26018

Определение Пуассоновского потока. Свойства

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Определение Пуассоновского потока. Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия. Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский простейший поток. Он характеризуется набором вероятностей Pk поступления k сообщений за временной интервал t: где k=01 число сообщений; λ интенсивность потока.

Русский

2013-08-17

60.41 KB

63 чел.

1. Определение Пуассоновского потока. Свойства.

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский (простейший) поток. Он характеризуется набором вероятностей P(k) поступления k сообщений за временной интервал t:

где k=0,1,… - число сообщений; λ - интенсивность потока.

Заметим, что интервал времени измерения количества сообщений t и интенсивность потока λ являются постоянными величинами.

Семейство Пуассоновских распределений P(k) в зависимости от λ изображено на рис.1. Большее значение λ соответствует более широкому и симметричному графику плотности вероятности.

Рис. 1. Пуассоновские распределения. Плотности вероятностей.

Математическое ожидание (среднее) и дисперсия Пуассоновского потока равны λt.

Зная вероятность поступления данных за период, можно получить распределение интервала τ между соседними событиями:

Отсюда вывод: пуассоновский поток характеризуется экспоненциальным распределением интервалов между событиями.

Основным свойством пуассоновского потока, обусловливающим его широкое применение при моделировании, является аддитивность: результирующий поток суммы пуассоновских потоков тоже является пуассоновским с суммарной интенсивностью:

При моделировании Пуассоновский поток можно получить мультиплексированием совокупности ON/OFF источников, которые называются Марковскими процессами (рис.2.).

Рис. 2. Получение Пуассоновского распределения


2. СМО с отказами (классическая система Эрланга)

Здесь мы рассмотрим одну из  первых  по  времени, «классических»  задач  теории  массового  обслуживания; эта  задача возникла  из  практических  нужд  телефонии  и  была  решена  в 1909 г.  датским  инженером-математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n  каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система  S  (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S0, S1,…, Sn, где Sk  – состояние системы,  когда в ней  находится k  заявок, т.е. занято k  каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 3).

Рис. 3. Граф состояний СМО

Поток  заявок последовательно переводит систему из  любого левого  состояния  в  соседнее  правое  с  одной и той же  интенсивностью  λ. Интенсивность  же  потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо  первый,  либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их  потоков обслуживаний будет 2μ . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность 3μ , т.е. может освободиться любой из трех каналов, и т.д.

В формуле (1) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

(1)

где члены разложения - коэффициенты при p0 в выражениях для предельных вероятностей p1, p2,..., pn.

Заметим, что в формулу (1) интенсивности λ  и μ  входят не по отдельности, а только в виде отношения  μ/λ. Обозначим: μ/λ = p, и будем называть величину  ρ   приведенной  интенсивностью потока  заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулу (1) в виде:

(2)

При этом:

(3)

Формулы (2) и (3) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

 Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

Отсюда находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ  на Q:

(4)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями  0,1,...,n и вероятностями этих значений p0,p1, …, pn:

Подставляя сюда выражения (3) для pk и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы формулу для k. Однако среднее число занятых каналов можно найти проще,  если учесть, что абсолютная пропускная способность  A системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый  занятый  канал  обслуживает  в  среднем  μ  заявок (в  единицу  времени), то среднее число занятых каналов:

или, учитывая (4):

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14046. «Печенізька облога Києва» О. Олесь 33.5 KB
  УРОК № 31 Тема.О. Олесь. Печенізька облога Києва. Мета:ознайомити учнів із життям та творчістю О. Олеся його віршами й поемою з історії України княжої доби; розвивати навички виразного читання аналізу поетичних творів визначення їхньої історичної основи висловле
14047. «Метелиця чи дівчина...» О. Олесь 39.5 KB
  УРОК № 32 Тема.О. Олесь. Метелиця чи дівчина.... Мета:допомогти учням глибше усвідомити ідейнохудожній зміст твору художню майстерність автора; розвивати навички виразного читання аналізу ліричного твору визначення художніх засобів та їхньої ролі у творі; вихову
14048. Печенізька облога Києва О. Олесь 34 KB
  УРОК № 33 Тема.О. Олесь. Печенізька облога Києва. Мета:допомогти учням глибше засвоїти ідейнохудожній зміст твору оцінити художню майстерність автора; розвивати навички аналізу ліроепічних творів характеристики героїв визначення художніх засобів та їхньої ролі ...
14049. Дніпрова Чайка. «Дівчина-чайка» 30.5 KB
  УРОК № 34 Тема.Дніпрова Чайка. Дівчиначайка. Мета:ознайомити учнів із життям та творчістю письменниці її поезією в прозі; розвивати навички виразного читання переказу аналізу художнього твору; висловлення власних вражень суджень щодо прочитаного; виховувати му...
14050. Дніпрова Чайка. «Морське серце» 41.5 KB
  УРОК № 35 Тема. Дніпрова Чайка. Морське серце. Мета: допомогти учням глибше усвідомити ідейнохудожній зміст поезії в прозі; розвивати навички виразного читання аналізу художніх творів висловлення власної думки щодо прочитаного вміння порівнювати різні жанри літер...
14051. Дніпрова Чайка. Поезії в прозі. Особливості жанру 26 KB
  УРОК № 36 Тема. Дніпрова Чайка. Поезії в прозі. Особливості жанру. Мета:допомогти учням глибше усвідомити особливості жанру поезії в прозі ідейнохудожнє значення творів Дніпрової Чайки; розвивати навички зв’язного мовлення образного мислення уяву та фантазію учні
14052. «Пісні» М. Рильський 43.5 KB
  УРОК № 38 Тема.М. Рильський. Пісні. Мета:ознайомити учнів із життям та творчістю письменника допомогти їм усвідомити ідейнохудожній зміст вірша Пісні; розвивати навички виразного читання поезій коментування аналізу їх змісту висловлення власних думок з привод
14053. Поради, Ознаки весни. М. Рильський. 40 KB
  УРОК № 39 Тема.М. Рильський. Поради Ознаки весни. Мета:допомогти учням усвідомити ідейнохудожній зміст віршів М. Рильського розвивати навички виразного читання аналізу поетичних творів висловлення власної думки щодо прочитаного; виховувати естетичні смаки л...
14054. Поезії. Віршові розміри: ямб, хорей М. Рильський 53 KB
  УРОК № 40 Тема. М. Рильський. Поезії. Віршові розміри: ямб хорей. Мета:ознайомити учнів з деякими поезіями М. Рильського; дати поняття про віршові розміри ямб і хорей про стопу та строфу; формувати навички визначення віршових розмірів ритму; розвивати творче образне ...