25501

Преобразование Лапласа и его свойства

Контрольная

Математика и математический анализ

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной [1] такая что: Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа. Обратное преобразование Лапласа Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной такая что: где некоторое вещественное число см. Двустороннее преобразование Лапласа Двустороннее преобразование Лапласа обобщение на случай задач в которых для функции участвуют значения .

Русский

2013-08-13

99.94 KB

44 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

Изображения f(t) и оригиналы F(p).

Операторный метод решения задачи Коши.

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция  комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция  вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции  участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

1) Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  1.  Умножение изображений

3) Свойство линейности

в символах теста:

4) Умножение на число:

В символах теста: 

  1.  Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

В символах теста: Изображение производной порядка k.

где
 
Тогда
 

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  1.  Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  1.  Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

В символах теста:

. Изображение прямоугольного импульса (t) высотой 1 и шириной  изображенного на рисунке,

имеет вид …


Операторное решение дифференциального уравнения

1 шаг: Сделать замену: , ,

Все функции заменить их отображениями (см. таблицу.)

2 шаг. Выразить X(p) Это и есть операторное решение.

3 шаг. вернуть все отображения в оригиналы. (если требуется обычное решение.)

Таблица оригиналов и отображений

 

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

1

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20

Пример: Операторное решение дифференциального уравнения    имеет вид …

Решение:Шаг 1


Шаг 2


Тогда
 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

542. Проектирование системы защиты радиоэлектронной системы от наводящихся на ее излучение управляемых ракетных снарядов 105.97 KB
  Состав и принципы функционирования проектируемой системы защиты. Спроектировать систему защиты (СЗ) радиоэлектронной системы от наводящихся на ее излучение управляемых ракетных снарядов (УРС). Выбрать количество ложных целей (ЛЦ) и их размещение.
543. Исследование надежности и риска нерезервированной технической системы 93 KB
  Определить показатели надежности и риск нерезервированной технической системы. Исследовать функцию риска: представить функцию риска в виде таблицы и графика. Определить критическое время работы системы с использованием интегрированной системы MathCAD или табличного процессора Microsoft Excel
544. Спор как элемент конфликтной ситуации 103.5 KB
  Спор, его цели и подходы. Принципы ведения спора. Понятие критики и ее место в процессе спора. Об агрессии во время спора. Советы Дейла Карнеги по ведению спора. Эвристический подход к ведению полемики. Принцип последовательного анализа альтернатив.
545. Блок-секция торцевая, правая 9 – этажная 27 квартирная 77.5 KB
  По функциональному признаку жилые здания делятся на дома квартирного типа, общежития, интернаты. Они составляют более 85% общего объема строительства общественных зданий. Секционное многоэтажное здание, предназначенное для длительного проживания.
546. Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab 101.5 KB
  Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.
547. Переваги та недоліки енергозберігаючих ламп 80.5 KB
  Сформувати в учнів поняття про енергозбереження та енергоефективність. Заборона на виробництво найпопулярніших в усьому світі ламп розжарювання потужністю від 100 Вт і більше набула чинності.
548. Циркові династії України. Сенсація на манежі 94.5 KB
  Створений подружжям Шевченко атракціон з дресированими хижаками викликає незмінний інтерес глядачів і у нас в країні і за кордоном, за творчі успіхи і величезний внесок у розвиток циркового мистецтва артисти були удостоєні почесних звань народних артистів.
549. Резидуально-органические поражения ЦНС 111 KB
  Последствия раннего резидуально-органического поражения ЦНС с церебрастеническим, неврозоподобным, психопатоподобным синдромами. Органический психический инфантилизм. Синдром детской гиперактивности с дефицитом внимания. Механизмы социальной и школьной дизадаптации, профилактика и коррекция при остаточных явлениях резидуально-органической церебральной недостаточности и при синдроме детской гиперактивности.
550. Административная ответственность в области предпринимательской деятельности 107.21 KB
  Административное правонарушение как основание административной ответственности. Производство по делам об административных правонарушениях в сфере предпринимательской деятельности. Материально-правовые и процессуальные особенности производства по делам об административных правонарушениях в сфере предпринимательской деятельности.