2636

Изучение затухающих колебаний

Лабораторная работа

Физика

Изучение затухающих колебаний Цель работы: изучение электрических собственных колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные катушку с индуктивностью L, конденсатор с емкостью С и резистор с сопротивлением R. Теоретические положения...

Русский

2012-11-12

298.5 KB

59 чел.

Изучение затухающих колебаний

Цель работы: изучение электрических собственных колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные катушку с индуктивностью L, конденсатор с емкостью С и резистор с сопротивлением R.

Теоретические положения

Свободными затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается. Закон, по которому происходят колебания, зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.

Линейными системами являются, к примеру, пружинный маятник при малых деформациях пружины, колебательный контур индуктивность, ёмкость и сопротивление которого не зависит ни от тока в контуре, ни от напряжения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид

,                                       (9.1)

где S – колеблющаяся величина, = const – коэффициент затухания, 0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы при отсутствии потерь энергии (при = 0) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения (9.1) можно представить в виде

,                                                   (9.2)

где u = u(t). Чтобы определить вид функции u(t) вычислим первую и вторую производные выражения (9.2) и подставим их в (9.1)

Интерес представляет случай, когда . Введём обозначение .                                                (9.3)

Тогда получаем дифференциальное уравнение

,

аналогичное дифференциальному уравнению свободных незатухающих колебаний. Если затухание невелико и выполняется условие , то будут происходить колебания с частотой по закону

.

Следовательно, решение уравнения (9.1) имеет вид

,                                       (9.4)

где                                                   A =                                                 (9.5)

- амплитуда затухающих колебаний, A0 – начальная амплитуда.

Зависимость (9.4) показана на рис. 9.1 сплошной линией, а зависимость (9.5) – штриховыми линиями. Из уравнения (9.4) следует, что система будет совершать колебания с частотой .

Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими, ввиду того, что затухание нарушает периодичность колебаний. Однако если затухание мало и выполняется условие , то можно условно использовать понятия периода и частоты затухающих колебаний. Период затухающих колебаний T (см. рис. 9.1) равен времени между двумя последующими максимумами колеблющейся величины. При малых затуханиях можно считать, что период колебаний остаётся постоянным.

Период затухающих колебаний

.

При увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний T и при = 0 обращается в бесконечность. Это означает, что при
  0 движение системы не будет колебательным. Такие процессы называются апериодическими.

Если A(t) и A(t + T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

- логарифмическим декрементом затухания.

Важной характеристикой колебательной системы является добротность Q – безразмерная величина, равная произведению 2 на отношение энергии W(t) колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t + T, то есть за один период колебания:

.

Так как энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний A(t), то

.

При малых значениях логарифмического декремента затухания

( << 1) (1 – e-2  2) и добротность колебательной системы

                                          (9.6)

(T принято равным T0, так как затухание невелико ()).

Описание лабораторной установки

Рассмотрим колебательный контур – цепь, состоящую из последовательно соединённых катушки индуктивности L, конденсатора ёмкостью С и резистора сопротивлением R (рис. 9.2). Если конденсатор зарядить, сообщив его обкладкам заряд qm и замкнуть цепь, то в контуре начнут совершаться электрические колебания, заключающиеся в периодической перезарядке конденсатора. При этом энергия электрического поля конденсатора будет переходить в энергию магнитного поля катушки и наоборот, а по цепи будет течь переменный по величине и направлению ток I.

Электрические колебания в контуре будут затухающими ввиду того, что сумма энергий конденсатора и катушки будет непрерывно уменьшаться за счёт её преобразования в теплоту, выделяющуюся на резисторе.

Согласно закону Ома для контура можно записать

IR + UC = ES ,

где IR – напряжение на резисторе,  - напряжение на конденсаторе,  - ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке при протекании в ней тока. Следовательно,

.                                            (9.7)

Разделив (9.7) на L и подставив значения  и , получим дифференциальное уравнение колебаний заряда в контуре:

.                                           (9.8)

Поскольку на контур не действуют никакие внешние ЭДС, то колебания в контуре будут свободными. Сопоставляя уравнения (1.1) и (1.8), приходим к выводу, что в колебательном контуре будут происходить свободные затухающие колебания заряда конденсатора по закону

,

где qm – начальное значение заряда.

Сравнивая (9.1) и (9.8), можно также получить:

  и   .

Отсюда, в соответствии с (9.3), получим выражение для частоты колебаний

.

Подставив значения и 0 в (9.6), получим ещё одно выражение для добротности контура

.

Устройства, входящие в состав лабораторной установки, и схема их соединения приведены на рис. 9.3. Основной элемент установки – колебательный контур располагается в лабораторном модуле. На

лицевой панели модуля (

рис. 9.4) расположен пакетный переключатель, с помощью которого можно ступенчато изменять сопротивление контура R, а также изо

бражена электрическая схема опыта.

К гнёздам «П» лабораторного модуля подаётся прямоугольный сигнал от блока формирования импульсов. Напряжение с катушки индуктивности (гнёзда PO) подаётся на усилитель электронного осциллографа. В промежутке между импульсами происходят затухающие колебания в контуре, которые можно наблюдать на экране осциллографа.

порядок проведения измерений

 

      1. Подсоединить кабелем блок формирования импульсов  к лабораторному модулю .

2. Подсоединить кабелем усилитель электронного осциллографа с гнёздами «РО» на лицевой панели модуля.

3. Установить пакетный переключатель на лицевой панели модуля в положение «0».

4. Включить в сеть электронный осциллограф, блок формирования импульсов, источник питания.

5. Установить выходное напряжение источника питания U = 12 В.

6. Получить на экране осциллографа устойчивую картину затухающих колебаний.

7. Измерить на экране осциллографа амплитуды U1(t) и U2(t + nT) затухающих колебаний, разделенных n периодами при положении переключателя «0». Результаты занести в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Положение

переключателя

Число периодов

n

U1(t),

дел.

U2(t + nT),

дел.

0 (R = 0)

1 (R = 100 Ом)

2 (R = 200 Ом)

3 (R = 300 Ом)

4 (R = 400 Ом)

5 (R = 500 Ом)

8. Проделать измерения аналогично п.1 для положений переключателя 1 - 5. Результаты занести в табл. 9.1.

9. Измерить время n, равное продолжительности n периодов колебаний в делениях на экране осциллографа при положении переключателя
«1». Рассчитать период колебаний
Tэ по формуле .

Обработка результатов измерений

1. По формуле  рассчитать логарифмический декремент для разных значений R и построить график = f (R) (рис. 9.5). Значения R, соответствующие различным положениям переключателя, приведены в табл. 9.1.

2. Определить омическое сопротивление Rк катушки как точки пересечения графика с осью абсцисс на рис. 9.5.

3. Рассчитать период колебаний по формуле  и сравнить с экспериментальным значением Тэ. Принять L = 100 мГн, С = 0,1 мкФ.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются затухающими?

2. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

3. При каком условии движение колебательной системы становится апериодическим?

4. Каков физический смысл добротности колебательной системы?

5. От чего зависит частота колебаний в колебательном контуре

изучение затухающих колебаний

            Состав работы:

  •  лабораторный модуль _____________________1 шт.
  •  генератор GFG-8219А____ _________________1 шт.
  •  приборная полка __________________________1 шт.
  •  осциллограф ОСУ 10В_____________________1 шт.

           Параметры работы :

  •  сопротивление резисторов  0, 100,200,300,400,500 Ом, соответственно при положении переключателя  0, 1,2,3,4,5.
  •  ёмкость конденсатора , С =0,1   мкФ.
  •  индуктивность катушки ,L = 260  мГн.
  •  вид сигнала генератора  «меандр»
  •  частота генератора -  60  Гц.

                      

 

лабораторная работа

Изучение вынужденных колебаний

 Цель работы: исследование зависимости напряжения на емкости и тока в колебательном контуре от частоты вынужденных колебаний.

Теоретические положения

Для того чтобы в реальной колебательной системе происходили незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии. Подвод энергии можно осуществлять с помощью некоторого периодически действующего фактора x(t) (например, силы при механических колебаниях), изменяющегося по гармоническому закону

x = x0cost.

Колебания, совершающиеся под действием внешнего периодического воздействия, называются вынужденными колебаниями. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

.                                 (10.1)

Частное решение этого уравнения

S = Acos(t - ),

где - сдвиг по фазе колеблющейся величины относительно внешнего воздействия.

Амплитуда вынужденных колебаний A зависит от . График функции A = f() имеет максимум при некоторой частоте = рез. Величина рез называется резонансной частотой. Можно показать, что для резонансной частоты справедливо соотношение

.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения при вынужденных электрических колебаниях в контуре) к частоте рез называется резонансом. При  значение рез практически совпадает с собственной частотой 0 колебательной системы.

Рассмотрим колебательный контур (рис. 10.2), к которому подключён источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону

U = Umcost,

где Um – амплитудное значение напряжения источника.

 

В таком контуре возникает переменный ток, который вызывает на всех элементах цепи падения напряжения: U = IR на резисторе,  на

катушке и  на конденсаторе. В любой момент времени сумма напряжений на элементах контура равна приложенному извне напряжению

UR + UC + UL = Umcost,

или

.

С учётом соотношений  и , получим дифференциальное уравнение электрических колебаний в контуре

,

полностью совпадающее с уравнением (10.1), из чего следует, что заряд конденсатора совершает колебания по закону

q = qmcos(t - ),                                           (10.2)

а ток по закону

,

где  - сдвиг фаз между током и приложенным к контуру напряжением,  - амплитудное значение тока.

Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на элементах контура приведена на рис. 10.3. Амплитуда Um приложенного извне напряжения равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Из векторной диаграммы следует, что

.

Для прямоугольного треугольника векторов можно также записать

,

откуда получим выражение для амплитуды силы тока (закон Ома для цепи переменного тока)

.

Разделив выражение (10.2) на C, получим закон изменения напряжения на конденсаторе

.

Амплитудное значение напряжения на конденсаторе

.                      (10.3)

Резонансная частота для напряжения на конденсаторе UC равна

.

 

Резонансные кривые для UС  изображены на рис. 10.4. При   0 резонансные кривые сходятся в одной точке с координатой UCm = Um, соответствующей напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения Um. Максимум при резонансе получается тем выше и   резонансная кривая тем острее, чем меньше , т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура.

При малом затухании () резонансную частоту для напряжения можно положить равной 0. Соответственно можно считать, что

.    (10.4)                                      

Используя формулы (10.3) и (10.4) найдём отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе UCmрез к амплитуде внешнего напряжения Um

.

Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе превышает приложенное извне напряжение.

Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 10.5. Амплитуда силы тока Im имеет максимальное значение при . Следовательно, резонансная частота для силы тока не зависит от R и совпадает с собственной частотой контура 0. Графики зависимости I = f() при различных R называются резонансными кривыми колебательного контура.

 

 

   Добротность контура определяет также «остроту» резонансных кривых. На рис. 10.6 изображена одна из резонансных кривых для силы тока в контуре. Частоты 1 и 2 соответствуют току  (отношение амплитуд токов, равному  соответствует отношение мощностей,
равное ). Относительная ширина контура  равна величине, обратной добротности контура .

Явление резонанса используют для выделения из сложного напряжения, равного сумме нескольких синусоидальных напряжений, нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

U = Um1cos(1t + 1) + Um2cos(2t + 2) +…+ Umicos(it + i) +…+ Umncos(nt + n).

Настроив контур (посредством изменения R и C) на требуемую частоту i , можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значе-

ние данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Таким образом осуществляет-

ся, например, настройка радиоприёмника на нужную длину волны.

Описание лабораторной установки

 

В состав лабораторной установки входят (рис. 10.7) генератор, лабораторный модуль и милливольтметр. Вместо милливольтметра в качестве измерительного прибора можно также использовать осциллограф.

Электрическая схема установки изображена на лицевой панели лабораторного модуля (рис. 10.8). К гнёздам «PO» (4-5) на панели модуля подключается через балластное сопротивление R1 = 300 Ом генератор гармонических колебаний, а к гнёздам «PV» электронный вольтметр, служащий для измерения напряжения на емкости или образцовом сопротивлении R0, что дает возможность рассчитать ток в цепи. Генератор можно также подключать к гнёздам 4-6. В этом случае R1 = 0. Общее активное сопротивление контура R = R0 + R1 + Rк , где Rк – омическое сопротивление катушки  индуктивности.

Порядок проведения измерений.

1. Подсоединить к гнёздам «PO» (4-6) генератор гармонических колебаний.

2. Подсоединить к гнёздам (2-3)   электронный вольтметр и установить предел измеряемого переменного напряжения 2 В..

3. Включить генератор гармонических колебаний и установить напряжение не более 0,5 В и в дальнейшем контролировать его с помощью вольтметра в цепи (5-4).

4. Изменяя частоту генератора,  определить максимальное значение напряжения U0 max при резонансе и записать величину этого напряжения и значения резонансной частоты р.

5. Изменяя частоту генератора в пределах 0,01 р  г  30 р , где р – резонансная частота, снять зависимость U0 = IR0, проделав 15 – 20 измерений. Измерения вблизи р следует производить с минимально возможным шагом по частоте.. Результаты занести в табл. 10.1.

      6. Закоротить резистор R1 и проделать измерения, что в пп.4,5.

Таблица 10.1

R1 = 0

R1 = 150 Ом

U0 max =           р = …

U0 max =            р = …

, Гц

U0, В

I1, мкА

UC1, В

, Гц

U0, В

I2, мкА

UC2, В

.

.

7. Подключить вольтметр к гнёздам 1-2 и снять зависимость UC = f () при тех же значениях частоты, что и в п. 2. Результаты занести в табл. 10.1.

8.Измерить резонансную частоту при различных значениях ёмкости конденсатора.

                               Обработка результатов измерений

1. По формуле I = U0/R0 рассчитать значения тока в контуре и результаты расчетов занести в табл. 10.1. Принять R0 = 10 Ом.

2. Построить графики зависимости I1 = f () и I2 = f () (рис. 3.3), где I1 - ток в контуре при R1 = 0, а I2 - ток в контуре при R1 = 300 Ом.

3. Отложить на графике, соответствующем R1 = 0, (рис. 10.9) величину
и определить значение частот
1 и 2.

4. Рассчитать добротность контура по формуле .

5. Используя теоретичес-кое значение величины добротности  и экспериментальное значение добротности  определить сопротивление контура R.

6. Построить графики зависимости UC = f () для случаев R1 = 0 и R1 = 150 Ом
(рис. 10.10).

7. Рассчитать по формуле  значения

частоты при которой напряжение на конденсаторе достигает максимальной величины (при резонансе) и сравнить с частотой с1, полученной экспериментально.

Принять = R/2L.

8. Проделать п. 3 – 7 для случая R1 = 150 Ом. Сравнить полученные результаты.

9. Определить с помощью графиков UC = f() значение напряжения на генераторе Uг.

    10. Построить зависимость                                  и по тангенсу угла наклона определить значение индуктивности катушки.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются вынужденными?

2. Записать дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

3. Что называется резонансом?

4. Каков физический смысл добротности при резонансе в колебательном контуре?

5. Пояснить физическую сущность использования явления резонанса в радиотехнике.

 

ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Состав работы:

                                                                                                                                                                      генератор гармонических колебаний (GFG8219А)_________ 1 шт.

                           электронный осциллограф (ОСУ – 10В )__________________1шт.

                           микромультиметр (MY - 67)_____ ______________________1_шт.

                            адаптер ( AC AD )_____________________________________1шт.

  •  приборная полка _____________________________________1 шт.

 Параметры работы:

  •  сопротивление резисторов R0=10,0 Ом, R1=60,0 Ом,
  •  сопротивление катушки ирдуктивности  R = 100,0 Ом,
  •  ёмкость конденсатора : 1  – 0,05  мкФ, 2 – 0,1 мкФ,  3 – 0,22 мкф,
  •   4 – 0,31 мкФ, 5 – 0,44  мкФ.
  •  индуктивность катушки L= 240   мГн.

.

3. ФОРМА И ПОРЯДОК РАСЧЁТА

3.1. Стоимость найма____________________________________________

3.2. Оплата производится _____ числа каждого месяца за месяц вперёд.

3.3. Квартплата и коммунальные платежи призводятся________________

За электроэнергию и телефонные разговоры платит НАНИМАТЕЛЬ.

Показание электросчётчика _______________________________________

4. СРОК ДЕЙСТВИЯ ДОГОВОРА

4.1.Договор считается заключённым с момента его подписания.

4.2. Договор может быть расторгнут раньше указанного срока по взаимному соглашению сторон. При этом производится перерасчёт платежей в соответствии

с условиями настоящего договора и согласно фактическому количеству дней,

прожитых НАНИМАТЕЛЕМ в квартире.

4.3. В случае досрочного расторжения договора стороны обязуются сообщить об

этом не менее, чем за две недели до дня расторжения.

4.4. Договор может быть продлён по взаимному решению сторон с указанием

нового срока.

4.5. Договор подлежит досрочному расторжению по требованию НАЙМОДАТЕЛЯ:

    - если НАНИМАТЕЛЬ умышленно портит или разрушает жилое помещение,

    - если НАНИМАТЕЛЬ своевременно не вносит плату,

    - если НАНИМАТЕЛЬ систематически нарушает обязанности по договору.

4.6. Настоящий договор составлен в двух экземплярах (НАНИМАТЕЛЮ и

НАЙМОДАТЕЛЮ), каждый из которых имеет одинаковую юридическую силу.

5. ОТВЕТСТВЕННОСТЬ СТОРОН

5.1. Все денежные взаиморасчёты между НАНИМАТЕЛЕМ и НАЙМОДАТЕЛЕМ

производятся по взаимному согласию и взаимной ответственности.

5.2. Оплата за междугородние телефонные разговоры за последний месяц

проживания осуществляется в форме залога. Залог вносится НАНИМАТЕЛЕМ в

процессе проживания и составляет сумму, равную максимальной месячной  оплате

за телефонные переговоры. Залог возвращается НАНИМАТЕЛЮ после расчёта за

телефонные переговоры.

5.3.Все споры и разногласия, возникающие в связи с исполнением настоящего

договора, стороны разрешают путём переговоров. При не достижении согласия

споры разрешаются в установленном законом порядке.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6954. Бэкон и его индуктивный метод 113 KB
  Бэкон и его индуктивный метод Введение Имя Фрэнсиса Бэкона - из числа тех имен в истории человечества, которые не принадлежат безраздельно какой-то одной отрасли знания, культуры или политики, как не принадлежат они одной эпохе или одной стране. Он ...
6955. Рационалистическая философия Декарта. Учение о субстанции 96 KB
  Рационалистическая философия Декарта. Учение о субстанции Декарт - основоположник рационализма, значение его философии. Основоположником рационализма считается Рене Декарт (1596 – 1650) - видный французский философ и ученый математик....
6956. Спиноза: учение о субстанции 26 KB
  Б. Спиноза: учение о субстанции Слабым пунктом учения Декарта был неопределенный статус субстанций: с одной стороны, подлинным бытием обладала только бесконечная субстанция - Бог, а конечные, то есть сотворенные, субстанции находились в зависим...
6957. Дільниця технічного обслуговування та поточного ремонту автомобілів КАВЗ-3270 ТА ПАЗ-32054 549 KB
  Важливі науково-технічні відкриття привели до корінних змін у структурі світової економіки, індустріалізації побуту включили у сферу виробництва і збуту нові моделі машин, устаткування, нові матеріали і технології змінили організацію вир...
6958. Визначення зусилля і питоме зусилля об’ємного осаджування циліндричної заготовки d=200мм і висотою h=300мм, інженерним методом розрахунків 147.5 KB
  Теоретичні відомості Осадкою називають технологічну операцію, за допомогою якої зменшують висоту заготівки з одночасним збільшенням її поперечних розмірів. У технологічних процесах кування осадка застосовуємся, як основна так і попередня операція...
6959. Економіка праці та соціально-трудових відносин 703 KB
  Тема1 Ринок праці в економічній системі План лекції: 1.Поняття ринку праці, його елементи і функції 2.Структура, типи і сегменти ринків праці 3.Теоретичні основи аналізу ринку праці Рекомендована література до теми: 1. Богиня Д. П. Основи економік...
6960. Проектирование винтового горизонтального конвейера 248 KB
  Задание Спроектировать винтовой горизонтальный конвейер со следующими параметрами: Производительность Q = 4 т/ч Длина конвейера L = 15 м Транспортируемый материал– зола сухая. Рис.1 Схема винтового конвейера...
6961. Экономика предприятия. Учебный курс 1.58 MB
  В учебном пособии Экономика предприятий дается представление о производственном предприятии как целостной организационно-экономической и социальной системе. Подробно рассмотрены темы, касающиеся обоснования потребности предприятия в основных ресурса...
6962. Назначение режима резания при сверлении, зенкеровании и развертывании 143 KB
  Назначение режима резания при сверлении, зенкеровании и развертывании Цель работы: изучить методику назначения режимов резания по таблицам нормативов. Ознакомиться и приобрести навыки работы с нормативами. Задание: На вертикально-сверлильном станке ...