25418

Волновые процессы. Волновая и квантовая оптика. Квантовая механика. Многоэлектронные атомы

Конспект

Физика

Конспекты лекций включает теоретический материал, позволяющий студентам в компактной форме получить достаточную информацию о физических явлениях и закономерностях, необходимых для развития физического мышления и подготовки научной базы, без которой невозможно успешное решение профессиональных задач.

Русский

2014-08-21

3.8 MB

11 чел.

Федеральное агентство по  образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ульяновский государственный технический университет»

 КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

     ПО ФИЗИКЕ

Часть 2. Волновые процессы. Волновая и квантовая оптика. Квантовая механика. Многоэлектронные атомы

Методические указания для студентов дневной  формы обучения машиностроительного факультета

 

      

       Составитель: Р. К. Лукс

      

Ульяновск

2013

 

УДК 53 (076)

ББК 22.2я7

        К32

К32    Конспекты лекций по физике: методические указания для студентов машиностроительного факультета /сост. Р. К. Лукс. – Ульяновск: УлГТУ, 2013. – 62 с.

Сборник конспектов лекций по физике составлен в соответствии с типовой программой общего курса физики и федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлениям подготовки

19020165 –  Наземные транспортно – технологические комплексы,

19060062 – Автомобили и автомобильное хозяйство,

15070062 – Машины и обработка металлов давлением,

15190062 – Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств

Конспекты лекций включает теоретический материал, позволяющий студентам в компактной форме получить достаточную информацию о физических явлениях и закономерностях, необходимых для развития физического мышления  и подготовки научной базы, без которой невозможно успешное решение профессиональных задач.

        

         УДК  53 (076)

         ББК 22. 2я7

  

      

СОДЕРЖАНИЕ

 Лекция 1

  1.  Волны. Плоские и сферические волны ………………………………………………. 5
    1.  Поток энергии волны ………………………………………………………………….. 7
    2.  Групповая скорость волны …………………………………………………………….. 8

Лекция 2

2.1. Интерференция волн …………………………………………………………………… 9

2.2. Стоячие волны …………………………………………………………………………..10

2.3. Звуковые волны ………………………………………………………………………… 12

2.4. Эффект Доплера ……………………………………………………………………… .. 12

2.5. Электромагнитные волны ………………………………………………………………14

2.6. Энергия электромагнитной волны. Вектор Умова – Пойнтинга ……………………. 15

Лекция 3

3.1. Отражение и преломление света. Полное отражение …………………………………16

3.2. Тонкая линза. Формула линзы …………………………………………………………..18

3.3. Основные фотометрические характеристики …………………………………………. 21

Лекция 4

4.1. Интерференция световых волн. Когерентные источники …………………………… 23

4.2. Пространственная и временная когерентность ………………………………………. 24

4.3. Интерференция на тонкой пленке …………………………………………………….. 26

4.4. Практическое применение интерференции. Интерферометры ……………………… 27

Лекция 5

5.1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса – Френеля. Метод зон Френеля ……………  28

5.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии ………………………………………….. 30

5.3. Дифракция Фраунгофера на одной щели …………………………………………….. 31

5.4. Дифракционная решетка ………………………………………………………………. 33

5.5. Дифракция  рентгеновсих  лучей ………………………………………………………  34

Лекция 6

6.1. Взаимодействие света с веществом …………………………………………………… 35

6.2. Тепловое излучение. Закон Кирхгофа ………………………………………………… 37

6.3. Законы теплового излучения ……………………………………………………………39

Лекция 7

7.1. Внешний фотоэффект. Законы фотоэффекта …………………………………………..40

7.2. Эффект Комптона ……………………………………………………………………….. 41

7.3. Природа электромагнитного излучения ……………………………………………….. 42

7.4. Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома ………………………………………. 43

7.5. Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца  ………………………………………………43

Лекция 8

8.1. Спектры атома водорода по теории Бора ……………………………………………… 45

8.2. Волны де Бройля. Опыты, подтверждающие волновые свойства частиц …………… 47

8.3. Соотношения неопределенностей Гейзенберга ……………………………………….. 48

Лекция 9

9.1. Вероятностный смысл волн де Бройля. Волновая функция …………………………   50

9.2. Уравнение Шредингера …………………………………………………………………  51

9.3. Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме  с  бесконечно

высокими стенками ………………………………………………………………………….. 52

Лекция 10

10.1. Прохождение частиц через потенциальный барьер …………………………………..54

10.2. Орбитальный момент импульса и магнитный момент электрона в классической и квантовой механике …………………………………………………………………………   55

10.3. Опыты Штерна и Герлаха. Спин электрона …………………………………………   56

Лекция 11

11.1. Состояние электрона в атоме. Принцип Паули. Структура  многоэлектронного

атома  …………………………………………………………………………………………..57

11.2. Рентгеновское излучение ………………………………………………………………..59

11.3. Энергия молекулы ……………………………………………………………………… 60

Библиографический список …………………………………………………………………   62

Лекция 1

  1.  Волны. Плоские и сферические волны

Волновые процессы наблюдаются в упругих средах. Под упругой средой понимают среду, между частицами которой действуют упругие силы. Если какую либо частицу среды заставить совершать колебания, то за счет действия упругих сил в колебательное движение приходят сначала ближайшие к ней частицы, затем соседние с этими частицами и т. д. Так в колебательный процесс вовлекаются все новые и новые частицы, то есть в среде распространяется упругая волна. Этот процесс сопровождается переносом энергии от источника колебаний, причем переноса частиц в направлении движения волны не происходит – они совершают колебания около своих положений равновесия.

Различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды совершают колебания вдоль вектора скорости распространения волны, а в поперечной – перпендикулярно к нему.

Введем характеристики, описывающие волновой процесс, на примере гармонической волны, в которой частицы среды совершают  гармонические колебания около своих положений равновесия с циклической частотой ω.

Фронт волны – геометрическое место точек, до которых дошел волновой процесс.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Период волны – время одного полного колебания частиц среды.

Длина волны λ – расстояние, которое проходит волна за один период, или минимальное расстояние между частицами среды, совершающими колебание  с разностью фаз ∆φ = 2π.

 Форма волновой поверхности и фронта волны зависят от условий возникновения и распространения волны. По виду волновых поверхностей выделяют плоские и сферические волны.

Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать с помощью метода, называемого принципом Гюйгенса. Согласно Гюйгенсу, каждая точка среды, до которой дошла волна, становится источником вторичных волн, и фронт каждой вторичной  волны представляет собой сферу, огибающая фронтов вторичных волн определяет новое положение фронта волны. На рис. 1.1 фронт волны  в некоторый момент времени t занимает  положение 1, а через промежуток времени ∆t – положение 2.

Уравнением упругой волны называют функцию ξ(х, у, z, t), которая определяет смещение любой частицы среды с координатами (х, у, z) относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t.

Выведем уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ох. Как известно, в плоскости фронта волны – уОz – и параллельных ей плоскостях, все частицы совершают колебания в одинаковых фазе, поэтому  в  уравнении  волны  будет  отсутствовать  зависимость  от  координат у и   z:  ξ(х, у, z, t) = ξ(х, t). Пусть в момент времени t = 0 частицы  с координатой х = 0, расположенные в плоскости уОz, начинают совершать колебания по закону

   ξ(0, t) = А cos (ωt + φ0).    (1.1)

Частицы с координатой х > 0 начнут совершать колебания только после прихода к ним волны. Для этого требуется время τ = х/v, и поэтому уравнение колебаний для таких точек примет вид:

(1.2)

Уравнение (1.2) представляет собой уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ох. В эту формулу входит волновое число k, которое связано с циклической частотой ω, скоростью распространения волны  и ее длиной волны соотношением

    .     (1.3)

Формула (1.3) определяет модуль волнового числа . Направление вектора совпадает с направлением скорости распространения бегущей волны.

Покажем, что входящая в формулу (1.2) скорость волны представляет собой скорость движения фиксированного значения фазы волны – фазовую скорость. Действительно,

(1.4)

что согласуется с формулой (1.3).

Волновым уравнением называют уравнение, решением которого является уравнение волны ξ(х, у, z, t). Найдем волновое уравнение для волновой функции (1.2). Если взять частные производные по координате х и времени t от ξ(х, у, z, t):

то тогда волновое уравнение принимает вид:

        (1.5)

 Оказывается, что решением этого уравнения, кроме плоской гармонической волны, бегущей в положительном направлении оси Ох, является также плоская гармоническая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси Ох

    ξ(х, t) = A cos (ωt + kx +φ0).

 Для плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении, которое можно задать радиусом-вектором , уравнение волны и волновое уравнение запишутся следующим образом

      (1.6)

    ξ(, t) = A cos (ωt -  +φ0).  (1.7)

Можно показать, что волновое уравнение (1.6) удовлетворяет также и уравнению сферической волны

    ξ(, t) = A(r) cos (ωt -  +φ0).  (1.8)

Это уравнение отличается от уравнения плоской гармонической волны тем, что для сферической волны амплитуда А будет зависеть от расстояния r между точечным источником колебаний и рассматриваемой точкой в пространстве, а именно амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r.

    ,     (1.9)

где А0 – амплитуда волны на расстоянии 1 м от источника сферической волны.

1.2. Поток энергии волны

 При распространении волн частицы среды не переносятся вместе с волной. Процесс распространения волны в каком-либо направлении в среде сопровождается переносом энергии колебаний в этом направлении. Допустим, что S часть фронта плоской волны распространяющейся в направлении оси Ох в некоторый момент времени t (рис. 1.2). По истечении времени ∆t фронт волны переместится на расстояние l = vt, вследствие чего частицы среды в объеме ∆V = Sl приводятся в колебательное движение. Они будут обладать энергией

   W = wV = wvSt,  

где w – объемная плотность энергии. Можно утверждать, что за время ∆t среда через площадку S получила энергию wvSt. Таким образом, за единицу времени через площадку S прошла энергия

    

Величина dФ есть поток энергии волны через площадку S (S ориентируют перпендикулярно к направлению распространения волны). Плотностью потока энергии называют энергию, проходящую за единицу времени через единицу площадки, перпендикулярной к направлению распространения волны:

         (1.10)

Этот вектор называют вектором Умова и Пойнтинга. Учитывая, что  где n – концентрация частиц среды, um = Аω – амплитуда скорости колебаний частиц среды, плотность энергии а  j ~ A2 . Распространяющиеся волны характеризуют понятием интенсивность волны I, которая пропорциональна среднему значению плотности потока, а, следовательно, I ~ A2 .

В сферической волне, вызванной точечным источником колебаний, плотность потока энергии убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника колебаний. Для доказательства допустим, что источник колебаний ежесекундно отдает в окружающую среду одну и ту же энергию, равную W. Эта энергия равномерно распределяется по шаровой поверхности фронта волны S = 4πr2, поэтому через единицу площади этой поверхности в единицу времени проходит энергия

  , т. е. j ~ 1/r2 , а  А ~ 1/r (см. 1.9).

1.3. Групповая скорость волны

Все реальные волны в той или иной степени отличаются от синусоидальных волн, так как энергия колебательного движения частично превращается в другие виды энергии, что ведет к уменьшению амплитуды колебаний по мере распространения волны. Уравнение плоской реальной волны можно записать в такой форме:

   ξ(х, t) = А0 ех cos (ωtkx +φ0),   (13.11)

где A0 ех – амплитуда волны, γ – коэффициент затухания. Эту волну можно представить как волну, полученную от наложения двух или большего количества синусоидальных волн с близкими частотами. Такую несинусоидальную волну называют группой волн или волновым пакетом.

В качестве примера рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси Ох. Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы φ10 = φ20 = 0, а частоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к дугу:

   ξ1 = A0 cos (ω1tk1x ),

   ξ2 = A0 cos (ω2tk2x ).

Для результирующей волны

  ξ = ξ1 + ξ2 = 2А0 cos(∆ωt - ∆kx) cos(ωt - kx),

где   

 Таким образом, результирующая волна является плоской волной, циклическая частота ω и волновое число k которой равны полусумме соответственно циклических частот  и волновых чисел синусоидальных волн, образующих пакет. Однако амплитуда этой волны не постоянна, а зависит от координаты х и времени t:

   A = 2A0 cos (∆ωt - ∆kx),

где ωt - ∆kx = φА – фаза амплитуды распространяющейся волны. Дифференцируя выражение для φА в предположении, что φА= const, получим:

    

Или в пределе, когда ω , а следовательно, и k стремятся  к нулю:

     

Учитывая, что  и : Так как  где v – фазовая скорость волны, то

         и

        (1.13)

Скорость u называют групповой скоростью пакета волн. В случае отсутствия дисперсии волн в среде (т. е. когда dv/ = 0) их фазовые скорости v одинаковы и не зависят от λ. Поэтому в таких средах групповая скорость  волн совпадает с их фазовой скоростью.

Лекция 2

2.1. Интерференция волн

Если под действием проходящей волны свойства среды не меняются, то для волн в этой среде применим принцип суперпозиции (наложения). При распространении в этой среде нескольких волн, каждая из которых распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которое получают частицы, участвуя в каждом из волновых процессов. Накладывающиеся волны, имеющие одинаковую частоту и постоянную во времени разность фаз, называют когерентными.  При наложении когерентных волн возникает явление интерференции.

При этом явлении в пространстве наложения волн возникает перераспределение энергии. Возьмем точечный источник S (рис. 2.1), от которого распространяется сферическая волна. На пути волны поставлена преграда с двумя точечными отверстиями s1 и s2, расположенными симметрично по отношению к источнику S. Отверстия s1 и s2 становятся, согласно принципу Гюйгенса, самостоятельными источниками колебаний, причем колеблющимися с одинаковой частотой и в одинаковых фазах. Справа от преграды будут распространяться две сферические когерентные между собой волны, которые накладываясь друг на друга, и дают интерференционную картину. Выделим в пространстве наложения волн точку  С, отстоящую от источников

s1 и s2 на расстоянии r1 и r2. Колебания источников можно представить в виде:

   ξ(0, t) = А0 cos(ωt + φ0),    (2.1)

а колебания, дошедшие до точки С, выразятся:

       (2.2)

(2.3)

 Разность фаз слагаемых колебаний в точке С будет

(2.5) Если то волны в точку С приходят в одинаковой фазе. В     этом случае в точке С будет наблюдаться максимум интерференции, то есть А = А1 + А2.

Так как ,   то  (условие максимума выражено через геометрическую разность хода волн). Максимумы интерференции наблюдаются в тех точках, для которых геометрическая разность хода равна целому числу длин волн.

 Минимумы наблюдаются для точек, в которые волны приходят противоположными по фазе, то есть если . В этом случае  -   разность хода равна нечетному числу полуволн.

2.2. Стоячие волны

 Стоячей волной называют волну, образующуюся при наложении двух встречных когерентных волн. Рассмотрим случай наложения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох в положительном ξ1(х, t) и отрицательном ξ2(х, t) направлениях:

 ξ1(х, t) = А cos(ωt - kx),    ξ2(х, t) = А cos(ωt + kx).     

Для уравнения стоячей волны в соответствии с формулой сложения колебаний можно записать:

   ξст(х, t) = ξ1 + ξ2 =  2А cos kx cos ωt  (2.6)

Из формулы (2.6) следует, что амплитуда стоячей волны

  Аст = | 2А cos kx |      (2.7)

зависит от координаты х выбранной точки пространства, изменяясь от минимального значения, равного нулю (Аст = 0), до максимального значения, равного 2А (Аст = 2А).

Найдем координаты точек пространства хп, в которых наблюдается максимальная амплитуда колебаний частиц среды, их называют пучностями стоячей волны, и координаты узлов стоячей волны (ху), для них амплитуда колебаний частиц среды равна нулю:

Аст = 2А  cos kxп = ± 1     хп = nπ    хп =  (2.8)

Аст = 0    cos kxу = 0          (2.9)

Из формул (2.8) и (2.9) следует, что расстояние между соседними узлами ∆ху и соседними пучностями хп стоячей волны одинаково и равно х = ∆хп = ∆ху = λ/2.

На рис.2.2 приведены графики стоячей волны для трех моментов времени t = 0, T/4, T/2, где стрелками указаны направления движения частиц среды. Из графиков видно, что все частицы среды, находящиеся между соседними узлами, совершают колебания с разными амплитудами и с одинаковой фазой (частицы одновременно достигают положения равновесия и движутся в одну сторону). При переходе через узел фаза колебаний частиц изменяется на π (частицы по разные стороны от узла одновременно достигают положения равновесия и движутся в противоположных направлениях).

Стоячие волны обычно образуются при отражении бегущей волны от границы раздела двух сред. При этом возможны два случая. В первом при отражении волны от более плотной среды фаза волны изменяется на значение равное π и на границе раздела образуется узел стоячей волны. Во втором случае при отражении волны от менее плотной среды фаза волны не изменяется и на границе разделе  образуется пучность стоячей волны.

2.3. Звуковые волны

 Под звуковыми волнами в узком смысле слова понимают волны с частотой от 16 Гц до 20 кГц. Эти волны, воздействуя на ухо человека, вызывают звуковые ощущения. Звуковые волны с частотой ниже 16 Гц называют инфразвуками, а от 20 кГц до 1013 Гц – ультразвуком. 1013 Гц – это предельно возможные частоты колебаний атомов и молекул в твердых телах около положения равновесия. В качестве источников ультразвука используют кристаллы, способные изменять свои размеры под действием электрического или магнитного полей. То есть кристаллы обладающие пьезо или магнитнострикционными свойствами. Ультразвуковые волны, обладая большой частотой и, следовательно, малой длиной волны распространяются в средах практически прямолинейно. Прямолинейность распространения ультразвука и позволяет широко использовать его в локации (определении расстояния до объектов в жидкостях) и дефектоскопии.

Всякий реальный звук характеризуется акустическим спектром, то есть набором частот колебаний, присутствующих в спектре.  Если в звуке присутствуют колебания

всех частот некоторого диапазона, то такой спектр называют сплошным. Он воспринимается как шум (рис. 2.3а).

Если звук состоит из колебаний с дискретным набором частот (рис.2.3б), то его спектр называют линейчатым. Это тональный звук. Тональные звуки различают по высоте, тембру и громкости. Высота тонального звука определяется основной (наименьшей) частотой. Относительная интенсивность других частот, присутствующих в звуке, определяет «окраску»

- тембр звука. Под интенсивностью звука понимают

среднее по времени значение плотности потока энергии, которую несет с собой звуковая волна.  

 Минимальное значение интенсивности I0, которое вызывает звуковое  ощущение, называют порогом слышимости.

Используя понятия интенсивность и порог слышимости и определяют громкость звука или уровень громкости

    

  Для частоты ν =  1 кГц  I0 ~ 10-12 Вт/м2. L выражается в белах (Б). Наряду с белами пользуются единицами в 10 раз меньшими, получившими название децибелов (дБ).

        (2.10)

 Отношение двух интенсивностей I1 и I2 также может быть выражено в децибелах:

    

 Диапазон громкости звука, воспринимаемого человеком, соответствует уровню громкости от 0 до 130 дБ.

2.4. Эффект Доплера

 Рассмотрим вопрос о том, какова связь между колебаниями, испускаемыми источником, и колебаниями, воспринимаемыми прибором, регистрирующим колебания, если источник и прибор движутся относительно друг друга. Прибор и источник погружены в сплошную упругую среду по которой распространяются колебания в виде волн.

Предположим, что источник испускает колебания периода Т, тогда число колебаний, испускаемых источником за единицу времени, равно ν = 1/Т. Пусть некоторый прибор воспринимает эти колебания; число колебаний, воспринимаемых прибором, обозначим ν'. Разберем связь между ν' и ν для различных случаев движения прибора и источника относительно среды, в которой распространяются колебания. Для простоты предположим, что движения происходят по прямой, соединяющей источник с прибором.

Введем определенное правило знаков скоростей источника и прибора. Условимся скорость источника относительно среды u считать положительной, если источник приближается к прибору. Если источник удаляется от прибора, его скорость будем считать отрицательной. Аналогичное условие введем для знака скорости прибора относительно среды v: при приближении его к источнику считаем его скорость положительной, при удалении от источника – отрицательной. Скорость распространения колебаний в среде обозначим буквой V.

Рассмотрим первый случай: источник и приемник покоятся относительно среды,    т. е. u = 0, v = 0.

    

мы получили очевидный результат: число колебаний, воспринимаемых пробором за единицу времени, равно числу колебаний, испускаемых в единицу времени источником.

Второй случай: регистрирующий прибор движется относительно среды с положительной скоростью v; источник неподвижен (u = 0). В этом случае мимо прибора за единицу времени пройдет большее число волн, чем в том случае, когда прибор покоился относительно среды. Число волн, проходящих в единицу времени мимо прибора, равно

   

т. е. число воспринимаемых прибором колебаний больше числа испускаемых колебаний в  раз. Если прибор удаляется от источника (v < 0, u = 0), то

    

 число воспринимаемых колебаний будет меньше числа испускаемых колебаний.

Рассмотрим третий случай: источник движется относительно среды с положительной скоростью u; приемник неподвижен (v = 0).

Так как скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, то за один период колебания распространятся вперед на длину волны λ независимо от того, движется ли источник относительно среды или нет; но за это время источник пройдет в направлении движения волны расстояние uT (рис. 2.4), в результате чего длина волны окажется равной

Отсюда число колебаний, воспринимаемых прибором в единицу времени, увеличится вследствие укорочения длины волны и будет равно

         

Если бы источник удалялся от прибора (u < 0), то произошло бы увеличение длины волны на величину λ = uT, в результате чего прибор воспринял бы уменьшенное число колебаний ' < ν).

В самом общем случае

        (2.11)

где верхние знаки используются при движении источника и приемника навстречу, а нижние – при движении в противоположные стороны.

2.5. Электромагнитные волны

Мы знаем, что если в цепи протекает переменный ток, то в окружающем пространстве возникает переменное вихревое магнитное поле, которое в свою очередь порождает вихревое электрическое поле, то есть переменный ток является источником электромагнитных волн (ЭМВ). Рассмотрим процесс образования электромагнитных полей и, следовательно, волн колебательным контуром, в котором тем или иным способом поддерживаются электрические колебания. Если взять плоский конденсатор и соленоид с плотно расположенными витками, то практически поле будет почти полностью сосредоточено между обкладками и внутри соленоида. Излучательная  способность ЭМВ у рассматриваемого контура мала. Чтобы излучение волн возросло, следует заменить соленоид линейным проводником и раздвинуть обкладки конденсатора, уменьшая их размеры  (рис. 2.5). Преобразованный колебательный контур (рис. 2.5в) представляет собой отрезок проводника (диполь), в котором, если подводить энергию извне, возбуждаются высокочастотные электромагнитные колебания.

Диполь излучает в пространство ЭМВ большой мощности.

В близи диполя поле носит сложный характер, но на расстояниях, больших по сравнению с его размерами, поле имеет сравнительно простой вид.

Примем направление диполя за ось сферической поверхности (рис. 2. 6) и проведем по отношению к этой оси на сфере параллели и меридианы. Тогда напряженность электрического поля   в любой точке направлена по касательной к меридиану, напряженность магнитного поля  направлено по касательной к параллели. Причем векторы  и  связаны с направлением  распространения волн по правилу правого винта (рис. 2.7б).

 Если напряжение, подводимое на диполь, изменяется по закону:

    U = U0 cos ωt ,

то в рассматриваемой точке Е и Н можно выразить так:

  ,    (2.12)

    (2.13)

где  , , Ө - угол, который образует   с осью диполя,          – скорость распространения ЭМВ в среде.

 

При Ө = 0  Em = 0  и  Hm = 0.  Диполь ЭМВ в направлении оси диполя не излучает. Наибольшая интенсивность излучения диполя при Ө = π/2.

В изотропной непроводящей среде Е и Н  изменяются синфазно. При этом они связаны друг с другом соотношением: =  .

 В направлении распространения ЭМВ можно представить с помощью двух синусоид, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях. Одна из них изображает колебания вектора электрической напряженности , а другая – вектора магнитной напряженности (рис. 2.7а). Оба вектора колеблются в одинаковой фазе.

2.6. Энергия электромагнитной волны. Вектор Умова – Пойнтинга

 Распространение ЭМВ сопровождается переносом энергии, характеризующей электромагнитное поле. Плотность потока ЭМВ , где

Так как   , то плотности энергий электрического и магнитного полей в каждый момент времени для рассматриваемой точки одинаковы (wE  =  wH), то

.

Согласно теории Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в среде        

    

следовательно, плотность потока ЭМВ

   (2.14)

Лекция 3

3.1. Отражение и преломление света. Полное отражение

 

Опыт и теория показывают, что в разных прозрачных средах свет распространяется с различными скоростями, меньшими скорости света в вакууме.

Среда, во всех точках которой скорость распространения света одинакова, называется оптически однородной. Рассмотрим, используя волновую теорию, явление отражения и преломления монохроматического света на плоской границе раздела двух различных, оптически однородных сред. Монохроматическому свету соответствует какая-либо одна длина волны или, говоря о субъективном восприятии, какой-либо один цвет.

 Пусть плоский фронт световой волны ОА падает на границу раздела двух сред, скорости света в которых с1 и с2 < с1 (рис. 3.1). Связанные с этим фронтом лучи 1 и 2 составляют с нормалью к границе раздела  угол α. На границе раздела свет частично отражается (лучи 3 и 4), и частично проходят (преломляются) во вторую среду (лучи 5 и 6). Применяя принцип Гюйгенса, построим фронт отраженной и преломленной волны. В точку В 2 луч приходит позднее, чем 1 луч в точку О, на время t =  |АВ|/с1. За это же время из точки О (как из вторичного источника света) в первой среде успевает распространиться полусферическая волна радиусом r1 = c1t = |АВ|, а во второй среде – полусферическая волна радиусом

 r2 = с2t = |АВ| c2/c1.

От всех остальных точек границы ОВ (кроме самой точки В) также распространятся вторичные полусферические волны, радиусы которых окажутся убывающими в направлении от О к В. Эти вторичные волны показаны на рис. 3.2. Огибающая всех полусфер первой среды дает фронт отраженной волны ВD, а огибающая всех полусфер второй среды – фронт преломленной волны BE.

Из рис. 3.1 видно, что ОАВ = ∆ВDО (как прямоугольные, имеющие общую гипотенузу и по одному одинаковому катету: ОD =  r = АВ). Поэтому угол АОВ = углу DВО. Но угол АОВ = α, а угол DВО = β (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами), следовательно,

     α = β,     (3.1)

где β – угол отражения.

Падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром, проведенным к границе раздела сред в точке падения; угол падения равен углу отражения (закон отражения света).

Возвращаясь к рис.3. 1, учтем, что

 

  

Тогда 

         (3.2)

где γ – угол преломления.

Падающий и преломленные лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром к границе раздела сред, проведенным в точку падения; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скорости света в первой среде к скорости света во второй среде (закон преломления света).

Из формулы (3.2) следует, что при α = 0 будет и γ = 0 (так как с1/с2 0), т. е. луч, падающий нормально на границу раздела сред, не преломляется. Обозначим

    с1 = с/n1  и c2 = c/n2, 

где с – скорость света в вакууме, а n1 и  n2 – безразмерные величины, называемые абсолютными показателями преломления первой и второй сред. Абсолютный показатель преломления показывает во сколько раз скорость света в данной среде меньше скорости света в вакууме. Очевидно, что абсолютный показатель преломления вакуума равен единице.

Учитывая, что показатели преломления двух сред обратно пропорциональны скоростям распространения света в этих средах, можно записать закон преломления в виде

       (3.3)

где n21 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Из двух сред, имеющих различные показатели преломления, среда с меньшим показателем называется оптически менее плотной, а среда с большим показателем – оптически более плотной.

 Если свет проходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную среду, например, из стекла в воду, то, согласно формуле (3.3), угол падения α будет меньше угла преломления γ (рис. 3.3а). Поэтому при некотором угле падения (α = А) угол преломления окажется равным 90°, т. е. преломленный луч будет скользить вдоль границы раздела сред, не входя во вторую среду (рис. 3.3б). Угол А называется предельным углом падения. При α > А свет полностью отражается в первую среду (рис. 3.3в). Это явление называется полным внутренним отражением света.

Рис. 3.3

Согласно формуле (3.3)

    откуда  sin A = n21.

Во многих оптических приборах для преломления света используют призмы. На рис. 3.4 показан ход монохроматического луча в призме. После двукратного преломления луч оказывается отклоненным от первоначального направления на угол δ, называемый углом отклонения. Угол Ө, заключенный между преломляющими гранями, называется преломляющим углом призмы.

Угол отклонения δ зависит от преломляющего угла Ө и показателя преломления призмы n. Эта зависимость легко устанавливается для призмы  с малым преломляющим углом Ө в случаях малого угла падения α. Для призмы находящейся в воздухе

    δ = (n – 1)Ө.    (3.4)

  3.2. Тонкая линза. Формула линзы

 Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями. На рис. 3.5 изображены поперечные сечения двояковыпуклой а и двояковогнутой б сферических линз. Прямая SS', проходящая через центры кривизны

поверхностей, образующих линзу, называется главной оптической осью линзы. Рассмотрим только тонкие линзы, толщина О1О2  которых пренебрежительно мала по сравнению с радиусами кривизны линзы (рис. 3.6).

У тонкой линзы имеется точка О, обладающая тем свойством, что проходящие через нее лучи практически не преломляются линзой. Эту точку называют оптическим центром линзы; она лежит на пересечении главной оптической оси со средним сечением NN' линзы. Любая прямая РР', проходящая под углом к главной оптической оси через оптический центр линзы, называется побочной осью.

      Линзу можно представить как совокупность множества призм (рис. 3.7). Тогда становится очевидным, что выпуклая линза отклоняет лучи к оптической оси, а вогнутая – от оптической оси, поэтому выпуклая линза называется собирающей, а вогнутая – рассеивающей.

 Покажем, что лучи, исходящие из некоторой точки А, лежащей на оптической оси, под небольшим углом α к этой оси, собираются линзой в одну точку А1, расположенную  также на оптической оси и называемую  изображением точки А (рис. 3.8).

Проведем плоскости, касательные к поверхностям линзы в точках М и N, и проведем в эти точки радиусы кривизны R1 и R2 линзы. Тогда луч AMNA можно рассматривать как луч, преломленный в тонкой призме с преломляющим углом Ө. Учитывая малость углов α, β, α1, β1 и толщины линзы, можно записать следующие приближенные равенства:

  h1h2, АDa,  A1D1b, α ≈ tg α ≈ h1/a,

          (3.5)

  α1 ≈ tg α1h1/b, β ≈ sin βh1/R2, β1 ≈ sin β1 = h1/R1.

Из треугольников AHA1 и BEB1 следует, что

   δ = α + α1  и  Ө = β + β1.

Принимая во внимание формулы (3.5), получим

        и    

Но, согласно формуле (3.4), δ = (n – 1)Ө. Поэтому

       (3.6)

Полученное соотношение называется формулой линзы. В формулу не входит высота h1. Это означает, что расстояние b не зависит от местоположения точки М,          т.е. все лучи, исходящие из точки А, соберутся после преломления различными частями линзы в одной точке А1.

 Если точка А находится бесконечно далеко от линзы (а = ∞), т.е. лучи падают на линзу параллельно главной оптической оси (рис. 3.9), то, согласно формулы (3.6)

               

 

 Соответствующее этому случаю расстояние b = OF = f называется фокусным расстоянием линзы:

       (3.7)

 При данной окружающей среде f зависит только от показателей преломления и радиусов кривизны линзы. Точки F  и   F', лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называют фокусами линзы. Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно главной оптической оси, называются фокальными плоскостями линзы.

Можно показать, что лучи, падающие на линзу параллельно побочной оптической оси, сходятся после преломления в точке N, лежащей в фокальной плоскости (рис. 3.10).

 

Принимая во внимание формулу (3.7), можно записать формулу линзы (3.6) в виде

         (3.8)

Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы:

    D = 1/f.

Оптическая сила выражается в диоптриях (дп).

Линейный размер изображения n определяется по линейному размеру m из очевидного соотношения (рис. 3.11)

       

Отношение

         (3.9)

называется линейным увеличением.

Изображение, даваемое линзой, можно получить, используя геометрическое построение. Для этого достаточно провести от каждой из крайних точек предмета по два луча. Один луч должен быть параллельным оптической оси (проходящим через фокус после преломления в линзе), другой – центральным (не преломляется линзой). Пересечение двух таких лучей дает изображение крайней точки предмета. Примеры построения изображений приведены на рис. 3.12.

 

3. 3. Основные фотометрические характеристики

Наряду со световым потоком основными фотометрическими характеристиками являются сила света, освещенность и яркость.

Понятие силы света вводится с помощью представления о точечном источнике света. Источник света считается точечным, если его размер мал по сравнению с расстоянием до места наблюдения и если он испускает свет равномерно по всем направлениям.

Сила света измеряется отношением светового потока Ф, создаваемого точечным источником света в телесном угле, к этому телесному углу Ω.  То есть сила света I выражается соотношением

      (3.10)

 Телесным углом называется часть пространства, ограниченная конической поверхностью. Телесный угол определяется отношением площади S, вырезаемой этим углом, на поверхности сферы, к квадрату радиуса сферы (рис. 3.13):

  

Единицей телесного угла является стерадиан (ср). 1 ср – это телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата, со стороной, равной радиусу сферы. Очевидно, что телесный угол, охватывающий все пространство вокруг источника света, равен 4π стерадиан:

     

В качестве единицы силы света принята кандела (кд). 1 кд – сила света, испускаемая при определенных условиях эталонным источником света специальной конструкции.

Согласно формуле (3.10),

      Ф =      (3. 11)

   

следует, что единицей светового потока является световой поток, испускаемый точечным источником в телесном угле 1 ср при силе света 1 кд. Эта единица называется люменом (лм).

Для количественной оценки освещения поверхности вводится понятие освещенности (рис. 3. 14). Освещенностью поверхности называется отношение светового потока, падающую на данную поверхность, к площади этой поверхности:

        (3.12)

Если линейные размеры поверхности S малы по сравнению с ее расстоянием до источника света О, то

     

 

 где S0 – проекция S на плоскость, перпендикулярную оси ОМ потока, α – угол между S и S0. Тогда

     

 Подставляя это выражение в формулу (3.12) и учитывая формулу (3.11), получим

         (3.13)

Таким образом, освещенность поверхности, создаваемая точечным источником света, пропорциональна силе света и косинусу угла падения света на эту поверхность и обратно пропорциональна квадрату расстояния до поверхности.

 За единицу освещенности принимается люкс (лк). 1 лк – освещенность поверхности площадью 1 м2 при световом потоке, падающего на нее излучения, равном 1 лм.

До сих пор мы говорили о точечных источниках. Во многих случаях источники света являются протяженными: при рассмотрении таких источников глаз различает их форму и размеры. Для протяженных источников света вводится дополнительная характеристика – яркость. Яркость протяженного источника света измеряется отношением силы света, излучаемого с видимой площади (перпендикулярной направлению наблюдения) данного источника, к площади этой поверхности:

         (3.14)

где I – сила света, S0 – видимая поверхность источника света S (рис. 3.15). Единицей яркости является кандела на квадратный метр (кд/м2).

Лекция 4

4.1. Интерференция световых волн. Когерентные источники света

 Пусть две волны одинаковой частоты (ω1 = ω2 = ω), идущие от источников S1 и S2 (рис. 4.1), накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства

колебания одинакового направления:

 E1 = A1 cos (ωt + φ1),    E2 = A2 cos (ωt + φ2).

Амплитуда результирующего колебания в данной

точке определяется выражением

 A2 = A12 + A22 + 2 A1A2 cosφ,

где ∆φ – разность фаз накладывающихся колебаний.

 Так как I ~ A2, то 

   I = I1 + I2 + 2cos ∆φ.

  

 Накладывающиеся волны считаются когерентными, если у них одинаковые частоты  и постоянная (не зависящая от времени) разность фаз.

В случае не когерентных волн φ непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение cosφ равно нулю. Поэтому  I = I1 + I2.

В случае когерентных  волн cosφ имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение, поэтому I ≠  I1 + I2 , что и приводит к перераспределению светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление и называют интерференцией волн.

Из повседневного опыта известно, что два естественных источника света не могут быть когерентными. Не когерентность естественных источников света обусловлена тем, излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых одновременно большим количеством атомов. Отдельные атомы излучают волны в случайные моменты времени в течение примерно 10-8 с и протяженностью около 3 м. Результирующая световая волна, идущая от источника – это наложение волн, излучаемых большим количеством атомов, имеющих разные фазы колебаний. У такой волны фаза колебаний изменяется во времени случайным образом. Поэтому при наложении волн, идущих от двух разных источников света, разность фаз этих волн будет изменяться во времени случайным образом.

Когерентные световые волны можно получить, если свет идущий от одного источника разбить на два потока. Когерентные источники и идущие от них когерентные волны можно получить, например, используя метод Юнга (рис. 4.2а),  бипризмы Френеля (рис. 4.), зеркала Френеля (рис. 4.2в).

 

 а     б      в      

 

В методе Юнга источниками когерентных волн являются две узкие щели S1 и S2 в непрозрачном экране. Первичным источником света служит ярко освещенная щель S, параллельная щелям S1 и S2 и находится от них  на одинаковом расстоянии.

Бипризма Френеля. Источник света S помещают напротив центра бипризмы. Волна, излучаемая источником, делится бипризмой на две части. Их можно рассматривать как волны, испускаемые двумя мнимыми когерентными источниками S1 и S2.

Зеркала Френеля. Используются два плоских зеркала А1О и А2О, угол между плоскостями которых очень мал. Свет, идущий от источника S, после отражения от обоих зеркал, распространяется в виде двух пучков с центрами S1 и S2, являющимися мнимыми изображениями источника S в зеркалах. Эти пучки при определенных условиях когерентны и при наложении дают на экране интерференционную картину (область ВС).

4.2. Пространственная и временная когерентности

 Определим, при каких же условиях полученные выше волны можно считать когерентными. Учтем, что любая волна представляет собой результат наложения большого количества колебаний с различными частотами, т. е. световая волна характеризуется спектром (рис. 4.3). Если этот спектр узок, то свет воспринимается как монохроматический с частотой ω0. Но и такую волну можно рассматривать как волну, полученную от наложения двух волн с близкими частотами: ω0 и ω0 + ∆ω, где  ω – ширина спектра, т. е. интервал  между частотами, интенсивность которых   I = I0/2.

При наложении волн с близкими частотами в некоторой точке пространства возникают биения    (рис. 4.4).

Амплитуда результирующего колебания (биений) меняется во времени. Пусть t – промежуток времени, за который определяется интенсивность волны.

При t << ТБ  интенсивность результирующей волны II1 + I2 ,                                           

а при t > ТБ  I = I1 + I2. В первом случае мы должны сделать вывод, что накладывающиеся волны когерентные между собой, а во втором – не когерентные. Т. е. об одном и том же процессе получили два противоположных вывода. В связи с этим и вводится понятие t = τ (время когерентности) - это наибольший  промежуток времени при усреднении по которому накладывающиеся волны еще остаются когерентными.

 За  τ  принимают период биений (τ = ТБ).

    т.к.

  , .

 

 Т. о. время когерентности зависит от ширины спектра накладывающихся волн. Когерентность, зависящую от ширины спектра, принято называть временной когерентностью. Время когерентности позволяет определить длину когерентности

    .     (4.1)

Длина когерентности определяет расстояние, при прохождении которого, накладывающиеся волны утрачивают свойство когерентности.

 Кроме временной когерентности проявляется еще пространственная когерентность. Она обусловлена тем, что источники света характеризуются угловыми размерами. Пусть имеется источник света. Свет, приходящий от разных точек источника, в некоторую точку пространства А будет иметь разное направление вектора (волновое число) (рис. 4.5). Угловой размер удаленного источника  Ө можно выразить так:

 .

Величину   rk  - называют радиусом когерентности.  Он определяет максимальное расстояние в направлении перпендикулярном направлению света, на котором волны остаются еще когерентными между собой.

     (4.2)

т. е. радиус когерентности зависит от углового размера источника и среднего значения длин волн, приходящих от этого источника. Определим длину  и радиус когерентности  лучей видимого диапазона, приходящих от Солнца. Учтем, что угловой размер Солнца  Ө = 10-2 радиана, среднее значение длины волны лучей видимого диапазона λ ~ 5 10-7 м, а ширина видимого диапазона ∆λ ~ 2, 5۠·10-7м, тогда lког = 1 мкм, а rk = 50 мкм.

4.3. Интерференция на тонкой пленке

 Луч света длиной волны λ падает на пленку толщиной d под углом падения i (рис. 4.6) и делится на два: луч 1 отражается от верхней грани, а луч 2 преломляется, проходит в пленка расстояние АВ, затем отражается от нижней грани, проходит расстояние ВС и затем преломляется. Два луча собираются линзой в одной точка, расположенной в фокальной плоскости линзы. Для расчета картины интерференции на экране найдем оптическую разность хода лучей 1 и 2.

Разность хода лучей 1 и 2 в точке А равна нулю, так как они двигались вместе, составляя луч падающего на пластинку света. После линии ОС (она перпендикулярна лучам 1 и 2) их разность хода не изменяется, так как линза не дает дополнительной разности хода для этих лучей. Поэтому оптическая разность хода возникает при переходе лучей от точки А к линии ОС:

 ∆ = (АВ + ВС)nОА + λ0/2. (4.3)

Оптическим ходом луча называют произведение

геометрического хода (АВ +ВС) на показатель

преломления среды, в которой распространяется луч. На участке АО луч 1 распространяется в воздухе, для которого  nВ = 1. В формулу для оптической разности хода введено слагаемое λ0/2, так как вектор  напряженности луча 1 при отражении от оптически более плотной среды изменяет свою фазу на π или луч 1 теряет полволны. λ0 – длина волны в вакууме. Подставляя параметры пленки и угол падения в формулу (4.3), для оптической разности хода можно окончательно записать:

     .     (4.4)

 Для данного примера условия наблюдения  максимумов и минимумов будут выглядеть таким образом:

 максимумы:

 минимумы:  

 Отметим, что для наблюдения интерференционной картины нужно брать тонкую пленку, чтобы для естественного света  лучи 1 и 2 после линии ОС были когерентными: ОС rк (из за пространственной когерентности) и ∆ ≤  lк (из за временной когерентности).

Как видно из формулы (4.4), оптическую разность хода лучей можно изменять либо изменением угла падения i, либо изменяя толщину пленки d. Рассмотрим полученные интерференционные картины.

Если на пленку одинаковой толщины d падает монохроматический свет под одним и тем же углом i  и выполняется условие максимума, то пленка в отраженных лучах будет светлой (имеющий цвет падающей длины волны). При выполнении условия минимума отраженных лучей не будет. Свет не отражаясь, проходит через пленку.

Если на пленку с линейно изменяющейся толщиной d (клин) (рис. 4.7) падает монохроматический свет под одним и тем же углом i, то в отраженных лучах будут наблюдаться полосы равной толщины. Если на этот клин направить белый свет, то максимумы превратятся в спектры.

В пределах каждого максимума цвет будет плавно меняться от красного к фиолетовому.

4.4. Практическое применение явления интерференции.

Интерферометры

 Просветление оптики. На границе раздела  воздух – стекло отражается 4% энергии световой волны. Поэтому при наличии в оптическом приборе достаточного количества линз, зеркал, преломляющих тел до наблюдателя доходит малая часть первоначальной энергии световой волны.

 

Чтобы увеличить освещенность изображения с помощью интерференции убирают отраженные лучи. Для этого на поверхность линзы наносят тонкую пленку, у которой показатель преломления меньше, чем показатель преломления линзы. В этом случае, наряду с лучом 1, отраженным от поверхности линзы, возникает луч 2, отраженный от поверхности пленки (рис. 4.8а). Эти лучи должны быть когерентными, что бы отражаясь, они гасили дуг друга. Толщина пленки определяется из условия

   .

В этом случае происходит перераспределение световой энергии; она вся проходит в линзу, отраженной волны не будет.

 Определение качества обработки поверхностей. На исследуемую поверхность кладут плоскопараллельную пластинку так, чтобы создать воздушный зазор между  исследуемой поверхностью и пластинкой (рис. 4.8б). По искажению картины интерференции можно обнаружить дефекты ее обработки (царапины, шероховатость), так как в места нахождения дефекта искажена правильная картина чередования светлых и темных полос.

 Интерферометры. Это приборы, в которых наблюдаемая картина интерференции служит для практических целей (для точных измерений длин волн, размеров малых предметов, показателей преломления газов, определения шероховатости  поверхностей деталей и др.).

Картина интерференции  получается пространственным делением пучка света на два или большее количество когерентных пучка, создания между ними оптической разности хода и затем наложения с целью получения картины интерференции.

Существуют различные виды таких приборов; здесь рассматривается двух лучевой интерферометр Майкельсона (рис. 4.9).

Источник монохроматического света посылает луч на пластинку А, установленную под углом 45о, которая покрыта слоем вещества, пропускающего половину падающего на него света, вторая полвина луча отражается. Луч 2 проходит пластину А, падает на зеркало 2, отражается от него, проходит снова пластину А, отражаясь, попадает в зрительную трубу. Луч 1, после отражения от пластины А, проходит пластину В, отражается от зеркала 1, проходит

пластины В и А и попадает в зрительную трубу. Пластинка В необходима для того, чтобы создать одинаковые условия для лучей 1 и 2. Если зеркала 1 и 2 будут взаимно перпендикулярны, то на экране в зрительной трубе будет наблюдаться светлое или темное пятно. Для создания картины интерференции одно из зеркал немного наклоняют, это приводит к изменению оптической разности хода лучей, и на экране будут наблюдаться полосы равной толщины.

Если, например, вместо зеркала 1 поместить деталь, шероховатость которой надо определить, то по искажению линий интерференции можно определить степень шероховатости.

Если надо определить размер h малого предмета, то совместив один из концов этого предмета с зеркалом 2, перемещают это зеркало до другого конца предмета, считая число полос прошедших мимо указателя зрительной трубы. Тогда

   ,     

где N – число темных полос, прошедших мимо указателя.

    Лекция 5

5.1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса – Френеля. Метод зон Френеля

Под дифракцией света понимают явление непрямолинейного распространения света, проникновение его в область геометрической тени, огибание им препятствий. Основные закономерности явления дифракции можно понять на основе принципа Гюйгенса – Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса – Френеля каждая точка фронта волны является источником вторичных когерентных волн. Этот принцип сводит явление дифракции к интерференции вторичных когерентных волн. Между явлениями интерференции и дифракции нет принципиального различия: если рассматривать наложение малого числа когерентных волн – это будет интерференция, если большого – дифракция.

Покажем, как можно объяснить явление дифракции с помощью принципа Гюйгенса – Френеля. Пусть на преграду, в которой имеется щель, падает плоская волна. На рис. 5.1 она изображена в тот момент времени t1, когда фронт волны занимает положение в этой щели. Найдем положение фронта волны в следующий момент времени t2 = (t1 + ∆t). Он отстоит от первоначального положения на достаточно малый интервал времени, за который вторичные волны проходят расстояние R, значительно меньшее размеров щели d (R = ct << d).

Каждая точка фронта волны в соответствии с принципом Гюйгенса – Френеля является источником вторичных волн, которые за время ∆t проходят расстояние R, и фронт вторичной волы будет представлять собой сферу. Положение фронта волны в момент t2 можно найти как огибающую фронтов вторичных волн (рис.5.1). Учитывая, что скорость волны в каждой точке фронта волны перпендикулярна к ней, можно видеть, что имеются участки фронта волны, которые обеспечивают проникновение света в область геометрической тени. Если размеры этих участков фронта волны будут соизмеримы с размерами щели, то тогда явление дифракции света будет наблюдаться; если же они будут существенно меньше размеров щели, то явление дифракции, хоть и будет существовать, но будет незаметным.

На рис. 5.2 показано в определенный момент времени положение фронта волны, излучаемой  точечным источником S монохроматического излучения (λ0). Найдем результирующую амплитуду волн, приходящих от всех точек фронта волны в точку наблюдения Р. В этой точке будет иметь место результат сложения вторичных когерентных волн, испускаемых каждым малым участком фронта волны.

Для расчета результирующей амплитуды используем метод разбиения фронта волны на зоны, предложенный Френелем. Для этого из точки наблюдения проводят сферы радиусов               и т.д.  Эти сферы разбивают фронт волны на зоны Френеля. При этом зоны Френеля обладают следующими свойствами.

1. Волны, приходящие в точку наблюдения от соседних зон Френеля имеют оптическую разность хода равную λ0/2 или разность фаз, равную π.

2. При не слишком больших значениях номера m зоны площади зон примерно одинаковы.

3. Для амплитуды волн, приходящих от разных зон Френеля, в точку наблюдения, справедливы следующие соотношения:

  А1 > А2 > А3 > А4 > А5 …,  .

C увеличением номера зоны будет уменьшаться амплитуда волны, приходящей в точку наблюдения, от рассматриваемой зоны.

Введение зон Френеля позволяет найти результирующую амплитуду в точке наблюдения через амплитуду волн от всех зон Френеля.

  

. (5.1)

В формуле (5.1) учтено, что при значении N, стремящемуся к бесконечности, вкладом зоны Френеля  с номером N можно пренебречь, по сравнению с вкладом от первой зоны Френеля.

Итак, в точке наблюдения результирующая амплитуда всех вторичных волн, испущенных от всех точек фронта волны, равна половине амплитуды вторичной волны, приходящей в точку наблюдения от первой зоны.

Метод зон Френеля позволяет предложить способы для получения значений амплитуды в точнее наблюдения, превышающих значение А1/2. Так, если закрыть непрозрачным экраном все зоны Френеля, кроме первой, то тогда можно увеличить амплитуду результирующей волны в два раза (АР = А1), а интенсивность – в четыре раза.

Для дальнейшего увеличения АР можно на пути волны поставить зонную пластинку, которая закрывает все четные зоны Френеля, что приводит к следующему результату:

   

Максимальное увеличение амплитуды АР можно получить с помощью фазовой зонной пластинки, которая изменяет фазу волн, идущих в точку наблюдения от четных зон Френеля на значение, равное π:

   

5.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии

Рассмотрим конкретный пример расчета дифракционной картины с использованием метода зон Френеля. Точечный источник монохроматического излучения посылает волну на преграду, в которой имеется круглое отверстие (рис. 5.3а). Необходимо ответить на вопрос, что наблюдается на экране в точке О, расположенной против источника излучения.

Разобьем видимую часть фронта волны на зоны Френеля. Пусть отверстие открывает первые i зон. Суммируя знакопеременный ряд, получим следующее выражение для амплитуды результирующей волны

  (5.2)

Как видно из полученного выражения, здесь возможны два случая.

1. Если число i мало и нечетное, то тогда в точке О будет наблюдаться светлое пятно, так как Аi  ≈  А1 и, следовательно, На экране будет наблюдаться дифракционная картина, состоящая из светлых (окрашенных в один цвет) и темных колец (рис. 5.3б).

2. Если же число зон будет малым и четным, то тогда в точке будет наблюдаться темное пятно. На экране, как и первом случае, будет наблюдаться дифракционная картина с темным пятном в центре (рис. 5.3в).

Дифракционная картина будет отсутствовать, если отверстие открывает меньше чем одну зону Френеля. В этом случае на экране наблюдается монотонная картина падения интенсивности света от центра к краям (рис. 5.3г). Если же отверстие открывает достаточно большое число зон, то и в этом случае дифракционной картины практически не будет. На экране будет наблюдаться светлое изображение отверстия.

5.3. Дифракция Фраунгофера на одной щели.

Пусть плоская монохроматическая волна (λ0) падает перпендикулярно на поверхность щели шириной а (АВ = а). Между экраном и щелью располагается собирающая линза, которая собирает все параллельные между собой лучи, идущие под углом φ к первоначальному направлению падения лучей на щель, в одну точку на поверхности экрана (рис. 5.4а).

Для расчета дифракционной картины, наблюдаемой на экране, используем метод зон Френеля. Отметим, что на линии АВ оптическая разность хода вторичных волн, испускаемых каждой точкой фронта волны, равна нулю, после линии АС она не

изменится.

 

Поэтому оптическая разность хода возникает при переходе от линии АВ к АС, то есть отрезок ВС определяет оптическую разность хода для крайних лучей, идущих под углом φ.

Разделим отрезок ВС на участки длиной λ0/2, затем проведем через границы этих участков прямые, параллельные линии АС. Это приведет к делению фронта волны на прямоугольные полоски одинаковой ширины, которые и представляют собой зоны Френеля. Для соседних зон оптическая разность хода волн будет равна λ0/2, что и является главным свойством зон Френеля.

Если на отрезке АВ укладывается четное число зон Френеля, то на экране в точке М наблюдается темная полоска, то есть условием наблюдения минимумов дифракционной картины является уравнение:

            (5.3)

Если на отрезке АВ укладывается нечетное число зон Френеля, то в точку наблюдения приходит свет только от одной зоны, которая и дает на экране светлую полосу. Условия наблюдения максимумов дает уравнение:

     (5.4)

На рис. 5.4б приведена дифракционная картина, отражающая зависимость интенсивности I не от координаты точек экрана, а от значения sin φ. В центре картины, для угла φ = 0, наблюдается центральный максимум нулевого порядка. Как показывают расчеты, интенсивность первых (m =1) максимумов в 22 раза меньше центрального максимума.

Представляет интерес рассмотреть влияние ширины щели на дифракционную картину. Если ширина щели а меньше длины волны λ0, то картина дифракции не наблюдается (рис. 5.4в), так как λ0/a >1 (условия минимумов не выполняются).

Если ширина щели значительно превышает длину волны падающего излучения, то на экране наблюдается изображение этой щели (рис. 5.4г), а по краям этого изображения  наблюдаются чередование близко прилегающих друг к другу полосок малой интенсивности.

   5.4. Дифракционная решетка

Рассмотрим плоскую периодическую структуру  из параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками. На практике обычно роль щелей выполняют прозрачные участки стеклянных пластинок, разделенных непрозрачными штрихами, наносимыми с помощью алмазных резцов. Такие структуры и называют дифракционными решетками. Современные технологии позволяют изготовлять решетки, лучшие из которых имеют свыше 1000 штрихов на длине в 1 мм при полном числе штрихов до 200000. Суммарная ширина щели а и непрозрачного промежутка b называется периодом решетки d = (a + b).

Пусть на решетку с N щелями (рис. 5.5) падает плоская монохроматическая волна. За решеткой располагается линза, в фокальной плоскости которой находится экран. Каждая из щелей дает на экране картину, описываемую кривой, изображенной на рис. 5.4б. Картины от всех щелей придут на одно и то же место экрана. Если бы колебания, приходящие в точку М от разных щелей, были не когерентными, результирующая картина от  N щелей отличалась бы от картины, созданной одной щелью, лишь тем, что интенсивности во всех точках возросли бы в N раз.

В дальнейшем мы будем полагать, что радиус когерентности падающей волны превышает длину решетки, поэтому колебания от всех  щелей можно считать когерентными. Волны же идущие от двух соседних щелей будут отличаться по фазе колебаний на величину

   

где λ – длина волны в данной среде, d sin φ – разность хода для лучей, идущих под углом φ, например, от крайних точек соседних щелей (рис. 5.5).  При наложении когерентных волн  происходит перераспределение  световой энергии в фокальной плоскости линзы (рис. 5.5).

Основная часть световой энергии попадает в главные максимумы. Условие главных максимумов определяет выражение:

   .

Интенсивность главных максимумов в N2 раз больше чем интенсивность в этом направлении φ от одной щели. Между главными максимумами наблюдаются вторичные максимумы, разделенные добавочными минимумами. В дифракционной картине  для направлений φ, удовлетворяющих условию asinφ = mλ0, наблюдаются главные минимумы.

На рис. 5.6 приведено распределение интенсивности  света решеткой с N = 4 и  d/a = 3. При весьма большом числе щелей картина на экране будет представлена узкими очень яркими полосками, разделенными почти темными промежутками, ибо вторичные максимумы очень слабы по сравнению с главными. Расстояние между главными максимумами возрастает с уменьшением периода решетки d = (a + b).

5.5. Дифракция рентгеновских лучей

 

Рентгеновские лучи представляют собой ЭМВ  с длиной волны λ ≈ 1∙ 10-10 м. Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы размеры препятствий были сопоставимы с длиной волны падающего излучения. Искусственное изготовление решеток для рентгеновских лучей путем нанесения алмазным резцом на поверхности стекла штрихов невозможно. В качестве дифракционной решетки для рентгеновских лучей используют монокристаллы – это кристаллы, в которых атомы расположены упорядоченно в узлах кристаллической решетки (рис. 5.7а). Расстояние между слоями такой пространственной  решетки называют периодом решетки d. Атомы, расположенные в одной плоскости, отражают часть потока, падающего на него. Поэтому совокупность атомов, лежащих в одной плоскости, является аналогом одномерной дифракционной решетки, а сам кристалл можно рассматривать как двухмерную и трехмерную дифракционную решетку.

Рассмотрим дифракцию рентгеновского излучения при отражении от кристалла. Пусть на кристалл под углом скольжения θ падает  рентгеновское излучение с длиной волы λ0. От каждой из плоскостей будет наблюдаться  частичное отражение падающего излучения. Лучи 1 и 2  после отражения останутся когерентными, если у них оптическая разность хода не превысит длину когерентности.  На линии ОА оптическая разность хода была равна нулю. После линии ОС она не изменяется, поэтому возникшая оптическая разность хода для лучей 1 и 2 будет равна

  ∆ = (АО' - О'С) = 2d sin θ.

Условие максимального усиления когерентных волн при дифракции рентгеновских лучей на монокристалле запишем в виде:

 2d sin θ = m λ0,   m = 0, 1, 2, 3, …      (формула Вульфа - Брэгга)

Дифракционную картину наблюдают следующим образом. Источник рентгеновского излучения посылает лучи на поверхность кристалла под углом скольжения θ, приемник регистрирует интенсивность отраженного луча (рис. 5.7б). Непрерывно изменяя (сканируя) угол скольжения строят график зависимости интенсивности I отраженного излучения от угла  скольжения (рис. 5.7в). На графике углы θ1, θ2, θ3 определяют положение максимумов дифракционной картины.

Рентгенограммы по известной длине волны падающего рентгеновского излучения  позволяют определять структуру кристаллов.

Лекция 6

6. 1. Взаимодействие света с веществом

Понимание многих явлений взаимодействия ЭМВ с веществом возможно в рамках классической электронной теории. Согласно этой теории  внутри атомов находятся электроны, которые могут совершать затухающие колебания около своих положений равновесия. Для каждого атома существуют собственные частоты ω колебаний электронов.

Поглощение света. Под поглощением понимают процесс уменьшения интенсивности света, связанный с переходом энергии волны во внутреннюю энергию вещества (вещество нагревается, ионизируются и возбуждаются атомы и молекулы и т. д.).

Световая волна возбуждает в веществе вынужденные колебания электронов внутри атомов. Эти вынужденные колебания приводят к возникновению вторичных волн, которые частично возвращают энергию первичному потоку, а часть энергии превращается во внутреннюю энергию вещества.

Поглощающие свойства вещества зависят от частоты (длины волны) движущегося в веществе света. Действительно, наибольшая энергия затрачивается волной на раскачку электронов при совпадении частоты падающей волны ω с собственными частотами колебаний электронов в атомах (ω = ω). В этих случаях амплитуда колебаний электронов будет максимальной, максимальным будет и поглощение света.

Найдем зависимость интенсивности I проходящей через вещество волны от расстояния  х.

Пусть плоская световая волна интенсивности I падает нормально на поверхность пластинки толщиной dx (рис. 6.1а). На выходе из нее, за счет поглощения, уменьшится и станет равной (I - dI). Причем dI будет пропорциональной I, dx, и поэтому можно записать следующее равенство:

dI = - αIdx,    где α – коэффициент поглощения.

Интегрируя это выражение, получим закон Бугера – Ламберта:

  

 На рис. 6.1б  приведен спектр поглощения для разреженного газа, паров металлов при не высоком давлении. На рис. 6.1в приведен спектр разреженного газа с многоатомными молекулами. Он представляет собой набор полос поглощения (систем близко расположенных линий), обусловленных строениями молекул, колебательными и вращательными движениями внутри молекул. Жидкие и твердые диэлектрики характеризуются широкими полосами поглощения, связанными с сильным взаимодействием между молекулами и атомами, что приводит к появлению дополнительных резонансных частот поглощения (рис. 6.1г).

Наличие большого количества свободных электронов в металлах приводит к большим коэффициентам отражения падающего излучения. За счет возникновения токов проводимости  вблизи поверхности металла преломленная волна быстро поглощается металлом.

Дисперсия света. Дисперсия света обусловлена зависимостью фазовой скорости ЭМВ в среде от ее частоты или длины волны. В оптике эта зависимость сводится к зависимости показателя преломления вещества от длины волны (частоты):

Наглядно явление дисперсии света можно наблюдать при прохождении светом призмы из прозрачного материала. При этом разные длины волн видимого диапазона имеют разные показатели преломления, что приводит к разложению белого света в спектр (рис. 6.2а).

Если построить по результатам эксперимента график зависимости показателя преломления n от ω, то получим приведенную на рис. 6.2б кривую. Из графика видно, что вдали от собственных частот колебаний электронов в атоме dn/ > 0. Т.е. с ростом ω n увеличивается, что соответствует нормальной дисперсии. Вблизи собственных частот колебаний электронов в атоме происходит сильное поглощение света веществом. Для этого диапазона частот наблюдается аномальная дисперсия (dn/ < 0).      

Рассеяние света.  Под рассеянием понимают перераспределение по всем направлениям интенсивности проходящего через среду света, обусловленное дифракцией вторичных волн на неоднородностях среды. Под неоднородностями среды понимают наличие в ней областей (частиц), размещенных внутри неё хаотично и в которых показатель преломления существенно отличается от показателя преломления среды.  

Примером неоднородных сред с явно выраженной оптической неоднородностью являются мутные среды. К ним относятся: аэрозоли – это дым, туман; эмульсии – взвеси в жидкостях  мелких капелек другой жидкости; суспензии – взвеси в жидкостях частиц твердого вещества.

6.2. Тепловое излучение. Закон Кихгофа

 Под тепловым излучением понимают излучение электромагнитных волн телами за счет их внутренней энергии, то есть за счет теплового движения молекул и атомов. Такое излучение присуще всем телам, так как тепловое движение существует при всех температурах выше абсолютного нуля.

В отличие от других видов излучения тепловое излучение является равновесным, то есть может находиться в равновесии с излучающим телом. Это связано с тем, что интенсивность теплового излучения I зависит от температуры излучающего тела, и поэтому любые отклонения от равновесного состояния между излучающим телом и излучением приводят к тому, что положение равновесия восстанавливается.

Действительно, пусть внутри тела имеется полость (рис. 6.3), заполненная тепловым излучением. Если, например, температура тела внезапно увеличится, то тогда интенсивность излучения станет больше, что приведет к уменьшению внутренней энергии тела U, которая пропорциональна температуре. Следовательно, температура станет меньше, интенсивность излучения понизится и снова наступит равновесие между телом и излучением в полости.

Для описания теплового излучения вводятся такие понятия, как спектральная плотность энергетической светимости rλ,T (испускательная способность) и энергетическая светимость RT:

     (6.1)

 Как видно из формул (6.1), RT представляет собой энергию, излучаемую с единицы поверхности тела в единицу времени во всем интервале длин волн (или частот). Спектральная плотность энергетической светимости rλ,T определяет энергию, излучаемую с единицы поверхности тела в единицу времени в единичном интервале длин волн. В теоретических и экспериментальных исследованиях наряду с rλ,T применяется характеристика rν,T, зависящая от частоты излучения.

Для описания способности тел поглощать электромагнитное излучение вводят монохроматический коэффициент поглощения (поглощательную способность)

 

Он показывает, какая часть энергии dWпад падающего  излучения с длинами волн в пределах от λ до λ + поглощается телом.

 По способности поглощать электромагнитное излучение выделяют два идеальных тела:

 абсолютно черное тело (а.ч.т.) – тело, которое во всем интервале длин волн поглощает полностью падающее на него излучение (aλ,T = 1);

 абсолютно серое тело (а.с.т.) – тело, для которого поглощательная способность во всем интервале длин волн является постоянной величиной, меньшей единицы (aλ,T = const < 1). 

Моделью а.ч.т. можно считать полость внутри тела, которое имеет малое входное отверстие (рис. 6.4). Действительно, все излучение, попадающее в эту полость, практически не выходит наружу. Это связано с тем, что при многократных отражениях от стенок полости энергия падающего излучения практически полностью поглощается. Следовательно, поглощательная способность такой полости во всем интервале длин волн будет равна единице, и тогда выходящее из полости тепловое излучение представляет собой излучение а.ч.т. 

Поглощательная и испускательная способности любого тела связаны между собой законом Кирхгофа. Согласно закону Кирхгофа в состоянии теплового равновесия отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности

не зависит от природы тела и является универсальной функцией температуры тела и длины волны, которую называют универсальной функцией Кирхгофа, или испускательной способностью абсолютно черного тела:

  

где r 0λ,T – испусательная способность абсолютно черного тела.

Из закона Кирхгофа следует, что если на каком то интервале длин волн тело сильно излучает, то на этом интервале длин волн оно и сильно поглощает.

Излучение а.ч.т. можно излучить с помощью спектральных приборов и построить график зависимости испускательной способности r0λ,T  от длины волны λ (рис.6.5б). Как видно из рисунка, график имеет максимум, зависящий от температуры тела; кривая r0λ,T  плавно спадает в области больших длин волн и практически равна нулю в области рентгеновского излучения. С увеличением температуры интенсивность излучения возрастает, максимум r0λ,T  увеличивается и смещается в область малых длин волн.

6.3. Законы теплового излучения

 Можно показать, что площадь под графиком испускательной способности r0λ,T абсолютно черного тела прямо пропорциональна четвертой степени его температуры. Если учесть, что площадь под графиком а.ч.т. определяется энергетической светимостью тела RT , то тогда можно сформулировать закон Стефана – Больцмана: энергетическая светимость абсолютно черного тела прямо пропорциональна четвертой степени его температуры:

     RT = σ T4.

Входящая в формулу величина σ получила название постоянной Стефана – Больцмана: σ = 5,67 ∙ 10-8 Вт/(м2∙К4).

Вин с помощью законов термодинамики и электродинамики доказал теоретически, что длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре абсолютно черного тела

     

где постоянная Вина b = 2,898∙10-3 м ∙ К. Этот закон был подтвержден затем теоретически.

Законы теплового излучения абсолютно черного тела, полученные экспериментально, а также с помощью термодинамического подхода, поставили задачу теоретического объяснения этих законов и вывода формулы испускательной способности а. ч. т.

Расчет испускательной способности а. ч. т. в рамках классической физики был проведен  Рэлеем и Джинсом. Они рассматривали равновесное излучение в закрытой полости. Предполагалось, что атомы стенок излучают волны непрерывно. Сопоставление графика испускательной способности а. ч. т., построенного по формуле Рэлея – Джинса, с экспериментальной кривой (рис. 6.6) свидетельствует о том, что наблюдается согласие в области длинноволнового излучения и резкое расхождение в области ультрафиолетового и рентгеновского излучений. 

Итак, классическая физика не смогла объяснить зависимости от длины волны спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела во всем интервале длин волн. Сложившееся на этот момент времени состояние в классической физике, когда для теплового излучения наблюдалось резкое расхождение между теоретическим и экспериментальным значениями  r0λ,T  в ультрафиолетовой области и нарушался закон сохранения энергии, получило название ультрафиолетовой катастрофы.

Впервые правильная формула для испускательной способности абсолютно черного тела была получена Планком. Им было высказано чуждое классической физике предположение о том, что атомы излучают электромагнитные волны не непрерывно, а отдельными порциями энергии (квантами). Согласно Планку, энергия кванта ε электромагнитной волны с частотой ν определяется формулой:

     

где с – скорость света в вакууме, h =  6,626 ∙ 10-34 Дж ∙ с – постоянная Планка.

В итоге Планком была записана следующая формула для испускательной способности абсолютно черного тела:

    

Полученное выражение для r0λ,T  полностью описывает зависимость спектральной плотности энергетической светимости а. ч. т. от длины волны во всем интервале длин волн. Из нее также вытекают законы Стефана – Больцмана  и Вина.

 

Лекция 7

7.1. Внешний фотоэффект. Законы фотоэффекта

 

Под внешним фотоэффектом понимают процесс выбивания электронов из вещества под действием света.  Фотоэффект был открыт Герцем в 1887 году и систематически исследован Столетовым  в 1888 – 1889 г. Принципиальная схема установки для исследования фотоэффекта приведена на рис. 7.1.

Свет освещает катод К, изготовленный из исследуемого металла. Электроны, испущенные катодом, перемещаются под действием электрического поля к аноду А, в результате в цепи фотоэлемента течет фототок I, измеряемый гальванометром Г. Напряжение между анодом и катодом можно изменять потенциометром П.

На рис. 7.2 приведено семейство вольт - амперных характеристик, снятых при одной и той же частоте, но при разных потоках (интенсивностях) света. По результатам исследований  были сформулированы следующие законы

внешнего фотоэффекта:

Максимальная начальная скорость фотоэлектронов, вылетающих с поверхности катода, определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.

Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта νК – такая минимальная частота падающего излучения, ниже которой фотоэффект не наблюдается.

Число фотоэлектронов, вырываемых из катода за единицу времени, пропорционально интенсивности света падающего на катод при неизменном спектральном составе.

 При объяснении первого и второго законов  с помощью классической физики возникли следующие трудности. Было совершенно не понятно, почему начальная скорость вылетающих из катода электронов зависит от частоты света, а не от его интенсивности. Согласно электромагнитной теории  вырывание свободных электронов из металла должно являться результатом их «раскачивания» в электрическом поле световой волной. Увеличение интенсивности, а, следовательно, и амплитуды световой волны должно приводить к увеличению начальной скорости фотоэлектронов.

Трудности в истолковании первого и второго закона фотоэффекта вызвали сомнение в универсальной применимости волновой теории света и привели А. Эйнштейна  к созданию квантовой теории света.

Эйнштейн развил идею Планка о квантовом характере излучения атомами. Он предположил, что свет не только излучается, но также распространяется в пространстве и поглощается веществом в виде отдельных порций – квантов электромагнитного излучения. Эти кванты были названы фотонами. Процесс поглощения света веществом сводится к тому, что фотоны передают всю свою энергию частицам вещества. Для выхода электрона из вещества он должен совершить работу выхода А. В результате поглощения фотона  электрон приобретает энергию hv. Если hv ≥ А, то электрон может совершить работу выхода и вырваться из металла. В соответствии с законом сохранения энергии максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна

 

 Это уравнение  впервые было предложено Эйнштейном и называется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта. Оно с успехом объясняет сформулированные выше законы фотоэффекта для небольших интенсивностей света.

7. 2. Эффект Комптона

 Рассмотрим эксперимент по рассеянию рентгеновского излучения веществом. Пучок рентгеновских лучей с определенной длиной волны λ падает на кристалл и рассеивается им под разными углами (рис. 7.3).

Оказывается, что в рассеянном излучении наряду с излучением с длиной волны λ (несмещенная компонента излучения) появляется рассеянное излучение с длиной волны λ' (смещенная компонента излучения), причем λ' > λ (рис. 7.3б).

В появлении смещенной компоненты в рассеянном веществом рентгеновском излучении и заключается эффект Комптона. Причем оказалось, что λ' не зависит от природы рассеивающего вещества  и рассчитывается по формуле

       (7.1)

Входящая в выражение (7.1) величина λС называется комптоновской длиной волны:

       (7.2)

 Попытка объяснить появление смещенной компоненты при рассеянии рентгеновского излучения  на веществе с помощью волновых представлений не увенчалась успехом. Для успешного объяснения рассматриваемого явления использовали представление о том, что как и при фотоэффекте, электромагнитное излучении (рентгеновские лучи) проявляет свойство частиц, то есть оно представляет собой поток частиц с энергией

  и импульсом  

 Используя законы сохранения энергии и импульса при рассеянии фотонов на свободных и слабо связанных электронах (электроны у которых энергия связи с атомом много меньше энергии фотона) (рис. 7.3в) и было получено выражение (7.1).

Несмещенная компонента возникает при рассеянии фотонов на сильно связанных с атомами электронах, для них энергия связи с атомом значительно превосходит энергию налетающего фотона. Поэтому процесс рассеяния фотона будет происходить на атомах, что приводит к существенному уменьшению различия  между длинами волн λ' и λ – в этом случае в формулу (7.2) войдет не масса покоя электрона, а масса атома. Такое различие в длинах волн в эффекте Комптона не обнаруживается.

Относительно интенсивностей смещенной и несмещенной компонент отметим следующее. Интенсивность смещенной компоненты будет больше, чем интенсивность несмещенной компоненты для элементов с малым номером в таблице Менделеева (см. рис. 7.1б). Это связано с тем, что для атома с малым атомным номером преобладают электроны слабо связанные с атомами, поэтому рассеяние фотонов идет в основном на свободных электронах. Для атомов с большими атомными номерами преобладает число электронов, сильно связанных с атомами, и поэтому интенсивность несмещенной компоненты будет больше (рис. 7.3б).

7.3. Природа электромагнитного излучения

 Итак, электромагнитное излучение в одних опытах проявляет волновые свойства (интерференция, дифракция и поляризация сета), а в других – корпускулярные свойства (тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона). Возникает вопрос: что представляет собой электромагнитное излучение? С современной точки зрения это поток особых частиц, называемых фотонами. Они обладают корпускулярно-волновым дуализмом, сочетают в себе свойства и частиц, и волны одновременно. Остановимся на характеристике корпускулярных параметров электромагнитного излучения. Энергия фотона  . Из теории относительности мы знаем, что полная энергия частицы   из этого соотношения следует, что  Масса  фотонов         имеет  конечное значение. Чтобы выполнялось условие конечности, масса покоя этой частицы должна быть равна нулю и ее  скорость распространения v должна быть равна скорости света в вакууме (v = c).

Следовательно, фотоны это частицы у которых масс покоя равна нулю, они могут распространяться только со скорость света в вакууме.  Импульс фотона

          (7.3)

7.4. Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома

 К началу 20 века было с полной достоверностью установлено, что в состав каждого атома входят электроны. Вместе с тем было установлено, что атом в целом электрически нейтрален. Отсюда следовало, что отрицательный заряд электронов в атоме должен компенсироваться суммарным положительным зарядом каких то других частиц, входящих в состав атома.

В 1911 г. Резерфорд, с целью изучения структуры атомов, провел эксперименты по изучению рассеяния α-частиц (имеющих положительный заряд, равный двум элементарным зарядам, и массу в 7350 раз больше массы электрона), проходящих через вещество. Схема опыта Резерфорда показана на рис. 7.4а. α-частицы, испускаемые радиоактивным веществом, двигались в вакууме и, проходя через фольгу F (толщиной около 1 мкм), падали на люминесцентный экран Q. Удар каждой α-частицы об экран вызывал кратковременную вспышку – сцинтилляцию, наблюдаемую в микроскоп.

Наблюдения показали, что большинство α-частиц проходит сквозь фольгу без заметного отклонения от первоначального направления, некоторые частицы отклоняются на небольшой угол и лишь немногие частицы претерпевают сильное отклонение (рис. 7.4б).

Естественно предположить, что отклонение α-частиц вызвано их взаимодействием с массивными положительно заряженными частицами, имеющими малый размер и расположенными на большом расстоянии друг от друга.

Исследования позволили определить порядок размера  этой частицы (10-13 см) и его заряд. Оказалось, что заряд q, выраженный в элементарных зарядах е, равен порядковому номеру Z химического элемента в периодической системе Менделеева:

 

     q/e = Z.

На основании полученных результатов Резерфорд предложил ядерную (планетарную) модель строения атома. Согласно этой модели, весь положительный заряд и почти вся масса атома сосредоточены в атомном ядре, размер которого ничтожно мал по сравнению с размером атома (10-8 см). Вокруг ядра по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Заряд ядра равен по абсолютному значению суммарному заряду электронов.

7.5. Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца

 С точки зрения классической физики предложенная Резерфордом модель атома обладала двумя недостатками. Во-первых, она приводит к неустойчивости атома. Действительно, ускоренно движущиеся  по круговым орбитам электроны (для них центростремительное ускорение не равно нулю) излучают электромагнитные волны, теряя энергию, и падают на ядро, то есть атом является неустойчивым. Во-вторых, теряя энергию, электрон излучает электромагнитные волны всех частот (сплошной характер излучения), тогда как на опыте наблюдаются линейчатые спектры излучения. Для того чтобы убрать эти недостатки модели Резерфорда, Бор ввел два постулата (недоказуемые утверждения). Приведем их формулировку.

1-й постулат. Существуют стационарные состояния, находясь в которых атом не излучает электромагнитные волны. Эти состояния выбираются из условия, при котором модуль механического момента импульса L кратен постоянной Планка

        (7.4)

 В формуле (7.4) величину n называют главным квантовым числом, оно определяет номер стационарного состояния.

 2-й постулат. Поглощение или излучение квантов света (фотонов) происходит при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия излучаемого или поглощаемого фотона равна разности энергий стационарных состояний:

        (7.5)

Наглядным подтверждением правильности постулатов Бора явились результаты опыта Франка и Герца.

Схема опыта заключалась в следующем. В стеклянной трубке создавался вакуум, затем она заполнялась парами ртути под низким давлением. В трубке находились катод К и анод А, а между ними располагалась сетка (рис. 7.5а). Катод подогревался и за счет термоэлектронной эмиссии испускал электроны. Между катодом и сеткой прикладывалось ускоряющее напряжение U, пройдя которое электроны приобретали кинетическую энергию  (mv2/2 = eU).

Между сеткой и анодом создавалась задерживающая разность потенциалов, равная U1 = 0,5 В (тормозящее электрическое поле). Измеряя силу тока, ткущего между анодом и катодом, снимали вольт- амперную характеристику (ВАХ, I = I(U), рис.7.5б).

В обычных условиях при упругих столкновениях между электронами и атомами напряжение U1 не сказывается на виде ВАХ.

Ситуация резко изменяется, если происходят неупругие столкновения электронов с атомами ртути, тогда электрон полностью отдает приобретенную кинетическую энергию атому, скорость электрона резко уменьшается, и он не сможет преодолеть задерживающую разность потенциалов U1. Это должно приводить к падению силы тока, протекающего в цепи.

Результаты опыта оказались следующими. До U = 4,9 В наблюдалось монотонное увеличение силы ток с повышением напряжения (это объясняется тем, что происходят только упругие столкновения электронов с атомами ртути), затем при напряжении            U = 4,9 В начинается падение силы тока (некоторые из электронов испытывают неупругие столкновения с атомами ртути, отдают им часть своей кинетической энергии и не могут преодолеть задерживающую разность потенциалов U1). При дальнейшем повышении напряжения ток начинает снова возрастать (электроны, испытавшие неупругие столкновения с атомами, получают в пространстве между катодом и сеткой достаточную кинетическую энергию от ускоряющего поля для преодоления U1 и достигают анода). При напряжении U = 9,8 В электроны испытывают два неупругих столкновения с атомами ртути, теряют полностью свою кинетическую энергию, что сопровождается вторым резким падением силы тока в цепи.

Следовательно, полученная ВАХ свидетельствует о том, что энергия атома в стационарных состояниях принимает только определенные значения. Наименьшая порция энергии ∆W, которую может поглотить атом, соответствует переходу электрона из основного состояния (W1) на первое возбужденное (W2) для атомов ртути ∆W = W2W1 = ‌ ‌ ‌‌‌‌eU = 4,9 эВ.

Лекция 8

8.1. Спектры атома водорода по теории Бора

 В атоме водорода вокруг ядра, несущего один электрический заряд е, движется один электрон. Ядро можно считать неподвижным, поскольку его масс в 1840 раз больше массы электрона; орбиты электрона можно в первом приближении полагать круговыми.

Определим полную энергию  W электрона в атоме. Она слагается из кинетической энергии Wк поступательного движения электрона по орбите и потенциальной энергии Wп взаимодействия электрона с ядром.

Так как центростремительной силой, удерживающей электрон на орбите радиуса r, является кулоновская сила притяжения между электроном и ядром,

 

        (8.1)

выражение кинетической энергии запишем в виде

        (8.2)

 

Что касается потенциальной энергии электрона, то она должна быть отрицательна и равна

        (8.3)

Поэтому            (8.4)

Т.е. полная энергия электрона в атоме оказывается отрицательной и равной по абсолютному значению ее кинетической энергии.

Решая совместно уравнение (8.1) и (7.4) (), получим после простых  преобразований выражение радиуса стационарных орбит атома водорода:

        (8.5)

По формуле (8.5) можно рассчитать радиус любой стационарной орбиты атома водорода. Так, например, радиус ближайшей к ядру орбиты r1 ≈ 0,53 ∙ 10-10 м.

Подставляя в формулу (8.4) выражение радиуса (8.5), получим

        (8.6) 

 По этой формуле можно рассчитать энергию электрона для любого стационарного состояния. Так, например, для состояния с n = 1 W1 ≈ 21,68 ∙ 10- 19 Дж = - 13, 55 эВ.              

В состоянии с n = 1 атом может находиться сколь угодно долго без воздействия извне. Это состояние называют основным состоянием. Все другие состояния атома (n > 1) - возбужденные. Для перевода атома из основного состояния  в возбужденное состояние необходимо затратить энергию извне, т. е. возбудить атом.

Из формулы (8.6) следует, что энергетический спектр электрона в атоме водорода является дискретным и сходящимся (рис. 8.1а). Энергия электрона на стационарном уровне со значением главного квантового числа n, равного , равна нулю (W = 0). Электрон, обладающий положительным значением энергии, покидает ядро, происходит ионизация атома.

В возбужденном состоянии атом может находиться ограниченное время. Из возбужденного  состояния атом самопроизвольно переходит в состояние с меньшей энергией, излучая квант энергии с частотой

  (8.7)

где - энергия уровней, между которыми осуществляется переход,                        R = 3,29 ∙ 1015 с-1 – постоянная Ридберга (в спектроскопических исследованиях используют значение R' = R/c = 1,097 ∙ 107 м-1).

Спектр излучения атома водорода можно разбить на ряд групп (серий) спектральных переходов (рис. 8.1а и б). Совокупность переходов на состояния с энергией Wn = 1, образуют серию Лаймана. Для этой серии

   

 Если nк = 2, то возникает серия Бальмера:

       

 Если nк = 3, то возникает серия Пашена:

   

 Учитывая, что длина волны спектрального перехода λ = с/v, нетрудно убедится, что серия Лаймана находится в ультрафиолетовой области спектра, линии серии Бальмера – в видимой области, а серии Пашена – в инфракрасной области спектра.

Теория Бора дала формулу, позволяющую объяснить спектр атомов водорода видимой области, известный к тому времени, предсказала существование спектров в ультрафиолетовой  и инфракрасной областях, которые вскоре были обнаружены.

 

8.2. Волны де Бройля.

Опыты, подтверждающие волновые свойства частиц

Успешно объясняя спектры атома водорода, теория Бора оказалась не в состоянии  объяснить спектры многоэлектронных атомов, так как она была внутренне противоречива.

 В 1927 г. Луи де Бройль высказал предположение, что не только электромагнитное излучение, но и частицы материи с массой покоя m0 ≠ 0 , движущие со скоростью , обладают корпускулярно-волновым дуализмом. Длина волны, соответствующая движущей частице, рассчитывается по формуле

          (8.8)

где р – импульс частицы. Это предположение в то время выглядело слишком смелым, так как тела большой массы не проявляли волновых свойств.

В связи с высказанной де Бройлем идеей был проведен ряд экспериментов по обнаружению волновых свойств у микрочастиц.

Девиссоном и Джермером эксперименты проводились по схеме, аналогичной опытам по дифракции рентгеновских лучей от поверхности кристалла. С помощью электронной пушки формировался пучок электронов с постоянной скоростью v, который посылался под углом скольжения  на поверхность кристалла. Интенсивность отраженного пучка электронов  I измерялась приемником (рис. 8.2а).

 

 

При фиксированном угле скольжения  непрерывно изменяли напряжение U на электронной пушке. При этом оказалось, что зависимость интенсивности I от носит не монотонный характер (рис. 8.2б). Максимумы интенсивности наблюдались на одинаковом расстоянии друг от друга, что можно объяснить с помощью формулы де Бройля (8.8):

 

 Как и для рентгеновских лучей, положение максимумов и минимумов интенсивности зависит от длины волны.

Томсоном и Тартаковским пучок электронов, имеющих постоянную скорость, посылался на тонкий лист металла, который можно рассматривать как трёхмерную дифракционную решетку. Электроны, пройдя через фольгу, давали на экране дифракционную картину.

Аналогичные опыты, проведенные с другими микрочастицами (протонами, атомами, молекулами), подтвердили наличие волновых свойств у потока микрочастиц.

8.3. Соотношения неопределенностей Гейзенберга

В отличие от классических частиц, микрочастицы обладают волновыми свойствами, поэтому для них не всегда применимы такие классические понятия, как координата, импульс, время, энергия, траектория движения и т. д. В связи с этим возникают ограничения на применимость этих понятий при описании движения микрочастиц. Эти ограничения устанавливаются соотношениями неопределенностей Гейзенберга, согласно которым произведение неопределенностей (∆А, ∆В) двух сопряженных величин (А, В) не может быть меньше постоянной Планка :

    

 Сопряженными называют величины, которые не могут иметь одновременно точных значений. Сопряженными, например, являются координата микрочастиц и ее импульс, энергия частиц в квантовом состоянии и время жизни этой частицы в рассматриваемом состоянии. Для этих сопряженных величин соотношения неопределенностей Гейзенберга можно записать в виде:

   ,

   ,  ,    (8.9)

   ,

где х, ∆у, ∆z  – неопределенности координат по осям х, у, z;   рх, ∆ру, ∆рz  – неопределенности импульсов по осям х, у, z;  W – неопределенность энергии частицы в квантовом состоянии;  t  – время жизни частицы в данном квантовом состоянии.

Чтобы убедиться  в справедливости формул (8.9), рассмотрим пример прохождения электронов через щель шириной а (рис. 8.3). Если пропустить через щель большее число электронов, из-за наличия у них волновых свойств, на экране можно обнаружить  дифракционную картину, состоящую, как и для света, из центрального максимума и очень слабых максимумов более высокого порядка.

 

При прохождении щели неопределенность координаты х = а. Оценим рх. Электрон, попадающий в минимум первого порядка, имеет проекцию импульса на ось х равную рх max. У разных электронов, попадающих в центральный максимум, рх   изменяется от  нулевого до максимального значения, рх ~ рх max = p sin φ1. А так как     a sin φ1 = λ , то sin φ1 = λ/a  и  ∆рхр (λ/a). Следовательно,

               

что и требовалось показать.

Согласно формуле

 

каждая линия излучения имеет естественную ширину или каждый излучаемый фотон имеет разброс по частотам. Поясним это с помощью рис. 8.4. В основном состоянии атом может находиться сколь угодно долго (∆tосн = ∞), и поэтому ширина по энергии такого состояния  равна нулю: ∆Wосн/∆tосн = 0. В возбужденном состоянии атом может находится в течении времени  tвозб 1∙ 10-8 с, что приводит к размыванию по энергии возбужденного уровня энергии атома: Wвозб/∆tвозб ≠ 0. Поэтому излучаемые при переходе в основное состояние фотоны будет иметь разброс по частотам.

Используя соотношения неопределенностей, при рассмотрении движения микрочастицы, решается задача применимости классической механики. Классическая механика применима для описания движения микрочастиц, если можно пренебречь волновыми свойствами частицы, то есть длина волны де Бройля существенно меньше характерного размера установки. Например, электроны, движущиеся в электроннолучевой трубке, имеют длину волны де Бройля много меньшую поперечного размера трубки, в этом случае можно пользоваться законами классической физики. При движении электронов в атомах выполняется обратное соотношение, волновые свойства существенны, понятие траектории утрачивается.

Лекция 9

9. 1. Вероятностный смысл волны де Бройля.

   Волновая функция

Какова физическая природа волн де Бройля? Ответить на этот вопрос трудно, так как волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии в классической физике.

И все же между светом и движущимися частицами существует нечто общее. Этим общим является проявление волновых свойств через статистические закономерности. Рассмотрим явление дифракции света от щели (рис. 9.1). Если через щель проходит свет, то на экране наблюдается дифракционная картина. Используя волновые свойства, мы можем рассчитать, как будет меняться интенсивность света на экране с изменением координаты х.

Если рассматривать свет как поток частиц (фотонов), то для фотона мы не можем определить, в какую точку на экране он попадет. Для фотона можно рассчитать только вероятность попадания его в ту или иную точку (w). И эта вероятность w ~ I ~ A2. Чтобы реализовать эту вероятность попадания фотонов в ту или иную точку на экране, необходимо пропустить большое число фотонов через щель. То есть получается, что волновые свойства света проявляются через статистические закономерности.

К такому же выводу мы придем, если в рассматриваемом эксперименте будем использовать поток частиц (волн де Бройля).

Чтобы описать распределение вероятности нахождения частиц в пространстве в квантовой механике используют волновую функцию ψ(х,у,z,t) (пси функцию). Пси функцию определяют следующим образом:

    ,

dwвероятность того, что частица находится в некотором элементарном объеме dV, пропорциональна  .

 Физический смысл имеет не ψ-функция, а ее квадрат модуля, который определяет вероятность обнаружения частицы в данном объеме (точка):

    

9. 2. Уравнение Шредингера

 Мы уже отмечали, что если частица обладает волновыми свойствами, которыми нельзя пренебречь в рассматриваемой задаче, то поведение такой частицы нельзя описывать уравнениями классической физики. Нужны новые уравнения, которые бы учитывали наличие волновых свойств. Одно из таких уравнений было получено Шредингером в 1926 г.

Оно имеет следующий вид:

      (9.1)

где - мнимая единица; m – масса частицы; U(x,y,z,t) – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется;  - оператор Лапласа, его действие на волновую функцию сводится к взятию вторых частных производных по координатам. В левой части уравнения берется частная производная от волновой функции по времени t.

Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики, оно не выводится, его справедливость проверяется сопоставлением полученных из него результатов с опытными данными. Его значение в квантовой механике сравнимо с уравнением Ньютона в классической механике и Максвелла в электродинамике.

Обычно рассматриваются силовые поля, которые явно не зависят от времени t. Их называют стационарными полями. В таких полях потенциальная энергия частицы не зависит от времени U = U(x,y,z), а полная энергия частицы остается постоянной           (W = U + Wк = const). Волновую функцию в этом случае можно представить в вида произведения координатной ее части на временную:

   

 Для координатной части волновой функции уравнение Шредингера (его называют стационарным уравнением Шредингера) принимает вид

    (9.2)

 В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого вида, как уравнение Шредингера имеют решения, удовлетворяющие требованиям конечности, непрерывности и однозначности не при любых значениях полной энергии W, а лишь при определенных. Эти значения  энергии называют собственными значениями, а соответствующие им волновые функции – собственные функции задачи.

Решая задачу, с использованием уравнения Шредингера, находят собственные значения энергии рассматриваемой частицы и соответствующие им волновые функции, которые и позволяют определить вероятность нахождения частицы с определенной энергией в интересующей области пространства.

9.3. Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме

с  бесконечно высокими стенками

Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х = l. Потенциальная энергия  U имеет в этом случае следующий вид (рис. 9.2а): она равна нулю при 0 ≤ хl и обращается в бесконечность при х < 0 и х > l.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.

Поскольку пси-функция зависит только от координаты х, уравнение Шредингера упрощается следующим образом:

        (9.3)

 За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружить частицу, а следовательно, и функция ψ за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что ψ должна быть равна нулю и на границы ямы, т. е.

что      Ψ(0)  =  ψ(l)  =  0.       (9.4)

В области, где ψ тождественно не равна  нулю уравнение (9.3), имеет вид:

     .         (9.5)

 Введя обозначение

               (9.6)

придем к уравнению, хорошо известному из теории колебаний:

    ψ'' + ω2ψ = 0.

Решение такого уравнения имеет вид:

    Ψ(х) = А sin (ωx + α).          (9.7)

Из условия Ψ(0)  =  0  получаем

    Ψ(0) = А sin α = 0,

откуда следует, что α должна быть равна нулю. Далее должно выполняться условие:

    Ψ(l) = А sin ωl = 0,  

что возможно лишь в случае, если

    ωl = ±     (n =   1, 2, 3, …).  (9.8)

Из уравнений (9.6) и (9.8) найдем собственные значения энергии частицы:

     (n =   1, 2, 3, …).  (9.9)

Спектр энергии оказался дискретным. На рис. 9.2б изображена схема энергетических уровней.

Оценим расстояние между соседними уровнями для различных значений массы частицы m и ширины ямы l. Разность энергии двух соседних уровней равна

   

 

Если взять m порядка массы электрона (9,1∙ 10-31 кг), а l порядка 0,1 м (электрон в сосуде), получим    эВ. Столь густо расположенные энергетические уровни будут восприниматься как сплошной спектр энергии. Однако совсем иной результат получится для электрона, если область, в которой он движется, будет порядка атомных размеров       (~ 10-10 м). В этом случае   эВ, так что дискретность энергетических уровней будет весьма заметной.

Подставив в (9.7) значение ω, найдем собственные функции задачи:   

    

Для нахождения А воспользуемся условием нормировки, которое в данном случае запишется следующим образом:

     

В результате получим, что А = . Таким образом, собственные функции имеют вид:

   (n = 1, 2, 3, …). (9.10)

Графики собственных функций изображены на рис. 9.3а.

На рис.9.3б приведена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная  . Из графика видно, что, например,  в состоянии с n = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.

Лекция 10

10.1. Прохождение частиц через потенциальный барьер

 Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U0 и ширины l (рис. 10.1). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (W .> U0),  частица беспрепятственно проходит над барьером. Если же W меньше U0, то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике. В квантовой механике с помощью уравнения Шредингера определяется коэффициент прозрачности потенциального барьера D, который равен отношению интенсивности волны, прошедшей потенциальный барьер, к интенсивности волны, падающей на барьер. Для рассматриваемой задачи находят следующее выражение:

       

    (10.1)

Из записанного выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера l и от U0W. Например, при m = me, U0W = 10 эВ, l = 10-10 м   D ~ 0,36. Если же m = me, U0W = 10 эВ, l = 10-2 м,    В первом случае вероятность проникновения частицы через барьер большая, во втором – ничтожно мала.

Соответствующий расчет дает, что в случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 10.2) формула (10.1) должна быть заменена более общей формулой:

   

 При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере, в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, находящаяся в туннеле, должна обладать отрицательной кинетической энергией. Однако туннельный эффект – явление квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой механике деление полной энергии на  кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс. Аналогично, тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию U, означал бы, что частица находится в точно заданном месте пространства.  А координата и импульс не могут одновременно иметь определенных значений. Таким образом, хотя полная энергия частицы W имеет вполне определенные значения, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Wк и U. Ясно, что в этом случае заключение об отрицательности кинетической энергии внутри туннеля становится беспочвенным.

10.2. Орбитальный момент импульса  и  магнитный момент электрона в классической и квантовой механике

 Представим себе, что электрон в атоме движется со скоростью v по орбите радиуса r (рис. 10.3).  Как  любая  движущая  частица, электрон  обладает  моментом  импульса , который равен произведению момента инерции на угловую скорость:

   .

Вектор  перпендикулярен плоскости, в которой лежит орбита электрона, а его модуль

    

Движущийся по орбите электрон создает электрический ток, сила которого

 ,    где    -  период обращения электрона вокруг ядра.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, характеризуется магнитным моментом . Направление вектора  связано с направлением тока правилом правого винта (рис. 10.3). Модуль магнитного момента равен произведению силы тока на площадь контура S :

   Так как S = πr2, получаем  .

Отношение магнитного момента  частицы к ее механическому моменту , т. е. к ее моменту импульса, называют гиромагнитным отношением. Для электрона на орбите это отношение равно

    .

   Так как векторы    и   антипараллельны, справедливо равенство

    .

 В квантовой механике (из-за наличия волновых свойств) модуль  орбитального момента импульса принимает дискретные значения. Используя уравнение Щредингера можно показать, что

   ,

где l – орбитальное квантовое число, которое может принимать следующие значения:

    l = 0, 1, 2, … , n 1.

Проекция этой физической величины на  направление поля в пространстве определяется формулой:

    

где магнитное квантовое число ml принимает значения:

           ml  =  0, ±1, ±2 … , ± l .

Равенство  и  запрещено соотношениями неопределенностей. Действительно, если бы выполнилось равенство отмеченных величин, произведение неопределенностей координаты и импульса в направлении поля (оси z) было бы равно 0.

В квантовой механике определенные значения имеют  и .  Проекции на другие направления остаются неопределенными. Учитывая сказанное, вектор орбитального момента импульса  можно представить как вектор, который равномерно вращается вокруг оси z, образуя с этой осью угол θ (рис. 10.4а), определяемый соотношением

 

    

                  

При заданном значении  l  ml  может принимать (2l + 1) значение.

Например, при l = 1,   ,   а  Llz = 0, ± 1  (рис. 10.4б).

Магнитный момент электрона, обусловленный орбитальным движением, , а его проекция на направление поля  ,  где   - магнетон Бора.

10.3. Опыты Штерна и Герлаха. Спин электрона

 По законам квантовой механики орбитальные моменты импульса и магнитные моменты  и их проекции, на направление магнитного поля, у электронов в атоме должны принимать дискретные значения. В справедливости данного факта необходимо было убедиться, так как он противоречил законам классической физики. Непосредственно измерить момент импульса электрона в атоме невозможно. Однако можно измерить проекцию магнитного момента атома на направление внешнего магнитного поля. Такие измерения осуществили Штерн и Герлах в 1922 г. Принципиальная схема их установки приведена на рис. 10.5. И – источник атомов (вещество нагревалось до высокой температуры, при которой наблюдалось интенсивное испарение атомов). Поток атомов пролетал через неоднородное магнитное поле. На атомы в этом поле должна действовать сила

    

где - проекция магнитного момента атома на направление поля, а - градиент магнитной индукции.  Если бы  могло принимать любые значения, то распределение интенсивности попадания частиц на экране было бы таким, как приведено на рис. 10.6а, при дискретных значениях   должно наблюдаться распределение рис. 10.6б. Эксперименты показали, что поток атомов в неоднородном поле разбивается на несколько дискретных пучков. Но был обнаружен и неожиданный результат: если использовать атомы  первой группы таблицы Менделеева (Cu, Ag, Au), магнитное поле

разбивает поток этих атомов на 2  потока (рис. 10.6в). Эти элементы не должны были отклонятся магнитным полем. При проведении  эксперимента считали, что магнитный момент атома равен суммарному магнитному моменту валентных электронов (). У элементов 1 группы один валентный электрон, который находится в состоянии с l = 0, следовательно, у него  и  равны нулю. Чтобы объяснить, почему же эти атомы отклоняются  магнитным полем Гоудсмит и Уленбек высказали предположение о том, что электроны обладают собственным моментом импульса и магнитным моментом (спином).

По аналогии собственный момент импульса электрона стали определять, используя формулу:

    

где s – спиновое квантовое число, проекция же спинового момента импульса на направление поля где число проекций на направление поля z равно (2s +1). Так как из эксперимента следовало, что 2s + 1 = 2, то s = 1/2 и ms = ± ½.

Из эксперимента следовало, что  а так как  и  то

    

 Спиновое гиромагнитное отношение в 2 раза больше орбитального гиромагнитного отношения. Поэтому и говорят, что спин обладает «удвоенным» магнитным моментом.

Лекция 11

11.1. Состояния электронов в атоме. Принцип Паули. Структура многоэлектронного  атома

 Условие, в котором находится электрон в атоме, называют электронным состоянием. Это состояние определяется набором четырех квантовых чисел: n, l, ml и ms. Их называют: n – главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число, ml – магнитное квантовое число (или магнитно-орбитальное квантовое число), ms – магнитно-спиновое квантовое число. Введение этих квантовых чисел обусловлено тем, что электрон атома, находясь в определенном состоянии, характеризуется определенными значениями энергии, орбитальным и спиновым моментами импульса, орбитальным и спиновым магнитными моментами и проекциями этих величин на направление магнитного поля. Квантовые числа могут принимать следующие значения:

n – 1, 2, 3, …, ∞;

при заданном значении n, l может принимать только следующие значения:

l – 0, 1, 2, 3, … n-1;

при заданном значении l, ml  может принимать только следующие значения:

ml            - l, -l + 1,  -l + 2,  -l + 3, … 0, 1, 2, 3, … l  (2l + 1) – значение;

ms -  ± 1/2 (только два значения).

Согласно принципу Паули в атоме не может быть двух электронов, находящихся в одинаковом состоянии, или в атоме не может быть двух электронов характеризующихся одинаковым набором четырех квантовых чисел.  

Для энергетической характеристики свободных атомов (атомов, на которые не действуют внешнее поле) электронные состояния этих атомов принято обозначать с помощью квантовых чисел n и  l. При этом квантовые числа  n обозначают цифрами, а  l – буквами в следующем соответствии:

l –    0,    1,     2,     3, … n-1;

 s,   p,   d,     f, …

У электронов атома возможны следующие электронные состояния:

1s

2s   2p

3s   3p   3d

4s   4p    4d  4f

-      -       -     -

 Схема возможных энергетических уровней электронов в атоме приведена на рис. 11.1.  

2p

n

l

ml

ms

2

1

1

1/2

2

1

1

-1/2

2

1

0

1/2

2

1

0

-1/2

2

1

-1

1/2

2

1

-1

-1/2

Каждый из указанных уровней включает в себя  2(2l + 1) состояний. Например, уровень энергии 2p включает в себя 6 состояний с указанным в таблице набором квантовых чисел.

В свободном атоме, электроны,

подчиняясь принципу Паули, занимают прежде всего свободные состояния с минимально возможной энергией. Например,  у атомов меди (Cu, z = 29) электроны следующим образом распределены по электронным состояниям:

.

Записанное выражение называют электронной конфигурацией атома, которая указывает на структуру распределения электронов по  оболочкам и подоболочкам. Электроны с одинаковым значение n образуют оболочку атома. Различают следующие оболочки:

 n     1  2  3  4  …

Число электронов

в оболочке (2n2)   2  8  18  32

Условное

обозначение    K  L  M  L

Электроны, которые характеризуются одинаковыми значениями n  и l образуют подоболочку. Число электронов в подоболочке равно 2(2l + 1).  Итак, у атома Cu, находящегося в свободном состоянии, электроны заполнили полностью K, L, и M оболочки, внешний (валентный) электрон находится в состоянии 4s. Если возбудить атом (сообщить ему незначительное количество энергии), то изменит свою энергию прежде всего внешний электрон, перейдя, например, в состояние 4p и электронная конфигурация у атома примет выражение: . Для вывода электронов из полностью заполненных оболочек потребуется сообщить атому значительную долю энергии (используя, например, рентгеновское или гамма излучение).

   11.2. Рентгеновское излучение

 Рентгеновское излучение возникает при торможении веществом быстрых электронов. Для получения рентгеновских лучей служат специальные электровакуумные приборы – рентгеновские трубки (рис. 11.2), состоящие из вакуумированного стеклянного или металлического корпуса, в котором на определенном расстоянии друг от друга находятся катод и анод, включенные в цепь высокого напряжения.

Катод служит источником электронов, а анод (антикатод) – источником рентгеновских лучей. Между катодом и анодом создается сильное электрическое поле, разгоняющее электроны до энергий (104 – 105) эВ.

Рентгеновские лучи возникают в результате преобразования кинетической энергии быстрых электронов в энергию электромагнитного излучения и представляют собой электромагнитные волны с длиной волны порядка от 1∙10-12 м до 8∙10-8 м.

Экспериментальные исследования показали, что существует два вида рентгеновских лучей. Если энергия электронов не превышает некоторой критической величины, зависящей от материала антикатода, возникают рентгеновские лучи со сплошным спектром, подобным спектру белого света. Такое рентгеновское излучение называют белым. Белое рентгеновское излучение, как показали исследования, вызывается торможением быстрых электронов при их движении в веществе. Поэтому белое излучение называют также тормозным. Этот тип излучения испускается электронами, движущими  в веществе. Рентгеновский сплошной спектр отличается важной особенностью – он ограничен со стороны малых длин волн некоторой границей λМИН , называемой границей сплошного спектра.

На рис. 11.3 изображены рентгеновские сплошные спектры для вольфрама при различной разности потенциалов между электродами рентгеновской трубки. Исследования показали, что граничная длина волны зависит от кинетической энергии электронов Wk, вызывающих тормозное излучение. При увеличении Wk длина волны λМИН  уменьшается. Существование границы сплошного спектра можно объяснить лишь на основе квантовых представлений. Очевидно, что максимальная энергия hvмакс рентгеновского кванта, возникающего за счет энергии электрона, не может превышать этой энергии. Отсюда следует равенство Wk = hvмакс. Переходя от частоты к длин волны, получим

        (11.1)  

 Второй тип рентгеновских лучей называют характеристическим рентгеновским излечением. Свое название оно получило вследствие того, что этот тип лучей характеризует вещество антикатода. Характеристическое рентгеновское излучение возникает при выбивании электронов из внутренних оболочек атома. На рис. 11.4 приведена схема уровней электронов атома с усредненным значением энергии оболочки. Если бомбардирующие электроны выбивают электроны, например, из К - оболочки, то вакантное место заполнят электроны из оболочки с большей энергией (электроны L, M, N оболочек). Совокупность переходов электронов из состояний с большей энергией в состояния К - оболочки приводит к появлению К – серии характеристического рентгеновского излучения. Линии этой серии принято обозначать совокупностью следующих символов: Кα, Кβ, Кγ, …

При появлении вакансий электронов в L, M, N оболочках эти вакантные места занимают электроны из оболочек с большей энергией, что в свою очередь ведет к появлению L, M – серий.

Мозли, исследовав зависимость частоты Кα – линии от порядкового номера вещества антикатода (Z), определил, что

         (11.2)  

 Эту формулу можно свести к более понятной нам формуле

   закон Мозли,

где R – постоянная Ридберга, σ – постоянная экранирования. Для линий К – серии постоянная экранирования σ = 1.

Для произвольного спектрального перехода характеристического рентгеновского спектра частоту можно выразит следующим образом:

       (11.3)

σ – постоянная экранирования для линий каждой серии имеет свое значение (смотри  справочные данные).

11.3. Энергия молекулы

 Молекулы состоят из одинаковых или различных атомов, соединенных между собой в одно целое силами связи, которые называют химическими связями. Силы, удерживающие атомы в молекуле, вызваны взаимодействием внешних электронов.

Различают два вида связи. Один из них осуществляется в тех молекулах, в которых часть внешних электронов движется вокруг обоих ядер (мы ограничимся рассмотрением только двухатомных молекул). Такая связь называется гомеополярной или ковалентной связью. К молекулам с такой связью относятся молекулы с одинаковыми ядрами (Н2, N2, O2) и молекулы с разными ядрами (например, CN).

Второй тип связи имеет место в том случае, когда электроны в молекуле можно разделить на две группы, каждая из которых все время находится около одного из ядер. Электроны распределяются так, что около одного из ядер образуется избыток электронов, а около другого – их недостаток. Таким образом, молекула как бы состоит из двух ионов противоположных знаков, притягивающихся друг к другу. Этот тип связи называется гетерополярной или ионной. Примером молекул с ионной связью могут служить NaCl, KBr, HCl и т. д.

Независимо от природы тех сил, которые приводят к образованию устойчивой системы из двух атомов можно высказать некоторые общие соображения о характере этих сил. Атомы, расположенные на значительном расстоянии друг от друга, не взаимодействуют дуг с другом. По мере уменьшения расстояния r между ядрами атомов возрастают силы взаимного притяжения, действующие между атомами (см. рис. 11.5, F2). Однако эти силы не являются единственными. На малых расстояниях между атомами проявляют свое действие силы взаимного отталкивания F1, не позволяющие электронам одного атома слишком глубоко проникнуть внутрь электронных оболочек другого атома. Силы отталкивания являются более короткодействующими, чем силы притяжения. Благодаря одновременному действию противоположено направленных сил – притяжения и отталкивания – на некотором  расстоянии r0 между атомами обе силы уравновешивают друг друга и их геометрическая сумма (результирующая сила F) равна нулю.

Этому расстоянию соответствует наименьшая взаимная потенциальная энергия Wп(r) атомов двухатомной молекулы. На рис. 11.6 приведена кривая зависимости от r потенциальной энергии Wп(r) взаимодействия двух атомов в молекуле. Равновесное междуатомное расстояние r0 в молекуле называют длиной связи. Величина D (на кривой рис. 11.6) определяет энергию связи молекулы. Она численно равна работе, которую надо совершить для того, чтобы разорвать связи атомов в молекуле.

В основном изменение запаса энергии молекулы происходит, как и в атоме, в результате изменения электронной конфигурации, образующей периферическую часть молекулы. При изменении электронной конфигурации (при возбуждении молекулы)  смещается кривая зависимости электронной энергии от расстояния между ядрами (см. кривые 1 и 2 на рис. 11.7). При заданной электронной конфигурации атомы молекулы могут совершать колебательное движение относительно друг друга и вращаться относительно общего центра инерции. Полную энергию какого-либо стационарного состояния молекулы можно представить в виде:

   W = We + Wv + Wr , (11.4)

где We – энергия, обусловленная электронной конфигурацией,  Wv – энергия колебательного движения, Wr – энергия вращательного движения.

Используя уравнения квантовой механики, можно показать, что не только при изменении электронной конфигурации, но и при изменении энергии колебательного и вращательного движений, энергия указанных видов движения имеет дискретные значения и может быть выражены следующим образом:

    (11.5)        и           (11.6)

где     v – колебательное квантовое число, которое может принимать следующие значения:

v = 0, 1, 2, 3, …;  ωv – циклическая частота колебаний; J – вращательное квантовое число, которое может принимать следующие значения: J = 0, 1, 2, 3, …; I – момент инерции молекулы относительно оси, проходящий через центр инерции.

 Формула (11.5) определяет энергию гармонического осциллятора. По мере увеличения энергии колебаний (увеличения квантового числа v) наблюдается ангармоничность, ведущая к сближению уровней колебательного движения, имея своим пределом энергию диссоциации молекулы (рис. 11.8).

Итак, в соответствии с (11.5) и   (11.6)   полная энергия молекулы равна:

 

Опыт и теория показывают, что расстояние между вращательными уровнями Wr значительно меньше расстояния между колебательными уровнями Wv, которое в свою очередь значительно меньше, чем расстояние между электронными уровнями Wе. Таким образом, схема энергетических уровней молекулы выглядит так, как показано на рис.11.9 (приведены только два электронных уровня). Совокупность уровней содержится в правом столбце рисунка. Первые два столбца лишь поясняют возникновение уровней.

 Молекулярные спектры сильно отличаются от атомных. Атомные спектры состоят из отдельных линий,

молекулярные же спектры состоят из полос, резких с одного края и размытых с другого. При изучении этих спектров с помощью приборов с большой разрешающей способностью определяют важнейшие физические характеристики молекул: длину связи, энергию связи, момент инерции.  

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Валишев М. Г., Повзнер А. А. Курс общей физики: Учебное пособие. – Издательство  «Лань», 2010. – 576 с.

Лозовский В. Н. Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т. 1/ Под редакцией В. Н. Лозовского. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 576 с.

Лозовский В. Н. Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т. 2/ Под редакцией В. Н. Лозовского. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 600 с.

Детлаф А. А., Яворский Б. М. Б Курс физики: Учебное пособие для втузов: В 3 т. Т. – 3. М., «Высшая школа», 1971. – 534 с.

Савельев И. В. Курс общей физики: Учебное пособие в 3 т. Т. 2. – М. «Наука», 1982. – 496 с.

Савельев И. В. Курс общей физики: Учебное пособие в 3 т. Т. 3. – М. «Наука», 1979. – 304 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31889. Русский язык и культура речи 247 KB
  ФОНЕТИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ Содержит задания отражающие проблемы связанные с нормами постановки ударения акцентологические нормы. СЛОВООБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ В заданиях необходимо найти ошибки допущенные при образовании слов и исправить их. ГРАММАТИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ В данном блоке представлен комплекс заданий на проверку знания морфологических норм нормы образования форм слов различных частей речи и синтаксических норм нормы употребления форм слов в словосочетании и предложении нормы построения предложений. ЛЕКСИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ Данный блок...
31890. ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ И ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ФИЛОСОФИИ 377.5 KB
  Горького Рассмотрены на заседании кафедры философии Протокол № 7 от 4 апреля 2005 г. Творческое усвоение студентами философии т. При творческом усвоении философии у студентов формируются следующие умения по различным блокам философского знания: историкофилософский блок: вычленять смысл философской системы: как в ней решаются вопросы метафизики антропологии гносеологии аксиологии культурологии социологии политологии праксиологии; определять педагогическую значимость той или иной философской системы и аргументировать ответ;...
31891. Методические рекомендации, планы семинарских занятий и темы контрольных работ по философии 198.5 KB
  Андреев Одобрены на заседании кафедры философии. кафедрой философии С. 2005 Введение При усвоении дисциплины студент должен иметь программу по философии в которой отражены цели задачи требования к уровню усвоения содержания дисциплины приведена основная и дополнительная литература по всем темам курса контрольные вопросы для подготовки к экзамену.
31892. Задания и методические указания для выполнения курсовых работ по дисциплине «Основы маркетинга» 77.5 KB
  Шапошников Одобрена на заседании кафедры менеджмента и маркетинга. Методические указания к написанию курсовой работы Главное условие успешного овладения студентами знаниями в области дисциплины Основы маркетинга заключается в самостоятельной систематической работе. При высоком уровне знаний проявленных при защите курсовой работы и другим контрольным мероприятиям а также на практических занятиях по дисциплине Основы маркетинга студент может быть освобожден от экзамена.
31893. Статистика. Задания к контрольным работам по дисциплине «Статистика» и методические указания для их выполнения 510 KB
  Группировкой называется расчленение множества единиц изучаемой совокупности на группы по определенным существенным для них признакам. Группировка выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками называется аналитической группировкой. После определения признака положенного в основание группировки определяют количество групп на которые разбивают исследуемую совокупность. Число групп зависит от задач исследования типа группировки вида признака положенного в основание группировки численности совокупности степени вариации...
31894. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 366.5 KB
  При изучении данной дисциплины и выполнении курсовой работы студенты должны быть знакомы с вопросами экономической статистики экономики предприятия бухгалтерского учета финансов предприятия изучаемыми на предыдущих курсах. Объектом изучения дисциплины выступает финансовохозяйственная деятельность предприятия соответственно курсовая работа направлена на выявление проблем в финансовохозяйственной деятельности определение резервов использования ресурсов и формулирование мероприятий по их реализации. Цель курсовой работы по дисциплине...
31896. Визначити максимальну температуру електричного дроту 99.5 KB
  Всередині труб рухається гарячий газ із середньою температурою tpiд1 а ззовні повітря що нагрівається із середньою температурою tpiд2.3: Номер варіанта. Сталевий зливок покладено до нагрівальної печі iз температурою середовища tpiд тривалість нагріву  початкова температура зливку t0.5: Номер варіанта S1 мм S2 мм S3 мм tpiд C  год.
31897. Электрический привод системы Г-Д 1.31 MB
  Номер варианта Закон изменения момента сопротивления рабочей машины Мсм Нм Момент инерции рабочей машины Jм в долях от момента инерции двигателя кгм2 Тип двигателя и способ его питания 8 800 60 Постоянного тока от генератора постоянного тока Примечание: Характер момента сопротивления реактивный. Требуемую перегрузочную способность двигателя. Средняя температура нагрева изоляции двигателя не должна превышать допустимую.4 Предварительная мощность двигателя рассчитывается по нагрузочной диаграмме и тахограмме рабочей машины.