2609

Математический и физический маятники

Доклад

Физика

Математический и физический маятники Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятник...

Русский

2012-11-12

41.5 KB

28 чел.

Математический и физический маятники

Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятника являются гармоническими.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

На практике математическим  маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.

Пусть маятник отклонили на угол   от вертикали.  Возвращающей силой будет являться составляющая силы тяжести Р1, перпендикулярная к нити.

Р1=mgsin

Возникает вращающий момент

М=Р1l=mglsin;  

При малых     sin

М=mgl

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому моменту М и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки:

       (1)

Напишем уравнение динамики вращательного движения

      (2)

Здесь I – момент инерции, - угловое ускорение

       (3)

Подставляя (1) и (3) в (2) получим:

     (4)

       (5)

Введем обозначение:

      (6)

Тогда уравнение (5) запишется так:

     (7)

Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид:

     (8)

Здесь  - максимальное (амплитудное) отклонение маятника от положения равновесия.

Период колебаний математического маятника:

Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения  формы Земли и гравиметрическая разведка. Небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта, изменения значений g могут происходить благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород.

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

О- ось вращения, С- центр инерции, l- расстояние от оси вращения до центра инерции. Аналогично выводу уравнения для математического маятника можно написать:

Снова получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является:

Период колебаний физического маятника равен:

Обозначим , тогда

Величина L называется приведённой длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом физического маятника.


m

P=mg

P1

2

l

Рис.1

O

C

P=mg

P1

P2

l

Рис.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70024. Характеристика российских систем бронирования 13.16 KB
  Оnline бронирование моментальное отображение реальной информации о наличии мест по текущим тарифам с возможностью немедленного подтверждения бронирования Полноценное развитие в России ведущих западных интернет-продуктов с возможностями online резервирования базирующихся на...
70025. Виды сварки 38 KB
  Затем ток выключают и снимают электродами металл в результате чего образуется сварная точка 5 соединяющая оба листа Точечную сварку широко применяют при массовом изготовлении изделий из тонколистового металла При изготовлении цельнометаллических вагонов кузовов автомобилей и др.
70029. Правовая природа монополий. Виды монополий по российскому праву 14.5 KB
  Что касается сугубо юридической стороны дела то в действующем законодательстве отсутствует легальное определение понятия монополия. Монополия может возникнуть на рынке в силу различных обстоятельств исходя из которых обычно выделяются три основных типа монополий...
70030. Основные методологические принципы эмпирической науки 18.58 KB
  Часто призывают строить естественные классификации полагая что такая классификация определяется природой изучаемых явлений. Более-менее заменяет представление о естественности требование чтобы классификации были или теоретически или прагматически осмыслены.
70031. Построение и уравнивание маршрутной и блочной фототриангуляции по методу связок 117.5 KB
  При построении сети фототриангуляции методом связок для каждого изображения точки (определяемой и опорной), измеренного на снимке составляются уравнения коллинеарности...
70032. Система конкурентного права. Правовая природа отношений, складывающихся в сфере конкуренции 21.5 KB
  Конкурентное право как отрасль законодательства характеризуется конкретным предметом правового регулирования который по экономическому содержанию распадается на две группы отношений: отношения связанные с конкуренцией; 2 отношения в сфере монополий.