2754

Механика. Молекулярная физика

Конспект

Физика

Механика. Молекулярная физика. Кинематика  Основные понятия и величины Классическая механика изучает механическое движение частиц (материальных точек) и тел, т.е. изменение положения их в пространстве с течением времени. Частица (материальная...

Русский

2012-10-18

767.33 KB

39 чел.

Механика. Молекулярная физика.

Кинематика

  1.  Основные понятия и величины

Классическая механика изучает механическое движение частиц (материальных точек) и тел, т.е. изменение положения их в пространстве с течением времени.

Частица (материальная точка) -- это тело, размерами которого в условиях

данной задачи можно пренебречь. Одно и то же тело в различных условиях либо может считаться частицей, либо -- нет.

Другая абстракция -- абсолютно твердое тело -- это система частиц,

расстояния между которыми в процессе движения тела остаются неизменными.

При этом постулируется, что:

      1) пространство является бесконечным, однородным, изотропным;

      2) время является однородным, течет только в одном направлении, а ход времени не зависит от состояния движения тел.

Механическое движение тел рассматривается в системе отсчета.

Кинематика -- это раздел механики, рассматривающий движение тел вне

зависимости от причин, вызывающих это движение.

2. Кинематика частицы. Перемещение, скорость, ускорение

Существуют различные способы определения положения частицы.

1)  Векторный способ описания движения.

В этом случае положение частицы задается её радиус-вектором  . Геометрическое место концов радиус-вектора представляет кривую,

называемую траекторией.

Зависимость радиус-вектора частицы от времени

называется кинематическим уравнением движения. С геометрической

точки зрения -- это уравнение траектории.

Изменение радиус-вектора за время ∆t называется перемещением: . Длина дуги траектории между этими точками ∆l назывется путем.

Важнейшей кинематической характеристикой движения является скорость.

Скоростью частицы называется векторная величина, определяемая

равенством

,

иначе говоря, скорость -- это производная от радиус-вектора по времени.

Из определения следует, что скорость направлена по касательной

к траектории. Величина скорости

,

где l -- путь, пройденный вдоль траектории.

Иногда используется понятие средней скорости: это векторная

величина, равная отношению перемещения ко времени, т.е.

Скорость изменения скорости частицы по времени, т.е. вектор

называется ускорением частицы.

Таким образом, зная кинематический закон движения, можно простым

дифференцированием по времени найти скорость и ускорение в любой

момент времени (так называемая прямая задача кинематики).

Наоборот, зная ускорение частицы, а также начальные условия,

т.е. положение и скорость частицы в начальный момент времени,

можно найти траекторию движения частицы   (обратная задача

кинематики).

2) Координатный способ описания движения.

Если с телом отсчета жестко связать какую-нибудь координатную систему (например, декартову), то положение частицы в любой момент времени определяется тремя ее координатами x,y,z.Проектируя радиус-вектор на координатные оси, получим три зависимости координат частицы от времени

которые представляют кинематический закон движения в координатной форме.

Модули скорости и ускорения будут

и

Обратная задача:

 и

3)  Естественный способ описания движения. Тангенциальное и

нормальное ускорения

Он обычно используется, если известна траектория движения точки.

При этом начало отсчета

берется на траектории, также выбирается положительное направление

движения вдоль траектории, а положение частицы описывается криволинейной

координатой l(t), представляющей длину дуги кривой линии, отсчитанной вдоль траектории от начальной точки O -- иначе говоря, путь. В этом случае      l = l(t) -- кинематическое уравнение движения.

Свяжем с траекторией естественную систему координат, состоящую из трех взаимно-перпендикулярных осей: касательной (единичный вектор ), нормали (единичный вектор ) и бинормали (единичный вектор ), составляющей правый винт с касательной и нормалью.

Тогда .Ускорение частицы .

Первое слагаемое  направлено по касательной к траектории и называется тангенциальным (касательным) ускорением:. Модуль его равен производной от величины скорости по времени, поэтому тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Второе слагаемое в формуле направлено по нормали к траектории, характеризует изменение скорости по направлению, называется нормальным ускорением и определяется

выражением:. Его модуль . Заметим, что в случае движения частицы по окружности -- это хорошо известное центростремительное ускорение.

Итак, полное ускорение можно разложить на  две составляющие:

тангенциальное ускорение и нормальное ускорение :, причем модуль полного ускорения .

3. Кинематика вращательного движения твердого тела

Поступательным движением называется такое движение, при котором

все точки тела движутся по одинаковым траекториям, или иначе, любая прямая, связанная с телом, перемещается параллельно самой себе.

При вращении вокруг закрепленной оси все точки движутся по соосным

окружностям. За время dt происходит поворот тела на угол d. Поэтому вместо линейных характеристик вводятся угловые характеристики. Поворот тела на бесконечно малый угол d характеризуется вектором угла поворота , направленным по оси вращения по правилу правого винта.

Элементарный угол поворота является аксиальным вектором.

Быстрота изменения угла поворота характеризуется вектором угловой скорости

,

направленным так же, как и вектор , т.е. по оси вращения по правилу правого винта.

Еще одна угловая величина -- угловое ускорение

.

Вектор  углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположен ему при замедленном вращении.

Размерности угловых величин: .

Так же, как и при поступательном движении, при вращательном существуют прямая и обратная задачи кинематики.

Прямая задача: по заданному как функция времени углу поворота =(t) найти z и z; решается она дифференцированием по времени:

.

Обратная задача: по заданному как функция времени угловому ускорению и начальным условиям и найти кинематический закон вращения; она решается с помощью интегрирования:

.


Динамика. Законы Ньютона и их следствия

1. Сила, масса, импульс

Если кинематика отвечает на вопрос "как происходит движение ?", то

динамика изучает "почему движение происходит именно так ?". Поэтому динамика имеет дело с такими понятиями как сила, масса, импульс и т.п.

Все тела взаимодействуют друг с другом. Количественную меру такого взаимодействия называют силой. Существует множество видов сил, и каждый вид описывается своим силовым законом.

Все тела обладают свойством инертности -- свойством противиться

попыткам изменить их движение. Количественная характеристика (мера) такого свойства называется массой (точнее, инертной массой).

Именно она входит во второй закон Ньютона: .

Совсем другая масса -- гравитационная -- входит в закон тяготения:

. Но все опыты, проведенные на сегодняшний день, показывают, что эти массы равны:

;

поэтому в дальнейшем используется один параметр -- просто масса.

И, наконец, еще одна динамическая величина -- импульс частицы, равный произведению массы частицы на ее скорость:

.

Импульс -- величина векторная.

2. Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона постулирует существование особого класса систем отсчета. Современная формулировка первого закона Ньютона:

существуют такие системы отсчета, в которых свободная частица

движется неускоренно (т.е. равномерно и прямолинейно). Такие системы отсчета называются инерциальными, а движение свободной частицы в них – движением по инерции. В формулировке закона используется понятие "свободной частицы", которое означает, что на частицу не действуют никакие силы.

Если инерциальная система отсчета найдена, то любая другая, движущаяся относительно нее неускоренно, тоже будет инерциальной. Поэтому можно говорить о бесконечном множестве ИСО.

3. Преобразования координат Галилея

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему K и систему К`,

движущуюся относительно системы К с постоянной скоростью вдоль оси Ox системы К так, что оси Ox' и Ox совпадают, а за начальный момент отсчета времени  t=0 примем момент совпадения начал координат, т.е. .

Пусть, далее, координаты некоторой частицы m в системе К будут x,y,z, а в системе  K' --- x',y',z'. Радиус-векторы частицы в этих системах отсчета связаны простым соотношением: , а, значит:

.

Это и есть прямые преобразования координат Галилея.

Дифференцируя их по времени, получаем классическую теорему сложения скоростей:

.

Повторное дифференцирование приводит к очень важному соотношению:

.

Его смысл очевиден: если частица в ИСО (системе К) движется неускоренно(), то и система K', движущаяся относительно системы К с постоянной скоростью, по определению тоже будет инерциальной.

4. Второй закон Ньютона

Современная формулировка второго закона Ньютона:

скорость изменения импульса частицы в инерциальной системе отсчета равна результирующей силе, действующей на частицу:

.

1) Результирующая сила -- это векторная сумма всех сил, действующих на частицу, т.е. . Определяется она по правилу

параллелограмма (опытный факт).

2) Не следует формулировать второй закон, как "сила, действующая на тело, равна ". Сила может быть, например, когда мы давим на стену, а

ускорения в этой ситуации нет!

Только  в частном случае постоянной массы подстановка

в уравнение  приводит к формуле:

.

3) Второй закон не является определением силы; он устанавливает связь между кинематическими и динамическими величинами, позволяя найти

траекторию частицы, зная действующие на нее силы. Поэтому его называют

уравнением движения.

5. Третий закон Ньютона

Современная формулировка третьего закона Ньютона:

силы взаимодействия двух частиц равны по величине, противоположны по направлению и направлены по прямой, соединяющей частицы, т.е.

.

Строго говоря, третий закон выполняется для тел, взаимодействующих

контактно, или для покоящихся тел, взаимодействующих на расстоянии.

Опыты показали, что законы классической механики (законы Ньютона) справедливы для макротел (тел с достаточно большими по сравнению с томами

размерами и массой), движущихся с малыми скоростями (по сравнению со

скоростью света).

6. Классический принцип относительности

Основным принципом классической механики является классический

(галилеевский) принцип относительности.

Уравнения динамики не меняются при переходе от одной ИСО к другой, т.е. все ИСО эквивалентны (равноправны) по отношению к механическим явлениям. Или иначе: никакими механическими опытами, проведенными внутри ИСО, нельзя установить движется ли эта ИСО равномерно и прямолинейно или находится в относительном покое.


Работа и энергия

1. Работа переменной силы

Обычно  приходится иметь дело с переменной как по величине, так и по направлению силой. Пусть на частицу, движущуюся по криволинейной траектории, действует сила , направление которой составляет с траекторией угол  (вообще говоря, переменный). Тогда за время dt частица переместится на , и сила совершит над ней работу

.

Формула является определением элементарной (бесконечно малой)

работы. Ее можно записать и по-другому:

,

где Fl -- проекция силы на направление касательной к траектории.

Выражение для работы при конечном перемещении из точки 1 в точку 2

будет выражаться интегралом:

.

Если же на тело одновременно действуют несколько сил, то их суммарная работа равна алгебраической сумме работ каждой силы, или, иначе, равна работе результирующей силы

.

Заметим, что здесь сумма работ -- алгебраическая, т.е. каждое слагаемое

в ней имеет знак "плюс" (сила направлена по движению) или "минус" (сила

направлена против движения). К тому же, -- это перемещение

точки приложения силы.

2. Кинетическая энергия частицы

Пусть на движущуюся частицу действует некоторая сила; в результате движение частицы изменяется (меняется скорость ). Найдем, чему равна работа силы по изменению скорости частицы. Для этого запишем второй закон Ньютона и умножим каждую его часть скалярно на элементарное перемещение . В результате получим:

.

.

называется кинетической энергией частицы. Таким образом, работа всех сил, действующих на частицу, идет на изменение ее кинетической энергии, т.е.

dK=dA или .

3. Консервативные силы и потенциальная энергия

Сила, работа которой не зависит от формы и длины пути (от траектории точки приложения силы), называется консервативной силой.

Математически условие консервативности силы выражается в виде:

.

Действительно, работа консервативной силы на замкнутом пути в силу определения будет: . Величина называется циркуляцией вектора . Поэтому циркуляция консервативной силы по любому замкнутому контуру равна нулю.

Из определения консервативной силы вытекает и еще одно важнейшее свойство: работа консервативной силы равна изменению (убыли) некоторой скалярной функции , зависящей только от положения частицы (тела) и

называемой потенциальной энергией:

или

.

Последняя из формул являются определением потенциальной энергии.

Как следует из нее, потенциальная энергия определена с точностью до

произвольной постоянной.

4. Потенциальная энергия центральных сил

Определение: силы, действующие только по прямой, соединяющей

частицы, и зависящие только от расстояния между ними, называются

центральными. Следовательно, общим для центральных сил будет следующий

силовой закон:

Работа любой центральной силы будет:

,

следовательно, результат интегрирования не зависит от пути и определяется

лишь начальным r1 и конечным r2 положениями траектории:

.

Поэтому любая центральная сила является консервативной, и частица в поле центральных сил обладает потенциальной энергией. Примерами центральных сил могут служить гравитационная, кулоновская и упругая силы.

5. Градиент потенциальной энергии

Консервативная сила выражается через потенциальную энергию

следующим образом:

.

Введем дифференциальный оператор градиент (grad) или "набла"

() -- это одно и то же.

.

Зная потенциальную энергию частицы, можно простым дифференцированием найти действующую на нее консервативную силу:

.

Наоборот, по выражению для силы можно интегрированием найти потенциальную энергию частицы.

                  Эквипотенциальные поверхности.

Геометрическое место точек, в которых потенциальная энергия (или

потенциал) одинакова, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение такой поверхности имеет вид: .

При перемещении по этой поверхности dU=0, и из выражения следует, что проекция силы на эквипотенциальную

поверхность Fl всегда равна нулю.

Поэтому вектор силы всегда перпендикулярен эквипотенциальной

поверхности.

Вектор силы направлен в сторону убывания (уменьшения)

потенциальной энергии, и в этом же направлении под действием этой силы

будут ускоряться все тела.

Вывод: grad U -- это вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной     поверхности в сторону возрастания U и равный по величине наибольшей скорости изменения потенциальной энергии в пространстве: .

6. Механическая энергия частицы и закон ее изменения

Сумма кинетической и потенциальной энергий частицы называется ее

полной механической энергией: E=K+U.

Если на частицу действуют только консервативные силы, то с одной стороны, по определению dA=-dU, а с другой стороны, как следствие второго закона Ньютона, dA=dK. Поэтому -dU=dK или d(U+K)=dE=0.

Иначе говоря, механическая энергия частицы, подверженной действию только консервативных сил, сохраняется.

                 Неконсервативные силы

Неконсервативными называются силы, работа которых зависит от длины и формы пути. Примерами неконсервативных сил являются: сила трения скольжения (но не трение покоя), вязкие силы, силы Ампера и Лоренца.

Пусть на частицу действуют как консервативные, так и неконсервативные силы.

dE=d(K+U)=dAнеконс

Изменение полной механической энергии частицы равно работе всех неконсервативных сил.

.

При этом изменение механической энергии в замкнутой системе компенсируется изменением тепловой, химической и других видов энергии.

Важным частным случаем неконсервативных сил являются диссипативные силы. Это -- силы, зависящие от скорости частицы и направленные против скорости:

,

например, сила вязкого трения. При действии диссипативных сил

механическая энергия всегда убывает (и превращается во внутреннюю).


Момент импульса

1. Момент импульса частицы

Пусть частица движется по некоторой траектории и в данный момент

времени ее радиус-вектор равен, а импульс . Кроме импульса, существует еще одна векторная характеристика движения (динамическая переменная) -- момент импульса. Моментом импульса частицы относительно точки (центра) О называется

векторное произведение радиус-вектора на импульс частицы:

.

Согласно определению, и , а его направление определяется по правилу правого винта.

Заметим, что величина зависит от выбора точки О; вообще говоря,

ее можно выбрать где угодно, но обычно выбирают на оси вращения (если таковая имеется в наличии).

2. Закон изменения момента импульса. Момент силы

.

Вектор, равный векторному произведению радиус-вектора на силу,

называется моментом силы.

Скорость изменения момента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы относительно той же точки.

Кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы l=r sin

называется плечом силы. Отсюда следует, что точку приложения силы

(если, конечно, речь идет о твердом теле) можно сдвигать вдоль линии

действия силы -- при этом ни l, ни не изменятся.

3. Момент импульса относительно оси

В дальнейшем нам придется столкнуться с проекцией момента импульса

на некоторую фиксированную (закрепленную) ось (например, ось z).

Эта величина называется моментом импульса относительно оси.  Пусть частица массы m движется по окружности радиуса R вокруг этой оси.

Выберем точку О, относительно которой определяются вектора и , на оси z. Тогда . Величина называется моментом инерции частицы относительно оси.Таким образом,

Lz=I,

т.е. момент импульса относительно оси равен произведению момента

инерции на угловую скорость вращения.

Закон изменения момента импульса относительно оси:

,

где Mz -- проекция момента силы на ту же ось (или момент силы относительно оси).


Динамика системы частиц. Законы сохранения

  1. Законы изменения и сохранения полного импульса системы частиц

В этой главе объектом изучения будет не одна частица, а система частиц. Система частиц может представлять собой любое агрегатное состояние вещества -- газ, жидкость или твердое тело.

Систему всегда можно разбить на столь малые участки (линейные, плоские или объемные) с массой mi, что их размерами можно пренебречь и рассматривать эти участки как частицы (материальные точки).

Положение каждой из этих частиц задается радиус-вектором .

Масса всей системы определяется как m=. Если  – плотность системы (тела), а dV – объем маленького участка, то его масса dm=dV, а масса всей системы m= где интеграл берется по всему объему системы.

На i-ую частицу системы, вообще говоря, действуют как внешняя сила со стороны окружающих систему тел или полей, так и сумма внутренних сил  со стороны всех остальных частиц системы. Поэтому закон движения i-ой частицы запишется в виде

 Таких уравнений будет столько же, сколько всего частиц в системе. Суммируя эти уравнения для всех частиц системы и учитывая, что в силу третьего закона Ньютона , сумма всех внутренних сил, действующих на все частицы системы обращается в нуль, получаем

Таким образом, закон движения системы частиц или закон изменения полного импульса системы читается так:

 Производная по времени (скорость изменения) полного импульса системы частиц равна результирующей внешних сил:

Уравнение можно записать и прочитать по-иному, если ввести еще одно понятие – импульс силы за время dt: это .

т.е. изменение (приращение) полного импульса системы за время t=t2 – t1 равно импульсу внешних сил за то же время.

Если все внешние силы, действующие на систему, уравновешиваются, т.е. то система называется замкнутой. Для нее или полный импульс замкнутой системы сохраняется. Это – закон сохранения импульса.

Часто , но действие сил длится столь малое время t0, что импульс не успевает заметно измениться: . В этих случаях (быстрое столкновение, взрыв и т.п.) также можно применять закон сохранения импульса:

Заметим также, что возможны случаи, когда , но . Тогда сохраняется только проекция импульса на соответствующую ось: Px=const, что также широко используется в приложениях.

2. Центр масс. Уравнение движения центра масс

 Центром масс системы называется точка с радиус-вектором

Для непрерывного распределения массы с плотностью  . Если силы тяжести, приложенные к каждой частице системы, направлены в одну сторону, то центр масс совпадает с центром тяжести. Но если не параллельны, то центр масс и центр тяжести не совпадают.

Взяв производную по времени от , получим:

т.е. полный импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс.

Подставляя это выражение в закон изменения полного импульса, находим:

Центр масс системы движется как частица, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена результирующая внешних сил.

При поступательном движении все точки твердого тела движутся так же, как и центр масс (по таким же траекториям), поэтому для описания поступательного движения достаточно записать и решить уравнение движения центра масс.

Так как , то центр масс замкнутой системы должен сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, т.е. =const. Но при этом вся система может вращаться, разлетаться, взрываться и т.п. в результате действия внутренних сил.

  1. Реактивное движение. Уравнение Мещерского

 Реактивным называется движение тела, при котором происходит присоединение или отбрасывание массы. В процессе движения происходит изменение массы тела: за время dt тело массы m присоединяет (поглощает) или отбрасывает (испускает) массу dm со скоростью  относительно тела; в первом случае dm>0, во втором dm<0.

Рассмотрим такое движение на примере ракеты. Перейдем в инерциальную систему отсчета K', которая в данный момент времени t движется с той же скоростью , что и ракета – такая ИСО называется сопутствующей – в этой системе отсчета ракета в данный момент t покоится (скорость ракеты в этой системе =0). Если сумма внешних сил, действующих на ракету, не равна нулю, то уравнение движения ракеты в системе K', но так как все ИСО эквивалентны, то и в системе К уравнение будет иметь тот же самый вид:

 Это – уравнение Мещерского, описывающее движение любого тела с переменной массой}.

В уравнении масса m – величина переменная, и ее нельзя внести под знак производной. Второе слагаемое в правой части уравнения  называется реактивной силой

Для ракеты реактивная сила играет роль силы тяги, но в случае присоединения массы dm/dt>0 и реактивная сила будет силой торможения (например, при движении ракеты в облаке космической пыли).

  1. Энергия системы частиц

Энергия системы частиц состоит из кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий всех частиц системы

и является, согласно определению, величиной аддитивной (как и импульс).

Иначе обстоит дело с потенциальной энергией системы. Во-первых, между частицами системы действуют силы взаимодействия . Поэтому Aij=-dUij, где Uij - потенциальная энергия взаимодействия i-ой и j-ой частиц. Суммируя Uij по всем частицам системы, находим так называемую собственную потенциальную энергию системы:

Существенно, что собственная потенциальная энергия системы зависит только от ее конфигурации. К тому же эта величина - не аддитивная.

Во-вторых, на каждую частицу системы, вообще говоря, действуют и внешние силы. Если эти силы - консервативные, то их работа будет равна убыли внешней потенциальной энергии A=-dUвнеш, где

где Ui - потенциальная энергия i-ой частицы во внешнем поле. Она зависит от положений всех частиц во внешнем поле и является аддитивной.

Таким образом, полная механическая энергия системы частиц, находящейся во внешнем потенциальном поле, определяется как

Eсистсист+Uсоб+Uвнеш

  1. Закон сохранения механической энергии

Согласно закону изменения кинетической энергии i-ой частицы, dKi=Ai$. Суммируя эти равенства почленно, получаем закон изменения кинетической энергии системы: приращение кинетической энергии системы равно работе всех сил, действующих на все частицы системы, т.е.

dKсис=Aконс+Aнеконс= -dUсоб-dUвнеш+Aнеконс,

откуда

dEсис=Aнеконс.

Это - закон изменения механической энергии системы: изменение механической энергии системы равно работе неконсервативных сил.

Если же система - консервативная, т.е. на частицы системы не действуют никакие (ни внешние, ни внутренние) неконсервативные силы, то ее полная механическая энергия сохраняется.

  1. Момент импульса системы. Уравнение моментов

Моментом импульса системы называется аддитивная величина, равная векторной сумме моментов импульса всех частиц системы:

.

Закон изменения полного момента импульса системы: . Это уравнение называется уравнением моментов и утверждает, что производная по времени полного момента импульса системы равна результирующему моменту внешних сил.


  1. Закон сохранения момента импульса

Как следует из уравнения моментов, полный момент импульса системы сохраняется, если сумма моментов внещних сил, действующих на систему, равна нулю.

Этот закон может выполняться только для одной единственной точки (центра). Закон сохранения момента импульса имеет векторный характер, поэтому может сохраняться не сам вектор момента импульса, а его проекция (или две проекции). Допустим, что . Тогда


Динамика твердого тела

1. Вращение тела относительно закрепленной оси

 Произвольное движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного движения и вращения вокруг оси.

В ИСО уравнения движения твердого тела можно записать в виде:

Первое из этих уравнений описывает поступательное движение тела, второе - ращательное.

Рассмотрим только некоторые наиболее простые частные случаи вращательного движения.

Рассматривая твердое тело, как систему частиц, обобщим формулу для момента импульса частицы на случай произвольного твердого тела. Момент импульса тела относительно закрепленной оси будет:

где величина называется моментом инерции тела относительно оси (Ri -расстояние i-ой точки от оси вращения).

Таким образом, момент импульса тела относительно закрепленной оси равен произведению момента инерции на угловую скорость:

LZ=IZ.

Кроме того,

или

Последнее уравнение называется основным уравнением вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси.

Как из него следует: если моменты всех сил относительно оси уравновешены, т.е. MZ=0, то момент импульса тела (или системы тел) относительно той же оси сохраняется: LZ=IZ=const. Это частный случай закона сохранения момента импульса.

Если же MZ0, то из уравнения следует:

изменение момента импульса за время t=t2-t1 равно импульсу момента силы за то же время.

В частном случае I=const уравнение еще более упрощается и принимает вид:

произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему

моменту внешних сил.

Из последней формулы следует, что момент инерции играет роль меры инертности при вращательном движении тела (как масса - при поступательном).

2. Момент инерции и его вычисление

Согласно определению, момент инерции тела относительно оси равен сумме произведений масс частиц на квадраты их расстояний до оси вращения или

Однако, эта формула непригодна для вычисления момента инерции; так как масса твердого тела распределена непрерывно, то сумму следует заменить на интеграл. Поэтому для вычисления момента инерции тело разбивают на бесконечно малые объемы dV с массой dm=dV. Тогда

где R - расстояние элемента dV от оси вращения.

Если момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс, известен, то можно легко вычислить момент инерции относительно любой параллельной оси О, проходящей на расстоянии d от центра масс или

IO=IC+md2,

Это соотношение называется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси параллельной ей и проходящей через центр масс и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

3. Кинетическая энергия вращения

Кинетическая энергия вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела

 Дифференцируя формулу по времени, получим закон изменения кинетической энергии вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела:

скорость изменения кинетической энергии вращательного движения равна мощности момента силы.

Отсюда

dKвращ=MZZdt=MZd  K  K2-K1=

т.е. изменение кинетической энергии вращения равно работе момента сил.


4. Плоское движение

Движение твердого тела, при котором центр масс перемещается в фиксированной плоскости, а ось его вращения, проходящая через центр масс, остается перпендикулярной к этой плоскости, называется плоским движением. Это движение можно свести к совокупности поступательного движения и вращения вокруг неподвижной (закрепленной) оси, так как в Ц-системе ось вращения, действительно, остается неподвижной. Поэтому плоское движение описывается упрощенной системой двух уравнений движения:

    (8.10)

Кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение, будет:

и окончательно

,

так как в данном случае i' - скорость вращения i-ой точки вокруг неподвижной оси.


Колебания

1. Гармонический осциллятор

Колебаниями вообще называются движения, повторяющиеся во времени.

Если эти повторения следуют через равные промежутки времени, т.е. x(t+T)=x(t), то колебания называются периодическими. Система, совершающая

колебания, называется осциллятором. Колебания, которые совершает система, предоставленная самой себе, называются собственными, а частота колебаний в этом случае -- собственной частотой.

Гармоническими колебаниями называются колебания, происходящие по закону sin или cos. Например,

x(t)=A cos( t+0),

где x(t) -- смещение частицы от положения равновесия, A -- максимальное

смещение или амплитуда, t+0 -- фаза колебаний, 0 -- начальная фаза (при t=0), -- циклическая частота, -- просто частота колебаний.

Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Существенно, что амплитуда и частота гармонических колебаний постоянны и не зависят друг от друга.

                   Условия возникновения гармонических колебаний:на частицу (или систему частиц) должна действовать сила или момент сил, пропорциональные смещению частицы из положения равновесия и

стремящиеся вернуть ее в положение равновесия. Такая сила (или момент сил)

называется квазиупругой; она имеет вид , где k  называется квазижесткостью.

В частности это может быть и просто упругая сила, приводящая в колебания пружинный маятник, колеблющийся вдоль оси x. Уравнение движения такого маятника имеет вид:

 или  ,

где введено обозначение .

Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что решением уравнения

является функция

x=A cos( 0t+0),

где A и  0 -- постоянные величины, для определения которых следует задать два начальных условия: положение x(0)=x0 частицы и ее скорость vх(0)=v0 в начальный (нулевой) момент времени.

Это уравнение представляет собою динамическое уравнение любых

гармонических колебаний с собственной частотой 0. Для грузика на

пружинке период колебаний пружинного маятника

.

2. Физический и математический маятники

Физический маятник -- это любое физическое тело, совершающее

колебания вокруг оси, не проходящей через центр масс, в поле сил тяжести.

Для того, чтобы собственные колебания системы были гармоническим, необходимо, чтобы амплитуда этих колебаний была мала. Кстати, то же справедливо и для пружинки: Fупр=-kx только для малых деформаций пружинки x.

Период колебаний определяется формулой:

.

Заметим, что квазиупругим здесь является момент силы тяжести

Mя = - mgd , пропорциональный угловому отклонению .

Частным случаем физического маятника является математический маятник -- точечная масса, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длины l. Период малых колебаний математического маятника

3. Затухающие гармонические колебания

В реальной ситуации на осциллятор со стороны окружающей среды всегда действуют диссипативные силы (вязкого трения, сопротивления среды)

, которые замедляют движение. Уравнение движения тогда принимает вид:

.

Обозначая и , получаем динамическое уравнение собственных затухающих гармонических колебаний:

.

Как и в случае незатухающих колебаний, это общая форма уравнения.

При не слишком большом сопротивлении среды <0 колебания осциллятора совершаются  по закону:

Функция представляет собою убывающую по экспоненте амплитуду колебаний. Это уменьшение амплитуды называется релаксацией (ослаблением) колебаний, а  называется коэффициентом затухания колебаний.

Время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в e=2,71828 раз,  

называется временем релаксации.

.

Кроме коэффициента затухания, вводится еще одна характеристика,

называемая логарифмическим декрементом затухания -- это натуральный

логарифм отношения амплитуд (или смещений) через период:

.

Частота собственных затухающих колебаний

зависит не только от величины квазиупругой силы и массы тела, но и от

сопротивления среды.

4. Сложение гармонических колебаний

Рассмотрим два случая такого сложения.

   a) Осциллятор участвует в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях.

В этом случае вдоль осей x и y действуют две квазиупругие силы. Тогда

Для того, чтобы найти траекторию осциллятора, следует исключить из этих уравнений время t.

Проще всего это сделать в случае кратных частот:

, где n и m -- целые числа.

В этом случае траекторией осциллятора будет некоторая замкнутая кривая, называемая фигурой Лиссажу.

Пример: частоты колебаний по x и y одинаковы (1=2=), а разность фаз колебаний (для простоты положим 1=0).

.

Отсюда находим: -- фигурой Лиссажу будет эллипс.

             б) Осциллятор совершает колебания одного направления.

Пусть таких колебаний пока будет два; тогда

где и  -- фазы колебаний.

Аналитически колебания складывать очень неудобно, особенно, когда их

не два, а несколько; поэтому обычно используется геометрический метод векторных диаграмм.

5. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания возникают при действии на осциллятор

внешней периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону

с частотой вн: .

Динамическое уравнение вынужденных колебаний:

Для установившегося режима колебаний решением уравнения будет гармоническая функция:

где A -- амплитуда вынужденных колебаний, а  -- отставание по фазе

от вынуждающей силы.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний:

Отставание по фазе установившихся вынужденных колебаний от внешней

вынуждающей силы:

.

\hs Итак: установившиеся вынужденные колебания происходят

с постоянной, не зависящей от времени амплитудой, т.е. не затухают,

несмотря на сопротивление среды. Это объясняется тем, что работа

внешней силы идет на

увеличение механической энергии осциллятора и полностью компенсирует

ее убывание, происходящее из-за действия диссипативной силы сопротивления

среды.

6. Резонанс

Как видно из формулы, амплитуда вынужденных колебаний

Авн зависит от частоты внешней вынуждающей силы вн. График этой зависимости называется резонансной кривой или амплитудно-частотной характеристикой осциллятора.

То значение частоты внешней силы, при котором амплитуда колебаний становится максимальной, называется резонансной частотой рез, а резкое возрастание амплитуды при вн = рез -- резонансом.

Условием резонанса будет условие экстремума функции А(вн):

.

Резонансная частота осциллятора определяется выражением:

.

При этом резонансное значение амплитуды вынужденных колебаний

будет

Величина , характеризующая резонансный отклик системы, называется добротностью осциллятора.

Наоборот, при достаточно большом сопротивлении никакого резонанса наблюдаться не будет.


Основы специальной теории относительности.

1. Постулаты специальной теории относительности

Эйнштейн сформулировал два постулата (принципа), которые и лежат

в основе специальной теории относительности (СТО).

  1.  Принцип относительности Эйнштейна: все законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета (т.е. инвариантны при переходе от одной ИСО к другой).

Или иначе: никакими опытами нельзя установить покоится ли ИСО

или движется неускоренно.

       2) Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит

от скорости и направления движения источника света.

Из этих постулатов следует, что скорость света в вакууме является

предельной скоростью, и ни одно тело, ни одно взаимодействие не может

иметь скорость большую, чем c=2,9979* м/с.

В отличие от этого утверждения механика Ньютона предполагает

дальнодействие, т.е. мгновенную передачу взаимодействия (с бесконечной скоростью).  

2. Одновременность и синхронизация часов

Чтобы придти к таким фундаментальным выводам, Эйнштейну пришлось

детально проанализировать и пересмотреть ряд понятий, кажущихся очевидными в ньютоновской механике. Ньютон (и Галилей) исходили из абсолютности времени и пространства. Иное дело -- СТО. Оказывается, что два события, происходящие в одной точке x1 = x2 или одновременно t1 = t2 в одной ИСО, будут удалены друг от друга  или неодновременны в другой системе отсчета.

Иначе говоря, часы в разных системах идут по-разному и линейки

показывают разную длину !

3. Следствия постулатов Эйнштейна

  а)  Поперечные размеры тел при движении не меняются, т.е. y' = y, z' = z.

  б) Время течет по-разному в движущихся относительно друг друга системах отсчета. Более того, для движущихся часов период оказывается большим, чем для неподвижных, или иначе: движущиеся часы всегда отстают ! Время, отсчитанное по собственным часам наблюдателя, т.е. по часам, которые относительно наблюдателя покоятся, называется собственным временем .

Но если какая-либо система движется относительно наблюдателя со скоростью v0, то для него все процессы, происходящие в движущейся системе,

замедляются в раз. Этот эффект называется релятивистским замедлением времени.

Все движущиеся тела сокращаются в размерах в направлении

движения в раз. Это -- релятивистское или лоренцево сокращение длины.

4. Преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца, связывают координаты и моменты времени одного и того же события в разных инерциальных системах отсчета (они аналогичны преобразованиям Галилея в классической теории).

                      Прямые                                      Обратные

                преобразования                           преобразования

                      Лоренца                                       Лоренца

                         

Особенности полученных выражений:

1) Прямые и обратные преобразования Лоренца связаны простой заменой v0

на –v0.

2) При эти преобразования переходят в преобразования Галилея:

x' = x - v0t, y' = y, z' = z, t' = t. Иначе говоря, классическая механика является предельным случаем релятивистской (как того и требует принцип соответствия), если предположить возможность мгновенной передачи

взаимодействий на любые расстояния, т.е. с бесконечной скоростью c.

3) Преобразования имеют физический смысл только при v0<c.

4) Такой простой вид преобразования имеют потому, что ось Ox направлена

по скорости движения системы K'.

5. Энергия релятивистской частицы

Полная энергия релятивистской частицы . Полная энергия включает в себя все виды энергии: механическую, тепловую, химическую, ядерную и т.д.

Энергия частицы при v=0, т.е. называется энергией покоя. Это -- максимальная энергия, заключенная в покоящейся в данной системе отсчета частице (теле); она включает в себя энергию внутриатомных и внутриядерных взаимодействий.

Согласно определению, кинетическая энергия частицы (энергия движения) будет равна разности полной энергии и энергии покоя

Из формулы следует, что ни одна частица с массой, отличной от нуля, не может двигаться со световой скоростью ! И наоборот, безмассовые частицы (m=0) могут существовать, только двигаясь со скоростью света !

При малых скоростях (v << c)

 и ,

т.е. формула приводит к хорошо известному классическому выражению

для кинетической энергии частицы.

С другой стороны, полную энергию можно представить, как сумму энергии покоя и кинетической энергии частицы .

Можно энергию и  импульс  объединить в один общий 4-вектор энергии--

импульса

     или  

Последнюю формулу можно применять и для безмассовых частиц, к которым относятся фотоны. Для них формула дает: E = pc.


Введение в термодинамику

1 Термодинамический и молекулярно-кинетический способы

описания

Термодинамической  системой  называется совокупность

макроскопических тел, состоящих из огромного числа независимо

движущихся молекул (материальных точек). Под телом может

подразумеваться и жидкость, и газ, и кристалл, и плазма и т.д.

Следовательно, термодинамическая система --- это система с огромным числом степеней свободы. Описать ее можно с помощью микроскопических параметров, т.е. скоростей, координат, масс отдельных молекул. Тогда изменение состояния системы, т.е. процесс, протекающий в ней, будет суммарным результатом движения всех молекул. Такой способ описания называется молекулярно--кинетическим или статистическим. Он используется в статистической физике.

Но можно описать термодинамическую систему, не интересуясь движением отдельных молекул, т.е. с помощью макроскопических или термодинамических параметров, характеризующих состояние системы в целом. Такими параметрами являются: объем V, давление p, температура T, поляризованность , намагниченность и т.п. Этот способ описания называется термодинамическим и изучается в термодинамике.

Если значения всех термодинамических параметров одинаковы во всех точках термодинамической системы и неизменны во времени, то она называется равновесной, а состояние такой системы - равновесным состоянием.    Если же значения хотя бы одного термодинамического параметра различны в разных точках системы или он изменяется во времени,

то ее состояние называется неравновесным. Если любую физическую систему изолировать от внешних тел, то она приходит в равновесие: значения всех термодинамических параметров выравниваются во всех ее точках.    Процесс перехода системы из неравновесного в равновесное состояние называется релаксацией, а время, за которое устанавливаются равновесные значения всех параметров системы, - временем релаксации .

Начнем рассматривать термодинамические системы, описываемые

тремя термодинамическими параметрами: p, V и T.

Равновесное состояние такой системы можно изобразить точкой на диаграмме состояний в координатах p, V; p, T или T, V  (неравновесное состояние задать на диаграмме состояний нельзя, так как термодинамические параметры для системы различны в разных точках).

Переход системы из одного равновесного состояния в другое -всегда неравновесный процесс, состоящий из последовательности неравновесных состояний, и изобразить его на диаграмме состояний, строго говоря, нельзя. Но если этот процесс происходит достаточно медленно (т.е. время релаксации очень мало: tпроцесса >> ), то в любой момент времени в системе успевает установиться почти равновесное состояние. Процесс, состоящий из такой непрерывной последовательности равновесных состояний, называется  квазистатическим или равновесным. Этот процесс можно изобразить кривой на диаграмме состояний.

Равновесный процесс может быть проведен в обратном направлении, причем система проходит те же состояния, но в обратной последовательности. Такой процесс называется обратимым. Все равновесные процессы обратимы.

2 Температура

Сообщаемая системе теплота (или тепло) -- это энергия,

передаваемая в виде энергии движения молекул. Если система находится в тепловом равновесии, т.е. нет передачи тепла между различными ее частями, то всем частям системы приписывается одно и то же значение температуры T.

Если же первое тело передает энергию (теплоту) второму, то его температура выше, чем у второго. Следовательно, в термодинамике температура характеризует способность тела отдавать энергию в виде тепла.

Измерить температуру можно по изменению какого-либо другого параметра, меняющегося  при изменении энергии тела, на чем основано действие разнообразных термометров.

3 Нулевое начало термодинамики

Способность термометров измерять температуру основана на уже упоминавшемся свойстве термодинамических систем, которое часто называют нулевым началом термодинамики: если две системы привести в тепловой контакт, то значения их термодинамических параметров выравниваются, т.е. системы приходят в состояние равновесия. Изолированная от внешних тел неравновесная система также со временем приходит в равновесие.

4 Уравнение состояния идеального газа

Термодинамические параметры любой термодинамической системы связаны некоторой функциональной зависимостью:

Каждая термодинамическая система, какой бы сложной она не была, описывается своим собственным уравнением состояния. Наиболее простой системой является идеальный газ, удовлетворяющий двум условиям:

а) молекулы такого газа --- это крошечные шарики, суммарным объемом которых можно пренебречь по сравнению с объемом самого газа;

б) эти молекулы сталкиваются между собой и со стенками как идеально упругие шарики, а на расстоянии не взаимодействуют ни друг с другом, ни с остальными телами.

При обычных условиях, т.е. при не очень больших давлениях

и не очень низких температурах, любой газ с хорошей степенью точности можно считать идеальным.

Из опыта было найдено, что для идеального газа . Величину этой константы для 1 моля идеального газа называют универсальной газовой постоянной R.

Если газ содержит молей, где m - масса всего газа, а  - молярная масса, или масса одного моля, то . Данное уравнение будет уравнением состояния идеального газа.

Его можно записать в другом виде:

.

Идеальный газ описывается наиболее простым уравнением состояния.

5 Работа

Вычислим работу, совершаемую телом (газом) при расширении. Газ, расширяясь в сосуде с сечением S, давит на поршень с силой F=pS. При бесконечно малом смещении поршня на dx эта сила совершает работу A=Fdx=pSdx=pdV. Если расширяющийся газ заполняет объем V , ограниченный поверхностью S произвольной формы, то суммарная работа при бесконечно малом изменении объема газа на величину dV= (S*dx)=Sdx определяется той же формулой: A=p dV.

Это выражение включает две независимые переменные p и V и, вообще говоря, не является полным дифференциалом: . Полная работа газа при переходе из состояния 1 в состояние 2 равна площади под кривой процесса на диаграмме p-V: .

Из последнего выражения следует, что работа зависит от пути, или от процесса, которым система приходит из состояния 1 в состояние 2.

Циклическим называется процесс, при котором система вновь приходит в исходное состояние. Работа газа при циклическом процессе равна площади замкнутой петли цикла на p-V диаграмме.

6 Внутренняя энергия термодинамической системы

Внутренняя энергия --- это энергия системы за вычетом ее полной механической энергии (которая складывается из кинетической энергии системы  как целого и ее потенциальной энергии в поле внешних сил):

 

Внутренняя энергия системы складывается из:

а) кинетической энергии непрерывного хаотического движения молекул;

б) потенциальной энергии взаимодействия молекул между собой;

в) внутримолекулярной энергии (энергии химических связей, ядерной энергии и т.п.).

Для идеального газа внутренняя энергия равна суммарной кинетической энергии хаотического движения всех N молекул газа:

.

Внутренняя энергия системы аддитивна, т.е. складывается из внутренних энергий ее частей.

Внутренняя энергия системы является функцией состояния. Поэтому приращение внутренней энергии (как и приращение всех функций состояния) всегда будет полным дифференциалом dU.

При циклическом процессе, когда система приходит в исходное состояние,  ее внутренняя энергия не меняется .

7 Первое начало термодинамики

Одним из ключевых постулатов термодинамики является закон сохранения энергии (или уравнение баланса энергии), который выполняется в любой термодинамической системе и называется первым началом термодинамики. Его формулировка такова: теплота, сообщаемая системе, идет на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами (против внешних сил):

         Q=dU+A.

Для конечных изменений термодинамических параметров

         Q=U+A.

8 Внутренняя энергия и первое начало термодинамики для

идеального газа

Введем еще одно понятие: теплоемкость С - это величина, равная количеству тепла, которое надо сообщить системе, чтобы повысить ее температуру на 1 К:

Точно так же обозначается молярная теплоемкость, относящаяся

к 1 молю вещества.  Если система содержит молей вещества,

то .

Величина теплоемкости зависит от способа, которым системе

сообщается тепло, т.е. различна для разных процессов.

Теплоемкость системы может быть произвольной функцией

термодинамических параметров p, V; p, T или V, T. Каждой такой функции соответствует какой-то протекающий в природе процесс. Процессы с постоянной теплоемкостью C=const называются политропическими.

Для произвольной массы идеального газа .

Первое начало термодинамики для идеального газа имеет вид:

где C - молярная теплоемкость газа, различная для разных процессов.

9 Изопроцессы в идеальном газе

Рассмотрим некоторые самые простые политропические процессы, протекающие в идеальном газе.

  1.  Изотермический процесс (T=const или pV=const). Внутренняя энергия U не изменяется, и поступающая теплота идет на совершение работы: Q=p*dV. Работа газа при изотермическом процессе

    .

2)  Изохорический процесс ($V=const или p/T=const).

В этом процессе работа не совершается AV=0,, так как dV=0.

Поступающее тепло идет на изменение внутренней энергии (нагревание или охлаждение) газа: .

          3)  Изобарический процесс (p=const или V/T=const).

Таким процессом будет медленное нагревание газа под незакрепленным поршнем. Давление газа при этом складывается из атмосферного давления и давления, созданного весом поршня, и не меняется. Работа газа при изобарическом процессе

или

Cвязь между теплоемкостями идеального газа при

постоянном давлении и постоянном объеме

            СрV+R,

называется  уравнением Майера.

         4)  Адиабатический процесс.

Это -- процесс, происходящий без передачи тепла: Qад=0. Теплоемкость газа при таком процессе Cад=0.

На практике часто встречаются процессы, протекающие достаточно быстро, так что система не успевает получить или отдать энергию в виде тепла. Такие процессы можно считать адиабатическими. Уравнение адиабатического процесса

для идеального газа: называется уравнением Пуассона. Отношение называется показателем адиабаты.


Второе начало термодинамики. Тепловые машины.

1 Термодинамическое определение энтропии

Энтропия S - это величина, приращение которой связано с количеством

тепла, поступающего в систему: .

Так, например, для идеального газа , следовательно, приращение энтропии идеального газа: .

Приращение энтропии будет полным дифференциалом (как и приращение внутренней энергии), а сама энтропия S - это функция состояния

системы.

Хотя теплота Q передается по-разному в различных процессах, но

изменение энтропии не зависит от способа передачи тепла, а зависит только

от начального и конечного состояний системы (от значений её термодинамических параметров).

Как и любая функция состояния, энтропия определена с точностью

до произвольной постоянной. .

Замечание: значение этой постоянной устанавливает третье начало термодинамики, которое постулирует, что S=0  при T=0. Но для идеального газа, как вытекает из полученной формулы, следовательно, в области очень низких температур газ нельзя считать идеальным. При любом циклическом процессе, когда система приходит в исходное состояние, изменение энтропии равно нулю. Заметим, что так как, то переданное тепло равно площади под кривой процесса на диаграмме T - S. При этом первое начало термодинамики для идеального газа можно записать в виде .

Для адиабаты dS=0 или S=const, поэтому адиабатический процесс можно назвать изоэнтропийным.

Равенство справедливо только для равновесных (обратимых) процессов. Для неравновесных (необратимых) процессов (хотя S - по-прежнему функция состояния системы).

Если циклический процесс сопровождается некоторыми необратимыми изменениями, то из формулы получаем - это неравенство Клаузиуса.

2 Второе начало термодинамики

Направление протекания реальных термодинамических процессов определяется изменением энтропии S:

во всех равновесных и неравновесных процессах энтропия замкнутой  системы не может убывать: .

Это утверждение называется вторым началом термодинамики.

Существуют другие формулировки второго начала термодинамики.

Приведем формулировку Кельвина, связанную с невозможностью существования вечного двигателя: невозможны такие процессы,  единственным конечным результатом которых было бы превращение всего полученного системой тепла в работу.

Второе начало термодинамики запрещает существование

вечных двигателей второго рода.

Формулировка Кельвина утверждает, что если термодинамическая система получает тепло от нагретого тела (нагревателя) и, совершая циклический процесс, производит работу, то она обязана часть энергии в виде тепла отдавать другим телам (холодильнику).

3 Тепловые машины. Циклические процессы

Как правило, любая тепловая машина (двигатель) использует циклический процесс. Ее рабочее тело, т.е. термодинамическая система, преобразующая часть полученного тепла в работу, периодически через цикл приходит в начальное состояние.

Так как в результате циклического процесса внутренняя энергия не изменяется, т.е. , то из первого начала термодинамики следует, что совершенная за цикл работа равна площади петли цикла на диаграмме p-V и она же равна разности полученной и отданной за цикл теплоты: A=Q1-Q2.

К.п.д. тепловой машины (цикла) равен отношению произведенной за цикл работы к полученному от нагревателя теплу:  Заметим, что тепло распространяется от нагретого тела к холодному, но не наоборот: .

Это утверждает формулировка Клаузиуса второго начала термодинамики: невозможны такие процессы, единственным результатом которых был бы переход тепла от холодного тела к нагретому.

4 Цикл Карно

Легко увидеть, что в системе нагреватель - рабочее тело - холодильник существует единственный циклический процесс, для которого прием тепла от нагревателя и передача тепла холодильнику обратимы. Такой цикл состоит из двух изотерм и двух адиабат и  называется циклом Карно. При этом система последовательно приводится в тепловой контакт с единственным нагревателем и единственным холодильником.

К.п.д. цикла Карно .

Таким будет к.п.д. всех машин, работающих по циклу Карно, независимо от того, какое рабочее тело (идеальный газ или что-либо другое) используется в них.

Рассмотрим теперь работу произвольной тепловой машины с обратимым циклом. Заметим, что совершаемая машиной работа A=Q1-Q2 равна площади внутри кривой цикла на диаграмме T-S.

Процесс передачи тепла для всех машин, кроме машины Карно, необратим. Поэтому изменение энтропии всей системы "нагреватель -- машина -- холодильник" за один полный цикл

 (энтропия не может убывать).

Это -  неравенство  Клаузиуса для тепловых машин. Отсюда следует, что (знак равенства справедлив только для идеального цикла Карно), и к.п.д. любой машины меньше к.п.д. цикла Карно.


Энтропия (статистический подход)

1 Энтропия при необратимых процессах

В предыдущей главе было показано, что реальные процессы протекают

в одну сторону, т. е. необратимы. Например, любая реальная тепловая машина будет работать при необратимом переходе части тепла

от более нагретого тела к менее нагретому. В условиях термодинамического равновесия ни одна машина не будет работать, и ни один биологический организм не сможет функционировать.

Направление необратимых процессов определяется ростом энтропии

всей системы. Этот рост вызван возникновением энтропийных сил, стремящиеся перевести систему в состояние с большей энтропией.

Чем сильнее отклоняется система от равновесного состояния, тем больше эти силы.

Но необратимые процессы с изменением энтропии идут с передачей тепла окружающим телам. Следовательно, энтропийные силы являются неконсервативными (диссипативными).

Часто энтропийные и механические (консервативные) силы направлены противоположно. Так, консервативная сила тяжести mg заставляет молекулы земной атмосферы упасть на поверхность Земли, а энтропийная сила давления стремится расширить атмосферу до бесконечного объема. В этом случае между силами устанавливается равновесие.

При изменении термодинамических параметров это равновесие

нарушается, и система приходит в новое состояние равновесия. Так, при увеличении температуры T объем земной атмосферы должен возрасти.

Рассмотрим теперь, до какой же степени может расти энтропия в необратимых процессах, протекающих в природе.

3 Термодинамическая вероятность.

Микросостояние системы - это состояние с определенными значениями ее микропараметров, т.е. координат xi, yi, zi и скоростей vix, viy, viz всех ее молекул.

Одним и тем же значениям параметров p,V,T, т.е. одному  макросостоянию системы, могут соответствовать разные микросостояния.

В основании статистического метода лежит постулат равновероятности микросостояний: все микросостояния системы молекул равновероятны.

Термодинамической вероятностью  макросостояния с параметрами p,V,T называется отношение числа Mp,V,T различных микросостояний системы, соответствующих данным значениям p,V и T, числу всех возможных микросостояний M: . Термодинамическая вероятность - это вероятность существования системы в равновесном состоянии с определенными значениями параметров p,V и T. Если  - вероятность одного микросостояния системы, то

.

Случай, когда молекулы распределены равномерно, соответствует равновесному состоянию системы (выравнивание давления p во всех точках системы).В равновесном состоянии

термодинамическая вероятность системы максимальна, и она резко убывает при переходе в неравновесное состояние. Следовательно, равновесное состояние - это наиболее вероятное состояние.

Вечный двигатель второго рода не существует не потому, что он абсолютно запрещен, а потому, что он в принципе невероятен.

Cлучайные отклонения от равновесного значения

m = m – <m> называются флуктуациями.

3 Статистическое определение энтропии. Формула Больцмана.

Термодинамическая вероятность -- величина не аддитивная.Физика имеет дело с аддитивными величинами(энергия, импульс и т.п.). Следовательно, физический смысл имеет величина ln  = ln I + ln II.

Cтатистический смысл энтропии: энтропия системы пропорциональна логарифму ее термодинамической вероятности:

                                       S=k*ln .

Вывод: энтропия максимальна тогда же, когда и термодинамическая вероятность , т.е. в равновесном состоянии системы. Энтропийные силы стремятся привести систему в равновесие, когда ее молекулы движутся наиболее беспорядочно, в состояние теплового хаоса. Энтропия - это мера теплового беспорядка системы.

Пользуясь этим выводом, можно сформулировать второе начало термодинамики следующим образом: все физические процессы в природе идут в таком направлении, чтобы привести термодинамическую систему в равновесие, когда ее энтропия максимальна.

4 Третье начало термодинамики.

В классической теории всякое тепловое движение молекул прекращается при T = 0 К, и система сохраняет единственное "неподвижное" микросостояние с термодинамической вероятностью  =1. Тогда из формулы Больцмана .

Этот результат выражает третье начало термодинамики, или теорему Нернста: энтропия термодинамической системы при стремлении температуры к нулю также стремится к нулю:.

По сути дела в термодинамике энтропия S определена с точностью до произвольной постоянной. Третье начало определяет эту постоянную. Она равна нулю.

Из теоремы Нернста можно сделать вывод о недостижимости абсолютного нуля температур T = 0 К.


Необратимые процессы в газах.

Явления переноса

1 Столкновения молекул газа между собой.

В этой главе молекулярно-кинетическая теория используется для объяснения необратимых процессов в газах. Все такие процессы (перенос тепла, возникновение диффузионных потоков вещества, силы вязкого трения и т.п.) вызваны столкновениями молекул газа между собой.

Реальные молекулы не являются идеальными шарами. При сближении между ними действуют силы притяжения Ван-дер-Ваальса и кулоновские силы отталкивания электронных оболочек. Последние резко возрастают на малых расстояниях, и молекулы отталкиваются друг от друга.

Минимальное расстояние d, на которое сближаются при столкновении молекулы, называется эффективным диаметром молекулы.

Эффективный диаметр молекулы d очень слабо уменьшается с ростом температуры газа T. Площадь круга с радиусом d называют эффективным сечением взаимодействия молекул =d2.

Траектория движения молекулы в газе является ломаной линией.

Если другие молекулы газа попадают в пределы эффективного сечения

, то летящая молекула отклоняется от них.

Средней длиной свободного пробега молекулы называют средний путь, проходимый молекулой между двумя последовательными столкновениями.

Величина средней длины свободного пробега молекул

.

2 Явления переноса

Пусть усредненная величина  характеризует некоторое свойство молекул газа (это может быть средняя энергия, концентрация молекул, их импульс и т.п.). Газ стремится к состоянию равновесия, когда значение  во всех точках одинаково.

Плотность потока величины - это количество , переносимое молекулами через перпендикулярную к направлению переноса поверхность единичной площади за единицу времени. Направление вектора указывает направление переноса величины .

Поток J величины - это количество , переносимое молекулами за единицу времени через некоторую поверхность. J - скалярная величина, определяемая формулой

Ясно, что поток стремится уничтожить различие значений , т.е. направлен в сторону наибыстрейшего убывания величины , и чем больше будет разность значений  в соседних точках, тем больше величина потока. Поэтому общее выражение для плотности потока любой величины  запишется в виде , где C - некоторый коэффициент.

Коэффициент C зависит от среды, в которой возникает перенос.

Можно показать, что плотность потока любой величины в газе:

         

3 Теплопроводность газов

При перепаде температур возникает поток тепла , т.е. суммарной кинетической энергии, переносимой молекулами газа из области с большей в область с меньшей температурой. Так как средняя энергия одной молекулы пропорциональна температуре газа, то плотность потока тепла, или количество тепла, переносимого молекулами через единичную площадь за единицу времени выражается формулой  

 ae grad T – это закон Фурье.     

Здесь ae == ae  = -- коэффициент теплопроводности в газах. Он практически не зависит от давления газа и возрастает с температурой по закону ae ~ ~ .

В сильно разреженных газах теплопроводность пропорциональна давлению p. Поэтому для предотвращения передачи тепла газ в пространстве между двойных стенок термосов или сосудов Дьюара откачивают до наиболее разреженного состояния.

4 Вязкость

На любое тело, движущееся со скоростью в газообразной или жидкой среде  действует  диссипативная  сила  вязкого  трения . Это тоже явление переноса. За счет обмена молекул с разными импульсами между соседними слоями возникает явление переноса импульса =mu от движущегося газа к покоящемуся. Поток импульса, т.е. импульс, переносимый в поперечном направлении за единицу времени, определяется формулой

.

Уменьшение импульса движущегося тела или слоя означает его  торможение, вызванное силой вязкого трения. Величина этой силы была установлена Ньютоном (1687г): . Сравнивая с предыдущей формулой, находим

,

т.е. сила вязкого трения в газах (и в жидкостях) пропорциональна

площади движущегося тела, градиенту скорости среды, увлекаемой телом,

и коэффициенту , который называется динамической вязкостью среды. В газах .


Многокомпонентные термодинамические системы и необратимые процессы в них

1 Фазы и химический потенциал

Любой однородный по своим физическим свойствам участок сложной термодинамической системы называется фазой.

Фазой может быть определённое агрегатное состояние вещества - газ, жидкость или твёрдое тело, свойства которых одинаковы во всех точках, создают газообразную, жидкую или твёрдую фазу.

Фазы могут отличаться любыми другими свойствами. Например, углерод в

твёрдом состоянии образует либо кристаллическую решётку графита, либо алмаза, т.е. разные кристаллические фазы. Одна и та же кристаллическая решётка железа при разных температурах ведёт себя или как ферромагнетик, или как парамагнетик, т.е. различается магнитными свойствами и образует разные фазы.

Фаза может состоять из различных компонентов, т.е. молекул или атомов разного сорта.

Рассмотрим сложную термодинамическую систему, состоящую из n компонентов (молекул разного сорта), которые образуют m разных фаз.

Общим свойством всех термодинамических систем является переход части молекул из одной фазы в другую при изменении термодинамических параметров.Заметим, что все эти переходы молекул равновесны. Каждую фазу сложной термодинамической системы можно рассматривать, как более простую термодинамическую систему с переменным числом частиц, которая занимает определённый объём V и обменивается с соседними фазами как энергией (теплом), так и молекулами.

Внутренняя энергия фазы (системы с переменным числом частиц) зависит не только от термодинамических параметров, p, V, T, S, но и от числа частиц каждого компонента.

Пусть фаза j (j=1,2,…,m) содержит молекул i- го компонента (i=1,2,…,n). Изменение внутренней энергии этой фазы в равновесном процессе можно записать в виде:

- уравнение Гиббса.

Функции , называются химическими потенциалами. Это свободная энергия или работа, которую надо совершить при неизменных температуре и объёме фазы (термодинамической системы), чтобы добавить в неё одну дополнительную частицу i- го компонента, не изменяя числа частиц (молекул) Nk, k i, остальных компонентов.

2 Диффузия в газах

Диффузия -- это ещё один пример явлений переноса. Пусть газ состоит из молекул разного сорта с концентрациями n1 и n2.

Давление газа, а вместе с ним и суммарная концентрация его молекул при неизменной температуре одинаковы во всех точках: n=n1+n1=p/(kT)=const.

Но концентрации молекул каждого сорта могут меняться от точки к точке, система неравновесна, и возникают потоки молекул с плотностью , выравнивающие эти концентрации.

Введём величину удельной концентрации , отнесённой к одной молекуле. Подставляя i в выражение для плотности потока , получаем - это число молекул i- го сорта, пересекающих единичную площадку за единицу времени (в направлении от точки с большей концентрацией к точке с меньшей концентрацией ni).

Уравнение называется законом Фика, где величина коэффициента диффузии Di зависит от свойств среды.

Полученное выше для газов выражение является коэффициентом самодиффузии. Оно соответствует случаю, когда молекулы разных сортов практически не отличаются друг от друга, т.е. имеют одинаковые эффективные сечения  и массы m.

Самодиффузия -- это перенос каким-либо образом выделенных молекул в среде из таких же молекул. В действительности молекулы разных сортов имеют различные размеры, массы и коэффициенты самодиффузии . Поэтому поток лёгких молекул будет превышать поток тяжёлых молекул, и давление начнёт расти в области с большей концентрацией тяжёлых молекул. Возникающая разность давлений приведёт к появлению конвекционного (гидродинамического) потока, который будет выравнивать давление. Происходит совместное движение всех молекул газа со скоростью конвекции в область с меньшим давлением (ветер).

Результирующая плотность потока молекул i - го сорта (она является суммой диффузионного и конвекционного потоков) будет или - это закон Фика для взаимной диффузии, т.е. диффузии в среде из молекул разного сорта. Коэффициент взаимной диффузии Dвз имеет вид: и одинаков для молекул обоих сортов.

Как и все явления переноса, диффузия - это процесс установления равновесия в термодинамической системе. Важно оценить время установления равновесия, т.е. время релаксации системы.

Время релаксации  определяется размером x=L области, в которой происходит диффузия, а также величиной коэффициента диффузии D.


Реальные среды

1 Межмолекулярное взаимодействие

Реальные среды (твёрдые тела, жидкости, реальные газы) отличаются от идеального газа тем, что между удалёнными друг от друга молекулами среды действуют силы притяжения или отталкивания, т.е. молекулы нельзя рассматривать, как упругие шарики.

Несмотря на общую электромагнитную природу таких сил, в разных случаях они проявляются по-разному, что приводит к разнообразию свойств реальных сред.

а) Самые сильные связи возникают за счёт сил обменного взаимодей ствия, которые являются следствием квантовых эффектов. В результате действия этих сил суммарная энергия системы из двух одинаковых атомов становится минимальной при определённом расстоянии d0 между атомами.

Такая  связь  называется  ковалентной.  Условным классическим аналогом, объясняющим появление ковалентной связи, является неполярная двухатомная молекула : так как внешняя электронная оболочка обоих атомов N имеет максимальную плотность в центре молекулы, то она создаёт там некоторый эффективный отрицательный заряд "-", к которому притягиваются положительно заряженные ионы N+.  При сближении или удалении ионов возникают обменные силы, стремящиеся вернуть ионы в положение, соответствующее минимуму энергии. Таким образом у молекул появляются дополнительные колебательные степени свободы.

Подобным же образом обменные силы выстраивают атомы в периодическую структуру - кристаллическую решётку твёрдого тела.

б) Приблизительно так же сильна ионная связь: в системе из двух разнородных атомов электрону из внешней оболочки одного атома энергетически выгодно перейти в оболочку второго атома. Поэтому в полярных молекулах с ионной связью электронные облака ионов почти соприкасаются, но не перекрываются. Ионные связи способны выстраивать полярные молекулы в решётку ионных кристаллов, таких, например, как кристалл поваренной соли.

в) Водородная связь аналогична ионной, но заметно слабее её: атом водорода теряет электрон, отдавая его в оболочку соседнего атома.

г) Наиболее слаба связь между молекулами, электронные облака которых не перекрываются; хотя в целом любая молекула электрически нейтральна, её отрицательный и положительный заряды могут быть немного смещены друг относительно друга. Такая система называется электрическим диполем. Но электрические моменты полярных молекул направлены в разные стороны, беспорядочно (что соответствует минимуму энтропии системы). Силы притяжения молекул (диполей), имеющие электрическую природу и называемые силами Ван-дер-Ваальса, очень быстро убывают при увеличении расстояния r между молекулами. Такие силы могут при низкой температуре выстроить молекулы в кристаллическую решётку. Подобные кристаллы называются  молекулярными.

2 Особенности агрегатных состояний

При сближении молекул начинают действовать очень сильные кулоновские силы отталкивания их электронных облаков. Поэтому для всех типов межмолекулярных связей зависимость потенциальной энергии взаимодействия двух молекул от расстояния между ними имеет качественно схожий вид.

Универсальной функции, задающей потенциальную энергию взаимодействия молекул вещества, не существует. В случае жидкостей или газов хорошим приближением является формула Ленарда-Джонса

,  в которой первое слагаемое соответствует кулоновскому отталкиванию электронных облаков, а второе - силам притяжения Ван-дер-Ваальса.

Полная энергия E двух взаимодействующих молекул складывается из их потенциальной и кинетической энергий: E=Uвз+2(ikT/2). При относительно низкой температуре T1 молекулы находятся на дне потенциальной ямы. Они могут совершать небольшое колебательное движение около положения равновесия r=d, при котором энергия взаимодействия минимальна. Это соответствует твёрдому (кристаллическому) состоянию вещества.

При повышении температуры амплитуда тепловых колебаний молекул в узлах кристаллической решётки возрастает. Поэтому среднее расстояние d'=<r> между колеблющимися с большими амплитудами молекулами увеличивается, а вместе с ним растут и линейные размеры твёрдого тела. В области не слишком высоких температур линейные размеры твёрдого тела изменяются пропорционально изменению температуры:

,

где  - температурный коэффициент линейного теплового расшире-ния, l0 -- размер тела при первоначальной температуре T0.

При дальнейшем росте температуры часть связей между соседними молекулами рвётся. Однако отдельные молекулы остаются связанными в сложные комплексы. Эти комплексы имеют достаточно степеней свободы, чтобы перемещаться друг относительно друга. Но полная энергия молекул отрицательна: E2(T2)<0, и молекулы остаются в потенциальной яме, т.е. не могут разлететься на большое расстояние. Это соответствует жидкому состоянию среды.

Если выделить какую-нибудь молекулу, то другие молекулы вблизи неё расположены почти упорядоченно (как и молекулы в кристаллической решётке). Это -- так называемый ближний порядок. Такая упорядоченность обусловлена тем, что значительная часть межмолекулярных связей ещё не разорвана. Но при удалении от молекулы отклонения от упорядоченного расположения накапливаются, и удалённые молекулы расположены относительно любой произвольно выбранной молекулы беспорядочно. Поэтому, в отличие от кристаллической решётки твёрдого тела, у молекулы жидкости отсутствует дальний порядок.

Жидкости и твёрдые тела сжимаются в тысячи раз хуже газов. Когда при нагревании среды полная энергия её молекул становится положительной E3(T3)>0, то молекулы оказываются за пределами потенциальной ямы и стремятся разлететься. Система превращается в реальный газ.

3 Свойства реального газа. Уравнение Ван-дер-Ваальса

Универсального уравнения состояния для жидкостей и реальных газов не существует. Наиболее корректно описывает свойства реальных газов уравнение:

- уравнение Ван-дер-Ваальса,

где a и b -- постоянные Ван-дер-Ваальса, R* - индивидуальная газовая постоянная. Для разных газов эти постоянные имеют разные значения, определяемые экспериментально.

Уравнение Ван-дер-Ваальса описывает не только реальный газ, но и жидкость, полученную при сжижении этого газа. При температурах T>Tкр, сжимая реальный газ, нельзя превратить его в жидкость. Он не конденсируется. Критические параметры для каждого реального газа определяются экспериментально.

При обычных условиях любой газ можно с хорошей точностью считать идеальным.  Практически все межмолекулярные связи в нем разорваны, и индивидуальная газовая постоянная R* заменяется на универсальную R. Это связано с очень быстрым убыванием сил Ван-дер-Ваальса Fвв ~1/r7. Уже на расстояниях r ~ 10-9 взаимодействием молекул газа можно пренебречь, как и в случае идеального газа. Только при приближении к критическому состоянию следует учитывать поправки Ван-дер-Ваальса.

Внутренняя энергия реального газа зависит не только от температуры, но и от объема газа! Это связано с тем, что силы Ван-дер-Ваальса стремятся притянуть молекулы газа, т.е. уменьшить его объем, и тем самым уменьшить энергию системы.

4 Поверхностное натяжение

Газ стремится заполнить весь объем сосуда и ограничен его стенками, т.е. не имеет свободной внешней поверхности. Жидкость имеет свободную поверхность на границе с газом, вакуумом или другой жидкостью. Под действием внешних сил эта поверхность может принимать сложную форму. Форма свободной поверхности во многом определяет поведение жидкости в физических процессах.

На выделенную вблизи поверхности молекулу M действуют межмолекулярные силы притяжения со стороны остальных молекул жидкости. Нетрудно убедиться, что результирующая этих сил стремится втянуть молекулу вглубь жидкости.

Силы Ван-дер-Ваальса стремятся сжать жидкость, уменьшить ее свободную поверхность, которая будет вести себя как резиновая упругая пленка. Силы, стремящиеся сократить свободную поверхность жидкости, называются силами поверхностного натяжения.

Чтобы увеличить свободную поверхность жидкости, надо совершить работу против сил поверхностного натяжения. Обычно это происходит при постоянной температуре T. Поэтому совершаемая работа равна изменению свободной энергии: .

Поверхность жидкости обладает свободной поверхностной энергией Fэп=S,

где $ -- площадь поверхности жидкости, а  -- некоторый коэффициент, характеризующий величину сил поверхностного натяжения. Он называется коэффициентом поверхностного натяжения и численно равен работе внешних сил, которую надо совершить над жидкостью, чтобы увеличить площадь ее свободной поверхности на единицу: .

В разных жидкостях различна величина сил межмолекулярного взаимодействия и, следовательно, величина поверхностного натяжения .

Можно сделать и другой вывод. Растягивая поверхность жидкости и смещая ее границу на dx, мы совершаем работу против силы поверхностного натяжения и увеличиваем площадь поверхности на dS=ldx, т.е. или  .

Коэффициент поверхностного натяжения численно равен силе поверхностного натяжения, действующей на единицу длины контура, ограничивающего поверхность жидкости. Такие силы стремятся стянуть контур в точку и направлены по касательной к поверхности жидкости.

Коэффициент поверхностного натяжения  зависит от граничной с жидкостью среды.

Молекулы жидкости взаимодействуют не только друг с другом, но и с молекулами твердых тел, граничащих с поверхностью жидкости. В случае притяжения этих молекул край поверхности жидкости изгибается, "наползая" на твердую стенку.

Говорят, что жидкость смачивает твердую поверхность.

В случае отталкивания молекул (например, на границе воды и парафина) поверхность жидкости изгибается в другую сторону, отдаляясь от твердой поверхности, и наблюдается несмачивание.

Угол  между поверхностью жидкости и поверхностью твердой стенки называется краевым углом. В случае полного смачивания =00, а при полном несмачивании =1800. Изогнутый край поверхности жидкости называется мениском.

С ростом температуры молекулы жидкости расходятся на большие расстояния, силы их притяжения F~1/r7 ослабевают, и коэффициент поверхностного натяжения  также будет уменьшаться. При температуре кипения жидкости ее поверхностное натяжение вообще исчезает - молекулы свободно переходят из кипящей жидкости в пар и наоборот. При увеличении свободной поверхности жидкости она поглощает некоторое тепло. При сокращении поверхности это тепло выделяется. Оно называется скрытой теплотой образования поверхности.


Семестр 3.

Электричество. Магнетизм. Волновые процессы и оптика.

Электростатическое поле.

Закон Кулона

В природе существует несколько типов полей: гравитационное, электромагнитное, сильное, слабое. Каждое имеет свою константу взаимодействия или заряд (так, например, массу m можно назвать гравитационным зарядом). Вокруг тел, имеющих электрический заряд, всегда существует электрическое поле. Вначале мы рассмотрим свойства покоящихся зарядов, между которыми действуют только электрические силы. Электрическое поле, созданное системой покоящихся зарядов, называется электростатическим полем.

Точечным зарядом является заряженное тело, геометрическими размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Закон Кулона (1785 г.) устанавливает, что сила Кулона или сила взаимодействия двух точечных электрических зарядов и , находящихся в вакууме на расстоянии друг от друга, определяется выражением

,

где - это единичный радиус-вектор, направленный вдоль линии, соединяющей точечные заряды, м/Ф, а постоянная Ф/м называется электрической постоянной.

Величину электрического поля можно определить по величине кулоновской силы , с которой поле действует на пробный заряд . Но само поле заряда не должно зависеть от величины . Поэтому электрическое поле принято характеризовать вектором напряженности  .

Электрическое поле изображается с помощью силовых линий - это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности (не имеющий начальной скорости свободный точечный заряд в электрическом поле всегда начинает двигаться вдоль силовой линии). Плотность силовых линий или число силовых линий , пересекающих расположенную под прямым углом площадку , пропорционально величине напряженности поля в данной точке. Силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных, либо уходят в бесконечность.

Теорема Гаусса для электрического поля: поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической  сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на :

,

или

(теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме).

Электростатическое поле потенциально и характеризуется потенциалом.

,

т.е. потенциал равен потенциальной энергии единичного точечного заряда в данной точке поля. При решении электростатических задач полезно учитывать и следующее утверждение: точечный заряд в точке с потенциалом всегда обладает потенциальной энергией , поэтому работа по перемещению точечного заряда в любом электростатическом поле всегда равна произведению величины заряда на разность потенциалов между точками начального и конечного положений заряда:

Совокупность точек (поверхность) с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Вектор напряженности связан с потенциалом соотношением , и силовые линии поля всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Для электростатического поля циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна нулю: - это теорема о циркуляции вектора Следовательно, электростатическое поле – потенциальное поле.

Проводник в электрическом поле

Проводник в вакууме

Из теоремы Гаусса следует, что заряд распределяется только по поверхности проводника с некоторой поверхностной плотностью , причем . А так как внутри проводника , то в любой точке однородного проводника его потенциал одинаков: , т.е. поверхность проводника является эквипотенциальной.

Замечание: на границе двух разных проводников может возникать скачок  потенциала. Но линии нормальны к эквипотенциальным поверхностям, поэтому силовые линии электростатического поля всегда перпендикулярны к поверхности заряженного проводника (как бы ни был распределен на нем заряд ).

Если форма проводника несимметрична, то заряд распределится по поверхности проводника неравномерно: . Действительно, на большом удалении поле заряженного проводника (системы зарядов) совпадает с полем точечного заряда, имеющего сферические эквипотенциальные поверхности. Вблизи же проводника эквипотенциальные поверхности совпадут с его поверхностью, т.е. вблизи выступов эквипотенциальные поверхности сгущаются, и увеличивается. Но , поэтому плотность зарядов на поверхности проводника будет максимальна на выступах и минимальна на впадинах.

При внесении проводника во внешнее электрическое поле свободные заряды в нем начнут перераспределяться и движутся до тех пор, пока созданное ими поле не скомпенсирует внешнее поле внутри проводника. Такое явление называется электрической индукцией, а появившиеся на поверхности проводника заряды - индуцированными зарядами. Поле, создаваемое индуцированными зарядами, складывается с внешним полем, и силовые линии вне проводника искривляются.

Если заряд находится внутри полости в проводнике, то он индуцирует заряды на внутренней и внешней поверхности проводника и создает поле вне проводника. Индуцированный заряд всегда распределен на внешней поверхности проводника так, как если бы он был помещен на сплошной проводник (распределение зависит только от формы внешней поверхности проводника и полей вне его).

Вывод: замкнутая проводящая оболочка всегда разделяет пространство на две области: внутреннюю и внешнюю. И никакое перераспределение зарядов (изменение электрического поля) в одной области не влияет на поле в другой области. Это свойство проводников называется экранировкой. Но справедливо оно только для электростатических полей. (Магнитное поле может проникать через слой проводника и изменять движение зарядов). Окружив заряженное тело замкнутым проводящим экраном, мы не устраняем электрическое поле вне экрана. Чтобы устранить его, надо обязательно заземлить экран. Тогда заряд, индуцированный на внешней поверхности экранирующего проводника,

стекает на землю, в результате чего .

Электрическое поле в диэлектриках

Поляризация диэлектриков

Идеальная диэлектрическая среда не содержит свободных зарядов. Ее молекулы в целом нейтральны. Если молекулы диэлектрика несимметричны или полярны, например, молекулы NaCl, то они обладают дипольным электрическим моментом . При этом электрические моменты соседних молекул разупорядочены, направлены хаотично и в сумме дают ноль. При помещении диэлектрика во внешнее поле с напряженностью электростатические силы стремятся развернуть диполи по направлению , приводя их в состояние с минимальной энергией . Но в таком состоянии энтропия упорядоченной системы молекул была бы минимальной. Поэтому энтропийные силы теплового движения, наоборот, стремятся разориентировать дипольные моменты. В результате дипольные моменты молекул только частично ориентируются по полю. Возьмем векторную сумму всех дипольных моментов молекул в достаточно малом объеме среды и разделим на этот объем:

.

Полученный вектор называется вектором поляризованности диэлектрика.

Чем сильнее внешнее поле , тем сильнее должна быть ориентация дипольных моментов молекул, то есть величина пропорциональна величине : . Константу пропорциональности называют диэлектрической восприимчивостью среды. Она безразмерна. Если же молекулы диэлектрической среды симметричны или неполярны (например О 2), то в отсутствие внешнего электрического поля их дипольный момент равен нулю: . Но во внешнем электрическом поле центры положительного и отрицательного заряда такой молекулы смещаются, и у симметричных молекул также появляются дипольные моменты . Причем, чем сильнее внешнее поле, тем больше смещаются заряды и тем больше величина , следовательно, формула по-прежнему справедлива. Электрические заряды, создающие внешнее поле ,, называются сторонними (это могут быть, например, свободные заряды). Но во внешнем поле первоначально электронейтральная среда поляризуется - заряды молекул в ней разделяются. Однако, эти заряды связаны с молекулами и не могут передвигаться свободно. Их называют связанными и в отличие от сторонних отмечают штрихом: .

Разделение связанных зарядов в молекулах под действием внешнего электрического поля называется поляризацией диэлектрика. По принципу суперпозиции суммарное поле в каждой точке диэлектрика создается как свободными зарядами , так и связанными зарядами : .

В вакууме молекул нет,, т.е. и .

Вектор электрической индукции

Вычислять распределение связанных зарядов в среде всегда трудно. Но оказывается, что в некоторых случаях для вычисления электрического поля в диэлектриках достаточно знать только распределение стороннего заряда .Покажем, что это действительно так. Поле внутри диэлектрика определяется и сторонним и связанным зарядом: . Но после подстановки , получим

       или      .

Вектор называют вектором электрической индукции или электрического смещения. Подставляя в предыдущую формулу, находим, где безразмерный коэффициент называется диэлектрической проницаемостью среды.

Из полученных соотношений видно, что электрическое поле в диэлектрике удобно описывать не вектором напряженности , а вектором индукции , для которого теорема Гаусса в дифференциальной форме принимает вид: . Из нее следует, что линии вектора начинаются только на положительных сторонних зарядах и заканчиваются только на отрицательных сторонних зарядах . Применив теорему Остроградского, можно сформулировать теорему Гаусса для в интегральной форме: поток вектора через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме обычных сторонних зарядов внутри этой поверхности:. Поэтому вектор можно в ряде случаев вычислить, зная только распределение стороннего заряда, а поле связанных зарядов в явном виде можно при этом не искать. Однако, еще раз заметим, что электрическое поле в диэлектрике создается и сторонними, и связанными зарядами, как видно из теоремы Гаусса для вектора      или    .

Если диэлектрик изотропен ( - скаляр), то векторы и параллельны: . Тогда, зная вектор , можно определить и вектор : . В анизотропных диэлектриках вектор не параллелен вектору ,  и надо вводить тензор диэлектрической проницаемости .

Следует заметить, что в вакууме , и .

В тех случаях, когда изотропный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью занимает все пространство между эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов, напряженность электрического поля в нем уменьшается в раз по сравнению с напряженностью поля в вакууме (в отсутствии диэлектрика), а вектор электрической индукции при этом не изменяется.

Кулоновская сила взаимодействия двух точечных зарядов и , находящихся в диэлектрической среде, уменьшается в раз. и  . Поэтому все формулы и теоремы для электрического поля в вакууме, полученные в главе 1 из закона Кулона, остаются справедливыми и внутри изотропной диэлектрической среды с проницаемостью . Но во всех выражениях надо произвести замену на (для вакуума ). Чтобы не учитывать дополнительного искривления силовых линий на связанных зарядах, обычно считают, что диэлектрик заполняет все пространство, т.е. ограничен эквипотенциальной поверхностью .

Электрическое поле на границе двух сред

Пусть на границе двух изотропных однородных диэлектриков с проницаемостями и отсутствуют сторонние (свободные) заряды. Тогда на этой границе появляется только связанный заряд с поверхностной плотностью , при этом на границе раздела двух диэлектриков тангенциальная составляющая вектора не изменяется, сохраняется нормальная составляющая вектора и не сохраняется нормальная составляющая вектора . Таким образом, на границе раздела диэлектриков, не обладающих сегнетоэлектрическими свойствами, силовые линии электростатического поля претерпевают излом.

Энергия электрического поля

Электрическая емкость

Возьмем уединенный проводник, то есть проводник, настолько удаленный от других тел, что заряды на них практически не приводят к перераспределению индуцированных зарядов на рассматриваемом проводнике. Можно считать, что уединенный проводник окружен бесконечной диэлектрической средой или вакуумом. Увеличим заряд  на уединенном проводнике в раз. При этом в k раз возрастет поверхностная плотность заряда , и в раз возрастет потенциал поверхности проводника:

Вывод: потенциал уединенного проводника пропорционален величине заряда на нем: . Коэффициент пропорциональности , зависящий от формы и размера уединенного проводника, называется его электрической емкостью (сокращенно его называют просто емкостью проводника).

Измеряют емкость в фарадах: 1 фарад -- это емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на при увеличении заряда на нем на .

На уединенных проводниках из-за возникновения электрического пробоя при большом нельзя накопить значительный заряд. Малая емкость уединенного проводника связана с тем, что поле такого заряда занимает огромный объем пространства вокруг него.

Конденсаторы

Чтобы увеличить емкость и при небольших потенциалах накопить на проводниках большие заряды , надо уменьшить объем электрического поля, создаваемого этими зарядами. Для этого используют системы из нескольких (в частности, из двух) проводников, называемые конденсаторами.

Плоский конденсатор образован двумя параллельными проводящими

пластинами (обкладками). Если заряды на них одинаковы по величине и противоположны по знаку, то силовые линии , начинающиеся на одной пластине, должны закончиться на другой, и практически все электрическое поле сосредоточено в объеме между пластинами. Обкладками цилиндрического конденсатора являются цилиндрические проводящие поверхности, имеющие общую ось, а сферический конденсатор - это две проводящие сферы с общим центром. Заряд на всех конденсаторах пропорционален разности потенциалов на их обкладках (или напряжению , приложенному к конденсатору).

.

Коэффициент пропорциональности между зарядом и напряжением называется емкостью конденсатора. При уменьшении объема электрического поля, т.е. объема между обкладками, емкость конденсаторов резко возрастает. Появляется возможность накапливать большой заряд на обкладках при малой разности потенциалов между ними. Емкость конденсатора возрастает при заполнении пространства между его обкладками диэлектрической средой с большой проницаемостью .

Следует иметь в виду, что при достаточно большой разности потенциалов между обкладками любая диэлектрическая среда между ними «пробивается» электрической искрой; при этом конденсатор мгновенно разряжается. Поэтому, кроме емкости, каждый конденсатор характеризуется напряжением пробоя.

Конденсатор нельзя заряжать очень сильно, чтобы напряжение на нем не достигло этого максимального значения.

Энергия системы зарядов

Разобьем заряженную среду на очень маленькие участки, каждый из которых можно считать точечным зарядом . Любой из этих зарядов находится в поле всех остальных зарядов и поэтому имеет энергию

.

Чтобы найти полную энергию системы зарядов, следует сложить энергии всех точечных зарядов , но в такой сумме энергия взаимодействия любых двух точечных зарядов будет учитываться дважды, поэтому сумму надо уменьшить в два раза.

Если заряд распределен в пространстве непрерывно с объемной плотностью то зарядом элемента объема dV будет dq = dV, и энергия системы вычисляется с помощью интеграла

    или     ,

где интегрирование производится по всему объему V, занимаемому зарядом.

Примеры.

1) Энергия заряженного проводника.

Потенциал уединенного проводника произвольной формы, имеющего заряд q, одинаков во всех его точках. Поэтому .

(Фактически этот интеграл следует брать не по объему, а по поверхности заряженного проводника.).

2) Энергия заряженного конденсатора.

Потенциал каждой проводящей обкладки конденсатора также одинаков во всех точках. Поэтому

 .

С учетом соотношения энергию заряженного конденсатора можно записать в виде одной из трех формул

.

Энергия электрического поля

Выразим энергию заряженного плоского конденсатора через напряженность E поля. Для этого подставим выражения для емкости и напряжения в формулу для энергии. В результате получим:

,

где V- объем внутри конденсатора.

В изотропной диэлектрической среде (или вакууме) с учетом соотношения плотность энергии электрического поля (энергия единицы объема) вычисляется по формуле

.

Используя соотношение справедливое в любой среде, можно уточнить смысл выражения для плотности энергии поля:

Первое слагаемое - это та энергия, которая расходуется на создание электрического поля  в единице объема среды.

Второе слагаемое - это энергия, которая расходуется на поляризацию единицы объема диэлектрика, т.е. на то, чтобы разделить заряды молекул диэлектрика. По сути дела - это энергия, приобретаемая молекулами - диполями среды в электрическом поле.

Законы постоянного тока

Электрический ток

Среда, имеющая свободные носители заряда (например, электроны) называется проводящей (или проводником). Под действием электрического поля свободные заряды начинают перемещаться (положительные - по полю, отрицательные - против), образуя электрический ток.

Сила тока I равна заряду, протекающему через поперечное сечение про

водника, перпендикулярное вектору за единицу времени: I=dq/dt. Сила тока измеряется в амперах.

Линии тока направлены по движению зарядов, то есть вдоль вектора.

Направление тока совпадает с направлением движения положительных зарядов.

Если выделить в пространстве трубку, направленную вдоль линий и разделить ток dI протекающий внутри трубки, на ее поперечное сечение dS, то получим вектор плотности тока , направленный вдоль вектора по касательной к линии тока: . Плотность тока j - это ток, протекающий через единицу площади поперечного сечения проводника. Поэтому сила тока, т.е. ток, протекающий через любую поверхность S, равна потоку вектора j через эту поверхность: .

Экспериментально было установлено (опыты Рикке, Толмена – Стюарта), что свободные носители заряда в металлах - это электроны.

Электрический ток в металлах - это совместное движение с малой дрейфовой скоростью хаотически мечущихся по решетке свободных электронов.

Закон Ома для однородного проводника

Будем считать, что электрическое поле в проводнике постоянно: . Свободные электроны движутся в нем почти хаотически с тепловой скоростью , сталкиваясь с атомами и рассеиваясь на них подобно молекулам газа. При этом они пролетают между двумя последовательными столкновениями расстояние (среднюю длину свободного пробега) за время .

Кулоновская сила сообщает им некоторую дополнительную скорость против линий вектора  , где m - масса электрона, а (-e) - его заряд. Отcюда величина этой скорости

При последующем столкновении электрон практически ее теряет.

Средняя скорость, приобретаемая электроном между двумя последовательными

столкновениями, - это и есть дрейфовая скорость , направленная по касательной к силовой линии, т.е.

 

Подставляя это выражение в формулу , получаем , откуда следует закон Ома в локальной форме: , где величина называется удельной проводимостью проводника, она зависит только от свойств самого проводника. Обратная ей величина называется удельным сопротивлением проводника. Таким образом, ток в проводнике существует только если в нем создано электрическое поле .

Разность потенциалов между концами проводника называется падением напряжения на нем: или . Отсюда или - это закон Ома для участка однородного

проводника.

Величина ,где ( - длина проводника, - его сечение, -

удельное сопротивление материала называется сопротивлением проводника.

Закон Джоуля-Ленца

При протекании тока по участку проводника, заряд проходит разность потенциалов (падение напряжения на участке) . Кулоновские

силы совершают над зарядом работу , которая должна идти на увеличение энергии носителей заряда. Но так как их средняя дрейфовая скорость и концентрация неизменны, то эта энергия выделяется в проводнике, по которому течет ток, в виде тепла: . С учетом закона Ома , количество выделившегося тепла при пропускании тока в однородном проводнике выражается формулой:

- это закон Джоуля - Ленца.

Джоулево тепло при протекании тока выделяется за счет неупругих соударений носителей тока (электронов) с атомами среды.

Условие стационарности тока

Окружим участок проводника, по которому течет ток с плотностью

, замкнутой поверхностью S. По определению вектора его поток по этой поверхности равен суммарному току I, вытекающему из замкнутой поверхности S. Заряд не может бесследно исчезнуть или возникнуть в какой-либо области. Поэтому при изменении заряда в некоторой области он должен вытекать или втекать в нее, создавая электрический ток. Но если заряды в проводнике перераспределяются (в одной области суммарный заряд уменьшается, а в другой - увеличивается), то изменяются и потенциалы этих областей. А изменение потенциалов со временем приводит к изменению электрического поля. Поэтому и ток не будет постоянным. Отсюда следует условие стационарности тока:

  или    .

Линии постоянного или стационарного тока нигде не должны начинаться или заканчиваться: они замкнуты. Поэтому цепь постоянного тока обязательно должна быть замкнута.

Электродвижущая сила (э.д.с.)

Если на концах проводника создать разность потенциалов, то свободные носители заряда под действием электростатических сил быстро перераспределятся так, чтобы скомпенсировать поле внутри проводника и сделать потенциал проводника всюду одинаковым (). Электрический ток при этом прекращается. Поэтому для поддержания ненулевой разности потенциалов и создания постоянного тока должны присутствовать дополнительные силы не электростатической природы Это химические, диффузионные и другие силы. Они совершают работу против электростатических кулоновских сил, возвращая свободные носители заряда обратно, и называются сторонними силами. Участок проводника, на котором действуют сторонние силы, называется неоднородным. Работу сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда называют электродвижущей силой (э.д.с.)  , действующей на данном участке цепи: .

Как и разность потенциалов, э.д.с. измеряется в вольтах.

С учетом этого определения получаем выражение . Это - закон Ома для неоднородного участка проводника, включающего э.д.с., причем - разность потенциалов на его концах или падение напряжения на неоднородном участке цепи: .

Сторонние силы возникают только в местах химической неоднородности проводников, в местах контакта разнородных проводников, или в местах, где на проводник действует переменное магнитное поле. Эти места называются источниками э.д.с.. Именно на их краях возникает постоянная разность потенциалов, приводящая к появлению тока в цепи.

Правила Кирхгофа

Если электрическая цепь имеет сложный, разветвленный вид, то законы постоянного тока для нее пишутся в виде правил Кирхгофа.

Узлом называется точка, в которой соединяются три или более проводников.

Первое правило Кирхгофа следует из условия стационарности тока:

алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородных участков проводника. Оно применяется к замкнутым контурам.

Замкнутым контуром называется сплошная линия, проведенная из любого узла вдоль проводников цепи, и возвращающаяся в этот узел, нигде не пересекая себя.

Алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления (включая внутренние сопротивления источников э.д.с.) в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме э.д.с. в этом же замкнутом контуре:.

Чтобы учесть знаки в указанной сумме, выбираем направление обхода контура. Если выбранное произвольно направление тока совпадает с направлением обхода, то в сумму соответствующее слагаемое входит со знаком «», в противном случае - со знаком «-».

Контактные явления в проводниках

Работа выхода электрона из металла

Свободные электроны металла движутся по кристаллической решетке хаотически с огромными скоростями . В целом металл электрически нейтрален. Если бы его потенциал был равен потенциалу окружающей среды (вакуума), то ничто не препятствовало бы вылету свободных электронов за пределы металла. В действительности на границе проводника создается эффективное электрическое поле, препятствующее такому вылету. Металл окружен очень тонким отрицательно заряженным слоем электронов, а ионы на границе металла образуют слой положительного заряда той же величины. Такое распределение заряда на границе металла создает двойной электрический слой, толщина которого не превышает нескольких межатомных расстояний. Электрическое поле двойного слоя препятствует вылету свободных электронов в вакуум. Энергия электрона за пределами металла, в вакууме, больше, чем внутри металла, а для потенциалов электрического поля на границе выполняется условие .

Чтобы электрон вылетел из металла, ему надо совершить работу против сил этого граничного электрического поля и приобрести энергию   

Величина называется потенциалом выхода электрона из металла.

Работой выхода электрона из металла называется минимальная энергия, которую надо сообщить электрону в металле, чтобы он преодолел поле двойного электрического слоя и вылетел за пределы металла:

.

Контактная разность потенциалов

Металлы различаются значениями концентрации свободных электронов n, работой выхода и величиной энергии Ферми . Чем больше концентрация свободных электронов, тем большую величину имеет энергия Ферми, и тем меньше работа выхода электрона из металла.

Если металлы соединить, то начнется диффузия свободных электронов из металла, в котором их концентрация больше, в металл, где она меньше. Эта диффузия продолжаться до тех пор, пока концентрации свободных электронов в металлах не сравняются. Наступает динамическое равновесие: сколько электронов переносится через границу за счет диффузии, столько же и возвращается обратно электрическим  полем в месте контакта. При контакте, в состоянии  динамического равновесия, энергии Ферми (средние энергии свободных электронов) в обоих металлах выравниваются, Хотя потенциалы металлов постоянны (1=const, 2=const), но они не равны между собой. Их разность называется контактной разностью потенциалов.

Контактная  разность потенциалов имеет не электростатическую природу (возникает за счет диффузии) и является электродвижущей силой, способной создать ток. Но если спаять в кольцо проводники из разных металлов, то возникающие в контакте э.д.с. направлены навстречу друг другу и компенсируются: ток по такой замкнутой цепи не потечет.

Термоэлектрические явления

 Явление Зеебека (1821 г.)

Спаянные в замкнутую цепь разнородные проводники называются термопарой. Начнем нагревать один из спаев (). При нагревании энергия Ферми металлов слабо увеличивается, причем для различных металлов увеличивается по-разному. Контактные разности потенциалов в спаях тоже изменяются по-разному и уже не будут компенсировать друг друга. В термопаре появляется ненулевая результирующая термо-э.д.с:

Функция называется удельной термо-э.д.с. Она зависит от природы металлов и очень слабо зависит от температуры, так что при не очень большой разности температур ее можно считать постоянной:    .

Если поместить спаи разнородных металлов в области с различной температурой, то по термопаре потечет ток , который можно использовать, например, для зарядки аккумуляторов. На этом принципе основана работа экологически чистых геотермальных станций, преобразующих тепло подземных источников в электрическую энергию. По величине тока можно также определить разность температур, т.е. использовать термопару в качестве термометра.

 Явление Пельтье (1834 г.)

Это явление обратно явлению Зеебека. Энергия свободного электрона больше в той области, где металл заряжен отрицательно. Поэтому на границе двух металлов энергия электрона после преодоления контактного электрического поля должна измениться.

Если через такой спай пропустить электрический ток, то движущиеся в обратном направлении электроны, проходя через спай, должны либо отдавать часть своей энергии, либо забирать ее у кристаллической решетки в месте спая.

При пропускании электрического тока через спай разнородных металлов, спай будет либо нагреваться, либо, в зависимости от направления тока, охлаждаться. Это и есть явление Пельтье.

При этом выделяемое или поглощаемое тепло пропорционально протекшему через спай заряду : . Коэффициент называется коэффициентом Пельтье и связан с удельной термо-эдс соотношением .

 Явление Томсона (1856 г.)

Это явление заключается в том, что тепло выделяется и при прохождении тока  по однородному проводнику с градиентом температуры на концах. То есть при пропускании тока от нагретого конца к холодному проводник будет нагреваться, а если изменить направление тока - охлаждаться.

Магнитное поле в вакууме

Магнитная сила

Магнитные силы действуют только на движущиеся заряды (токи) или на магниты. Отдельные электрические заряды (положительные и отрицательные) существуют, а отдельных магнитных зарядов (северного и южного), которые отталкивались или притягивались бы магнитными силами, в природе не наблюдается. Если распилить постоянный магнит пополам, то получим два новых постоянных магнита. Магнитное поле создается не магнитными зарядами. Попытаемся ответить на вопрос: чем создается такое поле ?

Релятивистская природа магнетизма. Вектор

индукции магнитного поля

Магнитная сила имеет ту же природу, что и электрическая. Она является следствием релятивистских эффектов, возникающих при движении заряженных частиц.

Магнитное поле создают не магнитные заряды, а движущиеся электрические заряды или токи. Магнитные силы имеют одну природу с электрическими. В одной инерциальной системе отсчета наблюдатель измеряет магнитную силу (с помощью магнитной стрелки), а в другой она превращается в электрическую силу (которую надо измерять другим прибором).Таким образом, магнитное поле для одного наблюдателя является электрическим для другого. Поэтому электрическое и магнитное поля взаимосвязаны и образуют одно целое электромагнитное поле.

Переносчиками электрического и магнитного полей являются одни и те же виртуальные частицы.

Релятивистские преобразования электрического и

магнитного полей

Так как магнетизм - это релятивистский эффект движения заряженных частиц, то законы электромагнетизма уже удовлетворяют требованиям специальной теории относительности (то есть новых уравнений, как в механике, не требуется). При переходе из одной инерциальной системы в другую поля и меняются, переходят одно в другое. Они связаны релятивистскими формулами преобразования. При переходе из одной системы в другую электрическое и магнитное поля преобразуются друг в друга. Поэтому одновременно надо учитывать и электрическую, и магнитную силы, действующие на заряд: - эту суммарную силу следует называть силой Лоренца.

Разделение такой полной силы Лоренца  на электрическую и  магнитную составляющие относительно, так как зависит от выбора системы отсчета.

Магнитное поле движущегося точечного заряда

Пусть заряд движется с нерелятивистской скоростью (даже огромная средняя скорость хаотического движения свободных электронов в металле много меньше ).

Можно показать, что вектор индукции магнитного поля, созданного движущимся со скоростью точечным зарядом на расстоянии от него: . Линии, касательные к вектору индукции, называются линиями индукции магнитного поля. Эти линии всюду перпендикулярны векторам и , то есть являются окружностями, охватывающими направление движения заряда (вектор ). Они замкнуты в отличие от линий напряженности электростатического поля, которые начинаются и оканчиваются на электрических зарядах. Это связано с отсутствием постоянных магнитных зарядов. Линии индукции нельзя называть силовыми, так как силы ортогональны им.

Если бы скорость света была бесконечно большой () и специальная теория относительности не выполнялась, то магнитной силы и магнитного поля вообще бы не было. Магнетизм - это следствие релятивистских эффектов. Величина магнитного взаимодействия ничтожна по сравнению с электростатическим. Для дрейфового движения свободных электронов (постоянный ток) и !

Практически магнитные силы должны исчезать на фоне электрических. Но дело в том, что положительные и отрицательные заряды в веществе точно скомпенсированы, и поэтому результирующая кулоновских сил ничтожна мала. А крайне малые магнитные силы, действующие на каждый свободный электрон, суммируются, то есть умножаются на коэффициент порядка числа Авогадро, и в итоге создаются достаточно большие магнитные поля. Заметное магнитное поле возникает при направленном движении достаточно большого заряда.

Магнитное поле тока. Закон Био - Савара - Лапласа

Этот закон позволяет, зная токи, рассчитать магнитное поле в любой точке пространства.

Элемент тока создает магнитное поле с индукцией

Чтобы найти поле, созданное всем проводником с током, надо проинтегрировать полученное для выражение по всей длине проводника:

Направление вектора индукции определяется по правилу буравчика или винта. Линии индукции магнитного поля замкнуты и охватывают проводник с током. Их плотность пропорциональна величине в данной точке пространства.

Сила Ампера

Внесем металлический проводник с током во внешнее магнитное поле . На движущиеся внутри свободные электроны действуют силы Лоренца . Скорости свободных электронов складываются из скорости хаотического движения и дрейфовой скорости , приводящей к появлению тока: +. Скорости хаотического движения электронов направлены в разные стороны. Поэтому в разные стороны будут направлены и соответствующие им магнитные силы, которые в сумме компенсируются. Совместное же дрейфовое движение свободных электронов со скоростью приводит к появлению суммарной силы , называемой силой Ампера. Действуя на все свободные заряды в проводнике, она действует и на сам проводник.

Таким образом, на элемент проводника с током I, помещенный во внешнее магнитное поле с индукцией , действует сила Ампера - это закон Ампера.

На весь проводник с током действует сила Ампера .

Если заряды одного знака отталкиваются, то однонаправленные токи притягиваются силой Ампера, а разнонаправленные токи - отталкиваются.

Теорема Гаусса для магнитного поля

Поток вектора магнитной индукции через произвольную площадку называется магнитным потоком: . Численно он равен числу линий магнитной индукции, пересекающих площадку . В СИ единицей измерения служит вебер 

Но линии замкнуты, они нигде не начинаются и нигде не кончаются. Поэтому сколько линий входит внутрь замкнутой поверхности , столько же и выходит из нее.

Поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю: . – теорема Гаусса.

Используя теорему Остроградского , получаем теорему Гаусса для вектора в дифференциальной форме:

Теорема о циркуляции для магнитного поля.

По определению циркуляцией вектора по замкнутому контуру называется интеграл , знак которого зависит от направления обхода контура.

Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную:

.

Это - теорема о циркуляции для вектора индукции магнитного поля.

Или . Это – теорема о циркуляции в дифференциальной форме, где , то есть - это векторное произведение оператора и вектора .

Зная индукцию как функцию координат, можно простым дифференцированием определить плотность тока в каждой точке пространства, то есть определить распределение токов, создающих данное магнитное поле.

Проводник с током в магнитном поле

Контур с током в однородном магнитном поле. Магнитный момент

Под контуром с током здесь подразумевается замкнутый тонкий проводник, по которому течет постоянный ток .В однородном магнитном поле силы Ампера стремятся растянуть или сжать замкнутый контур с током, но в сумме они равны нулю и поэтому  не могут сдвинуть контур с места.

Однако, суммарный момент этих сил нулю не равен. Момент сил, поворачивающий весь контур с током, вычисляется, как Будем определять направление вектора площади, ограниченной контуром с током, по правилу правого винта, вращая его «по току». Тогда выражение для вектора момента сил запишется в виде ,.

Величина называется магнитным моментом контура с током.

Момент сил Ампера стремится повернуть плоскость контура с током перендикулярно линиям индукции так, чтобы магнитный момент был направлен одинаково с вектором .

Если через  обозначить угол между векторами и , то при повороте контура с током в магнитном поле на угол  (причем d < 0, так как угол  уменьшается, момент сил совершает работу , которая идет на изменение потенциальной энергии контура с током в магнитном поле. Интегрируя это уравнение, получим выражение для энергии: или

Контур с током в неоднородном магнитном поле

В неоднородном поле () формула справедлива, если размер контура достаточно мал (тогда в пределах контура поле можно считать приближенно однородным). Следовательно, контур с током по-прежнему стремится развернуться так, чтобы его магнитный момент был направлен вдоль линий вектора .

Но, кроме того, на контур действует результирующая сила   (в случае однородного поля и . Эта сила действует на контур с током или на постоянный магнит с моментом и втягивает их в область более сильного магнитного поля.

Работа по перемещению контура с током в магнитном поле.

Нетрудно доказать, что работа по перемещению контура с током в магнитном поле равна , где и - магнитные потоки через площадь контура в конечном и начальном положениях. Эта формула справедлива, если ток в контуре постоянен, т.е. при перемещении контура не учитывается явление электромагнитной индукции.

Формула справедлива и для больших контуров в сильно неоднородном магнитном поле (при условии I=const).

Наконец, если контур с током не смещать, а изменять магнитное поле, т.е. изменять магнитный поток через поверхность, охватываемую контуром, от значения до то для этого надо совершить ту же работу . Эта работа называется работой изменения магнитного потока, связанного с контуром.

Эффект Холла

Эффект возникновения поперечной разности потенциалов в проводнике с током, помещенном в магнитное поле, называется эффектом Холла, а возникающая разность потенциалов - холловской разностью потенциалов.

Холловскую разность потенциалов можно вычислить по формуле , где - постоянная Холла, - поперечный размер проводника.

Замечание: эффект Холла позволяет экспериментально определить знак заряда носителей тока. В p--полупроводниках, например, где эти носители положительны, знаки зарядов на боковых сторонах проводника изменятся на противоположные и изменится направление поперечного электрического поля. Кроме того, измерив холловскую разность потенциалов , а также величины и , можно очень просто по формуле Холла вычислить концентрацию носителей тока в исследуемом проводнике.

Магнитное поле в магнетиках

Намагничение вещества

При внесении ряда веществ (особенно таких, как железо) в магнитное поле, оно изменяется. Такие вещества называются магнетиками. Очевидно, в них возникает какое-то дополнительное магнитное поле. Но магнитное поле создается только токами (или движущимися зарядами), т.е. в магнетиках или магнитных средах существуют какие-то дополнительные токи, которые Ампер назвал молекулярными токами.

Все молекулярные токи создаются движением электронов по замкнутым орбитам вокруг одного ядра, молекулы, или, может быть, группы молекул вещества. Таким образом, все молекулярные токи являются замкнутыми (не обязательно круговыми) и обладают магнитным моментом. Ясно, что в среде очень много движущихся электронов, и если все молекулярные токи направлены хаотично, то их магнитные моменты в сумме компенсируются, и вещество не создает магнитного поля, т.е. практически не является магнетиком (дерево, пластик).

Но если молекулярные токи каким-либо образом ориентированы, то в сумме они создают магнитное поле, и говорят, что вещество намагничено.

Сложим векторно магнитные моменты всех молекулярных токов в достаточно малом объеме вещества, разделим на этот объем и перейдем к пределу . Полученный вектор называется вектором намагниченности среды (магнетика).

Если микроскопические молекулярные токи в магнетике каким-либо образом ориентированы, то, складываясь, они создают результирующие токи намагничивания.

Роль токов намагничивания заключается только в создании дополнительного магнитного поля в веществе. (В отличие от токов проводимости, эти токи и созданное ими дополнительное магнитное поле будут отмечаться штрихом.)

Циркуляция вектора намагниченности и токи намагничивания

Молекулярные токи и образуемые ими токи намагничивания создают некоторое магнитное поле .  . Но в сумме все молекулярные токи создают результирующий ток намагничивания с плотностью .

Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов намагничивания, охватываемых этим контуром.

Вектор определяется распределением всех токов: и токов намагничивания , и токов проводимости в среде.

Вектор напряженности магнитного поля и его свойства

Теперь мы знаем, что магнитное поле в среде создается и обычными токами проводимости, и токами намагничивания. Однако вычислить магнитное поле в некоторых случаях можно, пользуясь распределением только токов проводимости. Для этого учтем, что , и подставим сюда полученную в предыдущем параграфе формулу для плотности тока намагничивания . После подстановки и преобразования находим:

.

Выражение в круглых скобках называют вектором напряженности магнитного поля :   .

Как и вектор , напряженность магнитного поля, вообще говоря, зависит как от токов проводимости, так и от токов намагничивания. Но в ряде задач вычислять легче, чем индукцию .

Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме обычных токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Основными для описания электрического и магнитного полей являются векторы и .

Вспомогательные векторы и используют для определения полей в ряде задач, чтобы не учитывать явно распределение связанных зарядов и токов намагничивания.

Магнитное поле в магнетиках. Постоянные магниты

Во многих средах ориентация молекулярных токов происходит под действием внешнего магнитного поля. Энтропийные силы, с другой стороны, стремятся разориентировать магнитные моменты молекулярных токов, поэтому их магнитные моменты лишь частично ориентированы вдоль поля . Чем сильнее магнитное поле , тем больше степень ориентации : . или .

Такую линейную зависимость вектора намагниченности среды от величины внешнего магнитного поля принято записывать в виде .

Постоянная называется магнитной восприимчивостью (сравните с формулой для вектора поляризованности среды во внешнем электрическом поле: ). Подставляя это выражение для в определение , находим . Величину называют магнитной проницаемостью среды.

Следовательно, в изотропном магнетике связь индукции и напряженности магнитного поля имеет вид:   . В вакууме, а также в любой немагнитной среде , и .

Отметим еще один важный факт: формулы , , и справедливы только в изотропном магнетике, в котором эффект намагничения создан магнитным полем обычных токов проводимости. В постоянных магнитах (в ферромагнитных средах), где остаточные токи намагничивания и созданное этими токами остаточное магнитное поле сохраняются даже в отсутствие внешнего магнитного поля, записанные выше формулы не применимы! Но соотношение выполняется и в этом случае.

Магнитное поле на границе двух сред

На границе двух достаточно протяженных (бесконечных) магнетиков с различными магнитными проницаемостями и линии индукции и напряженности магнитного поля испытывают излом. Сохраняется тангенциальная составляющая вектора напряженности и нормальная составляющая вектора индукции магнитного поля:

,  .

Если среды не являются ферромагнитными, то на границе их раздела с учетом связи должны выполняться условия:

,            .

Поэтому    , где и - углы между линией индукции (напряженности) и нормалью к поверхности раздела магнетиков.

Магнетики. Природа ферро-,пара-, диамагнетизма

По своим магнитным свойствам все магнетики делятся на три типа в зависимости от величины магнитной проницаемости .

1) - это ферромагнетики (Fe, Ni, Co и т.п.);

2)(магнитная восприимчивость )-это парамагнетики (кислород, большинство металлов);

3) () – это диамагнетики (водород, вода, Cu, благородные газы).

Ферромагнетизм.

В ферромагнетиках начинают действовать большие по величине силы квантовой природы, названные обменными силами. Эти силы заставляют магнитные моменты всех атомов в некоторой области выстраиваться строго параллельно. Такая область ферромагнетика называется доменом и обладает очень большим результирующим магнитным моментом , т.е. обладает свойствами постоянного магнита. Ориентируясь вдоль направления внешнего магнитного поля, домены способны создать очень сильное намагничение среды, чем объясняется большая величина .

Степень этой ориентации зависит от величины внешнего поля. Поэтому проницаемость ферромагнитной среды также непостоянна и зависит от величины В очень сильных магнитных полях ферромагнетик приближается по своим свойствам к парамагнетику ().

Парамагнетизм.

В парамагнетике обменные силы не действуют, и магнитные моменты отдельных атомов направлены хаотически в разные стороны. При помещении парамагнетика во внешнее магнитное поле магнитным моментам атомов энергетически выгодно быть ориентированными по полю. С другой стороны, тепловое движение препятствует ориентации вдоль линий , разориентируя их (и увеличивая энтропию среды). Поэтому магнитные моменты атомов лишь частично (и очень слабо) ориентированы по полю, вследствие чего степень этой ориентации мала.

Диамагнетизм.

Для некоторых веществ сумма орбитальных и собственных магнитных моментов всех составляющих атом частиц равна нулю:

, т.е. атомные магнитные моменты, способные ориентироваться по внешнему магнитному полю, отсутствуют.

Но каждый электрон вращается вокруг атомного ядра и образует маленький волчок, гироскоп, на который во внешнем магнитном поле действует момент сил .

Такой гироскоп совершает прецессию с ларморовой частотой прецессии:

.

Это дополнительное вращение создает дополнительный молекулярный ток и дополнительный нескомпенсированный магнитный момент , ориентированный  против поля . Поэтому эффект ларморовой прецессии магнитных моментов молекулярных  токов во внешнем магнитном поле ослабляет это поле .

Этот эффект имеется, естественно, у всех веществ, но он очень мал, и в ферро- и парамагнитных средах перекрывается выстраиванием ненулевых магнитных моментов атомов по полю. Заметен он только в диамагнетиках, где .

Плазма

Понятие о плазме

Мы живем в условиях, когда вещество находится в твердом (кристаллическом), жидком или газообразном состоянии. Но подавляющая доля вещества нашей Вселенной существует в другом агрегатном состоянии - состоянии плазмы.

Плазма - это сильно ионизированный квазинейтральный газ, в котором велика степень ионизации , т.е. отношение числа ионизированных атомов к числу всех атомов газа: .

Квазинейтральность плазмы означает, что суммарный отрицательный заряд свободных электронов в каждом достаточно малом объеме приближенно равен суммарному заряду положительно заряженных ионов. Но свободные электроны и ионы движутся, и в любой области внутри плазмы может образоваться небольшой избыток ионов или электронов и возникнуть локальный электрический заряд с плотностью .

Для поддержания вещества в состоянии плазмы должна существовать либо внешняя причина, вызывающая непрерывную ионизацию атомов газа (ударная ионизация, рентгеновское или -излучение, очень сильные электрические поля и т.п.), либо должен существовать механизм, замедляющий рекомбинацию ионов.

Плазма образуется при ионизации газа, но некоторые ее свойства сильно

отличаются от свойств газа из электронейтральных частиц, что и позволяет считать плазму особым четвертым агрегатным состоянием.

Свойства плазмы

1. Экранировка электрического поля.

Плазма экранирует поля внесенных в нее заряженных тел или внешние электрические поля на расстояниях порядка радиуса экранировки .

Ионизированный газ можно считать плазмой только в том случае, когда линейные размеры занимаемой им области намного превышают дебаевский радиус экранировки .

. 2. Коллективный характер взаимодействия частиц.

Экранироваться будет не только внесенный извне заряд, но и любое локальное изменение заряда самой плазмы, возникающее при случайном сближении нескольких ионов или электронов. В частности, заряд каждой частицы плазмы тоже экранируется на расстоянии .

Каждая частица плазмы электрически взаимодействует с огромным числом других частиц плазмы. В результате этого коллективного взаимодействия траектории частиц не могут изменяться резко, т.е. быть ломаными линиями. При движении каждая частица сильно ионизированной плазмы имеет плавно искривляющуюся траекторию.

3. Уравнение состояния плазмы.

Суммарная потенциальная энергия взаимодействия каждой частицы плазмы со всеми соседними частицами намного меньше, чем ее кинетическая энергия: .

Это означает, что взаимодействием заряженных частиц плазмы друг с другом можно пренебречь и рассматривать плазму как идеальный газ с уравнениями состояний для электронов и ионов

     

Противоположно заряженные электроны и ионы плазмы движутся свободно друг относительно друга, но при этом все время выполняется условие квазинейтральности.

  Плазменные колебания

При всех нарушениях квазинейтральности в плазме возникают колебания плотности электронного газа (т.е. плотности заряда ). Эти колебания называются плазменными или лэнгмюровскими и происходят с плазменной (лэнгмюровской) частотой .

Плазменные колебания не распространяются по всей плазме, а происходят только в очень малой области, где возникли возмущения. Размер такой области равен радиусу экранировки и мал по сравнению с размерами всей плазмы.

  Плазма в магнитном поле

В большинстве случаев можно считать, что частицы плазмы движутся в магнитном поле независимо. Под действием силы Лоренца их траектории образуют винтовые линии, навитые на линии индукции .

Трубка тока в плазме создает свое собственное магнитное поле, которое действует с силой Лоренца, направленной к оси тока, на каждую движущуюся заряженную частицу. Эти силы сжимают трубку тока и не дают плазме разлететься под действием внутреннего давления . Это явление называется пинч-эффектом.

Если частицы плазмы движутся в неоднородном магнитном поле, то плазма отражается от сильных магнитных полей и стремится перетечь в сторону ослабления магнитного поля.

Если удается создать такое внешнее магнитное поле что его градиент всюду направлен от границы плазмы наружу, то плазма находится в устойчивом состоянии не может вырваться из такой «магнитной ловушки» (ее называют также «магнитной бутылкой»). Примером такой магнитной ловушки может служить довольно сложное геомагнитное поле Земли.

В установках типа «токамак» для получения искусственной плазмы в устойчивом состоянии тоже создают магнитное поле, охватывающее плазму в виде магнитной ловушки. Чтобы добиться управляемой термоядерной реакции, в такой установке, необходимо в течение хотя бы 100 мс удержать плазму плотностью порядка , нагретую до температуры .


Явление электромагнитной индукции

1 Природа э.д.с. индукции в проводнике,  движущемся в               магнитном поле

    Свернем проводник в замкнутый контур и будем изменять магнитный

поток через поверхность, ограниченную этим контуром. Тогда в замкнутом проводнике возникает квазистационарный ток (его линии

должны быть замкнутыми), названный индукционным.

    Это явление называется электромагнитной индукцией.

    Но магнитный поток  Ф = (или  Ф = BS cos  для плоского контура в однородном магнитном поле)  можно изменять разными способами: изменяя  B, S или .

    Причиной возникновения э.д.с. индукции впроводнике, движущемся в магнитном поле, является действие магнитной составляющей силы Лоренца на свободные заряды в нем. При перемещении замкнутого проводника в магнитном поле возникает сила, препятствующая этому перемещению; индукционный ток возникает за счет механической работы, совершенной при перемещении проводника против такой силы. В итоге эта работа преобразуется в джоулево тепло, выделяемое током.

    Можно показать, что  выражение  и = -  справедливо при любом перемещении контура в магнитном поле, например, при вращении рамки в магнитном поле; когда угол   изменяется стечением времени:

 = t ,

Ф = BS cos  t  и  и = BS sin  t.

    Если рамку вращать в магнитном поле, то в ней появляется индукционный ток. Такая система будет генератором переменного тока.

Наоборот, если рамку подключить к внешнему источнику тока, то момент сил Ампера начнет поворачивать ее в магнитном поле. Такая система работает как электродвигатель или электромотор. Работа по повороту рамки происходит не за счет энергии внешнего магнитного поля, а за счет дополнительной работы внешнего источника тока против возникающей  э.д.с.  индукции.

2    Вихревое электрическое поле

Фарадей доказал экспериментально, что тот же закон  и = -   

справедлив и тогда, когда контур не движется в магнитном поле,

а изменяется само магнитное поле .

Например, пусть постоянный магнит приближается к проводящему контуру. Силы Лоренца здесь не действуют. Начавшееся движение свободных электронов можно объяснить только появлением нового электрического поля  в, силовые линии которого направлены вдоль контура, т.е.  замкнуты, аналогично линиям индукции магнитного поля. Это поле в неэлектростатической природы называется вихревым.

     Циркуляция  напряженности в по замкнутому  контуру  создает э.д.с.  индукции

и = в  =  -

    Применяя теорему Стокса, получаем уравнение    rot в= - ,

смысл которого заключается в том, что вихревое электрическое поле  в порождается не электрическими зарядами, а изменяющимся со временем магнитным полем.

3    Закон Фарадея. Правило Ленца

    При  изменении  магнитного  потока  через  поверхность  S, опирающуюся на замкнутый проводящий контур, в нем возникает э.д.с.

электромагнитной индукции

и = - =  -

    Это - закон Фарадея.

    Э.д.с. электромагнитной индукции возникает за счет сил  Лоренца, если проводник движется в магнитном поле, пересекая линии , или за счет возникновения вихревого электрического поля, если меняется само магнитное поле . Правило Ленца:  э.д.с. электромагнитной индукции создает в замкнутом проводнике индукционный ток, текущий в таком направлении, что порождаемый этим током магнитный поток стремится скомпенсировать изменение первоначального магнитного потока. Иначе говоря, э.д.с. индукции противодействует изменению магнитного потока, являющегося причиной ее возникновения.

    Такие индукционные токи, возникающие в проводнике при изменении магнитного поля, называются токами Фуко. Они препятствуют внесению проводника в магнитное поле. Но токи Фуко - это токи проводимости. В отличие от токов намагничивания они быстро затухают из-за сопротивления проводника, а их энергия переходит в джоулево тепло

Q = Iи2Rdt .

    Работа, производимая против сил Ампера при внесении проводника в магнитное поле, идет на его нагревание.

4  Явление самоиндукции. Индуктивность

    Протекая по замкнутому проводнику, ток создает магнитное

поле и магнитный поток, пронизывающий площадь, охватываемую

проводником. Величина такого магнитного потока пропорциональна величине тока в проводнике:

Ф = L I .

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью проводника. Измеряется индуктивность в генри [Гн].

Индуктивность очень длинного соленоида с площадью витков S,

в котором на длину  l  приходится N витков

Lсол=

    Так как магнитный поток Ф создается самим током I, то по правилу винта векторы и направлены в одну сторону и Ф > 0. Поэтому  индуктивность проводника  L  всегда положительна.

    Индуктивность проводников  L  постоянна  в немагнитных,

диамагнитных  и  парамагнитных средах и  зависит от величины тока  I  в присутствии ферромагнетика, в  котором  от  тока  зависит      проницаемость . В очень сильных полях ферромагнетик ведет себя как

парамагнетик, так как  1.

Энергия магнитного поля

1  Энергия проводника с током

    При изменении тока в замкнутой цепи в ней возникает самоиндукции.

Работа по перемещению заряда против этой э.д.с. идет

на изменение энергии тока.

-c  = L  = L .

    Пусть ток возрастает от 0 до , тогда в случае отсутствия ферромагнетика   и

 

    Эта энергия W проводника с током индуктивностью L.

    Работа источника сторонней э.д.с. идет и на изменение

внутренней энергии проводника, т.е. на выделение джоулева тепла

, и на изменение энергии тока в нем (в таком виде формула справедлива и в присутствии ферромагнетика):

Wист=Q+.

    Обычно проводники с токами взаимодействуют друг с другом.

    Энергия системы двух замкнутых проводников с токами  I1 и  I2     имеет вид   W = L1I12/2 + L2I22/2 + L12I1I2 . Здесь величина  (L1I12/2 + L2I22/2 ), которая всегда положительна, называется собственной энергией проводников с токами I1 и  I2 , а величина L12I1I2 -  взаимной энергией токов, т.е. энергией их взаимодействия.

2  Энергия магнитного поля.

    Рассмотрим бесконечно длинный соленоид с током I.  Постоянное магнитное поле  с индукцией   /  имеется только внутри соленоида, а энергия тока, текущего по участку соленоида длины , равна

,

где  V - объем участка. Эта энергия будет одновременно энергией

магнитного поля, созданного таким током. Плотность энергии

магнитного поля, т.е. для энергии единицы объема:

.

    Энергию магнитного поля, заключенного в произвольном объеме V , определяют по формуле :   W =  . Но эта формула справедлива, строго говоря, только для  неферромагнитной среды !

Энергии контуров с токами не аддитивны.

  Электрические колебания

1   Собственные электрические колебания

    Электрический колебательный контур - это замкнутая электрическая цепь, обладающая некоторой емкостью C и индуктивностью  L.

    Если конденсатор емкости C первоначально был заряжен, то он начинает разряжаться, и в цепи возникает ток  ,  вызывающий

появление  э.д.с. самоиндукции  c, препятствующей изменению этого тока. В момент, когда конденсатор полностью разрядится, в цепи протекает ток  I . Э.д.с. самоиндукции препятствует его мгновенному исчезновению, и он, постепенно затухая, начинает перезаряжать конденсатор. Затем конденсатор снова разряжается, ток течет в противоположном направлении и т.д. Электрические колебания

происходят за счет превращения электрической энергии заряженного конденсатора в магнитную энергию тока в цепи и наоборот.

    Если к электрическому контуру не подключены никакие внешние источники переменной э.д.с., то колебания называются собственными.

Изменяться по периодическому закону будет величина заряда на конденсаторе, величины тока и напряжения в цепи.

    Уравнение собственных затухающих колебаний имеет вид:

 или   ,

где  ,  .

    Электрических колебаний в контуре не возникает, если его омическое

сопротивление R  велико, или очень мала индуктивность L  контура,

или слишком велика его емкость C, т.е. если выполнено условие

. Но если < , то  e- t. Собственные

электрические колебания в контуре происходят с частотой   (это частота собственных затухающих колебаний) :

и с уменьшающейся по экспоненциальному закону амплитудой  e-t .     Причиной затухания колебаний в электрическом колебательном

контуре является превращение части энергии тока в джоулево тепло на

омическом сопротивлении R : dQ  и рассеянии этого тепла в

окружающую среду.

    Если сопротивление контура R пренебрежимо мало или отсутствует (для сверхпроводящего контура  R=0 ), то колебания в контуре будут

незатухающими:   

  с частотой    и с периодом   .

2   Вынужденные электрические колебания

    Подключим к электрическому колебательному контуру внешний источник  э.д.с., изменяющейся по гармоническому закону с частотойв.

Уравнение вынужденных гармонических колебаний:   или  .

    Зависимость амплитуды A и начальной фазы вынужденных

колебаний заряда на конденсаторе   от частоты вынуждающей э.д.с. и  параметров контура:

 и  

(эти колебания происходят и в случае >  ).

    Напряжение на конденсаторе при этом изменяется по закону

и отстает по фазе точно на   от колебаний тока в контуре:

    Если в цепь подключен источник постоянного напряжения U0, то ток в цепи равен  . Если же в цепь включен источник переменного напряжения  , то амплитуды  э.д.с. и тока в цепи связаны соотношением  , где величина

называется полным сопротивлением или импедансом цепи. Составляющая  R называется активным сопротивлением, а

-  реактивным сопротивлением цепи.

    Для переменного тока сопротивлением обладает как емкость, так и индуктивность. Величину    называют емкостным сопротивлением , а   - индуктивным  сопротивлением.

    Главное различие активного и реактивного сопротивления состоит

в том, что на активном сопротивлении R выделяется джоулево тепло,

а на реактивных сопротивлениях и   - нет !

3   Резонанс. Характеристики  электрического колебательного контура

    Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты   внешнего источника э.д.с. График зависимости амплитуды от этой частоты называется амплитудно - частотной  характеристикой контура.

    При некоторой  частоте внешнего источника амплитуда колебаний достигает максимума. Это явление называется резонансом, а

соответствующая частота - резонансной частотой  .

    Резонанс тока в контуре  наступает при наименьшем значении

полного сопротивления , т.е. при   или  .

Резонансная частота для тока  .

    Резонанс напряжения на конденсаторе ищем из условия максимума           .  Резонансная  частота  для  напряжения  (заряда)  на конденсаторе  .  При   амплитуда напряжения на конденсаторе стремится к бесконечности ! Таким образом, даже если к контуру прикладывать малое внешнее

напряжение , то напряжение на отдельных элементах контура может быть очень большим ! В этом отношении резонансные явления опасны (пробой конденсатора, возникновение искры и т.п.).

Электромагнитное поле. Теория Максвелла

1  Ток смещения

    Переменный ток протекает по цепи, содержащей конденсатор (конденсатор обладает конечным емкостным сопротивлением переменному току). Но это должно нарушать теорему о циркуляции для вектора напряженности   (или индукции ) магнитного поля.

,

               причем   ,a   !

    Действительно, интеграл в правой части (по теореме Стокса) можно

брать  по любой поверхности Si , ограниченной  контуром . Но поверхность  S1  вне конденсатора  линии  тока  пересекают,  и  ,  а через поверхность S2 - полусферу, охватывающую одну из пластин конденсатора, - ток проводимости не течет (между пластинами конденсатора заряды не переносятся, и  j=0 ). Линии тока       j  обрываются  на  пластинах  конденсатора, что  приводит  к противоречию !

    Для того, чтобы теорема о циркуляции не нарушалась, Максвелл предположил, что линии переменного тока нигде не обрываются (всюду замкнуты, как и линии постоянного тока), и между пластинами конденсатора они переходят в линии тока смещения  .

    Но если между пластинами конденсатора находится вакуум, то движения зарядов там нет и ток смещения не является результатом

движения заряженных частиц.  Его назвали током только потому, что

аналогично обычному току проводимости ток смещения   создает магнитное поле.

.

    Ток смещения может появиться в любой среде: в вакууме, в  диэлектрике, в проводнике.

    Магнитное поле создается изменяющимся электрическим

полем !

2  Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла.

    Оказывается, что магнитное и электрическое поля, вообще

говоря, нельзя рассматривать порознь. Помимо того факта, что при

переходе из одной инерциальной системы в другую электрическое

поле превращается в магнитное и наоборот, оказывается, что  в одной  и  той же системе  отсчета переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое  поле :  ,

a переменное электрическое поле порождает ток смещения и, следовательно, переменное магнитное поле :  .  Линии напряженности этих полей замкнуты, охватывают векторы   и  , но из-за  разного знака направлены в противоположные стороны. Поля

эти неразрывно связаны и образуют единое  электромагнитное поле.

    Магнитные поля, созданные током проводимости и током смещения,

складываются и вместе с электрическим вихревым полем и электрическим полем, созданным заряженными частицами, образуют единое электромагнитное поле. Описывается это поле системой уравнений Максвелла. Эта система представляет собой теоремы о циркуляции и о потоке (теоремы Гаусса) для электрического и магнитного полей:

                                                                               Уравнение (1) -- это

 (1)  ( ),                закон электромагнитной индукции

 (2) (),      Фарадея.  Циркуляция вихревого

 (3)   ,                   электрического поля не равна

 (4)  .                       нулю. Она  и  образует э.д.с.

электромагнитной индукции.

    Теорема о циркуляции вектора , записанная в форме  уравнения (2), справедлива всегда. Справа в уравнении (2) стоит алгебраическая сумма токов проводимости и токов смещения, охватываемых замкнутым контуром .

    В уравнении (3) справа стоит алгебраическая сумма зарядов,

охватываемых замкнутой поверхностью S и образующих обычное

потенциальное электрическое поле.

    Эта система уравнений Максвелла записана  в интегральной

форме. С помощью теорем Остроградского и Стокса ее можно

записать в  дифференциальной форме :

 (1)  ,                            В такой форме эти уравнения можно

 (2)  ,               применять для среды с непрерывно  меня-

 (3)  ,                        ющимися параметрами !  На границах раз-

 (4)  .                         личных сред (типа вакуум - металл,  ди -                                                                     

электрик - металл, металл 1 - металл 2) напряженности и индукции

полей меняются скачком, и производные теряют смысл. На таких

границах надо применять уравнения Максвелла в интегральном виде

и учитывать граничные условия.

    Так, если на границе двух сред отсутствуют свободные заряды и токи

проводимости, то граничные условия имеют вид :

     ;      ;

     ;      .

    Еще одно важное граничное условие: так как заряды и токи реально

расположены в ограниченной области пространства, то на бесконечном

удалении их поля исчезают :

                        

    Замечание : уравнения Максвелла мы записали в таком виде, чтобы устранить из них неизвестные связанные заряды   и токи намагничивания . Поэтому, кроме двух основных  характеристик электромагнитного  поля   и , в них вошли еще и . Необходимо дополнить систему уравнений Максвелла связью между ними :

;     ;     .

    Такие связи называются материальными уравнениями.

    Зная распределение зарядов  и токов проводимости в

пространстве и решая систему уравнений Максвелла, можно найти поля  

и в любой точке пространства. И наоборот, зная поля и , можно определить распределение создающих их зарядов и токов .

3  Поток энергии электромагнитного поля. Вектор    Пойнтинга

Рассмотрим теперь закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Убыль энергии электромагнитного поля за единицу времени внутри объема среды, ограниченного любой замкнутой поверхностью S, складывается из потока энергии, переносимой через эту поверхность электромагнитным полем, и работы, которую силы электромагнитного поля производят над зарядами в этом объеме среды за единицу времени :

.

    Это уравнение называется теоремой Пойнтинга.

    Работа над электрическими зарядами может быть как положительной, когда заряды движутся под действием электрических сил, так и

отрицательной, когда под действием каких-либо сторонних сил заряды движутся против сил электрического поля (например, внутри источника э.д.с.). В последнем случае энергия электромагнитного поля не убывает, а возрастает.

    Вектор называется вектором Пойнтинга. Его величина равна энергии, переносимой  электромагнитным полем за единицу времени через единичную площадь, нормальную к направлению распространения электромагнитного поля. Если вектор направлен из замкнутой поверхности, то энергия выносится из нее, и наоборот. Вектор является вектором плотности потока энергии.

Волновые процессы.

Электромагнитные волны

  1.  Волновая функция

     Соседние частицы среды взаимодействуют друг с другом,  и если одна частица начнет колебаться, то эти колебания передаются

остальным частицам с некоторой скоростью  v. Процесс распространения таких колебаний в пространстве называется волной.

    Волны бывают продольные и поперечные. В  продольных  волнах частицы колеблются (смещаются) вдоль направления распространения волны, т.е. вдоль вектора скорости   волны.

    Пример: колебания плотности среды, звук.

    В поперечных волнах смещение частиц среды  перпендикулярно к направлению распространения волны. Продольные волны возникают, если  на  частицы среды действуют силы потенциального поля, а поперечные волны - при действии сил вихревого поля.

    Геометрическое место точек, до которых в данный момент времени дошли  колебания (волна), называется волновым фронтом  (это поверхность, по одну  сторону  которой частицы среды колеблются,  а по другую – еще нет.

    Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, в

которых частицы среды колеблются в одинаковой фазе или испытывают

одинаковые смещения. Волновой фронт и волновые поверхности всегда

перпендикулярны к направлению распространения волны .

    Если  волновой  фронт  и  волновые  поверхности  являются плоскостями, то волна называется  плоской, если сферами, то волна -

сферическая.

    Длина волны   - это расстояние между двумя соседними точками,

колеблющимися в одинаковой фазе  (испытывающими одинаковое смещение).

    Период колебаний  T - это время, за которое волна со скоростью v

проходит путь :

, a  величина  

называется волновым числом.

    Учитывая это, получаем выражение для волновой функции  

плоской волны, распространяющейся вдоль оси  x :

 ,   

где - фаза волны, зависящая и от времени, и от координаты.

В точке с координатой x начальной фазой колебаний будет величина

. Волновая функция   описывает колебания всех частиц среды в произвольный момент времени. Волны с одной фиксированной частотой и постоянной амплитудой называются монохроматическими .  Для монохроматической волны волновая функция  является бесконечной косинусоидой (или синусоидой), распространяющейся в

пространстве со скоростью . Такие волны называют бегущими.

2  Волновое уравнение. Скорость распространения волны

    Любой процесс распространения волны в пространстве описывается одним и тем же дифференциальным уравнением – волновым  уравнением :

.

Используя оператор Лапласа, волновое уравнение можно записать в

виде :  . Решением волнового уравнения всегда будет вол -новая функция  . Все результаты, полученные для монохроматической гармонической волны, будут справедливыми и для волн произвольной формы (сумма решений уравнения также является его решением). Поэтому далее будут исследоваться только монохроматические гармонические волны. Коэффициент, который  стоит при производной   в волновом уравнении, обязательно будет обратным квадратом скорости v волны. Это скорость перемещения волнового фронта и волновых поверхностей, т.е. точек, имеющих одинаковую фазу колебаний. Поэтому скорость v называют фазовой скоростью волны.

3  Электромагнитные волны

    Рассмотрим электромагнитное поле в вакууме или  в однородной диэлектрической среде, где нет свободных зарядов и  токов проводимости : . Запишем для этого случая систему  уравнений Максвелла :

 (1)  ,                    (2)  ,               

 (3)  ,                                 (4)  .

    

    Выполнив ряд преобразований, получаем волновые уравнения

.             .

    В непроводящей среде электромагнитное поле существует в виде

электромагнитных волн - это колебания вихревых электрического и

магнитного полей, распространяющиеся со скоростью

.

Например, волновые функции для плоской электромагнитной волны

имеют вид

,.

    Амплитуды электрического и магнитного полей в плоской электро - магнитной волне связаны соотношением

 или  .

Следовательно, в электромагнитной волне плотность энергии магнит –ного поля всегда равна плотности энергии электрического поля :

.

    В любой электромагнитной волне векторы и колеблются  в одинаковой фазе и образуют с вектором скорости волны   правую тройку векторов.

4  Шкала электромагнитных волн

  

                                                              микро                      инфра                 ультра                                          [Гц]

                         радио –                                 волны                    красное               фиолет.            рентген.

                              вещание                                                              излучение           излучение        излучение

                                                                                                             (тепло)              видимый

                                      телевидение             спутниковое                                             свет                      гамма -

                                                                                TV                                                                                  излучение 

                                            

                                                радиоволны

                                                     Рис.1

    Все излучения, показанные на диаграмме (рис.1), ( в том  числе и видимый свет ) являются электромагнитными волнами, т.е.  быстро - переменными колебаниями электрического и магнитного поля. Все

они распространяются с одной скоростью, скоростью света

, и отличаются только частотой колебаний и длиной волны .

    Для видимого света  400 нм   780 нм  или  3,7  

.

    Замечание  : каждое из излучений, показанных на диаграмме

(рис.1), обладает свойствами волны (непрерывность, сплошной волновой фронт) и частицы (корпускулы) или фотона. Чем больше частота излучения, тем заметнее его корпускулярные  свойства, и наоборот - чем частота меньше, тем сильнее проявляются волновые свойства.  При малых частотах (радиоволны) практически  проявляются только волновые свойства, а при больших частотах ( - излучение) его можно представить потоком частиц - фотонов.

5  Энергия и импульс электромагнитной волны

    Электромагнитная волна - это электромагнитное поле в  непроводящей среде. Вектор потока энергии, или вектор Пойнтинга для  нее имеет вид  , так как векторы    образуют правую тройку векторов.

    Поток энергии, переносимой электромагнитной волной, равен произведению плотности энергии электромагнитного поля на скорость распространения волны :

.

- это энергия, переносимая через единичную площадку за единицу времени.

    Направление вектора Умова - Пойнтинга показывает направление переноса энергии волной, а его величина (энергия волны) всегда пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

    Заметим, что амплитуда колебаний в сферической волне уменьшается обратно пропорционально расстоянию r от источника волны.

    Импульс единицы объема электромагнитной волны равен

.

Tаким же импульсом обладает единица объема любого электромагнитного поля в любой среде.

    Все электромагнитные волны отталкивают поглощающие или отражающие их тела, т.е. создают на них давление

.

Интерференция электромагнитных волн

1  Интерференция когерентных волн

    Интерференция волн - это явление устойчивого увеличения или

уменьшения результирующей амплитуды колебаний при суперпозиции

(наложении) двух или более когерентных волн. При этом в разных

точках пространства результирующая амплитуда различна, но в

любой точке она остается постоянной в течение довольно большого

промежутка времени (времени наблюдения).

    (Примером интерференции волн являются стоячие волны.)

    Пусть в некоторую точку пространства, обычно называемую точкой наблюдения и обозначаемую буквойP, приходят  от разных источников две волны с одинаковой частотой и с одинаковым направлением колебаний электрических векторов и . Тогда, согласно принципу

суперпозиции, результирующее колебание в точке P будет иметь вид

,

причем начальные фазы колебаний и будут зависеть от координат источников и точки наблюдения.

    Для сложения колебаний применим метод векторной диаграммы.

,

так как  .

    Волны называются некогерентными, если их разность фаз

зависит от времени. Тогда среднее значение быстропеременной гармонической функции за время наблюдения  , и среднее значение квадрата амплитуды результирующего колебания

.

    Интенсивность (или энергия) волны (а для света - освещенность

экрана) пропорциональна квадрату ее амплитуды, т.е.  .

    Поэтому при наложении некогерентных волн их интенсивности

складываются, и результирующая (усредненная) интенсивность будет

одинакова во всех точках пространства : .

     Когерентными называются волны, для которых разность фаз  постоянна во времени  .

    В тех точках пространства (экрана), где разность фаз когерентных волн равна нечетному числу , т.е.

,  где  m - целое число  ( условие минимума ),

результирующая амплитуда будет минимальной и равной

.

    В тех же точках, где разность фаз когерентных волн равна четному

числу , т.е.

,  где  m - целое число  (условие максимума ),

результирующая амплитуда будет максимальной: .

    Таким образом, при сложении когерентных волн наблюдается

интерференционная картина, состоящая из устойчивых максимумов и

минимумов интенсивности (освещенности) экрана.

    Если амплитуды интерферирующих волн одинаковы:  ,

в точках минимума освещенность падает до нуля, а в точках максимума

возрастает в четыре раза:  .

2  Интерференция света в тонких пленках

    Пусть пленка с показателем преломления n, находящаяся в воздухе,

имеет всюду одинаковую толщину d.

    Пучок света 1, падая на пленку под углом , частично  отражается от оптически более плотной среды со сдвигом фазы на    (т.е. с изменением разности хода на     - так называемая "потеря полуволны"), образуя пучок 1'. Но, частично преломляясь, он отражается  от  нижней  поверхности  пленки  ( в данном случае - без потери полуволны ) и выходит из нее в виде пучка 1'' параллельно пучку 1'.

    Пучки света 1' и 1'' когерентны, так как образуются из одного  пучка 1, и поэтому  могут  интерферировать  на  экране, если  их  собрать  с помощью линзы (роль линзы может выполнять и глаз наблюдателя, что

обычно и происходит).

    Оптическая разность хода световых пучков  .

    Максимумы освещенности для данной длины волны будут наблюдаться при отражении света под определенными углами max,  получаемыми из условия

.

    Получаемая таким образом интерференционная картина называется

полосами равного наклона.

    Если пленка имеет переменную толщину d, а свет падает на нее

практически нормально, то условие усиления отраженного  света с длиной волны  имеет вид :

.

    Усиление света происходит в тех точках, где пленка имеет  определенную величину, удовлетворяющую этому условию. Такая интерференционная картина называется полосами равной толщины.

  1.  Многолучевая интерференция.

    Дифракционная решетка

    Практический интерес представляет интерференция не двух, а

большего числа когерентных пучков. Например, интерференция в системе, называемой  дифракционной решеткой. Это - система из N одинаковых щелей, расположенных на равном расстоянии  d  (постоянная решетки) друг от друга. При нормальном падении на решетку плоского волнового фронта с длиной волны  каждая щель будет когерентным источником, излучающим свет во всех направлениях. Линза (роль которой может выполнять глаз) соберет параллельные пучки света в одну точку P экрана (параллельные пучки, распространяющиеся в других направлениях, будут собраны в других точках экрана). Разность хода волн, приходящих от соседних щелей, равна

, т.е. колебания вектора от каждой последующей щели сдвинуты по фазе на

по сравнению с колебаниями от предыдущей щели.

Следовательно,

 

,

(так как амплитуды колебаний в световой волне, приходящей от каждой щели, одинаковы).

    Складывая эти колебания методом векторной диаграммы определяем главные максимумы интенсивности света, прошедшего через дифракционную решетку.  Они получаются из условия ,  где m - целое число.

    При выполнении этого условия, т.е. в точках экрана, соответствующих условиям главных максимумов, интенсивность света возрастает по сравнению с интенсивностью света , приходящего от  одной щели, в раз :

                                        (Решетку можно изготовить, нанеся на основу

                        штрихов  - тогда  яркость света возрастет                       

                                           в раз !)

    Но между соседними главными максимумами расположены (N-1) минимумов интенсивности, соответствующих нулям числителя :

,    где m - целое число, не равное  

- условие дополнительных минимумов.  Получаемая при этом интерференционная картина такова :

очень яркие и узкие линии, соответствующие главным  максимумам для света с длиной волны  , разделены участками, где интенсивность света очень мала из-за наличия дополнительных минимумов. Если на решетку направить белый свет с разными длинами волн, то она разделит его на все цвета радуги, образуя спектры порядка m.

    По критерию Рэлея два пика интенсивности еще можно увидеть раздельно, если минимум первого пика совпадает с максимумом второго, т.е.    или

                         .

    Отношение     называется разрешающей способностью ди-фракционной решетки. Из этой формулы следует, что разрешающая способность пропорциональна числу щелей N. Чем больше N , тем более узкие и яркие линии получаются в интерференционной картине.

Дифракция электромагнитных волн

1  Принцип Гюйгенса - Френеля

    Каждый участок волнового фронта электромагнитной волны - это быстропеременные колебания электрических и магнитных полей, которые, согласно уравнениям Максвелла, снова порождают  электромагнитную волну. Иначе говоря, любой участок волнового  фронта  является источником вторичных электромагнитных волн, имеющих ту же частоту и распространяющихся во все стороны с такой же фазовой

скоростью. Это утверждение называется принципом Гюйгенса -Френеля.

    Вторичные волны, испускаемые каждым  участком волнового фронта  складываются друг с другом, с первоначальной волной и  интерферируют. В результате в направлении, противоположном  направлению  распространения волны, они взаимно гасятся.

    В направлении распространения волны вторичные волны тоже складываются, интерферируют и за время   проходят расстояние . Их огибающая представляет собой новое положение  волнового фронта. Дифракция электромагнитных волн - это явления, возникающие при сложении и интерференции бесконечного числа вторичных электромагнитных волн, испущенных каждой точкой волнового фронта. При этом появляются отклонения от законов геометрической оптики. В частности, в результате дифракции происходит огибание волнами

препятствий, а также образование картины чередующихся максимумов и минимумов освещенности, аналогичной интерференционной картине.

   Явления интерференции и дифракции имеют одну и ту же  физическую природу. Интерференцией принято называть сложение конечного числа когерентных волн, а дифракцией - бесконечного числа волн от всех точек волнового фронта.

2  Метод зон Френеля

    Пусть точечный источник света  А  испускает сферическую

электромагнитную волну. Рассмотрим положение волнового фронта в некоторый произвольный момент времени. Все участки волнового фронта испускают вторичные волны, приходящие в точку наблюдения  P (на оси системы) и интерферирующие в ней.

    Разобьем волновой фронт на участки, называемые зонами  Френеля.

    Зонами Френеля называются участки волнового фронта, выбранные таким образом, чтобы расстояния от границ двух соседних участков до точки наблюдения P отличались ровно на  . (Точнее говоря, разность хода двух лучей, приходящих в точку наблюдения  P  от  соседних границ, должна быть равна   ).

    В случае сферического волнового фронта первая зона Френеля – это  круговой сектор, а последующие зоны - кольца радиуса   на сферической поверхности. Разность фаз для волн, пришедших от двух

противоположных границ одной и той же зоны, имеет величину

,  значит, волны, приходящие от одной зоны, все еще

усиливают друг друга, а волны от соседних зон Френеля приходят в

противофазе и гасят друг друга.

    Радиус зон Френеля (с не очень большим номером m) в случае точечного источника света определяется формулой

,   где m - целое число.

    Здесь a - расстояние от источника света до волнового фронта;  b - расстояние от волнового фронта до точки наблюдения.  Дифракция света от точечного источника называется дифракцией Френеля.

    Но волновой фронт может быть плоским  (параллельные  лучи света). В этом случае дифракция волн называется  дифракцией Фраунгофера, а радиус зон Френеля вычисляется по формуле

,   где m - целое.

3  Дифракция на круглых отверстиях и

круглых непрозрачных экранах

Любые препятствия, находящиеся на пути распространения световой волны, будут закрывать часть зон Френеля на падающем на них

волновом фронте. Поэтому интенсивность прошедшего через них

света можно определить, cуммируя вклад оставшихся открытыми зон

Френеля.

    Если радиус отверстия окажется равным радиусу  четной зоны Френеля для точки P , т.е. , то вклады четного числа зон компенсируют друг друга, и в точке  P  освещенность будет  минимальна  ().  Если же в отверстии  окажется нечетное число зон Френеля, то освещенность в точке  P  максимальна :

- в 4 раза больше, чем при отсутствии препятствия !

    Пусть теперь препятствие (диск) закрывает первые m зон Френеля, тогда для точки P экрана остаются открытыми все остальные зоны, и освещенность в центре экрана  по-прежнему не равна нулю:  .

    Все это и объясняет парадоксальные результаты опытов Френеля.

    Зонная пластинка. Каким-либо образом, например, лучом лазера,

на стеклянной пластинке делаются непрозрачными все четные зоны Френеля (конечно, для какой-то определенной точки наблюдения P). Тогда свет проходит через оставшиеся нечетные зоны "в фазе", и поэтому освещенность в точке P возрастает до значения

,

где N - число зачерненных четных зон Френеля. Такая зонная пластин - ка  «фокусирует» лучи в точке P , т.е. может служить в качестве хорошей линзы, причем – широкофокусной !

4  Дифракция света на узкой щели

    Рассмотрим случай нормального падения плоской световой волны на узкую щель ширины a.

    Каждая точка волнового фронта испускает свет во всех направлениях. Чтобы определить, как интерферируют лучи, распространяющиеся вдоль одного выделенного направления (под углом к плоскости щели), поместим перед экраном линзу, собирающую их в одну точку P.

Тогда щель можно представить как набор плотно расположенных  ис –точников  вторичных  волн, испускающих  волны  с  одинаковыми амплитудами dE и небольшим сдвигом фаз относительно друг друга. Сдвиг фаз между крайними источниками (краями щели)

.

Просуммировав все приходящие в точку P волны  методом вектор - ной диаграммы, получаем :

    -  условие дифракционных                                                                            минимумов на щели ширины a.                                                               

    Фактически мы разбили волновой фронт в плоскости щели на зоны

Френеля - узкие полоски, параллельные щели, - оптическая разность

хода от границ которых до точки наблюдения P на экране отличается на .

    Для света, идущего от щели под разными углами , т.е. для раз -личных точек наблюдения на экране, одна и та же щель разбивается

на разное число зон Френеля.

    Дифракционные минимумы соответствуют тем направлениям, для которых щель разбивается на четное число зон Френеля.  Поэтому  условием дифракционных минимумов будет равенство

.

    Центральная, наиболее яркая полоса, занимающая положение между двумя первыми дифракционными минимумами слева и справа, в два раза шире остальных полос. Она является дифракционным изображением освещенной щели на экране.

    При прохождении света через дифракционную решетку картина

интерференции лучей, приходящих от различных щелей, накладывает -ся на дифракционную картину, получаемую от каждой щели, в резуль -тате чего на экране видно распределение интенсивности в зависимости от угла отклонения лучей.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5798. Технологічний процес виробництва пробіотичного препарату на основі мікроорганізму Enterococcus faecium 1.53 MB
  Проект виробництва пробіотичного препарату на основі мікроорганізму Enterococcus faecium в ліофільно висушеній формі складається зі вступу,чотирьох розділів,графічних матеріалів та списку використаної літератури...
5800. Особенности нормирования труда в рыночных условиях на примере ЦШИ ОАО Носта 590.35 KB
  Многолетний период реформирования директивно-управляемой экономической системы к настоящему времени практически завершен, в результате чего фактически сложился новый тип экономики. Предприятиям, независимо от форм собственности, предоставле...
5801. Чай и его товароведческая характеристика 191.11 KB
  Чай Потребление чая связано с национальными и историческими традициями разных стран.Для многих народов чай является продуктом первой необходимости,а некоторые народы считают его наравне с хлебом как жизненно важный,ничем не з...
5802. Анализ PR-деятельности по продвижению предприятия и разработка путей и способов повышения эффективности ООО Вкусный Урал Pizza to Pizza 718.11 KB
  Введение Усиление динамичности внешней и внутренней среды компаний в условиях нестабильной рыночной экономики требует специальных подходов к совершенствованию бизнеса ориентированных на постоянное повышение его конкурентоспособность...
5804. Розробка обємно-планувальних рішень готелю на 90 місць категорії 1.05 MB
  Незважаючи на те, що сфера послуг набуває все більшого розвитку в нашій країні, функціонування готельного господарства ускладнюється цілою низкою проблем. Однією з причин подібного протиріччя є відсутність надійної та достовірної інформації пр...
5805. Порівняння ефективності алгоритму однократної та двократної фільтрації невиявлених відмов (алгоритм з β-фільтром та алгоритм з подвійним β-фільтром) 884.77 KB
  Ефективна експлуатація повітряних суден (ПС), якими в наш час оснащені авіакомпанії, можлива лише за умови мінімізації витрат на їхнє технічне обслуговування (ТО). Тому актуальною являється задача науково...
5806. Щадящие методы межчелюстной фиксации 119.02 KB
  Введение Актуальность проблемы.За последние годы и десятилетия неуклонно возрастает количество травматических повреждений в том числе и челюстно-лицевых. Если в 1960 ых годах частота травм костей лицевого скелета составляла 0,3 на 1000 ч...