26495

Основные типы вероятностных задач и критериев оценки решения

Реферат

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Например допустим рассматривается детерминированная система на вход которой через равные промежутки времени Т1 поступают работы.ожидания времени простоя на стоимость 1ой единицы времени их работы зарплата отнесенная к суммарному фонду рабочего времени. 2 Математический аппарат используемый при разработке модели ПР Для конструирования вероятностных моделей ПР примем аппарат случайных процессов: Процесс называется случайным если для каждого момента времени его состояние представляет собой случайную величину. Если переходы между...

Русский

2013-08-18

30.14 KB

8 чел.

  1.  Основные типы вероятностных задач и критериев оценки решения.

В рассматриваемых ранее моделях предполагалось, что параметры решаемых задач принимают строго определенные значения, их называют детерминированными значениями.

В реальной практике при решении задач часто бывает известен диапазон изменения параметров и заданы плотности распределения вероятности. Такие задачи относят к вероятностным моделям ТПР.

При упрощенном подходе такие задачи можно решать как модели с детерминированными параметрами с последующей заменой в полученных выражениях детерминированных значений на количественные характеристики случайных величин (мат.ожидание, дисперсия). Однако, при более строгом подходе отказ от учета вероятностной природы распределения может привести к серьезным ошибкам в полученных результатах – это связано с тем, что вероятностный характер параметров приводит к появлению новых свойств, которые отсутствуют в детерминированных системах.

Например, допустим рассматривается детерминированная система, на вход которой через равные промежутки времени Т1 поступают работы. Эти работы обслуживаются прибором , которые обеспечивают время обслуживания Т2. Если Т12 , то очереди перед прибором не возникают. Допустим, что длительность интервала между работами представляет собой вероятностную величину, плотность ее вероятности задана функцией f(t)=λet , мат.ожидание этой величины Т1. Т.е. в среднем интенсивность поступления заявок λ. В системе возникает новой свойство – очередь, и эта очередь вызывается случайным характером поступления заявок.

Следовательно при конструировании модели функционирования системы необходимо учитывать наличие очереди работ ожидающих освобождения прибора.

К основным вероятностным моделям ПР относят, как правило:

  1.  Управляемые марковские процессы;
  2.  Сети и системы массового обслуживания;
  3.  Модели управления запасами;
  4.  Модели замены оборудования;
  5.  Вероятностные деревья решений.

Следует обратить внимание на то, что при использовании вероятностных моделей определенную сложность представляет выбор критерия оптимальности принятого решения, - это связано с тем, что в выражение, которое описывает выбранный критерий входят случайные величины, и при решении задачи необходимо прогнозировать их поведение. В этом случае применяемые критерии (или характеристика, выбранная в качестве критерия) также является случайной величиной.

В качестве критерия оптимальности могут быть выбраны:

- мат.ожидание характеристики;

- алгебраическая комбинация мат.ожидания и дисперсии некоторой величины;

- наиболее вероятное значение характеристики;

- вероятность наступления определенного события

Характеристика мат.ожидания

В качестве примера использования мат.ожидания как характеристики случайного процесса можно рассматривать модель оптимизации численности сотрудников научно-технической и учебной библиотеки университета.

Анализ системы «сотрудник библиотеки - читатель» показывает, что можно выделить 2 составляющие, которые оказывают влияние на величину суммарных убытков, которая может быть предложена в качестве критерия оптимальности:

  1.  Убытки, связанные с простоем сотрудников из-за отсутствия читателей; величина этих убытков вычисляется как произведение мат.ожидания времени простоя на стоимость 1-ой единицы времени их работы (зарплата отнесенная к суммарному фонду рабочего времени). Видно, что при увеличении количества сотрудников – затрата на зарплату увеличивается.
  2.  Потери, которые  вызваны ожиданием в очереди студентов.

Алгебраическая комбинация мат.ожидания и дисперсии

Смысл этого критерия состоит в том, что из 2-х вариантов конкурирующих решений имеющих одно и то же значение мат.ожидания, в качестве оптимального необходимо выбрать тот вариант, в котором величина дисперсии меньше.

Например, если существует 2 альтернативных варианта решений, для которых известны мат.ожидания mа и mв и дисперсии Dа и Dв , то возможны следующие комбинации этих числовых характеристик:

  1.  mа >= mв         ,         Dа<=Dв
  2.  mа = mв             ,         Dа<=Dв
  3.  mа >= mв          ,       Dа=Dв
  4.  mа >= mв         ,         Dа>=Dв
  5.  mа <= mв         ,         Dа<=Dв  .

Из этой схемы видно, что в комбинациях 1,2,3 в качестве оптимального необходимо выбрать вариант А. В комбинациях 4,5 решение зависит от отношения к риску человека принимающего решение. Учитывая, что риск определяется величиной разброса результата (т.е. дисперсией) в комбинации 4 вариант выбора обеспечивает более высокую среднюю эффективность, однако он характеризуется большим значением степени риска. В комбинации 5 тоже нет однозначности: вариант А менее рисковый, но его эффективность ниже. Для окончательного выбора в комбинациях 4,5 необходимо использовать постулаты теории Неймана-Моргенштерна, либо применять интегральный критерий содержащий алгебраическую сумму мат.ожидания и дисперсии с некоторыми весовыми коэффициентами.

Наиболее вероятное значение характеристики

Данный тип критерия предполагает, что существует ряд значений характеристики, и для каждого значения известна его вероятность. В качестве критерия выбирается значение имеющее наибольшую вероятность. В таких задачах в процессе принятия решений необходимо выбрать стратегию, которая максимизирует это значение.

Вероятность наступления определенного события

Этот тип критерия связан с определением вероятности наступления какого-либо события и состоит в выборе таких решений, которые либо максимизируют, либо минимизируют вероятность этого события. Например, в качестве такого события можно рассматривать отказ вычислительной системы, либо нарушение срока выполнения работ.

2) Математический аппарат используемый при разработке модели ПР

Для конструирования вероятностных моделей ПР примем аппарат случайных процессов:

Процесс называется случайным, если для каждого момента времени его состояние представляет собой случайную величину.

В основу классификации случайных процессов как правило вкладывают 3 характеристики:

  1.  Пространство состояний
  2.  Индексирующий параметр
  3.  Статистические зависимости между случайными значениями процесса

Пространство состояний --- множество значений случайного процесса. При этом различают процессы с дискретным и непрерывным множеством состояний. Процессы с дискретным множеством состояний характеризуются тем, что множество возможных значений является конечным и обычно называется цепями. Процессы, для которых доступны множество значений представляют собой конечный и бесконечный интервал --- процессы с непрерывным множеством состояний.

В качестве индексирующего параметра, как правило, используется время.

Если переходы между состояниями возможны в фиксируемые моменты времени, то такие процессы относят к процессам с дискретным временем. Статистические зависимости между случайными значениями процесса задаются функцией совместного распределения вероятностей.

Случайный процесс называется Марковским, если его дальнейшее развитие определяется только тем состоянием, в котором он находится в настоящий момент времени и не зависит от предыстории попадания процесса в это состояние. Случайный процесс обладающий такими свойствами был предложен  А. А. Марковым в 1907 году. Марковский процесс с дискретным состоянием называется цепью Маркова. То есть множество случайных величин{xn , n>=0} образует цепь Маркова если следующее состояние Xn+1 определяется только значением текущего состояния Хn и не зависит от предыдущих значений процесса. В цепи Маркова дискретным временем изменения состояния могут происходить только в моменты, представляемые натуральным рядом чисел.

Аналитическое выражение, описывающее Марковский процесс:

P [xn+1=Sn+1/xn=Sn, xn-1=Sn-1… x1=S1] = P[xn+1=Sn+1/xn=Sn]

Анализируемый процесс в момент времени Xn+1 находится в состоянии Sn+1 при условии, что в момент Xn он находился в состоянии Sn. В этом выражении x1,2…n --- это последовательность случайных величин для дискретных моментов времени, S1,2…n  ---- значение случайного процесса в соответствующие дискретные моменты. Цепи Маркова с непрерывным моментом времени характеризуются тем, что изменения состояния могут происходить в любой момент времени :

P[x(tn+1)=Sn+1/x(tn)=Sn, x(tn-1)= Sn-1… x(t1)=S1] = =P[x(tn+1)=Sn+1/x(tn)=Sn]

Анализируемый процесс в момент времени tn+1 находится в состоянии Sn+1 при условии что в момент времени tn он находится в состоянии Sn, в момент tn-1 в состоянии Sn-1

t1<t2<….<tn <tn+1

С одной стороны изменение состояний осуществляется в произвольные моменты времени следовательно для описания такого процесса в число характеристик целесообразно ввести дополнительные компоненты ---- время, в течении которого процесс уже находится в текущем состоянии. Однако с  другой стороны,это дополнение процесса, а именно свойству отсутствия последствия. В то же время существует распределение непрерывно случайной величины обладающей свойством отсутствия последствия

fi(t)=λi ei t

  ------ среднее пребывания системы в і-м состоянии(интенсивность)

fi (t) ---- плотность распределения вероятностей времени пребывания системы в і-м состоянии. Распределение времени оставшегося до перехода в следующее состояние при условии, что процесс  уже пребывает в текущем состоянии с некоторым  моментом времени t0 тождественно равно безусловному распределению  времени пребывания в текущем состоянии :

P[T<=(t+t0)/ T>=T0] = 1- et

Для цепи Маркова с дискретным временем длительность пребывания процесса в каждом из состояний подчинена дискретному распределению без последствия. Дискретные цепи Маркова описываются матрицами переходных вероятностей.

R=||rij ||

rij ------ условная вероятность того, что процесс в момент времени tn+1 находится в состоянии j при условии, что в момент tn он находится в состоянии i.

rij = P (x(tn+1) = j / x(tn)=i)       i=1……n;   j = 1……n;

При этом элементы матрицы rij принимает значения от 0 до 1.

Сумма элементов в каждой строке равна 1.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40240. Понятие об экономической эффективности и проблемы ее повышения в сельском хозяйстве 36 KB
  Прибыль убыток полученные от применения удобрений эффективность руб. Экономическую эффективность сельскохозяйственного производства характеризуют валовой и чистый доход прибыль уровень рентабельности окупаемость затрат. Прибыль как экономическая категория характеризует финансовый результат предпринимательской деятельности предприятия. Различают валовую прибыль прибыль от реализации продукции и услуг чистую прибыль.
40241. Понятие ошибок и недобросовестных действий аудитора 32 KB
  Ошибка непреднамеренное искажение в финансовой бухгалтерской отчетности в том числе неотражение какоголибо числового показателя или нераскрытие какойлибо информации. В настоящем федеральном правиле стандарте аудиторской деятельности рассматриваются только недобросовестные действия являющиеся причиной существенных искажений финансовой бухгалтерской отчетности. Различают два типа преднамеренных искажений возникающих в результате недобросовестных действий рассматриваемых в ходе аудита: искажения возникающие в процессе...
40242. Понятие производительности труда, показатели, факторы и пути повышения 31.5 KB
  Производительность труда – это способность конкретного труда работников производить определенное количество продукции или выполнять определенный объем работ в единицу рабочего времени. Чем больше производится продукции в единицу рабочего времени или чем меньше затрачивается времени на производство единицы продукции тем выше производительность труда. Уровень производительности труда трудоотдача рассчитывают делением количества соответствующего вида продукции сельского хозяйства в натуральном или денежном выражении или объема...
40243. Понятие собственного капитала организации‚ характеристика его элементов 29 KB
  Собственный капитал состоит из уставного капитала добавочного капитала резервного капитала нераспределенной прибыли целевого финансирования. В настоящее время для характеристики той части собственного капитала размер которой указывается в учредительных документах используют понятия Уставной капитал Складочный капитал Уставной фонд паевой фонд. Уставной капитал – совокупность в денежном выражении вкладов долей акций по номинальной стоимости учредителей участников в имущество организации при её создании для обеспечения...
40244. Понятие состав и структура внеоборотных активов 39 KB
  Вложения во внеоборотные активы подразделяются на затраты связанные: с созданием объектов основных средств путем осуществления капитального строительства в форме нового строительства а также реконструкции расширения и технического перевооружения действующих объектов производственной и непроизводственной сферы; с приобретением земельных участков объектов природопользования и отдельных объектов основных средств зданий сооружений оборудования транспортных средств и других отдельных объектов основных средств или их частей; с...
40245. Понятие состав и структура, оборотных активов и учет производственных запасов 63.5 KB
  К бухгалтерскому учету в качестве МПЗ принимаются активы: используемые для продажи включая готовую продукцию и товары; используемые в качестве сырья материалов и т. Счет 10 Материалы предназначен для обобщения информации о наличии и движении сырья материалов топлива запасных частей инвентаря и хозяйственных принадлежностей тары и тому подобных ценностей организации в том числе находящихся в пути и переработке. Оприходование материалов фактически поступивших в организацию отражается записью по дебету счета 10 Материалы и...
40246. Понятие существенности в процессе аудит.проверки 39.5 KB
  проверки Существенность это вероятность того что применяемые аудиторские процедуры позволяют определить наличие ошибки в отчетности экономического субъекта и оценить их влияние на принятие соответствующих решений ее пользователями. Информация об отдельных активах обязательствах доходах расходах и хозяйственных операциях а также составляющих капитала считается существенной если ее искажение может повлиять на экономические решения пользователей принятые на основе финансовой бухгалтерской отчетности. Аудитор не может выразить мнение о...
40247. Понятие учетной политики. Задачи учетной политики 30.5 KB
  Задачи учетной политики. В ряде случаев законные и обоснованные положения приказа об учетной политике более весомы нежели письма и разъяснения Минфина РФ МНС России территориальных налоговых инспекций. Согласно Положению под учетной политикой организации понимается принятая ею совокупность способов ведения бухгалтерского учета первичного наблюдения стоимостного измерения текущей группировки и итогового обобщения фактов хозяйственной деятельности.
40248. Понятие, состав и источники формирования финансовых ресурсов 31.5 KB
  В учебной литературе так же даются различные толкования финансовых ресурсов. Впервые оно было введено при составлении первого 5 летнего плана СССР когда был составлен баланс финансовых ресурсов страны.Признаки финансовых ресурсов:1.