26018

Определение Пуассоновского потока. Свойства

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Определение Пуассоновского потока. Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия. Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский простейший поток. Он характеризуется набором вероятностей Pk поступления k сообщений за временной интервал t: где k=01 число сообщений; λ интенсивность потока.

Русский

2013-08-17

60.41 KB

57 чел.

1. Определение Пуассоновского потока. Свойства.

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский (простейший) поток. Он характеризуется набором вероятностей P(k) поступления k сообщений за временной интервал t:

где k=0,1,… - число сообщений; λ - интенсивность потока.

Заметим, что интервал времени измерения количества сообщений t и интенсивность потока λ являются постоянными величинами.

Семейство Пуассоновских распределений P(k) в зависимости от λ изображено на рис.1. Большее значение λ соответствует более широкому и симметричному графику плотности вероятности.

Рис. 1. Пуассоновские распределения. Плотности вероятностей.

Математическое ожидание (среднее) и дисперсия Пуассоновского потока равны λt.

Зная вероятность поступления данных за период, можно получить распределение интервала τ между соседними событиями:

Отсюда вывод: пуассоновский поток характеризуется экспоненциальным распределением интервалов между событиями.

Основным свойством пуассоновского потока, обусловливающим его широкое применение при моделировании, является аддитивность: результирующий поток суммы пуассоновских потоков тоже является пуассоновским с суммарной интенсивностью:

При моделировании Пуассоновский поток можно получить мультиплексированием совокупности ON/OFF источников, которые называются Марковскими процессами (рис.2.).

Рис. 2. Получение Пуассоновского распределения


2. СМО с отказами (классическая система Эрланга)

Здесь мы рассмотрим одну из  первых  по  времени, «классических»  задач  теории  массового  обслуживания; эта  задача возникла  из  практических  нужд  телефонии  и  была  решена  в 1909 г.  датским  инженером-математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n  каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система  S  (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S0, S1,…, Sn, где Sk  – состояние системы,  когда в ней  находится k  заявок, т.е. занято k  каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 3).

Рис. 3. Граф состояний СМО

Поток  заявок последовательно переводит систему из  любого левого  состояния  в  соседнее  правое  с  одной и той же  интенсивностью  λ. Интенсивность  же  потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо  первый,  либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их  потоков обслуживаний будет 2μ . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность 3μ , т.е. может освободиться любой из трех каналов, и т.д.

В формуле (1) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

(1)

где члены разложения - коэффициенты при p0 в выражениях для предельных вероятностей p1, p2,..., pn.

Заметим, что в формулу (1) интенсивности λ  и μ  входят не по отдельности, а только в виде отношения  μ/λ. Обозначим: μ/λ = p, и будем называть величину  ρ   приведенной  интенсивностью потока  заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулу (1) в виде:

(2)

При этом:

(3)

Формулы (2) и (3) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

 Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

Отсюда находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ  на Q:

(4)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями  0,1,...,n и вероятностями этих значений p0,p1, …, pn:

Подставляя сюда выражения (3) для pk и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы формулу для k. Однако среднее число занятых каналов можно найти проще,  если учесть, что абсолютная пропускная способность  A системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый  занятый  канал  обслуживает  в  среднем  μ  заявок (в  единицу  времени), то среднее число занятых каналов:

или, учитывая (4):

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54852. Первоцветы. (Классный час) 82.5 KB
  Почему же эти растения зацветают первыми так рано весной У некоторых подснежников цветки появляются даже раньше чем листья. Секрет в том что матьимачеха расцветает еще под снегом но раскрывает свои цветки только навстречу солнцу. Чуть позже на одном и том же стебельке можно увидеть цветки разной окраски: розовые фиолетовые и синие. Это цветки разного возраста: молодые зрелые и старые.
54853. Самый первый урок чешского языка 3.05 MB
  Желаем Вам успехов и до встречи в Праге Преподавательский коллектив Prgue Eduction Center Чешский алфавит Буква Название букв Звуковое соответствие в чешском языке Приблизительное звуковое соответствие в русском языке Произношение и примеры...
54854. Про куму-Лисичку і кума-Журавля. П’єса-казка 54 KB
  Дарма байдиків не бив Робив своє діло З обох кінців сцени назустріч одне одному виходять Журавель і Лисичка. Казкарка Щиросердно наш Журавель Дякує Лисиці Бо з кумою родичатись Треба як годиться. Журавель пообіцяв їй Прийти неодмінно З дому вийшов як джентльмен О четвертій рівно.
54855. Тварини. Домашні улюбленці 36 KB
  Boys and girls, today we are going to study a new topic Pets and animals, I am sure youll be very glad to study it, because all of you have some pets at home and love them very much. And by the end of the lesson youll be able to describe them in English. So, lets start our lesson.
54856. Восприятие искусства. Пейзажный жанр. Воссоздание настроения природы при помощи художественных техник («монотипия», техника работы «по сырому») 350.5 KB
  Воссоздание настроения природы при помощи художественных техник монотипия техника работы по сырому. Воссоздание настроения природы при помощи художественных техник монотипия техника работы по сырому. Ознакомить учащихся с особенностями работы в технике монотипии и по сырому; вырабатывать умения и навыки учащихся при работе в разных художественных техниках. Оборудование: Работы художников: И.
54857. Пейзаж «Я закоханий в дерево зеленовіте» 291.5 KB
  Наочні матеріали: репродукції пейзажних творів творчі роботи учнів. Уже в епоху неоліту зустрічалися умовні позначення неба земної поверхні частин світу к розписах Стародавнього Сходу присутній пейзаж у сценах полювання рибальства війн. Важливе місце пейзаж займає в мистецтві Китаю де його вважали наочним втіленням світового закону життя.
54858. Добро пожаловать в Photoshop 4 13.54 MB
  Коррекция цвета Коррекция на глазок Коррекция теней бликов средних тонов и насыщенности Клиппирование Сохранение и загрузка параметров коррекции Гистограммы Уровни и кривые Коррекция яркости с помощью команды Уровни Levels Команда Кривые Curves Цветовой баланс Коррекция яркости и контраста Цветовой тон и насыщенность Коррекция цветового тона и насыщенности Изменение цвета выделенного объекта Подкрашивание Общие сведения о каналах изображения Добавление нового канала Копирование канала Разделение каналов ...
54859. Нормативно-правова база з військових питань 557 KB
  Мета: ознайомити учнів з Воєнною доктриною України основними принципами будівництва Збройних Сил України структурою військової організації держави та сучасними зразками озброєння та техніки; пояснити учням що основою військової організації держави виступають Збройні Сили України; прищіліти інтерес до служби у Збройних Силах України; продовжити формування розгорнутої навчальної діяльності вміння самостійно здобувати знання; удосконалювати такі загально пізнавальні навички: аналізувати систематизувати виділяти головне та інші;...