2609

Математический и физический маятники

Доклад

Физика

Математический и физический маятники Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятник...

Русский

2012-11-12

41.5 KB

28 чел.

Математический и физический маятники

Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятника являются гармоническими.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

На практике математическим  маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.

Пусть маятник отклонили на угол   от вертикали.  Возвращающей силой будет являться составляющая силы тяжести Р1, перпендикулярная к нити.

Р1=mgsin

Возникает вращающий момент

М=Р1l=mglsin;  

При малых     sin

М=mgl

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому моменту М и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки:

       (1)

Напишем уравнение динамики вращательного движения

      (2)

Здесь I – момент инерции, - угловое ускорение

       (3)

Подставляя (1) и (3) в (2) получим:

     (4)

       (5)

Введем обозначение:

      (6)

Тогда уравнение (5) запишется так:

     (7)

Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид:

     (8)

Здесь  - максимальное (амплитудное) отклонение маятника от положения равновесия.

Период колебаний математического маятника:

Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения  формы Земли и гравиметрическая разведка. Небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта, изменения значений g могут происходить благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород.

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

О- ось вращения, С- центр инерции, l- расстояние от оси вращения до центра инерции. Аналогично выводу уравнения для математического маятника можно написать:

Снова получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является:

Период колебаний физического маятника равен:

Обозначим , тогда

Величина L называется приведённой длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом физического маятника.


m

P=mg

P1

2

l

Рис.1

O

C

P=mg

P1

P2

l

Рис.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18686. Архитектура реестра WINDOWS 14.96 KB
  Архитектура реестра WINDOWS. Реестр Microsoft Windows XP имеет многоуровневую структуру состоящую из четырех нисходящих логических ступеней. К первой и самой верхней в иерархии реестра ступени относятся так называемые ветви Hive Keys обозначение которых по их английскому наименова
18687. Области применения математических методов в экономике 15.2 KB
  Области применения математических методов в экономике Применение математических методов в экономике идет по трем направлениям: математическая экономика математическое моделирование экономики и экономикоматематические методы. При этом математическая экономика пон...
18688. Эталонные (базисные) стратегии развития 14.19 KB
  Эталонные базисные стратегии развития. Эталонными базисными стратегиями развития бизнеса обычно называют наиболее распространенные выверенные практикой и широко освещенные в литературе стратегии. Они отражают 4 различных подхода к росту фирмы и связаны с изменени
18689. Информация для инвестора в интернете 14.32 KB
  Информация для инвестора в интернете. Связи с инвесторами или IR акроним от англ. Investor Relations сфера деятельности организации находящаяся на пересечении финансов коммуникационной политики маркетинга и права имеющая целью построение максимально эффективной двусторо...
18690. Иерархические модели данных 15.32 KB
  Иерархические модели данных. Иерархическая структура представляет совокупность элементов связанных между собой по определенным правилам. Объекты связанные иерархическими отношениями образуют ориентированный граф. основным понятиям: уровень элемент узел связь. У...
18691. Автоматизированное рабочее место 15.32 KB
  Автоматизированное рабочее место. Для реализации идеи распределенного управления потребовалось создание для каждого уровня управления и каждой предметной области автоматизированных рабочих мест на базе профессиональных персональных компьютеров. Например в с...
18692. Механистические организационные структуры 26.63 KB
  Механистические организационные структуры. Способность организации быстро реагировать на внешние угрозы и сохранять положительный баланс между входом и выходом зависит от ее структуры. Структура организации это совокупность предписанных ролей и взаимоотноше
18693. Схематичная конструкция жесткого диска (понятия цилиндр, дорожка, поверхность, сектор) 67.39 KB
  Схематичная конструкция жесткого диска понятия цилиндр дорожка поверхность сектор Говоря о магнитных дисках и жестких и гибких нельзя не сказать об их внутренней структуре. Ее составляют дорожки цилиндры и сектора. Дорожки tracks это концентрические окружности п
18694. Учет труда и заработной платы, регистры учета, среднемесячная заработная плата 16.41 KB
  Учет труда и заработной платы регистры учета среднемесячная заработная плата. Заработная плата это вознаграждение за труд в зависимости от квалификации работника сложности количества качества и условий выполняемой работы а также выплаты компенсационного и сти...