26018

Определение Пуассоновского потока. Свойства

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Определение Пуассоновского потока. Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия. Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский простейший поток. Он характеризуется набором вероятностей Pk поступления k сообщений за временной интервал t: где k=01 число сообщений; λ интенсивность потока.

Русский

2013-08-17

60.41 KB

56 чел.

1. Определение Пуассоновского потока. Свойства.

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский (простейший) поток. Он характеризуется набором вероятностей P(k) поступления k сообщений за временной интервал t:

где k=0,1,… - число сообщений; λ - интенсивность потока.

Заметим, что интервал времени измерения количества сообщений t и интенсивность потока λ являются постоянными величинами.

Семейство Пуассоновских распределений P(k) в зависимости от λ изображено на рис.1. Большее значение λ соответствует более широкому и симметричному графику плотности вероятности.

Рис. 1. Пуассоновские распределения. Плотности вероятностей.

Математическое ожидание (среднее) и дисперсия Пуассоновского потока равны λt.

Зная вероятность поступления данных за период, можно получить распределение интервала τ между соседними событиями:

Отсюда вывод: пуассоновский поток характеризуется экспоненциальным распределением интервалов между событиями.

Основным свойством пуассоновского потока, обусловливающим его широкое применение при моделировании, является аддитивность: результирующий поток суммы пуассоновских потоков тоже является пуассоновским с суммарной интенсивностью:

При моделировании Пуассоновский поток можно получить мультиплексированием совокупности ON/OFF источников, которые называются Марковскими процессами (рис.2.).

Рис. 2. Получение Пуассоновского распределения


2. СМО с отказами (классическая система Эрланга)

Здесь мы рассмотрим одну из  первых  по  времени, «классических»  задач  теории  массового  обслуживания; эта  задача возникла  из  практических  нужд  телефонии  и  была  решена  в 1909 г.  датским  инженером-математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n  каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система  S  (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S0, S1,…, Sn, где Sk  – состояние системы,  когда в ней  находится k  заявок, т.е. занято k  каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 3).

Рис. 3. Граф состояний СМО

Поток  заявок последовательно переводит систему из  любого левого  состояния  в  соседнее  правое  с  одной и той же  интенсивностью  λ. Интенсивность  же  потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо  первый,  либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их  потоков обслуживаний будет 2μ . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность 3μ , т.е. может освободиться любой из трех каналов, и т.д.

В формуле (1) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

(1)

где члены разложения - коэффициенты при p0 в выражениях для предельных вероятностей p1, p2,..., pn.

Заметим, что в формулу (1) интенсивности λ  и μ  входят не по отдельности, а только в виде отношения  μ/λ. Обозначим: μ/λ = p, и будем называть величину  ρ   приведенной  интенсивностью потока  заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулу (1) в виде:

(2)

При этом:

(3)

Формулы (2) и (3) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

 Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

Отсюда находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ  на Q:

(4)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями  0,1,...,n и вероятностями этих значений p0,p1, …, pn:

Подставляя сюда выражения (3) для pk и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы формулу для k. Однако среднее число занятых каналов можно найти проще,  если учесть, что абсолютная пропускная способность  A системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый  занятый  канал  обслуживает  в  среднем  μ  заявок (в  единицу  времени), то среднее число занятых каналов:

или, учитывая (4):

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37399. Моделирование движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях 690 KB
  В дерева dd physics выберите Mthemtics Mthemticl Prticle Trcing pt. В дереве выберите Preset Studies Time Dependent. Построение геометрической модели Задание области в корой движутся частицы В окне Model Builder щелкните ПКМ Model 1 Geometry 1 и выберите Cylinder Перейдите к окну Settings для Cylinder. Выберите размер и форму сечения.
37400. Габаритний розрахунок монокуляра з вибором оптичної схеми об’єктива і окуляра 1.43 MB
  Наявність в трьох лінзових обєктивах великої кількості вільних параметрів марки стекол радіуси товщини і повітряні проміжки дозволяє істотно поліпшити їх абераційних корекцію в порівнянні з двох лінзовими. Окуляр Гюйгенса В цих окулярах компонентами є плосковипуклі або випуклоплоскі лінзи виготовлені із оптичного скла однієї марки. Показник заломлення Марка скла 4878 125 16475 К8 2599 29265 25 15163 ТФ1 Вибраний об’єктив має фокусну відстань f ’об = 100 мм. Показник заломлення Марка скла 14634...
37401. Расчет электромагнитных переходных процессов. Методические указания к курсовому и дипломному проектированию 16.74 MB
  Составим схему замещения прямой последовательности Определим параметры схемы замещения прямой последовательности: Система Линия 1 Линия 2 Трансформатор Трансформатор Т1 Реактор Автотрансформатор Нагрузка 1 Нагрузка 2 Асинхронный двигатель Генератор 1 Генератор 2 Все параметры элемента генератор 2 точно такие же как и у элемента генератор 1 Найдем и для этого свернем схему Составим схему замещения обратной последовательности Определим параметры схемы замещения обратной...
37402. Исследование автоматических выключателей 928.5 KB
  Предмет исследования: В работе исследуется поведение автоматических выключателей при испытаниях по ГОСТ. Основные параметры автоматических выключателей: Номинальное рабочее напряжение Ue номинальное напряжение –действующее значение напряжения при котором обеспечивается работоспособность выключателя особенно в момент короткого замыкания. Стандартные кривые отключения: Существует несколько типов характеристик автоматических выключателей.
37403. Исследование устройства защитного отключения серии F360 458.5 KB
  Предмет исследования: в работе исследуется поведение устройства защитного отключения УЗО F360 при синусоидальном однополупериодном и импульсном токах. Теоретическая часть: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АВТОМАТЫ И УЗО Дифференциальный автомат представляет собой устройство защиты которое срабатывает при возникновении некоторой разницы токов фазного и нулевого проводов. Различают устройства следующего типа: термомагнитные дифференциальные автоматы; дифференциальные модули; устройства защитного отключения УЗО. УЗО – это быстродействующий...
37404. Исследование контактора постоянного тока 574 KB
  Предмет исследования: в работе исследуются коммутационные процессы и динамические характеристики электромагнита контактора постоянного тока при включении и отключении по результатам осциллографирования соответствующих процессов. Теоретическая часть: Динамика работы на примере полного рабочего цикла электромагнита. 1 Рабочий цикл электромагнита: а – зависимость положения якоря от времени; б – зависимость тока в обмотке электромагнита от времени. Первым этапом рабочего цикла электромагнита рис.
37405. Исследование контактора переменного тока 928 KB
  Предмет исследования: в работе исследуются коммутационные процессы и динамические характеристики включения и отключения по результатам осциллографирования соответствующих процессов в силовой цепи и цепи управления электромагнита переменного тока. Теоретическая часть: Весьма широкое распространение имеют электромагниты питание которых осуществляется от источника переменного тока. Магнитный поток создаваемый обмоткой по которой проходит переменный ток периодически меняется по величине и направлению переменный магнитный поток в...