26018

Определение Пуассоновского потока. Свойства

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Определение Пуассоновского потока. Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия. Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский простейший поток. Он характеризуется набором вероятностей Pk поступления k сообщений за временной интервал t: где k=01 число сообщений; λ интенсивность потока.

Русский

2013-08-17

60.41 KB

66 чел.

1. Определение Пуассоновского потока. Свойства.

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский (простейший) поток. Он характеризуется набором вероятностей P(k) поступления k сообщений за временной интервал t:

где k=0,1,… - число сообщений; λ - интенсивность потока.

Заметим, что интервал времени измерения количества сообщений t и интенсивность потока λ являются постоянными величинами.

Семейство Пуассоновских распределений P(k) в зависимости от λ изображено на рис.1. Большее значение λ соответствует более широкому и симметричному графику плотности вероятности.

Рис. 1. Пуассоновские распределения. Плотности вероятностей.

Математическое ожидание (среднее) и дисперсия Пуассоновского потока равны λt.

Зная вероятность поступления данных за период, можно получить распределение интервала τ между соседними событиями:

Отсюда вывод: пуассоновский поток характеризуется экспоненциальным распределением интервалов между событиями.

Основным свойством пуассоновского потока, обусловливающим его широкое применение при моделировании, является аддитивность: результирующий поток суммы пуассоновских потоков тоже является пуассоновским с суммарной интенсивностью:

При моделировании Пуассоновский поток можно получить мультиплексированием совокупности ON/OFF источников, которые называются Марковскими процессами (рис.2.).

Рис. 2. Получение Пуассоновского распределения


2. СМО с отказами (классическая система Эрланга)

Здесь мы рассмотрим одну из  первых  по  времени, «классических»  задач  теории  массового  обслуживания; эта  задача возникла  из  практических  нужд  телефонии  и  была  решена  в 1909 г.  датским  инженером-математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n  каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система  S  (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S0, S1,…, Sn, где Sk  – состояние системы,  когда в ней  находится k  заявок, т.е. занято k  каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 3).

Рис. 3. Граф состояний СМО

Поток  заявок последовательно переводит систему из  любого левого  состояния  в  соседнее  правое  с  одной и той же  интенсивностью  λ. Интенсивность  же  потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо  первый,  либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их  потоков обслуживаний будет 2μ . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность 3μ , т.е. может освободиться любой из трех каналов, и т.д.

В формуле (1) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

(1)

где члены разложения - коэффициенты при p0 в выражениях для предельных вероятностей p1, p2,..., pn.

Заметим, что в формулу (1) интенсивности λ  и μ  входят не по отдельности, а только в виде отношения  μ/λ. Обозначим: μ/λ = p, и будем называть величину  ρ   приведенной  интенсивностью потока  заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулу (1) в виде:

(2)

При этом:

(3)

Формулы (2) и (3) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

 Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

Отсюда находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ  на Q:

(4)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями  0,1,...,n и вероятностями этих значений p0,p1, …, pn:

Подставляя сюда выражения (3) для pk и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы формулу для k. Однако среднее число занятых каналов можно найти проще,  если учесть, что абсолютная пропускная способность  A системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый  занятый  канал  обслуживает  в  среднем  μ  заявок (в  единицу  времени), то среднее число занятых каналов:

или, учитывая (4):

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23610. ЯЗЫКОЗНАНИЕ ФОРМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ, ФУНКЦИИ, ИСТОРИЯ ЯЗЫКА 1.82 MB
  В книге специально отражен вопрос о коммуникативной функции языка и его знаковой природе освещены основы психофизиологического механизма речи а также вопросы связанные с особенностями литературного языка и явлениями нормы. Прежде всего авторы поставили своей 5 основной задачей изложить основные сущностные характеристики языка в их целостной и общей совокупности. Понять сущность языка как особого явления это значит уяснить его главную функцию и те многочисленные следствия которые она вызывает понять особенности его внутренней...
23611. ВВЕДЕНИЕ В ЯЗЫКОВЕДЕНИЕ 3.98 MB
  Ушаков обессмертивший свое имя редактированием Толкового словаря русского языка в обиходе именуемого ушаковским был для А. дорожил и гордился своим научным родством но верность учителям никогда не становилась для него основанием чураться нового и в своих лекциях из которых вырос учебник он стремился сочетать классику российского и мирового язковедения с сегодняшним видением основных проблем языка в том числе и со своими собственными представлениями. Он стал легендарным лектором благодаря умению пленять слушателей отточенностью...
23612. Введение в языкознание 1.56 MB
  Общение в широком смысле слова существует не только в человеческом обществе но и в животном мире а в наши дни мы должны также учитывать общение человека с машиной. вопросительные предложения вопросительные слова апеллятивную отлат. метаязыковую ' функцию истолкования языковых фактов например объяснение значения слова непонятного для собеседника эстетическую функцию эстетическоговоздействия. Яркая экспрессия может быть и в побудительном предложении и в вопросе и в формуле приветствия и при констатации факта и при объяснении...
23613. ЯЗЫКОВАЯ РЕФЛЕКСИЯ В ПОСТСОВЕТСКУЮ ЭПОХУ 2.43 MB
  Купина доктор филологических наук профессор Рецензенты: кафедра стилистики и русского языка факультета журналистики Уральского государственного университета им. Книга предназначена для широкого круга лингвистов культурологов социологов и всех кто интересуется проблемами языка общества культуры. Бурные социальнополитические процессы последнего десятилетия XX века коррелируют с активизацией социальной парадигмы языка. Если лингвистика середины XX века отражала соссюрианскую идею языка как самодовлеющей сущности изолированной от...
23618. Методы передачи данных канального уровня 172.5 KB
  Канальный уровень оперирует кадрами данных и обеспечивает синхронизацию между приемником и передатчиком на уровне кадров. В обязанности приемника входит распознавание начала первого байта кадра, распознавание границ полей кадра и распознавание признака окончания кадра.