2773

Сложение электрических колебаний

Лабораторная работа

Физика

Сложение электрических колебаний Приборы и принадлежности: лабораторная панель с генератором фиксированных частот, магазином сопротивлений Р-33 и реактивной нагрузкой, генератор Г3-120, фазометр Ф2-1, осциллограф С1-94. Осциллографический метод...

Русский

2012-10-19

374 KB

36 чел.

Сложение электрических колебаний

Приборы и принадлежности: лабораторная панель с генератором фиксированных частот, магазином сопротивлений Р-33 и реактивной нагрузкой, генератор Г3-120, фазометр Ф2-1, осциллограф С1-94.

Осциллографический метод дает возможность не только визуально наблюдать электрические колебания и их суперпозицию в цепях переменного тока, но и получать некоторые количественные результаты изучения этих явлений.

Упражнение 1

Сложение колебаний одинакового направления  

равных частот

Введение. Гармоническое колебание можно представить как проекцию вектора, равномерно вращающегося в координатной плоскости ху с угловой скоростью , на оси координат. В виде векторов часто представляют и электрические величины, напряжение, мощность, силу переменного тока (см. [1] – метод векторных диаграмм).

Рассмотрим схему электрической цепи, состоящей из активной нагрузки R и реактивной Z, соединенных последовательно, по которым протекает один и тот же переменный ток от его источника – генератора (рис.1).

На сопротивлении R возникает падение напряжения u1, на нагрузке Zu2. Оба напряжения изменяются с одинаковой частотой , заданной генератором. Но в связи с реактивным характером нагрузки Z фаза напряжения u2 отличается от фазы напряжения  u1  на величину =21

           (1)

                                                                                                      Рис.1

Если напряжение u1, снимаемое с клемм 1-2, подать на вертикальный вход осциллографа, то на экране будет наблюдаться кривая, изображающая этот колебательный процесс. Отклонение луча осциллографа от горизонтальной оси можно описать уравнением для у1

,

где а1 – амплитуда колебаний луча на экране, пропорциональная амплитуде напряжения um1,

Коэффициент пропорциональности sy называется чувствительностью осциллографа по вертикали и измеряется в мм/В [cм. лабораторную работу № 330]. Чувствительность можно изменять, увеличивая или уменьшая коэффициент усиления Y-усилителя с помощью переключателя, расположенного на передней панели осциллографа С1-94. Правда, числа около этой ручки обозначают не чувствительность, а величину ей обратную– В/дел, т.е. какое напряжение на входе Y-усилителя вызывает смещение луча на одно деление экранной координатной сетки.

Если на Y-вход осциллографа подать напряжение u2 с клемм 2-3, то на экране будет наблюдаться осциллограмма следующего процесса:

.                                        (2)

Если на Y-вход осциллографа подать напряжение с клемм 1-3, то будет видно результирующее колебание от сложения двух вышеуказанных. Но поскольку напряжения u1 и u2 сдвинуты по фазе друг относительно друга, то и отклонение луча на экране будет достигать наибольшего отклонения не одновременно. Другими словами, эти напряжения нельзя складывать алгебраически,  равенство должно быть только векторным.

.

Амплитуды колебаний луча осциллографа, имеющих ту же разность фаз , тоже нужно складывать как векторы. Изобразим векторы   и   на плоскости ху с учетом их фаз (рис.2) Построим по правилу параллелограмма результи-рующий вектор  .

Следовательно, вектор

                         Рис.2                                  вращается с той же угловой                

скоростью, как и векторы  и , так что результирующее колебание  у3 будет гармоническим с частотой   и амплитудой а3, определяемой по теореме косинусов.

                                ,

,                                  (3)

где                                                                 21.

Итак, сложение нескольких колебаний одного направления сводится к операции сложения векторов. Рассмотренный способ отличается простотой и наглядностью.

Экспериментальная часть работы состоит в проверке выражения (3). Для этого собирается электрическая цепь, принципиальная схема которой приведена на рис.1. Переменный ток проходит последовательно через активное сопротивление R  и реактивное  Z. Падение напряжения на любом из этих элементов можно подать на вход усилителя вертикального отклонения осциллографа, и на экране возникнут колебания, пропорциональные входному напряжению уu .

Описание установки. В экспериментальную установку (рис.3)  входят: генератор Г3-120  (1), фазометр Ф2-1  (2), лабораторная панель (3), содержащая активную нагрузку R (магазин сопротивлений Р33) и реактивную Z (между клеммами 2-3 – катушку индуктивности), и осциллограф С1-94  (4).

Подготовка к работе. 1. Соберите электрическую цепь по схеме (рис.3)

и предложите преподавателю или лаборанту проверить ее.

                                                     Рис.3

2.Подготовьте приборы к работе.

Генератор фиксированных частот Г1 должен быть выключен.

На магазине R установите сопротивление порядка нескольких килоом.

Фазометр Ф2-1. 1. Включите его в сеть.

2.Тумблер поставьте в положение «Опережает».

3.Переключатель поставьте в положение «Калибровка» и убедитесь, что стрелка прибора установилась на последнее деление шкалы.

4.Поставьте переключатель в положение «Уст.0» (установка нуля) и ручкой регулировки «Уст.0» поставьте стрелку прибора на нуль.

5.Поставьте переключатель в положение «100».

После этого прибор готов к измерению фазы напряжения, поданного на клеммы «Сигнал», по отношению к фазе опорного напряжения.

Генератор Г3-120. В данной работе требуется синусоидальное напряжение, снимаемое специальным кабелем с разъема, отмеченного

знаком           ~.

1.Перед включением генератора в сеть установите с помощью лимба и переключателя «Множитель частоты» какое-либо значение в диапазоне 600…800 Гц.

2.Включите генератор в сеть и ручкой регулировки поставьте выходное напряжение 2…3 В (предварительно; потом его, может быть, придется изменить).

3.Переключатель “  dB “  поставьте в положение “0” – при этом выходное напряжение соответствует показанию вольтметра. Если переключатель поставить в положение “10” , то выходное напряжение уменьшится по сравнению с показанием вольтметра примерно в 3 раза (так как 10 дБ = 20 lg3 ).

Осциллограф С1-94. 1. Включите осциллограф в сеть.

2.Утопите все кнопки, кроме «Авт/Ждущ» – она должна быть отжата.

3.На Y-вход подайте напряжение с клемм 1 – 3.

4.Получите на экране устойчивое изображение синусоидального напряжения умеренной яркости. Устойчивость достигается переключением скорости развертки «Время/Дел» и ручкой «Уровень», устанавливающей оптимальное напряжение запуска генератора развертки.

5.Ручкой регулировки усиления «В/Дел» (ступенчато) и ручкой регулировки выходного напряжения генератора Г3-120 (плавно) установите величину изображения по вертикали  8  делений координатной сетки осциллографа. В дальнейшем положение регуляторов не изменяйте на протяжении всей серии измерений!   

6.Утопите кнопку «Авт/Ждущ» и ручкой «Уровень» прекратите действие генератора развертки. При этом изображение на экране выглядит как одна вертикальная линия, длина которой соответствует установленной Вами ранее амплитуде колебаний. Ручкой  « » установите линию на середину экрана, так удобнее измерять амплитуды соответствующих колебаний.

Измерения. 1.Изменяя сопротивление активной нагрузки R , установите стрелку фазометра на 10º. При таком варианте включения, какой изображен на рис.3, фазометра показывает разность фаз между входным напряжением u3  (напряжение на R+Z ) и напряжением  u2 на нагрузке  Z. Обозначим ее  ф. Запишите в табл.1 амплитуду колебаний на  R+Z  (между клеммами 1 – 3) в делениях масштабной сетки экрана – а3.

2.Переключите Y-вход осциллографа на нагрузку R  (клеммы 1–2), измерьте на экранной сетке амплитуду колебаний  а1  и запишите в табл.1.

                                                                                                           Таблица 1

   R,

 Ом

   ф,

 град.

 гр,

 град.

   a1,

 дел.

   а2,

 дел.

   а3,

 дел.

 cos

  ,

 град.

  изм,     

  град

3.Переключите Y-вход осциллографа на нагрузку Z  (клеммы 2–3) и измерьте амплитуду колебаний а2.

4.Произведите аналогичные измерения  (пп.2–3) при сдвиге фаз 20; 30…60, устанавливая его каждый раз путем изменения сопротивления R.

5.Закончив измерения, переключатель фазометра поставьте в позицию «Калибровка», затем выключите все приборы.

Обработка результатов. 1.По формуле (3) вычислите разность фаз        

между напряжений u2 и u1, или в текущих обозначениях – между  и .

2.По данным табл.1 постройте шесть векторных диаграмм. Диаграммы строятся следующим образом. На горизонтальной оси отложите вектор   (рис.4), на котором постройте треугольник по двум другим сторонам  и. Затем достройте его до параллелограмма.

3.Транспортиром измерьте угол между векторами   и   на каждой диаграмме и результат впишите в табл.1. Сравните угол гр, полученный графическим путем, с разностью фаз между этими же векторами, измеренной фазометром ф.

4.Измерьте на векторной диаграмме угол между векторами  и . (в табл.1 он обозначен изм) и  

сравните его с углом, рассчитанным                              Рис.4

из формулы (3). Сделайте выводы на основании полученных результатов.

Упражнение 2

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

с кратными частотами

Введение. Рассмотрим систему, обладающую двумя степенями свободы, т.е. состояние которой определяется двумя величинами. В качестве такой системы рассмотрим электронный пучок в электронно-лучевой трубке осциллографа. Место попадания пучка электронов на экране можно описать двумя координатами, в частности, декартовыми  x  и  y. Такой  выбор разумен, так как  электронно-лучевая трубка осциллографа имеет две пары управляющих пластин, отклоняющих пучок электронов в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Если подать переменное напряжение на обе пары пластин одновременно, то луч будет участвовать в двух колебательных движениях, происходящих во взаимно перпендикулярных плоскостях. Результат совместного действия обоих напряжений будет наблюдаться на экране осциллографа.

Итак, рассмотрим сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной частоты , совершающихся вдоль координатных осей x  и  y,

                                (4)

где – разность фаз между рассматриваемыми колебаниями.

Выражение (4) представляет собой заданное в параметрической форме уравнение траектории точки, участвующей в обоих колебаниях. Если исключить параметр  t, то можно получить уравнение траектории в декартовых координатах [2]

                                (5)

Таким образом, вид траектории зависит от разности фаз .

1.Пусть  В этом случае уравнение (5) принимает следующий вид:

                      (6)

                           (7)

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.5). Луч осциллографа будет колебаться вдоль этой прямой с частотой  и

   Рис.5                     амплитудой r      

                       (8)

2.При разности фаз   уравнение (5) примет вид

                      

откуда видно, что результирующее движение луча представляет собой гармоническое колебание вдоль другой прямой (см. рис. 5)

                      Рис.6                                                                                    (9)                       

3.При разности фаз  уравнение (5) примет такой вид:    

                                            (10)

т.е. уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат (рис.6). При равенстве амплитуд, т.е. а = b,  эллипс переходит в окружность.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, но кратны,  то траектории результирующего движения луча имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу (рис.7).

             ,                       ,            ,  ,  ,  ,   

                                                               Рис.7

Пусть частота колебаний вдоль оси  х равна  х, а вдоль оси  у  в n  раз больше, т.е.

.                                              (11)

В этом случае уравнение траектории движения точки будет уравнением n-ой степени. Если n – число рациональное, т.е. может быть представлено в виде отношения двух целых чисел

                                                 (12)

то из выражений (11) и (12) можно написать следующие отношения:

                                             (13)

где и Т – циклическая частота и период колебаний вдоль соответствующих осей.

Перепишем последнее выражение в виде

Отсюда следует, что за время  t1 точка совершает  nx колебаний в направлении оси у и  ny  колебаний вдоль оси  х. По истечение времени t1 точка будет иметь прежнюю фазу колебаний, траектория следующего движения будет накладываться на предыдущую и на экране образуется устойчивая картина. По фигурам Лиссажу можно определить частоту колебаний одного источника, если частота другого известна.

Выберем одну из приведенных кривых. Пусть она  nx раз пересекает ось х и ny раз – ось у. В соответствии с формулой (13) можно написать, что

Если на горизонтальный вход осциллографа подано напряжение известной частоты  х, а на вертикальный – неизвестной у, то

                         (14)

Таким образом, вытекает следующее правило нахождения неизвестной частоты по фигурам Лиссажу. Через полученную фигуру проводят две взаимно перпендикулярные прямые AB и CD, параллельные осям координат (рис.8). Подсчитывают число точек пересечения фигуры с прямой АВ – nx и с прямой CDny. На данном рисунке nx= 6, ny= 2,
        Рис.8        так что неизвестная частота y= 6/2 x.  Во избежание ошибок прямые AB и CD  не рекомендуется проводить через узлы, а также  по касательным.
Измерения. 1.Соберите экспериментальную установку (рис.9).
                                                       Рис.9
Осциллограф С1-94 имеет Х-вход на тыльной стороне корпуса. Предложите преподавателю или лаборанту проверить правильность сборки.
2.После проверки включите осциллограф в сеть, отключив его развертку (утопите кнопку “Aвт/Ждущ”). В этом случае развертка осуществляется напряжением генератора Г3-120, поданным на Х-вход.
3.Включите генераторы Г1 и Г2. Генератор фиксированных частот вы-рабатывает переменное напряжение, частота которого изменяется ступенями с помощью переключателя «Частота» и тумблера «Множитель».
4.Ручкой регулировки напряжения генератора Г3-120 и его аттенюатором, а также регулятором усиления осциллографа В/Дел получите изображение размером приблизительно 66 делений шкалы экрана.
5.Поставьте тумблер «Множитель» генератора фиксированных частот Г1 в положение «1», а переключатель частоты – в первую позицию. Изменяя плавно частоту генератора Г2, получите на экране поочередно изображение эллипса, “восьмерки”, двойной “восьмерки”, каждый раз записывая частоту Г2 в табл.2. То же самое проделайте при всех остальных положениях переключателя частоты генератора Г1.
6.Срисуйте в свой лабораторный журнал вид нескольких фигур Лиссажу, указав частоты обоих генераторов.
                                                                                                             Таблица2
Положение
переключателя
генератора  Г1
Вид фигуры
Лиссажу
Частота
генератора  Г2,
х, Гц
Частота
генератора  Г1
у, Гц    
Обработка результатов сводится к расчету частоты генератора Г1 по формуле (14). Таким образом, шкала генератора Г1 будет проградуирована в единицах частоты, в качестве которой берется ее среднее значение, полученное от фигур разного вида.
Упражнение 3
Сложение колебаний одного направления
двух близких частот
Рассмотрим результат сложения двух одинаково направленных колебаний  у1  и  у2 с близкими частотами 1  и  2. Для простоты будем считать, что амплитуды обоих колебаний одинаковы и равны  а  и начальные
фазы тоже одинаковы–                                                                                      
                                (15)
             (16)

Если разность  12 =  мала по сравнению с 1 и 2 , то результирующее колебание (16) можно рассматривать как гармоническое со средней частотой   = (1 + 2) / 2  и амплитудой

,                                                (17)

медленно меняющейся с частотой / 2  (так как мала!) по гармоническому закону. Такое явление называется биением (рис.10). Биение возникает вследствие того, что амплитуда изменяется от ymax= 2a, когда фазы складываемых колебаний

совпадают, до уmin=0, когда колебания оказываются в противофазе. Явление биений широко используется в радио-технике (напр., супергетеродин-

   Рис.10                                     ный прием электромагнитных волн).                   

Измерения. Для изучения биений предлагается экспериментальная установка, блок-схема которой приведена на рис.11.

                                                            Рис.11

Напряжения от двух генераторов Г1 и Г2 подаются на одно нагрузочное сопротивление. Осциллограф, подключенный к этому сопротивлению, позволяет наблюдать результирующее напряжение на нем.

1.Включите генератор фиксированных частот Г1 и установите на нем самую высокую частоту , из измеренных Вами в упр.2. Обозначим ее 1.

2.Включите осциллограф и получите изображение высотой 3…4 см. Длительность развертки осциллографа следует установить такую, чтобы на экране было видно около 30 полных колебаний.

3.Включите генератор Г2 и установите частоту  2, близкую к частоте генератора Г1.

4.Повышая выходное напряжение генератора Г2, получите на экране картину биений. Амплитуда колебаний в минимуме должна быть близка к нулю. Измерьте амплитуду колебаний в максимуме биений – ymax.

5.Подрегулируйте частоту Г2 и длительность развертки осциллографа так, чтобы на экране установилось 2 или 3 периода биений. Результаты запишите в табл.3.

6.По времени  развертки определите период и частоту биений. Она должна быть равна, согласно формуле (16), б = 1 - 2. Срисуйте картину биений на кальку.

                                                                                                       Таблица 3

1, Гц

2, Гц

б, Гц

а, дел.

ymax, дел.

7.На генераторе Г1 поставьте тумблер в положение « 1», получите биения. Повторите действия, указанные в п.3–5.

Контрольные вопросы

1.Как реализуется сложение колебаний одного направления? Как увеличить число слагаемых?

2.Электрическое напряжение – скалярная величина. Как в таком случае понимать «векторная диаграмма» напряжений?

3.Как построить векторную диаграмму по результатам измерений?

4.Можно ли выполнить данное упражнение, используя вместо осциллографа вольтметр переменного напряжения? Если нельзя, то почему; если можно, то какой.

5.Как реализуется сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний в данной работе? Есть ли механические аналогии такого процесса?

6.Рассмотрите поведение электронного луча при одновременном приложении двух напряжений одинаковой частоты к Х- и У-входу осцилло-графа, имеющих одинаковые фазы и отличающиеся на .

7.В чем специфика сложения двух близких по частоте колебаний одного направления? Что будет наблюдаться, если частоты складываемых колебаний сильно отличаются друг от друга (скажем, на 3-4 порядка)?

Список рекомендуемой литературы

1.Савельев И.В. Курс общей физики: Кн.1. Механика. М.: Наука, 1998.      §8.6-8.8.

2.Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике. М.: Высшая школа, 1963. С.295.

A

C

B

D

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Word.Picture.8  

EMBED Word.Picture.8  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76480. Вопросы, разрешаемые судом при расторжении брака. Момент прекращения брака при разводе 16.15 KB
  24 СК РФ разрешить и другие вопросы: а с кем из родителей будут проживать несовершеннолетние дети после развода; б о взыскании с родителей средств на содержание детей; в о взыскании средств на содержание нетрудоспособного нуждающегося супруга; г о разделе имущества находящегося в общей совместной собственности супругов. Не вызывает сомнения что все перечисленные вопросы являются весьма важными для разводящихся супругов. 24 СК РФ требования об учете интересов детей и каждого из супругов например размер алиментов на несовершеннолетних...
76481. Брачный договор: понятие, форма, стороны 15.48 KB
  Брачный договор соглашение лиц вступающих в брак или соглашение супругов определяющее имущественные права и обязанности супругов в браке и или в случае его расторжения ст. По правовой природе брачный договор гражданскоправовой договор имеет особенности касающиеся субъектного состава предмета времени заключения и содержания договора; к нему могут применяться общие положения ГК о договорах; изменение расторжение и признание брачного договора недействительным происходят по основаниям и в порядке установленными нормами...
76482. Содержание брачного договора 15.8 KB
  Так брачным договором супруги вправе изменить установленный законом режим совместной собственности установить режим совместной долевой или раздельной собственности на все имущество супругов на его отдельные виды или на имущество каждого из супругов. Брачный договор может быть заключен как в отношении имеющегося так и в отношении будущего имущества супругов. Так условия брачного договора могут содержать: права и обязанности по взаимному содержанию; способы участия в доходах друг друга; порядок несения каждым из них семейных расходов;...
76483. Прекращение и изменение брачного договора 15.33 KB
  Соглашение об изменении или о расторжении брачного договора совершается в той же форме что и сам брачный договор т. Односторонний отказ от исполнения брачного договора не допускается. Может возникнуть ситуация когда супруги не пришли к обоюдному соглашению о расторжении брачного договора.
76484. Признание брачного договора недействительным 18.76 KB
  Брачный договор может быть признан судом недействительным в случае: признания брака недействительным; если условия договора ставят одного из супругов в крайне неблагоприятное положение; по основаниям предусмотренным ст. На признание брачного договора действительным или недействительным распространяются соответствующие нормы ГК РФ о действительности и недействительности сделок. Брачный договор может быть признан недействительным по иску супруга чьи права и законные интересы были нарушены в результате заключения договора: в состоянии...
76485. Обращение взыскание на имущество супругов. Гарантии прав кредиторов при заключении брачного договора 18.08 KB
  Таким имуществом в частности являются движимые и недвижимые вещи ценные бумаги паи доли в капитале внесенные в кредитные или иные коммерческие организации и любое другое нажитое в период брака имущество независимо от того на имя кого из супругов оно приобретено. 256 ГК РФ по обязательствам одного из супругов взыскание может быть обращено на его долю в общем имуществе супругов которая причиталась бы этому супругу при разделе имущества. 39 СК РФ доли супругов при разделе общего имущества признаются равными если иное не предусмотрено...
76486. Основания, порождающие родительские правоотношения 15.58 KB
  Законом предусмотрена государственная регистрация рождения ребенка в органах записи актов гражданского состояния по месту рождения ребенка или по месту жительства его родителей одного из них. Происхождение ребенка от матери устанавливается не медицинским учреждением а органом записи актов гражданского состояния на основании справки или иного документа выдаваемого тем медицинским учреждением в стенах которого родился ребенок. Государственная регистрация рождения ребенка производится по месту жительства родителей или одного из них. Сведения...
76487. Установление происхождения ребенка, родившегося в браке 14.71 KB
  Лишь после регистрации рождения происхождение ребенка становится юридическим фактом и может порождать правовые последствия. Состояние матери ребенка в зарегистрированном браке дает основание полагать что отцом ребенка является супруг матери. При государственной регистрации рождения ребенка предъявляется документ являющийся основанием для внесения сведений об отце в запись акта о регистрации рождения.
76488. Регистрация рождения ребенка, рожденного вне брака 14.59 KB
  Таким образом с формальноюридической точки зрения совместная жизнь в зарегистрированном браке и в гражданском браке две большие разницы. Что же касается темы отцы и дети то здесь закон преследуя интересы несовершеннолетних устанавливает принцип равенства прав детей рожденных в браке и вне брака. Статья 53 СК РФ определяет что дети родившиеся у лиц не состоящих между собой в браке имеют по отношению к своим родителям и их родственникам такие же права и обязанности как и дети рожденные в браке.