2734

Моделирование электростатического поля

Лабораторная работа

Энергетика

Моделирование электростатического поля Приборы и принадлежности: электролитическая кювета, набор электродов, понижающий трансформатор, цифровой вольтметр В7-38. Введение. Нередко различные физические поля описываются одинаковыми уравнениями. Решение...

Русский

2012-10-18

101.5 KB

30 чел.

Моделирование электростатического поля

Приборы и принадлежности: электролитическая кювета, набор электродов, понижающий трансформатор, цифровой вольтметр В7-38.

Введение. Нередко различные физические поля описываются одинаковыми уравнениями. Решение уравнения для одного поля может быть  применено для описания других, аналогичных, полей. При определенных условиях электростатическое, магнитостатическое поля и поле постоянного тока описываются дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных – уравнением Лапласа

                                                   (1)

В зависимости от задачи Z может означать потенциал, температуру и т.д. На границах поля скаляр Z должен принимать определенные (граничные) значения. Если границы поля имеют слишком сложную геометрическую форму, то аналитического решения уравнения (1) может и не быть. Такое поле можно изучать в натуре или приходится его моделировать.

Уравнения электростатического поля и поля постоянного тока. Рас-смотрим уравнения и свойства этих полей, а также возможность моделирования электростатического поля на электропроводной  модели.

Электрическое поле вне заряженных тел и поле тока вне источников электродвижущих сил описываются уравнением Лапласа, имеющим в декартовых координатах вид

,                                  (2)

где  – электрический потенциал.

Первый интеграл этого уравнения есть

.                 (3)

Он определяет вектор напряженности  электрического поля как функцию координат. Величина, стоящая в левой части  уравнения (3), называется градиентом потенциала и обозначается символом   или   .

.                                    (4)

Градиент потенциала – это вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания скалярной величины . Вектор  , по определению, направлен в сторону убывания  потенциала, т.е. противоположно градиенту , поэтому в уравнении (3) стоит знак минус перед  вектором .

Интегрирование уравнения (3) дает значение потенциала как функцию координат

.                                                  (5)

Если электрическое поле создается в проводящей среде, то оно описывается уравнением

.                                                         (6)

Это закон Ома в дифференциальной форме, где – плотность тока, – напряженность электрического поля, – удельная электропроводность среды. В случае изотропных сред их электрические свойства характеризуются единственным числом: – в диэлектрике и – в проводнике.

Плоский конденсатор. Поле плоского конденсатора, размеры пластин которого велики по сравнению с расстоянием между ними, однородно, т.е. напряженность  в любой точке поля одинакова, а потенциал зависит только от расстояния до обкладок конденсатора. Примем потенциал  одной из обкладок равным нулю, совместим с ней начало отсчета и направим ось  х перпендикулярно ей в сторону другой обкладки (рис.1). Запишем для этого случая уравнение Лапласа

.                                                     (7)

Проинтегрируем его, в результате чего получим

.                                            (8)

После второго интегрирования имеем

.                                   (9)

Обозначим расстояние между обкладками d, разность потенциалов между ними U. При  потенциал , из формулы (9) следует С2=0. При х = d потенциал , поэтому  С1 = .  Подставляя  С1 в (9), получаем

                                 ,                                                  (10)

т.е. потенциал возрастает по линейному закону от нуля на левой обкладке до U на правой. Напряженность электрического поля направлена в сторону убывания потенциала, она постоянна по величине и направлению. В векторной форме ее можно записать так:

.                                                    (11)

Из формулы (10) видно, что плоскости  x = const, параллельные обкладкам, представляют собой эквипотенциальные поверхности. Линии напряженности электрического поля перпендикулярны  эквипотенциальным поверхностям, в том числе и поверхности электродов или обкладок конденсатора. Таковы результаты решения уравнения Лапласа.

Цилиндрический конденсатор. Если длина цилиндрического конденсатора велика по сравнению с радиусами внутренней и внешней обкладок r1, r2, то поле зависит только от расстояния r от оси конденсатора, и уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат запишется так:

.                                            (12)

После первого интегрирования уравнения (12) получается следующее:

.                                         (13)

Второе интегрирование дает

.                                        (14)

Полагая, что  при      и  при    , определяем константы интегрирования

;        .                               

Подставляя эти значения в уравнение (14), получаем

,                                                 (15)

т.е. потенциал возрастает в направлении от внутренней обкладки к наружной (если наружная обкладка положительна). Напряженность поля при этом направлена радиально от наружной обкладки к внутренней

,                                         (16)

где – единичный вектор радиального направления.

Из двух последних уравнений следует, что цилиндрические поверхности , в том числе и обкладки, являются поверхностями равного потенциала, а линии напряженности поля  ортогональны им.

Если пространство между электродами рассмотренных конденсаторов сплошь заполнить электролитом и приложить к электродам разность потенциалов, то соотношения (10), (11), (15) и (16)  для потенциала и поля остаются в силе. Линии напряженности электрического поля, в силу действия формулы (6), совпадают с линиями тока и перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, в том числе и  поверхностям электродов.

В случае электродов сложной формы условие ортогональности силовых линий напряженности поверхности электродов  в электрическом поле выполняется всегда. В электропроводной модели для выполнения этого условия необходимо, чтобы электропроводность электродов была гораздо больше электропроводности  среды, заполняющей межэлектродное пространство.

Описание установки. Экспериментальная установка представляет собой плоскую горизонтальную кювету, в которую наливается жидкий электролит – прокипяченная водопроводная вода. Электропроводность ее вполне подходит для проведения подобных опытов. В воду помещены два неподвижных электрода  А, В и один подвижный – зонд С.

Форму и размеры неподвижных электродов экспериментатор может менять в зависимости от поставленной задачи.

Электрическая схема  установки  представлена на рис.2.  К неподвижным электродам подведено переменное напряжение от понижающего трансформатора. Применение постоянного тока в данном случае нежелательно в связи с явлением поляризации электродов.

В качестве измерительного прибора используется цифровой электронный вольтметр В7-38. Его применение оправдано тем, что входное сопротивление вольтметра (500 кОм) значительно больше сопротивления того участка цепи, куда он включается, поэтому его включение практически не изменяет конфигурацию поля и не влияет на точность результатов измерения.

Одна из клемм вольтметра соединена с электродом В. Следовательно, вольтметр измеряет фактически разность потенциалов между электродами В и С. Но если потенциал электрода В принять за нуль, то показания вольтметра будут численно равны потенциалам точек электрического поля, в которые помещается подвижный зонд С.

Измерения. 1.Налейте в кювету воду, предназначенную для этой работы, в количестве 300-400 мл, чтобы ее слой составлял около 1 см.

2.С помощью установочных винтов отрегулируйте положение кюветы так, чтобы слой воды в ней был одинаковой толщины.

3.Закрепите на откидном столике лист бумаги формата А4.

4.Погрузите в воду и закрепите плоские электроды.

5.Соберите электрическую цепь по схеме (рис.2) и предложите преподавателю или лаборанту проверить правильность сборки.

6.Включите в сеть 220 В трансформатор и вольтметр, поставив при этом переключатель рода работы вольтметра на измерение переменного напряжения.

7.Откинув столик с бумагой на опорный кронштейн, прикоснитесь зондом в электроду. Опустите столик на острие зонда так, чтобы на бумаге остался след от прикосновения острия. Далее нанесите на бумагу еще 4-5 уколов, причем крайние из них следует совместить с границами электрода. В дальнейшем Вы сможете изобразить на бумаге форму и местоположение данного электрода. Точно так же нанесите на бумагу положение второго электрода. Запишите около каждого электрода показания вольтметра.

8.Перемещая зонд в пространстве между электродами, найдите точку поля, в которой вольтметр показывает 1,0 В, и перенесите ее положение на планшет. Найдите еще не менее пяти точек поля в различных местах кюветы с таким же потенциалом, каждый раз перенося их на планшет.

9.Подобным образом нанесите на лист бумаги точки с потенциалом 2,0; 3,0 В и т.д. Около каждой серии точек подписывайте соответствующий им потенциал (показания вольтметра).

10.Замените плоские электроды теми, которые Вам предложит преподаватель из приведенных на рис.3, и проведите с ними те же измерения (пп. 7-9) на новом чистом планшете.

11.Закончив работу, выключите приборы и соберите воду из кюветы в подходящий сосуд с помощью груши.

Обработка результатов измерений. 1.На каждом из полученных планшетов проведите карандашом контуры электродов.

2.Экспериментальные точки (наколы) с одинаковым потенциалом соедините пунктирными линиями. Это будут эквипотенциальные линии электрического поля.

3.Постройте линии напряженности электрического поля, имея в виду, что они ортогональны линиям равного потенциала. Их принято проводить с такой густотой, чтобы соседние эквипотенциальные и силовые линии образовывали, пересекаясь, приблизительно квадраты.

4.Постройте график зависимости потенциала электрического поля вдоль одной из силовых линий от расстояния, выбрав за начало отсчета электрод с нулевым потенциалом.

5.Вычислите модуль вектора напряженности электрического поля вдоль одной из силовых линий в случае плоского конденсатора и вдоль двух удаленных друг от друга линий – в случае поля более сложной конфигурации. Постройте соответствующие графики для обоих случаев.

Контрольные вопросы

1.Каким уравнением описывается электростатическое поле в вакууме?

2.Почему электростатическое поле можно моделировать посредством поля тока? Всегда ли это можно сделать?

3.Решите уравнение Лапласа для электрического поля плоского и цилиндрического конденсатора. Что такое граничные условия?

4.Как из экспериментальной карты поля получить его характеристики: напряженность и потенциал.

5.Нарисуйте схему экспериментальной установки и расскажите о методике проведения измерений и обработки результатов.

6.Обоснуйте правомерность замены постоянного тока переменным в данной работе.

Список рекомендуемой литературы

1.Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 1977. §8-13, 17-19.

2.Практикум по физике: Электричество и магнетизм /Под ред. Ф.А.Николаева. М.: Высшая школа, 1991. С.24-28.

3.Савельев И.В. Курс физики: Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1998. Кн.2. §1.5 – 1.8; 1.14.

4.Сивухин Д.В. Общий курс физики: Электричество. М.: Наука, 1983. §3,18,19.

5.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983.

         а                            б                                в                           г

                                                  Рис.3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22570. ЦНС 22.5 KB
  Особливе місце в цій складній організації займае місце ЦНС що повязує в функціональну єдність всі клітини тканини і органи людського організму. Дякуючи великій кількості різних рецепторів ЦНС сприймає багаточисельні зміни що виникають в зовн средовищі і всередині організму і відіграє велику роль в регуляції всіх сторін життєдіяльності огранізму в зовн середовищі. Процеси що відбуваються в ЦНС лежать в основі психічної діяльності та поведінки людини. Діяльність ЦНС найчастіше наз координаційною або узгоджувальною.
22571. Спинний мозок 49.5 KB
  Він є сегментарним органом: у людини від спинного мозку відходять 31 пара спинномозкових корінців у жаби 10 які у кожному сегменті поділяються на дві частини: на передній вентральний і задній дорзальний корінці. Сіра речовина спинного мозку на поперечному перетині має вигляд метелика або літери Н . Є також дорзальні роги спинного мозку з'єднані з вентральними широкою перетинкою сірої речовинитак зване тіло сірої речовини . Крім вентральних і дорзальних рогів у грудному відділі спинного мозку є бокові роги сірої речовини рис.
22572. Рефлекси спинного мозку 24 KB
  Це залежить від сили подразників їх просторової та часової взаємодії а також від стану нервових центрів спинного мозку. Нервові центри спинного мозку також необхідні для регуляції як соматичних так і вегетативних функцій.Нервові центри шийного відділу спинного мозку виявляють кооординуючий вплив на активність мотонейронів які інервують мязи згиначі і розгиначі нижчележачих відділів тіла.
22573. Довгастий мозок 31.5 KB
  Крім ядер черепномозкових нервів характерною особливістю структури заднього мозку є наявність у ньому потужної маси нервових елементів які не одержують аферентних волокон безпосередньо з периферичних джерел і не посилають рухових волокон на периферію.До надсегментарних структур відносять також ядра провід них шляхів які проходять крізь довгастий мозок до інших частин мозку. Цей відділ головного мозку розташований над спинним мозком і виконує дві основні функції рефлекторну і провіднико ву.
22574. Вароліїв міст 22 KB
  В основі варолієвого мосту проходять пірамідні шляхи між якими розташовуються власні нервові волокна варолієвого мосту котрі прямують у мозочок. З основи варолієвого мосту виходять нерви які зв'язують певні зони варолієвого мосту з відповідними зонами кори великих півкуль. У цьому ж відділі варолієвого мосту знаходяться й ядерні утворення: рухове ядро відвідного нерва частина ядра трійчастого нерва а на дні сільвієвого водогону розташовуються ядра блокового і окорухового нервів . У варолієвому мосту знаходяться ядра які беруть...
22575. Ретикулярна формація 31 KB
  Тому виділяють РФ довгастого мозку варолієвого мосту і середнього мозку. Разом з тим у функціональному відношенні у РФ різних відділів головного мозку є багато спільного і тому її можна розглядати як цілісний утвір. До нейронів РФ підходить багато колатералів від усіх специфічних висхідних проекційних шляхів які проходять крізь стовбурову частину мозку а також від низхідних шляхів що йдуть від вищих відділів мозку в тому числі від пірамідного тракту і нейронів мозочка.
22576. Мозочок 36.5 KB
  Оскільки основною функцією мозочка є координація рухів то він добре розвинутий у риб і птахів адже динаміка рухів у водному і повітряному середовищах вимагає чіткої праці м'язів для швидкого маневрування при літанні і плаванні. У амфібій і рептилій які пересуваються по замлі і мають як правило низько розташований центр тяжіння відбувається певна редукція мозочка. У людини з її вертикальним положенням тіла розміри і значення мозочка значо зростають. Взаємодія мозочка з іншими структурами мозку здійснюється за допомогою трьох пар ніжок.
22577. Порушення функціонування мозочка 27.5 KB
  Перш за все наслідки уражень мозочка залежать від еволюційного положення виду тварини. Видалення мозочка у амфібій рептилій і птахів викликає складніші розладнання рухової функції. У ссавців видалення мозочка крім вищезазначених симптомів порушення рівноваги і тонусу скелетної мускулатури призводить до розладнання регуляції також довільних рухів.
22578. Середній мозок 32 KB
  Об єм функцій середнього мозку різний у різних класів хребетних тварин. Цим середній мозок істотно відрізняється від заднього мозку функція якого приблизно однакова у всіх хребетних тварин і змінюється в процесі еволюції скоріш кількісно ніж якісно.Провідникова функція СМ визначаеться наявністтю в ньому висхідних і низхідних провідних шляхів багато з яких проходять через ніжки мозку.