2871

Стационарные задачи квантовой механики

Контрольная

Физика

Стационарные задачи квантовой механики Итак – уравнение Шрёдингера для стационарных состояний, а волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет вид , где. Плотность вероятности для частицы при это...

Русский

2012-10-20

10.61 MB

187 чел.

Стационарные задачи квантовой механики

Итак – уравнение Шрёдингера для стационарных состояний

,

а волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет вид

, где    .

Плотность вероятности для частицы при этом

 

т.е. не зависит от времени.

В стационарных состояниях от времени также не зависят  вектор плотности потока вероятности      и  средние значения физических величин.

 

Условие нормировки волновой функции для таких состояний принимает вид

Частица в потенциальной яме с непроницаемыми стенками.

 Одномерная потенциальная яма

Потенциальная энергия частицы внутри ямы ( 0 < x < a )  постоянна и равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность.

5 - 2

Уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль оси  ОХ:

Так как вне ямы   , то для выполнения этого условия необходимо, чтобы   .  В силу непрерывности функция  Ψ(х) должна обращаться в нуль и на границах ямы.

Таким образом, задача о движении частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с  непроницаемыми стенками сводится к решению уравнения

   при   0 < x < a

 с граничными условиями   Ψ(0) = 0    и    Ψ(а) = 0 .

Введя обозначение         получаем     . Из теории колебаний решением этого уравнения является выражение

       .

Используя граничное условие  Ψ(0) = 0  получаем  В = 0 (или  )  и

.

Используя граничное условие  Ψ(а) = 0  получаем

 

 и если   . то   ,   где  n = 1; 2; 3 …

 Значение   n = 0  не удовлетворяет условию задачи т.к. при этом   , а это означает, что частица в яме отсутствует.  

 

Таким образом     ,      где   n = 1; 2; 3 …

Видно, что  частица,  находящаяся

в   потенциальной   яме,    может    иметь

только  дискретные, квантовые значения

энергии.

Число     n    называют   квантовым

числом, а соответствующее ему значение

Еn  –   уровнем    энергии.   Уровень     Е1

называется  основным  состоянием, а  все

остальные   –   возбуждёнными   ( n = 2  -

- первое возбуждённое состояние).

5 - 3

Энергетическое расстояние между соседними уровнями

Для молекулы газа с   т0 ~ 10-27 кг в сосуде размером   а = 0,1 м  и  n > 1 получаем  

 эВ ,

т.е.    намного меньше энергии теплового хаотического движения молекулы   (  эВ )  и дискретностью энергетического спектра движущейся молекулы можно пренебречь.

Для свободного электрона в атоме ( м ) получаем   эВ и это сравнимо с энергией связи электрона в атоме   ЕСВ ~ 10 эВ.

 Волновая функция частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме

Множитель  А  находим из условия нормировки  Ψ-функции:

                  и  тогда  окончательно

  при   ( 0 < x < a ). 

 В основном состоянии частица с наибольшей вероятностью находится в середине ямы, а в 1-ом возбуждённом состоянии  ( n = 2) вероятность нахождения частицы в центре ямы равна нулю, хотя пребывание частицы в левой и правой половинах ямы равновероятно.

5-4

 Плотность вероятности нахождения частицы

в основном состоянии:

,

в первом возбуждённом состоянии:

.

Вероятность нахождения частицы в области    x1 < x <  x2  , где  x2 <  a

в основном состоянии:

,

в первом возбуждённом состоянии:

.

 Двумерная потенциальная яма

 

Рассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Где  Ώ =  - прямоугольная область на плоскости (х,у).

Вне потенциальной ямы   .

Поскольку движение частицы в яме вдоль осей   ох   и   оу   происходит независимо, то

,

а уравнение Шрёдингера имеет вид

  или

5 - 5

Разделив левую и правую часть  на      получаем

Поскольку в правой части уравнения стоит постоянная величина, то и слева оба слагаемых должны быть постоянными величинами, и представив энергию   Е   в виде двух слагаемых   Е = Е1 + Е2   можно  разделить уравнение Шрёдингера для двумерной задачи на два одномерных уравнения:

   и      ,

решения которых такие же как и для одномерного случая:

   и       ,   где   n1; n2 = 1,  2,  3, …

В результате  нормированная волновая функция частицы, находящейся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками:

.    а  энергия      .

Если потенциальная яма квадратная   ( а1 = а2 = а)  то

,    где    n1; n2 = 1, 2, 3, …

Видно, что одному и тому же энергетическому уровню   Еn1,n2 , определяемому квантовыми числами   n1 и    n2  при     n1   n2  соответствуют два различных состояния частицы, описываемых волновыми функциями  Ψn1,n2     и    Ψn2,n1.

Энергетический уровень, которому соответствует несколько состояний частицы называется вырожденным энергетическим уровнем.

Энергетический уровень, которому соответствует только одно состояние частицы, называется невырожденным. Для квадратной потенциальной ямы невырожденными являются энергетические уровни, для которых   n1 = n2 .  

5 - 6

 Трёхмерная потенциальная яма (потенциальный ящик)

Здесь   G = - внутренняя область прямоугольного параллелепипеда.

Вне ящика   , а внутри    .

Используя тот же метод, что и для двумерной ямы получаем

;   ;   

,   где

n1, n2, n3 = 1, 2, 3, …  - квантовые числа.

В кубическом потенциальном ящике  ( а1 = а2 = а3 = а )  получаем

.

 Энергетические уровни в кубической потенциальной яме, для которых  n1 = n2 = n3 , являются невырожденными, все остальные уровни вырождены.

 Число вырожденных состояний определённого энергетического уровня называется кратностью вырождения уровня. Вопрос о кратности вырождения энергетических уровней в кубической яме рассматривается в задаче на семинарском занятии.

5 - 7

Плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма для основного состояния в кубической яме:

.

Вероятность нахождения частицы в основном состоянии в некоторой области     ,   где     x2, y2, z2 < a 

.

 Cферически-симметричная потенциальная яма радиусом  а

U( r ) = 0   при   r < a     и    U( r ) =     при   r > a .

Уравнение Шрёдингера для области    r < a :

В сферически-симметричной яме  Ψ-функция не зависит от угловых координат   θ   и   φ   и можно использовать только радиальную составляющую оператора Лапласа

,  т.е.

5 - 8

     или       ,     где     

Для решения этого уравнения используют подстановку   . Тогда

После подстановки получаем

Решение этого уравнения имеет вид

         

Так как    Ψ( r )     при   r = 0  то  получаем   φ0 = 0 .

Используя условие непрерывности  Ψ –функции, имеем

                ,   где      n = 1, 2, 3, …

  ( c учётом того, что     ) .

                      

Коэффициент  А  находим из условия нормировки:   

 

     

                                                                                                                                           

Таким образом

.

 Плотность вероятности  (вероятность нахождения частицы в шаровом слое единичной толщины) в основном состоянии:

.

Лекция 6

Квантовый гармонический осциллятор

( параболическая потенциальная яма)

Гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твёрдых телах, молекулах и т.д.

На рисунке слева изображена потенциальная энергия   U   взаимодействия атомов в двухатомной молекуле ( типа  NaCl )  в зависимости от расстояния   r   между ядрами атомов. Из вида кривой   U( r ) следует, что атомы в молекуле могут совершать колебания относительно равновесного расстояния   r0  между ядрами.

Квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы вдоль оси  ох   в параболической потенциальной яме под действием возвращающей квазиупругой силы  (рисунок справа)    Fx =  – kx .

Выражение для потенциальной энергии такого осциллятора имеет вид

,   где  

   -  собственная частота классического гармонического осциллятора.

Графиком этой функции  U( x )  является парабола.

Точки  х = – а0  и   х = а0 , в которых полная энергия   E = U( x ) , являются для частицы точками поворота.

Амплитуду колебаний находим из выражения

          .

6 - 2

Уравнение Шрёдингера в данном случае имеет вид

.

Это уравнение имеет конечные, однозначные, непрерывные и гладкие решения (собственные функции)  при собственных значениях  Е , равных

,   где   n = 0, 1, 2, 3, …

Энергетические уровни расположены на одинаковом расстоянии друг от друга    .

Минимальная энергия     и её называют нулевой энергией.

Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно для всех квантовых систем и является следствием принципа неопределённости.

 Для квантового осциллятора возможны переходы лишь между соседними «стационарными» уровнями , при которых квантовое число   n изменяется на единицу   n =  ( правило отбора ) . При каждом из этих переходов  испускается  или   поглощается   фотон  с  энергией    ,  где   его циклическая частота.

На следующем рисунке приведены графики распределения плотности вероятности  Ψ2( х )  месторасположения частицы при  n = 0 , 1, 2, 9.

      n = 0                     n = 1                      n = 2                                 n = 9

 Жирными отрезками на оси  ох  показаны интервалы, на концах которых   E = U.   Классическая частица  при колебаниях за пределы интервала заходить не может. Квантовая частица может быть обнаружена и вне пределов этих интервалов.

6 - 3

Одномерный потенциальный порог и барьер

 Движение частицы в области потенциального порога

 Потенциальным порогом ( потенциальной стенкой ) называют силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы имеет вид

Пусть слева на порог налетает частица с полной энергией    Е . На языке квантовой теории это означает, что на порог слева  «падает» дебройлевская волна  

.

Чтобы удовлетворить граничным условиям для   Ψ   и      при   х = 0, должны существовать как прошедшая волна, так и отражённая. Так как    ω  в этих волнах одна и та же   , то в расчётах можно ограничиться только координатной частью этих волн, а именно    Ψ( х ).

Задача состоит в том, чтобы сначала найти амплитуды отражённой и падающей волн, а затем коэффициенты отражения   R   и  пропускания    D .

Уравнение Шрёдингера для частицы в данном силовом поле имеет вид:

в области  I    ( x < 0 )            

в области  II   ( x > 0 )    

1).Низкий порог   ( Е > U0 )

Общее решение уравнения Шрёдингера имеет вид:

,          где        

,   где    

6 - 4

 Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой   А1 , причём вещественной, а отражённая – амплитудой    В1 . В области  II ( x > 0) имеется только проходящая волна, поэтому   В2 =0 .

Из условия непрерывности   Ψ   и      в точке   х = 0   следует, что       или         и

   или    

Тогда

    и     

Для определения коэффициентов   R   и    D   вводят понятие  плотности потока вероятности   j  ,  вектор которого определяется через волновую функцию следующим образом:

В соответствии с видом   Ψ-функции для падающей, отражённой и прошедшей волн имеем:

jпад ~ k1A12  ,     jотр ~ k1B12     и     jпрош ~ k2A22

Теперь можно записать

для коэффициента отражения

для коэффициента пропускания

Видно, что   R + D = 1 , что и должно быть по определению. Коэффициенты   R  и   D  не зависят от направления движения частицы: слева направо или наоборот.

В классическом случае при   E > U0  должно быть   R = 0.

 Эффект надбарьерного отражения ( R > O ) является чисто квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств.

2). Высокий порог  ( E < U0 ).

В этом случае     является чисто мнимым. Коэффициент отражения      т.к. числитель и знаменатель –

6 – 5

величины комплексно-сопряжённые. Таким образом, отражение будет полным, а  D = 0.

Но  волновая функция при   x > 0   не обращается в нуль, т.е. микрочастицы могут проникать в области, которые для макроскопических частиц недоступны.

Плотность вероятности нахождения частицы в области   II   определяется выражением

и зависит от массы  т0 , разности   ( U0E )  и расстояния от границы порога.

Для электрона с   (U0E) = 1 эВ   вероятность нахождения на расстоянии от порога сравнимым с размерами атома   ( х = 10-10 м ) достаточно велика, а на расстоянии в 10 раз большем   ( х = 10-9 м ) ничтожно мала.

Отражение хотя и является полным   (R = 1) не обязательно происходит на самом пороге. Частица может проникнуть в область  II , а затем выйти из неё ( аналогично полному внутреннему отражению в оптике).

 Прохождение частицы через потенциальный барьер.

Рассмотрим одномерный прямоугольный потенциальный барьер

Частица движется слева направо. Слева от барьера имеем падающую и отраженную волну, а за барьером только прошедшую волну.

Уравнение Шрёдингера для областей   I,   II   и   III    имеет вид:

Где

 ,     

6 - 6

Волновые функции, являющиеся решением этих уравнений

Из решения этой системы уравнений получают, применив некоторые упрощающие допущения, выражение для  коэффициента прозрачности   D   прямоугольного барьера

 Для потенциального барьера произвольной формы

Пределы интегрирования    х1    и    х2    определяют из решения уравнения     U( x ) = E .

 Туннельный эффект

Прохождение частицы через потенциальный барьер, высота которого превышает энергию частицы, получило название туннельного эффекта (частица, проходя под барьером, как бы движется в туннеле). При прохождении через барьер полная энергия частицы    Е    не меняется.

 Туннельный эффект представляет собой чисто квантовое явление.

Этим эффектом объясняются многие  физические явления; например, холодная эмиссия электронов из металла (автоэмиссия), альфа-распад, спонтанное деление ядер и др.

 

6 - 7

 На левом рисунке представлен потенциальный барьер треугольной формы,  имеющий место на границе металл-вакуум в явлении холодной эмиссии электронов из металла. Электрон в металле находится в потенциальной яме глубиной    U0 .   Если вблизи поверхности металла имеется электрическое поле напряжённостью     ,  способствующее выходу электронов из металла, то потенциальная энергия электрона вблизи поверхности металла может быть представлена в виде

При туннелировании электронов через этот барьер происходит их выход  из металла даже при низких температурах.

На правом рисунке представлен потенциальный барьер  α-частицы в поле ядра. На больших расстояниях   r   между   α-частицей и ядром действуют силы кулоновского отталкивания и потенциальная энергия частицы

,    где

Ze заряд дочернего ядра;    2е – заряд  α-частицы.

Внутри ядра  (r < r0 )   α-частица находится в потенциальной яме, выйти из которой она может только за счёт туннельного эффекта.

 Прохождение частицы над барьером     ( E > U0 )

Частица массой   т0  падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой   U0   и шириной   а . Энергия частицы   Е  больше высоты барьера.

В этом случае решение системы уравнений Шрёдингера для трёх областей:  I – ( x < 0 ),   II – ( 0 < x < a ),    III – ( x > a ) даёт следующие значения для коэффициента прохождения   D .

Частица беспрепятственно проходит над таким барьером   ( D = 1 )  при значениях энергии равных

,   где    n = 1, 2, 3, …       ( sin = 0 )

При других значениях энергии  существует отличная от нуля вероятность отражения частицы от барьера.

6 - 8

 Пролёт частицы над потенциальной ямой  ( E > U0 ) конечной глубины

Частица пролетает над потенциальной ямой конечной глубины   U0   и ширины   а   слева направо вдоль оси   ох.

Решая систему уравнений Шрёдингера для трёх областей, получаем выражение для коэффициента прохождения   D ,  характеризующего вероятность прохождения частицы над ямой:  

Коэффициент прохождения   D   не зависит от соотношения между энергией частицы и глубиной потенциальной ямы и в общем случае оказывается меньше единицы (частица может отразится от потенциальной ямы даже если   E > U0  ). Данное явление, полностью отсутствующее в классической физике, объясняется наличием у частицы волновых свойств.

Частица не испытывает отражения на границах ямы  ( D = 1 ) только если   sin  = 0 . Это условие выполняется при значениях энергии частицы

,   где   n = 1, 2, 3, …

Рассмотренная модель поведения частицы вблизи симметричной прямоугольной потенциальной ямы конечной глубины хорошо качественно описывает движение электрона вблизи атома. В частности, проведённый анализ даёт квантово-механическое объяснение эффекта Рамзауэра, где наблюдалась аномальная прозрачность атомов инертных газов для пучка электронов при определённых значениях кинетической энергии  (K = EU0).

Условие      можно представить в виде                (λБ – длина волны де Бройля электрона внутри ямы ). Это условие определяет гашение за счёт интерференции волн, отражённых от двух границ ямы аналогично просветлению оптики при интерференции двух электромагнитных волн от двух сторон просветляющей тонкой плёнки.

6 - 9

КОШКА  ШРЁДИНГЕРА

Кошка ( или кот ) Шрёдингера – герой кажущегося парадоксальным мысленного эксперимента Эрвина Шрёдингера, которым он хотел продемонстрировать неполноту квантовой механики при переходе от субатомных систем к макроскопическим.

Кошка помещена в закрытый ящик, где на неё направлен ствол ружья. В ящике находится также микрочастица, при попадании которой в курок ружья, ружьё стреляет и кошка погибает.

Если частица находится в первом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией   Ψ1 , в котором вероятность обнаружить частицу в области вблизи курка равна нулю, то кошка в ящике жива.

Пусть в состоянии    Ψ2   вероятность нахождения частицы вблизи курка равна единице. В этом случае кошка мертва.

Согласно принципу суперпозиции

И непонятно жива или мертва кошка?

 

Системы, в которых формально объединены как классические так и квантовые объекты не всегда корректны для исследования.

Лекция 7

Операторы физических величин

Ранее было сказано, что состояние квантовой частицы определяется не координатами и импульсом, а заданием  Ψ-функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля ( 1-ый постулат квантовой механики ).  Волновая функция, описывающая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам и другим  динамическим характеристикам частицы, таким как кинетическая энергия, момент импульса  и др.

 Таким образом  Ψ-функция полностью определяет не только «положение» частицы, но и все её динамические характеристики.

Для получения информации о физических величинах, связанных с движущейся частицей, в квантовой механике  разработан специальный математический аппарат, в котором используют операторы физических величин и результаты их действия на волновую функцию.

 Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Примером оператора могут служить умножение на  х , или на какую-либо функцию   f(x),  дифференцирование  по   х  т.е.   ;    ,  операторы набла - ,  лапласиан -  и  т.д.

В квантовой механике операторы принято обозначать буквами со «шляпкой», например ,  ,  а его действие на некоторую функцию   f( x )  записывают как     .

 Некоторые  свойства операторов:

1). Операторы можно складывать:     .   Действие такого суммарного оператора на любую функцию   f( x)   даёт результат

2). Под произведением операторов      понимают оператор, результат действия которого на любую функцию   f(x)   равен

 .

Т.е. функция   f(x)  сначала подвергается действию оператора   ,  а затем полученный результат – действию оператора    .

Следует иметь ввиду, что не всегда    .  Если такое равенство соблюдается, то это значит, что операторы      и     коммутируют друг с другом   (коммутирующие операторы ).

Пример некоммутирующих операторов – это   х  и   :

,       а                       .

7 - 2

 3). Оператор        называют  линейным, если для любых двух функций f1   и    f2   и любых постоянных    а1   и   а2   выполняется соотношение

.

С линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.

4). Если       то    .

Представление физических величин операторами

в квантовой механике

 Второй постулат квантовой механики  - каждой физической величине соответствует определённый оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.

  1.  Оператор координаты

;     ;     .

.

  1.  Оператор импульса

;      ;     ;

.

3.  Оператор квадрата импульса

4. Оператор момента импульса

=

  1.  Оператор квадрата момента импульса

7 - 3

При решении задач часто бывает удобно записывать    в cферической

системе координат  ( r, θ, φ )

,   где

  -        угловая  часть  оператора  Лапласа в  

                                                                     сферической системе координат

  1.  Операторы энергий

Кинетическая энергия в классической механике     

В соответствии со вторым постулатом получаем

Для потенциальной энергии    в  стационарном силовом    поле   

получаем:     .

Оператор полной энергии

Этот    оператор   называют   оператором   функции   Гамильтона   или

гамильтонианом, который является основным оператором квантовой механики, определяющим все особенности квантовой системы.

 Уравнение Шрёдингера в операторной форме    принимает вид:

Временное   –     

Для стационарных состояний    –     

  

 Для чего используются операторы квантовой механики?

 Во первых:   для определения среднего значения любой физической величины.

 Во вторых:  состояние, в котором физическая величина  Q   имеет определённое  значение  ( так называемое  собственное состояние ), описывается  Ψ-функцией, являющейся решением уравнения

Примером такого уравнения является уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.

Физический смысл могут иметь лишь такие решения этого уравнения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Эти условия называются естественными  или  стандартными.

7 - 4

Функции, являющиеся решением данного уравнения и удовлетворяющие естественным условиям называются собственными функциями оператора    .

Те значения величины   Q , при которых эти решения существуют, называются  собственными значениями физической величины   Q , например, собственные значения энергий в потенциальных ямах.

Набор (спектр) собственных значений физической величины   Q  иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным. Примером дискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которые  состоят из ряда отдельных тонких линий.

Рассмотрим несколько задач о нахождении спектров собственных значений:

1). Координата   х

           и        т.е.  спектр непрерывный.

2). Проекция импульса   рх

                   

Функция   Ψ   определена при всех значениях   рх   т.е. спектр собственных значений   рх   непрерывен   ( ).

3). Проекция момента импульса   Lz

                   

Собственные функции оператора      должны быть однозначными функциями. Так как угловая координата    φ   является циклической переменной, то условие однозначности собственной функции сводится к условию её периодичности :

Тогда                      ,   где     Следовательно спектр дискретный.

Значение константы        выбрано из условия нормировки

7 - 5

4). Квадрат момента импульса    L2

 

Спектр собственных значений оператора       оказывается дискретным, т.е. уравнение        имеет решения только для значений

,   где   l = 0; 1; 2; 3; …

Собственные функции оператора            имеют вид:

         l = 0; 1; 2; 3; …          .

 Задача

 

Найти собственные значения оператора      , принадлежащее собственной функции     ,   где   С – постоянная.

Решение:

Т.к.      то    .

Но    

Следовательно      А =4 .

Лекция 8

Измерение физических величин в квантовых системах

Пусть известна волновая функция, описывающая состояние частицы в квантовой системе. Каков будет результат измерения физической величины   Q    в этой системе?

 Третий постулат квантовой механики: в результате измерения физической величины    Q    в любой квантовой системе могут быть получены только такие значения, которые являются собственными значениями оператора     , соответствующего этой величине.

 

Этот постулат устанавливает связь между теорией и возможностью её экспериментальной проверки.

Так, например, используя найденные спектры собственных значений операторов      и    ,  можно утверждать, что при измерении модуля орбитального момента импульса атомов всегда будут получаться значения   из набора        ( l = 0; 1; 2; … ), а для проекции момента импульса на направление    z   в экспериментах будут получены значения

,   

Какое конкретное собственное значение   Qn    оператора       будет результатом измерения физической величины    Q    в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией   Ψ ?

Если представить совокупность большого числа одинаковых независимых квантовых систем, в которых тождественные частицы все находятся в одинаковых квантовых состояниях (квантовый ансамбль), то, измеряя физическую величину    Q    в различных системах этого ансамбля, мы всегда будем получать в результате измерения одно и то же значение   Qn   если состояние частицы описывается волновой функцией    Ψn,, которое является одной из собственных функций оператора     .

Если волновая функция не будет являться собственной функцией оператора    ,   то в таком квантовом состоянии физическая величина    Q   не имеет определённого значения, и  измерения в различных системах квантового ансамбля будут давать разные значения    Q1,  Q2,  Q3, … Qn .  При этом каждое значение   Qn   в квантовом ансамбле будет обнаруживаться с определённой вероятностью    Рп .

Если две разные физические величины   а   и   в   могут быть одновременно точно измерены, то соответствующие им операторы      и     должны быть коммутирующими операторами, т.е. для них должно выполняться соотношение     .

8 - 2

Определение  среднего  значения  любой  физической

величины

В квантовых системах, в которых физическая величина   Q   не имеет определённого значения, имеет смысл находить среднее значение, т.е. математическое ожидание результатов измерений в серии из большого числа измерений

.

Для того, чтобы рассчитать вероятности   Рп  следует разложить волновую функцию   Ψ   в ряд по полной системе собственных функций   Ψп   оператора    :

Такое разложение всегда возможно и коэффициенты этого разложения вычисляются по формуле

Искомая вероятность   Рп   равна квадрату модуля     из представленного выше разложения

С учётом того, что       получаем окончательную формулу

,

которую часто  рассматривают  как  четвёртый постулат квантовой механики.

 

Для одномерного случая :    .

  

Отметим, что если    Ψ =Ψп ,  то получаем естественный результат   

Квантовая механика позволяет дать численную оценку потенциальных возможностей того или иного поведения квантового объекта. И хотя вероятность того или иного результата измерения в квантовой механике относится к отдельному объекту, для экспериментального определения численного значения этой вероятности необходимо многократное повторение измерений в квантовом ансамбле одинаковых систем.

8 – 3

Задача 1

В  некоторый  момент  частица  находится  в  состоянии,  описываемом

 Ψ-функцией,  координатная часть которой    , где   А   и  а - неизвестные постоянные.

Найти средние значения координаты   х   и проекции импульса    рх .

 Решение:

а)  в соответствии с 4-ым постулатом квантовой механики

Поскольку подинтегральная функция нечётная, то интеграл равен нулю

Следовательно

< x > = 0

 б)         ,   где     .

Тогда в соответствии с 4-ым постулатом квантовой механики

(во втором интеграле подинтегральная функция нечётная).

Из условия нормировки Ψ-функции следует, что

В результате окончательно получаем

.

8 – 4

 Задача 2

В момент времени  t = 0  волновая функция частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид

Считая, что масса частицы равна  т0,  найдите среднюю кинетическую энергию частицы в данном состоянии. Укажите, суперпозицией каких состояний частицы в потенциальной яме является данное состояние. Найдите волновую функцию  

 Решение :

Воспользуемся формулой Эйлера:

Постоянный множитель  А  находим из условия нормировки:

Для частицы массы  т0  в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими непроницаемыми стенками

    и     .

Таким образом, функция    принимает следующий окончательный вид:

8 – 5

В силу ортонормированности волновых функций   вероятность обнаружения частицы в состоянии с волновой функцией   равна квадрату коэффициента при  . В данном случае  С2 = С5 =  и  Р2 = Р5 = ½.

 Тогда

Волновая функция определяется из условия , что для стационарного состояния

Т.е.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47528. Методичні рекомендації. Банківська справа 411 KB
  Укладачі: Пшик Богдан Іванович кандидат економічних наук доцент Рисін Віталій Васильович кандидат економічних наук доцент Рецензенти: Слав’юк Ростислав Анатолійович доктор економічних наук професор заступник директора з наукової роботи Вербицька Тетяна Петрівна заступник директора Львівської філії АТ Укрінбанк†кандидат економічних наук Відповідальна за випуск: Табачук Галина Прокопівна кандидат економічних наук...
47532. Методические указания. Менеджмент организации 311.5 KB
  В них содержаться основные требования предъявляемые к организации и проведению преддипломной практики к содержанию дипломных работ порядку их выполнения и защиты приведены формы основных документов используемых при оформлении дипломных работ дана примерная тематика дипломных работ по кафедре экономики предприятия и производственного менеджмента. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ПРОВЕДЕНИЮ ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Преддипломная практика студентов является важнейшей частью подготовки высококвалифицированных...
47533. Методические указания. Экономика и бухгалтерский учет 171.5 KB
  Наумова СОДЕРЖАНИЕ 1 Общие вопросы организации дипломного проектирования.4 2 Содержание дипломного проекта .1 Требования к структуре дипломного проекта .4 Требования к содержанию пояснительной записки дипломного проекта.
47534. Осложнения послеоперационного периода – роль сестринского процесса и их профилактика 2.06 MB
  Послеоперационный период - это время от момента операции до выздоровления или перевода пациента на инвалидность. В этот период пациент находится в определенном состоянии, которое обусловлено предшествующей болезнью, оперативным вмешательством по ее устранению и наркотическими средствами, применяемыми во время операции.