2609

Математический и физический маятники

Доклад

Физика

Математический и физический маятники Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятник...

Русский

2012-11-12

41.5 KB

28 чел.

Математический и физический маятники

Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятника являются гармоническими.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

На практике математическим  маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.

Пусть маятник отклонили на угол   от вертикали.  Возвращающей силой будет являться составляющая силы тяжести Р1, перпендикулярная к нити.

Р1=mgsin

Возникает вращающий момент

М=Р1l=mglsin;  

При малых     sin

М=mgl

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому моменту М и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки:

       (1)

Напишем уравнение динамики вращательного движения

      (2)

Здесь I – момент инерции, - угловое ускорение

       (3)

Подставляя (1) и (3) в (2) получим:

     (4)

       (5)

Введем обозначение:

      (6)

Тогда уравнение (5) запишется так:

     (7)

Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид:

     (8)

Здесь  - максимальное (амплитудное) отклонение маятника от положения равновесия.

Период колебаний математического маятника:

Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения  формы Земли и гравиметрическая разведка. Небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта, изменения значений g могут происходить благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород.

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

О- ось вращения, С- центр инерции, l- расстояние от оси вращения до центра инерции. Аналогично выводу уравнения для математического маятника можно написать:

Снова получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является:

Период колебаний физического маятника равен:

Обозначим , тогда

Величина L называется приведённой длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом физического маятника.


m

P=mg

P1

2

l

Рис.1

O

C

P=mg

P1

P2

l

Рис.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80887. Порядок формирования и организация работы представительного органа местного самоуправления 43.11 KB
  ПО МС может осуществлять свои полномочия в случае избрания не менее двух третей от установленной численности депутатов. Заседание его не может считаться правомочным если на нем присутствует менее 50 от числа избранных депутатов. ПО поселения состоит из депутатов избираемых на муниципальных выборах. ПО муниципального района: 1 может состоять из глав поселений входящих в состав муниципального района и из депутатов ПО указанных поселений избираемых ПО поселений из своего состава в соответствии с равной независимо от численности населения...
80888. Организационная структура местной администрации 46.1 KB
  Организационная структура местной администрации. В современной муниципальной практике типичными звеньями организационной структуры местной администрации являются: глава администрации; его заместители по сферам муниципальной деятельности среди которых могут быть один или два первых заместителя; структурные подразделения различных типов которые могут находиться в подчинении главы администрации одного из его заместителей или в соподчинении между собой например отдел в составе управления; коллегиальные совещательные органы: коллегия...
80889. Статус, полномочия Главы Муниципального Образовния и основания прекращения его полномочий 41.75 KB
  выборах либо входит в состав ПО МО с правом решающего голоса и исполняет полномочия его председателя либо возглавляет местную администрацию; 3 в случае избрания ПО МО исполняет полномочия его председателя; 4 не может одновременно исполнять полномочия председателя ПО МО и полномочия главы местной администрации; Глава МО в пределах полномочий: 1 представляет МО в отношениях с ОМС других МО ОГВ гражданами и организациями без доверенности действует от имени МО; 2 подписывает и обнародует в порядке установленном уставом МО нормативные...
80890. Процесс управления муниципальными услугами 44.09 KB
  К муниципальным услугам относится весь комплекс жилищнокоммунальных транспортных в пределах территории поселения бытовых торговых образовательных медицинских культурных досуговых и других услуг. К муниципальным услугам следует относить и такие как обеспечение общественного порядка обустройство и содержание территории обеспечение ее экологического и санитарного благополучия и т. Даже то что мы называем комплексным социальноэкономическим развитием МО означает не что иное как целенаправленное изменение ситуации в сторону...
80891. Организация и планирование работы местной администрации 43.83 KB
  Основным документом определяющим организацию деятельности местной администрации является ее регламент утверждаемый главой администрации. Наряду с регламентом работы администрации важную роль в организации ее деятельности играют нормативные документы регламентирующие деятельность отдельных структурных подразделений и исполнителей. В соответствии с положениями и профилем своей работы структурные подразделения администрации: курируют работу подведомственных предприятий организаций и учреждений; осуществляют сбор информации анализ...
80893. Муниципальное управление охраной здоровья населения 43.99 KB
  Муниципальная система здравоохранения МСЗ включает в себя располагающиеся на территории МО лечебнопрофилактические и иные учреждения системы здравоохранения находящиеся в муниципальной государственной или частной собственности а также органы муниципального управления охраной здоровья населения. Главная цель муниципальная система здравоохранения удовлетворение потребностей населения в услугах сферы здравоохранения отнесенных к предметам ведения местного самоуправления на уровне не ниже государственных минимальных социальных...
80894. Разработка прогноза социально-экономического развития муниципального образования 43.62 KB
  Система планирования комплексного социальноэкономического развития муниципального образования включает в себя прогнозирование текущее и стратегическое планирование. Бюджетный кодекс РФ 2004 года предусматривает обязательную разработку перспективного финансового плана развития муниципального образования на трехлетний среднесрочный период. Этот план разрабатывается на основе прогноза социальноэкономического развития территории на тот же период.
80895. Стратегическое планирование в Муниципальном Образовании 44.44 KB
  Недостаток опыта стратегического планирования комплексного подхода к определению целей и приоритетов перспективного развития муниципальных образований приводит к тому что разработанные концепции и стратегические планы иногда носят декларативный характер отсутствуют механизмы их реализации. В зависимости от стоящих задач концепции и стратегические планы бывают среднесрочные 3 5 лет и долгосрочные до 10 15 лет. Основные этапы разработки концепции комплексного социальноэкономического развития муниципального образования...