2529

Изучение вынужденных колебании в электрическом контуре

Лабораторная работа

Физика

Вынужденными называются колебания, в процессе которых система подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию. В конкретном случае электрического колебательного контура это означает, подключение к контуру внешней электродвижущей силы ε периодически изменяющейся со временем и создающей в контуре переменное электрическое напряжение.

Русский

2013-01-06

92.66 KB

72 чел.

Лабораторная работа № 12

Изучение вынужденных колебании в электрическом контуре

Цель работы: изучение вынужденных колебаний в электрическом контуре и определение параметров контура.

1. Теория

Вынужденными называются колебания, в процессе которых система подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию. В конкретном случае электрического колебательного контура это означает, подключение к контуру внешней электродвижущей силы ε периодически изменяющейся со временем и создающей в контуре переменное электрическое напряжение (рис.1). Следовательно, уравнение Кирхгофа (закон Ома для неоднородного участка цепи) с учетом внешней ЭДС ε и ЭДС самоиндукции  имеет вид (см. лаб. работу 12а):

(1)

гдеток, напряжение , q - заряд на обкладках конденсатора, t - время, С - емкость конденсатора, R. - сопротивление, L - индуктивность контура. Разделив (1) на L, получаем:

  (2) С учетом обозначений  собственная частота колебаний перепишем (2) в виде:

 (3)

Рассмотрим колебательный процесс в контуре, к которому подключена внешняя ЭДС , зависящая от времени по гармоническому закону:

 (4)

на основе решения полного уравнения (3) с учетом (4). Частное решение этого уравнения имеет вид

      (5)

где

;

Общее решение (3) получится, если к данному частному решению прибавить общее решение соответствующего однородного уравнения (т.е. уравнения (3) с нулевой правой частью). Это решение получено в лабораторной работе N 12а и содержит экспоненциальный множитель , поэтому с течением времени это слагаемое становится очень малым и им можно пренебречь. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (5). Напряжение на конденсаторе  равно

 (6)

т.е. вынужденные колебания происходят с частотой равной частоте внешней ЭДС, а амплитуда колебаний зависит от этой частоты. Резонансная частота wpqдля заряда q и напряжения на конденсаторе U ( wpu ) находится из минимум* выражения, стоящего под корнем в знаменателе для qm и равна:

  (7)

Резонансные кривые для U изображены на рис 2а. При W→0 кривые сходятся в одной точке с ординатой Um , равной напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения Um . Макcимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше , т. е. Чем меньше активное сопротивление R и больше индуктивность L контура.

Собственно резонансом называется резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении частоты внешнего генератора с собственной частотой колебаний в контуре.

График зависимости амплитуды колебаний от частоты внешней ЭДС называют резонансной кривой. Пик на резонансной кривой, соответствующий частоте wp , указывает на наступление резонанса. Величина активного сопротивления контура К. определяет максимальное значение тока в контуре при наступлении резонанса. На графике это проявляется в изменении высоты и остроты "пика" на резонансной кривой. Конкретный вид резонансной кривой, т. е. зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней ЭДО, определяет как быстро в контуре происходит затухание колебаний, имеющих частоту, отличающуюся от резонансной. Сила тока в контуре при установившихся колебаниях равна      (8) где - амплитуда тока, а

выражение - называется полным электрическим сопротивлением или импедансом. Максимальное значение амплитуды тока достигается при условии. Следовательно, резонансная частота для силы тока wpi совпадает с собственной частотой контура w0:

 (9)

Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси Im , равен нулю (при w, Im=Ο ), поскольку при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может. Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 26. Чем уме резонансная кривая, тем выше избирательность колебательного контура, т. е. способность контура выделить определенную частоту из многих сигналов различной частоты. Избирательность контура принято характеризовать полосой пропускания. Под полосой пропускания контура понимает ширину резонансной кривой, выраженную в Герцах и определенную по уровню 0,7 от максимальной амплитуды колебаний (см. рис.2). Следует отметить, что добротность контура может быть определена по виду резонансной кривой по формуле:

 (10)

где wр - резонансная частота, 2Δω - полоса пропускания контура.

2. Задания и порядок выполнения работы.

1. Изучить теорию работы, разобраться в устройстве лабораторного стенда и методике измерений.

2. Генератор ГЗ-106 подключить к лабораторному стенду, включить и настроить на частоту выходного сигнала 10 кГц с амплитудой примерно 1 В.

3. Изменяя емкость переменного конденсатора колебательного контура , добиться резонанса в контуре (наблюдая на осциллографе резонанс напряжений в . контуре). При этом собственная частота колебаний в контуре окажется равной частоте внешнего сигнала, т. е. 10 кГц.

4. Изменяя частоту генератора ГЗ-106 в диапазоне от 5 до 15 кГц, снять резонансные кривые для исследуемого контура при различных значениях активного сопротивления R.

6. С помощью осциллографа намерить амплитудные значения напряжений в контуре при резонансе. Вычислить индуктивность контура из формулы Томсона , взяв емкость конденсатора по шкале стенда и учитывая, что где - собственная частота контура.

6. Построить на графике резонансные кривые и определить по ним полосу пропускания контура в различных режимах. Рассчитать добротность контура по формуле

7. Рассчитать волновое сопротивление контура по формуле

Лабораторная работа № 12а

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение свободных колебаний в электрическом контуре и определение параметров контура.

Колебаниями называются процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени. Свойством повторяемости обладают, например, качания маятника, колебания струны или ножек камертона, изменение напряжения на обкладках конденсатора в колебательном контуре и т. д. Одним ив основных параметров колебательного процесса является его период Т, т. е. время, спустя которое система возвращается в исходное состояние. Другим важным параметром колебательного процесса является частота колебаний, т. е. количество колебаний, совершаемых в единицу времени. Частоту колебаний обычно обозначают греческой буквой ν и очевидно, что частота ν связана с периодом Т соотношением:

   (1)  

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после выведения ее из состояния равновесия.

1. Электрический колебательный контур

Рассмотрим колебательный контур, представляющий собой электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора С, катушки индуктивности L и проводника с омическим сопротивлением R (рис. 1). Ток, текущий в колебательном контуре, считается квазистационарным, когда мгновенные значения тока практически одинаковы на всех участках проводов, а изменения силы тока во времени происходят достаточно медленно, чтобы распространение электродинамических взаимодействий в цепи можно было считать мгновенным. Для мгновенных значений параметров квазистационарных токов справедливы закон Ома, правила Кирхгофа и т. д., установленные для цепей постоянного тока. Обозначим через С- заряд на обкладках конденсатора в данный момент времени, Ή - разность потенциалов на его пластинах, где С - емкость конденсатора. Условимся считать положительным ток I .заряжающий конденсатор, тогда t - время. Воспользуемся 2-ым законом Кирхгофа ( законом Ома для неоднородного участка цепи ), согласно которому сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна сумме имеющихся в контуре ЭДС. В рассматриваемом контуре действует ЭДС . самоиндукции возникающая в катушке индуктивности при изменении силы тока. Следовательно, уравнение Кирхгофа для колебательного контура имеет вид:

   (2)

или с учетом того, что  и разделив (2) на L, получим:

 (3)

Это уравнение позволяет описать динамику изменения заряда конденсатора в рассматриваемом контуре в отсутствие внешней ЭДС.

Свободные колебания в контуре без омического сопротивления

Свободные колебания, которые имеют место при отсутствии внешней ЭДС . , в идеальном контуре без

         

      (4)

омического сопротивления при R. -О, описываются уравнением, следующим из (3) при R - О:

где введено обозначение . Пусть в начальный момент времени t = О конденсатор заряжён до некоторой разности потенциалов Um (при заряде на пластинах qm),а ток в цепи отсутствует. Далee емкость начинает разряжаться и в контуре начинает течь ток. Энергия электрического поля в конденсаторе начинает уменьшаться, но возникает всё возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. В момент, когда напряжение на конденсаторе и энергия электрического поля обращаются в ноль, ток и энергия магнитного поля достигают наибольшего значения. Начиная о этого момента ток уменьшается и течет за счет ЭДС самоиндукции. Когда заряды на обкладках конденсатора достигнут первоначального значения qm , но с противоположными знаками, сила тока станет равной нулю. Затем те же процессы протекают в обратном направлении, после чего система приходит в исходное состояние и весь цикл повторяется снова и снова, представляя собой электрические колебания.

Решением уравнения (4) является функция

(5)

В этом можно убедиться путем подстановки ее в уравнение (4). Отсюда следует, что введенная нами величина w0 представляет собой собственную круговую (циклическую) частоту колебаний. Соответственно для U и I получаем:

 

(6)

 

где - максимальные значения напряжения и тока, α - начальная фаза колебаний. Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой w0 . Для периода колебаний Т ,по истечении которого значения изменяющейся величины периодически повторяются, т. е W0t=2π (см. (6)),· получаем формулу Томсона:

             (7)

При этом частота колебаний. Сила тока опережает по фазe напряжение и заряд на конденсаторе на ,т.е. в момент времени, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение на конденсаторе обращаются в нуль, и наоборот. Когда конденсатор заряжен до максимальной разности потенциалов, в его электрическом поле содержится энергия, а ток отсутствует. В момент времени, когда разность потенциалов и энергия электрического поля между обкладками конденсатора равны нулю, ток в контуре максимален и в магнитном поле катушки индуктивности запасена энергия . Колебания в контуре сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей, при этой в идеальном контуре выполняется закон сохранения энергии:

(8)

и процесс электрических колебаний продолжался бы бесконечно. Под волновым сопротивлением ρ контура понимают индуктивное XL и ёмкостное Χς сопротивления контура току свободных колебаний, которые равны между собой:

3. Свободные затухающие колебания в контуре с омическим сопротивлением

Всякий реальный колебательный контур обладает активным (омическим, т. е. с пренебрежимо малыми индуктивностью и емкостью) сопротивлением R . В отсутствие внешней ЭДС (ε =О) энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на его нагревание в соответствии с законом Джоуля-Ленца, вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение, описывающее свободные (ε =О) затухающие колебания в контуре с омическим сопротивлением R≠ О получается из (3) и имеет вид:

(9)

где . Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний. При условии , т. е.. _ решение (9) имеет вид:

(10)

где - частота затухающих колебаний, которая меньше собственной частоты контура w0 Для напряжения на конденсаторе имеем

,

а продифференцировав q по времени, можно получить выражение для зависимости силы тока от времени, причем оказывается, что при наличии активного сопротивления сила тока I опережает по фазе напряжение на конденсаторе И более чем на . Период колебаний Т равен:

 (11)

За время ' амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,71..раз. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления, также имеет место колебательный процесс, однако частота колебаний отличается от частоты свободных колебаний и амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону. График изменения заряда со временем в этом случае изображен на рис. 2 . Графики для напряжения и

силы тока имеют аналогичный вид. Следует отметить, что решение (10) не является строго периодической функцией, т, к. q(t)≠q(t+T) Говорить о периоде этой функции можно лишь в том смысле, что она принимает нулевые значения через равные промежутки времени. Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется параметром β , характеризующим соотношение активного сопротивления контура и его индуктивности. На практике, же обычно пользуются другими понятиями, связанными с β логарифмическим декрементом затухания λ и добротностью контура Q .

Логарифмическим декрементом затухания называют натуральный логарифм отношения величины заряда при n-ом колебании к величине q-при n+1- ом колебания:

 (12)

Логарифмический декремент затухания связан с числом полных колебаний N , совершаемых pа время Т, зависимостью:

Добротность контура Q определяется через логарифмический декремент затухания Λ следующим образом:

 (13)

Иэ данных определений видно, что чем меньше логарифмический декремент затухания, тем выше добротность контура и тем дольше продолжается в таком контуре -колебательный процесс при однократном его возбуждении. При выполнении условия w02-β2=0 решение (9) для заряда q имеет вид

 (14)

где а.b- постоянные интегрирования. При любых a и b (см. рис. 3)

величина q- асимптотически приближается к нулю, когда t→∞. В этом случае процесс не будет колебательным, т. в. является апериодическим ( рис, 3 ). Сопротивление R.*p ,при котором колебательный процесс в контуре переходит в апериодический, называется критическим и определяется из условия w02-β2=0, откуда При R>Rkp, w02<β2 апериодический характер процессов в колебательном конту ре сохраняется. 

4. Задания и порядок выполнения работы

1. Изучите электрическую схему лабораторной установки. Включите лабораторный стенд и получите на экране осциллографа устойчивую картину затухающих колебаний (рис. 2). "

2. Измерьте в делениях сетки осциллографа период затухающих колебаний T1 и расстояние ме.жду соседними импульсами tn (см. рис.2). Рассчитайте период затухающих колебании в секундах по формуле где F - частота звукового генератора. Запишите данные таблицу (примерный вид таблицы приведен ниже).

3. Игмерьте в делениях сетки осциллографа амплитуды А1, А2, А3 , затухающих колебаний я запишите результаты измерений в таблицу. рассчитайте логарифмические декременты затухания λ i и λ2, найдите среднее значение λ и запишите его в таблицу. Используя значения Т и λ рассчитайте коэффициент затухания β и занесите его в таблицу.

4. Пункты 2 и 3 выполняются при двух значениях R1 и R2 сопротивления контура. Зарисовать наблюдаемые на осциллографе кривые.

5. Подобрать значение сопротивления контура, при котором наступает апериодический разряд конденсатора. Зарисовать получаемую кривую.

Таблица

Т

A1

A2

A3

λ

β

R1

R2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28871. Развитие учений о государстве и праве в Западной Европе конца 16 - 17 в.в. 69 KB
  Теория естественного права Гуго Гроция.открывает новую эпоху в историческом развитии европейского права. К социальноисторическим факторам оказавшим существенное влияние на формирование новоевропейского понимания проблем государства и права необходимо отнести следующие:  усиление экономического неравенства внутри стран Европы и между этими странами оказавшимися вовлеченными в сферу мирового разделения труда и соответственно связаная с этим необходимость государственноправового вмешательства в решение хозяйственноправовых проблем...
28872. Судебная реформа 1864 года 151 KB
  Основной задачей этой курсовой работы является изучение судебной реформы 1864 года которая считается самой буржуазной и последовательной реформой Х1Х века в России. В ходе реформы судопроизводства в России предполагались изменения в разных его областях: в организации судебной системы например введение суда присяжных в профессиональном статусе судей институт мировых судей пожизненное избрание в процедуре вынесения приговора двухэтапного формирования приговора присяжными и судей и т. Исторические предпосылки судебной реформы...
28873. Судебная реформа 1864 года и ее основные итоги 87 KB
  Вместо множества судов существовавших для обслуживания различных сословий учреждались единые для всех сословий общегражданские суды. Основными звеньями общих судебных установлений были окружные суды судебные палаты и Правительствующий сенат. Окружные суды образовывались обычно на территории нескольких уездов с учетом численности населения и объема работы. Замахнувшись на множественность судов создавшихся для обслуживания дворян купцов ремесленников крестьян и других сословий власти не решились полностью...
28874. Основные тенденции мирового развития в XVIIIв. 23.5 KB
  XVIII век вошел в историю как век просвещенного абсолютизма. Политика абсолютизма в ряде европейских стран выражающаяся в уничтожении сверху и в преобразовании наиболее устаревших феодальных институтов. Однако главным в политике просвещенного абсолютизма стало провозглашение принципа одно право для всех что отразилось в создании равного для всех гражданского права. Проведение политики просвещенного абсолютизма в определенной мере явилось отражением идей Просветителей.
28875. «Смутное время» в России. Эволюция государственности в XVII в. 37.5 KB
  Смутное время в России. На какоето время государство оказалось ничьим и это привело к кризису послужившему началом так называемого Смутного Времени. Многие из богатых людей в это время отпускают на волю свою челядь чтобы не кормить ее и это увеличивает толпы бездомных и голодных. В это время в Польше против царя Бориса выступил молодой человек который назвал себя царевичем Дмитрием сыном Ивана Грозного и заявил о своем намерении идти на Москву добывать себе прародительский престол.
28876. Внешняя политика России XVI–XVII веков. 28 KB
  Внешняя политика России XVIXVII веков. позволили России проводить активную внешнюю политику. предопределило включение в состав России всего Среднего Поволжья с его многонациональным населением. В1556 году русскими войсками была взята Астрахань и к России присоединились нижневолжские земли.
28877. Пётр I Вели́кий 33.5 KB
  Одним из главных достижений Петра стало решение поставленной в XVI веке задачи: расширение территорий России в Прибалтийском регионе после победы в Великой Северной войне что позволило ему принять в 1721 году титул первого императора Российской империи. Военная реформа Петра I и реформы органов управления. Военная реформа была первоочередным преобразовательным делом Петра. Заслугой Петра является создание регулярной российской армии.
28878. Внешняя политика Петра I. Провозглашение России империей 31.5 KB
  Провозглашение России империей. Разрешение этих задач было необходимо для обеспечения внешней безопасности России на юге и на западе. Ее преобладание тяжело сказывалось на государствах близких к Балтийскому морю: на Дании Польше России. У России Ингрию и Карелию.
28879. Эпоха дворцовых переворотов и укрепление позиций дворянства 31.5 KB
  В отечественной истории являлось эпохой дворцовых переворотов напрямую связанных с реформами Петра I. Меньшиков Толстой и другие под прикрытием гвардии добилась провозглашения вдовы Петра Екатерины I 1725 1727 гг. В период царствования малолетнего Петра II 17271730 гг. На трон была провозглашена племянница Петра I вдовствующая герцогиня Курляндская Анна Ивановна 17301740 гг.