28173

Модель атома Бора. Квантование круговых орбит и их характеристики. Правила квантования Бора-Зоммерфельда

Доклад

Физика

В соответствии с моделью Резерфорда для строения атома Бор рассматривал движение электрона относительно покоящегося ядра по круговой орбите. Согласно Бору стационарными являются лишь те орбиты при движении по которым момент импульса электрона равен целому числу приведенных постоянных Планка удовлетворяет условию квантования круговых орбит то есть для й орбиты можно записать: 1 где и соответственно масса линейная скорость движения электрона и радиус его й орбиты; =...

Русский

2013-08-20

157.5 KB

40 чел.

63  Модель атома Бора. Квантование круговых орбит и их характеристики. Правила квантования Бора-Зоммерфельда

Нильс Бор создал теорию строения водородоподобной атомной системы и модель испускания ею электромагнитного излучения, основываясь на сформулированных им квантовых постулатах.

В соответствии с моделью Резерфорда для строения атома Бор рассматривал движение электрона относительно покоящегося ядра по круговой орбите. Согласно Бору, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент импульса электрона равен целому числу приведенных постоянных Планка (удовлетворяет условию квантования круговых орбит), то есть для -й орбиты можно записать:

,                                                             (1)

где ,  и  - соответственно масса, линейная скорость движения электрона и радиус его  - й орбиты;  = 1, 2, 3,…

Нетрудно найти полную энергию  электрона на -й орбите:

,                                                                (2)

где

                                                                 (3)

- кинетическая энергия электрона на -й орбите,

                                                               (4)

- потенциальная энергия кулоновского взаимодействия электрона с ядром. Здесь  в системе СГС,  в системе СИ.

Второй закон Ньютона для электрона, движущегося на -й круговой орбите, имеет вид:

.                                                                 (5)

Решая совместно (1) и (5), получим выражение для радиуса орбиты электрона:

.                                                                 (6)

Радиус первой орбиты (=1) в атоме водорода (=1) равен  м и называется первым боровским радиусом.

Из (1) с учетом (6) для скорости электрона  получим

.                                                                  (7)

Воспользовавшись формулами (2) (4), в которых  и  определяются выражениями (6) и (7), для энергии -го стационарного состояния  найдем:

.                                                       (8)

Величина , принимающая целочисленные значения, называется квантовым числом, а (8) представляет собой правило квантования энергии электрона.

Пользуясь правилом частот Бора

и выражением (8), найдем волновое число спектральной линии, соответствующей квантовому переходу из стационарного состояния с энергией  в стационарное состояние с энергией :

.                                               (9)

Полученное в рамках теории Бора выражение (9) для атома водорода совпадает с эмпирической обобщенной формулой Бальмера

,                                                      (10)

что свидетельствует о справедливости теории Бора. Сравнивая (9) и (10), находим:

(см-1).

Соответствующая схема энергетических уровней и переходов между ними для водородоподобной атомной системы, построенная на основе анализа формул (8) и (9), приведена на рисунке 1.

Стационарное состояние с наименьшей энергией () называется основным, или нормальным, все остальные (, 3,…) – возбужденными. При  имеем  = 0 (формула 8). При <0 электрон связан с ядром и спектр его энергий дискретен (энергия квантована); при > 0 электрон свободен и его энергия имеет непрерывный спектр значений. Переход электрона с основного энергетического уровня на более высокоэнергетический уровень дискретного спектра есть возбуждение атома. В результате перехода электрона с одного из уровней дискретного спектра в область непрерывного спектра энергий атом превращается в несвязанную систему, то есть происходит его ионизация. Минимальная энергия, необходимая для ионизации атома из -го состояния, соответствует переходу электрона с -го уровня на уровень  и называется энергией ионизации .

Пользуясь схемой, приведенной на рисунке 1, легко проиллюстрировать сериальные закономерности в спектрах водородоподобных систем. Так, для атома водорода в серию Лаймана должны быть включены спектральные линии, соответствующие переходам из любых возбужденных состояний в основное состояние, а в серию Бальмера – из возбужденных состояний с энергиями > в первое возбужденное состояние, энергия которого равна .

При >>1 имеет место тесная связь между результатами теории Бора и соотношениями классической физики (принцип соответствия). Действительно, в этом случае частоты излучения кратны частоте обращения электрона вокруг ядра.

Принципы квантования, заложенные Бором, были развиты и сформулированы Зоммерфельдом для случаев эллиптических орбит. В соответствии с правилами квантования Бора - Зоммерфельда 

,

,

где  – азимутальное квантовое число,  – радиальное квантовое число. Азимутальным квантовым числом определяется момент импульса электрона:

.

Из решения задачи Кеплера следуют выражения для энергии электрона , длины большой  и малой полуосей эллиптической орбиты:

.                                                              (11)

                                                       (12)

,                                                                   (13)

где - главное квантовое число, =1,2,…, ,  - первый боровский радиус.

Как видно из формул (8) и (11), энергия электрона определяется главным квантовым числом  при его движении как по круговой, так и по эллиптической орбите, и не зависит от радиального и азимутального квантовых чисел, взятых по отдельности.

Из квантования эллиптических орбит следует (формулы (11)-(13)), что определенному значению энергии электрона  соответствует  эллиптических орбит с одинаковой большой полуосью и различными малыми полуосями, соответствующими значениям =1,2,…,.). Этот факт является примером вырождения энергетических уровней.

Теория Бора явилась важным этапом в понимании внутриатомных явлений. На основе теории Бора был классифицирован эмпирически полученный материал атомной и молекулярной спектроскопии. Она подготовила почву для осознания того, что для объяснения явлений микромира недостаточно классических понятий и классических законов. В области микромира нужны принципиально новые (квантовые) понятия и законы.

Вместе с тем теория Бора описывала только одноэлектронные атомные системы. Не объяснила она также образования молекул и закономерностей в их спектрах. В рамках этой теории остались нерешенными вопросы о поляризации излучения атомов и интенсивности спектральных линий. Самым же главным недостатком теории Бора явилась ее внутренняя противоречивость.

Тем не менее нельзя недооценивать значимость теории Бора как промежуточного этапа на пути к более совершенной и последовательной теории, какой является квантовая механика.

PAGE  3


С.Пашена

Е

0

1

2

3

4

5

n

С.Лаймана

С.Бальмера

Рисунок 1 - Схема энергетических уровней водородоподобной системы (без соблюдения масштаба)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23490. Латинский язык без труда/Latin: Easy Way 142.5 KB
  Допустим первый элемент выглядит так: Marcus Brutus Caesarem Содеявший Потерпевший Итак если вы знаете историю то сочетание имен в первом элементе фразы само подскажет вам какое действие ожидается что должно произойти. Marcus Brutus . А пока поверьте на слово что если бы Marcus Brutus был не убийцей а убитым он бы превратился в Marcum Brutum. Marcus Brutus Tulliam увидел .
23491. Сербский язык для начинающих: Учебник и разговорник 244.94 KB
  Б`рзалица Урок 1 Упознавање Милан: Здраво Аљоша1 Уђи Тата и мама нису код куће. Аљоша: Драго ми jе. Jа сам Аљоша. Драгана: Ти ниси из Београда Аљоша: Не нисам.
23492. Стилистика художественной речи 59 KB
  Два контекста речи словеснохудожественного произведения. Контакт между внешним отправителем и читателем непрямой и осуществляется через текст; гдоминирующую функцию художественного текста определяют как эстетическую. системы средств художественного выражения В.
23493. Стилистика художественной речи. Экстралингвистические характеристики художественного текста. Два контекста речи словесно-художественного произведения. Особенности языка художественной литературы 47 KB
  Ревзина Стилистика художественной речи Экстралингвистические характеристики художественного текста. Два контекста речи словеснохудожественного произведения. Контакт между внешним отправителем и читателем непрямой и осуществляется через текст; гдоминирующую функцию художественного текста определяют как эстетическую. системы средств художественного выражения В.
23494. Структуризация сетей 238 KB
  Типовые топологии небольших сетей обладают свойством однородности, то есть все компьютеры в такой сети имеют одинаковые права в отношении доступа к другим компьютерам. Такая однородность структуры делает простой процедуру наращивания числа компьютеров, облегчает обслуживание и эксплуатацию сети.
23495. Современный русский язык. Лексика. Фразеология 3.51 MB
  К славянским помимо восточнославянских относятся: южнославянские болгарский македонский сербохорватский словенский распространен в Словении частично в Австрии и Италии; западнославянские чешский словацкий польский лужицкий распространен в районах Дрездена и Котбуса.: Лингвистический энциклопедический словарь Гл. Свои слова есть у научных работников и тех кто готовится стать ими диссертабельный 'достойный быть темой диссертации' остепениться 'получить ученую степень защитив диссертацию' у проходящих и прошедших...
23496. Русский язык: Пособие для поступающих в вузы 2.92 MB
  При отборе материала особое внимание обращалось на вопросы которые представ ляют определенные трудности для учащихся в процессе обучения а также на ошибки во время вступительных экзаменов: подход к определению слова как части речи особенно в тех случаях когда слова совпадая по внешнему облику различаются грамматиче скими признаками; разграничение членов предложения формально не различающихся дополнение несогласованное определение; составное глагольное сказуемое обстоя тельство цели дополнение выраженное ин финитивом;...
23497. Современный русский язык: Учебник 3.16 MB
  Русский язык относится к группе славянских языков которые делятся на три подгруппы: восточную языки русский украинский белорусский; южную языки болгарский сербскохорватский словенский македонский; западную языки польский чешский словацкий кашубский лужицкий. Нормированность литературного языка заключается в том что состав словаря в нем регламентирован значение и употребление слов произношение правописание и образование грамматических форм слов подчиняются общепринятому образцу. Достаточно привести пример активного...
23498. Справочник по русскому языку. Пунктуация 968.01 KB
  Пунктуация РАЗДЕЛ 1 Знаки препинания в конце предложения и при перерыве речи 1. Точка ставится в конце законченного повествовательного предложения: Навстречу солнцу ползёт тёмная свинцовая громада. Точка не ставится в конце предложения после точки обозначающей сокращение слова: и др. отрезок находящаяся в начале предложения или текста и выраженная как правило формой именительного падежа существительного либо словосочетанием во главе с этой формой именительный темы или именительный представления называет лицо предмет явление...