28185

Линза как оптическая система. Аберрации линз

Доклад

Физика

На рисунке 1 введены обозначения: a1 – расстояние от вершины первой преломляющей поверхности до осевой точки A предмета; a´1 – расстояние от вершины первой преломляющей поверхности до изображения A´ получаемого после преломления на ней; a2 – расстояние от вершины второй преломляющей поверхности до точки A´; a´2 – расстояние от вершины второй преломляющей поверхности до изображения A´´ построенного линзой. Для любой центрированной оптической системы выполняется условие Лагранжа – Гельмгольца: ...

Русский

2013-08-20

126 KB

22 чел.

48. Линза как оптическая система. Аберрации линз

Оптическую систему называют центрированной, если центры кривизны всех поверхностей лежат на одной прямой, которая называется главной оптической осью системы. Идеальной оптической системой называют систему, отображающую любую точку пространства предметов в пространстве изображений стигматически – пучки лучей, идущие от любой точки предмета, после прохождения систему пересекаются в одной точке. Такие точки называются сопряженными.

В идеальной оптической системе каждой прямой или плоскости пространства предметов должна соответствовать сопряженная прямая или плоскость пространства изображений. В теории идеальной оптической системы устанавливается соответствие между точками, линиями или плоскостями пространства предметов и пространства изображений. Идеальную оптическую систему с достаточной точностью можно считать центрированной оптической системой при рассмотрении хода параксиальных пучков, то есть пучков, распространяющихся под малыми углами к оптической оси системы.

Простейший пример идеальной центрированной оптической системы представляет линза – оптический элемент, изготовленный из прозрачного оптического материала с показателем преломления n и   ограниченный двумя сферическими поверхностями с радиусами кривизны R1 и R2 соответственно (рисунок 1). Радиус кривизны поверхности считается положительным, если центр кривизны С ее находится справа от поверхности (поверхность выпуклая), и отрицательным, если центр кривизны лежит слева от поверхности (поверхность вогнутая); отсчет производится от вершины поверхности О к центру. При преломлении или отражении лучей на сферической поверхности за начало отсчета принимается вершина поверхности; отрезки считаются положительными, если они откладываются вдоль оси справа от вершины поверхности по направлению распространения света, и отрицательными, если они откладываются влево от вершины.

На рисунке 1 введены обозначения:

-a1 – расстояние от вершины первой преломляющей поверхности до осевой точки A предмета;

a´1 – расстояние от вершины первой преломляющей поверхности до изображения A´, получаемого после преломления на ней;

a2 – расстояние от вершины второй преломляющей поверхности до точки A´; 

 a´2 – расстояние от вершины второй преломляющей поверхности до изображения A´´, построенного линзой.

Учитывая правила знаков, запишем инвариант Аббе для каждой из поверхностей линзы:

,                                                               (1)

,                                                            (2)

где n1 и n2 – показатели преломления среды, находящейся соответственно слева и справа от линзы, которая изготовлена из материала с показателем преломления n.

Считая линзу тонкой, примем . Будем считать также, что по обе стороны линзы находится одинаковая среда: . Тогда, комбинируя уравнения (1) и (2), получим формулу тонкой линзы:

.                                                       (3)

Считая поочередно каждое из расстояний  и  стремящимися к бесконечности, по (3) можно определить соответственно заднее и переднее фокусное расстояние линзы:

- при  имеем  и

;                                                            (4)

- при  имеем  и

.                                                           (5)

Сравнивая формулы (4) и (5) видим, что переднее и заднее фокусные расстояния линзы, по обе стороны от которой находится одинаковая оптическая среда, одинаковы по модулю. Фокусные расстояния положительны, когда их направление совпадает с направлением распространения света; начала фокусных отрезков лежат на главных плоскостях – сопряженных плоскостях, перпендикулярных главной оптической оси, в которых линейное увеличение равно +1. Всякий отрезок, лежащий в одной из этих плоскостей, изображается равным и одинаково расположенным отрезком, лежащим в другой плоскости. Для собирающей линзы f > 0, для рассеивающей линзы f < 0. Величина, обратная фокусному расстоянию – оптическая сила линзы: .

Для любой центрированной оптической системы выполняется условие Лагранжа – Гельмгольца:

,                                              (6)

где  - размеры объекта, находящегося перед системой,  - размеры изображения, формируемого всей системой, в которой существует k поверхностей преломления.

Для одиночной линзы  условие Лагранжа – Гельмгольца принимает вид:  где индексом 1 отмечены соответственно:

- высота предмета, находящегося перед линзой;

- показатель преломления среды, в которой расположен предмет;

- угол, составленный с оптической осью лучом, падающим на линзу из осевой точки предмета (рисунок 1);

индексом 2 отмечены соответствующие параметры, определённые в пространстве изображений (справа от линзы). Штрихом отмечены параметры, аналогичные описанным, но относящиеся к изображению A´, которое было бы построено первой преломляющей поверхностью линзы в отсутствие второй преломляющей поверхности («полубесконечная» среда).

В теории идеальной оптической системы определяется ряд кардинальных точек и плоскостей, задавая которые, можно полностью описать все свойства оптической системы и находить положение изображения, не рассматривая реального хода лучей в системе. В число таких кардинальных элементов включают фокусы и фокальные плоскости, главные точки и главные плоскости. Для тонкой линзы главные плоскости совпадают между собой и содержат оптический центр линзы.  

Продемонстрируем правила определения положения изображения предмета, сформированного тонкой линзой, с использованием лучей, идущих параллельно главной оптической оси линзы (красный луч), через её оптический центр (голубой луч) и через передний главный фокус (сиреневый луч). Заметим, что ход сопряжённых лучей в пространстве предметов и пространстве изображений обратим.

а) Собирающая тонкая линза, предмет на расстоянии, большем удвоенного фокусного расстояния: a1>2f

Изображение действительное (получено при пересечении преломлённых лучей), перевёрнутое (y´ < 0), уменьшенное (), расположено между фокусом и точкой, удалённой от линзы на удвоенном фокусном расстоянии (f  ≤  а2  ≤ 2f).

б) Собирающая тонкая линза, предмет на расстоянии большем фокусного, но меньшем удвоенного фокусного расстоянии: f  ≤  а1  ≤ 2f

.

Изображение действительное (получено при пересечении преломлённых лучей), перевёрнутое (y´ < 0), увеличенное (), расположено на расстоянии большем удвоенного фокусного расстояния: а2  > 2f.

в) Собирающая  тонкая линза, предмет расположен на расстоянии, меньшем фокусного расстояния: a1 < f

Изображение мнимое (получено при пересечении продолжений преломленных лучей), прямое (y´ > 0), увеличенное  (), расположено в пространстве предметов (слева от линзы) на расстоянии, большем фокусного расстояния.

г) Рассеивающая тонкая линза – при любом расположении предмета относительно линзы изображение получается прямое, мнимое, уменьшенное

Построение изображений в толстых линзах выполняется аналогично, но учитывается, что главные плоскости H и H´ не совпадают. Продемонстрируем построение изображения с использованием собирающей линзы.

Лучи, проведённые через узловые точки K и K´, параллельны друг другу. Если узловые точки совместить (при этом совмещаются и главные плоскости H и H´ и линза становится тонкой), то эти лучи сливаются в один, проходящий через оптический центр тонкой линзы.

Аберрации линз

В области параксиальных лучей образуется идеальное изображение. Однако практическое использование оптических систем, ограниченных параксиальной областью, чрезвычайно мало. При увеличении площади сечения пучков лучей и расширении области пространства, изображаемой реальной оптической системой, ход лучей в системе и строение пучков значительно отличаются от того, которое имеет место в идеальной оптической системе. В результате реальные оптические системы дают изображение, лишь более или менее приближающееся к идеальному. В связи с этим необходим критерий оценки, по которому можно судить о степени приближения реальной оптической системы к идеальной и с помощью которого можно оценить качество изображения. Одним из таких критериев являются аберрации – погрешности изображений. Эти погрешности обусловлены отклонениями лучей от тех направлений, по которым они должны были бы идти в идеальной оптической системе. Таким образом, аберрации можно рассматривать как нарушение гомоцентричности пучков лучей или сферичности волновых поверхностей, а также как нарушение расположения точки изображения при действии реальной оптической системы по сравнению с идеальной.

Различают монохроматические и хроматические аберрации  оптических систем. Монохроматическими аберрациями называют погрешности изображения, которые имеют место для лучей определенной длины волны. Сущность хроматических аберраций заключается в том, что при прохождении через преломляющие поверхности излучения сложного спектрального состава оно разлагается на составные спектральные части вследствие дисперсии света. При этом изображение представляет собой сумму большого числа монохроматических изображений, которые не совпадают между собой ни по положению, ни по размерам. Изображение становится окрашенным.

Для математического описания монохроматических аберраций их делят на аберрации третьего порядка и аберрации высших порядков, а хроматические – на аберрации первого порядка, третьего порядка и аберрации высшего порядка. В свою очередь, среди монохроматических аберраций третьего порядка различают:

  •  сферическую аберрацию;
  •  кому;
  •  астигматизм;
  •  кривизну изображения;
  •  дисторсию.

Нарушение гомоцентричности широкого пучка лучей, прошедшего через оптическую систему, при сохранении симметрии его относительно оси пучка называется сферической аберрацией. В плоскости параксиального изображения вместо точки образуется фигура рассеяния в виде окружности, радиус которой пропорционален кубу радиуса окружности в плоскости входного или выходного зрачка.

Нарушение симметрии широкого пучка лучей, вышедшего из точки предмета, расположенной вне оптической оси, называют аберрацией кома. Асимметрия широкого плоского меридионального пучка лучей называется меридиональной комой. Фигура рассеяния напоминает комету; отсюда и название аберрации – кома.

Оптические системы, у которых исправлены сферическая аберрация и кома, называются апланатическими.

Астигматизм заключается в том, что лучи бесконечно узкого наклонного пучка, идущего вблизи главного луча в меридиональной и сагиттальной плоскостях, после прохождения оптической системы не собираются в одной точке. Лучи, идущие в меридиональной плоскости, пересекаются в одной точке (), а лучи, идущие в сагиттальной плоскости, –  в другой ( ). По этой причине изображения будут представлены в пределе отрезками прямых, а в действительности имеют вид овалов; в точке  (в меридиональной плоскости) овал расположен горизонтально, в точке  (в сагиттальной плоскости) – вертикально. Расстояние между точками  и  называется астигматической разностью и является мерой астигматизма.

Дисторсия проявляется как нарушение подобия изображения предмету. Она не нарушает резкость изображения, а вносит искажения в форму изображения, например, прямая изображается дугой. Оптическая система, свободная от дисторсии, называется ортоскопической. Дисторсия проявляется в том, что правильный квадрат изображается в виде подушки (подушкообразная дисторсия, или положительная дисторсия, так как величина действительного изображения больше теоретического) или бочки (бочкообразная, или отрицательная дисторсия), или еще более сложной фигуры. Обычно одна часть изображения является бочкообразной, а другая – подушкообразной. Особо большое значение дисторсия приобретает в оптических измерительных приборах, таких, где по величинам изображений судят о координатах точек предмета (аэрофотографические, астрофотографические, картографические объективы).

В отличие от монохроматических аберраций хроматические аберрации проявляются уже в параксиальной области. Параксиальные изображения предмета, которые дают оптические системы в лучах с различной длиной волны, различаются как по положению, так и по размерам из-за различия  оптических характеристик материалов, из которых изготовлены оптические детали.

Хроматические аберрации первого порядка включают:

  •  хроматизм положения – положение изображения, построенного светом разной длины волны неодинаково;
  •  хроматизм увеличения – изображение предмета формируется излучением разной длины волны с различным увеличением;
  •  вторичный спектр – система, ахроматизированная для параксиальных лучей с длинами волн  и , ещё не даёт вполне бесцветного изображения как точки, лежащей  на оси, так и точек, расположенных вне её. Изображения, образованные пучками других длин волн, будут располагаться на различных расстояниях и будут иметь разную величину. Имеет место так называемый вторичный спектр (остаточная хроматическая аберрация).

Оптические системы, у которых исправлен  вторичный спектр, называют апохроматическими, или апохроматами. Если же вторичный спектр исправлен только частично, то системы называют полуапохроматическими, или полуапохроматами. Апохроматы предназначены для цветной фотографии и проецирования цветных изображений (полиграфия, кинематография, телевидение).

Хроматические аберрации третьего порядка можно разделить на:

  •  сферохроматическую аберрацию;
  •  цветную кому;
  •  цветной астигматизм;
  •  цветную кривизну;
  •  хроматическую дисторсию.

По происхождению они аналогичны соответствующим монохроматическим аберрациям, но различны по величине для изображений, сформированных излучением разной длины волны.


Рисунок 1
– К выводу формулы тонкой линзы

А´´

А

-a1

C2

С1    A’

1

2

2

n

n1

n2

А

u1

u2

u’

-2f

-f

f

2f

y

-y´

-2f

-f

f

2f

y

-y´

y

-2f

-f

f

2f

y

-f

f

-f

f

H

K


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56287. Прощавай, початкова школа! 64.5 KB
  За час навчання вивчено 33 літери українського алфавіту. Вивчили багато правил українського правопису, навчилися читати, писати, розв’язувати задачі, приклади, складати твори.
56288. Сценарій свята: «А вже весна, а вже красна…» 50 KB
  Мета: ознайомити дітей з давніми народними традиціями формувати в дітей уявлення про усну народну творчість розвивати бажання вивчати усну народну творчість виховувати любов до природи до матері.
56289. National Symbols of Ukraine 102.5 KB
  As every independent country in the world Ukraine has its own national symbols: a national anthem “Ukraine Hasn’t Died Yet”, a state flag and a national emblem – trident.
56290. Розвивальні функції уроків узагальнення та систематизації знань школярі 343 KB
  Суттєві зміни у змісті стосуються діяльності спрямованої на застосування знань зокрема діяльності творчого характеру створення умов за яких учень стає суб’єктом навчального процесу який зорієнтований на розвиток особистості на оволодіння ним мисленнєвих операцій самостійного відкриття невідомого.
56291. Сценарій позакласного заходу. Вечір відпочинку «Честь имеем представиться… или… Разрешите с вами познакомиться» 42 KB
  Коллектив нашого взвода желает всем присутствующим здесь очаровательным гостьям, чтобы они всегда оставались такими же красивими и улыбающимися.
56292. Сценарий праздника «Прощание с начальной школой» 75.5 KB
  Мы первым предоставляем вам слово поздравить наших выпускников. Наши звезды – выпускники 4 класса. Исполнение песни Танцуй сидя Ведущие: А сейчас предлагаем вашему вниманию передачу Умники и умницы выходят...
56293. Сценарій шкільного заходу «Любіть Україну!» 53.5 KB
  Мета: поглибити знання дітей про традиції українського народу, історію, географію України; розвивати пам’ять, логічне мислення, мову; збагачувати словниковий запас; прищеплювати любов до рідної землі,повагу до народних традицій; виховувати гідних громадян своєї Батьківщини; почуття гордості за Україну.
56294. Сценарій новорічного свята для початкових класів „Казкова феєрія” 108.5 KB
  В чудеса не вірять діти Бо відомо всім давно Що чудес ніде не стріти Крім казок і крім кіно. ВЕДУЧИЙ: Діти а кого немає на нашій ялинці Діда Мороза. Діти кличуть. Відгадайте діти мої загадки: Крешуть лід ріжуть лід залишають дивний слід.
56295. Батько і мати – два сонця гарячих (Сценарій виховного заходу) 86 KB
  Цей виховний захід повинен спрямувати молоде покоління на ствердження в їхній свідомості почуття власної гідності вірності рідній Батьківщині свободі і тверезості дій у думках і вчинках.