25501

Операторный метод решения задачи Коши. Преобразование Лапласа и его свойства

Контрольная

Математика и математический анализ

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной такая что: Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа. Обратное преобразование Лапласа Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной такая что: где некоторое вещественное число см. Двустороннее преобразование Лапласа Двустороннее преобразование Лапласа обобщение на случай задач в которых для функции участвуют значения .

Русский

2017-10-05

99.94 KB

46 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

Изображения f(t) и оригиналы F(p).

Операторный метод решения задачи Коши.

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция  комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция  вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции  участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

1) Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  1.  Умножение изображений

3) Свойство линейности

в символах теста:

4) Умножение на число:

В символах теста: 

  1.  Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

В символах теста: Изображение производной порядка k.

где
 
Тогда
 

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  1.  Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  1.  Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

В символах теста:

. Изображение прямоугольного импульса (t) высотой 1 и шириной  изображенного на рисунке,

имеет вид …


Операторное решение дифференциального уравнения

1 шаг: Сделать замену: , ,

Все функции заменить их отображениями (см. таблицу.)

2 шаг. Выразить X(p) Это и есть операторное решение.

3 шаг. вернуть все отображения в оригиналы. (если требуется обычное решение.)

Таблица оригиналов и отображений

 

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

1

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20

Пример: Операторное решение дифференциального уравнения    имеет вид …

Решение:Шаг 1


Шаг 2


Тогда
 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31237. Налогообложение малых предприятий: проблемы и пути совершенствования (на примере предприятия ИП Гусевой Н.В.) 1.53 MB
  По мнению специалистов ФНС России эта цифра выше. Особенно если в них принимают участие специалистыпрактики выполнившие множество проектов в сфере МСФО. Для комфортной работы стол должен удовлетворять следующим условиям: высота стола должна быть выбрана с учетом возможности сидеть свободно в удобной позе при необходимости опираясь на подлокотники; нижняя часть стола должна быть сконструирована так чтобы бухгалтер мог удобно сидеть не был вынужден поджимать ноги; поверхность стола должна обладать свойствами исключающими...
31238. Электронная таблица Excel. Современные возможности и достоинства приложения 1.46 MB
  Назначение данного курса – научить читателей эффективно использовать средства программы Microsoft Excel и понимать суть производимых приложением операций. Рассказать обо всех функциях и возможностях этой программы – не было главной целью проекта, а хотелось продемонстрировать, как применять Excel для достижения успеха в учебной и профессиональной деятельности.
31239. Технология приготовления блюда «Рыбные рулетики». Технология приготовления бисквитного торта «Кудрявый мальчик» 3.66 MB
  Технология приготовления блюда Рыбные рулетики. Технология приготовления бисквитного торта Кудрявый мальчик. Технология приготовления блюда Рыбные рулетики. Технология приготовления бисквитного торта Кудрявый мальчик.
31240. «Менеджмент организации» Методические рекомендации 650.5 KB
  Квалификационная работа по специальности Менеджмент организации: Методические рекомендации по выполнению квалификационной работы.Выполнение квалификационной работы. Цели и задачи дипломной работы. Выбор темы дипломной работы проекта и его утверждение.
31241. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАРКЕТИНГОВОЙ ПОЛИТИКИ КАК ФАКТОР ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ (НА ПРИМЕРЕ МУП «ЭЛЕКТРОТРАНС» Г. ЧЕРЕПОВЦА) 693 KB
  Теоретической и методологической основой дипломной работы являются подходы к решению задач исследования маркетинга предприятия используемый набор инструментов приемов и методов предлагаемый отечественными и зарубежными авторами. Проведенные маркетинговые исследования позволяют понять каким образом компания должна организовать сбыт своей продукции как надо проводить кампанию по продвижению на рынки новых изделий строить стратегию рекламы; определить какие виды продукции проданные какому потребителю и в каком регионе принесут...
31242. ВАЗ-2110. Техническая характеристика двигателя ВАЗ-2110 и его эксплуатационная характеристика 867.5 KB
  Компоновка двигателя отличается простотой и удобством обслуживания. Все узлы двигателя требующие регулировки или ухода установлены в легкодоступных местах. центры придерживались хотя бы данному принципу проектирования участка текущего ремонта по двигателям ВАЗ2110 то эффективность ремонта двигателя ВАЗ2110 значительно возросла. Отделение текущего ремонта двигателя автомобилей ВАЗ2110 является основной ее частью так как за время эксплуатации и использования некачественных горючесмазочных материалов возникает некорректная работа двигателя.
31243. Разработка фирменного стиля ювелирного салона «Линда» 390.5 KB
  Фирменный стиль – это и средство формирования имиджа компании, а также определенный носитель информации. Компоненты фирменного стиля помогают потребителю отличить Вашу продукцию от других. Соблюдение фирменного стиля фирмой, очень положительно влияет на фактор доверия к этой фирме, так как считается, что в фирме присутствует образцовый порядок как в производстве, так и в любой другой деятельности.
31244. Искусство ассамбляжа 459.5 KB
  Задачи: изучить основные тенденции современного искусства; сопоставить время создания нового направления и технику известных деятелей ассамбляжа; постигнуть идеологические побуждения каждого автора на создание работ; определить последствия для развития современного искусства в связи с изобретением новой техники а впоследствии и направления в искусстве. В результате исследования данного направления современного искусства были созданы несколько изобразительных работ в рамках правил поставленной темы.assemblage техника визуального искусства...
31245. Особенности организации лабораторного практикума в обучении информационному моделированию в школьном курсе информатики 808.5 KB
  На основе анализа учебно-методической литературы по предмету изучить сущность понятий «объект», «модель», «моделирование» и их виды, классификацию; На основе анализа документов, регламентирующих изучение информатики в школе определить место изучаемой темы в структуре современного курса информатики и ее содержание; На основе изучения методической литературы ознакомиться с методическими основами преподавания темы и с системой работы учителя по обучению информационному моделированию в школе с использованием прикладных задач.