2533

Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора

Лабораторная работа

Физика

Изучить теорию зарядки и разрядки конденсатора, экспериментально получить зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его зарядке и разрядке.

Русский

2013-01-06

125.98 KB

145 чел.

Дата       Фамилия      Группа

 

Лабораторная работа №26

I.Название работы:

Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора.  

Цель работы:

Изучить теорию зарядки и разрядки конденсатора, экспериментально получить зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его зарядке и разрядке.

II.Краткое теоретическое обоснование:

Возникновение переходных процессов

В электрических цепях могут происходить включения или выключения пассивных (не содержащих источники энергии) или активных (содержащих источники энергии) ветвей, кроткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапные изменения параметров и т. д. В результате таких изменении, называемых часто коммутационными или просто коммутациями, которые будем считать происходящими мгновенно, в цепи возникают переходные процессы, заканчивающиеся спустя некоторое (теоретически бесконечно большое) время после коммутации.

Законы коммутации

1.В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации, и дальше начинают изменяться именно с этих значений.

2. В любой ветви напряжение и заряд на емкости сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели до коммутации, и в дальнейшим изменяются, начиная именно этих значении.

В дальнейшим мы будем изучать только изменение напряжения на конденсаторе при коротком замыкании цепи RC (ветви, имеющей последовательное соединение сопротивления R емкости С) и включении этой цепи RC  на постоянное напряжение, т.е. процессы разрядки и зарядки конденсатора.

Разрядка конденсатора

Зарядим разряженный конденсатор емкостью С путем перевода переключателя П в положение 1 (см рис. 11.1) до некоторого напряжения Uco

 Uc= Uco                                                                                                                                               (11.1)

В частности, при бесконечно большом времени зарядки   t  Uco

Затем переключатель П мгновенно перевести в положение 2, и конденсатор разряжается через сопротивление R. Введем следующие обозначения:

Uc мгновенное значение напряжения на конденсаторе;

Uco напряжение на конденсаторе при начале разрядки;                   

UR –мгновенное значение напряжения на сопротивлении; 

i  мгновенное значение тока в цепи;

q – заряд на обкладке конденсатора. 

                                UR = Ri = R • (dq/dt),       UC = (1/C)q                 (11.2)

Напомним второй закон Кирхгофа: в любом контуре алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур. Поэтому можно записать

                                 UR + UC = 0 ,                                 (11.3)

Из уравнений (11.2) и (11.3) получим                 

R (dq/dt) + (1/C)q=0

Преобразуем это уравнение к следующему виду

                                               (dq/dt)+ (1/RC)q=0                            (11.4)

Уравнение (11.4) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Его легко проинтегрировать, разделив переменные, т.е. записав в виде

dq/q = – (1/RC) dt

откуда следует

∫ (1 / q) dq = – ∫ (1/RC) dt

Взяв интегралы, получим

lg q = – (t/RC) + ln const

(имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде ln const).                                                                         

Потенцирование этого соотношения дает

(q / const) = e – (t / RC)

отсюда                                           q = const e – (t / RC)                        (11.5)

Выражение (11.5) является общим решением уравнения (11.4). Значение const найдем из начальных условий. При t = 0 из (11.1) и (11.2) получим

q = UcoC

После подстановки полученного выражения в уравнение (11.5) получим:

UcoC = const e – (0 / RC) = const 1               

Поэтому уравнение (11.5) может быть представлено в следующем виде:

q = UcoC • C • e – (t / RC)

Разделив левую и правую части этого уравнения на С с учетом (11.2) можно записать

UC  = Uco   e – (t / RC)

Из (11.6) следует, что при коротком замыкании цепи R, С напряжение на конденсаторе убывает по экспоненциальному закону от Uco при t = 0 от 0 при     t=∞. Теоретически UC будет всегда больше нуля, т. к. t всегда конечная величина.

Зарядка конденсатора.

При полной разрядке конденсатора (при нулевом показании вольтметра, измеряющего напряжение на конденсаторе) мгновенно переключим переключатель П в положение 1 (см. рис.11.1)

По второму закону Кирхгофа можно записать:                        

                                   UR + UC = ε                                  (11.7)

(11.7) получим:

R (dq / dt) + (1 / C)q = ε

преобразуем это уравнение к следующему виду:

                         (dq / dt) + (1 / RC) q =  ε / R                    (11.8)

    Уравнение    (11.8)    представляет    собой    линейное    неоднородное    дифференциальное уравнение 1-го порядка. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения.         Уравнение   (11.5)   дает   общее   решение   однородного   уравнения.    Частное   решение получим  из условия,   что   конденсатор заряжается до напряжения  UС = ε при бесконечно большом времени зарядки t. Поэтому

                                    qчастн = ε C                                       (11.9)

Сложив (11.5) и (11.9), получим

                                 q = ε C + const e – (t / RC)                    (11.10)                   

Найдем const из начального условия при t = 0, UC = 0, q = 0.

0 = ε  Cε C  e – (t / RC)

const = ε  C

Тогда из (11.10) будем иметь:

q = ε  Cε C  e – (t / RC)

Разделив это уравнение на С, с учетом (11.2), запишем:

                               UС = ε (1 – e – (t / RC))                                (11.11)

Из уравнений (11.6) и (11.11) следует, что напряжение на емкости изменяется по экспоненциальному закону. Напряжение уменьшается или возрастает тем медленнее, чем больше произведение RС. Поэтому произведение RС называют постоянной времени и обозначают буквой  τ (тау).

                                            τ = RС                                   (11.12)

Найдем физический смысл постоянной времени τ. В соответствии с (11.6)

(UC / UC (t + τ)) = (UCO  e – (t / RC)) / (UCO  e – (t+τ ) / (RC)) = e  (τ / RC) = e  (RC / RC) = e

UC  (t + τ) = UC (t) / e

Следовательно, τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе уменьшится в е раз.

Постоянную времени τ называют также временем релаксации (от латинского «relaxatio» – ослабление, уменьшение напряжения).

Найдем уравнение касательной к экспоненте (11.6) с учетом (11.12).  

dUC / dt = UCO  e – (t / τ) (– (l / τ)) = – UC / τ = tg α

Экспонента (.11.6) и касательная к ней в момент t показаны на рис. 11.2.

Из  рис. 11.2 следует, что τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе достигло бы установившегося значения UC=0, если с момента t скорость изменения напряжения на конденсаторе не изменялась бы.   

III.Рабочие формулы и единицы измерения.

τ = RС                     UR + UC = ε

IV.Схема установки.

V.Измерительные приборы и принадлежности.

  1.  Конденсатор
  2.  Секундомер
  3.  Элемент питания

VI.Результаты измерения.

Изменение напряжения Uc, B

Время изменения напряжения t ,c

Среднее время tср, с

      от                  до

1-ый опыт     2-ой опыт

       0                  0,1             

      4,45                5,3

4,875

       0                  0,2

       9,6                10,4

10

       0                  0,3

       16                 16,6

16,3

       0                  0,4

      24,6               25,7

25,15

       0                  0,5

      36,1               37,3

36,7

       0                  0,6

        52                53,2

52,6

Изменение напряжения Uc, B

Время изменения напряжения t ,c

Среднее время tср, с

      от                  до

1-ый опыт     2-ой опыт

       0,7                  0,6             

      2,9                  2,6   

2,75

       0,7                  0,5

      5,5                  5,2

5,35

       0,7                  0,4

      8,9                  8,7

8,8

       0,7                  0,3

     14,1                13,4

13,75

       0,7                  0,2

       27                 21,1

24,05

VII. Черновые записи и вычисления.

tср = (9,6 + 10,4) / 2 =10                                        tср = (2,9 + 2,6) / 2 = 2,75

tср = (16 + 16,6) / 2 =16,3                                      tср = (5,5 + 5,2) / 2 = 5,35

tср = (24,6 + 25,7) / 2 =25,15                                 tср = (8,9 + 8,7) / 2= 8,8

tср = (36,1 + 37,3) / 2 =36,7                                   tср = (14,1 + 13,4) / 2 = 13,75

tср = (52 + 53,2) / 2 =52,6                                      tср = (27 + 21,1) / 2 = 24,05

VIII. Основные выводы.

Мы изучили теорию зарядки и разрядки конденсатора, экспериментально получили зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его зарядке и разрядке.

IX. Графики.