25501

Операторный метод решения задачи Коши. Преобразование Лапласа и его свойства

Контрольная

Математика и математический анализ

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной такая что: Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа. Обратное преобразование Лапласа Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной такая что: где некоторое вещественное число см. Двустороннее преобразование Лапласа Двустороннее преобразование Лапласа обобщение на случай задач в которых для функции участвуют значения .

Русский

2017-10-05

99.94 KB

46 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

Изображения f(t) и оригиналы F(p).

Операторный метод решения задачи Коши.

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция  комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция  вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции  участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

1) Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  1.  Умножение изображений

3) Свойство линейности

в символах теста:

4) Умножение на число:

В символах теста: 

  1.  Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

В символах теста: Изображение производной порядка k.

где
 
Тогда
 

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  1.  Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  1.  Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

В символах теста:

. Изображение прямоугольного импульса (t) высотой 1 и шириной  изображенного на рисунке,

имеет вид …


Операторное решение дифференциального уравнения

1 шаг: Сделать замену: , ,

Все функции заменить их отображениями (см. таблицу.)

2 шаг. Выразить X(p) Это и есть операторное решение.

3 шаг. вернуть все отображения в оригиналы. (если требуется обычное решение.)

Таблица оригиналов и отображений

 

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

1

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20

Пример: Операторное решение дифференциального уравнения    имеет вид …

Решение:Шаг 1


Шаг 2


Тогда
 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36716. РАЗРАБОТКА СХЕМЫ И СОЗДАНИЕ СТРУКТУРЫ РЕЛЯЦИОННОЙ БАЗЫ ДАННЫХ 193.5 KB
  Задание № 3 Использую возможности фильтрации данных постройте следующие фильтры для выборки данных в соответствии с приведенными критериями. С помощью Расширенного фильтра из таблицы Административные районы выбрать те районы в которых численность населения превышает 50 тыс. Удалить фильтр. В меню Записи выберите команду Фильтр Расширенный фильтр.
36717. Гидрологический режим реки Амазонки и ее устьевой области 1.61 MB
  Географическое положение бассейна реки (географическая зона, высотный пояс, удаленность от океанов, государственная принадлежность, координаты центра и крайних точек, основные морфометрические характеристики (площадь, длина, ширина бассейна, длина реки), основные притоки – карта-схема бассейна)
36718. Моделирование случайных величин 176 KB
  Три стрелка стреляют каждый по своей мишени делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Рассматриваются три случайные величины: число попаданий первого стрелка; число попаданий второго стрелка; число попаданий третьего стрелка; Пусть случайная величина. Три стрелка стреляют каждый по своей мишени делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Рассматриваются три случайные величины: число попаданий первого стрелка; число попаданий второго стрелка; число попаданий третьего стрелка; Пусть случайная величина.
36719. РАБОТА С ЗАПРОСАМИ В РЕЛЯЦИОННОЙ БАЗЕ ДАННЫХ СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ 243.5 KB
  Лабораторная работа № 3 Лабораторная работа № 3 РАБОТА С ЗАПРОСАМИ В РЕЛЯЦИОННОЙ БАЗЕ ДАННЫХ СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ Задание № 1 Создайте запрос на основе таблиц Административные районы и Административные центры выбирающий все районы центры которых являются городами. Технология работы Создайте запрос на основе связанных таблиц. Для этого в окне базы данных выберите объект 3апросы Создание запроса в режиме конструктора; В окне Добавление таблицы выделите в списке таблицу Административные районы и щелкните на кнопке Добавить; В...
36720. Заходи по розширенню долі аптечної мережі «Бажаємо здоров’я» на фармацевтичному ринку України 434 KB
  Кожна компанія зацікавлена тривалий час зберігати свій ринок і бути прибутковою. Для цього потрібне постійне вивчення ринку, розробка заходів по підвищенню конкурентоспроможності і збільшенню частки ринку. Збільшення частки ринку включає різноманітні заходи, сюди входять ребрендинг, комплекс просування, розширення існуючої мережі.
36722. РАБОТА С ФОРМАМИ И ОТЧЕТАМИ В РЕЛЯЦИОННОЙ БАЗЕ ДАННЫХ СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ 130.5 KB
  Лабораторная работа № 4 Лабораторная работа № 4 РАБОТА С ФОРМАМИ И ОТЧЕТАМИ В РЕЛЯЦИОННОЙ БАЗЕ ДАННЫХ СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ Задание 1 Создайте ленточную форму на основе таблицы Административные районы и добавьте вычисляемые поля в форму в режиме конструктора в которых будут выводиться итоговые суммы для полей число населенных пунктов площадь территории численность населения и среднее значение для поля плотность населения. Технология работы На основе таблицы Административные районы создайте форму ленточного вида используя Мастер по...
36724. Имитационное моделирование «производственных процессов» 46.5 KB
  На сборочный участок цеха предприятия через интервалы времени распределенные экспоненциально со средним значением 10 мин поступают партии каждая из которых состоит из трех деталей. Половина всех поступающих деталей перед сборкой должна пройти предварительную обработку в течение 7 мин. Процесс сборки занимает всего 6 мин. Затем изделие поступает на регулировку продолжающуюся в среднем 8 мин время выполнения ее распределено экспоненциально.