2875

Законы теплового излучения. Фотоэффект

Контрольная

Физика

При рассмотрении проблемы электромагнитного излучения твердых тел классическая физика столкнулась с непреодолимыми трудностями. Данные теоретических расчетов существенно не совпадали с экспериментальными данными в области коротковолнового диапазона ...

Русский

2012-10-20

9.36 MB

68 чел.

При рассмотрении проблемы электромагнитного излучения твердых тел классическая физика столкнулась с непреодолимыми трудностями. Данные теоретических расчетов существенно не совпадали с экспериментальными данными в области коротковолнового диапазона излучения.

В 1900 г. Максом Планком была выдвинута принципиально новая физическая гипотеза о дискретности энергии теплового излучения и наличии ее минимальной порции – кванта энергии излучения. Эта гипотеза позволила Планку описать равновесное тепловое излучение во всех диапазонах длин волн.

Развивая гипотезу о квантах, Альберт Эйнштейн выдвинул корпускулярную теорию излучения, в которой электромагнитное излучение представлялось как поток частиц, названных фотонами. Фотонная теория излучения смогла объяснить явления квантовой оптики.

В дальнейшем идея корпускулярно-волнового дуализма была обобщена на все материальные объекты в природе, что привело к созданию квантовой физики.

Законы теплового излучения

Тепловым излучением называется электромагнитное излучение нагретых тел в широком диапазоне частот.

Если несколько нагретых излучающих тел окружить идеально отражающей оболочкой, то внутри оболочки установится термодинамическое равновесие т.е. температуры всех тел станут равными, а распределение энергии между телами и излучением не будет изменяться со временем. Такое излучение, находящееся в равновесии с излучающими телами называют равновесным.

Для равновесного излучения, которому можно приписать температуру излучающих тел, можно рассчитать и термодинамические характеристики, например, внутреннюю энергию, давление, энтропию и т.д.

Равновесное тепловое излучение однородно, т.е. его плотность энергии одинакова во всех точках внутри полости, где оно заключено. Такое излучение изотропно и неполяризовано  - оно содержит все возможные направления распространения и направления колебаний векторов  и  .

Энергию, излучаемую с единицы поверхности нагретого тела и приходящуюся на единичный диапазон частот, называют спектральной испускательной способностью тела или  спектральной плотностью энергетической светимости (rω,Т ).

1 - 2

rω,Т   r(ω,Т) ,     Дж/м2

 ω – частота излучения;

 Т – температура тела.

 Суммарная мощность, излучаемая с единицы поверхности тела по всему диапазону частот

 

Называется  энергетической светимостью ( R ).

 Спектральную испускательную способность можно представить и как функцию длины волны излучения λ.

rλ = rω,T .

Учитывая, что    получаем   .

Знак  << – >>  носит формальный характер т.к. указывает лишь на то, что с возрастанием длины волны  λ  частота убывает, и его можно опустить.

 Спектральной поглощательной способностью (aω,T)  тела называют безразмерную величину

,   где

dФω – поток излучения в узком диапазоне частот  (ω+), падающего на поверхность тела;

  -  поток излучения, поглощаемый телом.

Тело, у которого  aω,T < 1  и  одинакова по всему диапазону частот называется серым телом.

 

 Абсолютно черным телом (АЧТ) называют тело, у которого   aω,T = 1  на всех частотах и при любых температурах. В теории теплового излучения оно является эталонным телом.

Моделью АЧТ является замкнутая полость с малым отверстием, диаметр которого значительно меньше поперечных размеров полости, которая может иметь любую форму и может быть изготовлена из любого непрозрачного материала.

                                                    1 - 3

                                                                

Именно  малому  отверстию в  полости

и    приписывается    свойство   АЧТ.      Если

стенки полости поддерживать при некоторой

температуре   Т,  то отверстие будет излучать

как абсолютно черное тело с температурой Т.

 Закон Кирхгофа

Отношение испускательной и поглощательной способностей одинаково для всех тел в природе, включая абсолютно черное тело, и при данной температуре является одной и той же универсальной функцией частоты (длины волны).

    или

,      где

  и    -  испускательные способности АЧТ

Зная    и  aω,T  реального тела можно определить энергию, излучаемую этим телом в любом диапазоне частот.

 Закон Стефана-Больцмана

Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной (термодинамической) температуры.

R* = σT4 ,        где

σ = 5,671.10-8  Вт/м2К4   - постоянная Стефана-Больцмана.

Для реальных тел   R = AТR* = ATσT4 , где   АТ  -  интегральная поглощательная способность тела, которая зависит от температуры и всегда меньше единицы ( АТ < 1 ).

1 - 4

 Закон смещения Вина

Длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре.

λм = в/T , где

в = 2,898.10-3   м.К  - постоянная  Вина

Для  реальных  тел  закон   Вина

Выполняется   лишь качественно , т.е.

с  ростом  температуры   любого   тела

длина   волны,  вблизи   которой   тело

излучает    больше    всего       энергии,

смещается  в  сторону  коротких  длин

волн, но зависимость не такая простая.

Задача

Максимум энергии в спектре Солнца приходится на диапазон длин волн вблизи  470 нм. Считая Солнце абсолютно черным телом, рассчитайте, на сколько уменьшается ежегодно масса Солнца за счет излучения. Через сколько лет масса Солнца уменьшится на 1%?  В настоящее время масса Солнца  Мс=2.1030 кг.   Его эквивалентный диаметр   Dо= 1,4.109 м.

 Решение:

Используя закон Вина, найдем температуру Солнца

По закону Стефана-Больцмана  находим энергию, излучаемую с 1м2 за 1  секунду

R = σ.T4= 5,671.10-8.(6,16.103)4 = 8,17.107 Вт/м2.

Энергия, излучаемая всей поверхностью Солнца за год

Е = R.S.t = R.πDo2.t = 8,17.107.π.(1,4.109)2.31,6.106 =  5.1033 Дж.

 

Соответствующая потеря массы за  1 год

 кг

Для уменьшения массы Солнца на  1% потребуется время

  лет.

1 - 5

Объемная плотность энергии теплового излучения

Если в полости кубической формы с идеально отражающими стенками поместить небольшое АЧТ с температурой Т  , то полость равномерно заполнится равновесным тепловым излучением с объемной плотностью энергии   uТ     u(T),      зависящей от температуры.

uT =   ,  Дж/м3  ,       где

uω,T  u(ω,T)  -  объемная плотность энергии излучения, приходящейся на        

                          интервал   частот   от    ω    до    (ω+dω)   -  спектральная

                           плотность энергии при данной  Т,   Дж.с/м3.

Между испускательной способностью АЧТ   r*ω,T   и функцией   uω,T  можно вывести соотношение

 ,   где

с  - скорость электромагнитных волн в вакууме.

 

Для теоретического обоснования полученных в экспериментах зависимостей   rλ,T  , а. следовательно, и  rω,T  необходимо было создать теорию, позволяющую найти   uω,T .

Формулы Рэлея-Джинса  и  Вина

 Применяя к тепловому излучению классический закон равнораспределения энергии по степеням свободы ( на каждую стоячую электромагнитную волну частотой  ω  приходится в среднем энергия  kT)  Рэлей и Джинс получили

uω,T =           r*ω,T =

 Попытка получить закон Стефана – Больцмана из этой формулы приводит к абсурдному  результату, получившему название – «ультрафиолетовая катастрофа»:

                    R =

Формула Релея – Джинса согласуется с  экспериментом  только в  области  малых частот (больших значений λ).

1 - 6

 В области больших частот  ω ( малых значений  λ ) эксперимент хорошо согласовывается с эмпирической формулой Вина

rω,T = C1.ω3.exp(-C2) , где    С1   и   С2   -   константы

Гипотеза о квантах. Формула  Планка

Планк получил формулу для   uω,T , хорошо согласующуюся с экспериментальными  данными во всем диапазоне частот. Для этого он ввел гипотезу, коренным образом противоречащую представлениям классической физики о непрерывном испускании и поглощении электромагнитного излучения веществом.

Планк предположил, что энергия осциллятора может принимать не любые, а только вполне определенные дискретные значения

En = o ,

Пропорциональные некоторой элементарной энергии ( кванту  энергии)

ε0  = hν = ω ,  где

h = 6,626.10-34 Дж.с и  = = 1,05.10-34 Дж.с = 0,658.10-15 эВ.с –  постоянные Планка.

Размерность физической величины «энергиявремя» в механике называют действием, поэтому постоянную Планка называют также квантом действия. Постоянная Планка имеет также размерность момента импульса (Дж.с = Н .с.м)

Используя понятие кванта энергии Планк получил известную  формулу Планка

uω,T =              r*ω,T = uω,T =

1 – 7

 Задача

 Используя формулу Планка для  r*ω,T  доказать законы Стефана-Больцмана и Вина.

 Решение:

  1.  R* =

Из таблиц определенных интегралов («Приложения» к сборнику задач Иродова)

, т.е.   R* =      R* = σT4 , где  σ = .

2)   Закон смещения Вина получается при анализе формулы Планка на экстремум.

0 =   , т.е.

3

При  α  можно записать   .

Тогда         

Учитывая, что   , получаем окончательно  .

Фотоэффект

 Дальнейшее развитие квантовая гипотеза Планка получила прежде всего в работах Эйнштейна, который выдвинул гипотезу о световых квантах – фотонах.

 Фотон – это ультрарелятивистская незаряженная частица, имеющая нулевую массу покоя и всегда движущуюся со скоростью  с. Если при неупругом столкновении с другой элементарной частицей фотон «останавливается», то он исчезает, передавая всю свою энергию этой частице

ε = hν = ω =  .

 Формально фотону можно приписать релятивистскую массу

 т = ε/с2 = /c2 = h/ = |.

 Импульс фотона

рф= ε/с = h/λ = /c =

Если направление распространения световой волны задать волновым вектором   , где (),  то

Впервые отдельные фотоны излучения были обнаружены в опытах, проведенных Боте при облучении тонкой металлической фольги слабым пучком рентгеновского излучения, под действием которого она сама становилась источником рентгеновского излучения.

Если бы энергия этого излучения распространялась в виде сферических волн, то левый и правый счетчики  Сл  и  Сп  должны срабатывать практически одновременно, а самописцы  Л и  П , связанные со счетчиками, должны оставлять метки на движущейся ленте друг против друга. Опыт, однако показал, что счетчики реагировали совершенно независимо друг от друга.   Все   происходило   так,   как   если   бы   излучение    фольги         Ф  

2 - 2

распространялось в виде отдельных квантов, которые могли попадать либо в левый, либо в правый счетчик.

Гипотеза о корпускулярных свойствах света позволила объяснить результаты экспериментов по фотоэлектрическому эффекту, совершенно непонятных с позиций классической электромагнитной теории.

 Внешним фотоэффектом называется явление испускания электронов вещества под действием электромагнитного излучения.

 Исследование закономерностей фотоэффекта проводят на установке с  фотоэлементом в виде вакуумной двухэлектродной лампы, схематически показанной на рисунке.

                                     

Металлический катод  К  при освещении его через кварцевое окошко видимым светом или ультрафиолетовым излучением испускает электроны. Эти фотоэлектроны, достигая анода  А, обеспечивают протекание в цепи электрического тока, который фиксируется миллиамперметром. Источники питания подключены так, что позволяют изменять полярность подаваемого на фотоэлемент напряжения.

Здесь же приведен качественный вид вольт-амперной характеристики такого фотоэлемента для случая неизменного светового потока, падающего на катод.  Ускоряющему электрическому полю соответствует положительное напряжение, в области которого все испускаемые катодом электроны достигают анода, обусловливая фототок насыщения  Iнас.

При отрицательном напряжении  (U<0) фотоэлектрон попадает  в тормозящее электрическое поле, преодолеть которое он может, лишь имея определенный запас кинетической энергии. При некотором отрицательном напряжении, модуль которого  Uз   называют задерживающим напряжением (потенциалом), фототок становится равным нулю.

Измерив  Uз , можно определить максимальную кинетическую энергию

Кm  или максимальную скорость  υm  фотоэлектронов.

Km = me υm2/2 =| eUз | .

2 - 3

 Законы Столетова

  1.  Для монохроматического света определенной длины волны фототок насыщения пропорционален световому потоку, падающему на катод.
  2.  Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от величины светового потока, а определяется лишь частотой излучения.
  3.  Для каждого вещества катода существует своя граничная частота  νк,

такая, что излучение с частотой  ν < νк , фотоэффекта не вызывает (красная граница).

 Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

         В процессе неупругого соударения фотона со свободным  электроном металла электрон получает всю энергию от фотона.

ε = Ав + Кm ,  где

Ав – работа выхода электрона из металла (минимальная энергия,        необходимая для преодоления потенциального барьера при освобождении электрона из данного металла катода).

Из этого уравнения непосредственно вытекают второй и третий законы Столетова. Если   ε < Aв получаем простые формулы  для частоты и длины волны красной границы

ν к = Ав/h;   ωк = Ав/   и    λк = hc/Ав = 2πсв

 

Первый закон Столетова также объясняется корпускулярной природой света – число вырванных из металла электронов и, следовательно, фототок насыщения пропорциональны числу падающих на металл фотонов, которое определяется величиной потока энергии излучения.

Важной количественной характеристикой фотоэффекта является квантовый выход  Y, определяющий число вылетевших электронов, приходящихся на один, падающий на металл фотон.

 Y  10-4 электрон/фотон   для   ν  νк

 Y = 0,010,05 электрон/фотон  для  ε  1 эВ.

 Y  0,1 электрон/фотон для  ε  103 эВ (рентгеновское излучение).

2 - 4

Эффект Комптона

При большой энергии фотонов ( > 0,01 МэВ ) процесс поглощения фотонов электронами вещества становится маловероятным. В этом случае при взаимодействии электромагнитного излучения с веществом наблюдается его рассеяние с изменением направления распространения.

 Эффектом Комптона называется явление увеличения длины волны излучения вследствие рассеяния его веществом. Изменение длины волны   не

зависит от материала рассеивающего образца и исходной длины волны  λ , а определяется только величиной угла рассеяния  θ.

∆λ = λ*-λ = Λk(1 – cosθ)  , где

 λ* - комптоновское смещение ( длина волны рассеянного излучения)

 Λк=2,426.10-12 мкомптоновская длина волны электрона, полученная Комптоном экспериментально.

На  рисунке  показана  схема  опытной установки  Комптона.  Диафрагмы   D1   и    D2 выделяли узкий   пучок монохроматического рентгеновского   излучения,  который   падал затем на исследуемый образец  О, состоящий из легких атомов  (графит или парафин).  Для исследования        спектрального  состава     рассеянного   излучения  оно   после   прохода ряда диафрагм попадало на кристалл  К рентгеновского спектрографа, а затем в счётчик  С  или на фотопластинку.

Классическая теория оказалась не в состоянии объяснить закономерности комптоновского рассеяния и в первую очередь появление смещенной компоненты. С точки зрения классической теории электромагнитного излучения электрон сам как антенна под действием падающей волны начинает излучать вторичные сферические волны на частоте падающего излучения.

 Фотонная теория излучения объясняет этот эффект как следствие упругого рассеяния фотона Ф  Ф*  на свободном электроне вещества. Формула Комптона оказывается следствием законов сохранения энергии и импульса при упругом соударении фотона и электрона.

2 - 5

Пусть на покоящийся электрон с энергией   mес2  падает фотон с энергией  ε   и импульсом   рф = ε/с. После столкновения энергия и импульс фотона станут  ε*  и   р*ф = ε*/с, а энергия и импульс электрона отдачи  Е  и  р. 

Поскольку в результате столкновения электрон может стать релятивистским, этот процесс будем рассматривать на основе релятивистской механики, из которой для электрона можно записать условие инвариантности  энергии и импульса

Е2 -  р2с2 =  me2c4 

 В соответствии с законами сохранения энергии и импульса системы фотон-электрон до и после столкновения можно записать следующие равенства:

ЗСЭ:  ε + mec2 = ε* + Е      Е2 = (εε* + mec2)2 

ЗСИ:  р2 = (ε/с)2 + (ε*/с)2 - 2(ε.ε*/с2) cosθ    или

р2с2 = ε2 + ε*2 - 2ε .ε* cosθ 

Равенство  для    ЗСИ     записано     на основе теоремы косинусов для треугольника импульсов.

 

Подставляя значения   Е2  и   р2с2  в условие инвариантности получаем

ε   ε* =

  С учётом того, что     и      имеем окончательно λ* - λ = Λк(1- cos θ),   где   Λк =   = 2,42.10-12 м 

 

2 – 6

 С  помощью  счетчиков  рассеянных фотонов    Ф    и  электронов  отдачи    Э  установленных симметрично относительно, рассеивателя    Р    и    включённых в схему совпадений  С  было доказано экспериментально   существование    индивидуального столкновения фотона с электроном.

        

 Задача

При облучении вещества рентгеновским излучением с некоторой длиной волны   λ   обнаружили, что максимальная кинетическая энергия релятивистских электронов отдачи равна   Км.  Определить  λ.

 Решение:

 К =Км     если   р = рмакс , что возможно только если векторы  ,     и    должны быть коллинеарными, т.е.  θ = 0

 Учитывая, что  Е = mc2 + K , получаем для законов сохранения энергии и импульса:

ЗСЭ:    εε* = Км 

                                                       2ε  = Км + р.с ,    где     

 ЗСИ:    ε/с + ε*/с = р

Так как      р.с = (Км.(Км + 2mec2 ) )1/2       ( смотри ниже Приложение )  то

      

                                                                                  ---------------------------   

2 – 7

Приложение:

                    

 и окончательно          .       

Корпускулярно-волновой дуализм света

    

Свет есть материальный объект, обладающий как волновыми, так и корпускулярными свойствами. При определённых условиях, т.е. в ряде оптических явлений, свет проявляет свои волновые свойства, а в других корпускулярные.  

Существуют оптические явления, которые могут быть объяснены качественно и количественно как волновой, так и корпускулярной теориями света. Например, давление, оказываемое светом при падении его на вещество.

Двойственная природа света получила название корпускулярно – волнового дуализма света.

В физике свет оказался первым объектом, у которого была обнаружена двойственная корпускулярно-волновая природа. Дальнейшее развитие физики значительно расширило класс таких объектов.

Волновые свойства микрочастиц

Гипотеза де Бройля

Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причём соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же как и у фотона, т.е.

  и     :    

Согласно гипотезе де Бройля, свободно движущейся частице, обладающей энергией   Е   и   импульсом   р   соответствует волновой процесс с частотой      и длиной волны      .

Примечание: в настоящее время в системе  СИ  килограммом называют массу тела, для которой частота де Бройля точно равна

Волна де Бройля распространяется в направлении скорости частицы. Она не является электромагнитной и имеет специфическую природу, для которой нет аналога в классической физике , но которая должна обладать такими свойствами волн как интерференция и дифракция

 Для нерелятивистской частицы                  

 Для  релятивистской частицы      

и   .

3-2

 Оценим величину волн де Бройля для микро и макро-объектов.

Для нерелятивистского электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов   U ~ 150 B   получаем

м

Размеры атомов и расстояния между молекулами в твёрдых телах имеют тот же порядок   ~ 10-10 м.

Для макроскопического, но достаточно малого объекта – пылинки, масса которой  m0= 10-6г, а скорость   υ = 1 мм/с  получаем

 

 м

Такая длина волны значительно меньше наименьшего из известных в природе размеров – размеров атомного ядра, порядок которого  10-15  м.

Волновые свойства частиц проявляются максимальным образом в тех случаях, когда дебройлевская длина волны частицы сравнима с характерными размерами области движения частицы

λБ ~  L ,

например, при взаимодействии электрона с атомами

В тех случаях, когда   λБ << L  (пример с пылинкой), волновые свойства частицы становятся несущественными, и для описания движения таких объектов необходимо пользоваться законами классической механики.

 

Дифракция микрочастиц

 Первые экспериментальные исследования, подтвердившие волновую природу частиц были выполнены при исследовании дифракции электронов на кристаллической решётке. Дебройлевская длина волны электрона при ускоряющей разности потенциалов ~ 100 В  имеет порядок ~ 10-10 м. Расстояние между атомными плоскостями в кристалле имеет такой же порядок. Поэтому, так же как и в случае рентгеновского излучения, кристалл может играть роль дифракционной решётки для электронных волн.

Пусть имеется совершенный кристалл, обладающий идеальной, без каких либо нарушений кристаллической решёткой, и электроны падают на кристалл под углом скольжения  θ  по отношению к рассеивающему семейству плоскостей.

3 - 3

β =(π - 2θ)угол между между падающим и дифрагирующим пучками электронов.

При значении угла   θ  , удовлетворяющему условию Брэгга-Вльфа

2d.sin θ = n.λБ  ,  где   ( n = 1; 2; 3; 4… )

возникает интенсивный дифракционный максимум отражённой волны. Здесь

dрасстояние  между отражающими плоскостями (постоянная решётки кристалла).

Дифракционные максимумы появляются в тех случаях, когда разность хода волн, отражённых от соседних атомных плоскостей, равна целому числу длин волн де Бройля, т.е. имеет место интерференция.

С учётом преломления электронных волн в кристалле условие Брега-Вульфа принимает вид

 , где

ne показатель преломления электронных волн в кристалле.

Результаты экспериментов по дифракции электронов, проведённые американцами Девиссоном и Джермером на монокристалле никеля, а также англичанином Дж.Томпсоном и советским физиком Тартаковским на тонкой поликристаллической фольге хорошо совпали с теоретической формулой Брэгга-Вульфа. 

В 1921г. немецкий физик Рамзауэр, исследуя упругое рассеяние электронов на атомах аргона, обнаружил явление, являющееся электронным аналогом хорошо известного в оптике пятна Пуассона.  Если энергия электрона такова, что его дебройлевская длина волны сравнима с диаметром атома, то в результате дифракции электрона на атоме электроны проходят через атом аргона, не испытывая какого либо отклонения от направления своего первоначального движения.

Позднее была обнаружена дифракция тепловых нейтронов, т.е. нейтронов, энергия которых сравнима с энергией     при комнатной температуре   Т ~ 300 K.   Для таких нейтронов

 ~ 10-10 м   ,   где    mnмасса нейтрона.

3 - 4

На рисунке приведена традиционная схема эксперимента по дифракции нейтронов.

Нейтроны, выходящие из ядерного реактора  R , проходят через замедлитель   S   и теряют в нём часть своей энергии. Далее через коллимирующую систему   К ,  формирующую узконаправленный пучок, они попадают на кристалл   С,  в котором и происходит дифракция. Дифрагировавший пучок нейтронов регистрируется детектором нейтронов D.

 В дальнейшем  были обнаружены при дифракции на кристаллах волновые свойства атомов гелия, молекул водорода и тяжёлых молекул фторфуллерена  С60F48. Таким образом гипотеза де Бройля имеет универсальный характер для всех частиц, независимо от их природы и внутреннего устройства.

Парадоксальное поведение микрочастиц

Эксперименты по дифракции частиц вынуждают констатировать наличие парадокса: - «электрон – это одновременно частица и волна».

Рассмотрим мысленный эксперимент,   аналогичный опыту   Юнга    по    изучению интерференции  света  от  двух щелей.

 После прохождения пучка электронов через две щели на экране образуется система максимумов и минимумов, положение которых можно рассчитать по формулам волновой оптики, если каждому электрону сопоставить дебройлевскую волну (экран  б ).

Если мы имеем дело с фотонами, то  парадокс     «частица – волна»         можно устранить предположив, что фотон в силу своей   специфичности   расщепляется   на две   части   на   щелях,   которые      затем интерферируют.

Но электроны никогда не расщепляются (это установлено достоверно).

3-5

Электрон может пройти либо через щель1, либо через щель  2. Следовательно  распределение их на экране должно быть суммой распределений  1  и  2  (пунктир на экране  a ), что совершенно не совпадает с интерференционной  картиной. Более того, если сначала открыть щель  1, а потом постепенно открывать щель 2,увеличивая её ширину, то по  здравому смыслу число электронов, приходящих в т. Р ежесекундно должно возрастать, а оно уменьшается до нуля. Т.е. дело обстоит так, что каждый электрон, проходя через какую-то щель, «чувствует» и соседнюю щель, корректируя своё поведение. Или подобно волне проходит сразу через обо щели (!?).

Единственный способ «объяснения» этих парадоксальных результатов заключается в создании математического формализма, совместимого с полученными результатами и всегда правильно предсказывающего наблюдаемые явления.

Такой формализм был создан. Он ставит в соответствие каждой частице некоторую комплексную пси-функцию  Ψ(,t). Формально она обладает свойствами классических волн, поэтому её часто называют волновой функцией.

Уравнение волны де Бройля

Плоская волна частотой  ω  , распространяющаяся вдоль оси ОХ  может быть представлена в комплексной форме

ξ(х,t) = A exp ( - i(ωtkx)),  где   iмнимая единица

Согласно гипотезе де Бройля, свободной частице с энергией  Е  и импульсом  р, движущейся вдоль оси  ОХ, соответствует плоская волна

Ψ(х,t) = A exp ( - (Et – px)),

распространяющуюся в том же направлении и описывающая волновы свойства частицы. Эту волну называют волной де Бройля.

Волны материи (т.е. волны де Бройля) в процессе распространения могут отражаться, преломляться, интерферировать и дифрагировать по обычным волновым законам.

Условие постоянства фазы волны де Бройля имеет вид

E.t – p.x = const

3 - 6

Дифференцируя это соотношение, находим фазовую скорость волны

 υф =

Т.к.  υ < c, то фазовая скорость волны де Бройля оказывается больше скорости света в вакууме  с.

Ограничения на скорость, накладываемые теорией относительности, справедливы лишь для процессов, связанных с переносом массы или энергии. Фазовая скорость волны де Бройля не характеризует ни один из этих процессов, поэтому на её величину не накладывается никаких ограничений. Она имеет чисто символическое значение и является принципиально ненаблюдаемой величиной.

Групповая скорость волны де Бройля  υгр =  .

Согласно теории относительности связь между Е   и   р   для частицы с массой   m  определяется соотношением

Е2 = р2с2 + m2c4

Дифференцируя это соотношение, получаем

2Е.dE = 2pc2.dp                    

Т.о.   υгр =  υ , т.е. групповая скорость волны де Бройля равна скорости движения частицы – υ.

О преломлении дебройлевских волн

Пусть  υвфазовая скорость волны де Бройля в вакууме, а  υсв среде.

Считая, что подобно электромагнитным волнам частота  ν   не меняется при переходе из вакуума в среду, получаем для показателя преломления

n =

3 - 7

Попадая из вакуума   в   кристалл(металл),  электроны   оказываются     в

потенциальной   яме,  где  их    энергия возрастает на «глубину» потенциальной ямы.

Так как  λБ =   получаем   n =  , где

φ0внутренний потенциал кристалла.

 Задача

 Нерелятивистская частица массы  m1  с кинетической энергией  К1  налетает на покоящуюся частицу с массой    m2.

Найти  дебройлевскую длину волны     обеих частиц в системе их центра масс.

 Решение:

В Ц-системе импульсы обеих частиц равны по модулю и противоположны по направлению

            

Скорость центра масс ( Ц-системы )

Скорость частицы   m1   в Ц-системе   . Тогда

.

 

Учитывая, что   получаем окончательно

.

Соотношения неопределённости

В классической физике исчерпывающее описание состояния частицы определяются динамическими параметрами, такими как координаты, импульс, момент импульса, энергия и др.

Отличие микрочастицы от макроскопической частицы заключается в том, что существует принципиальный предел точности, с которой подобные параметры могут быть указаны и измерены. В частности, для описания движения микрочастицы понятие траектории в некоторых случаях оказывается неприемлемым ( интерференция электрона от двух щелей).

Отличие микрочастицы от электромагнитной волны состоит в том, что свет, используя, например, полупрозрачное зеркало, можно разделить на две части и отдельно исследовать каждую из них. Микрочастица во всех опытах проявляет себя как единое целое. Нельзя наблюдать часть электрона или нейтрона.

Пусть электроны падают нормально на непрозрачную преграду, в которой имеется щель  АВ  шириной   ∆х

 

Если  падающие электроны обладают определённым импульсом   р0  , то этим электронам соответствует плоская волна с      и волновым вектором   

Поскольку волна распределена по всему пространству, то каждый электрон до прохождения через щель имеет точно определённый импульс      ( px= 0,   py= p0,   pz= 0 )  и неопределённую координату   х.

При прохождении электрона через щель ситуация существенным образом меняется.  Неопределённость   координаты    х   становится равной

ширине щели   ∆х, но при этом появляется  неопределённость проекции импульса   ∆рх , обусловленная дифракцией электронов на щели.

 4 - 2

Согласно теории дифракции    .

Принимая, что   рх ~ px , получаем

                                                                             .

Более строгий вывод, полученный немецким физиком Гейзенбергом, даёт следующий результат

Это соотношение называется  соотношением неопределённости Гейзенберга.

Для других координатных осей:

   и     .

В то же время не существует никаких принципиальных ограничений на точность определения координаты и проекции импульса на другую координатную ось, например,  ∆х   и    ∆ру.

 Соотношение Гейзенберга задаёт теоретический предел точности измерения характеристик микрочастицы, но никак не связано с погрешностью измерений конкретных измерительных приборов.

 На практике для оценочных расчётах часто используют соотношение

∆х.∆рх

С помощью соотношения неопределённостей можно получать важные физические результаты, а также проводить численные оценки, не прибегая к точному но трудоёмкому решению задачи.

Рассмотрим для примера атом водорода и будем считать, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса    r    со скоростью   v

 Будем считать, что   ∆х = r  , a  p = p = meυ.  Тогда    r .meυ     и

 м

Следовательно, радиус орбиты электрона, т.е. радиус атома не может быть меньше найденного значения. В свою очередь это означает, что электрон не может упасть на ядро, т.е. атом является устойчивым образованием.

 4 - 3

Кроме координат и проекций импульса существуют другие пары физических величин, которые не могут быть измерены одновременно точно. Особо следует выделить соотношение, которое называется  соотношением неопределённости для энергии и времени

Е.t .

Система, имеющая среднее время жизни  t , не может быть охарактеризована определённым значением энергии. Разброс энергии    возрастает с уменьшением времени жизни системы и частота излучения также должна иметь неопределённость     , т.е. спектральные линии должны иметь конечную ширину (уширение).

 Следствия из соотношений неопределённостей:

1) Для частиц с высокой энергией и  ∆х 10-6 м  неопределённость импульса   ∆рх =  ~ 10-28 кг.м/с ,что значительно меньше значения самого импульса   р.  Это означает, что для описания поведения таких частиц должна применяться классическая механика и можно говорить о траектории частицы ( для этих частиц   λБ   оказывается очень малой ).

2) Если    ∆х = а  ,  то    ∆рх   . Полагая   рх мин∆рх мин   находим минимальную (не равную нулю) энергию микрочастицы

 

Емин= ,

 т.е. в квантовой механике микрочастица не может находится в состоянии полного покоя.

3) Теряет смысл деление полной энергии частицы на кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия зависит от импульса частицы, а потенциальная энергия от её координаты. Но координата и импульс не могут одновременно иметь определённые значения. Равенство   Е = К + U   для мгновенных значений невозможно (в квантовой механике принято потенциальную энергию обозначать буквой   U ). Такое равенство справедливо лишь для средних значений энергии

<E> = <K> + <U>.

4 - 4

 Задача

Частица массы   т   движется в одномерном потенциальном поле, где её потенциальная энергия      (гармонический осциллятор).

Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимально возможную энергию   Емин   частицы в этом поле.

 Решение:

px= <px> + ∆px   , где    <px> 0     при     Е = Емин .  Тогда    

Е = Емин    если                  

И окончательно        .

Статистический смысл волновой пси-функции

Для микрочастиц из-за соотношения неопределённостей теряет смысл классическое определение состояния частицы (координаты и импульса).

В соответствии с корпускулярно-волновым дуализмом в квантовой теории состояние частицы задаётся   пси-функцией   Ψ(, t) , которая является комплексной величиной и формально обладает волновыми свойствами.

Движение любой микрочастицы по отдельности подчиняется вероятностным законам. Распределение вероятности, характеризующее это движение, проявляется в регистрации достаточно большого числа частиц. Это распределение оказывается таким же, как распределение интенсивности волны: там, где интенсивность волны больше, регистрируется и большее число частиц.

 В квантовой теории постановка вопроса состоит не в точном предсказании событий, а в определении вероятностей этих событий, по которым  по определённым правилам рассчитывают средние значения физических величин.

Пси-функция   Ψ()  и является той величиной, которая позволяет находить эти вероятности.

Квантовая механика базируется на нескольких постулатах. Правильность этих постулатов может быть подтверждена сравнением предсказаний квантовой механики с результатами экспериментов.

4 - 5

 Первый постулат квантовой механики гласит: состояние частицы в квантовой   механике   описывается     волновой    функцией     Ψ ( x, y ,z ,t ),  являющейся функцией пространственных координат и времени и имеющей вероятностный смысл т.е. определяющей вероятность нахождения частицы в различных областях пространства.

Если    w =  - плотность вероятности того, что в момент времени   частица может быть обнаружена в точке пространства   М = М(х,y,z)   то

w = Ψ.Ψ* =   , где

Ψ* - функция, комплексно сопряжённая с функцией   Ψ   , являющейся в общем случае комплекснозначимой функцией.

Вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области пространства конечного объёма   V  можно рассчитать

Так как вероятность нахождения частицы во всём пространстве     равна единице, то

 Иногда интеграл берётся не по всему пространству, а по той области, в которой  Ψ-функция  отлична от нуля.

Данное соотношение называют  условием нормировки волновой функции, которое означает, что во всей области, где    , частица находится с достоверностью.

На  волновую Ψ-функцию накладываются определённые ограничения – так называемые условия регулярности волновой функции:

  1.  Условие конечности – волновая функция не может принимать бесконечные значения.
  2.  Условие однозначности – волновая функция  должна быть однозначной функцией координат и времени.
  3.   Условие непрерывности - в любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Непрерывными должны быть также частные производные  ;     и   .

4 - 6

 Принцип суперпозиции квантовых состояний: если частица может находится в квантовом состоянии  Ψ1 ,  а также в другом квантовом состоянии   Ψ2 , то эта частица может также находится в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией

                                                                  Ψ = С1Ψ1 + С2Ψ2 ,   где

 С1  и  С2  - в общем случае комплексные числа.

Для нормированных функций

                                                                 

Уравнение  Шрёдингера

 В классической механике волновым дифференциальным уравнением называют уравнение вида

.

Например, для электромагнитной волны имеем

 

.

В квантовой механике общее временное уравнение Шредингера позволяет определить в любой момент времени волновую функцию  Ψ    для частицы массой   тО, движущейся в силовом поле    = , описываемом скалярной потенциальной функцией   U(x, y, z, t)

.

i  =  - мнимая единица;

 - оператор Лапласа в декартовых координатах;

 -  оператор Лапласа в                                                 сферических координатах.

Уравнение Шрёдингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения Максвелла для электродинамики не может быть выведено. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого подтверждается данными экспериментов в атомной и ядерной физике.

4 - 7

 В квантовой механике существует класс задач о движении в силовых полях, для которых силовая функция не зависит от времени, т.е

.

.

Такие силовые поля называют стационарными силовыми полями. В этом случае силовая функция    имеет смысл потенциальной энергии частицы.

В стационарных полях квантовая система может находится в состояниях с определённым значением энергии   Е.

 Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний имеет вид

.

Это уравнение надо вызубрить так, чтобы от зубов отскакивало !!!


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3883. Технологический процесс изготовления вал-шестерни 713.5 KB
  Введение Завершающей стадией обучения в ТТК является выполнение дипломного проекта. Дипломное проектирование является большой самостоятельной работой будущего специалиста, направленный на решение конкретных задач в области совершенствования технолог...
3884. Денежно-кредитная система в рыночной экономике 137 KB
  Введение В современных моделях рыночной экономики банковская система государства играет важнейшую роль в функционировании экономического механизма. Банковская система представляет собой по сути oсистему кровообращения экономики, обеспеч...
3885. Деньги: возникновение, сущность, функции. Виды денег 150 KB
  Деньги: возникновение, сущность, функции. Виды денег Введение. Деньги - это, пожалуй, одно из наиболее великих изобретений человеческой мысли. В живой природе аналогий не найдётся. Вся структура современной экономики предопределена существованием де...
3886. Алкоголь и курение и их отрицательное действие на организм 80 KB
  Введение Алкоголизм – один из видов наркомании. Наркотики и злоупотребление ими. Наркотик – это любое химическое соединение, которое воздействует на функционирование организма. Злоупотребление наркотиками – это их употребление любым н...
3887. Дослідження співвідношень сигнал/завада в каналах інформаційно – телекомунікаційних систем 1.23 MB
  Дослідження співвідношень сигнал/завада в каналах інформаційно – телекомунікаційних систем Мета лабораторного заняття: формування практичних навичок з дослідження співвідношень сигнал/завада в каналах інформаційно – телекомунікаційних...
3888. Сучасна філософська антропологія. Основні школи і проблеми 301.34 KB
  Сучасна філософська антропологія. Основні школи і проблеми Вступ Сьогодні,на початку третього тисячоліття,підвищений інтерес до гуманізації усієї суспільної свідомості невипадковий.Багатопланова гуманізація суспільних ві...
3889. Ноосферна концепція В. І. Вернадського 151.49 KB
  Ноосферна концепція В.І.Вернадського Вступ Згідно ученням Дарвіна і його послідовників,з доісторичних часів і до цього дня триває процес еволюції живої речовини-сукупності всіх живих істот.Розглядаючи розвиток живого св...
3890. Людські раси та їх походження 156.68 KB
  На Землі вже нараховується близько6,5млрд.людей.Серед них не має,і не може бути двох зовсім однакових людей навіть близнюки,що розвивалися з одного яйця,незважаючи на величезну подібність їхнього зовн...
3891. Усталостное разрушение 133 KB
  Первые наблюдения усталостного разрушения относятся к концу XVIII века, когда у длительно эксплуатируемых дилижансов в Англии и почтовых карет во Франции неожиданно для инженерного мира стали хрупко ломаться оси, изготовленные из кованого железа, об...