2609

Математический и физический маятники

Доклад

Физика

Математический и физический маятники Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятник...

Русский

2012-11-12

41.5 KB

28 чел.

Математический и физический маятники

Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятника являются гармоническими.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

На практике математическим  маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.

Пусть маятник отклонили на угол   от вертикали.  Возвращающей силой будет являться составляющая силы тяжести Р1, перпендикулярная к нити.

Р1=mgsin

Возникает вращающий момент

М=Р1l=mglsin;  

При малых     sin

М=mgl

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому моменту М и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки:

       (1)

Напишем уравнение динамики вращательного движения

      (2)

Здесь I – момент инерции, - угловое ускорение

       (3)

Подставляя (1) и (3) в (2) получим:

     (4)

       (5)

Введем обозначение:

      (6)

Тогда уравнение (5) запишется так:

     (7)

Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид:

     (8)

Здесь  - максимальное (амплитудное) отклонение маятника от положения равновесия.

Период колебаний математического маятника:

Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения  формы Земли и гравиметрическая разведка. Небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта, изменения значений g могут происходить благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород.

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

О- ось вращения, С- центр инерции, l- расстояние от оси вращения до центра инерции. Аналогично выводу уравнения для математического маятника можно написать:

Снова получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является:

Период колебаний физического маятника равен:

Обозначим , тогда

Величина L называется приведённой длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом физического маятника.


m

P=mg

P1

2

l

Рис.1

O

C

P=mg

P1

P2

l

Рис.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71636. Методы научно-педагогического исследования в педагогике 31 KB
  Методология исследования – это учение о структуре, логической организации, методах и средствах принципов научного познания. Метод – способ достижения цели. С греческого «путь исследования», «теория», «учение». Принципы педагогического исследования (принцип, это основополагающее положение).
71637. История ранних славян VI-VIII вв 186.5 KB
  В бассейне левых притоков среднего Днепра найдены самые ранние памятники (III—IV века) киевской культуры, тесная связь которой с более поздними славянскими культурами практически не вызывает сомнений. Начало передвижения славянских народов связывают с продвижением гуннов на запад...
71639. История развития методов преподавания изобразительного искусства в древнем мире 87 KB
  Вопросы: Методы обучения рисунку в Древнем Египте. Методы обучения рисованию в Древней Греции. Методы обучения рисунку в Древнем Риме. Методы преподавания менялись в результате борьбы мнений смены художественных направлений изменения принципов обучения.
71640. История развития методов преподавания изобразительного искусства в Западной Европе 114.5 KB
  Методы обучения рисованию эпоху Возрождения. Методы обучения рисунку во второй половине XIX и в XX веке. Художники средневековья не использовали ни принципов построения изображения на плоскости которыми пользовались великие мастера Древней Греции ни достижений в области методики обучения...
71641. История развития методов преподавания изобразительного искусства в России и Белоруссии 90 KB
  Для приобретения четкого и уверенного почерка и навыков в рисунке рисовали главным образом пером, инструментом, требующим особенно твердой и уверенной руки. Однако метод обучения рисованию строился главным образом на копировании образцов.
71642. Методы психологии 128 KB
  Вторая самая многочисленная группа включает в себя эмпирические методы наблюдение и самонаблюдение эксперимент тесты; анкеты социометрия интервью и беседы приемы анализа процессов и продуктов деятельности хронометрия циклография профессиографическое описание оценка изделий...
71643. Менеджмент в предпринимательстве 284 KB
  Свидетельством существования практического менеджмента являются и достижения древних организаций. Так, сооружения, известные как «семь чудес света», можно было создать только хорошо скоординированными усилиями людей.
71644. Рим превращается в мировую державу 217 KB
  Римская армия имела хорошо обученных командиров. Центурию возглавлял центурион, когортой командовал военный трибун. Начальником легиона был легат. Каждая центурия, когорта и легион имели свои эмблемы. Их несли впереди воинского подразделения. Знаком легиона был серебряный орел.