2529

Изучение вынужденных колебании в электрическом контуре

Лабораторная работа

Физика

Вынужденными называются колебания, в процессе которых система подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию. В конкретном случае электрического колебательного контура это означает, подключение к контуру внешней электродвижущей силы ε периодически изменяющейся со временем и создающей в контуре переменное электрическое напряжение.

Русский

2013-01-06

92.66 KB

68 чел.

Лабораторная работа № 12

Изучение вынужденных колебании в электрическом контуре

Цель работы: изучение вынужденных колебаний в электрическом контуре и определение параметров контура.

1. Теория

Вынужденными называются колебания, в процессе которых система подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию. В конкретном случае электрического колебательного контура это означает, подключение к контуру внешней электродвижущей силы ε периодически изменяющейся со временем и создающей в контуре переменное электрическое напряжение (рис.1). Следовательно, уравнение Кирхгофа (закон Ома для неоднородного участка цепи) с учетом внешней ЭДС ε и ЭДС самоиндукции  имеет вид (см. лаб. работу 12а):

(1)

гдеток, напряжение , q - заряд на обкладках конденсатора, t - время, С - емкость конденсатора, R. - сопротивление, L - индуктивность контура. Разделив (1) на L, получаем:

  (2) С учетом обозначений  собственная частота колебаний перепишем (2) в виде:

 (3)

Рассмотрим колебательный процесс в контуре, к которому подключена внешняя ЭДС , зависящая от времени по гармоническому закону:

 (4)

на основе решения полного уравнения (3) с учетом (4). Частное решение этого уравнения имеет вид

      (5)

где

;

Общее решение (3) получится, если к данному частному решению прибавить общее решение соответствующего однородного уравнения (т.е. уравнения (3) с нулевой правой частью). Это решение получено в лабораторной работе N 12а и содержит экспоненциальный множитель , поэтому с течением времени это слагаемое становится очень малым и им можно пренебречь. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (5). Напряжение на конденсаторе  равно

 (6)

т.е. вынужденные колебания происходят с частотой равной частоте внешней ЭДС, а амплитуда колебаний зависит от этой частоты. Резонансная частота wpqдля заряда q и напряжения на конденсаторе U ( wpu ) находится из минимум* выражения, стоящего под корнем в знаменателе для qm и равна:

  (7)

Резонансные кривые для U изображены на рис 2а. При W→0 кривые сходятся в одной точке с ординатой Um , равной напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения Um . Макcимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше , т. е. Чем меньше активное сопротивление R и больше индуктивность L контура.

Собственно резонансом называется резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении частоты внешнего генератора с собственной частотой колебаний в контуре.

График зависимости амплитуды колебаний от частоты внешней ЭДС называют резонансной кривой. Пик на резонансной кривой, соответствующий частоте wp , указывает на наступление резонанса. Величина активного сопротивления контура К. определяет максимальное значение тока в контуре при наступлении резонанса. На графике это проявляется в изменении высоты и остроты "пика" на резонансной кривой. Конкретный вид резонансной кривой, т. е. зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней ЭДО, определяет как быстро в контуре происходит затухание колебаний, имеющих частоту, отличающуюся от резонансной. Сила тока в контуре при установившихся колебаниях равна      (8) где - амплитуда тока, а

выражение - называется полным электрическим сопротивлением или импедансом. Максимальное значение амплитуды тока достигается при условии. Следовательно, резонансная частота для силы тока wpi совпадает с собственной частотой контура w0:

 (9)

Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси Im , равен нулю (при w, Im=Ο ), поскольку при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может. Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 26. Чем уме резонансная кривая, тем выше избирательность колебательного контура, т. е. способность контура выделить определенную частоту из многих сигналов различной частоты. Избирательность контура принято характеризовать полосой пропускания. Под полосой пропускания контура понимает ширину резонансной кривой, выраженную в Герцах и определенную по уровню 0,7 от максимальной амплитуды колебаний (см. рис.2). Следует отметить, что добротность контура может быть определена по виду резонансной кривой по формуле:

 (10)

где wр - резонансная частота, 2Δω - полоса пропускания контура.

2. Задания и порядок выполнения работы.

1. Изучить теорию работы, разобраться в устройстве лабораторного стенда и методике измерений.

2. Генератор ГЗ-106 подключить к лабораторному стенду, включить и настроить на частоту выходного сигнала 10 кГц с амплитудой примерно 1 В.

3. Изменяя емкость переменного конденсатора колебательного контура , добиться резонанса в контуре (наблюдая на осциллографе резонанс напряжений в . контуре). При этом собственная частота колебаний в контуре окажется равной частоте внешнего сигнала, т. е. 10 кГц.

4. Изменяя частоту генератора ГЗ-106 в диапазоне от 5 до 15 кГц, снять резонансные кривые для исследуемого контура при различных значениях активного сопротивления R.

6. С помощью осциллографа намерить амплитудные значения напряжений в контуре при резонансе. Вычислить индуктивность контура из формулы Томсона , взяв емкость конденсатора по шкале стенда и учитывая, что где - собственная частота контура.

6. Построить на графике резонансные кривые и определить по ним полосу пропускания контура в различных режимах. Рассчитать добротность контура по формуле

7. Рассчитать волновое сопротивление контура по формуле

Лабораторная работа № 12а

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение свободных колебаний в электрическом контуре и определение параметров контура.

Колебаниями называются процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени. Свойством повторяемости обладают, например, качания маятника, колебания струны или ножек камертона, изменение напряжения на обкладках конденсатора в колебательном контуре и т. д. Одним ив основных параметров колебательного процесса является его период Т, т. е. время, спустя которое система возвращается в исходное состояние. Другим важным параметром колебательного процесса является частота колебаний, т. е. количество колебаний, совершаемых в единицу времени. Частоту колебаний обычно обозначают греческой буквой ν и очевидно, что частота ν связана с периодом Т соотношением:

   (1)  

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после выведения ее из состояния равновесия.

1. Электрический колебательный контур

Рассмотрим колебательный контур, представляющий собой электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора С, катушки индуктивности L и проводника с омическим сопротивлением R (рис. 1). Ток, текущий в колебательном контуре, считается квазистационарным, когда мгновенные значения тока практически одинаковы на всех участках проводов, а изменения силы тока во времени происходят достаточно медленно, чтобы распространение электродинамических взаимодействий в цепи можно было считать мгновенным. Для мгновенных значений параметров квазистационарных токов справедливы закон Ома, правила Кирхгофа и т. д., установленные для цепей постоянного тока. Обозначим через С- заряд на обкладках конденсатора в данный момент времени, Ή - разность потенциалов на его пластинах, где С - емкость конденсатора. Условимся считать положительным ток I .заряжающий конденсатор, тогда t - время. Воспользуемся 2-ым законом Кирхгофа ( законом Ома для неоднородного участка цепи ), согласно которому сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна сумме имеющихся в контуре ЭДС. В рассматриваемом контуре действует ЭДС . самоиндукции возникающая в катушке индуктивности при изменении силы тока. Следовательно, уравнение Кирхгофа для колебательного контура имеет вид:

   (2)

или с учетом того, что  и разделив (2) на L, получим:

 (3)

Это уравнение позволяет описать динамику изменения заряда конденсатора в рассматриваемом контуре в отсутствие внешней ЭДС.

Свободные колебания в контуре без омического сопротивления

Свободные колебания, которые имеют место при отсутствии внешней ЭДС . , в идеальном контуре без

         

      (4)

омического сопротивления при R. -О, описываются уравнением, следующим из (3) при R - О:

где введено обозначение . Пусть в начальный момент времени t = О конденсатор заряжён до некоторой разности потенциалов Um (при заряде на пластинах qm),а ток в цепи отсутствует. Далee емкость начинает разряжаться и в контуре начинает течь ток. Энергия электрического поля в конденсаторе начинает уменьшаться, но возникает всё возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. В момент, когда напряжение на конденсаторе и энергия электрического поля обращаются в ноль, ток и энергия магнитного поля достигают наибольшего значения. Начиная о этого момента ток уменьшается и течет за счет ЭДС самоиндукции. Когда заряды на обкладках конденсатора достигнут первоначального значения qm , но с противоположными знаками, сила тока станет равной нулю. Затем те же процессы протекают в обратном направлении, после чего система приходит в исходное состояние и весь цикл повторяется снова и снова, представляя собой электрические колебания.

Решением уравнения (4) является функция

(5)

В этом можно убедиться путем подстановки ее в уравнение (4). Отсюда следует, что введенная нами величина w0 представляет собой собственную круговую (циклическую) частоту колебаний. Соответственно для U и I получаем:

 

(6)

 

где - максимальные значения напряжения и тока, α - начальная фаза колебаний. Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой w0 . Для периода колебаний Т ,по истечении которого значения изменяющейся величины периодически повторяются, т. е W0t=2π (см. (6)),· получаем формулу Томсона:

             (7)

При этом частота колебаний. Сила тока опережает по фазe напряжение и заряд на конденсаторе на ,т.е. в момент времени, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение на конденсаторе обращаются в нуль, и наоборот. Когда конденсатор заряжен до максимальной разности потенциалов, в его электрическом поле содержится энергия, а ток отсутствует. В момент времени, когда разность потенциалов и энергия электрического поля между обкладками конденсатора равны нулю, ток в контуре максимален и в магнитном поле катушки индуктивности запасена энергия . Колебания в контуре сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей, при этой в идеальном контуре выполняется закон сохранения энергии:

(8)

и процесс электрических колебаний продолжался бы бесконечно. Под волновым сопротивлением ρ контура понимают индуктивное XL и ёмкостное Χς сопротивления контура току свободных колебаний, которые равны между собой:

3. Свободные затухающие колебания в контуре с омическим сопротивлением

Всякий реальный колебательный контур обладает активным (омическим, т. е. с пренебрежимо малыми индуктивностью и емкостью) сопротивлением R . В отсутствие внешней ЭДС (ε =О) энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на его нагревание в соответствии с законом Джоуля-Ленца, вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение, описывающее свободные (ε =О) затухающие колебания в контуре с омическим сопротивлением R≠ О получается из (3) и имеет вид:

(9)

где . Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний. При условии , т. е.. _ решение (9) имеет вид:

(10)

где - частота затухающих колебаний, которая меньше собственной частоты контура w0 Для напряжения на конденсаторе имеем

,

а продифференцировав q по времени, можно получить выражение для зависимости силы тока от времени, причем оказывается, что при наличии активного сопротивления сила тока I опережает по фазе напряжение на конденсаторе И более чем на . Период колебаний Т равен:

 (11)

За время ' амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,71..раз. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления, также имеет место колебательный процесс, однако частота колебаний отличается от частоты свободных колебаний и амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону. График изменения заряда со временем в этом случае изображен на рис. 2 . Графики для напряжения и

силы тока имеют аналогичный вид. Следует отметить, что решение (10) не является строго периодической функцией, т, к. q(t)≠q(t+T) Говорить о периоде этой функции можно лишь в том смысле, что она принимает нулевые значения через равные промежутки времени. Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется параметром β , характеризующим соотношение активного сопротивления контура и его индуктивности. На практике, же обычно пользуются другими понятиями, связанными с β логарифмическим декрементом затухания λ и добротностью контура Q .

Логарифмическим декрементом затухания называют натуральный логарифм отношения величины заряда при n-ом колебании к величине q-при n+1- ом колебания:

 (12)

Логарифмический декремент затухания связан с числом полных колебаний N , совершаемых pа время Т, зависимостью:

Добротность контура Q определяется через логарифмический декремент затухания Λ следующим образом:

 (13)

Иэ данных определений видно, что чем меньше логарифмический декремент затухания, тем выше добротность контура и тем дольше продолжается в таком контуре -колебательный процесс при однократном его возбуждении. При выполнении условия w02-β2=0 решение (9) для заряда q имеет вид

 (14)

где а.b- постоянные интегрирования. При любых a и b (см. рис. 3)

величина q- асимптотически приближается к нулю, когда t→∞. В этом случае процесс не будет колебательным, т. в. является апериодическим ( рис, 3 ). Сопротивление R.*p ,при котором колебательный процесс в контуре переходит в апериодический, называется критическим и определяется из условия w02-β2=0, откуда При R>Rkp, w02<β2 апериодический характер процессов в колебательном конту ре сохраняется. 

4. Задания и порядок выполнения работы

1. Изучите электрическую схему лабораторной установки. Включите лабораторный стенд и получите на экране осциллографа устойчивую картину затухающих колебаний (рис. 2). "

2. Измерьте в делениях сетки осциллографа период затухающих колебаний T1 и расстояние ме.жду соседними импульсами tn (см. рис.2). Рассчитайте период затухающих колебании в секундах по формуле где F - частота звукового генератора. Запишите данные таблицу (примерный вид таблицы приведен ниже).

3. Игмерьте в делениях сетки осциллографа амплитуды А1, А2, А3 , затухающих колебаний я запишите результаты измерений в таблицу. рассчитайте логарифмические декременты затухания λ i и λ2, найдите среднее значение λ и запишите его в таблицу. Используя значения Т и λ рассчитайте коэффициент затухания β и занесите его в таблицу.

4. Пункты 2 и 3 выполняются при двух значениях R1 и R2 сопротивления контура. Зарисовать наблюдаемые на осциллографе кривые.

5. Подобрать значение сопротивления контура, при котором наступает апериодический разряд конденсатора. Зарисовать получаемую кривую.

Таблица

Т

A1

A2

A3

λ

β

R1

R2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24059. Регуляция обмена белков 44.5 KB
  В регуляции обмена белков принимают участие СТГ инсулин тиреидные гормоны половые гормоны кортикостероиды. Главная роль в регуляции обмена белков принадлежит СТГ. Этапы действия СТГ. Эффекты вызываемые СТГ во времени можно разделить на 3 группы: Ранние эффекты – 2 ч.
24060. Регуляция водно-солевого обмена 59 KB
  Осморецепторы гипоталамуса при повышении осмотического давления тканевой жидкости стимулируют освобождение АДГ из секреторных гранул. АДГ увеличивает скорость реабсорбции воды из первичной мочи и тем самым уменьшает диурез. Так АДГ сохраняет необходимый объем жидкости в организме не влияя на количество выделяемого NaCl. ликвидируется стимул который вызвал выделение АДГ.
24061. Гормональная регуляция обмена кальция 35.5 KB
  Стимуляция свертывания крови. Концентрация Са в крови стабильна ее колебания не превышают 3. В плазме крови содержится 24 – 4 ммоль л 911 мг кальция. Паратгормон обладает гиперкальциемическим действием и одновременно снижает концентрацию фосфатов в крови.
24062. Витамины. Этапы нарушений обмена витаминов 81.5 KB
  Витамины не синтезируются в организме или синтезируются в таких количествах которые не достаточны для выполнения функций и поэтому должны поступать в составе пищевых продуктов при резкой недостаточности витаминов в организме развивается характерный симптомокомплекс. Функции витаминов. Нарушение функций витаминов: Нарушение обмена витаминов может быть связано с нарушением всасывания витаминов или их транспорта с кровью. Нарушение образования активной формы кофермента или нарушение синтеза апофермента может привести к нарушению функций...
24063. Тиамин – В1 113.5 KB
  Патология: При недостаточности тиамина наблюдается неврологическое заболевание берибери я не могу. Для берибери характерны мышечная слабость истощение плохая координация периферический неврит спутанность сознания снижение частоты сердечных сокращений и увеличение размеров сердца. Биохимическая диагностика берибери свидетельствует о повышении концентрации пирувата что свидетельствует об участии ТПФ в качестве кофермента в пируватдегидрогеназном комплексе.
24064. Витамин В5(РР) 68.5 KB
  Никотиновая кислота синтезируется из триптофана через кинуренин и оксихинолиновую кислоту. окислении SH2 НАД НАДНН ФАД ФАДН2 КоQ КоQН2 цит b цит с цит а цит а3 О2 Никотинамид синтезируется из триптофана Триптофан кинурениназа Кинуреновая кислота В6 Кинуренин 1 В6 Антраниловая кислота 2 Ксантуреновая кислота Оксикинуренин Оксиантраниловая кислота Никотинамид Хинолиновая кислота Патология обмена витамина В5.
24065. Витамин В2 – рибофлавин 41 KB
  ФАД – участвует в следующих реакциях: Окислительное декарбоксилирование пирувата – входит в состав пируватдегидрогеназного комплекса: СН3СОСООН СН3СОSКоА Окислительное декарбоксилирование кетоглутарата – входит в состав кетоглутаратдегидрогеназного комплекса: НООССН2СН2СОСООН НООССН2СН2СОSКоА В окислении сукцината при СДГ В окислении жирных кислот в митохондриях: RСН2СН2СОSКоА RСН=СНСОSКоА Участие в работе дыхательной цепи Недостаточность рибофлавина проявляется в снижении содержания коферментных форм в тканях. КоА участвует...
24066. Витамин В6 99 KB
  Триптофан кинурениназа Кинуреновая кислота В6 Кинуренин 1 В6 Антраниловая кислота 2 Ксантуреновая кислота Оксикинуренин Оксиантраниловая кислота Никотинамид Хинолиновая кислота В6 входит в состав кинурениназы которая обеспечивает превращение кинуренина в антраниловую и оксикинуринина в оксиантраниловую кислоту реакция 2.
24067. Обмен витамина Н (биотин) 43 KB
  Карбоксилирование ацетилКоА с образованием малонилКоА СН3СОSКоА НООССН2СОSКоА Подготовительным этапом биосинтеза жирных кислот. Карбоксилирование пропионилКоА с образованием метилмалонилКоА: СН3СН2СОSКоА НООССНСН3СОSКоА 4. В основе – дефект метилкротонилКоАкарбоксилазы. ПропионилКоА образуется при расщеплении изолейцина метионина треонина жирных кислот с нечетным числом атомов углерода.