2609

Математический и физический маятники

Доклад

Физика

Математический и физический маятники Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятник...

Русский

2012-11-12

41.5 KB

28 чел.

Математический и физический маятники

Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятника являются гармоническими.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

На практике математическим  маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.

Пусть маятник отклонили на угол   от вертикали.  Возвращающей силой будет являться составляющая силы тяжести Р1, перпендикулярная к нити.

Р1=mgsin

Возникает вращающий момент

М=Р1l=mglsin;  

При малых     sin

М=mgl

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому моменту М и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки:

       (1)

Напишем уравнение динамики вращательного движения

      (2)

Здесь I – момент инерции, - угловое ускорение

       (3)

Подставляя (1) и (3) в (2) получим:

     (4)

       (5)

Введем обозначение:

      (6)

Тогда уравнение (5) запишется так:

     (7)

Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид:

     (8)

Здесь  - максимальное (амплитудное) отклонение маятника от положения равновесия.

Период колебаний математического маятника:

Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения  формы Земли и гравиметрическая разведка. Небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта, изменения значений g могут происходить благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород.

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

О- ось вращения, С- центр инерции, l- расстояние от оси вращения до центра инерции. Аналогично выводу уравнения для математического маятника можно написать:

Снова получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является:

Период колебаний физического маятника равен:

Обозначим , тогда

Величина L называется приведённой длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом физического маятника.


m

P=mg

P1

2

l

Рис.1

O

C

P=mg

P1

P2

l

Рис.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37995. СПЕКРОФОТОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 597.5 KB
  При продвижении в коротковолновую сторону резко возрастает поглощение эталонного раствора здесь кюветы с чистой водой так как ее стеклянные стенки и стеклянная оптика прибора все больше поглощает свет. На обоих приборах снимите спектр одного и того же раствора по указанию лаборанта. Снимите спектр эталонного раствора для которого точно известны значения mx и mx. Так для раствора нитрата празеодима табличное значение mx=4445 нм молярный коэффициент на этой длине волны равен 106.
37997. Компьютерные информационные системы бухгалтерского учета 2.55 MB
  Одному из продавцов выдать под отчет некоторую сумму наличными. Оформить авансовый отчет по выданной сумме заполнив лицевую и оборотную сторону отчета. В случае оформления поступления денежных средств от покупателя или комиссионера документ ПКО может быть выписан на основании документов Реализация товаров и услуг или Отчет комиссионера. В случае оформления операции по выдаче денежных средств подотчетному лицу устанавливается вид операции Выдача денежных средств подотчетнику.
37999. Українсько - Австрійські двосторонні відносини 71.17 KB
  На відміну від багатьох інших західних держав Австрія не чекаючи референдуму 1 грудня одразу ж стала розвивати політичні контакти з українським керівництвом. З часом у розвитку політичних відносин настав певний спад відчувалася їх явна стагнація що значною мірою позначилося і на інших сферах зокрема на розбудові договірноправової бази: Україна і Австрія вирішували ряд важливих для себе проблем внутрішнього і зовнішнього характеру. У рамках саміту глав урядів країнчленів ЦЄІ у листопаді 1996 року у Граці Австрія відбулась зустріч і...
38000. Медико-тактическая характеристика очагов поражения при авариях на АЭС 99 KB
  Ядерная энергия основана на использовании трех делящихся радионук-лидов: уран-235 - естественный элемент, два других - плутоний-239 и уран-233 получают искусственным путем в процессе ядерного топливного цикла. На всех этапах ядерного топливного цикла, начиная с добычи урановой руды, её обогащения
38001. ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ ФОТОЭФФЕКТА И ИЗМЕРЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ПЛАНКА 68.4 KB
  Введение Постоянная Планка h играет в квантовой физике такую же роль как скорость света с в релятивистской физике. В начале XX века была создана так называемая старая квантовая теория в основе которой лежат гипотеза Планка о дискретном характере испускания и поглощения света осциллятором введенное Эйнштейном представление о квантах света фотонах и его уравнение фотоэффекта построенная Бором теория простейших атомов. Внешний фотоэффект Фотоэффектом называется освобождение полное или частичное электрона от связей с атомами и...
38002. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 312.5 KB
  Краткие теоретические сведения Для абсолютно чёрного тела АЧТ т. тела для которого поглощательная способность справедлив закон Стефана Больцмана: 1 где R энергетическая светимость полная или интегральная испускательная способность характеризующая тепловое излучение тела а Т его температура постоянная СтефанаБольцмана. В то же время для любого тела где испускательная способность тела. В соответствии с законом Кирхгофа 2 а определяется формулой Планка: 3 Спектр теплового...
38003. ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРА АТОМА ВОДОРОДА 1.03 MB
  состоят из отдельных узких спектральных линий. Частоты длины волн и интенсивности спектральных линий определяются строением излучающего атома и являются строго индивидуальными каждый сорт атомов имеет только ему присущий спектр. Частоты линий этой серии определяются формулой 3 Спектральные линии серии Бальмера принято обозначать буквой H с индексом в порядке возрастания числа n и соответственно уменьшения длины волны λ : и т. В данной работе измеряются длины волн нескольких бальмеровских линий атомарного водорода их...