2518

Определение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника

Лабораторная работа

Физика

Большинство косвенных методов измерения ускорения силы тяжести g основано на использовании известной формулы для: периода Т колебаний физического маятника. Измерение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника.

Русский

2013-01-06

307 KB

55 чел.

Дата       Фамилия       Группа

 

Лабораторная работа №41

I.Название работы:

Определение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника

Цель работы

Измерение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника

II.Краткое теоретическое обоснование:

Механические колебания

Большинство косвенных методов измерения ускорения силы тяжести g основано на использовании известной формулы для: периода Т колебаний физического маятника.

Здесь Jмомент инерции маятника относительно оси качаний (точки подвеса); m − его масса; l − расстояние от оси качаний до центра 

тяжести. Измерение периода можно выполнить с большой точностью, чего обычно не удается сделать для величин J и l. Достоинством, рассматриваемого метода является возможность исключить, эти величины из расчетной формулы для g.

Оборотный маятник (рис. 1) состоит из стальной пластины, на которой укреплены две спорные призмы П1 и П2. Период колебаний маятника можно менять при помощи подвижных грузов и Г1 и Г2.

Допустим, что нам удалось найти такое положение грузов, при котором периоды колебаний маятника T1 и Т2 около призм П1 и П2 совпадают

Условием этого, очевидно, является равенство приведенных длин, т.е. равенство величин J1 / ml1 и J2 / ml2. По теореме Гюйгенса − Штейнера

J1 = J0 + ml12   ,   J2 = J0 + ml22                                                                                 (3)

где J0 − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр тяжести (и параллельно оси качаний). Исключая из (2) и (3) J0 и m, получим формулу для определения g.

Здесь l1 + l1 − расстояние между призмами П1 и П2, которое легко может быть, измерено с большой точностью.

Заметим, что формула (4) следует из формул (2) и (3) лишь при условии, что

l1l2                               (5)

так как при l1 = l2 равенства (2) и (3) удовлетворяются тождественно

Перед тем как начинать систематические измерения, полезно подумать о том, как следует выбрать условия опыта, чтобы точность измерения оказалась наибольшей. Чтобы ответить на этот вопрос, изучим прежде всего зависимость периода колебаний Т от расстояния l до оси качаний. Из формул (1) и (3) имеем.

Эта зависимость имеет: вид кривой, изображенной на рис.2. При t → 0 период Г стремится к бесконечности, как t1/2. При t → ∞ период T снова стремится к бесконечности, на этот раз как t0,5

При Т > Тmin одно и то же значение Т достигается при двух разных значениях l. Эти разные значения и должны быть найдены на опыте и использованы для вычисления g. Как становится очевидно из рассмотрения графика, при различных выборах Т значения l1 и l2 сближаются, или наоборот, удаляются друг от друга

Рассмотрим вопрос о том, как точность определения g зависит от разности l1l2.

При выводе формулы (4) мы полагали, что Т1 = Т2. В действительности точного равенства периодов добиться, конечно, невозможно. Пусть значения Т1 и Т2, которые кажутся нам равными, фактически отличаются на малую величину 2ΔТ, так что

Величина 2ΔТ определяет, таким образом, точность совпадения периодов. Используя формулу (6) вместо формулы (4), найдем

Здесь мы пренебрегли: квадратом величины ΔT. Разлагая последнее выражение в ряд, по степеням ΔТ и ограничиваясь линейными членами, получим

Для тех, кто незнаком с представлением функций при помощи степенных рядов, приводим элементарный вывод формулы (8).

Заметим, что (7) можно записать так:

Введем обозначение Выражение в скобках является суммой убывающей геометрической прогрессии

Так как при достаточно малых ΔT \ Т величина x будет мала и члены прогрессии быстро убывают с ростом степени x, то можно воспользоваться соотношением

что немедленно приводит к (7).

Выражение, вынесенное в уравнении (7) за скобку, совпадает с (4), а член, прибавляющийся к единице, определяет относительную ошибку измерения g.

Формула (8) определяет ошибку вычисления g, связанную с ошибкой измерения времени. Из формулы видно, что относительная ошибка Δg = g неограниченно возрастает, если разность l1l2 стремится к нулю, т.е. если Т → Тmin (см.рис 2). Условия опыта, таким образом, должны выбираться так, чтобы l1 и l2 

значительно отличались друг от друга. Измерения обычно обеспечивают хорошую точность, в определении g, если l1 / l2 > 1,5. Нетрудно, однако, показать, что разница l1 и l2 тоже не должна быть слишком большой. Допустим для определенности, что l1 > l2 (см. рис.2); l1 всегда меньше расстояния между призмами, так что при  больших l1 / l2 величина l2 всегда оказывается малой. Если при этом окажется, что Jo >>ml22, то период Т2 будет

и время, необходимое для измерения периода, может стать неприемлемо большим. Кроме того, при малых l2 возрастает роль затухания колебаний. Чтобы это показать, заметим, что период колебаний маятника не зависит от угловой амплитуды φ только в том едучае,когда φ << π /2. При выполнении последнего неравенства запас колебательной энергии W маятника можно представить в виде

Здесь учтено, что при φ << π /2 справедливо соотношение

Потери энергии при колебаниях определяются в основном силами трения между опорной призмой и подушкой, когорые практически не зависят от периода Поэтому потери ΔW энергии за период (при постоянном φ) можно считать постоянными и величина

по мере уменьшения l2 будет возрастать, как (l2)-1. Отсюда следуют два вывода:

  1.  С уменьшением l2 будут возрастать затухания колебаний, что приводит к снижению точности измерения периода.
  2.  Формула (1) получена в предположении, что ΔW = 0, поэтому ее можно использовать при условии выполнения неравенства

При выполнении данной работы желательно, чтобы величины W и ΔW отличались друг от друга не менее чем и три порядка, т.е. чтобы

Следует заметить, что ввести в (1) поправки, учитывающие затухание колебаний, не удается, так как законы трения в опорных призмах обычно

Предыдущие рассуждения показывают, что разница между l1 и l2 и не должна быть слишком значительной. Удовлетворительные результаты можно получить, если выбрать

III.Рабочие формулы и единицы измерения.

IV.Схема установки.

V.Измерительные приборы и принадлежности.

  •  Оборотный маятник

VI.Результаты измерения.

VII. Черновые записи и вычисления.

VIII. Основные выводы.

Измерили ускорение силы тяжести при помощи оборотного маятника


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9840. Специфика формирования единого российского государства 14-17 века роль русской православной церкви в объединении Руси 30.44 KB
  Специфика формирования единого российского государства 14-17 века роль русской православной церкви в объединении Руси. Образование Русского централизованного государства плело значительные особенности по сравнению с аналогичными совпавшими по времен...
9841. Февраль 1917 года и альтернативы развития России. Большевицкие этапы революции 33.95 KB
  Февраль 1917 года и альтернативы развития России. Большевицкие этапы революции. Революцию организационно, технически не готовила ни одна партия или организация. Но она пришла во всем своем величии. Быстрая победа была неожиданной, ошеломляющей даже ...
9842. Сословная система российского общества 15-17 века 27.82 KB
  Сословная система российского общества 15-17 века. Процесс завершения образования Российского государства хронологически совпадает с образованием западноевропейских стран и приходится на время правления Ивана III (1462-1505) и Василия III (1505-1533...
9843. СССР в годы Великой отечественной войны этапы войны, решающие битвы, экономика и общество. Итоги и цены победы 43.78 KB
  СССР в годы Великой отечественной войны этапы войны, решающие битвы, экономика и общество. Итоги и цены победы. 22 июня 1941 г. Германия напала на Советский Союз без объявления войны, вместе с ней в войну вступили ее союзники: Италия, Румыния, Болга...
9844. Правление Ивана грозного: от централизации к феодальной диктатуре 37.3 KB
  Правление Ивана грозного: от централизации к феодальной диктатуре. Борьба за достижение основных стратегических целей в области внутренней и внешней политики, определившихся на рубеже XV-XVI веков, продолжалась в XVI столетии. Это столетие неразрывн...
9845. СССР в 1945-1953 гг. трудности послевоенного переустройства, ужесточение политического режима 26.22 KB
  СССР в 1945-1953 гг. трудности послевоенного переустройства, ужесточение политического режима. Война принесла огромные человеческие и материальные потери. В 1939-1945 гг. мир потерял от 55 до 75 млн. человек, т.е. в 5-7 раз больше, чем в Первую миро...
9846. Смутное время: кризис государства и общества в России в начале 17 века 33.63 KB
  Смутное время: кризис государства и общества в России в начале 17 века. XVII век является одной из наиболее сложных эпох Русской истории. Начало века - это Смутное время, которое до основания потрясло Российское государство и чуть было не привело ег...
9847. Реформы 1953-1964 гг.: первые попытки либерализации советской системы 37.18 KB
  Реформы 1953-1964 гг.: первые попытки либерализации советской системы. В сентябре 1953 г. Н.С. Хрущев был избран Первым секретарем ЦК КПСС. По какому пути могла пойти страна при новом лидере? Ответ на данный вопрос надо искать в соотношении сил в вы...
9848. Россия в новое время: складывание абсолютизма во второй половине 17 века 26.98 KB
  Россия в новое время: складывание абсолютизма во второй половине 17 века В XVII веке, начиная с Михаила Федоровича Романова (1613-1645), самодержавие активно лавировало между группировками господствующего класса, укрепляя трон и централизацию управл...