26018

Определение Пуассоновского потока. Свойства

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Определение Пуассоновского потока. Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия. Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский простейший поток. Он характеризуется набором вероятностей Pk поступления k сообщений за временной интервал t: где k=01 число сообщений; λ интенсивность потока.

Русский

2013-08-17

60.41 KB

84 чел.

1. Определение Пуассоновского потока. Свойства.

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский (простейший) поток. Он характеризуется набором вероятностей P(k) поступления k сообщений за временной интервал t:

где k=0,1,… - число сообщений; λ - интенсивность потока.

Заметим, что интервал времени измерения количества сообщений t и интенсивность потока λ являются постоянными величинами.

Семейство Пуассоновских распределений P(k) в зависимости от λ изображено на рис.1. Большее значение λ соответствует более широкому и симметричному графику плотности вероятности.

Рис. 1. Пуассоновские распределения. Плотности вероятностей.

Математическое ожидание (среднее) и дисперсия Пуассоновского потока равны λt.

Зная вероятность поступления данных за период, можно получить распределение интервала τ между соседними событиями:

Отсюда вывод: пуассоновский поток характеризуется экспоненциальным распределением интервалов между событиями.

Основным свойством пуассоновского потока, обусловливающим его широкое применение при моделировании, является аддитивность: результирующий поток суммы пуассоновских потоков тоже является пуассоновским с суммарной интенсивностью:

При моделировании Пуассоновский поток можно получить мультиплексированием совокупности ON/OFF источников, которые называются Марковскими процессами (рис.2.).

Рис. 2. Получение Пуассоновского распределения


2. СМО с отказами (классическая система Эрланга)

Здесь мы рассмотрим одну из  первых  по  времени, «классических»  задач  теории  массового  обслуживания; эта  задача возникла  из  практических  нужд  телефонии  и  была  решена  в 1909 г.  датским  инженером-математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n  каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система  S  (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S0, S1,…, Sn, где Sk  – состояние системы,  когда в ней  находится k  заявок, т.е. занято k  каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 3).

Рис. 3. Граф состояний СМО

Поток  заявок последовательно переводит систему из  любого левого  состояния  в  соседнее  правое  с  одной и той же  интенсивностью  λ. Интенсивность  же  потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо  первый,  либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их  потоков обслуживаний будет 2μ . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность 3μ , т.е. может освободиться любой из трех каналов, и т.д.

В формуле (1) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

(1)

где члены разложения - коэффициенты при p0 в выражениях для предельных вероятностей p1, p2,..., pn.

Заметим, что в формулу (1) интенсивности λ  и μ  входят не по отдельности, а только в виде отношения  μ/λ. Обозначим: μ/λ = p, и будем называть величину  ρ   приведенной  интенсивностью потока  заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулу (1) в виде:

(2)

При этом:

(3)

Формулы (2) и (3) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

 Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

Отсюда находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ  на Q:

(4)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями  0,1,...,n и вероятностями этих значений p0,p1, …, pn:

Подставляя сюда выражения (3) для pk и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы формулу для k. Однако среднее число занятых каналов можно найти проще,  если учесть, что абсолютная пропускная способность  A системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый  занятый  канал  обслуживает  в  среднем  μ  заявок (в  единицу  времени), то среднее число занятых каналов:

или, учитывая (4):

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55675. Використання міжпредметних зв’язків, як один із за 251.5 KB
  Специфіка викладання іноземної мови відкриває широкі можливості у використанні міжпредметних зв’язків з метою підвищення зацікавленості учнів до вивчення іноземної мови. Коли учні вчать іноземну мову, вони мимохідь знайомляться з новою для них країною, з її культурою, історією, літературою, новим способом життя.
55676. Розробка системи уроків геометрії у 9 класі профільної школи з теми: «Геометричні перетворення» 275.5 KB
  При вивченні цієї теми розглядаються деякі конкретні приклади перетворення фігур а також загальне питання руху. Перетворення геометрії є основою для введення подібності фігур. Поняття про перетворення фігур...
55677. Методи накладання покривних (бинтової, косинкової, пращоподібної і пластирної) пов’язок і давлючої бинтової пов’язки 188 KB
  Мета: дати поняття про загальні вимоги щодо накладання покривних повязок: бинтової косинкової пращоподібної пластирної та пояснити правила накладання давлючої бинтової повязки...
55678. Методи групової роботи при вивченні математики 169 KB
  Групові форми навчання основні відомості та загальні рекомендації Групова форма навчання це така форма організації навчальних занять за якої певній групі студентів ставиться єдине навчальне завдання для розвязання якого потрібне обєднання...
55679. ДІЯЛЬНІСНИЙ ПІДХІД ЯК ТЕХНОЛОГІЯ ОПРАЦЮВАННЯ СТАТЕЙ ПІДРУЧНИКА 116.5 KB
  Завдяки сучасним змінам в освітній системі держави стало актуальним звернення педагогів до проблем застосування активних та інтерактивних методів навчання. Завдяки чисельним публікаціям і системі додаткової освіти у свідомості людей поступово формується думка...
55680. Організація проектної діяльності на уроках біології 307.5 KB
  У ході здійснення проекту школярі навчаються надавати допомогу своїм товаришам по роботі в них формується вміння самостійно орієнтуватися в інформаційному просторі виробляється обовязковість і відповідальність.
55681. Даючи знання – не відбирай здоров'я! 428.5 KB
  Організація оздоровчофізкультурної діяльності учнів на уроках та в позаурочний час значною мірою зумовлюється потребами суспільства. Мета якої підвищення фізичної підготовленості учнів засобами сучасних фізкультурнооздоровчих систем формування основи...
55683. Формування ключових компетентностей учнів у процесі вивчення історії через організацію дослідницької діяльності 231.5 KB
  Сухомлинський Формування ключових компетентностей учнів у процесі вивчення історії через організацію дослідницької діяльності. Відповідно до цього основним завданням вчителя є сприяння активізації пізнавальної діяльності учнів створення умов для їх само повчання та саморозвитку.