25501

Преобразование Лапласа и его свойства

Контрольная

Математика и математический анализ

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной [1] такая что: Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа. Обратное преобразование Лапласа Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной такая что: где некоторое вещественное число см. Двустороннее преобразование Лапласа Двустороннее преобразование Лапласа обобщение на случай задач в которых для функции участвуют значения .

Русский

2013-08-13

99.94 KB

46 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

Изображения f(t) и оригиналы F(p).

Операторный метод решения задачи Коши.

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция  комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция  вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции  участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

1) Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  1.  Умножение изображений

3) Свойство линейности

в символах теста:

4) Умножение на число:

В символах теста: 

  1.  Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

В символах теста: Изображение производной порядка k.

где
 
Тогда
 

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  1.  Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  1.  Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

В символах теста:

. Изображение прямоугольного импульса (t) высотой 1 и шириной  изображенного на рисунке,

имеет вид …


Операторное решение дифференциального уравнения

1 шаг: Сделать замену: , ,

Все функции заменить их отображениями (см. таблицу.)

2 шаг. Выразить X(p) Это и есть операторное решение.

3 шаг. вернуть все отображения в оригиналы. (если требуется обычное решение.)

Таблица оригиналов и отображений

 

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

1

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20

Пример: Операторное решение дифференциального уравнения    имеет вид …

Решение:Шаг 1


Шаг 2


Тогда
 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64215. Развитие психической деятельности животных в раннем постнатальном периоде 33.5 KB
  Если рассматривать психическую деятельность эмбриона как поведение и психику в процессе их становления на начальной стадии существования особи то рождение является поворотным пунктом где весь процесс развития поведения получает новое направление.
64216. Инстинктивное поведение в раннем постнатальном периоде 30 KB
  Появление инстинктивных движений является результатом реализации генетически закрепленной программы которая сформировалась в процессе филогенеза. Процесс развития инстинктивных движений в раннем постнатальном периоде...
64217. Ранний опыт (благоприобретённые компоненты поведения) 32 KB
  Преобладание облигатного научения в раннем постнатальном онтогенезе объясняется тем что в это время происходит достройка врождёных пусковых механизмов ряда важнейших инстинктивных действий путём включения в них индивидуально приобретаемых компонентов.
64218. Запечатление (импринтинг) 31.5 KB
  В связи с этим запечатление квалифицируют и как перцептивное научение направленное на распознавание незнакомого в дополнение к знакомому то есть как дополнение к врождённому узнаванию.
64219. Раннее формирование общения 27.5 KB
  При постнатальном формировании акустического общения между птенцами и их родителями возможность индивидуального опознавания обеспечивается за счет раннего облигатного научения. У рыб присутствие особей того же вида не является столь необходимым для формирования общения как у высших животных.
64220. Познавательные аспекты раннего постнатального поведения 35 KB
  Так щенята лисята и детёныши других хищных млекопитающих уже с первого дня жизни совершают поисковые маятникообразные движения головой прекращающиеся после нахождения соска матери. В дальнейшем ориентировочные реакции усложняются детёныши развивают способности узнавать предметы...
64221. Игровой (ювенильный) период онтогенеза. Концепции игры. Значение игры для формирования поведения животных 33 KB
  Как было сказано выше ювенильный игровой период развития поведения наблюдается только у детёнышей высших животных у которых развитие поведения совершается перед половым созреванием в форме игровой активности.
64222. Формирование общения в играх животных 33.5 KB
  Такие игры встречаются только у животных которым свойственны развитые формы группового поведения. У детёнышей нехищных животных совместная игра состоит из общеподвижных игр совместных прыжков игрового бегства и так далее Игровая борьба если она встречается у данных видов...
64223. Познавательная функция игровой активности животных 29 KB
  В последнем случае имеет место активное воздействие на объект игры особенно деструктивного порядка позволяющее изучить внутреннее строение объекта а не только его внешние признаки. Важно что в ходе игры животное относится практически к каждому незнакомому предмету как к потенциально значимому и пытается найти ему применение.