому же элементу. Так для атома водорода максимальное значение сечения резонансной перезарядки составляет , что на два порядка превышает геометрическое сечение атома водорода. Максимальное значение сечения нерезонансной перезарядки заметно меньше – порядка . При высоких энергиях сечение перезарядки быстро спадает по закону v-12, где v – относительная скорость столкновения.

5. Термоядерная плазма. Критерий Лоусона

Термоядерной называют горячую плазму, в которой возможно протекание реакций синтеза легких ядер, иначе называемых реакциями термоядерного синтеза. Приведем несколько основных реакций слияния легких ядер и значения их энергетического выхода:

  ,    (43а)

  ,    (43б)

  ,    (43в)

  .   (43г)

Напомним, что для ядра атома дейтерия используется еще одно обозначение – d, а для ядра атома трития – t , так что реакцию синтеза (43в) можно записать в виде

   .    (43*)

Для осуществления слияния ядер необходимо, чтобы сталкивающиеся ядра преодолели их взаимное дальнодействующее кулоновское отталкивание, т.е. кулоновский барьер, или «протуннелировали» через него. Вероятность туннелирования будет тем больше, чем ниже и уже кулоновский барьер и чем выше кинетические энергии ядер-партнеров, вступающих в реакцию. По этой причине наиболее перспективными являются реакции (43 а) – (43 в), для которых заметные значения сечений достигаются при энергиях в несколько килоэлектронвольт, причем в этой области энергий сечение реакции (43 в) примерно на два порядка превышает сечение реакций (43 а), (43 б).

В ускорителе легко можно достичь любых энергий, необходимых для осуществления реакции синтеза. Однако этот путь не приводит к самоподдерживающейся реакции. Для создания условий, в которых управляемый синтез будет возможен, дейтерий или дейтериево-тритиевую смесь необходимо разогреть до температуры порядка сотен миллионов градусов (Т~108К). Ясно, что при такой температуре любое вещество превращается в полностью ионизованную плазму.

Проведем оценку параметров этой плазмы, необходимых для поддержания в ней самоподдерживающейся (стационарной) термоядерной реакции. Будем рассматривать дейтериево-тритиевую плазму, температура которой Т, а концентрации компонентов одинаковы и равны (, как и ранее, – концентрация электронов плазмы). Воспользуемся формулой (42), в которой индекс b относится к дейтрону, а – к тритону, с – к -частице, а функции fa и fb есть распределения Максвелла для соответствующих частиц:

    ,      (44)

и аналогично для . Поскольку на одну - частицу в реакции выделяется Q = 17.59 MэВ, то в единице объема плазмы в единицу времени выделяется мощность

    .      (45)

Часть этой мощности идет на нагревание самой плазмы

    ,      (46)

где – энергия - частицы, образующейся в реакции

, поскольку нейтроны почти не участвуют в процессе нагревания. Для вычисления величины РH перейдем в шестимерном интеграле (42), задающем величину , к новым переменным:

  ; .    (47)

В выражении (47) , следовательно, – скорость центра масс системы ядер дейтерия и трития. Якобиан перехода равен единице, так что

     .     (48)

Из курса общей физики известно, что

    ,    (49)

где – приведенная масса системы. Поскольку , то из формулы (49) вытекает следующее важное соотношение:

   ,     (50)

где и есть распределения Максвелла для частиц с массами и М соответственно (при той же температуре Т). Подставляя это соотношение в формулу (42) и используя (48), можно проинтегрировать по скорости движения центра масс (что, очевидно, дает единицу), тогда

   ,    (51)

где величина есть усредненная по скорости столкновения скорость реакции синтеза

 .  (52)

Поскольку в эксперименте сечение реакции синтеза измеряется как функция энергии, перейдем в (52) к интегрированию по энергии частицы в (это отвечает постановке эксперимента, в котором пучок дейтронов падает на тритиевую мишень). В итоге получаем

  .  (53)

Для функции существуют различные аналитические параметризации, например, [4]

, (54)

где энергия дейтронов измеряется в эВ, а сечение – в см2 .

Формулы (46) – (54) позволяют рассчитать тепловую мощность, выделяемую в плазме, в расчете на единицу объема:

    .     (55)

Обозначим через время удержания плазмы при температуре Т в рабочем объеме. Будем предполагать, что по истечении этого времени горячая плазма заполняется новой порцией относительно холодной плазмы. Условие стационарности заключается в том, что выделяющейся за время удержания тепловой энергии за вычетом энергии потерь должно быть достаточно для разогрева вновь поступающей плазмы. Поскольку для нагревания до температуры Т единицы объема плазмы требуется энергия (по на электронную и ионную компоненты плазмы), условие стационарности приобретает вид

   ,    (56)

где – потеря энергии в расчете на единицу объема. Как оказывается, в основном, потери связаны с тормозным излучением электронов, т.е. излучением электронов при столкновении с ионами. В электродинамике плазмы показывается, что мощность тормозного излучения в расчете на единицу объема плазмы в интересующей нас ситуации, когда заряды ионов равны единице (в единицах элементарного заряда), можно рассчитать по формуле

    ,   (57)

где температура измеряется в кельвинах, а концентрация – в см-3 . Следовательно, условие (56) можно переписать так:

    ,     (58)

В соответствии с формулой (57) численное значение постоянной с в (58) равно .

Произведение носит название параметра удержания плазмы. Анализ функции, фигурирующей в правой части неравенства (58), показывает, что она имеет минимум при , соответствующий в энергетических единицах величине 17 кэВ. Таким образом, для осуществления управляемого термоядерного d-t-синтеза необходимо выполнение условия

   и ,    (59)

которое носит название критерия Лоусона. Приведем также значение критерия Лоусона для реакции d-d-синтеза (43 а), (43 б) (в этом случае в формуле (42) нужно добавить коэффициент 1/2, иначе каждое столкновение будет учитываться дважды) и синтеза :

   и .  (60)           

Полученные результаты показывают, что на предыдущем этапе предположение о доминирующем вкладе тормозного излучения в полное излучение плазмы было законным, поскольку вклады других видов излучения (рекомбинационного, электрон-электронного тормозного и т.д.)) действительно малы. В частности, электрон-электронное тормозное излучение заметно при температуре электронов, превышающей 50 кэВ (по энергетической шкале), а рекомбинационное (фоторекомбинационное) излучение, мощность которого в расчете на единицу объема водородной плазмы можно оценить по формуле

   ,     (61)

оказывается в интересующей термоядерной области температур на два-три порядка меньше тормозного.

Приведенные оценки показывают, что реакцию управляемого термоядерного синтеза более просто осуществить в дейтериево-тритиевой плазме. Однако здесь присутствует существенная трудность, связанная с тем, что тритий радиоактивен (его период полураспада равен 12,5 лет) и потому отсутствует в природе. Тритий предполагается нарабатывать в одной из следующих реакций:

  или .  (62)

Особенно важной является вторая из приведенных реакций, которая интенсивно идет под действием нейтронов с энергией в несколько мегаэлектронвольт и в которой получение трития сопровождается дополнительным нейтроном. В целом наработка трития – сложная с физико-технической и небезопасная с радиационной точек зрения проблема.

Итак, для осуществления управляемого термоядерного синтеза плазму не только необходимо нагреть до температуры 108К и выше, но и обеспечить, чтобы произведение было больше некоторого минимального значения. Следовательно, управляемый синтез может быть осуществлен либо удержанием на короткое время горячей плазмы с очень высокой плотностью (), либо удержанием плазмы меньшей плотности в течение более продолжительного промежутка времени. В первом случае предполагается использовать импульсный метод, что лежит в основе лазерного синтеза и систем с релятивистскими пучками электронов или ионов. Во втором случае предполагается использование различных конфигураций магнитных полей, основными из которых являются

а) открытые системы или системы с магнитными зеркалами;

б) закрытые системы (торы);

в) устройства с -пинчем.

Прежде чем обсудить вышеперечисленные экспериментальные схемы удержания термоядерной плазмы, сформулируем условие на время свободного разлета плазмы, при котором не возникает необходимости в удержании плазмы. Обозначим через R характерные размеры области, занимаемой свободной горячей плазмой, время разлета по порядку величины равняется , где v – скорость ионов плазмы, которая при температуре 108К равняется примерно 108 см/с. Комбинируя теперь обсуждаемое условие с критерием Лоусона, получим, что при

    ,     (63)

время свободного разлета плазмы будет превышать время удержания. В этом случае проблема управляемого термоядерного синтеза переносится на проблему почти мгновенного (т.е. за время, существенно меньшее ) нагревания плазмы. Именно по этому пути, называемому инерциальным удержанием, идут в устройствах лазерного синтеза и системах релятивистских пучков.

6. Лазерный термоядерный синтез (ЛТС)

Согласно оценкам, приведенным в конце предыдущего параграфа, для инициирования реакции термоядерного синтеза в d-t мишени при твердотельной плотности время нагревания плазмы должно быть меньше времени . Размеры нагреваемого образца при этом составляют 0,2 см, а требуемая для нагревания энергия равна

   .

Следовательно, для осуществления термоядерного синтеза необходимы высокие концентрации энергии , что под силу современным импульсным лазерам () .

В ЛТС сферическая мишень содержит ряд концентрических оболочек (рис. 2). Внешняя оболочка, называемая аблятором, под действием лазерного излучения испаряется, ионизуется и превращается в плазму. Расширение этой плазмы формирует на внутренней границе аблятора импульс так называемого абляционного давления, складывающегося из теплового давления и реактивного давления разлетающейся плазмы, которое может достигать 106 атм. и более. Следующий за аблятором слой предназначен для аккумулирования кинетической энергии неиспаренной части мишени при ее движении к центру, что и приводит к сжатию термоядерного горючего. Центральная часть мишени содержит дейтериево-тритиевую смесь в виде льда или газа под давлением до нескольких сотен атмосфер. Она может быть окружена теплоизолирующими слоями, облегчающими инициирование термоядерных реакций за счет сохранения и замедления в ней -частиц – продуктов реакции синтеза (43 в). В этом случае радиус центральной зоны должен превышать длину пробега -частиц с энергией

Рис.2. Принципиальная схема сферической мишени для ЛТС

Для устойчивого сжатия мишени должна выполняться высокая точность ее изготовления (не менее 1%), а однородность облучения должна быть не хуже 5%. Сам сферически симметричный лазерный импульс специальным образом зависит от времени. Это позволяет предотвратить неустойчивость процесса сжатия. Расчеты показывают, что периферийная часть термоядерного топлива может быть нагрета до температуры 107К при плотности , а центральная часть мишени – до необходимой температуры ~ 108К при меньшей плотности , что достаточно для возникновения самоподдерживающейся термоядерной реакции.

Для создания лазерного термоядерного реактора, в котором осуществляется термоядерный микровзрыв мишени и последующее использование и преобразование энергии, лазеры должны обладать следующими характеристиками [1]:

- энергия импульса ;

- длительность импульса ()∙108 с;

- к.п.д. ;

В этом случае расчетный коэффициент усиления, т.е. отношение выделившейся термоядерной энергии к энергии лазера, может достигать , что достаточно для создания экономически рентабельного лазерного термоядерного реактора.

7. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях

Динамическое поведение плазмы определяется как внутренними полями, создаваемыми частицами плазмы, так и внешними полями. Изучение этого поведения важно для анализа динамических процессов, протекающих в плазме, и понимания принципов действия различных плазменных устройств, например, систем магнитного удержания плазмы. При этом выясняется, что движение частиц в плазме полностью описывается законами классической механики, поскольку обычно импульс частиц плазмы достаточно велик, плотность плазмы не очень большая, а соответствующие длины волн де Бройля намного меньше расстояния между частицами. Плазма проявляет квантовые свойства только при очень больших плотностях и очень низких температурах. Более того, как правило, релятивистские эффекты малы, и для описания движения частиц достаточно ограничиться нерелятивистским приближением.

Итак, в пренебрежении столкновениями с другими частицами и излучением уравнение движения частицы с зарядом q и массой m можно записать в виде

    ,      (64)

где – импульс частицы, – ее скорость.

    ,     (65)

(– релятивистский фактор) или в нерелятивистском приближении

    .      (66)

Если электромагнитное поле не зависит от времени то, как известно из курса общей физики, остается неизменной сумма кинетической и электрической потенциальной энергий частиц :

    ,     (67)

( – потенциал электростатического поля, так что ). Этот факт непосредственно следует из того, что при любой конфигурации магнитостатического поля оно не совершает механической работы над частицей. Соотношение (67) записано в нерелятивистском приближении, которое в общем случае следует записывать в виде

     ,

где – кинетическая энергия релятивистской частицы. В дальнейшем, если не оговорено противное, будет использоваться нерелятивистская механика. Особое внимание будет уделено однородным в пространстве и постоянным во времени полям, поскольку многие более сложные случаи могут рассматриваться как возмущения по отношению к этой простой ситуации.

8. Однородное электрическое поле ()

В случае постоянного стационарного электрического поля уравнение движения частицы

     ,

легко интегрируется:

     ,

где – начальный импульс частицы. Повторное интегрирование дает выражение для положения частицы как функции времени

    ,     (68)

где – положение частицы, а – скорость частицы в начальный момент времени. Частица движется с постоянным ускорением в направлении , если q>0 , и в противоположном направлении, если q<0 . В направлении, перпендикулярном электрическому полю, ускорение отсутствует, и соответствующая компонента скорости остается постоянной.

9. Однородное стационарное магнитное поле

В данном случае уравнение движения выглядит следующем образом:

    .     (69)

Разложим скорость на две компоненты: параллельную вектору индукции магнитного поля и перпендикулярную ему , тогда

    .     (70)

Поскольку вектор перпендикулярен , то из уравнения (70) вытекают два следующих уравнения:

     =0,      (71)

в направлении, параллельном магнитному полю, и

     ,     (72)

в направлении, перпендикулярном магнитному полю. Уравнение (71) показывает, что компонента скорости частицы вдоль вектора не изменяется.

Как уже отмечалось, магнитное поле не изменяет кинетической энергии частицы. Из этого факта и только что полученного условия = const вытекает, что = const. Поскольку в силу (72) ускорение частицы всегда перпендикулярно вектору , то условие постоянства модуля перпендикулярной компоненты скорости может выполняться только в одном случае – когда этот вектор вращается с постоянной угловой скоростью , причем из уравнения (72) вытекает, что . Величина носит название циклотронной или ларморовской частоты.

Приведем решение уравнения (72) в декартовой системе координат, в которой вектор направлен по оси OZ: (– орт, задающий положительное направление этой оси). Тогда, представляя вектор в виде суммы

     ,     (73)

и учитывая, что

   ,    (74)

(знак + перед циклотронной частотой соответствует положительно заряженной частице, знак – – отрицательно заряженной), перепишем уравнение (72) в виде двух уравнений:

    ; .   (75)

Из (75) вытекает, что вторые производные компонент vx и vy удовлетворяют уравнению колебаний линейно гармонического осциллятора с частотой :

    ,     (76)

следовательно,

  , ,  (77)

где постоянная интегрирования зависит от отношения начальных скоростей vx(0) и vy(0):

     .      (78)

Из соотношений (77) получаем условие постоянства величины , равной модулю перпендикулярной составляющей скорости, как это и должно быть.

Из условия и соотношений (77) легко получить зависимость координат частицы от времени:

    ,

    ,    (79)

    .

В (79) были использованы обозначения:

  ; .   (80)

Величина носит название циклотронного или ларморовского радиуса

     .       (81)

Вектор задает начальное положение частицы.

Из соотношений (79) и (80) видно, что траекторией частицы в плоскости, нормальной вектору магнитной индукции, является окружность радиуса :

    .     (82)

Центр этой окружности, являющейся мгновенным центром вращения частицы, называется ведущим центром.

Полная траектория частицы получается из суперпозиции движения по окружности (с постоянной скоростью ) и равномерного движения ведущего центра вдоль вектора с постоянной скоростью . Это означает, что частица движется по спирали. В частном случае, когда =0, траекторией частицы будет окружность, а при =0 – прямая линия.

Приведем две полезные формулы для вычисления циклотронной частоты: для электрона , для протона . В обоих случаях В выражено в теслах.

Отметим, что в релятивистском случае , а циклотронный радиус равен .

10. Однородные электростатические и магнитостатические поля

Пусть теперь заряженная частица движется под действием как электрического, так и магнитного полей, которые предполагаются стационарными и однородными в пространстве. Для решения уравнения движения (66) разложим скорость частицы и вектор напряженности электрического поля на компоненты, параллельные и перпендикулярные вектору :

   ; .     (83)

Тогда уравнение (66) можно разложить на два уравнения:

     ,      (84а)

    .    (84б)

Уравнение (84а) описывает движение с постоянным вдоль вектора ускорением , поэтому

  ; .  (85)

Для решения уравнения (84б) поступим следующим образом: разделим на зависящую и не зависящую от времени составляющие

    ,      (86)

а компоненту представим в виде

   (87)

При выводе формулы (87) было использовано известное разложение для двойного векторного произведения

    .

Подстановка соотношений (86) и (87) в уравнение (84б) дает следующий результат:

  .   (88)

Если теперь положить

   ,      (89)

то выяснится, что составляющая задается уравнением

   ,

т.е. характеризуется круговым движением с циклотронной частотой и циклотронным радиусом R. Вводя в рассмотрение вектор с помощью соотношения , для можно записать формулу вида

    ,      (90)

где – вектор, перпендикулярный и имеющий длину R , причем . Полученные результаты показывают, что суммарное движение частицы описывается суперпозицией кругового движения в плоскости, перпендикулярной , равномерного движения со скоростью , которая перпендикулярна как вектору , так и вектору , и движения с постоянным ускорением вдоль линий магнитной индукции:

  .    (91)

Величина (89) носит название дрейфовой скорости. Формула (89) непосредственно показывает, что дрейфовая скорость не зависит от массы и знака заряда и, следовательно, одинакова для положительно и отрицательно заряженных частиц. Поэтому в бесстолкновительной плазме при помещении ее в стационарное однородное электромагнитное поле она приобретает общее движение со скоростью дрейфа. Каких-либо сил, стремящихся разделить положительно и отрицательно заряженные компоненты плазмы, при этом не возникает (рис. 3).

Рис. 3. Электрический дрейф

11. Дрейф под воздействием внешней силы

При наличии внешней силы (например, силы тяжести или силы инерции, если движение рассматривается в неинерциальной системе отчета) уравнение движения частицы вместо (66) следует записывать в виде

    .     (92)

Предположим, что сила постоянна (т.е. не зависит от времени и однородна в пространстве). Тогда с формальной точки зрения действие этой силы аналогично действию стационарного однородного электрического поля. Это означает, что сила приводит к дрейфовому движению со скоростью

     .      (93)

Например, в случае однородного поля силы тяжести и скорость дрейфа равна

     .      (94)

Эта скорость дрейфа зависит от отношения , так что частицы с противоположными зарядами движутся в разные стороны. В плазме вследствие гравитационного дрейфа возникают дрейфовые токи, приводящие к разделению зарядов.

Формулы (93) и (94) получены в нерелятивистском приближении, что справедливо при определенных ограничениях на величину силы . Поскольку величина дрейфовой скорости

    

(– перпендикулярная составляющая силы ) в нерелятивистском случае должна быть много меньше скорости света, то необходимо выполнение неравенства

     .      (95)

В частности, в случае однородного электростатического поля неравенство (95) переходит в следующее соотношение:

    .      (96)

Например, для магнитного поля, индукция которого 1 Тл, формулой (89) можно пользоваться, пока много меньше 108 В/м.

12. Магнитный момент частицы в магнитном поле

В этом параграфе рассматривается движение частицы в слабо изменяющемся магнитном поле. Это означает, что индукция магнитного поля мало меняется на расстояниях порядка циклотронного радиуса частицы либо незначительно меняется за время одного оборота частицы по циклотронной окружности. В упомянутых случаях магнитный момент частицы, определяемый по аналогии с магнитным моментом кругового тока, сохраняет, хотя и приближенно, свое значение. Как будет показано дальше, этот факт во многих практически интересных случаях позволяет значительно упростить анализ движения плазменных частиц.

Напомним, что магнитный момент кругового тока силы I , обтекающий участок плоской поверхности, площадь которого равна S, определяется соотношением

      .      (97)

Частица с зарядом q, движущаяся по окружности радиуса R с периодом T , создает замкнутый ток силы . Следовательно, такому движению частицы можно сопоставить магнитный момент

     .      (98)

При движении в магнитном поле с индукцией В, как было установлено ранее,

    ; ,     (99)

так что магнитный момент частицы оказывается равным

    ,     (100)

где – кинетическая энергия частицы, отвечающая составляющей скорости в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля, часто называемая поперечной кинетической энергией.

13. Адиабатическая инвариантность магнитного момента

В рассматриваемом контексте термин «адиабатический» означает «медленно изменяющийся», так что под адиабатическим инвариантом понимается величина, остающаяся постоянной при движении системы с медленно меняющимися параметрами.

Допустим, что однородное в пространстве магнитное поле изменяется с течением времени, причем достаточно медленно. Это означает, что время , за которое индукция магнитного поля заметно изменяет свое значение, удовлетворяет условию адиабатичности . Согласно закону электромагнитной индукции, изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле . При этом циркуляция вектора по замкнутому контуру Г равна скорости изменения магнитного потока Ф через произвольную площадку, ограниченную этим контуром, взятой с противоположным знаком:

     .     (101)

Выберем в качестве контура Г окружность радиуса , тогда вихревое электрическое поле будет направлено вдоль этой окружности (рис. 4).

Рис. 4. Направление вихревого электрического поля для случая медленно возрастающего магнитного поля ()

Вследствие малости величины циклотронный радиус мало изменяется за один период. Поскольку электрическое поле действует на частицу с силой , то изменение поперечной кинетической энергии за один период равно

    ,      (102)

где – элемент перемещения вдоль траектории, которая при выполнении условия адиабатичности мало отличается от окружности радиуса R. По этой причине интеграл в формуле (102) можно вычислить как интеграл по замкнутому контуру в виде циклотронной окружности фиксированного радиуса:

    .     (103)

Величина dФ отрицательна, если q>0 (контур проходится по часовой стрелке), в то время как для q<0 выполняется условие dФ>0 (контур проходится против часовой стрелки). В итоге, если >0, величина положительна независимо от знака заряда:

    .     (104)

Вследствие выполнения условия отношение можно заменить производной , так что

   .    (105)

Поскольку , то

  .   (106)

Из соотношений (105), (106) вытекает, что , т.е. магнитный момент частицы сохраняется.

В приведенном выводе использовалось условие малости изменения циклотронного радиуса за один период, которое эквивалентно условию малости относительно изменения магнитного поля за период циклотронного обращения:

     .     (107)

Перейдем теперь к изучению движения частицы в неизменяющемся во времени, но слабо изменяющемся в пространстве магнитном поле. Если поле возрастает, то магнитные силовые линии образуют слабо сходящийся пучок. Совместим начало системы координат с мгновенным положением ведущего центра, а ось OZ направим вдоль вектора магнитной индукции. Как выясняется. вследствие неоднородности магнитного поля наряду с продольной составляющей Bz неизбежно будет существовать радиальная составляющая (в цилиндрической системе координат), благодаря которой частица, описывающая окружность около ведущего центра, будет испытывать силу, пропорциональную и направленную вдоль оси OZ.

Для вычисления этой силы воспользуемся уравнением Максвелла , которое в указанной выше цилиндрической системе координат выглядит следующим образом:

    .   (108)

На следующем этапе мы будем интересоваться только сглаженным движением ведущего центра, что достигается усреднением силы Лоренца за период вращения ( или за множество таких периодов). Получаемое в результате уравнение движения ведущего центра носит название приближения Альфвена, или приближения ведущего центра, или дрейфового приближения. Дрейфовое приближение применимо, если магнитное поле является достаточно сильным. Тогда движение частицы можно представить как суперпозицию трех видов движений:

1) быстрое движение по циклотронной окружности вокруг ведущего центра;

2) движение ведущего центра вдоль силовой линии магнитного поля;

3) медленное дрейфовое движение ведущего центра поперек магнитного поля.

При этом необходимо, чтобы характерная длина, на которой магнитное поле заметно изменяется, была много больше радиуса циклотронной орбиты частицы.

Процедура усреднения за период для некоторой величины A(,, z), аргументы которой берутся в точках траектории частицы, а потому являются функциями времени, определяется как

 , (109)

причем здесь учтено, что вследствие медленности изменения магнитного поля величину Т и циклотронную частоту можно считать постоянными. Из соотношения (108) вытекает, что

   .   (110)

Второе слагаемое в (110) дает нулевой вклад:

 .  (111)

Далее, имеет место соотношение

   ,    (112)

при выводе которого было принято, что магнитное поле слабо изменяется в пределах орбиты частицы, а потому медленно изменяющуюся функцию можно было вынести за знак интеграла. Последнее равенство в (112) обосновывается тем, что в интересующей нас области пространства компоненты и магнитного поля и их производные очень малы. Условием применимости соотношения (112) является неравенство

      .     (113)

Из (110) – (112) вытекает уравнение для величины

     ,    (114)

в котором величину можно считать практически не зависящей от . Это уравнение имеет очевидное решение

     .     (115)

Из (113) и (115) вытекает, что в пределах орбиты частицы, т.е. при , выполняется неравенство

     ,      (116)

что и ожидалось.

Как и в случае постоянного магнитного поля, разложим скорость частицы на составляющие и . Поскольку в рассматриваемой ситуации линии магнитной индукции сгущаются (или, наоборот, расходятся) не очень сильно, то их наклон к оси OZ достаточно мал. По этой причине проекция на ось OZ практически совпадает с . В итоге уравнение движения для продольной компоненты скорости (с учетом процедуры усреднения по периоду движения) записывается в виде

   .   (117)

Величина в (117) вычисляется в точке нахождения частицы, т.е. при . Подставляя соотношение (115) в (117), получим

  .   (118)

Умножая соотношение (112) на и учитывая, что , получим

    .     (119)

Здесь уместно напомнить, что , т.е. для стационарного поля, когда , . Из условия сохранения кинетической энергии в стационарном магнитном поле

     ,

вытекает, что

   .    (120)

Последний результат совпадает с соотношением (105), так что (120) снова подтверждает постоянство магнитного момента.

Итак, магнитный момент частицы остается постоянным при движении частицы в медленно изменяющемся либо в пространстве, либо во времени магнитном поле, что и означает адиабатическую инвариантность магнитного момента.

Рассчитаем магнитный поток через поверхность, опирающуюся на циклотронную орбиту частицы:

 .  (121)

Следовательно,

     ,     (122)

так что из инвариантности магнитного момента частицы вытекает инвариантность магнитного потока и наоборот. Инвариантность величины Фм означает, что частица движется по поверхности магнитной трубки, т.е. по поверхности, образованной линиями магнитной индукции.

14. Магнитные зеркала

Важное следствие адиабатической инвариантности величин и Фм заключается в следующем. Поскольку сохраняются как магнитный момент частицы, так и ее кинетическая энергия, то по мере вхождения частицы в область схождения магнитных силовых линий ее поперечная кинетическая энергия будет возрастать, а продольная – уменьшаться. Если возрастание индукции магнитного поля достаточно велико, то в результате торможения составляющая скорости обратится в нуль, а затем поменяет знак. После этого величина будет увеличиваться в направлении уменьшения магнитной индукции, а ее поперечная скорость будет уменьшаться. Таким образом, частицы отражаются от области сходящихся магнитных силовых линий. Это явление называется магнитным отражением, а область растущего магнитного поля – магнитным зеркалом или магнитной пробкой. Комбинация двух коаксиальных зеркал, расположенных напротив друг друга, называется магнитной бутылкой (рис. 5). Такую конфигурацию можно использовать для удержания плазмы: заряженные частицы будут попеременно отражаться то одним, то другим зеркалом и, следовательно, окажутся захваченными магнитной бутылкой. К сожалению, магнитные бутылки не являются идеальными устройствами для удержания плазмы.

Сформулируем условие удержания частицы. Пусть в начальной момент времени скорость частицы составляет с направлением вектора магнитной индукции угол . В некоторый другой момент времени скорость частицы, не изменившись по величине, будет образовывать угол с изменившимся вектором .

Рис. 5. Магнитная бутылка

Из условия сохранения магнитного момента частицы вытекает, что

    .     (123)

Отражение частицы произойдет в точке, где , т.е. магнитное поле имеет величину

     .     (124)

Если максимальное значение магнитного поля равно , то все частицы, для которых

     ,     (125)

будут отражаться. Помимо величины магнитная бутылка характеризуется величиной магнитного поля в ее центре и зеркальным отношением . Из формулы (125) видно, что все частицы, для скоростей которых начальный угол удовлетворяет соотношению , будут уходить из бутылки через края системы зеркал. В результате возникает конус потерь – конус скоростей с углом раствора, равным .

Для удержания плазмы рядом преимуществ обладает системы, у которых нет границ. Примером такой системы является тороидальный магнитный соленоид (рис. 6). Однако в этом случае возникает радиальная неоднородность поля и связанный с ней градиентный дрейф плазмы. Более совершенными являются конфигурации, в которых на тороидальное магнитное поле накладывается магнитное поле токов самой плазмы (как в токамаках) либо магнитное поле внешних винтовых проводников (как в стеллараторах) и т.д.

Рис. 6. Тороидальный магнитный соленоид

Однако и здесь проявляется основная проблема большинства схем удержания плазмы – возникновение неустойчивостей, приводящих к быстрой потере частиц из магнитной ловушки.

Примером природной магнитной ловушки является магнитосфера Земли. Заряженные частицы солнечного и космического происхождения, захваченные магнитным полем Земли, образуют так называемые радиационные пояса Ван-Аллена. Области вблизи магнитных полюсов, где магнитное поле увеличивается, являются магнитными зеркалами. Заряженные частицы двигаются по спиралям вдоль линий индукции в меридиональном направлении и отражаются вблизи одного из магнитных полюсов, меняя направление движения на обратное (рис. 7). Благодаря этому заряженные частицы длительное время удерживаются вблизи Земли, в результате чего и образуются радиационные пояса.

Рис. 7. Радиационные пояса Земли

15. Градиентный дрейф

Инвариантность магнитного момента заряженной частицы в слабо неоднородном пространстве в магнитном поле позволяет объяснить явление градиентного дрейфа, скорость которого направлена перпендикулярно силовым линиям магнитного поля.

Если рассматривать частицу, движущуюся по ларморовской окружности, как элементарный «магнитик» с магнитным моментом , то в условиях применимости дрейфового приближения (радиус ларморовской окружности много меньше характерной длины l поля, на которой происходит существенное изменение магнитного поля) частицу можно характеризовать магнитной энергией . В рассматриваемой ситуации вектор всегда направлен против вектора (диамагнетизм плазмы), так что . Последняя формула показывает, что Wм убывает с уменьшением индукции магнитного поля, а потому центр ларморовского кружка будет стремиться покинуть область сильного поля. Ответственной за это будет сила , определяемая известным соотношением

  .   (126)

Вследствие слабой неоднородности магнитного поля силу в небольших областях пространства (R << l << lполя , где l – характерный размер такой области) можно считать практически постоянной. Это означает, что скорость градиентного дрейфа определяется формулой

  .   (127)

Из формулы (127) вытекают следующие следствия:

а) скорость градиентного дрейфа перпендикулярна как силовым линиям магнитного поля, так и градиенту поля;

б) направление градиентного дрейфа зависит от знака заряда, так что электроны и положительно заряженные ионы плазмы дрейфуют в противоположные стороны, т.е. возникает дрейфовый ток (рис. 8).

Рис. 8. Градиентный дрейф

Еще раз подчеркнем, что рассматриваемый дрейф представляет собой смещение ведущих центров, впрочем, мало отличающихся от смещений самих частиц, за счет сил, перпендикулярных магнитным силовым линиям.

ЛИТЕРАТУРА

  1.  Физическая энциклопедия / Под ред. А.М. Прохорова. Статьи: Плазма. Управляемый термоядерный синтез. Дрейф заряженных частиц. – М.: Советская энциклопедия, 1990.
  2.  Арцимович Л.А. Элементарная физика плазмы. – М.: Атомиздат, 1966.
  3.  Франк-Каменецкий Д.А. Лекции по физике плазмы. – М.: Атомиздат, 1968.
  4.  Арцимович Л.А. Управляемые термоядерные реакции. – М.: Физматгиз, 1961.
  5.  Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров И.Е. Основы физики плазмы. – М.: Атомиздат, 1977.
  6.  Роуз Д., Кларк М. Физика плазмы и управляемые термоядерные реакции. – М.: Госатомиздат, 1963.
  7.  Биттенкорт Ж.А. Основы физики плазмы. – М.: Физматлит, 2009.
  8.  Синельников К.Д., Руткевич Б.Н. Лекции по физике плазмы.  – Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1964.
  9.  Трубников Б.А. Введение в теорию плазмы. – М.: Московский инженерно-физический институт, 1969.
  10.  Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. – М.: Высшая школа, 1976.
  11.  Иродов И.Е. Задачи по общей физике. – М.: Наука, 1988.
  12.  Франк-Каменецкий Д.А. Плазма – четвертое состояние   вещества. – М.: Госатомиздат, 1968.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41961. Проектування засобів введення та редагування даних 334.34 KB
  Теоретична частина: Форма один з об'єктів баз даних. Форма це бланк що підлягає заповненню або маска що накладається на набір даних. Існують такі види екранних форм: стовпцева рядкова таблична вільна таблична діаграмна субформа.
41962. Розроблення форм вихідних документів 438.33 KB
  Вивчення послідовності та засобів розроблення вихідних документів в середовищі СУБД об'єктів звітів та їх властивостей виглядів звітів та застосування обчислюваних об'єктів. Можна скористатися майстром звітів і спроектувати звіт самостійно вручну використовуючи набір інструментів пропонованих конструктором звітів. Конструктор звітів це частина програми яка отримує на вхід потік даних і впорядковує їх у форму зручнішу для читання. Конструктор звітів надає такі можливості: групування записів за...
41963. Розроблення керуючого інтерфейсу інформаційної системи 307.76 KB
  Теоретична частина: Макрос це такий самий об'єкт як і інші об'єкти в ccess таблиці запити форми і звіти. На відміну від макросів в електронних таблицях макроси в ccess зазвичай використовуються не для дублювання окремих натискань клавіш або руху миші а виконують певні завдання користувача наприклад відкривають форму або запускають звіт. ccess дає змогу вибрати і виконати за допомогою макросів 48 макрокоманд. Наприклад можна створити макрос який буде відкривати форму копіювати певне значення в інший елемент керування...
41964. Написать программу на языке C++, моделирующую поведение курицы (Hen) путём создания соответствующего класса 14.17 KB
  Листинг программы: include iostrem include cstring include cmth include cstdlib using nmespce std; clss Chickhen { privte: chr nme; double w h f; Кормление урожай норма кормления sttic int e; норма яйценосности public: Chickhenvoid; Chickhenchr double; Chickhenconst Chickhen ; virtul Chickhen; double hrvest; double feeddouble; }; int Chickhen::e=10; Chickhen::Chickhen { w=0; h=0; f=0; nme=new chr[7]; strcpy nme nonme ; } Chickhen::Chickhen chrndouble F { nme=new chr[strlenn1]; strcpynmen; f=F; h=0; w=0;...
41968. Дослідження стійкості ланки другого порядку 114.05 KB
  Для лінійних систем автоматичного керування, які описуються характеристичним рівнянням виду a0pn+a1pn-1+…+an-1p+an=0 стійкість не залежить від величини і вигляду збурення і визначається коренями характеристичного рівняння, яке залежить від параметрів системи Для зручності зафіксуємо L C та змінюватимемо R withinttrns; urovnenie:=TTpp2xiTp1; h:=k p urovnenie; l:=invlplcehpt; sol:=solveurovneniep: sol[1];sol[2]; Аперіодичний процес Вибираємо L=50мГн.05;C:=2010^6;R:=250;T:=sqrtLC;xi:=RsqrtC L 2;k:=1;p1:=sol[1];p2:=sol[2];задання параметрів для даного виду процесу l:=invlplcehpt;розрахунок зворотнього перетворення Лапласа plotlt=0.05;C:=2010^6;R:=100;T:=sqrtLC;xi:=RsqrtC L 2;k:=1;p1:=sol[1];p2:=sol[2]; l:=invlplcehpt:...
41969. ДОСЛIДЖЕННЯ ВЕКТОРНИХ ПЛОТТЕРІВ 78.68 KB
  Все рассматриваемые здесь команды находятся в основной части языка HPGL 2. Первыми идут команды ини рйализации для установки размера изображения и другие параметры после них следуют команды для прорисовки линий фигур и трок символов а также одна или две команды для завершения процесса. Некоторые команды имеющие числовые аргументы требуют целых значений в то время как другие команды допускают наличие чисел с десятичной точкой. Некоторые команды передают результаты обратно хосткомпьютеру: например 01 сообщает идентификацию модели...