2609

Математический и физический маятники

Доклад

Физика

Математический и физический маятники Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятник...

Русский

2012-11-12

41.5 KB

28 чел.

Математический и физический маятники

Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятника являются гармоническими.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

На практике математическим  маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.

Пусть маятник отклонили на угол   от вертикали.  Возвращающей силой будет являться составляющая силы тяжести Р1, перпендикулярная к нити.

Р1=mgsin

Возникает вращающий момент

М=Р1l=mglsin;  

При малых     sin

М=mgl

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому моменту М и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки:

       (1)

Напишем уравнение динамики вращательного движения

      (2)

Здесь I – момент инерции, - угловое ускорение

       (3)

Подставляя (1) и (3) в (2) получим:

     (4)

       (5)

Введем обозначение:

      (6)

Тогда уравнение (5) запишется так:

     (7)

Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид:

     (8)

Здесь  - максимальное (амплитудное) отклонение маятника от положения равновесия.

Период колебаний математического маятника:

Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения  формы Земли и гравиметрическая разведка. Небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта, изменения значений g могут происходить благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород.

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

О- ось вращения, С- центр инерции, l- расстояние от оси вращения до центра инерции. Аналогично выводу уравнения для математического маятника можно написать:

Снова получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является:

Период колебаний физического маятника равен:

Обозначим , тогда

Величина L называется приведённой длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом физического маятника.


m

P=mg

P1

2

l

Рис.1

O

C

P=mg

P1

P2

l

Рис.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62900. Внеклассное мероприятие для учащихся 9–11-х классов, посвященное 8 Марта "Все для милой…" 20.44 KB
  Цель: развивать чувство уважения друг к другу, творческие способности учащихся, их индивидуальность, фантазию и изобретательность. Оформление, оборудование, инвентарь: бумага, фломастеры, канцелярские скрепки; предметы для проведения конкурсов...
62902. Внеклассное мероприятие, посвященное 23 февраля: А ну-ка, мальчики! 19.22 KB
  Ребята а вы знаете как делали книги раньше Сначала их писали на глине на коре деревьев на шкурах животных. Писали на бумаге вручную поэтому переписывание одной книги занимало не один год. Книги в то время считались роскошью.
62904. Игра «Поле чудес»: «Лекарственные растения» 23.11 KB
  Цели занятия: расширить знания учащихся о лекарственных растениях; развивать внимание память любознательность самостоятельность суждений; воспитывать бережное отношение к своему здоровью любовь к природе животному и растительному миру планеты.
62905. Косметика и мы 332.29 KB
  Правила нанесения: 1 нанести на лицо и шею увлажняющий крем; 2 увлажнить губку и нанести на нее тональный крем подходящий по цвету вашей коже; 3 немного румян нанести на скулы и растереть в направлении к ушам...
62908. Путешествие по городу Здоровячков 152.03 KB
  Если человек питается разнообразной здоровой пищей то он остается здоровым до глубокой старости но вокруг нас столько разнообразных вкусностей что просто трудно выбрать здоровые правильные продукты.