25501

Операторный метод решения задачи Коши. Преобразование Лапласа и его свойства

Контрольная

Математика и математический анализ

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной такая что: Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа. Обратное преобразование Лапласа Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной такая что: где некоторое вещественное число см. Двустороннее преобразование Лапласа Двустороннее преобразование Лапласа обобщение на случай задач в которых для функции участвуют значения .

Русский

2017-10-05

99.94 KB

46 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

Изображения f(t) и оригиналы F(p).

Операторный метод решения задачи Коши.

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция  комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция  вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции  участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

1) Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  1.  Умножение изображений

3) Свойство линейности

в символах теста:

4) Умножение на число:

В символах теста: 

  1.  Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

В символах теста: Изображение производной порядка k.

где
 
Тогда
 

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  1.  Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  1.  Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

В символах теста:

. Изображение прямоугольного импульса (t) высотой 1 и шириной  изображенного на рисунке,

имеет вид …


Операторное решение дифференциального уравнения

1 шаг: Сделать замену: , ,

Все функции заменить их отображениями (см. таблицу.)

2 шаг. Выразить X(p) Это и есть операторное решение.

3 шаг. вернуть все отображения в оригиналы. (если требуется обычное решение.)

Таблица оригиналов и отображений

 

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

1

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20

Пример: Операторное решение дифференциального уравнения    имеет вид …

Решение:Шаг 1


Шаг 2


Тогда
 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42566. Организация HTML-документов с помощью фреймов 48 KB
  Организация HTMLдокументов с помощью фреймов Фреймы это области которые создаются в окне браузера для одновременного просмотра нескольких документов. При создании страницы с фреймами разрабатывается несколько HTMLфайлов которые отличаются по своему назначению. Шаблон элемента FRMESET Для создания WEBстраницы с фреймами в языке HTML существует элемент FRMESET. Второй этап создания страницы с фреймами: подготовка HTMLфайлов для каждой области деления экрана с помощью элемента FRME В документе раскладки элемент FRMESET используется...
42567. Понятие социального статуса. Виды статусов 15.41 KB
  Социальный статус — это общее положение личности (группы) в обществе, связанное с определенными правами и обязанностями. Например, статус врача дает индивиду право заниматься лечебной практикой и в то же время обязывает врача исполнять свои функции и роли надлежащим образом
42569. Управление режимами энергосистем и автоматизации 101.5 KB
  Харьков 2011 ТЭС1 : Рэ1=8952 МВт Ропт1=1164 МВт ТЭС2 : Рэ2=1243 МВт Ропт2=1536 МВт ТЭС3 : Рэ3=4899 МВт Ропт3=4867 МВт необходимо оптимизировать. Блок 31 Блок 32 Блок 33 Отключаем блок №3 ТЭС3 ТЭС1 : Рэ1=8952 МВт Ропт1=1164 МВт ТЭС2 : Рэ2=1243 МВт Ропт2=1536 МВт ТЭС3 : Рэ3=3298 МВт Ропт3=3744 МВт.
42570. Дослідження базових схем підсилюваньних каскадів на польових транзисторах 168 KB
  Среди базовых каскадов на полевых транзисторах на практике наибольше распространение получили каскады с общим истоком аналог ОЭ и истоковые повторители аналог ОК показанные в двух модификациях на рис.4 и отличающиеся способом реализации статического режима: смещение обеспечивается или за счет падения напряжения на резисторе включенном в цепь истока рис. 4 а в или за счет подачи на затвор дополнительного напряжения рис. Рис.
42571. Найти минимальную сумму элементов в строках двумерного массива 45 KB
  Тот же самый результат можно получить и в результате компьютерной проверки. В результате ручной проверки мы доказали, что программа работает правильно.
42572. Командный процессор операционной системы Windows Xp 2000 40 KB
  Харьков 2010 Результаты выполнения работы C: md p10b C: cd p10b C: p10b md Kunchenko C: p10b md Sterlik C: p10b cd Sterlik C: p10b Sterlik copy con Sterlik.txt Sterlik Dmutro p10b ^Z^Z Ctrl Z Z Скопировано файлов: 1 C: p10b Sterlik cd p10b C: p10b cd Kunchenko C: p10b Kunchenko copy con Kunchenko.txt Kunchenko leksey p10b Dir ^Z^Z Ctrl Z Z Скопировано файлов: 1 C: p10b Kunchenko cd p10b C: p10b cd Sterlik C: p10b Sterlik dir w Содержимое папки C: p10b Sterlik [.] sterlik.
42573. Файловый менеджер FAR 33.5 KB
  040 Memory lod 57 106 bytes in 4 files Sterlik Sterlik Kunchenko Kunchenko lexey.doc Sterlik2.doc Sterlik1.doc...
42574. Расчет перевозки коммерческого груза несколькими рейсами 32 KB
  При недостаточном количестве транспортных средств для перевозки груза одним рейсом и при заданной величине времени отведенного на перевозку груза необходимо определить минимальное количество автомобилей и ВС необходимых для перевозки груза несколькими рейсами.mx = Tотв Твсп 1 2L V Tпр ...