2609

Математический и физический маятники

Доклад

Физика

Математический и физический маятники Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятник...

Русский

2012-11-12

41.5 KB

28 чел.

Математический и физический маятники

Мы отмечали, что гармонические колебания возникают под действием квазиупругих сил. Покажем, что силы, действующие на маятник при малых углах отклонения, являются квазиупругими, и, следовательно, колебания маятника являются гармоническими.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

На практике математическим  маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.

Пусть маятник отклонили на угол   от вертикали.  Возвращающей силой будет являться составляющая силы тяжести Р1, перпендикулярная к нити.

Р1=mgsin

Возникает вращающий момент

М=Р1l=mglsin;  

При малых     sin

М=mgl

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому моменту М и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки:

       (1)

Напишем уравнение динамики вращательного движения

      (2)

Здесь I – момент инерции, - угловое ускорение

       (3)

Подставляя (1) и (3) в (2) получим:

     (4)

       (5)

Введем обозначение:

      (6)

Тогда уравнение (5) запишется так:

     (7)

Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид:

     (8)

Здесь  - максимальное (амплитудное) отклонение маятника от положения равновесия.

Период колебаний математического маятника:

Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения  формы Земли и гравиметрическая разведка. Небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта, изменения значений g могут происходить благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород.

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

О- ось вращения, С- центр инерции, l- расстояние от оси вращения до центра инерции. Аналогично выводу уравнения для математического маятника можно написать:

Снова получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является:

Период колебаний физического маятника равен:

Обозначим , тогда

Величина L называется приведённой длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом физического маятника.


m

P=mg

P1

2

l

Рис.1

O

C

P=mg

P1

P2

l

Рис.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36843. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ В MS EXCEL 318.5 KB
  Освоить технологии построения диаграммы различных типов. Научиться работать с компонентами диаграммы и настраивать параметры диаграммы. Задания для выполнения и методические рекомендации: С помощью Microsoft Excel можно создавать сложные диаграммы для данных рабочего листа. Прежде чем начать построение диаграммы рассмотрим два важных определения.
36844. Основные определения и критерии классификации угроз 223.2 KB
  Потенциальные злоумышленники называются источниками угрозы. Нарушение безопасности это реализация угрозы. Естественные угрозы это угрозы вызванные воздействием на АС объективных физических процессов стихийных природных явлений не зависящих от человека. Искусственные делят на: непреднамеренные совершенные по незнанию и без злого умысла из любопытности или халатности преднамеренные Каналы проникновения в систему и их классификация: По способу: прямые косвенные По типу основного средства для реализации угрозы: человек...
36845. Подготовка грунтовой площадки к строительству 570.5 KB
  Свойства и технологические характеристики грунтов Любое здание или инженерное сооружение возводится на подстилающем слое грунта. От физикомеханических свойств подстилающего слоя грунта зависит величина осадочных деформаций и долговечность сооружения в целом. К скальным однородным грунтам относят массивы изверженных пород с кристаллической структурой которые характеризуются значительной плотностью и малой влагоемкостью. К скальным слоистым грунтам относят породы сложенные из песчаников доломитов и глинистых сланцев.
36846. КОМПЬЮТЕРНАЯ СИСТЕМА PROJECT EXPERT. АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРОЕКТА 64 KB
  Нижняя граница обусловлена тем что оборотных средств должно быть достаточно для погашения краткосрочных обязательств иначе компания окажется под угрозой банкротства. Превышение оборотных средств над краткосрочными обязательствами более чем в три раза также является нежелательным поскольку свидетельствует о нерациональной структуре активов. Показывает отношение наиболее ликвидной части оборотных средств денежных средств дебиторской задолженности краткосрочных финансовых вложений к краткосрочным обязательствам. Чистый оборотный капитал...
36847. Массивы и матрицы. Решение задач линейной алгебры 121.5 KB
  9000 Ввод элементов матрицы также осуществляется в квадратных скобках при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой а строки разделяются между собой точкой с запятой: nme=[x11 x12 . xmn;] Обратиться к элементу матрицы можно указав после имени матрицы в круглых скобках через запятую номер строки и номер столбца на пересечении которых элемент расположен: nmeиндекс1 индекс2 Листинг 3. Пример обращения к элементам матрицы =[1 2 3;4 5 6;7 8 9] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12^22 33 ns = 3.
36848. Система автоматического регулирования температуры 488 KB
  Лабораторная работа Система автоматического регулирования температуры. Система автоматического регулирования температуры. Цель работы: Ознакомление с принципами построения системы автоматического регулирования и принципами работы такой системы. Экспериментальное получение переходных процессов системы автоматического регулирования.
36849. Логическая организация оперативной памяти 236.2 KB
  Определить объем основной памяти 2.Определить объем дополнительной памяти 3.Определить объем отображаемой памяти 4.
36850. КОНСОЛИДАЦИЯ ДАННЫХ В MS EXCEL 421 KB
  Создайте три однотипные таблицы по образцу на одном листе или на разных листах MS Excel рис. Проведите консолидацию 3х таблиц аттестации в одну с вычислением среднего балла по каждому предмету и разместите консолидированную таблицу на листе Консолидация для чего: перейдите на чистый лист в книге и установите маркер мыши в левый верхний угол будущей таблицы; на панели Данные выберите Консолидация; в окне Консолидация рис. 2 Диалоговое окно Консолидация перейдите в строку Ссылка затем выделите на листе Данные для консолидации...
36851. Использование программных средств контроля и анализа выполнения политики безопасности на примере операционной системы Windows XP 91.04 KB
  Командная строка Стандартные типы доступа к объектам в операционной системе WindowsXP SINCHRONIZE использовать объект для синхронизации; WRITE_OWNER изменить владельца объекта; WRITE_DC изменить дискреционный список контроля доступа к объекту; RED_CONTROL прочитать данные из дискреционного списка контроля доступа; DELETE удалить объект. Специальные права доступа к объектам RED_DT прочитать данные из объекта; WRITE_DT записать данные в объект; PPEND_DT добавить данные в объект; RED_TTRIBUTES прочитать атрибуты объекта;...