26495

Основные типы вероятностных задач и критериев оценки решения

Реферат

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Например допустим рассматривается детерминированная система на вход которой через равные промежутки времени Т1 поступают работы.ожидания времени простоя на стоимость 1ой единицы времени их работы зарплата отнесенная к суммарному фонду рабочего времени. 2 Математический аппарат используемый при разработке модели ПР Для конструирования вероятностных моделей ПР примем аппарат случайных процессов: Процесс называется случайным если для каждого момента времени его состояние представляет собой случайную величину. Если переходы между...

Русский

2013-08-18

30.14 KB

8 чел.

  1.  Основные типы вероятностных задач и критериев оценки решения.

В рассматриваемых ранее моделях предполагалось, что параметры решаемых задач принимают строго определенные значения, их называют детерминированными значениями.

В реальной практике при решении задач часто бывает известен диапазон изменения параметров и заданы плотности распределения вероятности. Такие задачи относят к вероятностным моделям ТПР.

При упрощенном подходе такие задачи можно решать как модели с детерминированными параметрами с последующей заменой в полученных выражениях детерминированных значений на количественные характеристики случайных величин (мат.ожидание, дисперсия). Однако, при более строгом подходе отказ от учета вероятностной природы распределения может привести к серьезным ошибкам в полученных результатах – это связано с тем, что вероятностный характер параметров приводит к появлению новых свойств, которые отсутствуют в детерминированных системах.

Например, допустим рассматривается детерминированная система, на вход которой через равные промежутки времени Т1 поступают работы. Эти работы обслуживаются прибором , которые обеспечивают время обслуживания Т2. Если Т12 , то очереди перед прибором не возникают. Допустим, что длительность интервала между работами представляет собой вероятностную величину, плотность ее вероятности задана функцией f(t)=λet , мат.ожидание этой величины Т1. Т.е. в среднем интенсивность поступления заявок λ. В системе возникает новой свойство – очередь, и эта очередь вызывается случайным характером поступления заявок.

Следовательно при конструировании модели функционирования системы необходимо учитывать наличие очереди работ ожидающих освобождения прибора.

К основным вероятностным моделям ПР относят, как правило:

  1.  Управляемые марковские процессы;
  2.  Сети и системы массового обслуживания;
  3.  Модели управления запасами;
  4.  Модели замены оборудования;
  5.  Вероятностные деревья решений.

Следует обратить внимание на то, что при использовании вероятностных моделей определенную сложность представляет выбор критерия оптимальности принятого решения, - это связано с тем, что в выражение, которое описывает выбранный критерий входят случайные величины, и при решении задачи необходимо прогнозировать их поведение. В этом случае применяемые критерии (или характеристика, выбранная в качестве критерия) также является случайной величиной.

В качестве критерия оптимальности могут быть выбраны:

- мат.ожидание характеристики;

- алгебраическая комбинация мат.ожидания и дисперсии некоторой величины;

- наиболее вероятное значение характеристики;

- вероятность наступления определенного события

Характеристика мат.ожидания

В качестве примера использования мат.ожидания как характеристики случайного процесса можно рассматривать модель оптимизации численности сотрудников научно-технической и учебной библиотеки университета.

Анализ системы «сотрудник библиотеки - читатель» показывает, что можно выделить 2 составляющие, которые оказывают влияние на величину суммарных убытков, которая может быть предложена в качестве критерия оптимальности:

  1.  Убытки, связанные с простоем сотрудников из-за отсутствия читателей; величина этих убытков вычисляется как произведение мат.ожидания времени простоя на стоимость 1-ой единицы времени их работы (зарплата отнесенная к суммарному фонду рабочего времени). Видно, что при увеличении количества сотрудников – затрата на зарплату увеличивается.
  2.  Потери, которые  вызваны ожиданием в очереди студентов.

Алгебраическая комбинация мат.ожидания и дисперсии

Смысл этого критерия состоит в том, что из 2-х вариантов конкурирующих решений имеющих одно и то же значение мат.ожидания, в качестве оптимального необходимо выбрать тот вариант, в котором величина дисперсии меньше.

Например, если существует 2 альтернативных варианта решений, для которых известны мат.ожидания mа и mв и дисперсии Dа и Dв , то возможны следующие комбинации этих числовых характеристик:

  1.  mа >= mв         ,         Dа<=Dв
  2.  mа = mв             ,         Dа<=Dв
  3.  mа >= mв          ,       Dа=Dв
  4.  mа >= mв         ,         Dа>=Dв
  5.  mа <= mв         ,         Dа<=Dв  .

Из этой схемы видно, что в комбинациях 1,2,3 в качестве оптимального необходимо выбрать вариант А. В комбинациях 4,5 решение зависит от отношения к риску человека принимающего решение. Учитывая, что риск определяется величиной разброса результата (т.е. дисперсией) в комбинации 4 вариант выбора обеспечивает более высокую среднюю эффективность, однако он характеризуется большим значением степени риска. В комбинации 5 тоже нет однозначности: вариант А менее рисковый, но его эффективность ниже. Для окончательного выбора в комбинациях 4,5 необходимо использовать постулаты теории Неймана-Моргенштерна, либо применять интегральный критерий содержащий алгебраическую сумму мат.ожидания и дисперсии с некоторыми весовыми коэффициентами.

Наиболее вероятное значение характеристики

Данный тип критерия предполагает, что существует ряд значений характеристики, и для каждого значения известна его вероятность. В качестве критерия выбирается значение имеющее наибольшую вероятность. В таких задачах в процессе принятия решений необходимо выбрать стратегию, которая максимизирует это значение.

Вероятность наступления определенного события

Этот тип критерия связан с определением вероятности наступления какого-либо события и состоит в выборе таких решений, которые либо максимизируют, либо минимизируют вероятность этого события. Например, в качестве такого события можно рассматривать отказ вычислительной системы, либо нарушение срока выполнения работ.

2) Математический аппарат используемый при разработке модели ПР

Для конструирования вероятностных моделей ПР примем аппарат случайных процессов:

Процесс называется случайным, если для каждого момента времени его состояние представляет собой случайную величину.

В основу классификации случайных процессов как правило вкладывают 3 характеристики:

  1.  Пространство состояний
  2.  Индексирующий параметр
  3.  Статистические зависимости между случайными значениями процесса

Пространство состояний --- множество значений случайного процесса. При этом различают процессы с дискретным и непрерывным множеством состояний. Процессы с дискретным множеством состояний характеризуются тем, что множество возможных значений является конечным и обычно называется цепями. Процессы, для которых доступны множество значений представляют собой конечный и бесконечный интервал --- процессы с непрерывным множеством состояний.

В качестве индексирующего параметра, как правило, используется время.

Если переходы между состояниями возможны в фиксируемые моменты времени, то такие процессы относят к процессам с дискретным временем. Статистические зависимости между случайными значениями процесса задаются функцией совместного распределения вероятностей.

Случайный процесс называется Марковским, если его дальнейшее развитие определяется только тем состоянием, в котором он находится в настоящий момент времени и не зависит от предыстории попадания процесса в это состояние. Случайный процесс обладающий такими свойствами был предложен  А. А. Марковым в 1907 году. Марковский процесс с дискретным состоянием называется цепью Маркова. То есть множество случайных величин{xn , n>=0} образует цепь Маркова если следующее состояние Xn+1 определяется только значением текущего состояния Хn и не зависит от предыдущих значений процесса. В цепи Маркова дискретным временем изменения состояния могут происходить только в моменты, представляемые натуральным рядом чисел.

Аналитическое выражение, описывающее Марковский процесс:

P [xn+1=Sn+1/xn=Sn, xn-1=Sn-1… x1=S1] = P[xn+1=Sn+1/xn=Sn]

Анализируемый процесс в момент времени Xn+1 находится в состоянии Sn+1 при условии, что в момент Xn он находился в состоянии Sn. В этом выражении x1,2…n --- это последовательность случайных величин для дискретных моментов времени, S1,2…n  ---- значение случайного процесса в соответствующие дискретные моменты. Цепи Маркова с непрерывным моментом времени характеризуются тем, что изменения состояния могут происходить в любой момент времени :

P[x(tn+1)=Sn+1/x(tn)=Sn, x(tn-1)= Sn-1… x(t1)=S1] = =P[x(tn+1)=Sn+1/x(tn)=Sn]

Анализируемый процесс в момент времени tn+1 находится в состоянии Sn+1 при условии что в момент времени tn он находится в состоянии Sn, в момент tn-1 в состоянии Sn-1

t1<t2<….<tn <tn+1

С одной стороны изменение состояний осуществляется в произвольные моменты времени следовательно для описания такого процесса в число характеристик целесообразно ввести дополнительные компоненты ---- время, в течении которого процесс уже находится в текущем состоянии. Однако с  другой стороны,это дополнение процесса, а именно свойству отсутствия последствия. В то же время существует распределение непрерывно случайной величины обладающей свойством отсутствия последствия

fi(t)=λi ei t

  ------ среднее пребывания системы в і-м состоянии(интенсивность)

fi (t) ---- плотность распределения вероятностей времени пребывания системы в і-м состоянии. Распределение времени оставшегося до перехода в следующее состояние при условии, что процесс  уже пребывает в текущем состоянии с некоторым  моментом времени t0 тождественно равно безусловному распределению  времени пребывания в текущем состоянии :

P[T<=(t+t0)/ T>=T0] = 1- et

Для цепи Маркова с дискретным временем длительность пребывания процесса в каждом из состояний подчинена дискретному распределению без последствия. Дискретные цепи Маркова описываются матрицами переходных вероятностей.

R=||rij ||

rij ------ условная вероятность того, что процесс в момент времени tn+1 находится в состоянии j при условии, что в момент tn он находится в состоянии i.

rij = P (x(tn+1) = j / x(tn)=i)       i=1……n;   j = 1……n;

При этом элементы матрицы rij принимает значения от 0 до 1.

Сумма элементов в каждой строке равна 1.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75030. Українська хата. Обереги, Позакласний захід 48 KB
  Між дверима і піччю стояли кочерга рогач коцюба хлібна лопата. Піч служить українському селянинові тричі: а для опалення житла; б як тепле спальне місце; в для приготування їжі випікання хліба. Піч мати головна в хаті берегиня бо хліб народжувала. На неї клали хліб і накривали теж вишиваним рушником.
75031. Оберіг душі й родини, позакласний виховний захід 147 KB
  Зацікавити учнів вивченням історії розвитку лялькимотанки прищепити повагу до культурних традицій родини й країни. Домогтися глибокого осмислення учнями значення лялькимотанки в житті людини. Про історію народної ляльки та про методику виготовлення та використання ми й поговоримо. Ляльки різних народів відрізняються між собою ззовні і матеріалом з якого зроблені в Африці вона здебільшого камяна або деревяна десь глиняна а ще десь зроблена з тканини але суть і призначення ляльки незмінні і це споріднює більше аніж...
75032. Цікаві моменти історії бухгалтерського обліку, Методична розробка позакласного заходу 80.5 KB
  Метою даної методичної розробки є удосконалення досвіду проведення позааудиторних заходів. Виникнення і розвиток бухгалтерського обліку є невідємною складовою частиною всієї історії людського суспільства. Сучасна наука не дала однозначної відповіді, який момент слід вважати виникненням бухгалтерського обліку...
75033. Здоровый образ жизни школьника, конспект мероприятия 43 KB
  Цель: расширить и закрепить представление учащихся о том что здоровьеглавное богатство каждого человека сформировать и закрепить представление жить здоровым в здоровом обществе учить заботится о своем здоровье воспитывать желание поддерживать здоровый способ жизни.счастье здоровье успехи в учебе деньги сила ум красота. Давайте подумаем что для человека самое главное в жизни Итак самое главное в жизни для человека здоровье. Здоровье это радость жизнижелание жить творить работать учиться радоваться встречи с друзьями.
75034. Знайомство з основними і похідними кольорами. Малювання мешканців підводного світу. План-конспект уроку для 1 класу 98.5 KB
  Мета: Ознайомити дітей з основними і похідними кольорами; провести бесіду про різноманітність форм і забарвлення мешканців підводного світу; вчити отримувати похідні кольори користуючись палітрою зображувати предмети округлої та видовженої форми рибок мушлі водорості; розвивати уяву фантазію; виховувати естетичний смак любов до природи...
75036. Реконструкция зоны ТО и ТР автомобилей в условиях ЗАО «Моторавто» 850 KB
  Аппарат учреждения: производственно-технический отдел; отдел главного механика; бухгалтерия; отдел кадров и воспитательной работы с рабочими; отдел охраны труда; отдел безопасности; оперативный отдел; отдел охраны; медицинская часть. Сочетание не обезличенного ремонта с элементами агрегатно-узлового метода позволяет при потере машиной работоспособности ремонт ее производить заменой отдельных неисправных или изношенных агрегатов или...
75037. Портрет как средство раскрытия характера в повести А. С. Пушкина «Капитанская дочка» 753.5 KB
  Почему именно повесть Капитанская дочка Во-первых это первое большое произведение Пушкина прочитанное мною удивившее своей глубиной и необычностью поднятых проблем. Во-вторых удивил подход Пушкина к изображению такой исторической личности как Е.
75038. Влияние автомобильного транспорта на атмосферный воздух г.Ноябрьска 813.5 KB
  Мы живём на дне воздушного океана. Эти слова много лет назад сказал ученик великого Галилея – Ториччели. Воздушный океан окружает нашу планету. Всё живёт в нём, и мы живём на его дне, охваченные им со всех сторон. Он доносит до нас пение птиц, шум леса, рокот волн. Он хранит в себе ароматы трав и цветов.