25501

Операторный метод решения задачи Коши. Преобразование Лапласа и его свойства

Контрольная

Математика и математический анализ

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной такая что: Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа. Обратное преобразование Лапласа Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной такая что: где некоторое вещественное число см. Двустороннее преобразование Лапласа Двустороннее преобразование Лапласа обобщение на случай задач в которых для функции участвуют значения .

Русский

2017-10-05

99.94 KB

46 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

Изображения f(t) и оригиналы F(p).

Операторный метод решения задачи Коши.

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция  комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция  вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции  участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

1) Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  1.  Умножение изображений

3) Свойство линейности

в символах теста:

4) Умножение на число:

В символах теста: 

  1.  Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

В символах теста: Изображение производной порядка k.

где
 
Тогда
 

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  1.  Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  1.  Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

В символах теста:

. Изображение прямоугольного импульса (t) высотой 1 и шириной  изображенного на рисунке,

имеет вид …


Операторное решение дифференциального уравнения

1 шаг: Сделать замену: , ,

Все функции заменить их отображениями (см. таблицу.)

2 шаг. Выразить X(p) Это и есть операторное решение.

3 шаг. вернуть все отображения в оригиналы. (если требуется обычное решение.)

Таблица оригиналов и отображений

 

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

1

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20

Пример: Операторное решение дифференциального уравнения    имеет вид …

Решение:Шаг 1


Шаг 2


Тогда
 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31611. СЕРЦЕВА НЕДОСТАТНІСТЬ 87.5 KB
  Недостатність серця це патологічний стан при якому навантаження на серце перевищує його здатність виконувати роботу по переміщенню крові у кровоносному руслі та забезпечувати кровопостачання органів і тканин відповідно до їх потреб. Недостатність серця класифікують: I. У залежності від клінічного перебігу розрізняють: а гостру і б хронічну недостатність серця. За виразністю клінічних проявів виділяють: а компенсовану і б декомпенсовану недостатність серця.
31612. СЕРЦЕВА НЕДОСТАТНІСТЬ 131.5 KB
  При цьому стан кровообігу визначається: а діяльністю серця б тонусом судин і в станом крові її загальною і циркулюючою масою а також реологічними властивостями. Порушення функції серця судинного тонусу чи зміни в системі крові можуть призвести до недостатності кровообігу. Усього на сьогоднішній день відомо більш 50 факторів ризику істотна роль яких у виникненні хвороб серця і судин чітко встановлена. Недостатність серця патологічний стан обумовлений нездатністю серця забезпечити кровопостачання органів і тканин відповідно до їх...
31613. СПАДКОВІСТЬ І ПАТОЛОГІЯ 85.5 KB
  Першу групу складають власне спадкові хвороби у яких етіологічну роль відіграє зміна спадкових структур роль середовища полягає лише в модифікації проявів захворювання. У цю групу входять: генні і хромосомні хвороби. □ Друга група екогенетична спадкові хвороби обумовлені патологічною мутацією однак для їх прояву необхідний специфічний вплив середовища. Основним етіологічним фактором у їх виникненні є несприятливий вплив середовища але реалізація дії фактора залежить від індивідуальної генетично детермінованої схильності організму у...
31614. УШКОДЖЕННЯ КЛІТИНИ 80 KB
  2 У залежності від ступеня порушень внутрішньоклітинного гомеостазу розрізняють: а зворотні зникають після припинення дії ушкоджуючого фактора б незворотні ведуть до загибелі клітини. 3 В залежності від періоду життєвого циклу клітини: а мітотичне і б інтерфазне. Насильницьке виникає у разі дії на здорову клітину фізичних хімічних і біологічних факторів інтенсивність яких перевищує порогові подразнення до яких клітина адаптувалася Цитопатичне виникає внаслідок первинного порушення захиснопристосувальних...
31615. АНЕМІЇ 83.5 KB
  Механічний гемоліз виникає внаслідок механічного руйнування еритроцитів при роздавлюванні еритроцитів у судинах стопи маршовий гемоліз. Окисний гемоліз розвивається унаслідок вільнорадикального окислювання ліпідів і білків плазматичної мембрани еритроцитів коли збільшується проникність еритроцитарної мембрани що надалі веде до реалізації осмотичного механізму гемолізу. Детергентний гемоліз звязаний з розчиненням ліпідних компонентів мембрани еритроцитів речовинамидетергентами.
31616. АРИТМІЇ СЕРЦЯ а головною причиною раптової смерті при серцевій патології у 93 є. 68 KB
  1 Номотопні аритмії при яких генерація імпульсів як і в нормі відбувається пейсмейкерними клітинами pce nd mker Рклітинами в синуснопередсердному вузлі. За цих умов генерація імпульсів відбувається не в синуснопередсердному вузлі а в інших структурах провідної системи що є водіями ритму II і III порядку. При цьому можуть розвиватися наступні види патологічних ритмів серця: а передсердний повільний ритм водій ритму знаходиться в структурах лівого передсердя частота серцевих скорочень менше 70 у 1 хв; б атріовентрикулярний...
31617. ГАРЯЧКА 74.5 KB
  Температура тіла безумовно не може служити в цьому розумінні універсальним критерієм однак не залежне від зовнішньої температури âсаморозігріванняâ організму супроводжує багато різноманітних за походженням хвороб маючи при цьому у своїй основі єдиний патофізіологічний механізм. Гарячка проявляється тимчасовим підвищенням температури тіла не залежно від температури зовнішнього середовища і звичайно супроводжується рядом характерних змін обміну речовин і фізіологічних функцій. 2 Нейрони âзаданого рівня температуриâ група...
31618. ГІПОКСІЯ 82 KB
  І Екзогенний тип гіпоксії гіпоксична гіпоксія виникає внаслідок зменшення парціального тиску кисню у повітрі. При підйомі в гори з врахуванням ознак гіпоксії що розвивається виділяють наступні зони: I. Висотна хвороба гостра чи блискавична форма гіпоксичної гіпоксії яка виникає під час висотних польотів у літальних апаратах з кабінами відкритого типу чи при порушенні герметичності кабін закритого типу. Патогенетичною основою екзогенного типу гіпоксії у всіх випадках є артеріальна гіпоксемія тобто зменшення тиску кисню в...
31619. ЕКСТРЕМАЛЬНІ СТАНИ 132.5 KB
  Велика кількість крові скопичується в розширених венозних і артеріальних судинах черевної порожнини легень підшкірної клітковини що значно зменшує ОЦК і АТ і отже приплив крові до серця. Обумовлене цим зниження серцевого викиду крові приводить до ще більшого зменшення ОЦК і АТ що ускладнює стан пацієнта. У результаті зазначених змін розвивається комплекс закономірних стереотипних взаємозалежних змін в організмі до яких відносять тріаду характерних порушень: 1 Розлади і недостатність функцій органів і фізіологічних систем:...