2609

Математический и физический маятники

Доклад

Физика

Математический и физический маятники Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятник...

Русский

2012-11-12

41.5 KB

28 чел.

Математический и физический маятники

Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятника являются гармоническими.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

На практике математическим  маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.

Пусть маятник отклонили на угол   от вертикали.  Возвращающей силой будет являться составляющая силы тяжести Р1, перпендикулярная к нити.

Р1=mgsin

Возникает вращающий момент

М=Р1l=mglsin;  

При малых     sin

М=mgl

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому моменту М и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки:

       (1)

Напишем уравнение динамики вращательного движения

      (2)

Здесь I – момент инерции, - угловое ускорение

       (3)

Подставляя (1) и (3) в (2) получим:

     (4)

       (5)

Введем обозначение:

      (6)

Тогда уравнение (5) запишется так:

     (7)

Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид:

     (8)

Здесь  - максимальное (амплитудное) отклонение маятника от положения равновесия.

Период колебаний математического маятника:

Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения  формы Земли и гравиметрическая разведка. Небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта, изменения значений g могут происходить благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород.

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

О- ось вращения, С- центр инерции, l- расстояние от оси вращения до центра инерции. Аналогично выводу уравнения для математического маятника можно написать:

Снова получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является:

Период колебаний физического маятника равен:

Обозначим , тогда

Величина L называется приведённой длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом физического маятника.


m

P=mg

P1

2

l

Рис.1

O

C

P=mg

P1

P2

l

Рис.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73577. Фінансовий механізм і фіскальна політика 97.5 KB
  Суть і форми кредиту. Структура сучасної кредитної системи. Однією із форм бюджетного фінансування є бюджетний кредит – надання бюджетних засобів суб’єктам господарювання й органам влади на засадах поворотності та платності. Суть і форми кредиту.
73578. Економічне зростання і макроекономічна нестабільність 72.5 KB
  Економічне зростання і макроекономічна нестабільність. Економічне зростання його суть типи і фактори. Економічне зростання його сутьтипи і фактори. Прикладна значимість вивчення проблем економічного зростання зумовлена тим що однією з найважливіших довгострокових цілей економічної політики уряду будьякої країни є підтримка і стимулювання економічного зростання що ставить за мету з ясування його суті типів та факторів забезпечення зростання економіки.
73579. Магнитное критическое рассеяние нейтронов. Корреляционный радиус. Парамагнитное рассеяние 409 KB
  Результаты нейтронографических измерений указывали на резкое увеличение магнитного рассеяния нейтронов вблизи Брегговских пиков когда ферро или антиферромагнетик приближался к точке фазового перехода. Области корреляции в ферромагнетиках Теория критического рассеяния нейтронов на ферромагнетиках была построена Vn Hove. Общее выражение для магнитного рассеяния имеет вид.
73580. Світове господарство та його еволюція 49.5 KB
  Він охопив: а індустріально розвинені країни; б економічно слабо розвинені; в колоніальні залежні. У цей період проходить поділ країн світу на дві системи: світове капіталістичне господарство та країни соціалістичного табору. Країни з розвинутою ринковою економікою. Країни з ринковою економікою що розвиваються.
73581. Линейная алгебра. Основные определения 3.44 MB
  Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
73582. Дифференциальное исчисление функции 2.73 MB
  Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной. Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных и показательно-степенных функций
73583. Сечение магнитного рассеяния нейтронов 1.11 MB
  Под магнитным взаимодействием нейтрона с электроном понимают диполь-дипольное взаимодействие между магнитным дипольным моментом нейтрона с магнитным полем В, создаваемым неспаренными электронами. Оператор такового взаимодействия равен
73584. Обыкновенные дифференциальные уравнения 3.59 MB
  Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.
73585. Форми організації суспільного виробництва 67 KB
  Походження суть і функції грошей. Походження суть і функції грошей. Без грошей сучасний поділ праці неможливий існують бартерні операції але це не сучасний поділ праці. Існують дві основні концепції що пояснюють причини виникнення грошей: Раціоналістична: пояснює виникнення грошей як результат домовленості між людьми про введення спеціального інструмента грошей для здійснення обміну товарів.