26018

Определение Пуассоновского потока. Свойства

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Определение Пуассоновского потока. Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия. Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский простейший поток. Он характеризуется набором вероятностей Pk поступления k сообщений за временной интервал t: где k=01 число сообщений; λ интенсивность потока.

Русский

2013-08-17

60.41 KB

74 чел.

1. Определение Пуассоновского потока. Свойства.

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский (простейший) поток. Он характеризуется набором вероятностей P(k) поступления k сообщений за временной интервал t:

где k=0,1,… - число сообщений; λ - интенсивность потока.

Заметим, что интервал времени измерения количества сообщений t и интенсивность потока λ являются постоянными величинами.

Семейство Пуассоновских распределений P(k) в зависимости от λ изображено на рис.1. Большее значение λ соответствует более широкому и симметричному графику плотности вероятности.

Рис. 1. Пуассоновские распределения. Плотности вероятностей.

Математическое ожидание (среднее) и дисперсия Пуассоновского потока равны λt.

Зная вероятность поступления данных за период, можно получить распределение интервала τ между соседними событиями:

Отсюда вывод: пуассоновский поток характеризуется экспоненциальным распределением интервалов между событиями.

Основным свойством пуассоновского потока, обусловливающим его широкое применение при моделировании, является аддитивность: результирующий поток суммы пуассоновских потоков тоже является пуассоновским с суммарной интенсивностью:

При моделировании Пуассоновский поток можно получить мультиплексированием совокупности ON/OFF источников, которые называются Марковскими процессами (рис.2.).

Рис. 2. Получение Пуассоновского распределения


2. СМО с отказами (классическая система Эрланга)

Здесь мы рассмотрим одну из  первых  по  времени, «классических»  задач  теории  массового  обслуживания; эта  задача возникла  из  практических  нужд  телефонии  и  была  решена  в 1909 г.  датским  инженером-математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n  каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система  S  (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S0, S1,…, Sn, где Sk  – состояние системы,  когда в ней  находится k  заявок, т.е. занято k  каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 3).

Рис. 3. Граф состояний СМО

Поток  заявок последовательно переводит систему из  любого левого  состояния  в  соседнее  правое  с  одной и той же  интенсивностью  λ. Интенсивность  же  потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо  первый,  либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их  потоков обслуживаний будет 2μ . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность 3μ , т.е. может освободиться любой из трех каналов, и т.д.

В формуле (1) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

(1)

где члены разложения - коэффициенты при p0 в выражениях для предельных вероятностей p1, p2,..., pn.

Заметим, что в формулу (1) интенсивности λ  и μ  входят не по отдельности, а только в виде отношения  μ/λ. Обозначим: μ/λ = p, и будем называть величину  ρ   приведенной  интенсивностью потока  заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулу (1) в виде:

(2)

При этом:

(3)

Формулы (2) и (3) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

 Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

Отсюда находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ  на Q:

(4)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями  0,1,...,n и вероятностями этих значений p0,p1, …, pn:

Подставляя сюда выражения (3) для pk и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы формулу для k. Однако среднее число занятых каналов можно найти проще,  если учесть, что абсолютная пропускная способность  A системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый  занятый  канал  обслуживает  в  среднем  μ  заявок (в  единицу  времени), то среднее число занятых каналов:

или, учитывая (4):

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25732. Спутниковые системы связи. Классификация ИСЗ по особенностям орбиты. Спутниковые службы в системах связи 15.05 KB
  Классификация ИСЗ по особенностям орбиты. Использование ИСЗ позволяет резко повысить дальность радиосвязи тк ретранслятор располагается высоко над Землей. 3 основных вида ИСЗ: ИСЗ на высокой эллиптической орбите ВЭО ИСХ на геостационарной орбите ГЭО ИСЗ на низковысотной орбите НВО ВЭО Спутники типа молния с периодом обращения 12 часов наклоном орбиты 63 градуса высотой апогея над северным полушарием 40 тыс. В области апогея скорость движения ИСЗ замедляется и обеспечивается радиовидимость 68 часов.
25733. Распространение декаметровых волн 37.72 KB
  К диапазону KB декаметровые волны относят радиоволны с длиной волны от 100 до 10м. В отличие от более коротких волн которые распространяются земной волной декаметровые волны распространяются в основном путем отражении от ионосферы. Радиус действия земной волны в диапазоне коротких волн сравнительно невелик и при обычно используемых мощностях передатчиков не превышает нескольких десятков километров. Но короткие волны могут распространяться на многие тысячи километров путем многократных последовательных отражений от ионосферы и Земли и...
25734. Взаимодействие уровней модели OSI 23.42 KB
  Каждый уровень модели OSI выполняет определенную задачу в процессе передачи данных по сети. Уровень 7 Applicayion layer A Прикладной Ур. Каждый уровень компьютераотправителя взаимодействует с таким же уровнем компьютераполучателя как будто он связан напрямую. Каждый уровень модели выполняет свою функцию.
25735. Каналы связи. Классификация каналов связи. Параметры каналов связи. Условие передачи сигнала по каналу связи 287 KB
  Канал связи — система технических средств и среда распространения сигналов для передачи сообщений (не только данных) от источника к получателю (и наоборот). Канал связи, понимаемый в узком смысле (тракт связи), представляет только физическую среду распространения сигналов, например, физическую линию связи.
25737. Рынок современной прессы 34.17 KB
  газет порядка 18 тыс. Преобладающим товаром и основным информационным носителем на рынке российской периодики как и прежде остаются газеты общий тираж которых в 2005 году составил 8 млрд 312 млн экз. из которых 29 млрд приходится на долю общероссийских газет. В отличие от газет подавляющее большинство журналов 916 наименований и 98 совокупного годового тиража приходится на Москву и СанктПетербург.
25738. Законодательство в сфере журналистики. Закон о СМИ 25.88 KB
  Право на получение информации одновременно означает обязанность государственных органов и органов местного самоуправления всех властных и общественных структур дать ответ на обращение к ним гражданина. Право производить и распространять информацию представляет собой творческий процесс по созданию информации в любой форме от книги до сигналов в космические дали и свободному ее распространению в том числе с помощью различных технических средств. Недопустимость идеологической ангажированности средств массовой информации закреплена в статье...
25739. Журналистское произведение как текст – жанровые разновидности 29.76 KB
  В прессе предлагают разделять тексты на 5 групп: оперативноновостные заметка оперативноисследовательские интервью репортажи отчеты исследовательсконовостные комментарий рецензия корреспонденция исследовательские статья письмо обозрение исследовательскообразные очерк фельетон. Информационные новость заметка интервью репортаж отчет реплика Аналитические корреспонденция статья комментарии рецензия обозрение Художественнопублицистические очерк зарисовка эссе сатирические жанры памфлет...
25740. Явления демассификации и дигитализации СМИ 19.61 KB
  Явления демассификации и дигитализации СМИ Под воздействием новых информационных технологий происходят значительные изменения в области массовых коммуникаций. Рассмотрим основные процессы лежащие в основе модификации современной системы СМИ. Под этим подразумевается перевод содержания СМИ во всех его формах текстовой графической звуковой в цифровой формат понятный современным компьютерам. Дигитализация устраняя различия между отдельными СМИ и уравнивая их содержание прокладывает дорогу их конвергенции.