2612

Измерение моментов инерции параллелепипеда

Лабораторная работа

Физика

Измерение моментов инерции параллелепипеда Цель работы: Измерить величины моментов инерции параллелепипеда относительно различных осей методом крутильных колебаний, провести сравнение полученных результатов с предсказанными теоретически...

Русский

2012-11-12

84.5 KB

82 чел.

Измерение моментов инерции параллелепипеда

Цель работы: Измерить величины моментов инерции параллелепипеда относительно различных осей методом крутильных колебаний, провести сравнение полученных результатов с предсказанными теоретически

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

1. Во введении показано, что момент инерции любого тела относительно любой оси можно определить, если известны главные моменты инерции JX, JY и JZ. Обычно эти величины необходимо находить экспериментально. Однако для тел обладающих симметрией, их можно рассчитать достаточно просто. Рассчитаем их для однородного параллелепипеда.

Главными осями параллелепипеда являются прямые, проходящие через его геометрический центр перпендикулярно его граням. Введем жестко связанную с телом систему координат, оси которой направлены вдоль главных осей, а начало отсчета находится в геометрическом центре параллелепипеда. Для однородного тела эта точка совпадает с центром тяжести. Будем считать, что ось направлена вдоль самого короткого ребра длиной а, а ось OX - вдоль самого длинного ребра длиной с.

Вычислим осевой момент JZZ. При нашем выборе системы координат он будет равен главному моменту т.к. ось OZ направлена вдоль главной оси. Разобьем параллелепипед на столбики с площадью основания dS=dxdy и высотой а. Все точки такого столбика характеризуются одинаковыми значениями координат х и у. Объем его dV равен adxdy, а масса dm=dV=adxdy. Поэтому вклад этого столбика в величину JZZ определяется согласно формуле (29) введения

 . (1)

Интегрирование (1) по у дает вклад в Jzz слоя высотой а и толщиной dx

Интегрируя полученное выражение по х, получим для всего параллелепипеда

Аналогично можно получить:

Итак, главные моменты инерции одноного параллелепипеда равны

 (2)

Нетрудно заметить, что для куба, у которого а=b=с, главные моменты инерции одинаковы:

Если определены главные моменты инерции тела, то момент инерции его относительно оси, направленной вдоль вектора и проходящей через центр тяжести, рассчитывается по формуле (37) введения:

 , (3)

где - , и - это углы, которые составляет вектор  с координатными осями OX, OY и OZ соответственно.

В данной лабораторной установке ось вращения тела (ось маятника) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор  направлен вертикально вверх. Таким образом, закрепляя параллелепипед в различных положениях, мы изменяем расположение жестко связанной с телом системы координат относительно постоянного вектора  и, тем самым, меняем углы , и .

Вычисление направляющих косинусов Cos, Cos и Cos представляет собой чисто геометрическую задачу. На рис.2 изображены некоторые возможные оси, относительно которых будут определяться моменты инерции. Видно, что направляющие косинусы осей, совпадающих с главными диагоналями, например AA1, равны

. (4)

Образцы могут быть закреплены также в точках, лежащих посредине граней и ребер. При использовании этих точек, расположенных симметрично относительно центра тяжести (точки О), можно измерить моменты инерции относительно диагоналей соответствующих сечений или главных осей. Различные оси будут определяться различными наборами направляющих косинусов. Так для оси ВВ1 получаем

. (5)

Итак, зная массу параллелепипеда и его геометрические размеры, можно определить моменты инерции относительно любой оси, проходящей через центр.

В заключении отметим, что в силу равенства cos2+cos2+cos2=1 моменты инерции куба относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, одинаковы и равны JКУБ=(m/6)a2.

2. Момент инерции тела относительно произвольной оси можно измерить, если знать период колебаний тела вокруг этой оси (см. лабораторную работу №4). Как показано в описании к лабораторной работе №4, для определения момента инерции необходимо измерить, период крутильных колебаний, который связан с моментом инерции тела J относительно оси колебаний простым соотношением:

   (6)

где - постоянная момента упругих сил, характеризующая жесткость тела относительно деформации кручения.

Исследуемое тело жестко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из равновесия, то он будет совершать колебания с периодом . Здесь JM- -момент инерции маятника, который равен сумме момента инерции рамки J0 и момента инерции исследуемого тела J. Таким образом,

   (7)

Если колеблется одна рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен

    (8)

Исключая из этих уравнений неизвестную величину , находим

   (9)

Из соотношения (9) видно, что для определения момента инерции относительно маятника необходимо измерить периоды колебания Т0 и Т соответственно для свободной рамки и для рамки с телом. Величину J0 необходимо определить заранее, например, измеряя периоды колебания закрепленного в рамке тела, момент инерции которого относительно оси колебаний известен из других соображений.

В данной работе в качестве такого тела используется однородный куб, моменты инерции которого (как показано выше), относительно любой оси, проходящей через его центр, одинаковы и равны. JК=(m/6)a2. Очевидно, что момент инерции свободной рамки можно определить по формуле

   (10)

Здесь m и a - масса и длина ребра куба, а Т0 и Т - периоды колебаний пустой рамки и рамки с кубом соответственно.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Установка для измерения момента инерции методом крутильных колебаний представляет собой собранные на одном массивном основании стойку для крепления образцов и миллисекундомера. На стойке находятся три кронштейна. Верхний и нижний кронштейн имеют зажимы для крепления стальной проволоки, к которой подвешивается рамка. В рамке можно жестко закрепить исследуемое тело. На среднем кронштейне размещена платформа, которая служит основанием фотоэлектрического датчика и угловой шкале, используемой для отсчета угла поворота крутильного маятника.

На лицевой панели миллисекундомера находятся

- клавиша "сеть" - выключатель сети. Нажатие этой клавиши вызывает включение питающего напряжения (при этом на цифровых табло должны высвечиваться нули и гореть лампочка фотодатчика);

- клавиша "сброс" - сброс измерений. Нажатие этой клавиши вызывает сброс схем блока измерений и генерирование сигнала, разрешающего измерение;

- клавиша "стоп" - окончание измерений. При нажатии клавиши "стоп" генерируется сигнал на окончание процесса счета времени;

Два цифровых табло, находящихся на лицевой панели, показывают число колебаний рамки и время, в течение которого они совершаются.

При нажатии клавиши "сеть" секундомер устанавливается в начальное состояние (нули на индикаторах) и блокируется схема формирования импульсов.

Эта блокировка снимается при нажатии клавиши "сброс". Когда начинаются крутильные колебания, то в момент первого прерывания светового потока, падающего на фототранзистор от лампочки, генерируется электрический импульс, который подключает к счетчику времени кварцевый генератор. Счетчик подсчитывает число импульсов, следующих с кварцевого генератора с частотой 10 Кгц. Одновременно другой счетчик подсчитывает каждый (следующий после первого) нечетный импульс, приходящий с фотоэлектрического датчика. Прохождение каждого такого нечетного импульса соответствует одному колебанию и показание цифрового табло счетчика периодов изменяется на единицу.

При нажатии клавиши "стоп" формируется сигнал, который подготавливает схемы к концу счета. Полностью счет прекращается в момент генерации фотодатчиком очередного нечетного импульса. При этом на табло высвечивается число колебаний и время, в течение которого они совершились. Погрешность измерения времени составляет 0,02%.

Таким образом, методика измерения момента инерции тела относительно оси колебаний такова. Вначале надо убедиться в применимости формулы (6), которая справедлива, если колебания слабозатухающие. После этого, измеряя периоды колебаний пустой рамки и рамки, с закрепленным в ней эталонным телом (кубом), определить момент инерции пустой рамки по формуле (10). Далее, закрепив в рамке исследуемый образец и измерив период колебаний крутильного маятника, по формуле (9) рассчитать момент инерции образца относительно оси колебаний.

Описанный метод применим для определения осевого момента инерции тела произвольной формы. В данной работе этот метод используется для определения J образцов, имеющих форму параллелепипеда.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

  1.  Включить прибор нажатием клавиши "сеть", убедиться, что индикаторы измерителя высвечивают нули, и горит лампочка фотодатчика.
  2.  Убедиться, что колебания крутильного маятника затухают слабо. Для этого, отклонив маятник на некоторый угол и нажав клавишу "сброс", определить число колебаний N, за которое амплитуда колебаний уменьшается в 2-3 раза. Если N>10, то затухание можно считать малым и пользоваться формулой (6) (а значит, и формулами (9) и (10)). Измерение N провести для пустой рамки и рамки с закрепленным на ней параллелепипедом.
  3.  Определить время t, в течение которого свободная рамка совершает N колебаний. Очевидно, что T0=t0/N. Измерения провести 5-7 раз. Данные занести в таблицу, рассчитать среднее значение, случайную и систематическую погрешность.
  4.  Укрепить в рамке куб так, чтобы ось вращения совпадала с главной осью. Измерить период колебаний рамки с кубом также как в пункте 3.
  5.  Определить период колебаний крутильного маятника, если с осью вращения совпадает главная диагональ куба и диагональ его сечения.
  6.  Сравнить полученные значения Т. Если они совпадают в пределах погрешности измерений, то провести их усреднение, считая измерения равноточными с систематической погрешностью метода, равной наибольшей погрешности отдельных измерений.
  7.  По формуле (10) рассчитать J0, считая, что JК=(m/6)a2. Масса образца m приведена на установке, размер а определяется штангенциркулем. Определить погрешность.
  8.  Определить периоды колебаний параллелепипеда относительно его главных осей (ТX, ТY, ТZ), относительно главной диагонали TAA, а также относительно диагоналей его сечений. Измерения провести так же как в пункте 3.
  9.  Рассчитать главные моменты инерции по формуле (9). Определить погрешности этих значений.
  10.  Измерив геометрические размеры параллелепипеда и зная его массу (она приведена на установке), рассчитать главные моменты инерции по формулам (2). Сравнить их с величинами JX, JY, JZ, полученными методом крутильных колебаний.
  11.  Рассчитать по формуле (9) моменты инерции параллелепипеда относительно главной диагонали и диагоналей сечений. Определить погрешности.
  12.  Определить те же самые моменты инерции по формуле (3).В эти формулы подставьте величины JX, JY, JZ, измеренные методом крутильных колебаний, и значения направляющих косинусов, характеризующих направление данной оси в выбранной ранее системе координат. Сравните полученные значения с измеренными методом крутильных колебаний.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Полученные тем или другим способом величины J являются результатами косвенных измерений. Выведем формулы для расчета погрешностей.

Для расчета J0 используется формула (10), в которой величины а, m, Т и Т0 - результаты прямых измерений, погрешности которых известны. Эти погрешности обуславливают погрешность J0, рассчитываемую следующим образом:

. (11)

Подставляя в (11) вначале случайные, а потом систематические погрешности прямых измерений, рассчитываются погрешности J0, которые обусловлены случайными (оJ0) и систематическими (CJ0) погрешностями прямых измерений. Полная погрешность равна.

Аналогично получается выражение для расчета погрешности момента инерции, измеренного методом крутильных колебаний (формула (9))

. (12)

Значения главных моментов инерции, вычисляемых по формулам (2), также отягощены погрешностями, т.к. размеры параллелепипеда и его масса определены с погрешностями. Формулы для расчета погрешностей JX, JY и JZ выводятся аналогично формуле (11). Например, погрешность JX рассчитывается так.

Для определения погрешности величины момента инерции относительно осей, несовпадающих с главными, надо выписать формулу (3), подставив в нее конкретные значения направляющих косинусов. Так, для оси, совпадающей с главной диагональю, используя (4), получаем следующее выражение: , где все величины известны с погрешностью. Находя частные производные по всем параметрам, известным с погрешностью, получаем

Очевидно, что погрешность определения момента инерции относительно других осей должна иметь другой вид.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75442. Захист населення від надзвичайних ситуацій природного характеру. Радіаційна, хімічна і біологічна небезпека. Завдання та особливості дій підрозділів міліції 108.5 KB
  Захист населення від надзвичайних ситуацій природного характеру. Захист населення від надзвичайних ситуацій природного характеру. Засоби колективного захисту населення. Література: Закон України Про захист населення і територій від надзвичайних ситуацій техногенного та природного характеру.
75443. Єдина державна система запобігання і реагування на надзвичайні ситуації техногенного та природного характеру. Організаційна структура цивільної оборони МВС України 294 KB
  Основні завдання і рішення начальника функціональної підсистеми ОГП на проведення необхідних заходів. Основні завдання і рішення начальника функціональної підсистеми ОГП на проведення необхідних заходів. Відповідно до постанов Кабінету Міністрів України...
75444. Основні поняття про надзвичайні ситуації та оповіщення. Дії особового складу за сигналами ЦО. Небезпечні чинники виробничих аварій, їх вплив на екологічну безпеку та безпеку життя та здоров’я людей 123.5 KB
  Надзвичайний стан це особливий правовий режим який може тимчасово вводитися в Україні чи в окремих її місцевостях при виникненні надзвичайних ситуацій техногенного або природного характеру не нижче загальнодержавного рівня що призвели чи можуть призвести до людських і матеріальних втрат створюють загрозу життю і здоров’ю громадян або при спробі захоплення державної влади чи зміни конституційного ладу України шляхом насильства і передбачає надання відповідним органам державної влади військовому командуванню та органам місцевого...
75445. Цели и задачи управленческого учета в ИС Project Expert 28.5 KB
  Расчет группы финансовых коэффициентов и показателей характеризующих финансовое состояние предприятия: ликвидность активов и платежеспособности; финансовая устойчивость предприятия; деловая активность и эффективность управления; рентабельность; вероятность банкротства предприятия. Для общей оценки динамики финансового состояния предприятия необходимо сгруппировать статьи баланса в специфические группы по признаку ликвидности статьи актива и срочности обязательств статьи пассива. Она позволяет определить структуру имущества предприятия и...
75446. Анализ хозяйственной деятельности в системе 1С: Предприятие 23.5 KB
  Анализ хозяйственной деятельности в системе 1С: Предприятие Конфигурация Универсал: Анализ Хозяйственной Деятельности для 1С: Предприятия 8. Анализ себестоимости основного и вспомогательных производств по произвольно организованным статьям калькуляции. Анализ расхода материалов на производство по произвольно организованным номенклатурным группам. Специфические формы отчетности для сельскохозяйственного производства: анализ движения сельскохозяйственных животных птицы анализ работы автопарка и машиннотракторного парка МТП.
75447. Издержки, классификация и учет в ИС Project Expert 46.5 KB
  Подобный же принцип используется для сглаживания колебаний накладных расходов. Учет накладных расходов К накладным расходам относят все издержки производства которые невозможно прямо включить в состав стоимости продукции. Для включения данных издержек производства в состав себестоимости изделий применяют различные методы пропорционального распределения разнесения накладных. Разнесение по единой ставке Данный метод заключается в том что для разнесения накладных расходов выбирается какаято единая для всего предприятия величина часто ...
75448. Принципы построения инфологических моделей данных 31.5 KB
  Основными конструктивными элементами инфологических моделей являются сущности связи между ними и их свойства атрибуты. Необходимо различать такие понятия как тип сущности и экземпляр сущности. Понятие тип сущности относится к набору однородных личностей предметов событий или идей выступающих как целое. Экземпляр сущности относится к конкретной вещи в наборе.
75449. Схема учета производственных и непроизводственных затрат в ИС Project Expert 32 KB
  Схема учета производственных и непроизводственных затрат в ИС Project Expert Производственные и непроизводственные затраты Важнейшим принципом учета издержек в рыночной экономике является разделение затрат costs и издержек expenses. Если бы все товары производимые в отчетный период в тот же период и продавались то этих двух понятий было бы достаточно для определения полученной прибыли: прибыль = доход затраты. Тогда прибыль за отчетный период составит Прибыль = Доход Себестоимость проданной продукции Расходы за период Как же...
75450. Реляционная структура данных, реляционные базы данных 53 KB
  Реляционная структура данных реляционные базы данных В конце 60х годов появились работы в которых обсуждались возможности применения различных табличных даталогических моделей данных т. возможности использования привычных и естественных способов представления данных...