25501

Операторный метод решения задачи Коши. Преобразование Лапласа и его свойства

Контрольная

Математика и математический анализ

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной такая что: Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа. Обратное преобразование Лапласа Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной такая что: где некоторое вещественное число см. Двустороннее преобразование Лапласа Двустороннее преобразование Лапласа обобщение на случай задач в которых для функции участвуют значения .

Русский

2017-10-05

99.94 KB

46 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

Изображения f(t) и оригиналы F(p).

Операторный метод решения задачи Коши.

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция  комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция  вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции  участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

1) Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  1.  Умножение изображений

3) Свойство линейности

в символах теста:

4) Умножение на число:

В символах теста: 

  1.  Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

В символах теста: Изображение производной порядка k.

где
 
Тогда
 

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  1.  Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  1.  Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

В символах теста:

. Изображение прямоугольного импульса (t) высотой 1 и шириной  изображенного на рисунке,

имеет вид …


Операторное решение дифференциального уравнения

1 шаг: Сделать замену: , ,

Все функции заменить их отображениями (см. таблицу.)

2 шаг. Выразить X(p) Это и есть операторное решение.

3 шаг. вернуть все отображения в оригиналы. (если требуется обычное решение.)

Таблица оригиналов и отображений

 

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

1

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20

Пример: Операторное решение дифференциального уравнения    имеет вид …

Решение:Шаг 1


Шаг 2


Тогда
 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32665. Организационный инструментарий управления проектами: сетевое моделирование, метод PERT, матрица РАЗУ, информационно-технологические модели управления 263 KB
  Организационный инструментарий управления проектами: сетевое моделирование метод PERT матрица РАЗУ информационнотехнологические модели управления Сетевая матрица представляет собой графическое изображение процессов осуществления проекта где все работы управленческие производственные показаны в определенной технологической последовательности и необходимой взаимосвязи и зависимости. Матрица РАЗУ Возможно разделить функции по подразделениям и службам аппарата управления проектом а также обеспечить их комплексную реализацию. Матрица...
32666. Маркетинг проекта. План маркетинга в проекте 37 KB
  Маркетинг проекта В структуре маркетинговых исследований можно выделить 3 принципиальных блока которые в свою очередь также состоят из конкретных работ: Организация исследований: определение целей диапазона и программы маркетинговых исследований; определение методов и средств маркетинговых исследований; сбор и первичная оценка информации; Внешний анализ: анализ структуры целевого рынка; анализ емкости рынка; анализ каналов сбыта; анализ конкуренции; макроэкономический анализ; анализ социальноэкономической среды; Внутренний анализ:...
32667. Принципы и законы управления образовательными системами 51.5 KB
  Принципы управления весьма разнообразны. Они не только служат построению умозрительных схем но достаточно жестко определяют характер связей в системе структуру органов управления. Принципы управления это основополагающая идея по осуществлению управленческих функций.
32669. Методы управления 57.5 KB
  Огут быть сгруппированы по: Объекту управления Федер. Субъекту управления организационнораспорядительные хозяйственные Целям стратегического управления тактического оперативного Механизму влияния социальнополитические организационнораспорядительные организационнопедагогические Стилю авторитарные демократические либеральные Времени управленческих действий перспективные долгосрочные текущие Методы управления это система способов воздействия субъекта управления на объект для достижения определенного...
32670. Классификация подходов к управлению образовательным процессом 53 KB
  В качестве основы управления педагогическими системами а образовательный процесс представляет собой педагогическую систему Н. Коммуникативная функция нацелена на построение необходимых взаимоотношений и связей между субъектами управления. Конаржевский в процессе управления школой выделяет следующие функции: педагогический анализ планирование организацию внутришкольный контроль регулирование. Якунин рассматривая обучение как процесс управления в качестве относительно самостоятельных но взаимосвязанных функций управления выделяет:...
32671. Общее понятие систем 152 KB
  Системный подход это подход к исследованию объекта проблемы процесса явления организации как системы в которой выделены элементы внутренние и внешние связи наиболее существенным образом влияющие на исследуемые результаты его функционирования а цели каждого из элементов определены исходя из общего предназначения объекта На сегодняшний день существует большое разнообразие конкретных моделей системного подхода к управлению. Сущность системного подхода заключается в исследовании наиболее общих форм организации которое предполагает...
32672. Общая характеристика образовательных систем 133 KB
  Поэтому происходит обновление деятельности всех звеньев системы образования. В новых социокультурных условиях остро стоит проблема формирования целостной системы непрерывного образования в России. Принцип непрерывности предполагает что отдельные образовательные учреждения являются подсистемами общей системы образования человека в течение всей его жизни.
32673. Образовательный процесс как система 59.5 KB
  Уровни образовательного процесса. Компоненты и структура образовательного процесса. В образовательном учреждении можно выделить большое разнообразие образовательных систем: целостный педагогический образовательный процесс процесс обучения; процесс воспитания учебное занятие Понятие процесса образовательного процесса.