26495

Основные типы вероятностных задач и критериев оценки решения

Реферат

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Например допустим рассматривается детерминированная система на вход которой через равные промежутки времени Т1 поступают работы.ожидания времени простоя на стоимость 1ой единицы времени их работы зарплата отнесенная к суммарному фонду рабочего времени. 2 Математический аппарат используемый при разработке модели ПР Для конструирования вероятностных моделей ПР примем аппарат случайных процессов: Процесс называется случайным если для каждого момента времени его состояние представляет собой случайную величину. Если переходы между...

Русский

2013-08-18

30.14 KB

8 чел.

  1.  Основные типы вероятностных задач и критериев оценки решения.

В рассматриваемых ранее моделях предполагалось, что параметры решаемых задач принимают строго определенные значения, их называют детерминированными значениями.

В реальной практике при решении задач часто бывает известен диапазон изменения параметров и заданы плотности распределения вероятности. Такие задачи относят к вероятностным моделям ТПР.

При упрощенном подходе такие задачи можно решать как модели с детерминированными параметрами с последующей заменой в полученных выражениях детерминированных значений на количественные характеристики случайных величин (мат.ожидание, дисперсия). Однако, при более строгом подходе отказ от учета вероятностной природы распределения может привести к серьезным ошибкам в полученных результатах – это связано с тем, что вероятностный характер параметров приводит к появлению новых свойств, которые отсутствуют в детерминированных системах.

Например, допустим рассматривается детерминированная система, на вход которой через равные промежутки времени Т1 поступают работы. Эти работы обслуживаются прибором , которые обеспечивают время обслуживания Т2. Если Т12 , то очереди перед прибором не возникают. Допустим, что длительность интервала между работами представляет собой вероятностную величину, плотность ее вероятности задана функцией f(t)=λet , мат.ожидание этой величины Т1. Т.е. в среднем интенсивность поступления заявок λ. В системе возникает новой свойство – очередь, и эта очередь вызывается случайным характером поступления заявок.

Следовательно при конструировании модели функционирования системы необходимо учитывать наличие очереди работ ожидающих освобождения прибора.

К основным вероятностным моделям ПР относят, как правило:

  1.  Управляемые марковские процессы;
  2.  Сети и системы массового обслуживания;
  3.  Модели управления запасами;
  4.  Модели замены оборудования;
  5.  Вероятностные деревья решений.

Следует обратить внимание на то, что при использовании вероятностных моделей определенную сложность представляет выбор критерия оптимальности принятого решения, - это связано с тем, что в выражение, которое описывает выбранный критерий входят случайные величины, и при решении задачи необходимо прогнозировать их поведение. В этом случае применяемые критерии (или характеристика, выбранная в качестве критерия) также является случайной величиной.

В качестве критерия оптимальности могут быть выбраны:

- мат.ожидание характеристики;

- алгебраическая комбинация мат.ожидания и дисперсии некоторой величины;

- наиболее вероятное значение характеристики;

- вероятность наступления определенного события

Характеристика мат.ожидания

В качестве примера использования мат.ожидания как характеристики случайного процесса можно рассматривать модель оптимизации численности сотрудников научно-технической и учебной библиотеки университета.

Анализ системы «сотрудник библиотеки - читатель» показывает, что можно выделить 2 составляющие, которые оказывают влияние на величину суммарных убытков, которая может быть предложена в качестве критерия оптимальности:

  1.  Убытки, связанные с простоем сотрудников из-за отсутствия читателей; величина этих убытков вычисляется как произведение мат.ожидания времени простоя на стоимость 1-ой единицы времени их работы (зарплата отнесенная к суммарному фонду рабочего времени). Видно, что при увеличении количества сотрудников – затрата на зарплату увеличивается.
  2.  Потери, которые  вызваны ожиданием в очереди студентов.

Алгебраическая комбинация мат.ожидания и дисперсии

Смысл этого критерия состоит в том, что из 2-х вариантов конкурирующих решений имеющих одно и то же значение мат.ожидания, в качестве оптимального необходимо выбрать тот вариант, в котором величина дисперсии меньше.

Например, если существует 2 альтернативных варианта решений, для которых известны мат.ожидания mа и mв и дисперсии Dа и Dв , то возможны следующие комбинации этих числовых характеристик:

  1.  mа >= mв         ,         Dа<=Dв
  2.  mа = mв             ,         Dа<=Dв
  3.  mа >= mв          ,       Dа=Dв
  4.  mа >= mв         ,         Dа>=Dв
  5.  mа <= mв         ,         Dа<=Dв  .

Из этой схемы видно, что в комбинациях 1,2,3 в качестве оптимального необходимо выбрать вариант А. В комбинациях 4,5 решение зависит от отношения к риску человека принимающего решение. Учитывая, что риск определяется величиной разброса результата (т.е. дисперсией) в комбинации 4 вариант выбора обеспечивает более высокую среднюю эффективность, однако он характеризуется большим значением степени риска. В комбинации 5 тоже нет однозначности: вариант А менее рисковый, но его эффективность ниже. Для окончательного выбора в комбинациях 4,5 необходимо использовать постулаты теории Неймана-Моргенштерна, либо применять интегральный критерий содержащий алгебраическую сумму мат.ожидания и дисперсии с некоторыми весовыми коэффициентами.

Наиболее вероятное значение характеристики

Данный тип критерия предполагает, что существует ряд значений характеристики, и для каждого значения известна его вероятность. В качестве критерия выбирается значение имеющее наибольшую вероятность. В таких задачах в процессе принятия решений необходимо выбрать стратегию, которая максимизирует это значение.

Вероятность наступления определенного события

Этот тип критерия связан с определением вероятности наступления какого-либо события и состоит в выборе таких решений, которые либо максимизируют, либо минимизируют вероятность этого события. Например, в качестве такого события можно рассматривать отказ вычислительной системы, либо нарушение срока выполнения работ.

2) Математический аппарат используемый при разработке модели ПР

Для конструирования вероятностных моделей ПР примем аппарат случайных процессов:

Процесс называется случайным, если для каждого момента времени его состояние представляет собой случайную величину.

В основу классификации случайных процессов как правило вкладывают 3 характеристики:

  1.  Пространство состояний
  2.  Индексирующий параметр
  3.  Статистические зависимости между случайными значениями процесса

Пространство состояний --- множество значений случайного процесса. При этом различают процессы с дискретным и непрерывным множеством состояний. Процессы с дискретным множеством состояний характеризуются тем, что множество возможных значений является конечным и обычно называется цепями. Процессы, для которых доступны множество значений представляют собой конечный и бесконечный интервал --- процессы с непрерывным множеством состояний.

В качестве индексирующего параметра, как правило, используется время.

Если переходы между состояниями возможны в фиксируемые моменты времени, то такие процессы относят к процессам с дискретным временем. Статистические зависимости между случайными значениями процесса задаются функцией совместного распределения вероятностей.

Случайный процесс называется Марковским, если его дальнейшее развитие определяется только тем состоянием, в котором он находится в настоящий момент времени и не зависит от предыстории попадания процесса в это состояние. Случайный процесс обладающий такими свойствами был предложен  А. А. Марковым в 1907 году. Марковский процесс с дискретным состоянием называется цепью Маркова. То есть множество случайных величин{xn , n>=0} образует цепь Маркова если следующее состояние Xn+1 определяется только значением текущего состояния Хn и не зависит от предыдущих значений процесса. В цепи Маркова дискретным временем изменения состояния могут происходить только в моменты, представляемые натуральным рядом чисел.

Аналитическое выражение, описывающее Марковский процесс:

P [xn+1=Sn+1/xn=Sn, xn-1=Sn-1… x1=S1] = P[xn+1=Sn+1/xn=Sn]

Анализируемый процесс в момент времени Xn+1 находится в состоянии Sn+1 при условии, что в момент Xn он находился в состоянии Sn. В этом выражении x1,2…n --- это последовательность случайных величин для дискретных моментов времени, S1,2…n  ---- значение случайного процесса в соответствующие дискретные моменты. Цепи Маркова с непрерывным моментом времени характеризуются тем, что изменения состояния могут происходить в любой момент времени :

P[x(tn+1)=Sn+1/x(tn)=Sn, x(tn-1)= Sn-1… x(t1)=S1] = =P[x(tn+1)=Sn+1/x(tn)=Sn]

Анализируемый процесс в момент времени tn+1 находится в состоянии Sn+1 при условии что в момент времени tn он находится в состоянии Sn, в момент tn-1 в состоянии Sn-1

t1<t2<….<tn <tn+1

С одной стороны изменение состояний осуществляется в произвольные моменты времени следовательно для описания такого процесса в число характеристик целесообразно ввести дополнительные компоненты ---- время, в течении которого процесс уже находится в текущем состоянии. Однако с  другой стороны,это дополнение процесса, а именно свойству отсутствия последствия. В то же время существует распределение непрерывно случайной величины обладающей свойством отсутствия последствия

fi(t)=λi ei t

  ------ среднее пребывания системы в і-м состоянии(интенсивность)

fi (t) ---- плотность распределения вероятностей времени пребывания системы в і-м состоянии. Распределение времени оставшегося до перехода в следующее состояние при условии, что процесс  уже пребывает в текущем состоянии с некоторым  моментом времени t0 тождественно равно безусловному распределению  времени пребывания в текущем состоянии :

P[T<=(t+t0)/ T>=T0] = 1- et

Для цепи Маркова с дискретным временем длительность пребывания процесса в каждом из состояний подчинена дискретному распределению без последствия. Дискретные цепи Маркова описываются матрицами переходных вероятностей.

R=||rij ||

rij ------ условная вероятность того, что процесс в момент времени tn+1 находится в состоянии j при условии, что в момент tn он находится в состоянии i.

rij = P (x(tn+1) = j / x(tn)=i)       i=1……n;   j = 1……n;

При этом элементы матрицы rij принимает значения от 0 до 1.

Сумма элементов в каждой строке равна 1.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45734. Ю. Хабермас. Моральное сознание и коммуникативное действие 38 KB
  Действия в этих мирах выражаются в языке. Теория коммуникативного действия: центром усилий Хабермаса различение противопоставление инструментального и коммуникативного действия. Воплощение инструментального действия сфера труда. При совершении инструментального действия реализуются определенные цели осуществляются предсказания касающиеся последствий данного действия.
45735. Хайдеггер. Бытие и время 47 KB
  Бытие и время. Бытиевмире вообще как основоустройство присутствия Гл. Бытиевмире как событие и бытие самости. Бытиев как таковое Гл.
45736. Диалектика просвещения. Философские фрагменты 23 KB
  В книге описывается саморазрушение просвещения и его возвращение к мифологии с которой оно боролось столетиями. Первый называется Понятие просвещения.
45737. Философические письма 42.5 KB
  Окидывая взглядом историю России Чаадаев обнаруживает в ней мрачное и тусклое существование где нет внутреннего развития. Чаадаев противник идеи множественности цивилизаций ибо неевропейские формы быта он рассматривает как нелепые отступления . Смысл же России Чаадаев видит в следующем: Мы жили и сейчас еще живем для того чтобы преподать какойто великий урок отдаленным потомкам Последующие письма Во втором письме Чаадаев подвергает критике православие за то что оно в отличие от западного христианства не способствовало освобождению...
45738. Шелер. Положение человека в космосе 37.5 KB
  Положение человека в космосе. Макс Шелер 18741928 Очерк Положение человека в космосе рассуждение о богоподобии человека. антроплогия имеет предметом определение человека его места. Сущность человека – переход от животного к божественному.
45739. Теоретические источники идей Шопенгауэра 39.5 KB
  Эти теории объединяет присутствующая в античной мифологии идея о том что мир в котором мы живем не является единственной реальностью что существует другая реальность которая не постигается разумом и наукой но без учета влияния которой становится противоречивой наша собственная жизнь. Опираясь на учение Канта Шопенгауэр пишет: Кантовский идеализм показывает что весь материальный мир с его телами протяженными в пространстве и находящимися посредством времени в отношении причинности друг к другу и всем с этим связанным не есть нечто...
45740. Давид Юм «Трактат о человеческой природе» 35.5 KB
  Ассоциация по сходству похожесть ассоциация по смежности в пространстве и времени ассоциация по причинности Юм выступает против понятия абстрактной идеи требуя ее элиминации из философского рассмотрения поскольку идеи выступают слабыми копиями впечатлений а для абстрактных идей невозможно указать какоелибо из впечатлений которое было бы их источником. В центре гносеологической концепции Юма анализ идеи причинности. Идея причинности образуется из следующих эмпирических отношений между объектами: смежности в пространстве и времени...
45741. Никомахова этика 22 KB
  Никомахова этикаАристотель утверждает что предметом его этики является счастье которое он определяет как деятельность души в полноте добродетели. Аристотель делит все добродетели на нравственные или этические и мыслительные или разумные или дианоэтические. Каждая из этических добродетелей представляет собой середину между крайностями; Аристотель называет такие этические добродетели: кротость мужество умеренность щедрость величавость великодушие честолюбие ровность правдивость любезность дружелюбие справедливость...