2582

Статика и кинематика твердого тела

Контрольная

Физика

На схеме показаны три способа закрепления бруса, ось которого – ломаная линия. Задаваемая нагрузка и размеры во всех случаях одинаковы. Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором реакция YA имеет наименьший модуль. ...

Русский

2012-11-12

397.78 KB

23 чел.

На схеме показаны три способа закрепления бруса, ось которого – ломаная линия. Задаваемая нагрузка и размеры во всех случаях одинаковы. Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором реакция YA имеет наименьший модуль.

Схема:

Дано:

Решение:

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями Xa, Ya, Ma. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей Q:

а)

б)

в)

Чтобы выяснить, в каком случае модуль в заделке является наименьшим, используем сумму моментов сил относительно точки B для всех трех схем.

Для схемы а:

Подставим числовые значения:

Для схемы б:

Подставим числовые значения:

Для схемы в:

Таким образом, наименьший момент в заделке получается при закреплении бруса по схеме в. Определим остальные опорные реакции для этой схемы:

Ответ:

Реакция YA имеет наименьший модуль в третьем способе закрепления бруса.


С2. Определение реакций опор и сил в стержнях плоской фермы

Задание:

Определить реакции опор фермы от заданной нагрузки, а также силы во всех ее стержнях способом вырезания узлов.

Дополнительно определить силы в трех стержнях фермы от той же нагрузки способом Риттера.

Схема:

Дано:

Решение:

Покажем внешние силы, приложенные к ферме: активные(задаваемые) силы и реакции опор А и В.

Т.к. линия действия реакции опоры А неизвестна, определим ее составляющие по координатным осям и  .

Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:

По закону сохранения импульса:

Спроецируем силы на ось OX:

Спроецируем силы на ось OY:

Определение сил в стержнях фермы способом вырезания узлов.

Стержни, сходящиеся в узле фермы, являются для узловых соединений – связями. Заменим действие связей на узлы реакциями.

Направления реакций всех стержней показаны от узлов внутрь стержней в предположении, что стержни растянуты. Если в результате решения получится отрицательная реакция, это будет означать, что соответствующий стержень сжат.

Для каждого узла составляются 2 уравнения равновесия:

и .

  1.  Рассмотрим узел А:

  1.  Рассмотрим узел B:

  1.  Рассмотрим узел E:

  1.  Рассмотрим узел L:

  1.  Рассмотрим узел С:

  1.  Рассмотрим узел D:

  1.  Рассмотрим узел F:

Ответ:

Результаты вычислений представлены в виде таблицы:

Номер стержня

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Знак силы

+

+

-

+

-

-

-

-

+

+

-

-

Сила, кН

2

2

2.83

2

2.83

4.5

6.5

2.5

6.86

0

4.5

6.36

4.5

Определение сил в стержнях способом сечений (способом Риттера). Требуется определить силы в стержнях 4, 5 и 10. По способу Риттера каждая сила должна выражаться из отдельного уравнения и не должна выражаться через силы в других стержнях. Для определения сил мысленно разрезаем ферму I-I.

По-прежнему условно предполагается, что все стержни растянуты. Т.о. если в ответе появится минус – это свидетельствует, что данный стержень сжат.

  1.  За точкой Риттера примем точку С. Пересекающиеся в ней силы исключаются из уравнения.

 

Составим уравнение моментов сил относительно точки С:

2) Точкой Риттера для стержней 2 и 6 является узел, где пересекаются линии действия сил S6 и S10, исключаемых из уравнения.

Составим уравнение моментов сил относительно точки D:

Ответ:

Найденные методом Риттера значения сил:


С3. Определение реакций опор составной конструкции

Задание:

Конструкция состоит из двух частей. Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции наименьший, и для этого варианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.

Схема:

Дано:

Решение:

Для упрощения вычислений момента силы разложим её на вертикальную и горизонтальную составляющие:

Равномерно распределённую нагрузку q заменяем равнодействующей:

Действие связей на конструкции заменим их реакциями

Определение реакций опоры А при шарнирном соединении в точке С.

Рассмотрим систему уравновешенных сил, приложенных ко всей конструкции.

Составим уравнение моментов сил относительно точки B.

 

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции расположенной левее С.

Выразим XA из 2 уравнения и подставим в 1.

Определение реакций опоры А при соединении частей конструкции в точке С скользящей заделкой.

Системы сил соответствуют уравнению 1

Рассмотрим левую, относительно точки С, часть схемы.

При соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирном соединении. Рассчитаем остальные реакции для соединения с помощью скользящей заделки.

Рассмотрим левую часть схемы, относительно точки С.

Рассмотрим правую часть схемы, относительно точки С.:

Ответ:

При соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирном соединении. Реакции для этого соединения:


С5. Равновесие сил с учетом сцепления (трения покоя)

Задание:

Определить максимальное значение силы P и реакции опор системы в точках A, B, C и D, находящиеся в покое. Учесть сцепление в двух опорных точках тела весом G.

Схема:

Дано:

Решение:

Рассмотрим сначала систему уравновешенных сил, приложенных к телу весом G. К телу приложена сила , нормальные составляющие реакции и , а также касательные составляющие силы сцепления и (силы трения покоя).

Схема:

Составим три уравнения равновесия указанных сил:

 

В случае предельного равновесия . В этом случае силы сцепления (силы трения покоя) принимают экстремальные значения, а система уравнений дополняется неравенствами.

Решая систему всех этих уравнений, получаем:

Совокупность сил и , и образуют соответственно опорные реакции в точках D и Е.

Рассмотрим теперь равновесие сил и приложенных ко всей системе.

Решая эти уравнения, получим:

Ответ:

Искомые реакции и силы приведены в таблице.

RA, Н

RB, кН

NC, Н

FсцС, Н

ND, кН

FсцD, Н

Pmax, Н

427

1.57

314

563

1.61

110

877


С8. Определение положения центра тяжести тела

Задание:

Найти координаты центра тяжести объёма.

Схема:

Решение:

Координаты центра тяжести плоской фигуры определяем по формулам:

Здесь F – объём фигуры.

Чтобы воспользоваться формулами, делим объём на части, для которых известны или легко определяются объёмы Fi и координаты центров тяжести xi,yi и zi.

Все расчетные данные заносим в таблицу:

Номер элемента:

Fi, см2

xi, см

yi, см

zi, см

,см3

,см3

,см3

1

30000

40

12.5

7.5

1200000

375000

225000

2

-294.524

55

13

7.5

-16198.82

-3828,81

-2208,93

3

2000

13.33

5

3.33

26666.67

10000

6660

Σ

31705.476

1210467,85

381171,19

229451,07

Ответ:

Искомые координаты центра всего объёма:


Кинематика

К1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Задание:

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t=t1 найти  положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Дано:

Дополнительное задание:

Решение:

Уравнения движения можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений:

Вектор скорости точки:

Вектор ускорения точки:

Здесь - орты осей x и y. Ux, Uy, ax, ay – проекции скорости и ускорения точки на оси координат. Найдем их дифференцируя по времени уравнения движения:

Найдем значения координат в точке М, подставив в заданные уравнения t1:

Проекцию скорости на OY найдем, подставив t в уравнение:

По найденным проекциям определяется модуль скорости точки:

Теперь определим по проекциям модуль ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

Модуль нормального ускорения точки:

После того как найдено нормальное ускорение, радиус кривизны окружности определяется из выражения:

Дополнительное задание. Движение по пространственной траектории.

Для расчета к двум уравнения движения добавляется еще и третье.

Найдем третью координату точки М:

Определим из третьего уравнения скорость и ускорение.

Найдем модуль скорости из проекций:

Т.к. проекция ускорения равна нулю, следовательно, третья координата не повлияет на значения ускорений точки.

Ответ:

Координаты, см

Скорость, см/с

Ускорение, см/с2

Радиус кривизны, см

x

y

Ux

Uy

U

ax

ay

a

aτ

an

-2.563

1.25

3.5

5

6.1

14

0

14

8.033

11.475

3.243

При добавлении третьей координаты: z=0.25, Uz=1, U=6.2. Все остальные значения остаются неизменными.


К2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

Задание:

Движение груза описывается уравнением:

,

где t – время, с1, с2, с0 – некоторые постоянные.

В начальный момент времени(t=0) положение груза определяется координатой x0, и имеет скорость U0. Учесть, что в момент времени t=t2 координата груза равна x2.

Определить коэффициенты c0, c1, c2, при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t=t1 скорость и ускорение груза и точки М одного из колес механизма.

Схема:

Дано:

Решение:

Уравнение движения груза 1 имеет вид:

Коэффициенты c0, c1, c2 могут быть определены из следующих условий:

  1.  При t0=0:

  1.  При t2=2 c и x2=103 см:

Таким образом, уравнение движения груза 1 имеет следующий вид:

Тогда уравнение скорости:

Ускорение найдем, взяв производную по уравнению скорости:

Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза U и угловые скорости w2 и w3.

В соответствии со схемой механизма:

Выразим из двух уравнений угловую скорость 2. Затем приравняем правые части и из получившегося уравнения можно будет найти угловую скорость 3:

Подставив сюда уравнение скорости, получим уравнение угловой скорости 3:

Угловое ускорение – первая производная по угловой скорости:

Скорость точки М, ее вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:

Ответ: результаты вычислений для заданного момента времени приведены в таблице:

U, см/с

a, см/с2

w3, рад/с

ε3, рад/с2

Uм, см/с

амц, см/с2

амц, см/с2

ам, см/с2

48

42

2.743

2.4

96

263.342

84

276.414


К3. Кинематический анализ плоского механизма

Задание:

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат.

Схема:

Дано:

Решение:

Определение скоростей точек и угловой скорости звена.

Вычисляем модуль скорости пальца А кривошипа ОА при заданном положении механизма:

Теперь начертим схему, где PAB – мгновенный центр скоростей АВ шатуна:

Угловая скорость звена АВ:

Модули скоростей точек В и С:

Из полученного чертежа получим:

Вычислим угловую скорость звена АВ:

Теперь вычислим скорости точек В и С:

Определение ускорений точек и углового ускорения звена:

Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремительного ускорений.

Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры.

По формулам найдем ускорения звена АВ и точки А:

Вектор направлен от А к О. Вектор направлен перпендикулярно к нему и направлен в сторону UA(Вращение кривошипа - ускоренное).

Вектор направлен от В к А. Известны только линии действия этих векторов: - по вертикали, вдоль направляющих ползуна;  - перпендикулярно АВ. Зададимся произвольно их направлениями по указанным линиям. Эти ускорения определим из уравнений проекций векторного равенства на оси координат. Знак в ответе показывает, истинное ли направление вектора было выбрано.

Выбрав направление осей x и y получаем:

  1.  Проекция на ось OX:

  1.  Проекция на ось OY:

Теперь найдем угловое ускорение АВ:

Направление ускорения относительно полюса А определяет направление углового ускорения εАВ. Здесь под направлением углового ускорения подразумевается направление дуговой стрелки, которое при ускоренном вращении звена совпадает с направлением его вращения.

Определяем ускорение точки С:

Найдем проекции ускорения С:

Ответ:

Результаты вычислений для заданного положения механизма приведены в таблице:

υB,см/с

υC,см/с

ас, см/с2

ав, см/с2

εАВ, рад/с2

wAB, рад/с

140

103.393

362.424

1152.62

24.3

3.333