26495

Основные типы вероятностных задач и критериев оценки решения

Реферат

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Например допустим рассматривается детерминированная система на вход которой через равные промежутки времени Т1 поступают работы.ожидания времени простоя на стоимость 1ой единицы времени их работы зарплата отнесенная к суммарному фонду рабочего времени. 2 Математический аппарат используемый при разработке модели ПР Для конструирования вероятностных моделей ПР примем аппарат случайных процессов: Процесс называется случайным если для каждого момента времени его состояние представляет собой случайную величину. Если переходы между...

Русский

2013-08-18

30.14 KB

8 чел.

  1.  Основные типы вероятностных задач и критериев оценки решения.

В рассматриваемых ранее моделях предполагалось, что параметры решаемых задач принимают строго определенные значения, их называют детерминированными значениями.

В реальной практике при решении задач часто бывает известен диапазон изменения параметров и заданы плотности распределения вероятности. Такие задачи относят к вероятностным моделям ТПР.

При упрощенном подходе такие задачи можно решать как модели с детерминированными параметрами с последующей заменой в полученных выражениях детерминированных значений на количественные характеристики случайных величин (мат.ожидание, дисперсия). Однако, при более строгом подходе отказ от учета вероятностной природы распределения может привести к серьезным ошибкам в полученных результатах – это связано с тем, что вероятностный характер параметров приводит к появлению новых свойств, которые отсутствуют в детерминированных системах.

Например, допустим рассматривается детерминированная система, на вход которой через равные промежутки времени Т1 поступают работы. Эти работы обслуживаются прибором , которые обеспечивают время обслуживания Т2. Если Т12 , то очереди перед прибором не возникают. Допустим, что длительность интервала между работами представляет собой вероятностную величину, плотность ее вероятности задана функцией f(t)=λet , мат.ожидание этой величины Т1. Т.е. в среднем интенсивность поступления заявок λ. В системе возникает новой свойство – очередь, и эта очередь вызывается случайным характером поступления заявок.

Следовательно при конструировании модели функционирования системы необходимо учитывать наличие очереди работ ожидающих освобождения прибора.

К основным вероятностным моделям ПР относят, как правило:

  1.  Управляемые марковские процессы;
  2.  Сети и системы массового обслуживания;
  3.  Модели управления запасами;
  4.  Модели замены оборудования;
  5.  Вероятностные деревья решений.

Следует обратить внимание на то, что при использовании вероятностных моделей определенную сложность представляет выбор критерия оптимальности принятого решения, - это связано с тем, что в выражение, которое описывает выбранный критерий входят случайные величины, и при решении задачи необходимо прогнозировать их поведение. В этом случае применяемые критерии (или характеристика, выбранная в качестве критерия) также является случайной величиной.

В качестве критерия оптимальности могут быть выбраны:

- мат.ожидание характеристики;

- алгебраическая комбинация мат.ожидания и дисперсии некоторой величины;

- наиболее вероятное значение характеристики;

- вероятность наступления определенного события

Характеристика мат.ожидания

В качестве примера использования мат.ожидания как характеристики случайного процесса можно рассматривать модель оптимизации численности сотрудников научно-технической и учебной библиотеки университета.

Анализ системы «сотрудник библиотеки - читатель» показывает, что можно выделить 2 составляющие, которые оказывают влияние на величину суммарных убытков, которая может быть предложена в качестве критерия оптимальности:

  1.  Убытки, связанные с простоем сотрудников из-за отсутствия читателей; величина этих убытков вычисляется как произведение мат.ожидания времени простоя на стоимость 1-ой единицы времени их работы (зарплата отнесенная к суммарному фонду рабочего времени). Видно, что при увеличении количества сотрудников – затрата на зарплату увеличивается.
  2.  Потери, которые  вызваны ожиданием в очереди студентов.

Алгебраическая комбинация мат.ожидания и дисперсии

Смысл этого критерия состоит в том, что из 2-х вариантов конкурирующих решений имеющих одно и то же значение мат.ожидания, в качестве оптимального необходимо выбрать тот вариант, в котором величина дисперсии меньше.

Например, если существует 2 альтернативных варианта решений, для которых известны мат.ожидания mа и mв и дисперсии Dа и Dв , то возможны следующие комбинации этих числовых характеристик:

  1.  mа >= mв         ,         Dа<=Dв
  2.  mа = mв             ,         Dа<=Dв
  3.  mа >= mв          ,       Dа=Dв
  4.  mа >= mв         ,         Dа>=Dв
  5.  mа <= mв         ,         Dа<=Dв  .

Из этой схемы видно, что в комбинациях 1,2,3 в качестве оптимального необходимо выбрать вариант А. В комбинациях 4,5 решение зависит от отношения к риску человека принимающего решение. Учитывая, что риск определяется величиной разброса результата (т.е. дисперсией) в комбинации 4 вариант выбора обеспечивает более высокую среднюю эффективность, однако он характеризуется большим значением степени риска. В комбинации 5 тоже нет однозначности: вариант А менее рисковый, но его эффективность ниже. Для окончательного выбора в комбинациях 4,5 необходимо использовать постулаты теории Неймана-Моргенштерна, либо применять интегральный критерий содержащий алгебраическую сумму мат.ожидания и дисперсии с некоторыми весовыми коэффициентами.

Наиболее вероятное значение характеристики

Данный тип критерия предполагает, что существует ряд значений характеристики, и для каждого значения известна его вероятность. В качестве критерия выбирается значение имеющее наибольшую вероятность. В таких задачах в процессе принятия решений необходимо выбрать стратегию, которая максимизирует это значение.

Вероятность наступления определенного события

Этот тип критерия связан с определением вероятности наступления какого-либо события и состоит в выборе таких решений, которые либо максимизируют, либо минимизируют вероятность этого события. Например, в качестве такого события можно рассматривать отказ вычислительной системы, либо нарушение срока выполнения работ.

2) Математический аппарат используемый при разработке модели ПР

Для конструирования вероятностных моделей ПР примем аппарат случайных процессов:

Процесс называется случайным, если для каждого момента времени его состояние представляет собой случайную величину.

В основу классификации случайных процессов как правило вкладывают 3 характеристики:

  1.  Пространство состояний
  2.  Индексирующий параметр
  3.  Статистические зависимости между случайными значениями процесса

Пространство состояний --- множество значений случайного процесса. При этом различают процессы с дискретным и непрерывным множеством состояний. Процессы с дискретным множеством состояний характеризуются тем, что множество возможных значений является конечным и обычно называется цепями. Процессы, для которых доступны множество значений представляют собой конечный и бесконечный интервал --- процессы с непрерывным множеством состояний.

В качестве индексирующего параметра, как правило, используется время.

Если переходы между состояниями возможны в фиксируемые моменты времени, то такие процессы относят к процессам с дискретным временем. Статистические зависимости между случайными значениями процесса задаются функцией совместного распределения вероятностей.

Случайный процесс называется Марковским, если его дальнейшее развитие определяется только тем состоянием, в котором он находится в настоящий момент времени и не зависит от предыстории попадания процесса в это состояние. Случайный процесс обладающий такими свойствами был предложен  А. А. Марковым в 1907 году. Марковский процесс с дискретным состоянием называется цепью Маркова. То есть множество случайных величин{xn , n>=0} образует цепь Маркова если следующее состояние Xn+1 определяется только значением текущего состояния Хn и не зависит от предыдущих значений процесса. В цепи Маркова дискретным временем изменения состояния могут происходить только в моменты, представляемые натуральным рядом чисел.

Аналитическое выражение, описывающее Марковский процесс:

P [xn+1=Sn+1/xn=Sn, xn-1=Sn-1… x1=S1] = P[xn+1=Sn+1/xn=Sn]

Анализируемый процесс в момент времени Xn+1 находится в состоянии Sn+1 при условии, что в момент Xn он находился в состоянии Sn. В этом выражении x1,2…n --- это последовательность случайных величин для дискретных моментов времени, S1,2…n  ---- значение случайного процесса в соответствующие дискретные моменты. Цепи Маркова с непрерывным моментом времени характеризуются тем, что изменения состояния могут происходить в любой момент времени :

P[x(tn+1)=Sn+1/x(tn)=Sn, x(tn-1)= Sn-1… x(t1)=S1] = =P[x(tn+1)=Sn+1/x(tn)=Sn]

Анализируемый процесс в момент времени tn+1 находится в состоянии Sn+1 при условии что в момент времени tn он находится в состоянии Sn, в момент tn-1 в состоянии Sn-1

t1<t2<….<tn <tn+1

С одной стороны изменение состояний осуществляется в произвольные моменты времени следовательно для описания такого процесса в число характеристик целесообразно ввести дополнительные компоненты ---- время, в течении которого процесс уже находится в текущем состоянии. Однако с  другой стороны,это дополнение процесса, а именно свойству отсутствия последствия. В то же время существует распределение непрерывно случайной величины обладающей свойством отсутствия последствия

fi(t)=λi ei t

  ------ среднее пребывания системы в і-м состоянии(интенсивность)

fi (t) ---- плотность распределения вероятностей времени пребывания системы в і-м состоянии. Распределение времени оставшегося до перехода в следующее состояние при условии, что процесс  уже пребывает в текущем состоянии с некоторым  моментом времени t0 тождественно равно безусловному распределению  времени пребывания в текущем состоянии :

P[T<=(t+t0)/ T>=T0] = 1- et

Для цепи Маркова с дискретным временем длительность пребывания процесса в каждом из состояний подчинена дискретному распределению без последствия. Дискретные цепи Маркова описываются матрицами переходных вероятностей.

R=||rij ||

rij ------ условная вероятность того, что процесс в момент времени tn+1 находится в состоянии j при условии, что в момент tn он находится в состоянии i.

rij = P (x(tn+1) = j / x(tn)=i)       i=1……n;   j = 1……n;

При этом элементы матрицы rij принимает значения от 0 до 1.

Сумма элементов в каждой строке равна 1.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17783. Фізіологія дихання, енергетичного обміну, терморегуляції 1.28 MB
  фізіологія дихання енергетичного обміну терморегуляції. Загальна характеристика системи дихання. Основні етапи дихання. Біомеханіка вдиху і видиху. Дихання – процес обміну газів О2 та СО2 між атмосферним повітрям та тканинами організму. ...
17784. Фізіологія виділення 124 KB
  Нирки являються основним органом системи виділення, так як тільки він виділяючи з організму в великій кількості продукти азотистого обміну, підтримують їх концентрацію в крові на певному рівні. Участь в цьому процесі шкіри, травного каналу та їх залоз недостатньо.
17785. Применение Excel для обработки данных 48 KB
  Лабораторная работа № 1 Применение Excel для обработки данных Зависимость представлена квадратической параболой .1 Самостоятельно сформировать тестовый пример задав коэффициенты для уравнения 1 в виде произвольных констант. Заполнить след...
17786. Координатна вісь, або одновимірний простір 2.03 MB
  ЛЕКЦІЯ 1 Координатна вісь або одновимірний простір Візьмемо пряму лінію і задамо на ній додатний напрям звичайно його показують стрілкою. Тоді протилежний напрям буде від'ємним. Напрямлена пряма називається віссю. Якщо на осі вибрати довільну точку обліку О і масшт...
17787. Визначник і мінори матриці 78.8 KB
  Визначник і мінори матриці Розглянемо квадратну матрицю А = Квадратній матриц і можна поставити у відповідність певне число яке називається детермінантом або визначником матриці. Детермінант матриці позначається так: det A= Детермінант так само як і матриці має ...
17788. Символы и строки в ANSI C 531.4 KB
  Целью данной лабораторной работы является изучение на практике строк языка ANSI C, операции над строками, функций стандартной библиотеки по работе со строками.
17789. Лінійний простір 5.92 MB
  Лекція 2. Лінійний простір Векторний простір називається лінійним якщо у ньому визначено операції над векторами – додавання і множення на число. Проте лінійний простір може бути утворений об’єктами будьякої природи. Нехай Е дана множина і x y z її елементи; К – мно
17790. Скалярний добуток двох векторів 332.87 KB
  Лекція 4. Скалярний добуток двох векторів Добуток двох векторів може бути як числом так і вектором. Для наочних просторів скалярним добутком двох векторів і називається число що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними: У nвимірному просторі ск
17791. Векторний добуток двох векторів 2.87 MB
  Лекція 5. Векторний добуток двох векторів Векторним добутком двох векторів і називається вектор такий що: а де; 2.60 б і ; в якщо то вектори утворюють праву трійку. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою якщо з кін