2566

Определение модуля упругости (модуля Юнга) по деформации изгиба

Лабораторная работа

Физика

Цель работы: определение модуля упругости (модуля Юнга) по деформации изгиба стержней прямоугольного сечения. Деформация изгиба возникает тогда, когда к стержню, один конец которого закреплен или к стержню, свободно лежащему на опорах приложена сила, перпендикулярная к его оси.

Русский

2013-01-06

125.82 KB

287 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9

Определение модуля упругости (модуля Юнга) по деформации изгиба

Цель работы: определение модуля упругости (модуля Юнга) по деформации изгиба стержней прямоугольного сечения.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

а

б

 

Рис.1

Деформация изгиба возникает тогда, когда к стержню, один конец которого закреплен (рис.1а) или к стержню, свободно лежащему на опорах (рис.1б) приложена сила, перпендикулярная к его оси. И в том и в другом случае стержень изгибается и характеристикой этой деформации может служить стрела прогиба .

Во введении к данному циклу работ было показано, что деформация изгиба представляет собой неоднородную деформацию растяжения-сжатия. Там же было получены выражения (формулы (12)и (13) введения) для определения стрел прогиба для обеих ситуаций, приведенных на рис.1.

В данной лабораторной работе будет исследоваться изгиб стержня прямоугольного сечения, свободно лежащего на опорах (рис.1б). В этом случае стрела прогиба определяется соотношением

 ,  (1)

где L - длина стержня, Е – модуль Юнга материала стержня, Р – сила, действующая на середину стержня. Величина I определяется только формой сечения стержня и рассчитывается по формуле

 . (2)

Величины, входящие в эту формулу, поясняются на рис.2. Буквой О обозначен центр масс сечения стержня. Через него проходит нейтральный слой, который не испытывает деформации сжатия-растяжения.

В данной работе используется стержень прямоугольного сечения (рис.3) Очевидно, что в этом случае центр масс сечения совпадает с его геометрическим центром и, следовательно, b1=b2=b/2. Здесь b – размер стержня в направлении действия нагрузки, иначе говоря, толщина стержня. Кроме того, очевидно, что величина а не зависит от х (стержень имеет постоянную ширину. Теперь интеграл (2) вычисляется просто:

  (3)

Подставляя полученное выражение в (1), получаем

  или , где (4)

Выражение (4) подсказывает следующий метод определения модуля Юнга. Надо получить экспериментальную зависимость стрелы прогиба  от нагрузки Р и определить тем или иным способом коэффициент пропорциональности А. Далее, проведя измерения геометрических размеров стержня, рассчитать Е.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Установка для определения экспериментальной зависимости стрелы прогиба  от нагрузки состоит из двух стоек со стальными призмами, на которых располагается стержень прямоугольного сечения из исследуемого материала. Грузы, вес которых определяется на технических весах, подвешиваются к стремени, которое помещают на одинаковом расстоянии от стоек. Стрела прогиба измеряется с помощью микрометра, установленного вертикально над стержнем в месте расположения стремени. Контакт острия на стебле микрометра со стержнем фиксируется световым индикатором.

Предварительно измеряются геометрические параметры установки, т.е. величины L, a и b после чего исследуемый стержень размещается на опорах.

Далее необходимо убедиться, будут ли деформации стержня, возникающие в наших экспериментах, упругими, поскольку только в этом случае для вычисления модуля Юнга справедлива формула (1). Для выяснения этого обстоятельства используется следующая процедура. Микрометрический винт приводится в контакт со стержнем и производится отсчет показаний микрометра. Используя все имеющиеся грузы, создается максимально возможная (для данной работы) нагрузка стержня. Затем грузы снимаются, микровинт вновь приводится в контакт со стержнем и вновь производится отсчет показаний микрометра. Если показания микрометра до и после нагружения стержня совпадают в пределах погрешности измерений, можно говорить, что форма стержня восстановилась и, тем самым, утверждать, что при проведении экспериментов возникающие деформации будут упругими.

Стрела прогиба в данной установке определяется как разность показаний микрометра до нагружения стержня n0 и при нагрузке стержня n, т.е. =n0 –n, а нагрузка рассчитывается по формуле Р=mg. Используя эти соотношения можно несколько изменить формулы (4) так, чтобы в них входили результаты прямых измерений

  или  = n0 –n = Bm, где . (5)

Определив коэффициент пропорциональности В по экспериментальной зависимости стрелы прогиба от массы груза теперь нетрудно рассчитать значение модуля Юнга.

  .  (6)

Экспериментальная зависимость  от m при увеличении нагрузки снимается следующим образом. В отсутствие нагрузки отсчитывается показание микрометра n0. Подвешивается груз массой m1 и отсчитывается показание микрометра n1. Очевидно, 1 = n0 –n1. Добавляется груз массой m2. Суммарная масса нагрузки будет составлять m1+ m2. Отсчитывается показание микрометра n2, определяется 2. Добавляется следующий груз и т.д.

Аналогичным образом определяется экспериментальная зависимость  от m при разгрузке. Отсчитывается показание микрометра при максимальной подвешенной массе, убирается один груз, вновь отсчитывается показание микрометра и так до тех пор, пока не будут сняты все грузы. В отсутствии нагрузки определяется новое значение n0.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

  1.  Измерить штангенциркулем ширину стержня a, микрометром толщину стержня b и линейкой расстояние L между опорами. Ширину и толщину измерить в нескольких местах (не менее чем в пяти). Определить случайные и систематические погрешности измерения этих величин.
  2.   Расположить стержень на опорах так, чтобы середина его пришлась над отверстием в платформе со стойками. Стремя с крюком для подвешивания грузов поместить на середину стержня. Микрометр расположить так, чтобы острие стебля микрометра находилось над отверстием в стремени.
  3.   Вращением головки микрометра осторожно привести острие стебля в контакт со стержнем (в момент контакта загорается световой индикатор). Произвести отсчет показаний микрометра. Вывести стебель микрометра из контакта и затем вновь привести его в контакт со стержнем и вновь отсчитать показания микрометра. Такую процедуру повторить не менее пяти раз. Определить среднее значение нулевого показания, а также случайную и систематическую погрешность С n0 его измерения.
  4.   Повесить на стержень максимальный груз, через некоторое время снять его. Согласно пункту 3 вновь определить значение нулевого отсчета . Сравнить и . Сделать вывод о характере деформаций стержня, возникающих в данном эксперименте.
  5.   Снять зависимость величины прогиба от массы груза при нагрузке стержня. Для этого
  6.  в отсутствие нагрузке привести в контакт со стержнем стебель микрометра, произвести отсчет показания микрометра n0;
  7.  взвесить одну из гирь и подвесить ее к стремени. Вращением головки микрометра восстановить контакт острия стебля микрометра со стержнем. Определить новое показание микрометра;
  8.  последовательно добавлять к подвешенным гирям остальные, предварительно взвешивая их. После подвешивания очередной гири восстанавливать контакт острия стебля микрометра со стержнем и отсчитывать показания микрометра;
  9.  результаты измерений занести в таблицу, вид которой приведен ниже, рассчитать погрешность определения стрелы прогиба, построить график экспериментальной зависимости  от m при нагружении стержня.

№ п/п

m, кг

n, мм

, мм

, мм

0

0

n0

1

m1

n1

1 = n0-n1

2

m1+m2

n2

2 = n0-n2

k

mi

nk

k = n0-n2

  1.   Снять зависимость величины прогиба от массы груза при разгрузке стержня. Для этого
  2.  подвесить максимальный груз, произвести отсчет показаний микрометра;
  3.  вывести стебель микрометра из контакта со стержнем, снять одну гирю, вновь привести стебель микрометра в контакт со стержнем, произвести отсчет показания микрометра;
  4.  повторять предыдущий пункт, последовательно снимая гири;
  5.  сняв последнюю гирю, снова определить величину n0;
  6.  результаты измерений занести в таблицу, аналогичную вышеприведенной (ее удобно заполнять снизу вверх), рассчитать погрешность определения стрелы прогиба, построить график экспериментальной зависимости  от m при разгрузке стержня.
  7.  По результаты измерений методом наименьших квадратов определить значения коэффициента В и рассчитать величины модуля Юнга при нагружении и разгрузке стержня.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Измерения геометрических размеров стержня являются прямыми измерениями, поэтому погрешности величин а,b и L определяются стандартными методами обработки прямых измерений. Прямыми являются и измерения массы. Однако при этом будем считать, что случайная погрешность определения массы много меньше систематической, так что полная погрешность определения массы равна систематической погрешности, составляющей .

Стрела прогиба  определяется косвенным образом по формуле =n0 –n, где n0 и n, прямые измерения, производимые по микрометру с точностью 0,01мм. Погрешность  определяется по формуле . Очевидно, что n0=n=0,01мм, так что = 0,014мм. Итак, абсолютная погрешность измерения стрелы прогиба во всех опытах будет одинакова и равна 0,014мм.

Согласно формуле (5) существует линейная связь между стрелой прогиба и массой груза, т.е. m. Коэффициент В по данным эксперимента можно было бы определить так. Каждый опыт дает определенное значение Bi:

 Вi =  i / m i ,  (7)

где i и mi - значения величин  и m, полученные в i-том опыте. Индекс i у величины B показывает, что это значение соответствует i-тому опыту. Из значений Bi можно образовать среднее

 .  (8)

Здесь следует отметить, что это простой, но не самый лучший способ определения B. В самом деле, m есть величина, характеризующая условия опыта, которую мы знаем практически точно, а  есть результат опыта, известный с погрешностью. Погрешность  одинакова во всех измерениях. Тогда ошибка в величине B, равная i /mi, тем больше, чем меньше mi. Иначе можно сказать, что значение B, вычисленное по формуле (8), не является наилучшей оценкой истинного B. Это является следствием того, что величины Bi неравноточные.

Строго задача о нахождении наилучшей оценки истинного значения B по данным эксперимента и известной зависимости типа Y=aX (в данном случае =Bm) ставится так. Необходимо найти такое значение B, при котором функция =Bm наилучшим образом соответствует опытным данным (смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).

Выберем за меру отклонения функции от экспериментальных данных для i-го опыта величину (i-Bmi )2. Если бы за меру отклонения была взята просто величина i-Bmi, то сумма отклонений в нескольких опытах могла бы оказаться весьма малой за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но имеющих разные знаки. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что функция =Bm хороша. Очевидно, что такого взаимного уничтожения не будет, если мера отклонения выбрана в виде (i-Bmi)2.

Итак, в качестве меры общего отклонения S в описании опытных данных функцией =Bm необходимо взять сумму мер отклонений для всех опытов, то есть:

 .  (9)

Таким образом, наша функция будет наилучшим способом описывать опытные данные, если S, то есть сумма квадратов отдельных отклонений, минимальна. Метод определения констант, входящих в формулу, из требования минимальности S, называется методом наименьших квадратов.

Величина S является функцией B, т.е. S=S(B). Чтобы найти такое значение B, которое доставляет минимум функции S (наилучшее значение B), необходимо, как известно, решить уравнение dS/dB=0. Используя (9), получаем:

или ,

что дает . (10)

Итак, подставляя в формулу (10) экспериментальные значения mi и i, рассчитывается значение величина, являющееся наилучшей оценкой истинного B. Среднеквадратичное отклонение определяется по формуле:

 .  (11)

Для расчета доверительного интервала о B выбирается доверительная вероятность  и определяется коэффициент Стьюдента t,k-1, т.е. для числа на единицу меньше числа проделанных опытов. Тогда, как обычно, о B=t,k-1SB.

Методом наименьших квадратов следует обработать экспериментальные точки, полученные как при нагружении стержня, так и при его разгрузке. Следует также на экспериментальных графиках провести "наилучшие" прямые, используя значение рассчитанные значения В.

После расчета коэффициента пропорциональности В можно рассчитать по формуле (6) значение модуля Юнга. Погрешности, входящих в эту формулу величин, известны. Естественно, что значения этих погрешностей определяют и погрешность определения величины E. Величина E является результатом косвенного измерения. Значение E определяется по формуле погрешности косвенных измерений. Предполагая при этом, g=0, можно записать:

 . (12)

Взяв производные и поделив обе части (12) на величину E=gL3/4ab3B, получим выражение, которое удобно использовать для расчета погрешности

 . (13)

Подставляя в формулу (6) вначале случайные, а затем систематические погрешности, можно определить соответственно случайную и систематическую (С Е) погрешности измерения модуля Юнга. Полная погрешность единичного измерения модуля Юнга определяется по формуле.Таким образом, будут получены два значения модуля Юнга (из экспериментов при нагружении и разгрузке стержня). Их надо сравнить друг с другом и с табличными значениями.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1.  Что такое механическое напряжение и относительная деформация? Какова связь между ними (на примере деформации сжатия-растяжения)? Что такое механическое напряжение и относительная деформация с молекулярной точки зрения?
  2.  В чем состоит закон Гука? Каков физический смысл модуля Юнга, модуля сдвига? Что такое коэффициент Пуассона?
  3.  Почему модуль Юнга может быть определен из наблюдений деформаций изгиба?
  4.  Каковы основные этапы вывода формулы (1)? Что такое «момент инерции сечения» I?
  5.  Определите относительную погрешность величины A, вычисляемой по формуле A=B-C, если B=100, C=99 и относительные погрешности их определения составляют 1%.