2771

Вынужденные электрические колебания

Лабораторная работа

Физика

Вынужденные электрические колебания Приборы и принадлежности: лабораторная панель Колебательный контур, генератор сигналов низкочастотный Г3-120, вольтметр В7-38, осциллограф С1-94. Введение. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из резистора с...

Русский

2012-12-13

114 KB

11 чел.

Вынужденные электрические колебания

Приборы и принадлежности: лабораторная панель «Колебательный контур», генератор сигналов низкочастотный Г3-120, вольтметр В7-38, осциллограф С1-94.

Введение. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из резистора с активным сопротивлением R, катушки c индуктивностью L и конденсатора емкостью С (рис.1). Предположим, что соединительные провода не обладают ни сопротивлением, ни емкостью, ни индуктивностью. Такая  электрическая цепь называется цепью с сосредоточенными параметрами.

В каком-то месте разорвем последовательную цепь элементов и на образовавшиеся контакты подадим переменное периодическое напряжение U(t)  от внешнего источника тока, которое изменяется   со  временем по гармоническому закону

                        ,                                     (1)

где u(t) – мгновенное значение напряжения в момент времени t,

             Um– амплитуда входного напряжения,

           – круговая (циклическая) частота колебаний входного напряжения.

Для описания изменений напряжения и тока в такой цепи достаточно написать и решить одно уравнение – уравнение Кирхгофа (в дальнейшем нам предстоит в этом убедиться). Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжения на всех элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре,

,                                      (2)

где i – мгновенное значение тока в цепи,

    uC – напряжение на конденсаторе,

    –LЭДС самоиндукции катушки.

Вместо ЭДС источника тока в уравнение поставлено напряжение на его зажимах u(t), тем самым учтено и исключено падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника.

Перепишем уравнение (2) так:

.                                     (3)

Перейдем в уравнении (3) к одной переменной, например, к u – напряжению на конденсаторе (индекс С в дальнейшем опустим для упрощения записи), используя следующие замены:

   и    .                          (4)

После этого уравнение (3) примет вид

.                                (5)

Разделив все члены уравнения (5) на LC и вводя обозначения, принятые в учебной литературе,

,      ,                                                              (6)

получим                                 .                                        (7)

Величина  называется коэффициентом затухания,  – собственной частотой контура.

Решив полученное уравнение (7) и используя соотношения (4), можно получить ответы на вопросы о том, как изменяется напряжение на конденсаторе и других элементах цепи, как изменяется ток в цепи со временем, от чего зависит их величина и т.п. Таков теоретический подход к анализу данной цепи. Затем сравниваются теоретические результаты с экспериментальными. В этом состоит одна из задач данной лабораторной работы.

Итак, решаем неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка (7). Его решение представляет собой сумму двух слагаемых

u = u1 + u2 ,

где u1 – общее решение соответствующего однородного уравнения,

      u2 – одно из частных решений неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения

представляет собой затухающие собственные колебания, которые рано или поздно затухнут, т.е. u1 обратится в нуль. Поэтому для нас представляет наибольший интерес нахождение слагаемого u2, характеризующего установившиеся колебания напряжения под действием внешнего источника (так называемые вынужденные колебания).

Частное решение уравнения (7) проще искать в комплексной форме, заменив в его правой части  cos на  exp, которая пропорциональна действительной части выражения

.

Пусть решением нового уравнения является комплексная функция  (u с «крышей»), так что

.                                   (8)

Тогда действительная часть этой функции, т.е. Re, является решением уравнения, у которого в правой части стоит Re, т.е. искомым решением уравнения (7).

Будем искать частное  решение уравнения (8) в виде

.                                                        (9)

Функция  должна удовлетворять неоднородному уравнению (8).

Продифференцируем функцию (9) по времени

,

и подставим в уравнение (8)

.

.

Сократим на  и найдем амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе А в формуле (9)

.

Амплитуда колебаний оказалась комплексной величиной благодаря знаменателю, который мы представим в виде

.                               (10)

         ,

где  и  – вещественные величины.

Чтобы найти модуль комплексного числа, умножим выражение (10) на взаимно сопряженное выражение

.

В результате получится

,

откуда

.

Таким образом, колебания напряжения на конденсаторе описываются следующим соотношением:

,

или

и, следовательно,

,                      (11)

Итак, в рассматриваемой электрической цепи  с течением времени устанавливаются вынужденные колебания с той же частотой , какова частота колебаний источника. Амплитуда вынужденных колебаний напря-жения на конденсаторе – то, что стоит перед знаком cos в формуле (11) – не зависит от времени  и определяется, в основном, частотой собственных колебаний  и частотой внешнего воздействия , такова

.                                (12)

Характерный вид резонансных кривых напряжения на конденсаторе колебательного контура, определяемых формулой (12), показан на рис.2.

Исследуем амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе u2m (12) на экстремум. Амплитуда становится максимальной в том случае, если знаменатель минимален, а его производная по  обращается в нуль

,

.

Полученное выражение обращается в нуль, если 1) , но этот случай для нас в данный момент не представляет интереса; или 2). Отсюда следует, что при некоторой частоте источника амплитуда колебаний становится наибольшей. Такую частоту называют резонансной – . Для резонансной частоты из условия (2) получается следующая формула:

.                                         (13)

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты внешнего воздействия называется резонансом.

Если коэффициент затухания  небольшой, т.е.  , то резонансная частота почти совпадает с собственной частотой контура . Амплитуда напряжения на конденсаторе при этом  равна

.                                           (14)

Из формулы (11) видно, что напряжение на конденсаторе u2 и входное напряжение u(t)  (1) не совпадают по фазе. Разность фаз  между ними, также как и амплитуда, зависит, в основном, от частот и 0 ; ее можно определить как аргумент комплексного числа (10):

,                    .               (15)

График зависимости разности фаз от частоты колебаний источника представлен на рис.3.

Рис.2. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты источника

Рис.3. График зависимости разности фаз напряжения на конденсаторе и напряжения источника от частоты

Если от величин  и  перейти к параметрам колебательного контура L,C,R, то для амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе вместо выражения (12) получится следующая формула:

.                             (16)

Вместо выражения (13) для резонансной частоты получается формула

.                                          (17)

Амплитуда напряжения (14) на резонансной частоте такова:

.                                             (18)

Зная напряжение на конденсаторе (11), можно вычислить заряд конденса-тора, а затем и ток в контуре

,

,

,

.                (19)

Таким образом, ток в конденсаторе опережает напряжение на нем по фазе на /2.

Амплитуда тока также изменяется с частотой источника резонансным образом согласно формуле

,                                (20)

а график этой зависимости приведен на рис. 4.

Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при частоте, совпадающей с собственной частотой  контура 0. Амплитуда, выраженная через параметры цепи L,C,R, запишется так:

.             (21)

                            Рис.4

Для разности фаз вместо формулы (15) запишем следующую:

.                                  (22)

   Цель лабораторной работы: а)наблюдение резонанса напряжений в последовательном контуре, б)снятие резонансных характеристик такого контура, в)определение его резонансной частоты, г)сравнение результатов, полученных при теоретическом анализе, с опытными данными.

Упражнение 1

Получение резонансных кривых колебательного контура

Измерения. 1.Соберите электрическую цепь согласно схеме, представленной на рис. 5. Напряжение синусоидальной формы подается с соответствующего выхода генератора сигналов Г3-120 на входные клеммы лабораторной панели, обозначенные знаками ~Г.

Все элементы электрической цепи колебательного контура уже соединены на лабораторной панели (ЛП). Величину емкости и активного сопротивления можно изменять с помощью переключателей R1...R3 и C1,C2.

R1 – омическое сопротивление катушки 114 Ом, последовательно с которым включается резистор 330 Ом, если нажата и зафиксирована клавиша R2, или 1,0 кОм, если утоплена клавиша R3.

Начать измерения рекомендуем при нажатых клавишах R1, C1.

2.Поставьте ручки управления на генераторе Г3-120 до его включения в сеть в следующие положения:

  •  «Множитель частоты» – 1,
  •  переключатель «dB» – 0,
  •  регулятор напряжения поверните против часовой стрелки до упора,
  •  частотный лимб оставьте в произвольном положении.

3.На вольтметре В7-38 нажмите клавишу U~ , так как предстоит измерять переменное напряжение.

4.Предложите преподавателю или лаборанту проверить установку.

5.Включите генератор и вольтметр в сеть 220 В.

6.Установите напряжение генератора по его стрелочному индикатору около 2 В. Обратите внимание на то, что при этом показывает вольтметр.

7.Определите, в каком частотном диапазоне лежит резонансная частота данного электрического контура. Для этого повращайте лимб при всех положениях переключателя «Множитель частоты» и найдите, где показания вольтметра становятся наибольшими. В этом диапазоне в дальнейшем и следует снимать резонансную характеристику контура.

8.Изменяя частоту генератора через 100...200 Гц, снимите показания вольтметра и запишите их в таблицу. Эти измерения проведите с обоими конденсаторами при трех сопротивлениях.

Напряжение на конденсаторе UC ,В

, Гц

C1=0,011 мкФ

C2=0,033 мкФ

R1=114 Ом

R2=444 Ом

R3=1,14 кОм

R1=114 Ом

R2=444 Ом

R3=1,14  кОм

Обработка результатов. 1.Постройте графики зависимости напряжения на конденсаторе колебательного контура от частоты колебаний источника. С какими теоретическими результатами согласуются полученные данные?

2.По резонансным кривым определите резонансную частоту того и другого контура.

3.Рассчитайте индуктивность катушки, включенной в контур, по формуле (17), положив в ней R=0, т.е. считая  (проверьте это!).

Упражнение 2

Наблюдение разности фаз между напряжением на конденсаторе

и напряжением источника колебаний

Согласно теории фазовая резонансная кривая, представленная на рис.3, при резонансной частоте проходит через отметку /2. Этот факт можно использовать для получения соответствующей фигуры Лиссажу на экране осциллографа. С этой целью на Y-вход осциллографа подается напряжение с конденсатора колебательного контура, а на Х-вход – напряжение с выхода генератора (см. рис.6). При этом происходит сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний, сдвинутых друг по отношению к другу на некоторый угол . (Подробнее о сложении колебаний см. работу  №331).

Измерения. 1.Соберите электрическую цепь по схеме, представленной на рис.6 и, не включая приборы в сеть, дайте проверить ее преподавателю или лаборанту. Гнездо Х-входа у осциллографа С1-94 расположено на тыльной стороне. Развертка осциллографа – ждущая (клавиша “Aвт/ждущ” утоплена). В этом случае горизонтальная развертка производится напряжением генератора Г3-120.        

После проверки включите осциллограф, затем генератор  в сеть 220 В. Установите выходное напряжение генератора 2...3 В.

3.Вращая частотный лимб генератора в области резонансной частоты данного контура, наблюдайте изменение размеров и ориентации эллипса на экране осциллографа. Нарисуйте в тетради осциллограммы при резонансной, при более низкой и более высокой частоте генератора.

4.Добейтесь того, чтобы оси эллипса совпали с осями координатной сетки осциллографа. Спишите то значение частоты генератора, при которой это положение достигнуто. Совпадает ли полученное значение частоты с резонансным значением, полученным из резонансных кривых? Подумайте, какой из способов определения резонансной частоты дает более точный результат.

Упражнение 3

Наблюдение разности фаз между приложенным напряжением  и током в колебательном контуре

Из теории следует, что последовательный колебательный контур на резонансной частоте представляет собой чисто активную нагрузку. Следовательно, между напряжением, приложенным к входным клеммам контура, и током в нем разность фаз равна нулю. Чтобы убедиться в этом, произведите сложение на осциллографе двух напряжений: одного – входного (полного) напряжения контура и другого – падения напряжения на активном сопротивлении, которое пропорционально протекающему по контуру току.

Это явление подробно анализируется в работе №323.

Измерения. 1.Для реализации поставленной выше задачи соберите электрическую цепь, изображенную на рис.7. Активное сопротивление вначале поставьте наибольшее – R3, потом его можно уменьшить.

2.После проверки собранной цепи преподавателем или лаборантом включите в сеть осциллограф и генератор. Напряжение на выходе генератора установите по его стрелочному индикатору 2...3 В.

3.Так как на экране осциллографа наблюдается результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний, то, скорее всего, там будет наблюдаться эллипс. Ручками регулировки осциллографа установите подходящее для наблюдения изображение. Возможно, для уменьшения размеров изображения придется уменьшить на 10; 20 дБ выходное напряжение генератора с помощью аттенюатора, т.е. примерно в 3; 10 раз. Децибел – это единица относительного изменения мощности или напряжения (в данном случае): 10 дБ=20 lg (U1/U2).   U1/U2 3.

4.Медленно вращая частотный лимб генератора около резонансной частоты данного контура (Вы ее ориентировочно знаете из упр.1), наблюдайте за изменением формы эллипса. Что происходит с эллипсом, если Вы переходите через резонансную частоту «снизу – вверх» или наоборот? Нарисуйте (или снимите на кальку) наблюдаемые на экране осциллограммы при резонансной частоте, а также при частотах несколько ниже и несколько выше резонансной. 

5.Добейтесь превращения эллипса в наклонную прямую. Что это означает? Запишите частоту генератора, при которой такое событие произошло. Сравните полученное значение с резонансными частотами, полученными в предыдущих упражнениях из наблюдения других резонансных эффектов. Какой из методов определения резонансной частоты колебательного контура, по Вашему мнению, оказался наиболее простым, какой – наиболее точным?


Контрольные вопросы

1.Рассмотрите колебательный контур, который содержит источник переменного напряжения. Напишите для него уравнение Кирхгофа, решите и проанализируйте.

2.Рассмотрите на Ваших графиках, как изменяется амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе при изменении частоты. На какую частоту приходятся максимумы резонансных кривых? Что такое резонансная частота колебательного контура? К какому значению будет стремиться амплитуда, если частоту устремить к нулю? А если к бесконечности?

3.Влияет ли включение вольтметра параллельно конденсатору колебательного контура на его резонансную частоту?

4.Как производится измерение разности фаз между током в контуре и напряжением? Что показывают полученные результаты?

5.Как измерить разность фаз между входным напряжением и напряжением на конденсаторе? Что показывает фазовая резонансная кривая?

Список рекомендуемой литературы

1.Лабораторные занятия по физике./Под ред. Л.Л.Гольдина. М.: Наука, 1983. С. 294–305.

2.Савельев И.В. Курс физики. М.: Наука, 1989. Т.2. §71.

3.Сивухин Д.В. Общий курс физики: Электричество. М.: Наука, 1983. Т.3. §127.

C

R

L

ГЕНЕРАТОР

      Г3–120

ВОЛЬТМЕТР     В7–38

 Рис.5

ЛП

C

R

L

ГЕНЕРАТОР

      Г3–120

L

 Рис.6

ЛП

Y

Х

C

R

L

ГЕНЕРАТОР

      Г3–120

L

 Рис.7

ЛП

Y

X


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2922. Разработка маршрутной технологии изготовления вала-шестерни 741 KB
  В данном курсовом проекте в качестве узла представлен фрагмент червячно-цилиндрического редуктора. Редуктором называют механизм, состоящий из одной или нескольких механических (зубчатая, цепная, червячная и т.д.) или гидравлических передач...
2923. Висячие мосты 1.64 MB
  Висячий мост — мост, в котором основная несущая конструкция выполнена из гибких элементов (кабелей, канатов, цепей и др.), работающих на растяжение, а проезжая часть подвешена. Работа висячих конструкций на растяжение позволяет полностью...
2924. Зарубежный опыт права на отказ от военной службы по убеждениям совести 143.5 KB
  Данная работа является стремлением автора создать теоретическую базу для практической работы по защите прав призывников в рамках Нижегородского Общества Защиты Прав Человека (НОПЧ). Необходимо отметить, что такая работа членами Нижегородского Общест...
2925. Реструктуризация предприятия на примере НК НПЗ 616 KB
  Реформирование экономических отношений в России связано с решением ряда сложнейших проблем как теоретического, так и организационного характера. Прежде всего это внедрение теории и практики менеджмента, маркетинга и правовой базы, которые обеспечат...
2926. Фельетон как публицистический жанр 109.5 KB
  В творчестве, как известно, нет лёгких путей, но особенно трудно сатирику. Может быть, труднее, чем кому бы то ни было из его собратьев по перу. Призвание сатирика – срывать улыбчивые и благочестивые маски, обнажая скрытый под ними хищный оскал...
2927. Свойства машиностроительных материалов 269.5 KB
  Конструкционные стали и сплавы Конструкционными называются стали, предназначенные для изготовления деталей машин (машиностроительные стали), конструкций и сооружений (строительные стали). Углеродистые конструкционные стали Углеродистые конс...
2928. Эволюция понятий техника и технология 67.14 KB
  Понятие технология используется в разных областях знания, оно употребляется в науке, искусстве, промышленности и поэтому подходов к его трактовке известно довольно много. На заре развития человечества решались отдельные технологические зада...
2929. Безопасность жизнедеятельности в экстремальных ситуациях 46.12 KB
  Стихийные бедствия, промышленные аварии и катастрофы на транспорте, экологические последствия антропогенного воздействия на биосферу, применение противником в случае военных действий различных видов оружия, создают ситуации, опасные для жиз...
2930. Денежная реформа 1895—1897 годов 29.99 KB
  Денежная реформа 1895—1897 годов Среди реформ С.Ю. Витте, естественно, наибольший интерес вызывает опыт стабилизации российского рубля. Конечно, современный мир и экономика качественно отличаются от образцов...