2734

Моделирование электростатического поля

Лабораторная работа

Энергетика

Моделирование электростатического поля Приборы и принадлежности: электролитическая кювета, набор электродов, понижающий трансформатор, цифровой вольтметр В7-38. Введение. Нередко различные физические поля описываются одинаковыми уравнениями. Решение...

Русский

2012-10-18

101.5 KB

31 чел.

Моделирование электростатического поля

Приборы и принадлежности: электролитическая кювета, набор электродов, понижающий трансформатор, цифровой вольтметр В7-38.

Введение. Нередко различные физические поля описываются одинаковыми уравнениями. Решение уравнения для одного поля может быть  применено для описания других, аналогичных, полей. При определенных условиях электростатическое, магнитостатическое поля и поле постоянного тока описываются дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных – уравнением Лапласа

                                                   (1)

В зависимости от задачи Z может означать потенциал, температуру и т.д. На границах поля скаляр Z должен принимать определенные (граничные) значения. Если границы поля имеют слишком сложную геометрическую форму, то аналитического решения уравнения (1) может и не быть. Такое поле можно изучать в натуре или приходится его моделировать.

Уравнения электростатического поля и поля постоянного тока. Рас-смотрим уравнения и свойства этих полей, а также возможность моделирования электростатического поля на электропроводной  модели.

Электрическое поле вне заряженных тел и поле тока вне источников электродвижущих сил описываются уравнением Лапласа, имеющим в декартовых координатах вид

,                                  (2)

где  – электрический потенциал.

Первый интеграл этого уравнения есть

.                 (3)

Он определяет вектор напряженности  электрического поля как функцию координат. Величина, стоящая в левой части  уравнения (3), называется градиентом потенциала и обозначается символом   или   .

.                                    (4)

Градиент потенциала – это вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания скалярной величины . Вектор  , по определению, направлен в сторону убывания  потенциала, т.е. противоположно градиенту , поэтому в уравнении (3) стоит знак минус перед  вектором .

Интегрирование уравнения (3) дает значение потенциала как функцию координат

.                                                  (5)

Если электрическое поле создается в проводящей среде, то оно описывается уравнением

.                                                         (6)

Это закон Ома в дифференциальной форме, где – плотность тока, – напряженность электрического поля, – удельная электропроводность среды. В случае изотропных сред их электрические свойства характеризуются единственным числом: – в диэлектрике и – в проводнике.

Плоский конденсатор. Поле плоского конденсатора, размеры пластин которого велики по сравнению с расстоянием между ними, однородно, т.е. напряженность  в любой точке поля одинакова, а потенциал зависит только от расстояния до обкладок конденсатора. Примем потенциал  одной из обкладок равным нулю, совместим с ней начало отсчета и направим ось  х перпендикулярно ей в сторону другой обкладки (рис.1). Запишем для этого случая уравнение Лапласа

.                                                     (7)

Проинтегрируем его, в результате чего получим

.                                            (8)

После второго интегрирования имеем

.                                   (9)

Обозначим расстояние между обкладками d, разность потенциалов между ними U. При  потенциал , из формулы (9) следует С2=0. При х = d потенциал , поэтому  С1 = .  Подставляя  С1 в (9), получаем

                                 ,                                                  (10)

т.е. потенциал возрастает по линейному закону от нуля на левой обкладке до U на правой. Напряженность электрического поля направлена в сторону убывания потенциала, она постоянна по величине и направлению. В векторной форме ее можно записать так:

.                                                    (11)

Из формулы (10) видно, что плоскости  x = const, параллельные обкладкам, представляют собой эквипотенциальные поверхности. Линии напряженности электрического поля перпендикулярны  эквипотенциальным поверхностям, в том числе и поверхности электродов или обкладок конденсатора. Таковы результаты решения уравнения Лапласа.

Цилиндрический конденсатор. Если длина цилиндрического конденсатора велика по сравнению с радиусами внутренней и внешней обкладок r1, r2, то поле зависит только от расстояния r от оси конденсатора, и уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат запишется так:

.                                            (12)

После первого интегрирования уравнения (12) получается следующее:

.                                         (13)

Второе интегрирование дает

.                                        (14)

Полагая, что  при      и  при    , определяем константы интегрирования

;        .                               

Подставляя эти значения в уравнение (14), получаем

,                                                 (15)

т.е. потенциал возрастает в направлении от внутренней обкладки к наружной (если наружная обкладка положительна). Напряженность поля при этом направлена радиально от наружной обкладки к внутренней

,                                         (16)

где – единичный вектор радиального направления.

Из двух последних уравнений следует, что цилиндрические поверхности , в том числе и обкладки, являются поверхностями равного потенциала, а линии напряженности поля  ортогональны им.

Если пространство между электродами рассмотренных конденсаторов сплошь заполнить электролитом и приложить к электродам разность потенциалов, то соотношения (10), (11), (15) и (16)  для потенциала и поля остаются в силе. Линии напряженности электрического поля, в силу действия формулы (6), совпадают с линиями тока и перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, в том числе и  поверхностям электродов.

В случае электродов сложной формы условие ортогональности силовых линий напряженности поверхности электродов  в электрическом поле выполняется всегда. В электропроводной модели для выполнения этого условия необходимо, чтобы электропроводность электродов была гораздо больше электропроводности  среды, заполняющей межэлектродное пространство.

Описание установки. Экспериментальная установка представляет собой плоскую горизонтальную кювету, в которую наливается жидкий электролит – прокипяченная водопроводная вода. Электропроводность ее вполне подходит для проведения подобных опытов. В воду помещены два неподвижных электрода  А, В и один подвижный – зонд С.

Форму и размеры неподвижных электродов экспериментатор может менять в зависимости от поставленной задачи.

Электрическая схема  установки  представлена на рис.2.  К неподвижным электродам подведено переменное напряжение от понижающего трансформатора. Применение постоянного тока в данном случае нежелательно в связи с явлением поляризации электродов.

В качестве измерительного прибора используется цифровой электронный вольтметр В7-38. Его применение оправдано тем, что входное сопротивление вольтметра (500 кОм) значительно больше сопротивления того участка цепи, куда он включается, поэтому его включение практически не изменяет конфигурацию поля и не влияет на точность результатов измерения.

Одна из клемм вольтметра соединена с электродом В. Следовательно, вольтметр измеряет фактически разность потенциалов между электродами В и С. Но если потенциал электрода В принять за нуль, то показания вольтметра будут численно равны потенциалам точек электрического поля, в которые помещается подвижный зонд С.

Измерения. 1.Налейте в кювету воду, предназначенную для этой работы, в количестве 300-400 мл, чтобы ее слой составлял около 1 см.

2.С помощью установочных винтов отрегулируйте положение кюветы так, чтобы слой воды в ней был одинаковой толщины.

3.Закрепите на откидном столике лист бумаги формата А4.

4.Погрузите в воду и закрепите плоские электроды.

5.Соберите электрическую цепь по схеме (рис.2) и предложите преподавателю или лаборанту проверить правильность сборки.

6.Включите в сеть 220 В трансформатор и вольтметр, поставив при этом переключатель рода работы вольтметра на измерение переменного напряжения.

7.Откинув столик с бумагой на опорный кронштейн, прикоснитесь зондом в электроду. Опустите столик на острие зонда так, чтобы на бумаге остался след от прикосновения острия. Далее нанесите на бумагу еще 4-5 уколов, причем крайние из них следует совместить с границами электрода. В дальнейшем Вы сможете изобразить на бумаге форму и местоположение данного электрода. Точно так же нанесите на бумагу положение второго электрода. Запишите около каждого электрода показания вольтметра.

8.Перемещая зонд в пространстве между электродами, найдите точку поля, в которой вольтметр показывает 1,0 В, и перенесите ее положение на планшет. Найдите еще не менее пяти точек поля в различных местах кюветы с таким же потенциалом, каждый раз перенося их на планшет.

9.Подобным образом нанесите на лист бумаги точки с потенциалом 2,0; 3,0 В и т.д. Около каждой серии точек подписывайте соответствующий им потенциал (показания вольтметра).

10.Замените плоские электроды теми, которые Вам предложит преподаватель из приведенных на рис.3, и проведите с ними те же измерения (пп. 7-9) на новом чистом планшете.

11.Закончив работу, выключите приборы и соберите воду из кюветы в подходящий сосуд с помощью груши.

Обработка результатов измерений. 1.На каждом из полученных планшетов проведите карандашом контуры электродов.

2.Экспериментальные точки (наколы) с одинаковым потенциалом соедините пунктирными линиями. Это будут эквипотенциальные линии электрического поля.

3.Постройте линии напряженности электрического поля, имея в виду, что они ортогональны линиям равного потенциала. Их принято проводить с такой густотой, чтобы соседние эквипотенциальные и силовые линии образовывали, пересекаясь, приблизительно квадраты.

4.Постройте график зависимости потенциала электрического поля вдоль одной из силовых линий от расстояния, выбрав за начало отсчета электрод с нулевым потенциалом.

5.Вычислите модуль вектора напряженности электрического поля вдоль одной из силовых линий в случае плоского конденсатора и вдоль двух удаленных друг от друга линий – в случае поля более сложной конфигурации. Постройте соответствующие графики для обоих случаев.

Контрольные вопросы

1.Каким уравнением описывается электростатическое поле в вакууме?

2.Почему электростатическое поле можно моделировать посредством поля тока? Всегда ли это можно сделать?

3.Решите уравнение Лапласа для электрического поля плоского и цилиндрического конденсатора. Что такое граничные условия?

4.Как из экспериментальной карты поля получить его характеристики: напряженность и потенциал.

5.Нарисуйте схему экспериментальной установки и расскажите о методике проведения измерений и обработки результатов.

6.Обоснуйте правомерность замены постоянного тока переменным в данной работе.

Список рекомендуемой литературы

1.Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 1977. §8-13, 17-19.

2.Практикум по физике: Электричество и магнетизм /Под ред. Ф.А.Николаева. М.: Высшая школа, 1991. С.24-28.

3.Савельев И.В. Курс физики: Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1998. Кн.2. §1.5 – 1.8; 1.14.

4.Сивухин Д.В. Общий курс физики: Электричество. М.: Наука, 1983. §3,18,19.

5.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983.

         а                            б                                в                           г

                                                  Рис.3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34282. Изменчивость 48.89 KB
  На основе изменчивости организмов появляется генетическое разнообразие форм которые в результате действия естественного отбора преобразуются в новые виды. Виды: Ненаследственная модификационная фенотипическая В результате изменение условий среды организм изменяется в пределах НОРМЫ РЕАКЦИИ это пределы рамки в которых возможно изменение признака у денного генотипа например норма реакции молочности у коров колеблется от 1000 до 2500 кг заданной генотипом. 2 Наследственная генотипическая а...
34283. Гипотезы происхождения эукариотических клеток 194 KB
  Согласно симбиотической гипотезе популярной в настоящее время корпускулярные органеллы эукариотической клетки имеющие собственный геном характеризуются независимым происхождением и ведут начало от прокариотических клетоксимбионтов. Первоначально объем информации и геномах клеткихозяина с одной стороны и симбионтов презумптивных митохондрий центриолей и хлоропластов с другой был повидимому сопоставим. В дальнейшем могла произойти утрата геномами симбионтов части генетических функций с перемещением блоков генов в геном...
34284. Медицинская экология. Предмет, содержание, задачи и методы. Появление нового типа заболеваний человека – экологически зависимых болезней 13.29 KB
  Появление нового типа заболеваний человека экологически зависимых болезней. Медицинская экология пытается установить причину заболеваний в непосредственной связи с окружающей средой при этом учитывается большое разнообразие экологических факторов нозологических форм заболеваний и генетических особенностей человека. Появился новый тип заболеваний человека который можно назвать экологически обусловленными заболеваниями или как их иногда называют экологически зависимыми экологически связанными заболеваниями. Хронических...
34285. Мута́ция 22.01 KB
  Изменение числа генов: гаплоидия кратное уменьшение числа хромосом у потомства полиплоидия геном представлен 2 наборами хромосом различают аллополиплоидов имеются наборы хромосом полученные при гибридизации от разных видов и аутополиплоидов происходит увеличение числа наборов хромосом собственного генома кратное n. анеуплоидия гетероплоидия изменение числа хромосом не кратное гаплоидному набору 2. Изменение числа хромосом: моносомия отсутствие в хромосомном наборе диплоидного организма одной хромосомы полисомия...
34286. Общая периодизация и характеристика основных этапов постэмбрионального онтогенеза 56 KB
  Влияние генетических факторов условий и образа жизни на процесс старения. Влияние факторов Ряд наблюдений легли в основу достаточно распространенной точки зрения о наследуемости продолжительности жизни и следовательно наличии генетического контроля или даже особой генетической программы старения. Вопервых максимальная продолжительность жизни ведет себя как видовой признак.Описаны наследственные болезни с ранним проявлением признаков старости и одновременно резким сокращением продолжительности жизни.
34287. Онтогене́з 31 KB
  Постэмбриональное развитие Постэмбриональное развитие бывает прямым и непрямым. Прямое развитие развитие при котором появившийся организм идентичен по строению взрослому организму но имеет меньшие размеры и не обладает половой зрелостью. Дальнейшее развитие связано с увеличением размеров и приобретением половой зрелости.
34289. Старение 16.82 KB
  Опыты показывали что вытяжка из семенников молодого организма повышала тонус у старого. источник толстая кишечник в нём гнилостные процессы азотистый обмен самого организма. биологические часы 1вилочковая железа прекращает работу при переходе организма в зрелый возраст 2нервная система гипоталамус симпатическая нервная система Долгожители старше 90 лет; долгожительство характеризует определенные этнические группы проживающие в основном в сельской местности. Биологический смысл старения заключается в том что оно делает...
34290. Регенерация. Виды регенерации 16.32 KB
  Виды: физиологическая восстановление органов тканей клеток после разрушения их в процессе жизнедеятельности организма непрерывное восстановление структур на клеточном тканевом и внутриклеточном уровнях; благодаря физиологической регенерации поддерживается структурный гомеостаз и обеспечивается возможность постоянного выполнения органами их функций; самообновление пролиферативная регенерация вид физиологической; восполнение численности клеток за счет их деления обновление производных эпидермиса волосы ногти...