28167

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

Доклад

Физика

Решением стационарного УШ является функция состояния частицы . Потенциальная яма – это область пространства в которой потенциальная энергия частицы меньше чем за ее пределами. Рассмотрим решение стационарного УШ для частицы находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Найдем функции состояния и значения энергии отвечающие возможным состояниям частицы в этом потенциальном поле.

Русский

2013-08-20

216 KB

29 чел.

67  УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

Решение стационарного уравнения Шредингера (УШ) для простых модельных задач позволяет более полно понять методы квантовой механики и проанализировать общую логику решения квантовомеханической задачи. Решением стационарного УШ является функция состояния частицы . При решении необходимо учитывать требования,  налагаемые на решение УШ и вытекающие из физического смысла :  - это плотность вероятности обнаружить частицу в точке пространства . В соответствии с этими требованиями (стандартными условиями): функция  должна быть непрерывной, конечной, однозначной функцией во всем пространстве; первые производные этой функции по координатам должны быть непрерывны во всем пространстве.

Потенциальная яма – это область пространства, в которой потенциальная энергия частицы меньше, чем за ее пределами. Физически это означает, что в области потенциальной ямы частица испытывает притяжение.

Рассмотрим решение стационарного УШ для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.

.                                                     (1)

Пусть одномерная бесконечно глубокая потенциальная яма имеет ширину  и заключена в интервале (рисунок 1). Поле потенциальных сил таково, что  при  (область П);  при  (обл. I); при >(обл. Ш).

Найдем функции состояния и значения энергии, отвечающие возможным состояниям частицы в этом потенциальном поле.

Так как вероятность нахождения частицы вне ямы равна нулю, то . Для нахождения  необходимо решить уравнение (1) при :

.                                                               (2)

Общим решением (2) является функция

,                                                 (3)

где  удовлетворяет условию      .                                                                   (4)

Из условия непрерывности волновой функции  на границах областей следует:

   и    .                                             (5)

Из условия (5) следует, что  и

.                                                                  (6)

Таким образом, решение уравнения Шредингера в области 2 имеет вид:

.                                                            (7)

С учетом условия нормировки волновая функция имеет вид:

.                                                (8)

Функция                                                                                                (9)

определяет плотность вероятности обнаружить частицу в любой точке в пределах потенциальной ямы. 

Эти функции обращаются в нуль как на границах потенциальной ямы, так и в узловых точках внутри нее, значения координаты  которых определяются из условия .

Сопоставляя выражения (4) и (7), найдем возможные значения энергии частицы:

;              1, 2, 3 .                       (10)

Выражение (10) является условием квантования энергии частицы. Из него следует, что существует некоторая минимальная энергия , не равная нулю; она соответствует основному состоянию движения частицs.

Более близкой к реальности модельной задачей является гармонический осциллятор. Его потенциальная энергия определяется функцией

,                                                            (11)

где  - коэффициент упругости. Следовательно, в квантовой механике задачу об осцилляторе сводится к проблеме частицы, движущейся в параболической потенциальной яме (рисунок 2). Стационарное уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид:

.                                          (12)

Проведя математические преобразования и удовлетворив требование конечности функции  получим решение в виде

,                                              (13)

где  - полином Эрмита  -й степени, - нормировочные коэффициенты, а

 .                                                      (14)

Выражение для собственных значений энергии получим в виде:

,                                             (15)

где =0,1,2,….,  - круговая частота осциллятора.

Из (15) следует, что спектр энергий гармонического осциллятора дискретен (т.е. энергия квантована) и энергетические уровни эквидистантны (рисунок 2).

Потенциальный барьер – ограниченная в пространстве область, в которой потенциальная энергия частицы, движущейся в силовом поле, больше, чем по обе стороны от нее. Потенциальный барьер соответствует силам отталкивания. В классической механике прохождение частицы через потенциальный барьер возможно лишь в том случае, если ее полная энергия  не меньше высоты  потенциального барьера.

Иначе обстоит дело в квантовой механике. Преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда ее полная энергия меньше высоты барьера, называется туннельным эффектом, или туннелированием. 

Рассмотрим простейший случай одномерного движения частицы с массой m вдоль оси x в области пространства с потенциальным барьером прямоугольной формы (рисунок 3). 

В области потенциального барьера  (0 < < ) потенциальная энергия  = .

Состояние движения частицы характеризуется коэффициентами отражения  и прохождения , которые имеют смысл вероятности того, что частица останется в области пространства I (коэффициент R) или перейдет в область Ш (коэффициент D).

Рассмотрим случай, когда <  (Е – полная энергия частицы), и найдем для частицы коэффициенты отражения  и прохождения .

Записав и решив уравнение Шрёдингера (1) для областей , , , получим:

,                ,                                (16)

,             ,                             (17)

,                         .                                 (18)

описывает падающую волну де Бройля с амплитудой  и отраженную волну с амплитудой . Решение в области  содержит только прошедшую волну с амплитудой А3, распространяющуюся в положительном направлении оси  :

Из условий непрерывности волновой функции и ее производной по координате в точках  и  найдем следующие соотношения между коэффициентами, учтем, что >>, после чего получим

;                                                 (19)

.                                                  (20)

Здесь использовано обозначение

.

Коэффициент прохождения D, имеющий вероятностный смысл, определяется через квадраты амплитуд соответствующих частей волновых функций (16) – (18). Выполнив несложные вычисления с учетом выражений (19), (20), получим для коэффициента прохождения:

                                  (21)

Коэффициент прохождения достигает величины, достаточной для экспериментального определения, когда выполняется условие <1. Это неравенство позволяет оценить ширину потенциальной ямы, при которой туннельный эффект является существенным. Так, для электрона ( кг) при 1 эВ = Дж туннельный эффект экспериментально наблюдаем при м, то есть при ширине потенциальной ямы, сравнимой с размерами атома.

Если потенциальный барьер имеет произвольную форму, его можно представить как последовательность прямоугольных потенциальных барьеров. Коэффициент прохождения для потенциального барьера  произвольной формы определяется по формуле

.

Интегрирование проводится в интервале координат, для которых . Описанные в данном разделе особенности поведения частиц связаны с их корпускулярно-волновой природой. Туннельный эффект существен лишь для систем, имеющих микроскопические размеры и массы.

Примерами проявления туннельного эффекта являются автоионизация атома в сильном электрическом поле и ионизация атома в поле сильной электромагнитной волны, альфа-распад радиоактивных ядер, холодная эмиссия электронов из металла, контактная разность потенциалов и многие другие явления.

PAGE  4


Рисунок 1 - Одномерная прямоугольная потенциальная яма

0

а

U

I                П             Ш

U

EMBED Equation.3  

0

          n

          4

       3

   2

  1

0

E4

E3

  E2

    E1

       E0

Рисунок 2 - Потенциальная яма для гармонического осциллятора

U0

U

x

а

0

EMBED Equation.3   

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рисунок 3 - Потенциальный барьер конечной ширины


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3594. Редагування структури таблиці й даних БД. Впорядкування, пошук та фільтрація даних 151.39 KB
  Редагування структури таблиці й даних БД. Впорядкування, пошук та фільтрація даних Мета: ознайомити учнів із можливостями обробки інформації в базі даних, навчити використовувати команди СКБД Access для зміни структури таблиці, додавання, знищення, ...
3595. Типи зв'язків у таблицях. Створення зв'язків між елементами в таблицях. Запити. Створення запитів 363.27 KB
  Типи зв'язків у таблицях. Створення зв'язків між елементами в таблицях. Запити. Створення запитів. Навчити учнів встановлювати зв’язки між таблицями, створювати запити, Розвивати логічне мислення, розвиток пам'яті, вміння працювати з масивами інформації
3596. Об'єкт БД — форми. Способи створення форм 397.5 KB
  Об'єкт БД — форми. Способи створення форм. Мета: навчальна: ознайомити учнів із типами форм та способами їх створення, розвиваюча: розвивати вміння роботи з БД, логічне мислення, розвиток уважності, виховна: формування навичок зібраності, уважності, акуратності в роботі з табличними даними.
3597. Основні поняття про об’єкт БД – звіти 225 KB
  Основні поняття про об’єкт БД – звіти. Ознайомити учнів із поняттям «звіти», навчити створювати звіти в середовищі MS Access, розвивати вміння роботи з БД, логічне мислення, розвиток уважності, формування навичок зібраності, уважності...
3598. Узагальнення знань з теми СКБД Microsoft Access 62.5 KB
  Урок-гра «Узагальнення знань з теми «СКБД Microsoft;Access». Узагальнити та поглибити знання учнів з теми MS Access, розвивати і поглиблювати знання та інтерес учнів до інформатики, розвивати артистичні дані, виховувати згуртованість, почуття о...
3599. Механизм ценообразования в переходной экономике 147.5 KB
  Объект исследования: механизм ценообразования в переходной экономике. Цель работы: рассмотреть структуру цены, методы ценообразования, проанализировать влияние отдельных факторов на цену. Методы исследования: метод статистического исследования, мето...
3600. Суть довгих хвиль Кондратьєва в економіці 98.5 KB
  Відомо декілька типів економічних циклів, які іноді називають хвилями. Їх важко виділиті з-за великої кількості їх показників, з-за часової pозмитості гpаниць між ними. Так звані довгі хвилі (цикли) мають довжину в 40-60 років. Розpобка теоpії...
3601. Работа по развитию слухового восприятия и формированию произношения в школе для детей со сниженным слухом 5.75 MB
  Работа по развитию слухового восприятия и формированию произношения в школе для детей со сниженным слухом В процессе обучения и воспитания детей большую роль играет речь, поскольку она является не только орудием мышления и средством общения, но и ср...
3602. Креслення – основа політехнічної освіти учнів 6.41 MB
  Креслення – основа політехнічної освіти учнів Креслення – мова техніки Графічна підготовка учнів — складова частина їх політехнічної освіти — сприяє раціональнішому засвоєнню елементів техніки, допомагає глибше вникати в будову о...