2570

Измерение времени соударения упругих шаров

Лабораторная работа

Физика

Цель работы: Измерение времени соударения упругих шаров, определение закона упругой силы, возникающей при соударении шаров. Соударение упругих шаров не является мгновенным. Соприкосновение шаров длится хотя и малый, но конечный промежуток времени, а силы, возникающие при ударе хотя и велики, но также конечны.

Русский

2013-01-06

110 KB

99 чел.

Лабораторная работа

Измерение времени соударения упругих шаров

Цель работы: Измерение времени соударения упругих шаров, определение закона упругой силы, возникающей при соударении шаров.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Соударение упругих шаров не является мгновенным. Соприкосновение шаров длится хотя и малый, но конечный промежуток времени, а силы, возникающие при ударе хотя и велики, но также конечны.

С момента соприкосновения шаров начинается процесс их деформации. Точка соприкосновения переходит в круглую площадку, при этом кинетическая энергия переходит в энергию упругой деформации. Возникают упругие силы, которые достигают наибольшей величины в момент наибольшего сжатия шаров. Затем идет обратный процесс перехода потенциальной энергии деформации в кинетическую энергию движения, заканчивающийся в момент расхождения шаров. Все эти процессы взаимного перехода энергии разворачиваются на очень малом промежутке времени, называемом временем соударения. В общем случае время соударения зависит от упругих свойств материала шаров, их относительной скорости в момент начала удара и от их размеров.

Время соударения определяется законом упругой силы, возникающей при соударении шаров. Известно, что при упругой деформации линейных пружин, стержней упругая сила F определяется законом Гука F = -kh, где h - величина деформации пружины. При деформации тел сложной формы зависимость упругой силы от величины сжатия можно представить в следующем виде

 .  (1)

Такой вид зависимости F от h следует из решения так называемой контактной задачи теории упругости, решенной Г.Герцем. При этом было получено, что показатель n=3/2, а величина k при соударении шаров радиуса R и R' определяется формулой

 .  (2)

где D зависит от упругих свойств материала шаров.

Необходимо отметить, что при ударе деформируются оба шара, поэтому под величиной сжатия h в формуле (1) следует понимать разность между суммой R+R' и расстоянием между центрами шаров при соприкосновении (см. рис.1).

Потенциальная энергия соприкасающихся деформированных шаров можно определить, используя известную формулу F=-dU/dh.

 .  (3)

Зависимость времени соударения шаров от параметров k и n в законе упругой силы (1) можно получить, используя закон сохранения энергии. В системе отсчета, в которой центр инерции шаров покоится, энергия до столкновения равна кинетической энергии относительного движения V2/2, где V - относительная скорость сталкивающихся шаров, а =m1m2 /(m1+m2) их приведенная масса.

В течение столкновения относительная скорость V=dh/dt будет в начале уменьшаться до нуля. Также будет уменьшаться и кинетическая энергия, равная (/2)(dh/dt)2. Одновременно будет возрастать величина сжатия, которая достигнет значения h0 в тот момент, когда относительная скорость окажется равной нулю. После достижения максимального сжатия процессы пойдут в обратном направлении. Систему сталкивающихся упругих шаров можно считать замкнутой, поэтому в ней должен выполняться закон сохранения энергии, в силу которого сумма кинетической энергии - V2/2 и потенциальной энергии - (k/n+1)hn+1 в течение деформации постоянна и равна энергии шаров до соприкосновения, то есть

 .  (4)

Из этого уравнения можно определить максимальное сближение шаров h0, которое достигается, когда скорость dh/dt=0. Получаем из (4)

. (5)

Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его относительно dt, получаем

Время , в течение которого длится столкновение (т.е. h меняется от 0 до h0$ и обратно до нуля), равно

Этот интеграл удобно взять, если ввести новую переменную

Нетрудно видеть также, что x0 - значение новой переменной в точке максимального сжатия равно 1. Имеем

Последний интеграл является табличным, его значение зависеть только от числа n. Таким образом, зависимость времени соударения от скорости приобретает следующий вид.

 ,  (6)

где I(n) -- значение интеграла, зависящее от n.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Вид формулы (6) подсказывает методику эксперимента для определения параметров в законе упругой силы (1). Представим формулу (6) в следующем виде

, где  (7)

Прологарифмируем обе части этого выражения

 .  (8)

Отсюда видно, что если экспериментально измерить время соударения при различных значениях относительной скорости V и по этим данным построить зависимость ln от lnV, то она, согласно (8), представляет собой прямую линию. Причем тангенс угла наклона этой прямой равен b, а отсекаемая часть - lnA. По величине b, можно определить показатель степени n в законе упругой силы. Далее по известным значениям n и A, зная массу шаров (т.е. величину ), можно рассчитать и значение k.

Установка для измерения зависимости от V такова. На основании установлена колонка, на которой закреплены два кронштейна. На верхнем кронштейне закрепляются стержни, служащие для подвеса шаров. Расстояние между этими стержнями может изменяться при помощи воротка. На стержнях помещены передвижные держатели подвеса шаров. Через эти подвесы подводится напряжение к нижним подвесам, а через них к шарам. Длина подвесов может регулироваться при помощи специальных втулок с винтами. На нижнем кронштейне закреплена угловая шкала, по которой можно перемещать электромагнит и фиксировать высоту его установки.

К основанию прибора привинчен электронный секундомер, на задней панели которого находится разъем, подающий напряжение к шарам и электромагниту. На лицевой панели секундомера расположены цифровое табло, кнопка "Сеть", а также кнопки управления "Пуск" и "Сброс".

Электронная часть установки работает следующим образом. При нажатии кнопки "Пуск" отключается напряжение, питающее электромагнит. Правый шар, удерживаемый до этого электромагнитом под определенным углом к вертикали, отрывается от него и приходит в контакт с покоящимся левым шаром. Шары соединены с контактами блока формирования импульсов. Таким образом, в момент начала соударения происходит короткое замыкание этих контактов, и блок формирования генерирует электрический сигнал. Этот сигнал подключает к счетчику импульсов кварцевый генератор, частота которого очень стабильна и равна 10000001Гц, т.е. длительность одного импульса равна 1мкс. Эти импульсы, если их число меньше 999, подсчитываются счетчиком, то есть можно измерять интервалы времени до 999мкс. В конце соударения, когда шары расходятся, блок формирования вырабатывает новый импульс, который отключает кварцевый генератор от счетчика импульсов. Число импульсов, сосчитанных счетчиком за время контакта шаров, или, что то же самое, длительность столкновения в микросекундах высвечивается на цифровом табло. Если длительность контакта шаров превышает 999мкс, на лицевой панели секундомера загорается лампочка "переполнение". При нажатии кнопки "Сброс" показания секундомера обнуляются, все электронные схемы переводятся в первоначальное состояние, прибор готов к следующим измерениям.

Таким образом, видно, что измерение времени в данной работе является прямым измерением. Систематическая погрешность измерения составляет 1мкс. Измерение скорости в этой работе, напротив, является измерением косвенным. Она определяется следующим образом.

Скорость V шара в момент удара такая же, какая была у шара, падающего по вертикали с высоты H, то есть V=2gH. Из рис.2 видно, что H=l-a, где l - длина подвеса. Но a=lcos значит H=l(1-cos)$. Из тригонометрии известно, что 1-cos=2sin2(/2), откуда H=2lsin2(/2).Таким образом, . (9)

Длина подвеса измеряется непосредственно линейкой, значение отсчитывается по шкале с точностью 0,5.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Откорректировать установку шаров. Для этого воротком, находящемся на верхнем кронштейне, установить такое расстояние между стержнями, чтобы шары соприкасались друг с другом. Отрегулировать высоту подвеса так, чтобы центры шаров были на одном уровне.

2. Включить микросекундомер в сеть. Нажать кнопку "Сеть". При этом на цифровом табло должны загореться нули. Кнопка "Пуск" должна быть отжата.

3. Установить электромагнит так, чтобы правый шар, удерживаемый электромагнитом, был отклонен на максимальный угол. Нажав кнопки "Сброс", а затем "Пуск" провести пробное измерение. При этом надо проследить, чтобы соударение было центральным, то есть траектория движения левого шара после столкновения должна находиться в плоскости движения правого шара до столкновения.

4. Установить с помощью электромагнита шар под максимально возможным углом к вертикали. Не менее 5 раз провести измерение времени соударения для данного угла. Следить за тем, чтобы левый шар в момент удара не двигался. Рассчитать скорость правого шара перед соударением по формуле (9), рассчитать погрешность определения V. Провести обработку результатов измерения времени столкновения, то есть рассчитать среднее значение, среднеквадратичное отклонение, доверительные границы. Провести анализ результатов измерения времени на промах.

5. Изменяя угол подвеса шаров в диапазоне до минимально возможного провести измерение времени соударения аналогично пункту 4. Результаты представить в виде таблицы. Построить график зависимости ln от lnV.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Дальнейшая обработка экспериментальной зависимости ln от lnV предполагает использование формулы (8). Чтобы подчеркнуть линейный характер зависимости ln от lnV, введем новые обозначения x=lnV, y=ln , a=lnA. Тогда (8) примет обычный для линейной функции вид

  .  (10)

Задача состоит в нахождении таких значений a и b, при которых функция y=a+bx наилучшим образом соответствует опытным данным. (Смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).

За меру отклонения функции (10) от экспериментальных данных для i-го опыта выбирается величина (yi-a-bxi)2. Почему берется именно такая величина, а не просто (yi-a-bxi)? Ясно, что оба знака уклонения a+bxi от yi нехороши: плохо, если a и b, таковы, что yi<a+bxi, но также нехорошо, если a и b, таковы, что yi>a+bxi. Если бы за меру отклонения была бы взята величина yi-a-bxi, а затем находилась бы сумма отклонений в нескольких опытах, то можно было бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаком. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что параметры a и b подобраны удачно. Если же за меру отклонения берется (yi-a-bxi)2, то такого взаимного уничтожения не произойдет, так как все величины (yi-a-bxi)2>0.

В качестве меры общей ошибки S в описании опытных данных функцией y=a+bx берется сумма мер отклонений для всех опытов (их число обозначим l), т.е.

 .  (11)

Метод определения констант a и b, входящих в формулу (10), из требования минимальности общего отклонения, называется методом наименьших квадратов.

Таким образом, надо выбрать a и b, так, чтобы величина была наименьшей. Для этого используются правила нахождения экстремумов, известные из матанализа. Если бы a было уже найдено, то в правой части (11) можно было бы изменять только b, поэтому должно было бы быть так -

Аналогично, если бы было найдено b, то -

Эти два условия дают следующую систему уравнений для определения a и b

 .  (12)

Величины xi, yi, xi2 и xiyi просто можно рассчитать по данным эксперимента. Тогда система (12) есть система 2-х линейных уравнений относительно 2-х неизвестных a и b. Решая ее любым способом, нетрудно получить

. (13)

Таким образом, параметры a и b, рассчитанные по формулам (13) дают наилучшее приближение функции (10) к экспериментальным данным.

Определив величины a и b, можно рассчитать среднеквадратичное отклонение S0, характеризующее степень отклонения данных от рассчитанной прямой, по формуле

 .  (14)

Здесь a и b - параметры прямой, вычисленные по формулам (13). Среднеквадратичные погрешности каждого параметра определяют по формулам

.  (15)

Наконец, доверительные границы a и b параметров прямой при доверительной вероятности рассчитываются следующим образом

 , (16)

то есть коэффициент Стьюдента выбирается по таблицам для некоторой эффективной вероятности, равной (1+)/2 и для числа точек, равного l-2. Например, если надо найти доверительные интервалы параметров прямой, полученных методом наименьших квадратов 10 точек (l=10) при доверительной вероятности =0.9, то в формулы (16) необходимо подставить коэффициент Стьюдента t0,95, 8 = 2,36.

Определив параметр b, можно восстановить показатель в законе упругой силой. Для этого вспоминаем, что b=(1-n)/(1+n). Тогда для n получаем

 .  (17)

Погрешность n определяется как погрешность косвенного измерения по формуле

 .  (18)

где b вычислено по формуле (16). Полученное значение n теперь можно сравнить с теоретическим, равным для шаров 3/2.

Определение константы k в законе (1) представляет существенно более сложную задачу. Учитывая, что a=lnA, имеем A=ea и, согласно формуле (7), получаем.

 .  (19)

Сложность вычисления k по этой формуле заключается в том, что интеграл , достаточно просто берется лишь для n, кратных ½. Этого для экспериментально определяемых n ожидать трудно. Для произвольных n этот интеграл можно выразить через, так называемую гамма-функцию, зависящую от n. Используя таблицы для гамма-функции, можно получить значение интеграла. Другим способом расчета значения I(n) является численное интегрирование на ЭВМ. Получив значение I(n) тем или иным способом, затем просто рассчитывается величина k. Отметим, что, в принципе, возможно определить и погрешность k, зная n и a. Но эта задача представляет большие сложности и здесь не рассматривается.

Таким образом, определяются параметры в законе упругой силы (1). По известным k и n далее рассчитываются величина максимального сближения шаров h0 по формуле (5). Такие расчеты надо провести для максимальной и минимальной в данном эксперименте скоростях. После этого можно рассчитать по формуле (1) и силы, действующие в этих случаях при максимальном сжатии шаров.

Представляет интерес оценка площади контакта шаров, в момент максимального сжатия, что можно сделать, зная величину h, из геометрических соображений. Очевидно, что пятно контакта представляет собой круг, площадь которого можно считать равной площади основания шарового сегмента радиуса R и высотой h.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. От чего зависит и чем определяется время соударения?

2. Как определить по известному времени соударения  показатель n и значение k?

3. Два шара с R=R'=5cм и 1/D=2 10 7Па разведены на угол 30. Определить величину максимального сближения шаров h0..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83051. Деятельность сотрудников ИУ при выявлении и на первоначальном этапе расследования убийства 81.9 KB
  Поэтому говоря о соблюдении прав осужденных следует помнить что по своему правовому статусу лица осужденные к отбыванию наказания в виде лишения свободы приговором суда частично ограничены в своих конституционных правах а оперативные работники действуя в пределах своих полномочий ограничивают...
83052. Свобода научных исследований и социальная ответственность ученого 81.81 KB
  Современные перемены и кризисы в различных областях последствия которых сказываются на жизни миллионов людей и зачастую привносят изменения поистине мирового характера создают особую зону ответственности для науки как фактора влияющего на возникновение таких ситуаций и на самих ученых.
83053. Инвестиционная деятельность предприятия 39.3 KB
  Стратегическое планирование инвестиционной деятельности предусматривает моделирование будущей успешной деятельности предприятия и базируется на прогнозировании условий адаптации к изменениям внешней среды в осуществлении инвестиционной деятельности (инвестиционного климата) и конъюнктуры...
83054. Екатерина II Великая 1.23 MB
  Контакты с европейскими просветителями были со стороны Екатерины II данью моде но и духовной потребностью. Отношения учителя с учениками строились в соответствии с взглядами Екатерины: например были строго запрещены любые наказания.
83055. Оптоволоконні лінії зв’язку 25.23 KB
  Найважливіший з компонентів ВОЛЗ - оптичне волокно. Для передачі сигналів застосовуються два види волокна: одномодове і багатомодове. Свою назву волокна отримали від способу розповсюдження випромінювання в них. Волокно складається з серцевини і оболонки з різними показниками заломлення.
83056. Цивільне право 39.71 KB
  3 появою в нашій державі відносин які базуються на приватній економічній свободі підприємництві рівності усіх форм власності виникає необхідність у більш ефективних засобах їх правового регулювання а відтак удосконаленні існуючих та запровадженні принципово нових норм цивільного права.
83057. Понятие «общение». Структура и средства общения 35.92 KB
  Залог успеха любых начинаний делового человека какую бы задачу он ни решал создание климата делового сотрудничества доверия и уважения. Общение – сложный многоплановый процесс установления и развития контактов между людьми порождаемый потребностями совместной деятельности и включающей...
83058. Организационная структура компании ООО «Лаборатории Весслинг» 110 KB
  Разумно созданная структура системы управления определяет ее эффективность, так как обеспечивает устойчивость связей между множеством составляющих компонентов объекта управления и обеспечивает целостность системы.
83059. Гравитация. Гравитационное поле 162.95 KB
  Из-за глобального характера гравитация ответственна и за такие крупномасштабные эффекты как структура галактик черные дыры и расширение Вселенной и за элементарные астрономические явления орбиты планет и за простое притяжение к поверхности Земли и падения тел.