2518

Определение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника

Лабораторная работа

Физика

Большинство косвенных методов измерения ускорения силы тяжести g основано на использовании известной формулы для: периода Т колебаний физического маятника. Измерение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника.

Русский

2013-01-06

307 KB

54 чел.

Дата       Фамилия       Группа

 

Лабораторная работа №41

I.Название работы:

Определение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника

Цель работы

Измерение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника

II.Краткое теоретическое обоснование:

Механические колебания

Большинство косвенных методов измерения ускорения силы тяжести g основано на использовании известной формулы для: периода Т колебаний физического маятника.

Здесь Jмомент инерции маятника относительно оси качаний (точки подвеса); m − его масса; l − расстояние от оси качаний до центра 

тяжести. Измерение периода можно выполнить с большой точностью, чего обычно не удается сделать для величин J и l. Достоинством, рассматриваемого метода является возможность исключить, эти величины из расчетной формулы для g.

Оборотный маятник (рис. 1) состоит из стальной пластины, на которой укреплены две спорные призмы П1 и П2. Период колебаний маятника можно менять при помощи подвижных грузов и Г1 и Г2.

Допустим, что нам удалось найти такое положение грузов, при котором периоды колебаний маятника T1 и Т2 около призм П1 и П2 совпадают

Условием этого, очевидно, является равенство приведенных длин, т.е. равенство величин J1 / ml1 и J2 / ml2. По теореме Гюйгенса − Штейнера

J1 = J0 + ml12   ,   J2 = J0 + ml22                                                                                 (3)

где J0 − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр тяжести (и параллельно оси качаний). Исключая из (2) и (3) J0 и m, получим формулу для определения g.

Здесь l1 + l1 − расстояние между призмами П1 и П2, которое легко может быть, измерено с большой точностью.

Заметим, что формула (4) следует из формул (2) и (3) лишь при условии, что

l1l2                               (5)

так как при l1 = l2 равенства (2) и (3) удовлетворяются тождественно

Перед тем как начинать систематические измерения, полезно подумать о том, как следует выбрать условия опыта, чтобы точность измерения оказалась наибольшей. Чтобы ответить на этот вопрос, изучим прежде всего зависимость периода колебаний Т от расстояния l до оси качаний. Из формул (1) и (3) имеем.

Эта зависимость имеет: вид кривой, изображенной на рис.2. При t → 0 период Г стремится к бесконечности, как t1/2. При t → ∞ период T снова стремится к бесконечности, на этот раз как t0,5

При Т > Тmin одно и то же значение Т достигается при двух разных значениях l. Эти разные значения и должны быть найдены на опыте и использованы для вычисления g. Как становится очевидно из рассмотрения графика, при различных выборах Т значения l1 и l2 сближаются, или наоборот, удаляются друг от друга

Рассмотрим вопрос о том, как точность определения g зависит от разности l1l2.

При выводе формулы (4) мы полагали, что Т1 = Т2. В действительности точного равенства периодов добиться, конечно, невозможно. Пусть значения Т1 и Т2, которые кажутся нам равными, фактически отличаются на малую величину 2ΔТ, так что

Величина 2ΔТ определяет, таким образом, точность совпадения периодов. Используя формулу (6) вместо формулы (4), найдем

Здесь мы пренебрегли: квадратом величины ΔT. Разлагая последнее выражение в ряд, по степеням ΔТ и ограничиваясь линейными членами, получим

Для тех, кто незнаком с представлением функций при помощи степенных рядов, приводим элементарный вывод формулы (8).

Заметим, что (7) можно записать так:

Введем обозначение Выражение в скобках является суммой убывающей геометрической прогрессии

Так как при достаточно малых ΔT \ Т величина x будет мала и члены прогрессии быстро убывают с ростом степени x, то можно воспользоваться соотношением

что немедленно приводит к (7).

Выражение, вынесенное в уравнении (7) за скобку, совпадает с (4), а член, прибавляющийся к единице, определяет относительную ошибку измерения g.

Формула (8) определяет ошибку вычисления g, связанную с ошибкой измерения времени. Из формулы видно, что относительная ошибка Δg = g неограниченно возрастает, если разность l1l2 стремится к нулю, т.е. если Т → Тmin (см.рис 2). Условия опыта, таким образом, должны выбираться так, чтобы l1 и l2 

значительно отличались друг от друга. Измерения обычно обеспечивают хорошую точность, в определении g, если l1 / l2 > 1,5. Нетрудно, однако, показать, что разница l1 и l2 тоже не должна быть слишком большой. Допустим для определенности, что l1 > l2 (см. рис.2); l1 всегда меньше расстояния между призмами, так что при  больших l1 / l2 величина l2 всегда оказывается малой. Если при этом окажется, что Jo >>ml22, то период Т2 будет

и время, необходимое для измерения периода, может стать неприемлемо большим. Кроме того, при малых l2 возрастает роль затухания колебаний. Чтобы это показать, заметим, что период колебаний маятника не зависит от угловой амплитуды φ только в том едучае,когда φ << π /2. При выполнении последнего неравенства запас колебательной энергии W маятника можно представить в виде

Здесь учтено, что при φ << π /2 справедливо соотношение

Потери энергии при колебаниях определяются в основном силами трения между опорной призмой и подушкой, когорые практически не зависят от периода Поэтому потери ΔW энергии за период (при постоянном φ) можно считать постоянными и величина

по мере уменьшения l2 будет возрастать, как (l2)-1. Отсюда следуют два вывода:

  1.  С уменьшением l2 будут возрастать затухания колебаний, что приводит к снижению точности измерения периода.
  2.  Формула (1) получена в предположении, что ΔW = 0, поэтому ее можно использовать при условии выполнения неравенства

При выполнении данной работы желательно, чтобы величины W и ΔW отличались друг от друга не менее чем и три порядка, т.е. чтобы

Следует заметить, что ввести в (1) поправки, учитывающие затухание колебаний, не удается, так как законы трения в опорных призмах обычно

Предыдущие рассуждения показывают, что разница между l1 и l2 и не должна быть слишком значительной. Удовлетворительные результаты можно получить, если выбрать

III.Рабочие формулы и единицы измерения.

IV.Схема установки.

V.Измерительные приборы и принадлежности.

  •  Оборотный маятник

VI.Результаты измерения.

VII. Черновые записи и вычисления.

VIII. Основные выводы.

Измерили ускорение силы тяжести при помощи оборотного маятника


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12742. Основы теории конечных полей 53 KB
  Лабораторная работа 2 Основы теории конечных полей Цель работы Закрепить знания полученные на лекциях курса €œОсновы криптографии с открытым ключом€œ по разделу €œОсновы теории конечных полей€. Используемое программное обеспечение Для работы используется пр
12743. Исследование идеальной системы шифрования 26.5 KB
  Лабораторная работа 1 Исследование идеальной системы шифрования Цель работы Изучить идеальный шифр основанный на побитном сложении по модулю 2 сообщения и чисто случайно сгенерированного ключа. Используемое программное обеспечение Для работы используетс
12744. Криптоанализ блочного шифра тотальным перебором ключей 281 KB
  Описание лабораторной работы Криптоанализ блочного шифра тотальным перебором ключей Цель работы Целью данной работы является изучение структуры и основных свойств блочного шифра основанного на подстановочно перестановочной сети SubstitutionPermutation Network или SPN кр
12745. Линейный криптоанализ блочного шифра 217 KB
  Лабораторная работа 4 Линейный криптоанализ блочного шифра Цель работы Целью данной работы является изучение принципа линейного криптоанализа блочных шифров реализованных по схеме SPN. Задание 1. Произвести оценку линейности Sbox учебного шифра постр...
12746. Дифференциальный криптоанализ блочного шифра 203 KB
  Описание лабораторной работы Дифференциальный криптоанализ блочного шифра Цель работы Целью данной работы является изучение принципа дифференциального криптоанализа блочных шифров реализованных по схеме SPN. Задание 1. Произвести вычисления разностны...
12747. Представления и свойства булевых функций 25.5 KB
  Лабораторная работа 5 Представления и свойства булевых функций Цель работы Изучить формы представления булевых функций и способы нахождения их криптографических свойств. Используемое программное обеспечение Для работы используется программа pANF pPUA За...
12748. Изучение и исследование блокового шифра AES (Rijndael) 32.5 KB
  Лабораторная работа 5 Изучение и исследование блокового шифра AES Rijndael Цель работы Изучить преобразования выполняемые при шифровании и дешифровании сообщений в блоковом шифре AES а также исследовать некоторые его свойства . Используемое программное обеспечен...
12749. Исследование свойств линейного рекуррентного регистра (ЛРР) 168 KB
  Лабораторная работа 8 Исследование свойств линейного рекуррентного регистра ЛРР Цель работы Изучить способы задания ЛРР и свойства генерируемых им последовательностей. Используемое программное обеспечение Для работы используется программа LRR.EXE З...
12750. Криптоанализ потокового шифра на основе использования алгоритма Месси-Берлекэмпа 140 KB
  Лабораторная работа 9 Криптоанализ потокового шифра на основе использования алгоритма МессиБерлекэмпа Цель работы Изучить возможность криптоанализа потокового шифратора при помощи его замены эквивалентным линейным рекуррентным регистром ЛРР. ...