25501

Преобразование Лапласа и его свойства

Контрольная

Математика и математический анализ

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной [1] такая что: Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа. Обратное преобразование Лапласа Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной такая что: где некоторое вещественное число см. Двустороннее преобразование Лапласа Двустороннее преобразование Лапласа обобщение на случай задач в которых для функции участвуют значения .

Русский

2013-08-13

99.94 KB

46 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

Изображения f(t) и оригиналы F(p).

Операторный метод решения задачи Коши.

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция  комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция  вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции  участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

1) Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  1.  Умножение изображений

3) Свойство линейности

в символах теста:

4) Умножение на число:

В символах теста: 

  1.  Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

В символах теста: Изображение производной порядка k.

где
 
Тогда
 

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  1.  Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  1.  Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

В символах теста:

. Изображение прямоугольного импульса (t) высотой 1 и шириной  изображенного на рисунке,

имеет вид …


Операторное решение дифференциального уравнения

1 шаг: Сделать замену: , ,

Все функции заменить их отображениями (см. таблицу.)

2 шаг. Выразить X(p) Это и есть операторное решение.

3 шаг. вернуть все отображения в оригиналы. (если требуется обычное решение.)

Таблица оригиналов и отображений

 

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

1

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20

Пример: Операторное решение дифференциального уравнения    имеет вид …

Решение:Шаг 1


Шаг 2


Тогда
 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55198. Облік і аудит. Методичні рекомендації 351.5 KB
  Практичні рекомендації спрямовуються на набуття студентами навиків застосування теоретичних знань і методологічних підходів до формування показників звітності вітчизняних публічних корпорацій. Вивчення цієї дисципліни сприяють формуванню прикладних навичок фахівців з бухгалтерського обліку...
55199. Фінансовий аналіз. Методичні рекомендації 2.3 MB
  Метою вивчення дисципліни є формування у студентів знань з теоретичних основ методології та одержання практичних навичок проведення фінансового аналізу діяльності підприємств. Програма курсу охоплює загальну оцінку фінансового стану підприємства аналіз фінансової стійкості платоспроможності...
55201. СТРАТЕГИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ТУРИСТСКОГО ПРЕДПРИЯТИЯ 168.38 KB
  Одна из основных целей маркетинга – установление максимально возможной планомерности и пропорциональности в деятельности туристского предприятия. Главная задача состоит в том, чтобы уменьшить степень неопределенности и риска, а также обеспечить концентрацию ресурсов на выбранных приоритетных направлениях развития.
55202. Предмет, об’єкт вивчення науки РПС і регіональної економіки 24.9 KB
  Розміщення продуктивних сил (РПС) і регіональна економіка – це галузь економічної науки, що вивчає специфічні, просторові аспекти прояву економічних законів. Головний об’єкт її вивчення – територіальний стан і розвиток продуктивних сил країни і регіонів.
55203. УКРАЇНСЬКА МОВА ЗА ПРОФЕСІЙНИМ СПРЯМУВАННЯМ. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ 64.5 KB
  Тема: Поняття €œсучасна українська літературна мова. Сучасна українська літературна мова - головний засіб спілкування між людьми в суспільстві. Сучасна українська ділова мова.
55204. Українська мова за професійним спрямуванням. Плани та завдання до практичних занять 558 KB
  Основи мовної політики і фактори прискорення процесів упровадження державної мови. Місце мови в комунікативній деонтиці юриста. Це і зумовило 28 жовтня 1989 р. прийняття Закону про мови в Українській РСР коли під тиском національно-демократичних сил тодішня влада пішла на законодавче закріплення статусу державної за українською мовою й оголосила українську мову державною і мовою національного спілкування у межах України.
55205. Кольорова металургія України, розміщення основних виробництв. Сучасний стан, проблеми й перспективи розвитку галузі 24.51 KB
  Кольорова металургія включає видобуток, збагачення, металургійну переробку кольорових руд, дорогоцінних і рідкісних металів, у тому числі виробництво сплавів, прокату кольорових металів, переробку вторсировини і видобуток кольорових каменів.