2609

Математический и физический маятники

Доклад

Физика

Математический и физический маятники Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятник...

Русский

2012-11-12

41.5 KB

28 чел.

Математический и физический маятники

Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятника являются гармоническими.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

На практике математическим  маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.

Пусть маятник отклонили на угол   от вертикали.  Возвращающей силой будет являться составляющая силы тяжести Р1, перпендикулярная к нити.

Р1=mgsin

Возникает вращающий момент

М=Р1l=mglsin;  

При малых     sin

М=mgl

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому моменту М и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки:

       (1)

Напишем уравнение динамики вращательного движения

      (2)

Здесь I – момент инерции, - угловое ускорение

       (3)

Подставляя (1) и (3) в (2) получим:

     (4)

       (5)

Введем обозначение:

      (6)

Тогда уравнение (5) запишется так:

     (7)

Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид:

     (8)

Здесь  - максимальное (амплитудное) отклонение маятника от положения равновесия.

Период колебаний математического маятника:

Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения  формы Земли и гравиметрическая разведка. Небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта, изменения значений g могут происходить благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород.

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

О- ось вращения, С- центр инерции, l- расстояние от оси вращения до центра инерции. Аналогично выводу уравнения для математического маятника можно написать:

Снова получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является:

Период колебаний физического маятника равен:

Обозначим , тогда

Величина L называется приведённой длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом физического маятника.


m

P=mg

P1

2

l

Рис.1

O

C

P=mg

P1

P2

l

Рис.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33819. Суфии и суфизм 16.21 KB
  В отличие от рационалистовмутазилитов суфии мистики ислама. Суфии от слова суф означающего грубую шерстяную накидку в которую они облачались это своеобразные мусульманские монахи. Подавляя а то и пугая правоверных своим необычным видом и странным поведением суфии особенно нищие дервиши вначале вызывали настороженное к себе отношение подозрение и даже преследование властей. Посвятив себя Аллаху стремясь уйти от мирских дел отказываясь от имущества и от земных привязанностей усмиряя свои чувства и страсти суфии как бы...
33820. Бахаизм 19.62 KB
  Городом в котором сформировалась первая бахаистская община был Багдад сейчас столица Ирака. Бабизм от имени своего основателя Баба став важным идейным источником бахаизма в дальнейшем прекратил своё существование причём именно его последователи и образовали первые общины бахаи. Главная идея бабизма унаследованная бахаизмом состояла в утверждении что Мухаммад был последним пророком Бога не для всей истории человечества а только для определённого исторического этапа что после него новый этап открывают два пророка одним из...
33821. Синтоизм 13.96 KB
  В японской религии синто или синтоизме как называют её европейцы к числу божеств именуемых ками относятся божественные предки японского народа; духи гор рек камней деревьев огня ветра; божествапокровители отдельных местностей и ремёсел; божества олицетворяющие человеческие добродетели; духи умерших. Само название религии синто состоит из двух иероглифов: син и то . Таким образом дословный перевод синто путь богов . Что же стоит за столь необычным названием Строго говоря синто языческая религия.
33822. Шаманизм 15.02 KB
  Шаманизм особенно широко распространен в племенных культурах которые развиваясь на значительных удалениях друг от друга создали системы поверий поразительно схожие между собой. Шаманом называется человек который погружаясь в особое исступленное состояние сознания обретает способность общаться с оберегающими и помогающими духами и черпать из потусторонних источников значительную силу. Главной целью шаманизма является лечение тела и рассудка. Шаманизм представляет собой сложное явление и его часто ошибочно приравнивают к магии...
33823. Рели́гия 16.96 KB
  С усложнением общества изменялись формы компенсации: обращаясь к религии и твердо веря в ее догматы человек стремился найти в ней утешение избавиться с ее помощью от несправедливостей и обид социального неустройства и политических преследований. Но суть функции оставалась неизменной: в религии люди и особенно религиозно активные слои населения отшельники аскеты монахи суфии и т. Компенсирующая функция религии тесно связана с другой ее функцией интегрирующей.
33824. Подходы к происхождению человека 14.81 KB
  История религии. История религии начиная с ее самых простых примитивных форм представляет собой этот длинный путь человеческого богопознания. Все предшествующие формы религии представляют собой ни что иное как подготовительные формы на пути человечества к истинной религии.
33825. Родоплеменные религии: тотемизм, табу, магия, фетишизм и анимизм 25.8 KB
  С этой обрядностью связаны все важные этапы в жизни человека: рождение посвящение введение юноши в число взрослых охотников смерть. Наряду с тотемизмом и табу значительное место в жизнедеятельности первобытного человека занимала магия греч. mgic колдовство чародейство совокупность представлений и обрядов в основе которых лежит вера в таинственные силы с помощью которых путем определенных символических действий возможно оказать влияние на людей предметы ход событий в нужном для человека направлении. Он считал что магия не...
33826. Зороастризм и маздеизм 19.6 KB
  Но в наиболее ранних персидских текстах ахеменидских надписях о нем не упоминается хотя в этих текстах есть немало связываемых с его именем идей в частности в связи с прославлением АхураМазды. Будем условно именовать ее маздеизмом по имени АхураМазды. Третьей в верховной первоначальной триаде древнеиранских богов была Ардвисура Анахита богиня воды и плодородия воспринимавшаяся в качестве дочери АхураМазды. Хотя его подчас считают не имеющим прямого отношения к маздеизму и тем более зороастризму более поздние мифы приписывают именно...
33827. Индуизм — ведущая религия Древней Индии 23.27 KB
  Исследователи выявляют несколько исторических форм индуизма. Основы индуизма заложены в ведической религии которую принесли на территорию полуострова Индостан племена ариев вторгшиеся туда в середине II тысячелетия до н. Во втором направлении индуизма вишнуизме образ бога Вишну предстает прежде всего как хранителя мирового порядка. Третий член троицы высших божеств индуизма Брахма рассматривается как первопричина мира и творец человечества из различных частей которого произошли разные касты: из уст брахманы из рук кшатрии из бедер ...