2874

Квантовые системы из одинаковых частиц

Лекция

Физика

Квантовые системы из одинаковых частиц Квантовые особенности поведения микрочастиц, отличающие их от свойств макроскопических объектов, проявляются не только при рассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведения системы микрочасти...

Русский

2012-10-20

9.6 MB

33 чел.

Квантовые системы из одинаковых частиц

Квантовые особенности поведения микрочастиц, отличающие их от свойств макроскопических объектов, проявляются не только при рассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведения системы микрочастиц. Наиболее отчётливо это видно на примере физических систем, состоящих из одинаковых частиц, – систем  электронов,  протонов,  нейтронов  и т.д.

Для системы из   N   частиц с массами   т01 , т02 , … т0i , … m0N , имеющих координаты  (xi, yi, zi) , волновая функция может быть представлена в виде

Ψ ( x1, y1, z1, … xi, yi, zi, … xN, yN, zN,  t ) .

Для элементарного объёма

           dVi = dxi .dyi .dzi

величина

w =

определяет вероятность того, что одна частица находится в объёме  dV1 , другая в объёме  dV2  и  т.д.

Таким образом, зная волновую функцию системы частиц, можно найти вероятность любой пространственной конфигурации системы микрочастиц, а также вероятность любой механической величины как у системы в целом, так и у отдельной частицы, а также вычислить   среднее значение механической величины.

Волновую функцию системы частиц находят из уравнения Шрёдингера

,     где

оператор  функции  Гамильтона  для  системы  частиц

+  .

Здесь

 

силовая  функция  для  i-ой  частицы во внешнем  поле,  а

 

  энергия взаимодействия   i-ой  и  j-ой  частиц.

13-2

Неразличимость  тождественных  частиц  в  квантовой

механике

Частицы, обладающие одинаковыми массой, электрическим зарядом, спином и т.д. будут вести себя в одинаковых условиях совершенно одинаковым образом.

Гамильтониан такой системы частиц с одинаковыми массами   moi  и одинаковыми силовыми функциями   Ui   можно записать в виде, представленном выше.

Если в системе поменять  i-ую   и   j-ую частицы, то в силу тождественности одинаковых частиц состояние системы не должно изменяться. Неизменной останется полная энергия системы, а также все физические величины, характеризующие её состояние.

 Принцип  тождественности  одинаковых  частиц:  в системе одинаковых частиц  реализуются лишь такие состояния, которые не меняются   при   перестановке   частиц   местами.

Симметричные  и  антисимметричные  состояния

Введём оператор перестановки частиц в рассматриваемой системе -   .  Действие этого оператора заключается в том, что он переставляет местами   i-ую    и    j-ую  частицы  системы.

 Принцип тождественности одинаковых частиц в квантовой механике приводит к тому, что все возможные состояния системы, образованной одинаковыми частицами, делятся на два типа:

симметричные,  для  которых

    и

антисимметричные,  для  которых

(x1,y1,z1xN,yN,zN,  t) = - ΨA ( x1,y1,z1xN,yN,zN,  t).

Если волновая функция, описывающая состояние системы, в какой либо момент времени является симметричной  (антисимметричной) , то  этот тип симметрии сохраняется и в любой другой момент времени.

13-3

Бозоны  и  фермионы

Частицы, состояния которых описываются симметричными волновыми функциями, называются  бозонами. Системы, состоящие из таких частиц, подчиняются  статистике Бозе – Эйнштейна. К  бозонам  относятся  фотоны, π- и к-мезоны,  фононы в твёрдом теле,  экситоны  в  полупроводниках и диэлектриках. Все  бозоны  обладают нулевым или целочисленным спином.

Частицы, состояния которых описываются  антисимметричными  волновыми функциями, называются  фермионами. Системы, состоящие из таких частиц, подчиняются  статистике  Ферми – Дирака.  К  фермионам  относятся  электроны,  протоны,  нейтроны,  нейтрино  и все  элементарные частицы и античастицы  с полуцелым  спином.

Связь между спином частицы и типом статистики остаётся справедливой и в случае сложных частиц, состоящих из элементарных. Если суммарный спин сложной частицы равен целому числу или нулю, то  эта частица является бозоном, а если он равен полуцелому числу, то частица является  фермионом.

 Пример:  α-частица ()  состоит из двух протонов и двух нейтронов т.е.  четырёх фермионов со спинами   +. Следовательно спин ядра     равен   2   и это ядро является  бозоном.

Ядро лёгкого изотопа      состоит из двух протонов и одного нейтрона (три фермиона) . Спин этого ядра   . Следовательно  ядро     фермион.

Принцип  Паули  ( запрет  Паули )

 В системе  тождественных  фермионов  не  может  быть  двух  частиц, находящихся  в  одном  и  том  же  квантовом  состоянии.

Что же касается системы, состоящей из бозонов, то принцип симметрии волновых функций не некладывает каких либо ограничений на состояния системы. В одном и том же состоянии может находиться любое число тождественных  бозонов.

13-4

Периодическая  система  элементов

На первый взгляд представляется, что в атоме все электроны должны заполнить уровень с наименьшей возможной энергией.  Опыт же показывает, что это не так.

Действительно, в соответствии с принципом Паули, в атоме  не может быть электронов с одинаковыми значениями всех четырёх квантовых чисел.

Каждому значению главного квантового числа   п   соответствует   2п2 состояний, отличающихся друг от друга значениями квантовых чисел   l ,  m  и   mS .

 Совокупность  электронов атома с одинаковыми значения квантового числа   п   образует так называемую оболочку. В соответствии с номером  п

Значение п

    1

   2

   3

  4

   5

Оболочка

   К

   L

  M

  N

  O

Число возможных состояний

   2

   8

  18

  32

  50

 Оболочки подразделяются на подоболочки , отличающиеся квантовым числом   l . Число состояний в подоболочке равно   2(2l + 1).

Различные состояния в подоболочке отличаются значениями квантовых чисел   т   и   mS .

Оболочка

К

L

M

Подоболочка

1s

2s

2p

3s

3p

3d

      т

0

0

+1

0

-1

0

+1

0

-1

+2

+1

0

-1

-2

      тS

Число электронов

2

2  

6

2

6

10

 Понимание периодической системы элементов основано на идее об оболочечной структуре электронного облака атома.

Каждый следующий атом получается из предыдущего добавлением заряда  ядра на единицу  (е)  и добавлением одного электрона, который помещают в разрешённое принципом  Паули  состояние с наименьшей энергией.

Лекция  14

Квантовые  статистические  распределения

Особенности поведения частиц, связанные с неразличимостью тождественных частиц в квантовой механике, проявляются и в статистических свойствах систем, состоящих из одинаковых частиц. Это приводит к тому, что статистические распределения частиц в квантовой механике отличаются от статистических распределений, известных из классической физики. Кроме того, статистические свойства бозонов и фермионов в силу кардинального отличия в поведении этих частиц также оказываются различными.

В классической физике распределение частиц по энергиям описывается хорошо известными из курса молекулярной физики  распределением Максвелла

    и

распределением  Больцмана

,     где

АМ   и    АБ   –   нормировочные  константы;

К    и    U  –   кинетическая  и  потенциальная  энергия  частиц.

В классической физике при выводе распределений считается, что одинаковые частицы принципиально различимы.

Проиллюстрируем различие в распределении классических и квантовых частиц на следующем примере. Пусть нужно распределить две частицы по трём состояниям (ячейкам). Классические частицы будем отмечать номерами  1  и  2 , а квантовые в силу тождественности одинаковыми  кружками.

14-2

Фермионы в соответствии с принципом Паули могут находиться в каждой ячейке только поодиночке. Для бозонов никаких ограничений на распределение их по ячейкам не накладывается.

Для классических частиц число возможных распределений равно девяти (вероятность каждого распределения – 1/9). Для бозе–частиц получается шесть распределений (вероятность – 1/6). Для ферми–частиц реализуется только три распределения с вероятностью выпадения каждого из них, равной  1/3.

Распределение   Бозе – Эйнштейна

Идеальный газ из бозонов (бозе–газ) – описывается квантовой статистикой Бозе –Эйнштейна.

Распределение  Бозе–Эйнштейна  –  закон, выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в бозе–газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия  среднее число  частиц в  i - ом состоянии с энергией  Еi  при температуре системы   Т   равно

Б-Э =     ,     где

k  –  постоянная Больцмана,

T  –  термодинамическая температура,

μхимический потенциал – термодинамическая функция состояния, определяющая изменение внутренней энергии ( и, вообще говоря, других термодинамических потенциалов) системы при изменении числа частиц в системе, при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объём, и т.д.), фиксированы.

Одним из условий термодинамического равновесия системы является равенство химического потенциала для всех частей системы.

Для систем бозонов с постоянным числом частиц химический потенциал может принимать только отрицательные значения  ( μ < 0 ).

Величину      называют также числом заполнения энергетического уровня с энергией  Еi  ( далее будем для краткости писать просто   Е ).

Из анализа распределения   Б – Э   следует, что число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне ( в одном состоянии ), ничем не ограничено и при малых значениях параметра    может оказаться очень большим, а при   Е = 0   в системе бозонов может происходить   бозе – конденсация , с которой связаны такие явления, как сверхпроводимость и сверхтекучесть.

14-3

Рассмотрим    случай    малых    чисел    заполнения    ( будем     считать

<< 1 ).  Это условие выполняется при   >> 1   или  при >> 1 .  Тогда можно записать

,     где     А =  .

Отсюда следует, что при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного газа бозонов  распределения    Б – Э   переходит в классическое распределение  Максвелла – Больцмана.

                                    <N>                 

I – статистическое распределение Максвелла – Больцмана;

II–статистическое распределение Бозе – Эйнштейна

Газ, свойства которого в силу тождественности частиц в квантовой механике отличаются от свойств классического идеального газа, называется  вырожденным  газом.

Газ бозонов является вырожденным. Только в случае, когда  << 1 , вырождение снимается и разреженный бозе–газ  ведёт себя подобно классическому газу.

Обычные газы, атомы которых являются бозонами, при нормальных температурах и давлениях не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Вырождение для них наступает либо при очень низких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е. тогда, когда эти газы перестают быть идеальными.

С помощью распределения Бозе–Эйнштейна описываются свойства теплового излучения, теплоёмкость кристаллов и многие другие физические явления.  

Для систем бозонов с переменным  числом  частиц  химический потенциал равен нулю  ( μ = 0 ).  Распределение Бозе–Эйнштейна для систем с переменным числом частиц принимает вид

.

                                                   14-4

Пример:  пользуясь распределением   Б – Э   можно получить формулу

                Планка  для  равновесного  излучения.

Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки

которой нагреты до комнатной температуры   Т . Это излучение представляет собой идеальный газ фотонов, т.е. систему бозонов с переменным числом частиц, распределение по энергиям которых с учётом того, что        описывается выражением

Плотность квантовых состояний   g(E),  т.е. число состояний приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов описывается выражением

,     где

V объём полости;   с – скорость света в вакууме;   Е/с – импульс фотонов

(по аналогии с плотностью квантовых состояний     для нерелятивистских электронов с импульсом     )

Энергия излучения в узком энергетическом интервале от   Е  до  (Е+dE) складывается из энергий отдельных фотонов  и  равна

<Nф>.gф(E).E.dE

В частотном интервале, соответствующему данному энергетическому интервалу

от          до     

можно получить выражение для той же самой энергии с помощью объёмной спектральной плотности энергии излучения   иω,Т ,  представляющей собой энергию излучения в одиночном частотном интервале, отнесённую к единице объёма

uω,T..V . = <Nф>gф(E)E.dE .

Тогда, заменив      dE     на          и      Е      на          получим

.

Лекция  15

Распределение  Ферми–Дирака

Квантовая  статистика Ферми–Дирака описывает идеальный газ из фермионов  –  ферми–газ.

Распределение Ферми–Дирака  –  закон , выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в ферми–газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i–ом  состоянии с энергией    Ei   при температуре   Т   равно: 

 .

Из этой формулы следует, что   <Ni>Ф-Д   не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом  состоянии не может находиться более одной ферми–частицы, что согласуется с принципом Паули

Химический потенциал для фермионов может быть только положительным  ( μ > 0 ). Иначе при     числа заполнения стали бы равными нулю, чего естественно быть не может.

Для случая малых чисел заполнения  ( <Ni>Ф-Д << 1 )   получаем

    и     

Тогда (пренебрегая единицей в знаменателе) получаем

,    где     А = ехр

Видим, что распределение Ферми–Дирака при малых числах заполнения (разреженный газ фермионов) переходит в классическое распределение Максвелла–Больцмана.

I – статистическое распределение

     Максвелла–Больцмана;

II – статистическое распределение

      Ферми–Дирака.

15-2

Можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.

Хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остаётся неизменной.

Кардинальное различие между статистическими распределениями Максвелла–Больцмана и Ферми–Дирака наблюдаются  при     . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии в большом количестве. Для них  <Ni> тем больше,  чем меньше их энергия   Е. Что же касается фермионов, то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом Паули.

Химический потенциал   μ   имеет размерность энергии и в случае фермионов его называют энергией Ферми или  уровнем Ферми и обозначают   EF.  При этом распределение Ферми–Дирака принимает вид

<Ni>Ф-Д =  .

Энергия Ферми является медленно меняющейся функцией температуры   Т.

Подставляя в это выражение  Т = 0  (говоря о Т = 0, подразумевают, что температура может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е. ) получаем

<Ni>Ф-Д = 1   при    E < EF(0)

<Ni>Ф-Д = 0   при    E > EF(0)

Здесь   ЕF(0) – значение энергии Ферми при   Т = 0.

Полученные результаты показывают, что все квантовые состояния с энергиями    E < EF(0)   оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями   E > EF(0)   –   свободными.

Физический смысл энергии Ферми заключается в том, что при    энергия Ферми   EF(0)  является максимальной энергией , которой могут обладать фермионы.

15-3

Ниже приведены графики зависимости   <Ni>   от   Е   при   Т = 0  (слева)  и  при   Т (справа)

При    Т = 0   распределение Ферми–Дирака представляет собой ступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при   Е = ЕF(0).

При температуре отличной от нуля резкий скачок   <Ni>Ф-Д  от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, ширина которой  порядка   kT

При любой температуре отличной от нуля      при   E = EF.

Наряду с энергией Ферми   EF   при анализе поведения ферми-частиц вводится также импульс Ферми   pF   и    скорость  Ферми   υF , определяемые соотношениями

         и           .

Это  максимальные  импульс  и  скорость, которыми  может  обладать ферми-частица с массой   то   при температуре   Т = 0.

Электронный  газ  в  металлах

Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при образовании кристаллической решётки от атомов отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними (валентные) электроны. Эти электроны проводимости, обеспечивающие электропроводность металлов, в первом приближении можно рассматривать как идеальный газ свободных электронов, для которых металлический образец является потенциальной ямой.

15-4

В случае   Т = 0   электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях.

Согласно принципу Паули, на

каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов

Если число электронов в металле равно   N, то при   Т = 0   будут заполнены первые   N/2   уровней с энергией   E . Число заполненных и свободных энергетических уровней очень велико, и они расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать квазинепрерывным.

Найдём функцию распределения электронов проводимости по энергиям.

Число электронов   dN,   энергия которых лежит в интервале от   Е   до       равно

,     где

  -   плотность квантовых состояний электронов в  

                                                     металле . т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал.

Полное число свободных электронов в металле

N =  = V

 Концентрация электронов   п   в металле

п =  = .

15 – 5

Функция

F(E)  =    =  

называется  функцией распределения свободных электронов  по  энергиям.

С помощью функции распределения   F(E)   можно найти среднее значение любой физической величины   Q,   зависящей от   Е

 

При   Т = 0   функция   F(E) имеет вид

                              

                        F(E) =

Распределение электронов по энергиям описывается выражением

                        dn  =    

Из физического смысла функции распределения следует, что площадь под кривой   F(E)   численно равна концентрации  п   свободных электронов в металле.

Верхний предел интегрирования для вычисления    п   при   Т = 0   нужно брать равным   EF(0). Тогда интегрируя, получаем

п =  .

15 – 6

Отсюда находим    EF(0):

EF(0) =

Расчёты показывают, что энергия Ферми электронного газа в металлах составляет несколько электрон–вольт.

Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми   ТF, которая определяется следующим образом:

kTF = EF(0)       .

Ниже представлено схематическое распределение электронов по энергетическим уровням при    Т > 0

Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину порядка   kT,   заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину порядка   kT, оказываются свободными. В области энергий шириной порядка    kT  вблизи энергии Ферми имеются уровни, частично заполненные электронами. Только электроны, заполняющие уровни в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов.

    Зависимость   F(E)   при   Т> 0   имеет участки   S1   и   S2 , площади которых одинаковы и определяют число электронов в единице объёма металла, перешедших при нагреве образца с заполненных уровней  (S1)  на незаполненные  (S2).

15 – 7

Интеграл    п =    позволяет получить приближённое значение  EF   при   EF >> kT.

.

Условие   EF >> kT   выполняется для всего диапазона температур, при котором металлы существуют в твёрдом виде, а при температуре близкой к комнатной    .

Вырожденный  электронный  газ

Вырожденный электронный газ – это газ, свойства которого существенно отличаются от свойств классического идеального газа вследствие неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике.

Газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда, когда среднее расстояние между частицами   < a >  становится меньше или сравнимым с дебройлевской длиной волны частицы   λБ ,  т.е.    .

Температурой вырождения  называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц. Для газа, состоящего из фермионов, температурой вырождения является температура Ферми   ТF,   которая тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация. Так как масса электрона очень мала (те = 9,1.10 – 30 кг ), а концентрация электронов в металлах достаточно велика  ( 1028 … 1029 м – 3 ) то  TF ~ 104 K.

Cледовательно, электронный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах, при которых металл остаётся в твёрдом состоянии.

Лекция  16

Эмиссия  электронов  из  металла

Эмиссия электронов может возникать при нагреве металлов (термоэлектронная эмиссия), при облучении металлов различными частицами, например фотонами (фотоэлектронная эмиссия), при приложении к металлу сильных электрических полей (автоэлектронная эмиссия) и т.д.

Работа  выхода  электронов  из  металла

Известно, что в металле имеются газ свободных электронов и положительно заряженные ионы, расположенные в узлах кристаллической решётки. Эти ионы создают внутри металла электрическое поле, потенциал которого   φ   периодически меняется вдоль прямой, проходящей через узлы решётки. Усредняя этот потенциал, будем считать, что всюду внутри металла он одинаков и равен   φо .

а – внутренний потенциал  φ

б – энергетические уровни электро-

     нов в металле при   Т = 0

Таким образом, свободный электрон, находящийся в металле, обладает потенциальной энергией    Uo = - o

При переходе электрона из металла в вакуум его потенциальная энергия    U    становится равной нулю, т.е. металл является для электрона потенциальной ямой глубиной    Uo.

Чтобы извлечь электрон из металла необходимо совершить работу выхода

Ав = UoEF,     где

EF – уровень Ферми, определяемый кинетической энергией электронов даже при    Т = 0.

16-2

Работа выхода – это наименьшая работа, которую необходимо совершить, чтобы удалить из металла электроны, находящиеся на уровне Ферми.

При    T > 0    работу выхода определяют так же с помощью соотношения   Ав = UoEF.

Работа выхода является важной характеристикой поверхности металла и зависит от ее состояния, наличия примесей в поверхностном слое и ряда других факторов.

Для чистого вольфрама     Uo = 13,45 эВ

                                             EF = 8,95 эВ

                                              Ав = 4,5 эВ   

Нанесение на поверхность вольврама тонкого слоя атомов цезия позволяет снизить работу выхода с  4,50  до  1,36 эВ.

Термоэлектронная  эмиссия

При повышении температуры металла кинетическая энергия теплового хаотического движения электронов увеличивается и может стать настолько большой, что некоторые из электронов смогут преодолевать потенциальный барьер    Uo    на границе металла и выходить наружу.

а – функция   распределения    F(E)            

     при   Т1 = 0  (пунктирная линия)

     и при   T2 > 0  (сплошная линия)

б – значения   Uo ,   EF    и    АВ    для

     вольфрама

При    Т1 = 0   свободные электроны не могут покидать вольфрам, поскольку глубина потенциальной ямы    Uo = 13,45 эВ  превышает максимальное значение их кинетической энергии, равное   EF = 8,95 эВ.  При нагреве металла до температуры    T2 ~ 1000 K   “хвост”  функции распределения    F(E)     заходит за уровень    Uo ,  т.е. у некоторой части электронов кинетическая энергия превышает глубину потенциальной ямы и они могут покинуть металл. Испускание электронов нагретыми телами называется  термоэлектронной  эмиссией.

16-3

Если металл поместить в электрическое поле, напряжённость которого        направлена к поверхности металла, то это поле будет отводить вышедшие электроны от металла. В вакууме вблизи поверхности металла будет создаваться направленное движение электронов, т.е. появляется термоэлектронный ток.

Термоэлектронную эмиссию можно наблюдать а помощью вакуумного диода – двухэлектродной лампы.

Катод такого диода обычно представляет из себя проволоку, по которой пропускают ток, для нагрева джоулевым теплом.

При холодном катоде электронам не хватает энергии, чтобы покинуть катод и ток через диод не течёт. При нагреве катода до высокой температуры (от 900 до  2900 К для разных типов катодов) электроны выходят с поверхности катода и ускоряются электрическим полем, создавая ток, текущий через диод.

Из типичной   ВАХ   вакуумно-

го диода следует, что при нагретом катоде ток через диод может протекать даже при отрицательных значениях подаваемого напряжения, то есть наиболее энергичные электроны, покинувшие катод, доходят до анода, несмотря на небольшое тормозящее электрическое поле.

При положительном значении напряжения    и   между анодом и катодом вылетающие электроны увлекаются электрическим полем, но зависимость создаваемого электрического тока от напряжения не является линейной, т.е. закон Ома не выполняется. Начальный участок   ВАХ  достаточно хорошо описывается  законом  «трёх вторых»  Ленгмюра

I ~ u3/2   

Такой характер зависимости   I(u)   обусловлен влиянием на движение электронов в лампе отрицательного пространственного заряда, формируемого электронами, не достигшими анода.

16-4

При дальнейшем увеличении    и    всё большая часть вылетевших с поверхности катода электронов будет увлекаться к аноду. Наконец начиная с некоторого напряжения, все испущенные катодом электроны будут падать на анод. В этом случае термоэлектронный ток в диоде достигает своего максимального значения    IS ,   называемого током насыщения.

Плотность тока насыщения   jS   характеризует эмиссионные свойства катода – максимальное число электронов, которое может испустить катод с единицы поверхности в единицу времени при данной температуре.

Величину   jS   вычисляют по  формуле  Ричардсона–Дэшмана

,     где

А = 1,2.106 А/(м2К2)   –  универсальная константа (постоянная

                                                         Ричардсона).

Видно, что   jS   очень сильно зависит от    АВ   и    Т .  Так для волфрама повышение температуры от    1000 К   до   2500 К увеличивает плотность тока эмиссии практически от нуля до   3000 А/м2 , а покрытие поверхности вольфрама мономолекулярным слоем оксида тория  ThO2 ,  уменьшающее работу выхода, даёт возможность при   Т = 1900 К  получать  jS = 10 000 A2

Эффект  Шоттки

Выясним, какие силы действуют на вылетевший из металла термоэлектрон и как они зависят от расстояния   х   от электрона до поверхности металла. Пусть   х   значительно превышает период кристаллической решётки, а поверхность металла является плоской и непрерывной.

а –  поле системы электрон–металл

 

б –  поле, создаваемое электроном

      и его зеркальным изображени-

      ем     

16 – 5

Согласно методу зеркальных изображений, сила, которая действует на электрон   со   стороны   проводящей   поверхности,   отстоящей   от   него  на

расстоянии   х ,  будет такой же, как между зарядами     – е    и    +е, расположенными на расстоянии    2х   друг от друга  

.

Потенциальная энергия электрона в таком силовом поле

.

Если к поверхности металла приложить внешнее электрическое поле   , способствующее выходу электронов  из металла, то потенциальную энергию электрона в электрическом поле можно представить в виде

.

Суммарную потенциальную энергию электрона, находящегося вблизи поверхности металла, помещённого в электрическое поле, можно представить как

U = Uиз + UЭЛ  = Uo  .

Проведённый анализ показывает, что во внешнем электрическом поле работа выхода электрона из металла уменьшается на величину   АВ .   Это уменьшение приводит к тому, что большее число электронов преодолевает потенциальный барьер на границе металл–вакуум, что ведёт к увеличению силы тока электронной эмиссии (эффект  Шоттки).

16-6

Несложные расчёты дают выражение

АВ =  ,   а формула Ричардсона–Дэшмана принимает вид

.

Холодная  (автоэлектронная)  эмиссия  электронов

из  металлов

Пусть вблизи поверхности металла имеется электрическое поле напряжённостью     ,  способствующее выходу электронов из металла.

Рассматривая эффект Шоттки, было показано наличие потенциального барьера на границе металл–вакуум.  Туннелирование  электронов через такой барьер и объясняет явление холодной эмиссии – выход электронов из металла при низких температурах.

Согласно представлениям классической физики, электрон не может преодолеть потенциальный барьер, но в квантовой механике вероятность туннелирования электрона из металла определяется коэффициентом прохождения через потенциальный барьер

.

Для упрощения  расчёта  рассмат-

ривают туннелирование электронов через треугольный потенциальный барьер,  где

       Коэффициент прозрачности такого барьера

,     

где верхний предел интегрирования определяется из условия    U(xo) = E.

16-7

Интегрируя ,  получаем

.

Введём  обозначение

,

где      имеет смысл напряжённости эффективного электрического поля.

Тогда         и плотность тока холодной эмиссии

(108  109 )В/м  –  усреднённое по энергиям электронов значение   .

 

Туннелируют через потенциальный барьер в основном электроны, энергия которых близка к энергии Ферми     EF .

 

 Чтобы создать большую напряжённость электрического поля     вблизи поверхности металла, автоэлектронные эмиттеры делают в виде поверхностей с малым радиусом кривизны: конуса, иглы, лезвия и т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36694. Данило Галицький 90.16 KB
  Метою цього завдання є опис практичного застосування ресурсів мережі Інтернет при вивченні історії та особисто персони Данила Галицького. В даному випадку переді мною постало завдання отримання інформація для роботи з моєю презентацією. Її темою було Данило Галицький
36695. Администрирование СУБД MySQL. Работа с таблицами системной базы данных mysql 62 KB
  Откройте их с помощью команд [ltF3] и [ltF4] и зайдите в систему под именем любого пользователя например user. В лабораторной работе создаваемые пользователи обозначаются user1 и user2. То есть вам необходимо подставить вместо user1 и user2 имена ivnov1 и ivnov2. Выполните команду для добавления пользователя user1 и задания ему привилегий: insert into user Host User Pssword Select_priv vlues ‘loclhost’ ’user1’ pssword‘user1’’Y’; Выполните команду для добавления пользователя user2 и задания ему привилегий: insert into...
36696. Типизированный файл 87.42 KB
  Типизированный файл состоит из последовательности записей одной и той же структуры. Структура записи задается типом, который может быть как стандартным, так и заданным в программе. Запрещено создавать файлы файлов и файлы объектов, а также файлы структурированных компонентов, содержащих файлы и объекты. Записи файла нумеруются начиная с 0.
36697. Использование команд GRANT и REVOKE для задания привилегий пользователей 49 KB
  Откройте их с помощью команд [ltF3] и [ltF4] и зайдите в систему под именем любого пользователя например user. Работу в СУБД MySQL от имени пользователей root user3 и user4 необходимо вести параллельно подключившись с разных терминалов открытых в начале выполнения лабораторной работы. В лабораторной работе создаваемые пользователи обозначаются user3 и user4. То есть вам необходимо подставить вместо user3 и user4 имена ivnov3 и ivnov4.
36698. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА МЕТОДОМ КЛЕМАНА - ДЕЗОРМА 73 KB
  Основные теоретические положения к данной работе основополагающие утверждения: формулы схематические рисунки: Для определения отношения Сp Cv в случае воздуха в данной лабораторной работе применен метод предложенный Клеманом и Дезормом в котором использовано охлаждение газа при его адиабатическом расширении. Быстрое сжатие и быстрое расширение газа приблизительно можно рассматривать как адиабатический процесс. Отсюда видно что при адиабатическом сжатии температура газа повышается за счет работы внешних сил а при адиабатическом...
36699. Определение параметров импульсных сигналов, используемых для электростимуляции 495 KB
  Связь амплитуды формы импульса частоты следования импульсов длительности импульсного сигнала с раздражающим действием импульсного тока. Какова будет сила тока в начале разрядки конденсатора Через 6 мс напряжение на конденсаторе упадет до 250 В. Цель работы: Используя осциллограф С819 источник питания постоянного тока Б545 дифференцирующие и интегрирующие цепи.
36700. Изучение действия СВЧ поля на вещество 551 KB
  Переменные токи наведенные электрическим полем создают в диполе стоячую волну с пучностью тока в его середине. Они препятствуют ответвлению в гальванометр высокочастотного тока свободно пропуская выпрямленный.Исследование нагревания токами СВЧ электролита и диэлектрика.Делают вывод о влиянии СВЧ поля на вещество Воздействие переменными токами Первичное действие переменного тока и электромагнитного поля на биологические объекты в основном заключается в периодическом смещении ионов растворов электролитов и изменении поляризации...
36701. Градуирование электростатического вольтметра с помощью электрометра Томсона 396 KB
  Градуирование электростатического вольтметра с помощью электрометра Томсона. Цель работы: Градуирование шкалы электростатического вольтметра с помощью абсолютного электрометра Томсона т. Основные теоретические положения к данной работе основополагающие утверждения: формулы...
36702. Определение омического сопротивления при помощи моста Уитстона 306.5 KB
  Определение омического сопротивления при помощи моста Уитстона. Цель работы: Экспериментальное определение сопротивления проводников и проверка закона Ома с помощью моста постоянного тока. Однако существует одно определенное...