2756

Статистическая физика

Книга

Физика

Основные идеи статистической физики Краткие сведения из теории вероятностей Фазовое пространство. Теорема Лиувилля Статистический вес, энтропия, микроканоническое распределение Вероятностные процессы Каноническое распределение Гиббса...

Русский

2013-01-06

985.5 KB

176 чел.

Содержание

1. Основные идеи статистической физики

2. Краткие сведения из теории вероятностей

3. Фазовое пространство. Теорема Лиувилля

4. Статистический вес, энтропия, микроканоническое распределение

5. Вероятностные процессы

6. Каноническое распределение Гиббса

7. Распределение Максвелла – Больцмана

8. Флуктуации аддитивных величин

9. Матрица плотности

10. Большое каноническое распределение

11. Теория теплоемкости твердого тела Дебая

12. Распределения Бозе и Ферми

13. Фотонный газ. Формула Планка. Черное излучение


Основные идеи статистической физики.

Статистическая физика изучает системы большого числа частиц, каждая из которых описывается своим уравнением движения (уравнениями Гамильтона):

  (1)

Однако из-за того, что этих уравнений будет порядка 1023 и решить их все – довольно громоздкая задача. Кроме того, информация, даваемая решениями

(2)

оказывается избыточной, так как нужно знать лишь небольшое число термодинамических параметров, характеризующих систему в целом (например, температуру, энтропию, энергию, давление). Поэтому для решения данной задачи нужен иной подход.

В термодинамике принято говорить о так называемых термодинамических средних значениях макроскопических параметрах по времени, так как изначально система может не находится в термодинамическом равновесии, т. е. в таком состоянии, когда значения макроскопических параметров с большой точностью равны соответствующим средним. Функция распределения по энергии для такого состояния .

Чтобы построить термодинамическое среднее, необходимо наблюдать за системой бесконечное время. Система будет двигаться в фазовом пространстве  согласно уравнениям (1), описывая некоторую фазовую траекторию (2), забивающую все фазовое пространство. Если через одинаковые промежутки времени откладывать на этой траектории точки, то они заполнят все фазовое пространство с некоторой плотностью зависящей от и . Если - полное число точек (), то число точек в данном фазовом объеме пропорционально величине этого объема

но - элементарная вероятность обнаружить систему в заданном объеме за все время наблюдения.

(условие нормировки).

Среднее значение величины

.

С другой стороны очевидно, что:

.

Эквивалентность двух средних и устанавливает эргодическая гипотеза.

Цель: Установить вид равновесной функции распределения .

Если известно , то можно найти все средние значения микроскопических параметров

Введем также понятие функции распределения по величине F.

Построим гиперповерхности

 

Тогда , - функция распределения по .

Ниже будет установлена связь между и .


Краткие сведения из теории вероятностей

1) Функция распределения:

Prob() - вероятность обнаружить значение величины . Если , то

,

и - монотонно возрастающая функция. Вероятность обнаружить значение между и :

.

2) Плотность распределения:

- вероятность попадания в данный интервал .

Очевидно, что:

(условие нормировки)

Наиболее часто встречается распределение - гауссовское:

По-другому – вероятность пропорциональна или . Аналогично вводится понятие плотности для нескольких случайных переменных:

Prob()

или .

Если и независимые переменные, то вероятность обнаружить не влияет на вероятность , поэтому:

NB Сложение и умножение вероятностей удобно пояснить при помощи множеств. Пусть есть множество равновероятных событий. Выделим из него два подмножества А и В. Если площадь всей фигуры на рисунке равна единице, то порядка площади, поэтому:

( - если и не пересекаются)

( - если и пересекаются).

Условная вероятность - вероятность А при условии, что В произошло очевидно:

Если А и В независимы, то и

3) Среднее.

Пусть есть случайная величина А принимающая значения Аi. Тогда:

В случае непрерывной переменной .

или

- среднее (математическое ожидание или первый момент)

4) Среднеквадратичная функция, дисперсия.

Def Центральный момент N-го порядка

Второй центральный момент (М2) называется дисперсией

Для гауссовского распределения

Само называется среднеквадратичной флуктуацией. Смысл для гауссовского распределения - ширина кривой по , характеризующая степень разброса вблизи среднего. Говорить о имеет смысл когда

Def: - относительная флуктуация.


Задачи по теории вероятностей.

  1.  В корзине 20 шаров 10 черных и 10 белых. Найти вероятность того, что из трех наугад вытащенных шаров два окажутся одного цвета.

Решение: Запишем это событие в виде Все элементарные события – независимы, поэтому можно применять теорему о сложении вероятностей:

Для вычисления применить теорему умножения вероятностей.

Аналогично для и .

Таким образом

  1.  Три стрелка стреляют в мишень вероятность попадания одного стрелка – 0,8, второго – 0,7, третьего – 0,6. Определить вероятность того, что в мишень попало два стрелка.

Решение: Запишем это событие в виде

Все эти события независимы, так что вероятности просто нужно сложить (черта означает вероятность непопадания).

и.т.д.

Так что:

  1.  Определить вероятность выигрыша в 6 из 45

Решение: Пусть все шары вытаскивают до последнего. В результате получаем конфигурацию чисел . Это можно реализовать способами, причем внутри каждой группы числа могут идти в любой последовательности, например:

- эквивалентная конфигурация, поэтому число различных перестановок между двумя группами будет в раз меньше и равно

Выигрышной будет только одна комбинация, когда 6 заданных чисел выпадут первыми в любой последовательности.

5 номеров: истинных номеров среди первых шести должно быть пять (с любыми перестановками пяти истинных и одного ложного номера). При этом один истинный номер должен попасть в группу к ложным.

Таких вариантов будет очевидно

Аналогично для 4:

3:

4. Плотность распределения    . Найти вероятность обнаружить значение больше ее удвоенного среднего.

Решение:

Найдем с:    

Искомая вероятность:

5. Плотность распределения  . Найти вероятность того, что при случайном наблюдении ее значение будет больше среднего.

Решение:   

. (дифференцирование по параметру).

6. Случайная фаза распределена по отрезку с плотностью . Найти . ( вне отрезка равна нулю).

Решение:, следовательно и

.

7. Плотность распределения . Найти с и вероятность того, что лежит в интервале  .

Решение: из условия нормировки находим:

  .

Искомая вероятность равна:

.

8. Математический маятник совершает колебания по закону . Найти вероятность того, что при случайном измерении угла его значение будет лежать в интервале .

Решение: Мерой вероятности является время которое маятник проводит в данном интервале углов.

(за период данный сектор маятник проходит дважды)

  

и, следовательно

.


Фазовое пространство. Теорема Лиувилля.

Теорема Лиувилля говорит о сохранении фазового объема, занимаемого фазовыми точками в начальный момент времени. Эти точки движутся так, что их плотность не изменяется, так, что . Это дает возможность установить связь между энергией и  

Задачи 

9. Определить фазовую траекторию тела массой , которое движется в постоянном гравитационном поле с начальной скоростью (направленной вверх). Начальная координата .

Решение: Поле постоянно, следовательно, существует интеграл энергии:

.

Следовательно, уравнение траектории .

10. Определить фазовую траекторию для частиц массой и зарядом , движущейся под действием силы притяжения к неподвижному заряду .

 .

Решение: Поле тяжести постоянно, так что энергия при движении сохраняется

.

Следовательно  

  1.  Определить фазовую траекторию линейного гармонического осциллятора со слабым затуханием. Как изменяется со временем фазовый объем?

Решение: Уравнение движения такого осциллятора

,

Решение этого уравнения имеет вид - корни характеристического уравнения.

(такое решение сразу удовлетворяет начальным условиям).

Очевидно, что

,

то есть фазовая траектория – эллипс (в координатах и - окружность радиуса ). С течением времени фазовый объем (площадь круга) будет экспоненциально убывать, так, что

так как затухание слабое, то за период радиус можно считать постоянным.

12. Определить фазовую траекторию для физического маятника массы . Момент инерции , приведенная длинна .

Решение: Будем использовать закон сохранения энергии (как для обычных колебаний)

 

где - обобщенный импульс . Следовательно

а) . В этом случае маятник будет совершать вращательное движение:

б) . В этом случае

.

Следовательно, время достижения верхней точки

 

в) . Подкоренное выражение должно быть положительным .

- максимальный угол ().

.

В этом случае движение будет периодическим.

13. Проверить выполнимость теоремы Лиувилля для:

а) упругого столкновения двух шаров;

б) движения частиц в постоянном поле тяжести с начальными условиями , , .

Решение: а) Используем закон сохранения энергии и импульса.

  .

Следовательно .

Таким образом ;

И , то есть фазовой объем сохраняется.

б) Уравнения движения , ,  

, ,   . И следовательно в каждый момент времени.


Статистический вес, энтропия, микроканоническое распределение.

Статистическим весом называется число микросостояний, реализующих заданное макросостояние.

Ex Игральные кости. Конфигурация (3 4 5), так что сумма - аналог полной энергии макросостояния с . Энтропия .

В фазовом пространстве микросостоянию соответствует ячейка объема . Возьмем две гиперповерхности с энергиями и (для каждого  ). Число микросостояний будет пропорционально объему, заключенному между этими поверхностями .

- статистический вес (число состояний на единичный интервал энергии ).

Рассмотрим систему с постоянной энергией (замкнутая система). Плотность будет отлична от нуля только на гиперповерхности и равно нулю в остальных точках (фазовая траектория целиком лежит на этой поверхности). Кроме того и на поверхности постоянно. Этому свойству удовлетворяет . Такое распределение называется микроканоническим.

Найдем нормировочную константу .

.

Таким образом , и .

Модуль канонического распределения, температура и теплоемкость определяются как:

, , .

Задачи:

14. Определить МКР для а) частиц идеального газа; б) независимых линейных классических осцилляторов.

Решение: а) энергия сохраняется, следовательно

 

( - номер проекции, - номер частицы). Найдем объем , соответствующей состояниям с энергией, меньшей . Это, как следует из (1) будет объем - мерного шара.

NB Объем -мерного шара . Найдем . Рассмотрим интеграл

. Следовательно .

,

,

В нашем случае в роли выступает , а , следовательно:

  

.

Используя уравнения термодинамики:

 

сразу получим

,

NB  .

Таким образом, для больших весь объем - мерной сферы заключен вблизи ее поверхности, то есть для расчета энтропии можно брать весь фазовый объем, а не только его часть вблизи поверхности.

б) энергия системы независимых трехмерных осцилляторов сохраняется и равна:

Положим . Тогда

. Статистический вес:.

Энтропия:

, следовательно .

NB Заметим, что в силу того, что - велико

.

15. Вывести каноническое распределение Гиббса, взяв в качестве модели термостата примеры из предыдущей задачи.

Решение: Обозначим - совокупность координат и импульсов частиц термостата, а - рассматриваемой системы. Вместе они образуют замкнутую систему. Чтобы получить распределение для системы, нужно проинтегрировать по координатам и импульсам термостата:

( - энергия системы).

Подставим из предыдущей задачи (термостат+система содержатчастиц, а сам термостат )

при

Предел

- каноническое распределение Гиббса или .

(В случае с осцилляторами следовало положить ).


Вероятностные процессы.

16. (Термоэлектронная эмиссия). Вероятность вылета электрона за время - . Определить вероятность вылета электронов за время , если вылеты электронов - независимые события и промежуток времени бесконечно мал (так что два электрона за это время вылететь не может). Найти также , если за время вылетит электронов.

Решение: Разобьем интервал времени на малые участки . Событие (вылет электронов за время ) запишем в виде (в в н в н н…в). в – n штук, н – (N-n). Вероятность вылета - , невылета - . Так как все события независимы, то по теореме умножения вероятностей:

Кроме того, учтем различные перестановки между в и н . Всего их будет , что увеличит искомую вероятность в соответствующее число раз (так как вероятность событий (в в н в н н…в) и (в н н в н в…н) с одинаковым числом в и н одинаковы и равны ).

Таким образом:

Устремим к бесконечности и учтем, что

, ,

Тогда получим

Условие нормировки выполняется автоматически.

NB вероятность невылета ни одного электрона за время  . При конечном и получаем :

 

следовательно .

17. Идеальный газ состоящий из молекул, находится в объеме . Найти вероятность того, что в объеме   находится молекул.

Решение: Для одной молекулы . Потребуем, чтобы  определенных молекул находились в   (всего штук). При этом остальные молекулы не должны там находится. Вероятность отсутствия молекулы в объеме  . Таким образом, вероятность того, что определенных молекул находятся в объеме , а остальные отсутствуют ввиду некорреллированости их движений равны

(вероятность конфигурации ,

(без черты - , с чертой - ). Таким образом,

.

Проверим условие нормировки

(бином Ньютона)

Среднее число молекул в объеме :

Подставим в (1)

Если , то (см. предыдущую задачу)

(распределение Пуассона)

Если , то

.

Обозначим . Тогда

Таким образом

Константу найдем из условия нормировки:

    .

Сравнивая с гауссовским распределением, находим, что

  

18. (Задача о случайных блужданиях по одномерной решетке). Вероятность скачка точки вправо - , влево - . Определить вероятность того, что за шагов частица окажется в точке с координатой .

Решение: Пусть частица делает шагов вправо и влево. Очевидно, что

   (1)

событие - ( букв «вправо» и и букв «влево»).

Вероятность такого события .

Всего таких конфигураций , причем все они равновероятны. По теореме о сложении вероятностей искомая вероятность равна:

где и заданы в (1). Очевидно, что и должны быть одновременно четными, либо нечетными (в противном случае вероятность равна нулю) .

К решению данной задачи можно подойти несколько иначе. Пусть - вероятность того, что в момент времени (- время одного скачка) точка будет иметь координату (- длина одного шага). Такое событие можно реализовать двумя способами – либо в случае, когда в момент времени точка имела координату и с вероятностью прыгнула вправо, либо когда в этот же момент ее координата была и затем с вероятностью прыгнула влево. По теореме о сложении вероятностей:

.

Считая , разложим эти вероятности в ряд Тейлора:

,

,

.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем:

.

Вводя обозначения

, ,

получаем т. н. уравнение Фоккера-Планка:

.

Первое слагаемое в этом уравнении описывает регулярное смещение (очевидно, при это слагаемое отсутствует, т. е. ансамбль таких точек как целое покоится), второе – т. н. диффузионное движение. Нетрудно получить решение этого уравнения при начальном условии

Применяя преобразование Фурье по координате к вероятности:

Получаем для Фурье – образа :

,

Откуда после интегрирования находим:

(с учетом начального условия )

Подставляя в последний интеграл и вычисляя его, получаем нормированное распределение:

,

характерная ширина которого изменяется со временем по закону , что характерно для диффузионного движения (вспомните броуновскую частицу). Максимум же смещается равномерно со скоростью , что соответствует регулярному сносу. Если , то получается чисто диффузионное движение (такой процесс называется винеровским), если же , то используя одно из предельных представлений - функции, получаем детерминированное движение:

.

19. Определить энергию, температуру, энтропию, статистический вес и теплоемкость состояния с полной энергией системы независимых квантовых осцилляторов, считая, что частоты всех осцилляторов одинаковы.

Решение: Энергия одного осциллятора ,

Энергия всей системы равна сумме энергий всех осцилляторов:

,  

Таким образом, макросостояние задается числом . В то же время данное получается различными конфигурациями целых положительных чисел, сумма которых равна : . Необходимо найти всевозможные такие конфигурации. Их число и есть статистический вес состояния с энергией . Запишем данную конфигурацию так - всего единиц и запятых. Очевидно, все конфигурации можно получить перестановками единиц и запятых. Всего их

Энтропия:

 

Температура:

(так как  ).

 

(формула Эйнштейна). Предельные случаи:

а)   

б)     

20. частиц могут находиться на двух энергетических уровнях . Найти среднюю энергию, температуру, энтропию, статистический вес и теплоемкость.

Решение: Пусть частиц имеющих энергию , а - . Энергия такой конфигурации

 

откуда

 . Следовательно .

Кроме того, данное значение энергии может быть реализовано способами. Это и будет статистическим весом состояния с энергией :

Энтропия:

.

. Таким образом, получаем:

 

или, откуда

.

Предельные случаи

а)      (энергия системы минимальна)

б)      (полное разупорядочение).

Теплоемкость

.

21. Один интересный метод получения распределения Гиббса.

Рассмотрим сосуд, объемом , содержащий одинаковых частиц идеального одноатомного газа. Мысленно разобьем его на одинаковых частей, в каждой из которых в данный момент будет находиться частиц (). Такую конфигурацию назовем микросостоянием и введем для нее обозначение

Ввиду тождественности рассматриваемых частиц указанную конфигурацию можно реализовать одинаковым способами, соответствующими перестановкам частиц внутри каждого объема. Такую величину назовем термодинамическим весом данного макросостояния, а ее логарифм – энтропией .

Т. к. обычно приходится иметь дело с термодинамической системой, где все , то выражение для энтропии можно записать приближенно, воспользовавшись формулой Стирлинга :

где - вероятность нахождения определенных частиц в объеме . Очевидно, что . Вместо введена энтропия в расчете на одну частицу .

Выясним, какой конфигурации чисел будет соответствовать максимальное значение удельной энтропии. Трудность здесь заключается в том, что не являются независимыми переменными, а подчиняются условию нормировки . В этом случае, согласно методу неопределенных множителей Лагранжа, будем исследовать на максимум не , а величину . Это позволяет учесть условие нормировки, при этом считая уже независимыми. Подставляя сюда и выполняя дифференцирование, получаем условие максимума:

,

откуда можно заключить, что максимуму энтропии соответствуют , одинаковые для каждого объема. Поэтому, как следует из условия нормировки и . Это означает, что в состоянии с максимальной энтропией частицы рассредоточены равномерно по всему объему сосуда.

Если взять достаточно большое , то мы получим континуальный предел. Тогда вместо вероятностей можно писать , где - плотность распределения частиц по объему. Для энтропии в этом случае справедливо представление:

,

т. е. энтропия получается как среднее от логарифма функции распределения.

Однако рассмотренная задача, как и само понятие «конфигурация», естественно, нуждаются в обобщении. Дело в том, что мы рассматривали все частицы как неподвижные, в то время как в действительности они движутся с определенными скоростями и таким образом, конфигурация частиц будет задаваться уже как . Такое обозначение позволяет судить о количестве частиц в -й части в пространстве скоростей с одним лишь отличием от случая пространственного распределения – оно не имеет конечного «объема», т. к. скорость частицы может принимать любые значения. Однако и здесь есть определенные ограничения. Дело в том, что при движении полная энергия частиц должна сохраняться. Считая для простоты (обобщение очевидно), что частицы обладают только кинетической энергией и, обозначив - относительное число частиц, обладающих энергией , можно теперь сформулировать задачу следующим образом. Требуется найти максимум функции , но уже при двух дополнительных условиях – постоянства величин и , связывающих между собой . Умножая последние два выражения на и соответственно и прибавляя их к , получаем, что мы теперь должны исследовать на максимум величину

считая все независимыми.

Из условия находим уравнение:

,

откуда

Вводя обозначение из условия нормировки, сразу находим . Эту величину назовем статистической суммой, а ( - абсолютная температура) – модулем канонического распределения. Полученное выражение представляет собой распределение частиц по энергетическим уровням и называется каноническим распределением Гиббса:

, .

Используя , найдем среднюю энергию системы (на одну частицу):

и аналогичным образом энтропию и свободную энергию .

.

В случае, если имеются и другие аддитивные, сохраняющиеся для всей системы величины (например, число частиц ), то, выполняя аналогичную процедуру, получим, что вероятность для системы иметь значения соответствующих величин будет равна:

.


Каноническое распределение Гиббса.

  1.  В классическом случае плотность вероятности:

, где  

Такое распределение справедливо для системы в термостате (). Величина называется статистическим интегралом.

  1.  В квантовом случае плотность вероятности:

, где .

Величина называется статистической суммой, – кратность вырождения -го уровня. При помощи статистического интеграла можно определить все термодинамические характеристики системы (средние):

а) Свободная энергия ;

б) Внутренняя энергия ;

в) Энтропия ;

г) Уравнение состояния ;

д) Теплоемкость .

NB Наличие множителя говорит, о том, что это вероятность данной конфигурации безотносительно к тому, какие частицы обладают данными (Такая вероятность в раз больше, чем вероятность одной частице иметь импульсы и координаты , второй - и т.д. ). Кроме того, заметим, что статистический интеграл обладает свойством мультипликативности, т.е. если гамильтониан представим в виде , то .

Задачи

  1.  Для идеального газа в объеме определить. Газ одноатомный и содержит частиц.

Решение: Гамильтониан невзаимодействующих частиц в отсутствии внешнего поля имеет вид: и не зависит от координат. Следовательно, обладает свойством мультипликативности. В этом случае

,

.

Воспользовавшись формулой Стирлинга (), получаем:

Свободная энергия ;

Энтропия: ;

Внутренняя энергия ;

Уравнение состояния: , откуда сразу получаем уравнение Менделеева - Клайперона .

Теплоемкость .

  1.  То же для ультрарелятивистского газа .

Решение: Воспользуемся сферической симметрией в импульсном пространстве и мультипликативностью :

= { - Гамма-функция} = .

Отсюда сразу получаем:

Свободная энергия ;

Энтропия: ;

Внутренняя энергия (как для осциллятора, см. ниже.);

Уравнение состояние: (как для идеального газа)

Теплоемкость .

  1.  Рассмотреть парадокс Гиббса.

Решение: П.Г. заключается в возрастании энтропии в раз при соединении двух одинаковых сосудов с одинаковым числом частиц и температурой. Однако если переписать энтропию в виде (см. зад. 1 и 2):

, то парадокс снимается:

до соединения

и после . Так что как и должно быть.

  1.  Определить для системы из независимых классических одномерных осцилляторов.

Решение:

Гамильтониан , статистический интеграл обладает мультипликативностью, если формально рассматривать и как независимые переменные:

;

Свободная энергия ;

Энтропия: ;

Внутренняя энергия ;

Теплоемкость .(закон Дюлонга – Пти, в кристалле , где – число атомов).

  1.  То же для квантового осциллятора (рассмотреть предельные случаи).

Решение: Кратность вырождения энергетических уровней осциллятора равна единице.

,

;

Свободная энергия ;

Внутренняя энергия

;

Теплоемкость .

Предельный случай высоких температур  

,

Низкие температуры  :

, при .

  1.  То же для квантового ротатора.

NB Квантовый ротатор – груз массы, вращающийся на нерастяжимой нити длины , так что его траектория лежит на сфере радиуса . Зависимость волновых функций от дается множителем , а для угловой части

, – собственные значения абсолютной величины момента.

, вращательная энергия ,

- момент инерции ротатора.

Решение: Кратность вырождения –го уровня равна (по возможным направлениям момента), следовательно

.

Точно данная сумма не считается. Рассмотрим предельные случаи.

  1.  , следовательно, аргумент в экспоненте – малая отрицательная величина и - медленно меняющаяся функция . Тогда сумму можно заменить интегралом:

.

Средняя энергия , теплоемкость (классический предел).

  1.   следовательно, аргумент в экспоненте – большая отрицательная величина и - быстро спадающая функция. Тогда в можно ограничится двумя слагаемыми ().

, .

Средняя энергия , теплоемкость ;

Свободная энергия при  

а при   ( стремится к нулю при ).

Энтропия при

,

а при   ( стремится к нулю при ).

  1.  То же для одномерной модели Изинга ферромагнетика. Число магнитных моментов .

Решение: Модель Изинга является наиболее распространенной моделью взаимодействия соседних спинов, равных ½ . Энергия взаимодействия – если соседние спины параллельны и если спины антипараллельны.

Число взаимодействующих пар . Пусть – число пар с параллельными спинами, – с антипараллельными. Тогда , а энергия такой конфигурации:

.

Кратность вырождения (статистический вес) такого состояния (с данным ) равен . Кроме того, число состояний с заданной энергией вдвое больше, т.к. при изменении направления всех спинов на противоположные энергия не изменяется. = =,

(здесь мы воспользовались биномом Ньютона). Отсюда свободная энергия ;

Энтропия ;

Средняя энергия ,

,( стремится к нулю при ). .

 

 .

  1.  Твердое тело состоит из невзаимодействующих ядер со спином 1. Каждое ядро может находиться в одном из трех квантовых состояний (). Вследствие электрического взаимодействия с внутренними полями в твердом теле, состояния с вырождены, т.е. имеют энергию ; . Найти . Рассмотреть предельные случаи.

Решение: Т.к. частицы не взаимодействуют, то статистическая сумма обладает свойством мультипликативности, т.е.

, где , т.к. состояния с обладают одинаковой энергией .Тогда и .

;

;

;

при  

при  

  1.  Определить диэлектрическую (магнитную) проницаемость газа из дипольных (магнитных) моментов , находящихся в однородном внешнем поле .

NB Определенный здесь «газ» не означает газ в обычном смысле. Предполагается, что моменты не взаимодействуют друг с другом. А так «газом» могут быть и твердые тела.

Решение: I способ. Выражение для плотности свободной энергии должно включать и работу по намагничиванию единицы объема магнетика и изменению энергии момента в поле , т.е. в сумме – работу поля при его изменении на : .

равновесная намагниченность (магнитный момент единицы объема):

=

{в силу мультипликативности гамильтониана, т.к. моменты не взаимодействуют}

= ,

где , а – концентрация.

Гамильтониан одного момента , следовательно

,

- функция Ланжевена

Асимптотики:

а) большие (большие поля или низкие температуры)

- все магнитные моменты выстраиваются по полю.

б) малые (малые поля или высокие температуры)

– все магнитные моменты разупорядочиваются.

Поскольку реально напряженность поля много меньше микроскопической напряженности молекулярного поля, то в первом приближении:

.

отсюда магнитная проницаемость .

( при ).

.

.

.

Для магнетокалорического эффекта:

, при низких температурах ,  

, которое может быть решено численно.

II способ. Рассмотрим сферу радиуса . Возможны любые ориентации относительно . Число магнитных моментов в бесконечно малом телесном углу дается распределением Больцмана (см. ниже):

,

где .

Обозначим , тогда и

Тогда

.

Вклад в суммарную проекцию магнитного момента единицы объема от моментов, лежащих в этом интервале углов:

,

где - функция Ланжевена.

  1.   Три частицы со спином расположены по углам равностороннего треугольника. Гамильтониан спин-спинового взаимодействия трех частиц: . Найти уровни энергии, их кратность вырождения, функцию распределения и термодинамические характеристики.

Решение: Полный спин системы . Отсюда следует с учетом того, что (матрицы Паули), получаем . Так как собственные значения , то отсюда можно найти значения энергии, соответствующие полному спину и . ( и ).

Кратность вырождения уровня с равна 4 (4 проекции полного спина ), а уровня с равна 2. Но так как существует два независимых способа образовать из 3–х частиц со спином ½ состояние со спином ½, то кратность также равна 4. Статистический интеграл тогда имеет вид:

Отсюда находим термодинамические характеристики:

, при

  1.   LC – контур используется в качестве термометра. При этом измеряется возникающее в цепи нулевое напряжение на индуктивности и емкости, включенных параллельно. Вывести соотношения, связывающее среднеквадратичное значение шумового напряжения с абсолютной температурой.

Решение: Энергия колебательного контура:

частота таких колебаний, очевидно, равна .

Следовательно, собственные значения энергии равны , а средняя энергия равна (ср. с задачей 5):

.

Но

.

Подставляя , находим:

,.

Предельные случаи:

  1.   (ср. с задачей 9):

,

  1.  : при . Следовательно , .
  2.   Температурная зависимость молярной теплоемкости , обусловленной переходом ионов со спином ½ из парамагнитного состояния в ферромагнитное имеет вид: . Найти .

Решение: Из термодинамики следует, что , откуда изменение энтропии при нагревании от до :

Найдем из статистики: .

При все спины параллельны, и следовательно .

При система не может поглощать тепло (), следовательно, она имеет максимальную энтропию. В этом состоянии все спины неколлинеарны и (– число различных состояний системы ( для , , , )). Таким образом .

.

Распределение Максвелла – Больцмана.

Это распределение получается из канонического, если воспользоваться выражением для гамильтониана :

.

Если проинтегрировать по ( по ), то эти распределения можно получить по - отдельности. Кроме того, это есть вероятность одной частице иметь координаты и скорости в заданном фазовом объеме (по координатам и импульсам остальных частицам мы проинтегрировали).

Задачи.

34. Получить распределение по модулю скорости, проекции и энергии для газа, не находящегося во внешнем поле.

Решение: Энергия газа не зависит от координат. Тогда интегрирование по координатам дает , который можно включить в нормировочный множитель (пока еще не определенный). Проинтегрировав по всем скоростям, кроме одной и включив эти интегралы в , мы получим функцию , описывающую распределение вероятностей скоростей для одной частицы:

.

найдем из условия нормировки: , откуда (интеграл Пуассона) . Чтобы получить распределение по одной компоненте скорости (скажем, ), необходимо проинтегрировать плотность по двум остальным проекциям скорости. В результате получим:

.

Чтобы получить распределение по модулю скорости, запишем в виде:

,

и перейдем к сферическим координатам в пространстве скоростей:

, . Тогда:

(оно автоматически оказывается нормированным).

Наконец, чтобы получить распределение по энергии, подставим . В результате получим:

Используя эти распределения, по общим формулам, получим средние:

а)

(для четных ).

(напомним, что ).

В частности:

: .

Заметим, что (теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы).

 .

Для нечетных  (нечетная функция).

б).

В частности:

Для  , (),

а для  ,.

Наиболее вероятная по модулю скорость, получается дифференцированием

, по :

. Следовательно, при  

в).

В частности при   а при  .

Аналогично получается наиболее вероятное значение энергии

35. Найти вероятность того, что две частицы имеют абсолютные значения скорости относительного движения в интервале от до . Найти также .

Решение: Ввиду независимости движения частиц функция распределения распадается на произведение функций распределения каждой из частиц:

, где .

Перейдем от к новым переменным – относительной скорости и скорости центра масс :

,, следовательно , (якобиан перехода равен единице) и .

Далее нетрудно показать, что

,

где, а - приведенная масса .

Следовательно

Функция распределения по относительной скорости получается отсюда интегрированием по (обе функции распределения автоматически нормированы).

.

Среднее значение относительной скорости:

=

{если частицы одного сорта, то } = .

  1.  Найти число соударений в единицу времени молекулы радиуса и среднюю длину свободного пробега. Концентрация молекул .

Решение:

Если считать, что газ однородный, и зафиксировать все частицы кроме одной, то она будет двигаться по цилиндрической трубе со скоростью , пока не встретит «неподвижную» частицу. Тогда из элементарной пропорции находим: , (т. к. в цилиндре находится только одна частица). Очевидно:

,

где  - среднее время между столкновениями. Число столкновений в единицу времени:

.

Средняя длина пробега:

  1.  Запирающий потенциал, создающий электронным облаком вблизи поверхности . Определить плотность тока термоэлектронной эмиссии.

Решение:

Вклад в термоэлектронную эмиссию дают лишь те электроны, скорость которых подчиняется условию (ось перпендикулярна поверхности).

.

Вклад в термоэлектронный ток электронов, движущихся в интервале скоростей , определяется распределением Максвелла:

{ } =

.

Следовательно

  1.   Найти центр масс столбом идеального газа в однородном поле тяжести, считая температуру неизменной.

Решение: Если проинтегрировать исходное распределение по всем скоростям, то получим распределение Больцмана:

,

определяющее вероятность координаты одной частицы (по координатам и импульсам остальных частиц мы также проинтегрировали). Остается еще проинтегрировать по и и все интегралы включить в . тогда, в случае однородного поля ()

, .

Находим из условия нормировки: .

Положение центра масс находим по общей формуле:

, но - есть вероятность координаты (). Поэтому:

.

(здесь – масса одной молекулы)

NB , следовательно, в приближении изотермичности атмосферы получаем барометрическую формулу .

  1.  Смесь идеальных газов, состоящих из одинакового количества частиц с различными массами атомов, заключена в цилиндр высоты и помещена в поле тяжести Земли. Определить центр масс системы.

Решение: С учетом результата предыдущей задачи перепишем распределение в виде:

, .

Тогда центр тяжести одного сорта частиц:

.

Общий центр тяжести:

  1.  Вывести закон Дальтона для смеси N идеальных газов , где – парциальное давление.

Решение: Гамильтониан смеси: .

Это означает, что зависимость от объема имеет следующий вид:

,

но - парциальное давление и, следовательно

  1.  В тонкостенном сосуде, содержащем идеальный газ с концентрацией и средней скорости молекул , проделано небольшое круглое отверстие сечением . Определить число молекул, попадающих в единицу времени на круглый диск радиуса , находящийся на расстоянии от отверстия.

Решение: Число частиц, вылетающих в единицу времени из отверстия и движущихся поду углами в интервале (и, естественно попадающих на диск, см. рис. 4) к оси :

,

где - –компонента плотности потока таких молекул. Считая, что скорости молекул распределены по Максвеллу, получаем:

 

С учетом того, что средняя скорость молекул:

получаем .

NB При получаем скорость истечения газа из отверстия -.

  1.  Определить среднюю скорость молекул, выходящих из отверстия.

Решение: Воспользуемся распределением Максвелла. При этом нас будет интересовать только – проекция скорости. Число частиц, имеющих скорость в интервале :

. Следовательно, средняя скорость . 


Флуктуации аддитивных величин.

Def Экстенсивной (аддитивной) переменной называется такая величина, значение которой для системы равно сумме значений для подсистем (например, внутренняя энергия, объем, энтропия, число частиц ). Для интенсивной величины ее значение для всей системы равно значению для отдельных подсистем (температура, давление, хим.. потенциал).

Пусть . Следовательно и .

Если все подсистемы одинаковы, то . Тогда

Если i не зависит от j, то для  

Так как , то

Так как , то

, если , то Флуктуации термодинамических величин.

  1.  Доказать, что , где - средняя энергия термодинамической системы.

Решение: .

Но (см. следующую главу):

, .

Обозначим , (). Тогда:

, ,

.

Относительная флуктуация энергии:

при .

  1.  Найти среднеквадратичное смещение капли радиуса в газе вязкостью при температуре за время .

Решение: В одномерном случае уравнение движения под действием силы вязкости и силы, обусловленной взаимодействием с отдельными молекулами (стохастическая сила):

.

Умножим это уравнение на и проинтегрируем. Используя формулу:

,

перепишем это уравнение в виде:

. (1)

Усредним это выражение по промежутку времени (время взаимодействия с одной молекулой) и учтем, что по теореме о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы:

.

Тогда уравнение (1) перепишется в виде:

.

Отсюда, усредняя это равенство еще раз, но уже по большому промежутку времени, и учитывая, что скорость - конечна, получаем (среднее по большому промежутку от первого слагаемого равно нулю, т.к. оно изменяется в конечных пределах):

.

Следовательно:

.

Для трех степеней свободы окончательно получаем:

.


Матрица плотности.

При квантовомеханическом рассмотрении для полного описания состояния системы в самом общем виде используется вектор состояния (в обозначениях Дирака). При этом, если имеется полный набор собственных состояний некоторой динамической переменной , образующих ортонормированный базис (для определенности будем говорить об энергии), то согласно принципа суперпозиции, можно разложить по этому базису:

(1)

Коэффициенты в этом соотношении можно определить как «проекции», соответственно чему введем оператор проектирования на состояние

, (2)

так что

.

Суммируя по , получаем, используя (1):

,

откуда следует условие нормировки: .

Если система находится в определенном состоянии , то квантовомеханическое среднее величины в этом состоянии определяется как:

.

С другой стороны, такое же выражение для среднего можно получить, вычисляя его как след оператора в исходном базисе:

Заметим, что это выражение инвариантно относительно выбора базиса.

Если же состояние системы () точно не определено, а может реализоваться с определенной вероятностью , что имеет место при ее взаимодействии с окружающей ее системой (термостатом), то естественно определить как среднее по всевозможным реализациям с соответствующими вероятностями ():

где - элемент матрицы плотности, построенный на исходной системе собственных функций, который также можно назвать матричным элементом статистического оператора

.

Полученное выражение для среднего можно записать в виде, не зависящем от выбора базиса:

.

Если равны нулю все , кроме одного, то состояние системы определено точно, и о нем говорят как о чистом. В противном случае система обнаруживает себя сразу в нескольких состояниях, и о таком состоянии говорят как о смешанном. Отметим, что в чистом состоянии, как следует из определения .

Эволюционное уравнение для матрицы плотности получим, используя представление:

Тогда

Отсюда можно видеть, что подчиняется уравнению

.

Для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, распределение является гиббсовским:

, .

В координатном представлении матрица плотности является функцией двух переменных. Если - волновая функция, соответствующая чистому состоянию системы с термостатом, то матрица плотности в координатном представлении получается интегрированием по координатам термостата:

Отсюда видно, что плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке определяется диагональным матричным элементом после интегрирования по переменным термостата.

Представим ее в виде разложения по с. ф. гамильтониана, используя явный вид :

.

Т. к. , то соответствующий статистический оператор представим в виде:

в силу условия нормировки. Тогда статистический интеграл и среднюю энергию можно представить в инвариантной форме:

,

,

Помимо удобно ввести также «ненормированный» статистический оператор , для которого, справедливо уравнение:

,

с «начальным» условием (при) (оператор действует на переменную ). Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно записать матрицу плотности в энергетическом представлении в виде:

и продифференцировать полученное равенство по .

Тогда для матричных элементов этого оператора в координатном представлении (т. е. для координатной матрицы плотности), получаем:

с начальным условием .

Примеры.

  1.  Для свободной частицы и мы получаем уравнение диффузии. Решение, удовлетворяющее начальному условию имеет вид:

.

Для нахождения статистической суммы достаточно взять след от обеих частей полученного равенства:

,

где - линейный размер системы.

Явный вид для свободной частицы в термостате можно получить и по-другому, если в исходном выражении:

Перейти от суммирования к интегрированию с помощью замен:

, .

.

  1.  Осциллятор.

Гамильтониан имеет вид , поэтому соответствующее уравнение

.

Введем безразмерную координату и обратную температуру:

, .

В новых переменных уравнение примет вид:

с начальным условием . Будем искать его решение в виде гауссовского с некоторыми коэффициентами, подлежащими определению:

.

Подставляя в уравнение, выполняя дифференцирование и приравнивая друг другу коэффициенты при различных степенях , получаем систему для определения и (штрих означает производную по ):

Откуда , причем в силу начального условия для гауссовского распределения , следовательно, и

Интегрируя оставшиеся уравнения, получаем:

, .

где и - константы интегрирования. Таким образом:

.

Для определения и заметим, что при высоких температурах () кинетическая энергия осциллятора велика, и поэтому его матрица плотности должна совпадать с матрицей плотности для свободной частицы:

.

С другой стороны очевидно, что

Сравнивая два последних выражения, находим, что:

, .

Таким образом

При получаем плотность вероятности обнаружить осциллятор в заданной точке пространства:

.

С помощью найденной функции находим

 ,

Следовательно, среднее значение потенциальной энергии

.

Среднее значение полной энергии, вычисленное с помощью статистической суммы (см. зад. 19)

,

и сразу можно найти среднюю кинетическую энергию:

Статистическая сумма для осциллятора:

что совпадает с результатом задачи (19).

Свободная энергия:


Большое каноническое распределение.

,

где , ,

большой статистический интеграл (статистическая сумма).

Большое каноническое распределение описывает распределение вероятностей не только координат и импульсов, но и числа частиц. Оно справедливо, в частности, для химических реакций и фазовых превращений. Обозначим, по аналогии со свободной энергией:

.

Очевидно, что , следовательно:

.

Непосредственным дифференцированием получаем:

(средние получены по общей формуле при помощи плотности распределения ).

).

Следовательно:

,

, ,.

Этим соотношением можно удовлетворить положив:

,

где – свободная энергия частиц.

Так как (см. термодинамику с переменным числом частиц), то


Теория теплоемкости твердого тела Дебая.

Средняя энергия системы (твердое тело, состоящее из атомов) осцилляторов с одинаковой частотой была найдена ранее:

однако если существует спектр колебаний, т.е. число колебаний на интервал энергий , то

.

Нашей целью будет найти и .

Будем использовать следующую модель: Куб стороной , в котором происходят колебания, которые будем представлять себе как колебания атомов в поле упругих волн. Эти волны могут быть двух видов: продольные и поперечные, которым соответствуют разные фазовые скорости и и уравнения:

и ,

где - вектор смещения (в продольной волне , в поперечной ). Граничные условия для выберем в виде . Рассмотрим, например, –волну. Ищем решение в виде стоячей волны:

.

Подставляя в уравнение, находим, используя граничные условия:

, , ,

где – целые числа.

,

где - некоторый радиус

Таким образом, каждое колебание характеризуется набором трех целых чисел , которым в пространстве чисел соответствует точка. Кроме того, колебания и зависимы, следовательно, можно рассматривать только целые положительные . Так как , то число колебаний в интервале частот равно объему сферического слоя (т.к. объем одной ячейки, соответствует, одному колебанию равен единице):

, (V = l3 – объем кристалла)

Полное число колебаний:

, где .

( так как поперечных колебаний два). Таким образом:

– найдем из условия нормировки:

,

где – постоянная решетки .

Подставляя в выражение для энергии, получаем:

Если ввести температуру Дебая

,

то выражение для энергии можно переписать в виде:

.

Введем функцию Дебая

(рис. 3).

Тогда выражение для энергии перепишется в окончательном виде:

.

Предельные случаи:

  1.   , следовательно, верхний предел в интеграле – мал. Тогда подынтегральную функцию можно разложить в ряд:

.

Тогда и, следовательно – классический закон Дюлонга-Пти.

  1.  (низкотемпературный предел). В этом случае верхний предел интегрирования можно заменить на .

интеграл равен (см. ниже). Тогда:

.


Распределения Бозе и Ферми.

Воспользуемся БКР, записав его в виде:

- вероятность того, что система содержит частиц и находится в –м квантовом состоянии.

,

Вектор - обозначает квантовое состояние, - его энергия, - число частиц в этом состоянии.

Подставляя эти выражения, находим:

.

Каждый из множителей представляет собой вероятность того, что в данном кантовом состоянии находится частиц.

Из условия нормировки находим .

Среднее число частиц в –м квантовом состоянии:

={с учетом }= .

Для фермионов: , следовательно .

Для бозонов: .

Итак, квантовые статистики имеют вид:

(Знак плюс соответствует фермионам, минус - бозонам).

Должно выполняется очевидное равенство:

Переходя к непрерывному распределению состояний, получаем

где – число частиц в одном квантовом состоянии, соответствующем энергии , - число состояний в интервале энергий . Найдем его. Из квантовой механики известно, что энергия свободной частицы в кубе со стороной, равна

, .

(решая уравнение Шредингера с условием  ), - целые положительные числа.

Рассмотрим пространство этих чисел. Каждое состояние описывается точкой с численными координатами, причем состояния и, например, зависимы. Поэтому имеет смысл рассматривать только положительные . Обозначим - радиус. Очевидно

Число состояний с энергиями в интервале равно -объема шарового слоя (т.к. объем одной ячейки равен единице):

.

Однако полное число состояний будет еще в раз больше (что соответствует проекции спина):

.

NB Для двумерного случая

Для одномерного случая :

Возвращаясь к трехмерному случаю, пишем:

, (*)

где – концентрация.

Задачи

  1.   Получить статистики Бозе и Ферми из канонического распределения.

Решение: Рассмотрим состояние, описываемое полным набором квантовых чисел со значением энергии . Если состояние заселено невзаимодействующими частицами, то его энергия . Тогда

 ,

 .

Согласно формуле

.

Подставляя, находим:

График распределения при различных имеет вид: (Ферми), представленный на рис.5. - энергия Ферми, которую можно получить следующим образом: При все электронов находятся внутри сферы в пространстве импульсов (наинизшее энергетическое состояние). Так как каждым двум состояниям (спины вверх и вниз) соответствует в фазовом пространстве ячейка размером , то

.

Т.к. , то

NB Величина называется активностью (рис. 6)

  1.  Если () то распределение переходит в распределение Максвелла (Говорят, что газ в этом случае невырожден, чему соответствует ).
  2.  Если (), то газ называется слабовырожденным ().
  3.  Если ( >> 1), то газ будет сильновырожденным ()
  4.  Найти температурную зависимость химического потенциала при слабом вырождении

Решение: Перепишем (*) в виде ()

=

.

В нулевом приближении получаем распределение Максвелла:

.

Газ становится вырожденным, когда . Отсюда .

Если то газ подчиняется классической статистике, если – квантовой.

.

.

  1.  Найти температурную зависимость химического потенциала сильно вырожденного газа.

Решение: Сильновырожденным может быть только Ферми – газ, т.к. для Бозе – газов , а в нашем случае ()

При   будет иметь резкий максимум при . При  .

Преобразуем интеграл выражения (*):

,

. При получаем .

Т.к. ( для ), то (что совпадает с ранее полученными выражениями).

Итак

.

Введем новую переменную , тогда:

.

Рассмотрим этот интеграл отдельно, функция быстро спадает и можно разложить в ряд вблизи :

.

Т.к. функция - четная, то интегрирование ее со вторым слагаемым, дает нуль.

Остается

В скобке можно положить . Следовательно

.

  1.  Рассмотреть Бозе – конденсацию.

Решение: Для трехмерного Бозе – газа (см. ниже) справедливо соотношение:

.

(, в противном случае для  ) (при уменьшении   должно уменьшаться по абсолютной величине). Таким образом, имеется два параметра , подбирая которые можно оставлять интеграл неизменным. При некоторой температуре   обращается в нуль (), и изменяя далее мы изменяем . На самом деле никакого противоречия здесь нет, т.к. – концентрация частиц с (множитель не учитывает частицы на самом нижнем энергетическом уровне). Следовательно, при понижении частицы начинают скапливаться на уровне . Определим температуру, при которой :

.

При   и число частиц с :

Число частиц на нижнем уровне

.

  1.  Найти внутреннюю энергию и давление Ферми и Бозе - газов.

Решение: Найдем большую статистическую сумму для Ферми или бозе - газа, воспользуемся ее мультипликативностью для различных квантовых состояний :

,

(см. Ферми и Бозе - газы). Взяв эту сумму для Ферми и Бозе газа (это делалось ранее), находим

где верхние знаки соответствуют бозонам, а нижние – фермионам. Перейдем от суммирования по состояниям к интегрированию по :

Т.к. , то

.

  1.  Доказать, что двумерный и одномерный Бозе-газы не обладают свойством конденсации.

Решение:

для трехмерных газов в одно- и двумерном случае будут иметь вид (ранее были найдены и ).

,

 .

Очевидно, что одномерный Бозе - газ вообще не может существовать, т.к. и интеграл расходится. Что же касается двумерного газа, то ввиду того, что , интеграл учитывает также частицы с и это состояние невозможно отделить от остальных. Кроме того, при конечных температурах теперь т.к. ввиду постоянства интеграла, он должен быть неизменным. Однако очевидно, что он зависит от и, следовательно, должен быть еще один изменяющийся параметр .

  1.  Найти энергию Бозе-газа в области конденсации ().

Решение: В задаче 5 было указано на то, что для Бозе-газов при :

.

Следовательно .

  1.  Найти внутреннюю энергию и давление сильно вырожденного Ферми-газа.

Решение: Как было указано ранее (см. зад. 5 и 7):

Т.к. имеет резкий максимум вблизи нуля, то последний интеграл равен .

Интеграл равен нулю, поэтому остается:

(интегралы были написаны ранее)

Учтем ранее полученную зависимость от (см. зад. 3): .

Следовательно , и

Давление .

В частности, при

,

Фотонный газ. Формула Планка. Черное излучение.

Равновесное число фотонов в замкнутой полости определяется из условия:

.

Кроме того, фотоны подчиняются статистике Бозе. Следовательно, распределение по числу частиц для них имеет вид

Для определения числа колебаний в заданном интервале частот достаточно взять аналогию с колебаниями в твердом теле (фононами), заменив на скорость света в вакууме и учитывая, что (волна поперечная, следовательно, имеется два направления поляризации электромагнитной волны). Тогда (см. теория теплоемкости тв. тела Дебая):

Тогда равновесное число фотонов в интервале частот

(среднее число частиц в состоянии х число состояний)

.

Полное число равновесных фотонов

.

Энергия, соответствующая интервалу частот

- формула Планка.

Максимум спектральной плотности при заданной температуре получается при

(закон смещения Вина).

Предельные случаи

  1.   (закон Рэлея - Джинса).
  2.   (закон излучения Вина).

Полная энергия черного излучения

.

Теплоемкость фотонного газа:

.

Найдем давление. Из формулы для бозонов .

следует .

Отсюда:

(откуда следует, что изобара и изотерма для фотонного газа суть одно и тоже)

т.е. ,

где - плотность энергии.

Энтропия

.

Следовательно, уравнение адиабаты фотонного газа .

50. В предположении, что солнце излучает подобно абсолютно черному телу с температурой и радиусом , найти мощность излучения с частотой и шириной .

Решение: Число состояний в полосе частот при средней частоте равно

Это есть число фотонов в полости объемом , соответствующих заданному интервалу частот. Соответствующая плотность энергии:

.

Соответствующая мощность излучения через поверхность :

.

При высоких температурах :

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77952. Облік грошових коштів і дебіторської заборгованості 169 KB
  Грошові кошти. Законодавче регулювання на Україні готівкового обігу коштів. Порядок ведення касових операцій в національній та іноземній валюті в Україні. Грошові кошти підприємства, їх склад та завдання обліку. Документальне оформлення касових операцій
77953. Облік дебіторської заборгованості 207.5 KB
  Методичні основи бухгалтерського обліку дебіторської заборгованості та вимоги до її розкриття у фінансовій звітності регламентовані Положенням (стандартом) бухгалтерського обліку № 10 “Дебіторська заборгованість”.
77954. Облік фінансових інвестицій 146 KB
  Для отримання прибутку багато підприємств, що мають в своєму розпорядженні тимчасово не зайняті в операційній діяльності грошові кошти, інвестують їх в обєкти різних галузей економічної діяльності
77955. Облік власного капіталу 59 KB
  Облік власного капіталу За рахунок капіталу власник придбаває матеріальні ресурси за допомогою яких отримує прибуток. Основні напрямки використання капіталу: виробнича інвестиційна або фінансова діяльність; розподіл доходів та активів між власниками при ліквідації підприємства. Види капіталу: власний капітал як джерело власних засобів фінансування підприємства гарантія організації бізнесу; залучений капітал як можливість розширення бізнесу спосіб додаткового збільшення прибутку.
77956. Облік зобов’язань. Визнання та класифікація зобов’язань 112.5 KB
  Методологічні засади формування в бухгалтерському обліку інформації про зобов’язання та її розкриття у фінансовій звітності визначені Положенням (стандартом) бухгалтерського обліку 11 «Зобов’язання».
77957. Облік витрат діяльності підприємства 320 KB
  Витрати звітного періоду – це витрати, що визнаються або шляхом зменшення активів, або шляхом збільшення зобов’язань, що призводить до зменшення власного капіталу (за винятком зменшення капіталу внаслідок вилучення або розподілу власниками), за умови, що ці витрати можуть бути достовірно оцінені.
77958. Облік доходів і фінансових результатів 133 KB
  Інвестиційна діяльність – це придбання та реалізація тих необоротних активів, а також тих фінансових інвестицій, які не є складовою часткою еквівалентів грошових коштів.
77959. Фінансова звітність. Вимоги до фінансової звітності 190.5 KB
  Метою складання фінансової звітності є надання користувачам повної, правдивої та неупередженої інформації про фінансовий стан, результати діяльності підприємства (доходи, витрати, прибутки і збитки від діяльності) та руху грошових коштів підприємства за звітний період.
77960. Облік праці, її оплати та соціального страхування персоналу 152 KB
  Облік праці її оплати та соціального страхування персоналу. Організація праці облік особистого складу робітників та використання робочого часу. Фонд оплати праці та його склад. ПС БО Виплати робітникам Питання організації і оцінки праці регламентують документи: Кодекс законів про працю Закон України Про оплату праці Закон України Про колективні договори і угоди Податковий Кодекс України.