2569

Определение величины земного ускорения при помощи машины Атвуда

Лабораторная работа

Физика

Цель работы: измерить величину ускорения свободного падения при помощи машины Атвуда. Ускорение свободного падения g можно найти при помощи очень простого опыта: бросить тело с высоты h и измерить время падения t.

Русский

2013-01-06

264.5 KB

59 чел.

Определение величины земного ускорения при помощи машины Атвуда

Цель работы: измерить величину ускорения свободного падения при помощи машины Атвуда.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Ускорение свободного падения g можно найти при помощи очень простого опыта: бросить тело с высоты h и измерить время падения t. Тогда g=2h/t2. В действительности дело обстоит не так просто, если величину g требуется определить достаточно точно. Рассчитаем время падения t с высоты h=1,0м при g=9,8м/с2 

При измерении такого промежутка времени с погрешностью t=0.01c относительная погрешность определения g, равная,  будет более 4.5% и абсолютная погрешность g>0.5m/c2. Казалось бы, чтобы снизить погрешность определения g, используя секундомер с той же погрешностью t=0.01c, надо увеличить измеряемый промежуток времени, увеличивая высоту падения. Так при h=5м время падения около 1с, а при h=20м - t2c. Однако в этом случае возникают ошибки другого характера.

Дело в том, что при больших скоростях заметную роль играет сопротивление воздуха, а формула равноускоренного движения h=gt2/2 этого фактора не учитывает. Таким образом, увеличивая высоту h, мы увеличиваем время падения и уменьшаем относительную погрешность его измерения, но при этом вносим другую ошибку: сама формула h=gt2/2 становится неточной. Например, если сбросить кирпич с высоты h=500м, то около 200м он будет двигаться с ускорением, а затем сила сопротивления воздуха станет равна силе тяжести (это будет при скорости 70 м/с) и тело остальные 300м будет двигаться с постоянной скоростью.

Приведенный простой пример наглядно демонстрирует общую черту любого физического эксперимента. В любом эксперименте точность определения какой-либо физической величины связана не только с точностью измерительных приборов, но и с тем насколько точно принятая модель описывает данный опыт, иначе говоря, насколько модель адекватна экспериментальной ситуации. Очевидно, что при обработке экспериментальных данных по формулам приближенной модели полученные результаты будут отличаться от истинного значения измеряемой величины. Это отличие имеет смысл систематической погрешности. Для ее учета надо строить более точную модель эксперимента.

Итак, сложности такого внешне простого опыта связаны с большим ускорением тела, за которым мы следим во время опыта. Так как ускорение большое, то тело быстро набирает скорость, а при этом или время движения мало и его трудно измерить, или сама формула равноускоренного движения неточна.

Уменьшить ускорение можно с помощью устройства, которое называется машиной Атвуда (рис.1). Через блок перекинута нить, на которой укреплены грузы с массой M каждый. На один из грузов накладывается перегрузок с массой m. Система начнет двигаться с ускорением a. Пройдя расстояние S-H, перегрузок m снимается. Система продолжает двигаться по инерции, проходя путь H.

Время прохождения этого расстояния можно точно измерить. Для достижения цели - как можно более точного для наших условий определения ускорения свободного падения g - необходимо построить модель экспериментальной ситуации, которая реализуется в машине Атвуда. В рамках этой модели надо найти связь между t и H и указать метод определения из такой зависимости интересующей нас величины g.

Наиболее простая модель нашей экспериментальной установки такова: блок и нить невесомы (их массы равны нулю), нить нерастяжима; трением в блоке и сопротивлением воздуха пренебречь. Тогда уравнения движения грузов имеют следующий вид

. (1)

Здесь T - сила натяжения нитей (при сделанных предположениях эти силы одинаковы), a - ускорение грузов. Решая систему (1), получаем

. (2)

Из этой формулы видно, что система будет двигаться с постоянным ускорением, причем a=0, если m=0 (то есть система будет двигаться равномерно при снятом перегрузке). До снятия перегрузка система пройдет расстояние S-H и, к моменту снятия перегрузка, она будет иметь скорость, которую можно рассчитать по формуле v2=2a(S-H). Скорость v можно экспериментально определить, измерив время t прохождения системой пути H. Итак, получаем связь между t и H

. (3)

Таким образом, определив экспериментально зависимость t от H, по формуле (3) можно найти величину a (это можно сделать методом наименьших квадратов) и далее по формуле (2), используя известные значения m и M, рассчитать ускорение свободного падения g.

Рассмотрим более реалистичную модель машины Атвуда. В этой модели учтем то, что масса блока не равна нулю. Теперь необходимо считать, что система состоит из трех тел - двух грузов с массами M и M+m, и блока, имеющего момент инерции J. Для описания движения такой системы к уравнениям движения грузов надо добавить уравнение движения для блока (уравнение моментов). Обратим внимание на тот факт, что в рассматриваемой модели силы натяжения нити, действующие на грузы, неравны. Имеем

 .  (4)

Последнее уравнение - это уравнение моментов. Здесь - угловое ускорение, которое в отсутствие проскальзывания нити по блоку равно =a/R, где R - радиус блока. Решая эту систему, получаем

 .  (5)

Из этой формулы видно, что при J=0 она переходит в выражение (2). Так же, как и раньше, в отсутствии перегрузка, то есть при m=0, ускорение a равно нулю. Значит, расстояние H система будет проходить с постоянной скоростью и связь между H и t такая же, как и первой модели. Способы обработки результатов эксперимента практически не отличаются от используемых в первой модели. Как и раньше из экспериментальной зависимости t от H методом наименьших квадратов можно найти a, но ускорение свободного падения теперь вычисляется при помощи выражения (5).

В формуле (5) неизвестна величина момента инерции блока J относительно оси вращения. Оценить величину J можно, если считать блок диском радиусом R и массой , в котором вырезаны отверстия радиусом r, а центры этих отверстий находятся на расстоянии l от центра вращения. Вывод выражения для J такой модели блока приведен в приложении, где также приведена оценка величины момента инерции блока, которая составила J95гcм2. На самом деле блок представляет более сложную конструкцию, которая включает в себя не только фигурный диск, но и ось, которая закреплена в подшипниках. Рассчитать момент инерции такой конструкции в принципе можно, но эти вычисления достаточно громоздки, поэтому значение J гораздо проще измерить, например, так, как это делается в лабораторной работе №4. Такое измерение дает J=(94,70.5)гcм2.

Теперь нетрудно оценить погрешность определения g, которую мы бы допустили, если пользовались результатами первой модели. Так в нашей установке величина 2M+m равна приблизительно 125г, величина R4cм и, значит, I/R2. Таким образом, пренебрежение моментом инерции блока приводит к уменьшению знаменателя в формуле (2) примерно на 5% и, как следствие, к такому же примерно завышению g, определенного по формулам первой модели.

Завершая обсуждение второй модели, сделаем еще следующее замечание. Формуле (5) можно придать более простой вид, аналогичный выражению (2), если ввести новую величину , которая характеризует инерционные свойства системы, обусловленные не только массами грузов, но и инерционными свойствами блока, поэтому величину M0 можно назвать эквивалентной массой груза. Используя эту величину, формула (5) преобразуется к виду

 .  (6)

Этим выражением мы будем пользоваться в дальнейшем при обработке эксперимента.

Итак, вторая модель позволила нам учесть массу блока. Пренебрежение массой нити является хорошим приближением для данной установки, и его обсуждать мы не будем. Рассмотрим теперь приближения, связанные с силами трения. Силу трения грузов о воздух с хорошей точностью можно считать пропорциональной скорости их движения, то есть чем меньше скорость движения грузов, тем меньше сила сопротивления его движению и тем точнее выполняется приближение об отсутствии трения о воздух.

Казалось бы, в данной установке скорость движения грузов можно сделать как угодно малой. Формально это следует как из формулы (2), так и из формулы (5) - при m0 ускорение а0. Например, если M=5кг и m=1г, то m/2M=10-4 и при опускании груза с высоты примерно 0,5 м его скорость не превысит величины 1мм/с. Однако реально такой опыт невыполним (система может даже не начать двигаться при наложении перегрузка). Дело в том, что в выбранных моделях мы предположили отсутствие трения в оси блока. В действительности оно есть и для учета его влияния на поведение системы нам надо снова уточнить модель, включив в нее силы трения, действующие в оси блока.

Уравнения движения с учетом силы трения в оси блока будут иметь следующий вид

. (7)

Здесь FТР - сила трения между блоком и осью, r - радиус оси (рис.2). Сила трения FТР прямопропорциональна силе давления на ось блока N, то есть FТР=N=(T1+T2), где - коэффициент трения между блоком и осью, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей втулки блока и оси, состояния смазки и т.п.

Используя это соотношение и вспоминая также, что угловое ускорение блока связано с линейным ускорением по формуле =a/R, последнее уравнение системы (7) можно записать в следующем виде

Подставив в него T1 и T2, выраженные из первых двух уравнений системы (7), получаем

Используя величину М0 и введя обозначение k=(r/R), выражение для ускорения системы можно представить в следующем виде

 .  (8)

Рассмотрим характер движения системы в зависимости от массы перегрузка. Если система в начальный момент времени находится в покое, то при постепенном увеличении массы перегрузка система будет продолжать оставаться в покое до тех пор пока наложенная масса не превысит некого значения m0, которое легко определить из условия равенства нулю числителя в выражении (8).

 .  (9)

При m>m0 система будет двигаться с ускорением, определяемым согласно формуле (8). В момент снятия перегрузка система будет обладать скоростью v=2a(S-H) и начнет двигаться равнозамедленно, то есть с отрицательным ускорением a0, которое нетрудно вычислить, если в формуле (8) положить m=0

 .  (10)

Чтобы использовать результаты точной модели для определения ускорения свободного падения g по экспериментальным данным, полученным на машине Атвуда, надо уметь определять величину k, характеризующую силу трения в оси. Оценить величину k можно просто по формуле (9), зная m0 - k=m0 /(m0+2M). По своему смыслу m0 - это масса перегрузка, который только-только страгивает блок с грузами. Из-за этого "только-только" величина m0 оценивается очень грубо. Например, перегрузок массой не страгивает блока, а перегрузок массой приводит блок в движение. Такое измерение позволяет заключить только, что 1г<m0<2г. Это, очевидно, очень грубое оценочное измерение. Оно не может нас удовлетворить и вот по какой причине. Дело в том, что, как отмечалось выше, для надежного пренебрежения силой сопротивления воздуха необходимо, чтобы грузы двигались медленно, то есть ускорение a было мало. Как следует из формулы (8) и (9) это возможно, если масса перегрузка m незначительно превышает m0. В этом случае, как можно показать, погрешность g существенным образом определяется погрешностью m0, которая велика.

Существует другой метод определения k, использующий только экспериментальные результаты, полученные на машине Атвуда. То, что этот метод не требует дополнительных экспериментов, делает его особенно привлекательным, но за это приходится расплачиваться более сложными формулами для обработки эксперимента. Выведем эти формулы.

Для начала получим выражение для времени падения груза с высоты H. После прохождения участка S-H с ускорением a груз приобретает скорость v=2a(S-H). В этот момент начинается равнозамедленное движение с ускорением a0. Время перемещения t и расстояние H связаны при этом известным соотношением

, (11)

где обозначения A=2a и B=a0/2 введены для удобства.

В этой формуле S - известная величина, H и t измеряются экспериментально, значения же a и a0, или, что то же самое, A и B подлежат определению. Вычислить эти величины методом наименьших квадратов, используя формулу (11) нельзя, так как эта формула задает неявную связь между измеряемыми величинами.

Как применять метод наименьших квадратов для нахождения A и B будет подробно изложено ниже. Сейчас же будем считать, что значения параметров A и B нам известны и выведем уравнение для расчета величины g. Выпишем выражения для A и B, используя формулы (8) и (10).

. (12)

Соотношения (12) представляют собой систему уравнений относительно неизвестных g и k. Выразив k из второго соотношения (k=-2BM0/gM) и подставив его в первое, получим квадратное уравнение для величины g.

. (13)

В этом уравнении все коэффициенты легко рассчитываются, зная параметры A и B, найденные из эксперимента, и параметры установки m, M и M0. Нетрудно рассчитать также и погрешности этих коэффициентов. Далее, найдя корни этого уравнения и выбрав из них физически разумный, можно вычислить величину ускорения свободного падения.

Таким образом, мы рассмотрели результаты трех моделей, описывающих движение машины Атвуда. Последняя модель наиболее полно, по сравнению с предыдущими, учитывает детали движения грузов. Можно, конечно, и далее совершенствовать модель, включая в нее другие тела и другие силы, оказывающие влияние на движение системы. Например, можно учесть влияние на характер движения массы нити. Но надо ли это? Ведь интуитивно мы понимаем, что учет массы нити даст поправку к значению g, не превышающую отношения массы нити к эффективной массе системы. Но это отношение можно сделать как угодно малым, увеличивая массу M.

Можно было бы уточнять модель, вводя в рассмотрение силу сопротивления воздуха, действующую на грузы при их движении. Но это приводит к значительным математическим сложностям. По этой причине может оказаться более простым проведение экспериментов с машиной Атвуда в вакууме.

Процесс совершенствования физической модели реального объекта бесконечен. Стоит вопрос о том, что надо где-то остановиться, чем-то ограничится. Указание на такую границу может дать точность эксперимента, поскольку очевидно, что если уточнение модели дает поправку меньшую, чем точность эксперимента, то такое усовершенствование бесполезно

Стимулом для дальнейшего совершенствования, уточнения или изменения модели служат, в первую очередь, выводы следующие из эксперимента, сделанные на основании той или иной модели. Так, например, для нашего случая при обработке результатов эксперимента по формулам первой модели получается, что величина g зависит от массы перегрузка m. Этот факт противоречит принципу эквивалентности инертной и гравитационной массы, справедливость которого установлена с высокой точностью. Отсюда следует вывод о неполноте модели нашей установки и необходимости ее уточнения.

Можно привести пример другого рода. Точные измерение земного ускорения, проведенные на разных географических широтах, дают разные его значения. Ускорение тем меньше, чем меньше широта (на экваторе величина земного ускорения наименьшая). Эта зависимость, очевидно, обусловлена вращением Земли и указывает на необходимость учитывать в физической модели эксперимента это вращение, например, путем введения центробежной силы.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Машина Атвуда схематически на рис.1. Она представляет собой закрепленную на основании вертикальную стойку, на которой укреплены три кронштейна: неподвижный нижний и два подвижных кронштейна - верхний и средний, а также верхняя втулка, с закрепленными на ней блоком и электромагнитом.

Блок радиусом R=(40,00,3)мм имеет момент инерции J относительно оси вращения равный J=(94,70,5)гсм2. Через блок перекинута нить, на концах которой закреплены грузы с массой M=(60,000,10)г. Нетрудно определить, что эквивалентная масса груза, равная M0=M+J/2R2, имеет значение M0=(62,960,11)г. Система блока с грузами удерживается в состоянии покоя при помощи фрикционной муфты электромагнита.

Верхний и средний кронштейны можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в любом положении. Тем самым можно установить суммарную длину пути S и длину свободного перемещения H. Величины S и H отсчитываются по миллиметровой шкале, находящейся на вертикальной стойке. Для удобства кронштейны имеют указатель положения, а верхний кронштейн имеет также дополнительную черту, облегчающую точное согласование нижней грани правого груза с определенным началом пути движения. Точность отсчета величин S и H составляет 1мм.

На правом грузе могут помещаться перегрузки, имеющие форму кольца с прорезью. Масса m этих перегрузков обозначена на них самих. Она имеет точность 0,05г. Кольцевые перегрузки снимаются с основного груза простым устройством, закрепленным на среднем кронштейне. На нем же укреплен фотоэлектрический датчик, который формирует электрический сигнал, запускающий секундомер в момент снятия кольцевого перегрузка, то есть он сигнализирует о начале свободного движения системы. Оптическая ось фотодатчика (черта на его корпусе) находится на уровне указателя положения среднего кронштейна.

Свободное движение системы завершается ударом о резиновые амортизаторы нижнего кронштейна, на котором также расположен фотодатчик, имеющий оптическую ось на уровне указателя положения кронштейна. При пересечении нижней гранью груза оптической оси фотодатчика вырабатывается электрический импульс, останавливающий секундомер. Тем самым фиксируется время прохождения расстояния H.

Цифровой миллисекундомер, к входам которого подключены фотодатчики, укреплен на том же основании, что и вертикальная стойка. Он может измерять промежутки времени от 0 до 99,999 секунд с относительной погрешностью 0.02%. На лицевой панели миллисекундомера расположены три управляющие клавиши - СЕТЬ, ПУСК, СБРОС. После подключения секундомера к сети нажатия клавиши СЕТЬ схема сброса нуля устанавливает прибор в начальное состояние, обнуляя декады счетчика времени. При этом на электромагнит подается напряжение, и он фиксирует систему блока и грузов. При нажатии клавиши ПУСК происходит отключение напряжения питания от электромагнита. В момент пересечения нижним основанием груза оптической оси фотодатчика формируется импульс, который обеспечивает подключение к счетчику времени эталонного кварцевого генератора с высокостабильной частотой, равной 1Мгц. До тех пор пока не придет сигнал с нижнего фотодатчика, счетчик подсчитывает число импульсов кварцевого генератора. Сигнал с нижнего фотодатчика отключает эталонный генератор от счетчика времени, показания которого высвечиваются на световом табло. При этом вновь включается питание электромагнита. Нажатие клавиши СБРОС устанавливает миллисекундомер в начальное состояние.

Таким образом, выбрав некоторую длину S, можно, перемещая средний кронштейн, снять зависимость t от H при фиксированном значении массы кольцевого перегрузка. Эта зависимость и подвергается дальнейшей обработке с целью определения величины ускорения свободного падения.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Установить верхний кронштейн в некоторое положение и по указателю на нем произвести отсчет величины S. Эта величина в процессе работы будет неизменной.

2. Подключить сетевой кабель миллисекундомера к сети питания. Нажать клавишу СЕТЬ. При этом индикаторы миллисекундомера должны высвечивать нули и должны гореть лампочки фотодатчиков. Кроме того, электромагнит должен обеспечивать неподвижность системы.

3. Установить средний кронштейн на выбранной высоте H. Верхний и нижний кронштейны расположить так, чтобы правый грузик при своем движении проходил через середину рабочих окошек фотодатчиков. По шкале на стойке отсчитать значение H.

4. На правый груз положить один из кольцевых перегрузков и записать его массу. Установить нижнюю грань правого груза против черты на верхнем кронштейне. Нажать клавишу ПУСК. Записать высветившееся на секундомере время прохождения правым грузом расстояния H.

5. С одним и тем же перегрузком провести измерения времени свободного движения t для различных значений H (всего 10-12 точек).

6. Аналогично пунктам 2-5 провести измерения еще для двух кольцевых перегрузков.

7. Для каждой массы перегрузка представить зависимость экспериментально измеренных значений t и H в виде таблиц, а также построить графики этих зависимостей.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Для того чтобы определить из экспериментальной зависимости t и H ускорение свободного падения надо обратиться к результатам теоретических моделей. Первые две модели дают связь t и H, выражаемую формулой (3)

 .  (14)

Аналогичное соотношение в рамках третьей модели имеет следующий вид

.  (15)

Здесь, как и ранее, A=2a и B=a0/2.

Эти формулы показывают, что связь между результатами прямых измерений H и t неявная. Это неудобно при обработке эксперимента. Получить явную зависимость можно лишь для величин, которые являются результатами косвенных измерений, то есть рассчитанными по данным прямых измерений. В качестве таких величин можно выбрать, например

  и .  (16)

Тогда выражения (14) и (15) приобретут следующий очень простой вид

 Y=AX.  (17)

 Y=AX+B.  (18)

Это линейные зависимости и для их обработки широко используется метод наименьших квадратов.

Итак, теперь необходимо составить новые таблицы для величин X и Y, а также построить графики зависимостей Y от X. После этого можно приступить к определению параметров A и B.

Предположим, что экспериментальные результаты должны описываться формулой (17), то есть что справедлива первая или вторая модель. Параметр A в этой формуле можно определить так. Каждый опыт дает конкретное значение An=Xn/Yn, где Xn и Yn - значения величин X и Y, полученные в n-ом опыте. Индекс n у величины A показывает, что это значение A соответствует n-му опыту. Из значений An можно образовать среднеарифметическое , где p - общее число опытов.

Здесь следует отметить, что это самый простой, но не самый лучший способ определения A. В самом деле, пусть X есть величина, характеризующая условия опыта, которую мы знаем практически точно, а Y есть результат опыта, известный с погрешностью Y. Допустим, что эта погрешность одинакова во всех измерениях. Тогда ошибка в величине An, равная Yn/Xn, тем больше, чем меньше Xn. Значит, определяя величину A, лучше ориентироваться на опыты с большим Xn. Иначе можно сказать, что значение A, вычисленное по формуле (22), не является наилучшей оценкой истинного A. Это есть следствие того, что величины An неравноточные.

Строго, задача о нахождении наилучшей оценки истинного значения A по данным эксперимента и известной зависимости Y=AX, ставится так. Необходимо найти такое значение A, при котором функция Y=AX наилучшим образом соответствует опытным данным. Рассмотрим подробнее смысл выражения "наилучшим образом".

Выберем за меру отклонения функции от экспериментальных данных для n-го опыта величину (Yn-AXn)2. Почему именно эта величина, а не просто Yn-AXn? Ясно, что оба уклонения AXn от Yn нехороши: плохо, если A таково, что Yn<AXn, но также нехорошо, если A таково, что Yn>AXn. Если бы за меру отклонения мы взяли Yn-AXn, а затем стали бы находить сумму отклонений в нескольких опытах, то мы могли бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаков. Это, однако, вовсе не говорило бы, что взятая функция Y=AX хороша. Если за меру отклонения взять (Yn-AXn)2, то такого взаимного уничтожения не будет, так как все величины (Yn-AXn)2>0.

Итак, в качестве меры общего отклонения S0 в описании экспериментальных данных функцией Y=AX необходимо взять сумму мер отклонений для всех опытов, то есть

 .  (19)

Таким образом, функция Y=AX будет наилучшим образом соответствовать опытным данным, если S0, то есть сумма квадратов отдельных отклонений, минимальна. Метод определения констант, входящих в формулу, из требования минимальности S0, называется методом наименьших квадратов.

Величина S0 является функцией от A, то есть S0=S0(A). Чтобы найти такое значение A0, которое доставляет минимум функции S0, то есть наилучшее значение A, необходимо, как известно, решить уравнение dS0/dA=0. Используя (19), находим

 или , (20)

что дает .  (21)

Итак, подставляя в формулу (21) экспериментальные значения X и Y, приведенные в таблице, рассчитывается значение A0, являющееся наилучшей оценкой истинного значения A.

Среднеквадратичное отклонение для A рассчитывается по формуле

 .  (22)

Для расчета доверительного интервала A выбирается доверительная вероятность и определяется коэффициент Стьюдента для числа измерений на единицу меньше проделанных опытов. Тогда A= t, p-1SA

Зная A, нетрудно вычислить ускорение системы a=A2/2 и далее по формулам (2) или (6) получить численное значение ускорения свободного падения. Tак, если мы используем результаты первой модели, то для расчета g надо применить формулу (2). Нетрудно видеть, что тогда

 .  (23)

Погрешности всех величин, входящих в эту формулу известны. Погрешность g можно рассчитать как погрешность косвенных измерений

. (24)

Для более точного определения g используют выводы второй модели. Для вычисления g и g нетрудно получить формулы полностью аналогичные выражениям (23) и (24), только в них величина М должна быть заменена величиной M0, а M - на M0.

Рассмотрим теперь обработку экспериментальных данных с использованием результатов третьей модели. Согласно формуле (18) зависимость Y от X представляет собой прямую, не обязательно проходящую через начало координат. То есть, чтобы найти прямую, наилучшим образом соответствующую опытным данным, необходимо определить уже два параметра. В этом случае также можно применить метод наименьших квадратов. Мера общей ошибки S0 при описании опытных данных функцией Y=AX+B дается формулой . Надо выбрать числа A и B так, чтобы величина S0 была наименьшей.

Для этого поступим так. Если бы B было уже найдено, то S0 зависело бы только от A, то есть S0=S0(A). Поэтому должно было бы быть

С другой стороны, если бы уже было найдено A, то должно было бы быть

Эти условия дают следующую систему уравнений для определения величин A и B:

 или . (25)

Здесь введены обозначения: . Эти величины легко вычисляются по экспериментальным данным. Решая ее, получим

. (26)

Зная A и B, можно рассчитать среднеквадратичное отклонение S, которое характеризует среднюю степень отклонения экспериментальных результатов от прямой AX+B.

 .  (27)

Среднеквадратичные отклонения величин A и B определяются по следующим формулам:

 .  (28)

Наконец, доверительные интервалы для A и B при выбранной доверительной вероятности рассчитываются таким образом

 . (29)

то есть коэффициент Стъюдента выбирается по таблице для эффективной вероятности (1+)/2 и для числа точек на два меньшего, чем при обработке. Например, если надо найти доверительные интервалы при выбранной доверительной вероятности =0,90 для параметров A и B, полученных при обработке 10 точек (p=10), то в формулу (29) должно подставляется значение коэффициента Стъюдента t0.95, 8.

Для расчета величины ускорения свободного падения g и его погрешности g следует обратиться к квадратному уравнению (13). Запишем его в таком виде:

, где . (30)

Для расчета величин C и D всё известно. Погрешность этих величин можно рассчитать как погрешность косвенных измерений. Вывод формул для расчета погрешностей приведен в приложении, здесь же выпишем лишь окончательные выражения

. (31)

Величина земного ускорения g получается в результате решения квадратного уравнения (30) - , где величины C и D уже определены по известным значениям А и В. Теперь надо выбрать только знак перед корнем, который давал бы физически разумное значение земного ускорения. Погрешность g, трактуемая как погрешность косвенных измерений, рассчитывается по формуле

. (32)

Приведенные формулы позволяют определить значение g и его погрешностей g по экспериментальным результатам, полученным на машине Атвуда для всех рассмотренных моделей. Это надо проделать для всех трех серий, проведенных при разных значениях массы перегрузка m. Далее необходимо провести сравнение полученных значений g друг с другом и с табличным значением.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10327. Понятие о содержании воспитания. Общечеловеческое и индивидуальное, национальное и интернациональное в воспитании. Педагогика межнационального общения 38 KB
  Понятие о содержании воспитания. Общечеловеческое и индивидуальное национальное и интернациональное в воспитании. Педагогика межнационального общения. Воспитание веротерпимости толерантности. Содержание воспитания – система знаний убеждений навыков качеств и че
10328. Общие методы воспитания, основания их классификации. Приемы воспитания. Психолого-педагогические основы оптимального выбора и эффективного применения методов и приемов воспитания 37 KB
  Общие методы воспитания основания их классификации. Приемы воспитания. Психологопедагогические основы оптимального выбора и эффективного применения методов и приемов воспитания. Реализация воспитания в процессе обучения. Метод В. – система взаимосвязанных способо
10329. Общая характеристика сознания и бессознательного. Структура сознания. Самосознание, самооценка 40.5 KB
  Общая характеристика сознания и бессознательного. Структура сознания. Самосознание самооценка. Методы развития сознания и духовного мира школьников в процессе воспитания. Высший уровень психики свойственный человеку образует сознание. Сознание – результат обществе...
10330. Общая психологическая характеристика деятельности. Методы формирования, обогащения и коррекции опыта поведения и деятельности личности 47 KB
  Общая психологическая характеристика деятельности. Методы формирования обогащения и коррекции опыта поведения и деятельности личности. Психология игры структура функции. Технология организации различных видов практической деятельности учеников игровая деятельнос...
10331. Психология общения. Педагогическое общение: структура, виды, функции, средства общения. Стили общения. Технология управления педагогическим общением 46 KB
  Психология общения. Педагогическое общение: структура виды функции средства общения. Стили общения. Технология управления педагогическим общением. Методы стимулирования общения поведения и деятельности школьников. Общение О. сложный многоплановый процесс устано...
10332. Взаимоотношения личности и группы как психолого-педагогическая проблема в отечественной и зарубежной теории и практике 51 KB
  Взаимоотношения личности и группы как психологопедагогическая проблема в отечественной и зарубежной теории и практике. Детский коллектив д.к. как объект и субъект воспитательного процесса психологическая структура коллектива педагогические условия его становления....
10333. Философские, психологические и педагогические проблемы духовного развития личности, ее мировоззрения, формирование личностного смысла научных и этических знаний 36.5 KB
  Философские психологические и педагогические проблемы духовного развития личности ее мировоззрения формирование личностного смысла научных и этических знаний. Ступени духовного роста человека. Духовное развитие личности ребенка в учебновоспитательном процессе в
10334. Нравственное воспитание как фундамент системы воспитательной работы. Задачи, содержание, методы нравственного воспитания в современных условиях 37 KB
  Нравственное воспитание как фундамент системы воспитательной работы. Задачи содержание методы нравственного воспитания в современных условиях. Моральные чувства их характеристика. Нравственное воспитание формирование системы моральнонравственных норм установ
10335. Трудовое воспитание, задачи, содержание и методы. Ушинский, Макаренко о роли труда в развитии личности. Профессиональное самоопределение 64.5 KB
  Трудовое воспитание задачи содержание и методы. Ушинский Макаренко о роли труда в развитии личности. Профессиональное самоопределение. Отечественные и зарубежные теории профессионального самоопределения Д. Сьюпер Э. Гинзберг Е.А. Климов И.С. Кон. Проф. ориентация и эк...