26018

Определение Пуассоновского потока. Свойства

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Определение Пуассоновского потока. Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия. Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский простейший поток. Он характеризуется набором вероятностей Pk поступления k сообщений за временной интервал t: где k=01 число сообщений; λ интенсивность потока.

Русский

2013-08-17

60.41 KB

60 чел.

1. Определение Пуассоновского потока. Свойства.

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский (простейший) поток. Он характеризуется набором вероятностей P(k) поступления k сообщений за временной интервал t:

где k=0,1,… - число сообщений; λ - интенсивность потока.

Заметим, что интервал времени измерения количества сообщений t и интенсивность потока λ являются постоянными величинами.

Семейство Пуассоновских распределений P(k) в зависимости от λ изображено на рис.1. Большее значение λ соответствует более широкому и симметричному графику плотности вероятности.

Рис. 1. Пуассоновские распределения. Плотности вероятностей.

Математическое ожидание (среднее) и дисперсия Пуассоновского потока равны λt.

Зная вероятность поступления данных за период, можно получить распределение интервала τ между соседними событиями:

Отсюда вывод: пуассоновский поток характеризуется экспоненциальным распределением интервалов между событиями.

Основным свойством пуассоновского потока, обусловливающим его широкое применение при моделировании, является аддитивность: результирующий поток суммы пуассоновских потоков тоже является пуассоновским с суммарной интенсивностью:

При моделировании Пуассоновский поток можно получить мультиплексированием совокупности ON/OFF источников, которые называются Марковскими процессами (рис.2.).

Рис. 2. Получение Пуассоновского распределения


2. СМО с отказами (классическая система Эрланга)

Здесь мы рассмотрим одну из  первых  по  времени, «классических»  задач  теории  массового  обслуживания; эта  задача возникла  из  практических  нужд  телефонии  и  была  решена  в 1909 г.  датским  инженером-математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n  каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система  S  (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S0, S1,…, Sn, где Sk  – состояние системы,  когда в ней  находится k  заявок, т.е. занято k  каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 3).

Рис. 3. Граф состояний СМО

Поток  заявок последовательно переводит систему из  любого левого  состояния  в  соседнее  правое  с  одной и той же  интенсивностью  λ. Интенсивность  же  потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо  первый,  либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их  потоков обслуживаний будет 2μ . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность 3μ , т.е. может освободиться любой из трех каналов, и т.д.

В формуле (1) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

(1)

где члены разложения - коэффициенты при p0 в выражениях для предельных вероятностей p1, p2,..., pn.

Заметим, что в формулу (1) интенсивности λ  и μ  входят не по отдельности, а только в виде отношения  μ/λ. Обозначим: μ/λ = p, и будем называть величину  ρ   приведенной  интенсивностью потока  заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулу (1) в виде:

(2)

При этом:

(3)

Формулы (2) и (3) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

 Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

Отсюда находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ  на Q:

(4)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями  0,1,...,n и вероятностями этих значений p0,p1, …, pn:

Подставляя сюда выражения (3) для pk и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы формулу для k. Однако среднее число занятых каналов можно найти проще,  если учесть, что абсолютная пропускная способность  A системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый  занятый  канал  обслуживает  в  среднем  μ  заявок (в  единицу  времени), то среднее число занятых каналов:

или, учитывая (4):

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7443. Аналіз проходження сигналів в лінійному електричному колі спектральним методом 234 KB
  Аналіз проходження сигналів в лінійному електричному колі спектральним методом Основна мета роботи Основна мета роботи - засвоєння спектрального метода аналізу процесів шляхом розв‘язку задачі по визначенню реакції лінійного електричного ...
7444. Изучение устройства и работы компрессионных колец двигателя ЗМЗ-406 444 KB
  ВВЕДЕНИЕ Целью работы является изучение устройства и работы компрессионных колец двигателя ЗМЗ-406, а также их взаимодействие с деталями КШМ. Определить изнашиваемые и разрушающиеся поверхности, виды трения и износа. Изучить, как проводится восстано...
7445. Административно-правовое регулирование реализации прав, свобод и обязанностей граждан 206 KB
  Административно-правовое регулирование реализации прав, свобод и обязанностей граждан ПЛАН Введение Понятие и механизм административно-правового регулирования. Административно-правовое обеспечение прав и свобод граждан. Администрат...
7446. Система управленческого учета на предприятии ЗАО Мензелинский хлебозавод 201 KB
  Система управленческого учета на предприятии ЗАО Мензелинский хлебозавод ВВЕДЕНИЕ Переход к рыночным отношениям совершенно по-иному определяет место предприятия экономике. Эффективность его работы во многом зависит от управленческой деятельности, об...
7447. Расчет параметров и изучение структуры гидропривода агрегатного станка 359 KB
  ЗАДАНИЕ на курсовую работу по дисциплине: Гидравлика Тема проекта: Расчет параметров и изучение структуры гидропривода агрегатного станка Технические условия: диаметры трубопроводов гидролиний dтр=12 мм нагрузка на агрегатную головку в период рабоч...
7448. Исследование имиджа фирмы The Coca-Cola Company 89.9 KB
  Введение В современных рыночных условиях функционирует множество организаций, часть из которых является лидерами рынка, другие же распадаются, не выдержав конкуренции. Именно конкуренция заставляет организации бороться за право существования на рынк...
7449. Марковские модели систем 114.79 KB
  Марковские модели систем Введение Основные понятия теории Марковских цепей ввел А.А. Марков в 1907г. С тех пор эту теорию развивали многие ведущие математики. В последнее время обнаружилась важная роль цепей Маркова в биологических и социологических...
7450. Финансовые проблемы формирования и использования оборотных средств предприятия 241 KB
  Финансовые проблемы формирования и использования оборотных средств предприятия ВВЕДЕНИЕ Оборотные средства являются одной из составных частей имущества предприятия. Состояние и эффективность их использования - одно из главных условий успешной деятел...
7451. Разработка базы данных Абитуриент средствами Microsoft Access 1.11 MB
  Разработка базы данных Абитуриент средствами Microsoft Access I. Введение Для принятия обоснованных и эффективных решений в производственной деятельности, в управлении экономикой и в политике современный специалист должен уметь с помощью компьютеров...