28167

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

Доклад

Физика

Решением стационарного УШ является функция состояния частицы . Потенциальная яма – это область пространства в которой потенциальная энергия частицы меньше чем за ее пределами. Рассмотрим решение стационарного УШ для частицы находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Найдем функции состояния и значения энергии отвечающие возможным состояниям частицы в этом потенциальном поле.

Русский

2013-08-20

216 KB

29 чел.

67  УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

Решение стационарного уравнения Шредингера (УШ) для простых модельных задач позволяет более полно понять методы квантовой механики и проанализировать общую логику решения квантовомеханической задачи. Решением стационарного УШ является функция состояния частицы . При решении необходимо учитывать требования,  налагаемые на решение УШ и вытекающие из физического смысла :  - это плотность вероятности обнаружить частицу в точке пространства . В соответствии с этими требованиями (стандартными условиями): функция  должна быть непрерывной, конечной, однозначной функцией во всем пространстве; первые производные этой функции по координатам должны быть непрерывны во всем пространстве.

Потенциальная яма – это область пространства, в которой потенциальная энергия частицы меньше, чем за ее пределами. Физически это означает, что в области потенциальной ямы частица испытывает притяжение.

Рассмотрим решение стационарного УШ для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.

.                                                     (1)

Пусть одномерная бесконечно глубокая потенциальная яма имеет ширину  и заключена в интервале (рисунок 1). Поле потенциальных сил таково, что  при  (область П);  при  (обл. I); при >(обл. Ш).

Найдем функции состояния и значения энергии, отвечающие возможным состояниям частицы в этом потенциальном поле.

Так как вероятность нахождения частицы вне ямы равна нулю, то . Для нахождения  необходимо решить уравнение (1) при :

.                                                               (2)

Общим решением (2) является функция

,                                                 (3)

где  удовлетворяет условию      .                                                                   (4)

Из условия непрерывности волновой функции  на границах областей следует:

   и    .                                             (5)

Из условия (5) следует, что  и

.                                                                  (6)

Таким образом, решение уравнения Шредингера в области 2 имеет вид:

.                                                            (7)

С учетом условия нормировки волновая функция имеет вид:

.                                                (8)

Функция                                                                                                (9)

определяет плотность вероятности обнаружить частицу в любой точке в пределах потенциальной ямы. 

Эти функции обращаются в нуль как на границах потенциальной ямы, так и в узловых точках внутри нее, значения координаты  которых определяются из условия .

Сопоставляя выражения (4) и (7), найдем возможные значения энергии частицы:

;              1, 2, 3 .                       (10)

Выражение (10) является условием квантования энергии частицы. Из него следует, что существует некоторая минимальная энергия , не равная нулю; она соответствует основному состоянию движения частицs.

Более близкой к реальности модельной задачей является гармонический осциллятор. Его потенциальная энергия определяется функцией

,                                                            (11)

где  - коэффициент упругости. Следовательно, в квантовой механике задачу об осцилляторе сводится к проблеме частицы, движущейся в параболической потенциальной яме (рисунок 2). Стационарное уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид:

.                                          (12)

Проведя математические преобразования и удовлетворив требование конечности функции  получим решение в виде

,                                              (13)

где  - полином Эрмита  -й степени, - нормировочные коэффициенты, а

 .                                                      (14)

Выражение для собственных значений энергии получим в виде:

,                                             (15)

где =0,1,2,….,  - круговая частота осциллятора.

Из (15) следует, что спектр энергий гармонического осциллятора дискретен (т.е. энергия квантована) и энергетические уровни эквидистантны (рисунок 2).

Потенциальный барьер – ограниченная в пространстве область, в которой потенциальная энергия частицы, движущейся в силовом поле, больше, чем по обе стороны от нее. Потенциальный барьер соответствует силам отталкивания. В классической механике прохождение частицы через потенциальный барьер возможно лишь в том случае, если ее полная энергия  не меньше высоты  потенциального барьера.

Иначе обстоит дело в квантовой механике. Преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда ее полная энергия меньше высоты барьера, называется туннельным эффектом, или туннелированием. 

Рассмотрим простейший случай одномерного движения частицы с массой m вдоль оси x в области пространства с потенциальным барьером прямоугольной формы (рисунок 3). 

В области потенциального барьера  (0 < < ) потенциальная энергия  = .

Состояние движения частицы характеризуется коэффициентами отражения  и прохождения , которые имеют смысл вероятности того, что частица останется в области пространства I (коэффициент R) или перейдет в область Ш (коэффициент D).

Рассмотрим случай, когда <  (Е – полная энергия частицы), и найдем для частицы коэффициенты отражения  и прохождения .

Записав и решив уравнение Шрёдингера (1) для областей , , , получим:

,                ,                                (16)

,             ,                             (17)

,                         .                                 (18)

описывает падающую волну де Бройля с амплитудой  и отраженную волну с амплитудой . Решение в области  содержит только прошедшую волну с амплитудой А3, распространяющуюся в положительном направлении оси  :

Из условий непрерывности волновой функции и ее производной по координате в точках  и  найдем следующие соотношения между коэффициентами, учтем, что >>, после чего получим

;                                                 (19)

.                                                  (20)

Здесь использовано обозначение

.

Коэффициент прохождения D, имеющий вероятностный смысл, определяется через квадраты амплитуд соответствующих частей волновых функций (16) – (18). Выполнив несложные вычисления с учетом выражений (19), (20), получим для коэффициента прохождения:

                                  (21)

Коэффициент прохождения достигает величины, достаточной для экспериментального определения, когда выполняется условие <1. Это неравенство позволяет оценить ширину потенциальной ямы, при которой туннельный эффект является существенным. Так, для электрона ( кг) при 1 эВ = Дж туннельный эффект экспериментально наблюдаем при м, то есть при ширине потенциальной ямы, сравнимой с размерами атома.

Если потенциальный барьер имеет произвольную форму, его можно представить как последовательность прямоугольных потенциальных барьеров. Коэффициент прохождения для потенциального барьера  произвольной формы определяется по формуле

.

Интегрирование проводится в интервале координат, для которых . Описанные в данном разделе особенности поведения частиц связаны с их корпускулярно-волновой природой. Туннельный эффект существен лишь для систем, имеющих микроскопические размеры и массы.

Примерами проявления туннельного эффекта являются автоионизация атома в сильном электрическом поле и ионизация атома в поле сильной электромагнитной волны, альфа-распад радиоактивных ядер, холодная эмиссия электронов из металла, контактная разность потенциалов и многие другие явления.

PAGE  4


Рисунок 1 - Одномерная прямоугольная потенциальная яма

0

а

U

I                П             Ш

U

EMBED Equation.3  

0

          n

          4

       3

   2

  1

0

E4

E3

  E2

    E1

       E0

Рисунок 2 - Потенциальная яма для гармонического осциллятора

U0

U

x

а

0

EMBED Equation.3   

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рисунок 3 - Потенциальный барьер конечной ширины


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28519. Створення сховищ даних. Технології OLAP та Data Mining 399 KB
  Структура сховища даних та оптимізація його обсягів Методи інтелектуального аналізу інформації часто розглядають як природний розвиток концепції сховищ даних. Головна відмінність сховища від бази даних полягає в тому що їх створення і експлуатація переслідують різну мету. База даних відіграє роль помічника в оперативному управлінні організацією.
28520. Основи кореляційно-регресійного аналізу 434.5 KB
  Оцінка параметрів рівняння регресії що виражає залежність середніх значень результативної ознаки від значень факторної ознаки ознак. Задача вирішується шляхом обчислення коефіцієнтів регресії. Парна регресія дозволяє описати форму зв’язку у вигляді рівняння парної регресії. Основні види рівнянь парної регресії показано в таб.
28521. Автоматизовані інформаційні системи для підприємств та організацій 282 KB
  Інформаційні системи і технології в сучасному суспільстві В наш час відбувається глобальний перехід від індустріального суспільства до інформаційного розвиток якого безпосередньо пов'язаний з інтенсифікацією інформаційних процесів необхідністю збору обробки і передачі величезних об'ємів інформації перетворенням інформації у товар як правило значної вартості. Автоматизовані інформаційні системи і нові технології дають можливість оптимізувати і раціоналізувати управлінські функції відкривають нові шляхи побудови збалансованого...