28173

Модель атома Бора. Квантование круговых орбит и их характеристики. Правила квантования Бора-Зоммерфельда

Доклад

Физика

В соответствии с моделью Резерфорда для строения атома Бор рассматривал движение электрона относительно покоящегося ядра по круговой орбите. Согласно Бору стационарными являются лишь те орбиты при движении по которым момент импульса электрона равен целому числу приведенных постоянных Планка удовлетворяет условию квантования круговых орбит то есть для й орбиты можно записать: 1 где и соответственно масса линейная скорость движения электрона и радиус его й орбиты; =...

Русский

2013-08-20

157.5 KB

41 чел.

63  Модель атома Бора. Квантование круговых орбит и их характеристики. Правила квантования Бора-Зоммерфельда

Нильс Бор создал теорию строения водородоподобной атомной системы и модель испускания ею электромагнитного излучения, основываясь на сформулированных им квантовых постулатах.

В соответствии с моделью Резерфорда для строения атома Бор рассматривал движение электрона относительно покоящегося ядра по круговой орбите. Согласно Бору, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент импульса электрона равен целому числу приведенных постоянных Планка (удовлетворяет условию квантования круговых орбит), то есть для -й орбиты можно записать:

,                                                             (1)

где ,  и  - соответственно масса, линейная скорость движения электрона и радиус его  - й орбиты;  = 1, 2, 3,…

Нетрудно найти полную энергию  электрона на -й орбите:

,                                                                (2)

где

                                                                 (3)

- кинетическая энергия электрона на -й орбите,

                                                               (4)

- потенциальная энергия кулоновского взаимодействия электрона с ядром. Здесь  в системе СГС,  в системе СИ.

Второй закон Ньютона для электрона, движущегося на -й круговой орбите, имеет вид:

.                                                                 (5)

Решая совместно (1) и (5), получим выражение для радиуса орбиты электрона:

.                                                                 (6)

Радиус первой орбиты (=1) в атоме водорода (=1) равен  м и называется первым боровским радиусом.

Из (1) с учетом (6) для скорости электрона  получим

.                                                                  (7)

Воспользовавшись формулами (2) (4), в которых  и  определяются выражениями (6) и (7), для энергии -го стационарного состояния  найдем:

.                                                       (8)

Величина , принимающая целочисленные значения, называется квантовым числом, а (8) представляет собой правило квантования энергии электрона.

Пользуясь правилом частот Бора

и выражением (8), найдем волновое число спектральной линии, соответствующей квантовому переходу из стационарного состояния с энергией  в стационарное состояние с энергией :

.                                               (9)

Полученное в рамках теории Бора выражение (9) для атома водорода совпадает с эмпирической обобщенной формулой Бальмера

,                                                      (10)

что свидетельствует о справедливости теории Бора. Сравнивая (9) и (10), находим:

(см-1).

Соответствующая схема энергетических уровней и переходов между ними для водородоподобной атомной системы, построенная на основе анализа формул (8) и (9), приведена на рисунке 1.

Стационарное состояние с наименьшей энергией () называется основным, или нормальным, все остальные (, 3,…) – возбужденными. При  имеем  = 0 (формула 8). При <0 электрон связан с ядром и спектр его энергий дискретен (энергия квантована); при > 0 электрон свободен и его энергия имеет непрерывный спектр значений. Переход электрона с основного энергетического уровня на более высокоэнергетический уровень дискретного спектра есть возбуждение атома. В результате перехода электрона с одного из уровней дискретного спектра в область непрерывного спектра энергий атом превращается в несвязанную систему, то есть происходит его ионизация. Минимальная энергия, необходимая для ионизации атома из -го состояния, соответствует переходу электрона с -го уровня на уровень  и называется энергией ионизации .

Пользуясь схемой, приведенной на рисунке 1, легко проиллюстрировать сериальные закономерности в спектрах водородоподобных систем. Так, для атома водорода в серию Лаймана должны быть включены спектральные линии, соответствующие переходам из любых возбужденных состояний в основное состояние, а в серию Бальмера – из возбужденных состояний с энергиями > в первое возбужденное состояние, энергия которого равна .

При >>1 имеет место тесная связь между результатами теории Бора и соотношениями классической физики (принцип соответствия). Действительно, в этом случае частоты излучения кратны частоте обращения электрона вокруг ядра.

Принципы квантования, заложенные Бором, были развиты и сформулированы Зоммерфельдом для случаев эллиптических орбит. В соответствии с правилами квантования Бора - Зоммерфельда 

,

,

где  – азимутальное квантовое число,  – радиальное квантовое число. Азимутальным квантовым числом определяется момент импульса электрона:

.

Из решения задачи Кеплера следуют выражения для энергии электрона , длины большой  и малой полуосей эллиптической орбиты:

.                                                              (11)

                                                       (12)

,                                                                   (13)

где - главное квантовое число, =1,2,…, ,  - первый боровский радиус.

Как видно из формул (8) и (11), энергия электрона определяется главным квантовым числом  при его движении как по круговой, так и по эллиптической орбите, и не зависит от радиального и азимутального квантовых чисел, взятых по отдельности.

Из квантования эллиптических орбит следует (формулы (11)-(13)), что определенному значению энергии электрона  соответствует  эллиптических орбит с одинаковой большой полуосью и различными малыми полуосями, соответствующими значениям =1,2,…,.). Этот факт является примером вырождения энергетических уровней.

Теория Бора явилась важным этапом в понимании внутриатомных явлений. На основе теории Бора был классифицирован эмпирически полученный материал атомной и молекулярной спектроскопии. Она подготовила почву для осознания того, что для объяснения явлений микромира недостаточно классических понятий и классических законов. В области микромира нужны принципиально новые (квантовые) понятия и законы.

Вместе с тем теория Бора описывала только одноэлектронные атомные системы. Не объяснила она также образования молекул и закономерностей в их спектрах. В рамках этой теории остались нерешенными вопросы о поляризации излучения атомов и интенсивности спектральных линий. Самым же главным недостатком теории Бора явилась ее внутренняя противоречивость.

Тем не менее нельзя недооценивать значимость теории Бора как промежуточного этапа на пути к более совершенной и последовательной теории, какой является квантовая механика.

PAGE  3


С.Пашена

Е

0

1

2

3

4

5

n

С.Лаймана

С.Бальмера

Рисунок 1 - Схема энергетических уровней водородоподобной системы (без соблюдения масштаба)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13655. Главная цель капитала – не добыть как можно больше денег, а добиться, чтобы деньги вели к улучшению жизни 14.62 KB
  Эссе на тему: Главная цель капитала не добыть как можно больше денег а добиться чтобы деньги вели к улучшению жизни Генри ФордВ своем высказывании создатель первого в мире автомобиля Генри Форд затрагивает проблему главной задачи экономической сферы жизни общес
13656. Нажить много денег - храбрость; сохранить – мудрость, а умело расходовать - искусство 14.19 KB
  Нажить много денег храбрость; сохранить мудрость а умело расходовать искусство. Я считаю что нажить много денег это умение. Что же имел в виду автор изречения когда утверждал что это храбрость Видимо то что нужно быть очень смелым человеком чтобы подвергнуть себ...
13657. Налоги – это деньги, взимаемые властью с части общества в интересах целого 14.44 KB
  Налоги это деньги взимаемые властью с части общества в интересах целого.С. ДжонсонЯ полностью согласна с позицией автора т.к. налоги регулируют экономику и составляя значительную часть доходов госбюджета расходуются в интересах всего общества. Налоги это необход...
13658. Монтень. Н. Не быть жадным - уже есть богатство, не расточительным - доход 14.26 KB
  Не быть жадным уже есть богатство не расточительным доход. М. Монтень На мой взгляд это высказывание сродни поговорке: Не тот богат у кого много денег а тот у кого меньше потребностей. О чем же эти высказывания в чем их суть Каждый человек сам для себя определяет бог...
13659. Торговля не разорила еще ни одного народа (Б. Франклин) 14.27 KB
  Торговля не разорила еще ни одного народа.Б. ФранклинАвтор хотел сказать что занятие торговой деятельностью полезно для общества это может привести к его процветанию. Я думаю что с этим стоит согласиться. Торговля развивалась с момента развития общественных отношен
13660. Цены и другие инструменты рынка 14.27 KB
  Цены и другие инструменты рынка регулируют распределение редких ресурсов в обществе ограничивая тем самым желания участников координируя их действия.Г. С. БеккерЧто означает цена и какие другие инструменты рынка имел в виду Беккер Цена это денежное выражение стоим...
13661. Алкоголизм дает больше опустошения, чем три исторических бича вместе взятых: голод, чума и война 15.45 KB
  Алкоголизм дает больше опустошения чем три исторических бича вместе взятых: голод чума и война. У. Гладстон Алкоголизм одна из проблем современного общества которая волнует педагогов и конечно же нас подрастающее поколение. У. Гладстон считает что алкоголи...
13662. Алкоголизм и преступление -это два явления общественной жизни, находящиеся в тесной связи друг с другом 14.11 KB
  Алкоголизм и преступление это два явления общественной жизни находящиеся в тесной связи друг с другомИ. МержевскийПоведение людей в обществе определяется прежде всего тем на какие ценности они равняются каких ценностей они придерживаются. Для стабильности и единс
13663. Берне Л. Без многого может обойтись человек, только не без человека 15.56 KB
  Без многого может обойтись человек только не без человека Л. Берне Я считаю что высказывание Людвига Берне немецкого публициста и писателя о том что без многого может обойтись человек только не без человека верно и сохраняет свою актуальность сегодня поскольку о